东北三省四市(哈尔滨长春沈阳大连)高三第二次联合考试数学(文)
东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2023届高三二模数学试题含答案
哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学2023年高三第二次联合模拟考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1.已知集合{}1,2,3A =，{}20B x x x m =-+=，若{}2AB =，则B =（ ）A.{}2,1B.{}2,4C.{}2,3D.{}2,1-2.已知复数z 满足24i z z +=+，则z =（ ） A.34i +B.34i -C.34i -+D.34i --3.已知向量()1,0a =，1,22b ⎛=-⎝⎭，则a b -=（ ） A.3C.14.有7名运动员（5男2女）参加A 、B 、C 三个集训营集训，其中A 集训营安排5人，B 集训营与C 集训营各安排1人，且两名女运动员不在同一个集训营，则不同的安排方案种数为（ ） A.18B.22C.30D.365.两条直线()0y kx k =>和2y kx =-分别与抛物线24y x =交于异于原点的A 、B 两点，且直线AB 过点()1,0，则k =（）A.12B.1D.26.如图，直角梯形ABCD 中，3AB CD =，30ABC ∠=︒，4BC =，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周，所得几何体的外接球的表面积为（ ）A.1123πB.48πC.128πD.208π7.定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且在[]0,1上单调递减，若方程()10f x +=在[)0,1有实数根，则方程()1f x =在区间[)1,11-上所有实数根之和是（ ） A.6B.12C.30D.568.已知三个互异的正数a ，b ，c 满足2ln cc aa=+，()21ab =+，则关于a ，b ，c 下列判断正确的是（ ） A.a b c <<B.a b c >>C.2a c b -<-D.2a c b ->-二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.函数()sin cos f x x x =+，则下列说法正确的是（ ） A.()f x 为偶函数B.()f x 的最小正周期是πC.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D.()f x 的最小值为1-10.金枪鱼因为肉质柔嫩鲜美、营养丰富深受现代人喜爱，常被制作成罐头食用.但当这种鱼罐头中的汞含量超过1.0mg/kg 时，食用它就会对人体产生危害.某工厂现有甲、乙两条金枪鱼罐头生产线，现从甲、乙两条生产线中各随机选出10盒罐头并检验其汞含量（单位为mg/kg ），其中甲生产线数据统计如下：0.07，0.24，0.39，0.54，0.61，0.66，0.73，0.82，0.95，0.99，其方差为210.08s =.乙生产线统计数据的均值为20.4x =，方差为220.11s =，下列说法正确的是（ ）A.甲生产线的金枪鱼罐头汞含量数值样本的上四分位数是0.82B.甲生产线的金枪鱼罐头汞含量数值样本的上四分位数是0.775C.由样本估计总体，甲生产线生产的金枪鱼罐头汞含量平均值高于两条生产线生产的金枪鱼罐头汞含量平均值D.由样本估计总体，甲生产线生产的金枪鱼罐头汞含量数值较两条生产线生产的金枪鱼罐头汞含量数值更稳定11.已知正方体1111ABCD A B C D -E ，F 是棱1DD ，1CC 的中点，点M 是侧面11CDD C 内运动（包含边界），且AM 与面11CDD C 所成角的正切值为2，下列说法正确的是（ ）A.1MC 2B.存在点M ，使得AM CE ⊥C.存在点M ，使得AM ∥平面BDFD.所有满足条件的动线段AM 形成的曲面面积为612.已知函数()()1,*mn f x x m n N x=+∈，下列结论正确的是（ ） A.对任意m ，*n N ∈，函数()f x 有且只有两个极值点 B.存在m ，*n N ∈，曲线()y f x =有经过原点的切线 C.对于任意10x >，20x >且12x x ≠，均满足()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭D.当0x >时，()()f x f x -≤恒成立第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.大气压强p =压力受力面积，它的单位是“帕斯卡”（Pa ，21Pa 1N/m =），已知大气压强()Pa p 随高度()m h 的变化规律是0khp p e -=，其中0p 是海平面大气压强，10.000126m k -=.当地高山上一处大气压强是海平面处大气压强的13，则高山上该处的海拔为______米.（答案保留整数，参考数据ln3 1.1≈） 14.曲线22x y x y +=+围成的图形的面积是______.15.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为(),0F c ，过点F 且斜率为2的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于M 、N 两点，若P 是线段MN 的中点，且PF =，则双曲线的离心率为______. 16.A 、B 、C 、D 、E 五个队进行单循环赛（单循环赛制是指所有参赛队在竞赛中均能相遇一次），胜一场得3分，负一场得0分，平局各得1分.若A 队2胜2负，B 队得8分，C 队得9分，E 队胜了D 队，则D 队得分为______.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）17.（本小题满分10分）记ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()21cos 4bc A a +=.（1）证明：3b c a +=； （2）若2a =，7cos 9A =，角B 的内角平分线与边AC 交于点D ，求BD 的长. 18.（本小题满分12分）调查问卷中常常涉及到个人隐私或本人不愿正面回答的问题，被访人可能拒绝回答，即使回答，也不能期望答案是真实的.某小区要调查业主对物业工作是否满意的真实情况，现利用“随机化选答抽样”方法制作了具体调查方案，其操作流程如下：在一个箱子里放3个红球和2个白球，被调查者在摸到球后记住颜色并立即将球放回，如果抽到的是红球，则回答“你的性别是否为男性？”如果抽到的是白球，则回答“你对物业工作现状是否满意？”两个问题均用“是”或“否”回答.（1）共收取调查问卷100份，其中答案为“是”的问卷为60份，求一个业主对物业工作表示满意的概率，已知该小区共有业主500人，估计该小区业主对物业工作满意的人数；（2）现为了提高对物业工作满意的业主比例，对小区业主进行随机访谈，请表示不满意的业主在访谈中提出两个有待改进的问题.（ⅰ）若物业对每一个待改进的问题均提出一个相应的解决方案，该方案需要由5名业主委员会代表投票决定是否可行.每位代表投赞同票的概率均为13，方案需至少3人投赞成票，方能予以通过，并最终解决该问题，求某个问题能够被解决的概率0p ；（ⅱ）假设业主所提问题各不相同，每一个问题能够被解决的概率都为0p ，并且都相互独立.物业每解决一个问题，业主满意的比例将提高一个百分点.为了让业主满意的比例提高到80%，试估计至少要访谈多少位业主？ 19.（本小题满分12分）如图，已知斜四棱柱1111ABCD A B C D -，底面ABCD 为等腰梯形，AB CD ∥，点1A 在底面ABCD 的射影为O ，且11AD BC CD AA ====，2AB =，112AO =，1AA BC ⊥.（1）求证：平面ABCD ⊥平面11ACC A ；（2）若M 为线段11B D 上一点，且平面MBC 与平面ABCD 夹角的余弦值为7，求直线1A M 与平面MBC所成角的正弦值. 20.（本小题满分12分） 已知数列{}n a ，设()12*nn a a a m n N n+++=∈，若{}n a 满足性质Ω：存在常数c ，使得对于任意两两不等的正整数i 、j 、k ，都有()()()k i j i j m j k m k i m c -+-+-=，则称数列{}n a 为“梦想数列”. （1）若()2*nn b n N =∈，判断数列{}n b 是否为“梦想数列”，并说明理由； （2）若()21*n c n n N =-∈，判断数列{}n c 是否为“梦想数列”，并说明理由； （3）判断“梦想数列”{}n a 是否为等差数列，并说明理由. 21.（本小题满分12分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，x 轴被抛物线22:4x C y b =-截得的线段长与1C 长轴长的比为2:3.（1）求1C 、2C 的方程；（2）设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A 、B ，直线MA 、MB 分别与1C 相交与D 、E .（ⅰ）设直线MD 、ME 的斜率分别为1k 、2k ，求12k k 的值； （ⅱ）记MAB △、MDE △的面积分别是1S 、2S ，求12S S 的最小值. 22.（本小题满分12分）已知函数()()ln 10f x x ax a =-->.（1）当1a =时，求过原点且与()f x 相切的直线方程；（2）若()()()0axg x x e f x a =+⋅>有两个不同的零点1x 、()2120x x x <<，不等式212mx x e ⋅>恒成立，求实数m 的取值范围.三省三校第二次模拟答案一、单选题二、多选题三、填空题：13、873014、2π+15 16、18.2ln 2ln c c a a -=-考虑：()()2ln 0f x x x x =->，则()221x f x x x-'=-= ()f x 在()0,2递减；()f x 在()2,+∞递增()()()min 221ln 20f x f ==->（1）当02a <<，2c >时，21a+=设()x xg x =+，是减函数，且()21g =()()2121aaag a g b a =+>=⇒=+>⇒> 2212152a b =+<+=⇒<所以，22c b a a c b >>>⇒->-（2）当02c <<，2a >时，同理可得：22a b c a c b >>>⇒->- 综上可得：2a c b ->-成立. 12.如图：（1）在第一象限+都是凹函数（二阶导数大于零） （2）图二、图三有过原点的切线 （3）极值点的个数是一个或两个（4）当m ，n 同奇数或同偶数时，()()f x f x =-；当m ，n 是一奇，一偶数时，()()f x f x >-； 15.设()11,M x y ，()22,N x y ，()00,P x y2211222222222200MN OP x y b a b k k a x y a b ⎧-=⎪⎪⇒⋅=⎨⎪-=⎪⎩，则OP 的方程为222b y x a =，MN 的方程为：()2y x c =- ()222224242P b y xa c x c OP e a ab y xc ⎧=⎪⇒==+⇒=⎨-⎪=-⎩16.A 队：2胜2负（无平局） C 队：3胜1负（无平局）B 队：2胜2平，则B 队和D 、E 是平局；B 队胜了A 、C这样找到了C 队负的一场，输给B 队 这样B 、C 结束；A 队赢D 、E 最后，E 胜D ，则D 的1分.四、解答题17.（本题满分10分）（1）证明：()222221cos 4142b c a bc A a bc a bc ⎛⎫+-+=⇒+= ⎪⎝⎭()229b c a +=，则3b c a +=……5'（2）由余弦定理得：2222cos a b c b A =+-，则9bc =，又3b c a +=，则3b c ==由角分线可得，95AD =所以，在ABD △中，由余弦定理得：2222cos BD AD c AD c A =+-⋅，BD =10'18.（本题满分12分）（1）记：事件A =“业主对物业工作表示满意”，则()()2316035521004P A P A ⋅+⋅=⇒= 所以，35003754⨯=（人）……4' 答：该小区业主对物业工作表示满意的人数约为375人.（2）（ⅰ）3245345055512121173333381P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……8' （ⅱ）设至少要访谈n 位业主31738101280%10047.6481417n n ⎛⎫⎛⎫⋅-⋅⋅≥-⨯⇒≥≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭答：至少要访谈48位业主.……12' 19.（本题满分12分）（1）证明：等腰梯形ABCD 中，2AB =，1BC CD AD ===则，60ABC ∠=︒……2'1BC ACBC BC AA ⊥⎧⇒⊥⎨⊥⎩平面11A ACC ，BC ⊂平面ABCD ，则平面ABCD ⊥平面11A ACC ，……4' （2）建立如图所示空间直角坐标系C xyz -，则)A，()0,1,0B，2O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1122A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，131,0222CD BA ⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭ 1133,022B DBD ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，1112DD AA ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，1110,,22D⎛⎫- ⎪⎝⎭ 设111,0D M D B λ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，131,,222M λ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭ (6)'设平面MBC 的法向量为(),,n x y z =131022220n CM y z n CB y λλ⎧⎛⎫⎧⋅-++=⎪⎪ ⎪⇒⎨⎨⎝⎭⋅⎪⎪⎩=⎩，取1x =，则()1,0,n =-……8' 取平面ABCD 的法向量()0,0,1m =221cos ,417m n m n m nλ⋅==⇒=，则12λ= 即：11,04A M ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，1,0,n ⎛= ⎝⎭……10' 设直线1A M 与平面MBC 所成的角为θ，则1113sin cos ,7A M n A M n A M nθ⋅===⋅所以，直线1A M 与平面MBC……12' 20.（本题满分12分）（1）()()()k i j i j m j k m k i m c -+-+-=()()()k j i j i m i k m k j m c -+-+-=所以，0c =当2nn b =时，12m =，23m =，3143m =()()()142612232313033-+-⋅+-⋅=≠所以，{}n b 不是“梦想数列”……4' （2）21i a i =-，21j a j =-，21k a k =-()()()2220k i j i j j k k i k i j-+-+-=所以，{}n c 不是“梦想数列”……6'（3）①令1i =，2j =，3k = ()()()1231121223310312a a a a a a +++-+-+-= 所以，1322a a a +=，即：1a 、2a 、3a 成等差数列……8' ②令1i =，2j =，()3k n n =≥ ()()()21122102n S S n a n n -+-+-= ()()2122310n S n n a n n a +---= ()()21122210n S n n a n n a ++---+= 所以，11121122220n n a na a na a a nd +++--=⇒=+ 所以，()()114n a a n d n =+-≥，当1,2,3n =时也成立. 综上可得，“梦想数列”{}n a 是等差数列. ……12' 21.（本题满分12分）（1）椭圆方程：()222210x y a b a b+=>>13323c b a a ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨=⎩=，所以，221:19x C y +=，221:14C y x =-……4' （2）设直线l 的方程为y kx =，()11,A x y ，()22,B x y22440114y kxx kx y x =⎧⎪⇒--=⎨=-⎪⎩，则121244x x k x x +=⎧⎨⋅=-⎩……6' 又111114y x k x +==，12121164x x k k ==- 联立122114014y k x x k x x y =-⎧⎪⇒-=⎨=-⎪⎩，则114x k =，同理：224x k = 联立()1221122191180990y k x k x k x x y =-⎧⇒+-=⎨+-=⎩ 13211891k x k =+，同理：24221891k x k =+……8' ()()2211221sin 429191181sin 2MA MB AMBS k k S MD ME DME ∠==++∠……10' 2121481916919811616324k k ⎛⎫=+++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当112k =±时，取等号 所以，12S S 的最小值为169324. ……12' 22.（本题满分12分）（1）()f x 的定义域为()0,+∞ ()111f x a x x'=-=- 设切点坐标()000,ln 1x x x -+，则切线方程为：()()00001ln 11y x x x x x ⎛⎫--+=--⎪⎝⎭把点()0,0带入切线得：20x e =所以，()f x 的切线方程为：221e y x e-=……4' （2）()()ln 1axg x x ex ax =+--有两个不同零点，则()()()ln ln 10ln 1ln 10ax x ax ax xx e x ax x ax e x ax e-+--=⇒+--=+--=……6' 构造函数()1xu x e x =+-，()1xu x e '=+()u x 为(),-∞+∞增函数，且()00u =即：ln 0x ax -=有两个不等实根1122ln ln ax x ax x =⎧⎨=⎩令1122ln ln x x t x x ==，()01t <<，则12ln ln x t x =，12ln ln ln x x t =+ 122ln 2ln ln 1t x x t t ++=-……8' 设()()2ln 011x v x x x x +=<<-，()()22123ln 1x x v x x x x ⎡⎤+-'=-+⎢⎥-⎣⎦ 设()23ln 1x x x xφ=-+-+，()()()212x x x x φ--'= ()x φ在()0,1递增，()10φ=，则()v x 在()0,1递减，且()10v =所以，()v x 的最小值()1v ，……10' ()()()112ln lim 2ln 31x x x x x x x =→+'=+=-所以，()v x 的最小值为3，即：m 的取值范围为(],3-∞. ……12'。
长、哈尔滨、沈阳、大连高中毕业班数学文科第二次联合考试甲卷
长、哈尔滨、沈阳、大连高中毕业班数学文科第二次结合考试甲卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，试卷满分150 分，答题时间为120 分钟 .第Ⅰ卷（选择题，共60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分。
在每题的四个选项中，只有一项是切合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．已知会合 M{ x || x 3 | 5}, N { x | x 6},则M N =（）A ． RB ．C ． { x | 6 x 8}D ． { x | x 8}2．抛物线 y4x 2 的焦点坐标为（ ）A ．（ 2， 0）B ．（ 1， 0）C ．（ 0， 1） D ．（ 0， 1）8163．函数 y e 1x3 的反函数是（）A ． y lnx e( x 3) B ． y lnx 3(x 3)3eC ． y ln3 x( x3)D ． y lne(x 3)e3 x4．△ ABC 中，“ cosA2 sin B sin C ”是“△ ABC 为钝角三角形”的（）A ．必需不充足条件B ．充足不用要条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件5．在数列 { a n } 中，已知 a 1 1, a 2 5,a n 2a n 1 a n ( n N * ) ，则 a 2007 等于（）A ． 1B ．－ 5C ．4D ． 56．已知向量 a (2,3),b ( 4,7) ，那么 a 在 b 方向上的投影为 （ ）A ．65 B ． 13 C ． 65 D ． 13557．已知、 是两条不重合的直线， 、、 是三个两两不重合的平面，给出以下四个命m n题：①若 m ,m，则 ∥；②若,，则∥ ；④若 m 、n 是异面直线， m , m ∥ ; n,n ∥ ,则∥ .此中的真命题是A ．①和②B ．①和③C ．③和④D ．①和④8．某工厂生产 A 、B 、C 三种不一样型号的产品，产品的数目之比挨次为2:3:5，现用分层抽样的方法抽出样本容量为 n 的样本，样本中 A 型产品有 16 件，那么样本容量n 为（）A ． 100B ． 80C ． 60D ． 209．从 1， 3， 5， 7 中任取 2 个数字，从 2， 4，6， 8 中任取 2 个数字构成没有重复数字的四位数，此中能被 5 整除的数有（）A ． 300 个B ． 240 个C ． 108 个D ．90 个2 y210．已知 P 是以 F 1、 F 2 为焦点的双曲线x 2 1(a0, b0) 上一点，若 PF 1PF 20 ，2batan PF 1 F 22，则此双曲线的离心率为（）A ．35B ． 5C ．3D ． 25211．已知函数 f (x)a x ( x 0),知足对随意 x 1f (x 1 )f ( x 2 )0 成( a 3) x 4a(x 0)x 2 , 都有x 2x 1立，则 a 的取值范围是（）A ． 0,1B ．（ 0， 1）C ． 1,1D ．（ 0， 3）4412．已知 O 是△ ABC 所在平面内的必定点， 动点P 知足 OPOAABAC),(| AB | sin B| AC | sin C(0,) ，则动点 P 的轨迹必定经过△ ABC 的（）A ．心里B ．垂心C ．外心D ．重心第Ⅱ卷（非选择题，共90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每题4 分，共 16 分，把正确答案填在答题卡中的横线上）13． (1 x) 7 (1 x) 的睁开式中 x 2 项的系数是.14．若 f ( x)| x1| ( x0).log 2 x( x, 则f [ f ( 1)]0)15．正四棱柱的底面边长是1，侧棱长是 2，它的八个极点都在同一个球面上，则这个球的表面积为.x 216．设实数x，y 知足拘束条件y x,则 z x2y 2的最大值为.2x y12三、解答题（本大题共 6 小题，共74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12 分）已知函数 f (x)sin 2x cos2x1.2cosx（1）求f ( x) 的定义域和值域；（ 2）设a是锐角，且tana1f a, 求( )的值.2218．（本小题满分12 分）一个口袋内装有大小同样且已编有不一样号码的 4 个黑球和 3 个红球，某人一次从中摸出 2个球.（ 1）假如摸到的球中含有红球就中奖，那么这人摸球一次中奖的概率是多少？（ 2）假如摸到的两个球都是红球，那么就中大奖，在有放回的 3 次摸球中，这人恰巧两次中大奖的概率是多少？19．（本小题满分12 分）如图，多面体ABCDS中，面 ABCD为矩形， SD⊥ AD，SD⊥ AB，且 AB=2AD， SD= 3 AD，（1）求证：平面 SDB⊥平面 ABCD；（2）求二面角 A— SB— D 的大小 .20．（本小题满分12 分）在等比数列 { a n }中, a1a765, a3 a564,且 a n 1a n , n N * .（ 1）求数列 { a n} 的通项公式；（ 2）若T n lg a2lg a4lg a2n，求T n的最大值及此时n 的值. 21．（本小题满分 12分）已知 F1、 F2分别是椭圆x2y 21(a 0, b 0) 的左、右焦点，其左准线与x 轴a 2 b 2订交于点 N，而且知足，F1F22NF1, | F1F2| 2.（ 1）求此椭圆的方程；（ 2）设 A、B 是这个椭圆上的两点，而且知足NA NB,当[1,1] 时，求直线AB的53斜率的取值范围.22．（本小题满分 14 分）已知函数 f (x)x3ax 2b, x[ 1,1].（ 1）假如f ( x) 是单一函数，务实数 a 的值；（ 2）设1 a 31，最小值为 2 ，求函数f(x)的分析式.，而且函数 f ( x)的最大值是2[]5 60 .1C2D3A4B5C6A7 D8 B9C10B11 A12 D4 16 . 13 14 141 156π16 6874 .171f ( x)2 cosx 0f ( x)的定义域为 { x | xk2, k Z}2f ( x)sin 2x cos 2x 12 sin cos x 2cos 2 x2 cos x2cos xsin x cos x2 sin( x). 44f ( x){ y | 2y2}x k, x4k3 ，但当 x k 时， x k ，此时 y 124442 []2 tan21 4tan2 2911 tan21232( )2αsin4, cos355 7f ( )sin cos125[]f ( )sincos2 sin coscos 2 sin 2 82 2 2 2 2 sin cos2 cos 2 2 sin 2 2 2sin 2 cos 22 22 tan1 tan 222（ 10 分）tan 22 1211 ( 1 ) 2722（ 12 分）1.215()2n 次独立重复试验中某事件恰巧发生k 次的概率公式 .18．本小题考察基本的概率问题以及 解：（ 1）记“从袋中摸出的两个球中含有红球”为事件A ，P( A)C 32 C 31 C 415C 72，7∴这人中奖的概率是5 . （6分）7（ 2）记“从袋中摸出的两个球都是红球”为事件 B ，则 P(B) C 32 1 ，（9分）C 727因为有放回的 3 次摸球，每次能否摸到两个红球之间没有影响，所以 3 次摸球恰巧有两次中大奖相当于做3 次独立重复实验，依据n 次独立重复实验中事件恰巧发生k 次的概率公式得P 3 (2) C 32( 1)2(1 1 )3218 ，7 7 343∴这人恰巧两次中大奖的概率是18 .（12分）34319．本小题考察面面关系及二面角的求法。
2020年东北三省高三第二次联合模拟文科数学试题（解析
2020年东北三省⾼三第⼆次联合模拟⽂科数学试题（解析数学试题⼀、选择题：本题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1．已知集合A、B均为集合U＝{1，2，3，4，5，6}的⼦集，且（?U A）∩B＝{3}，（?U B）∩A＝{6}，A∩B＝{1，2}，则集合B＝（）A．{1，2，3}B．{1，2，6}C．{1，2}D．{1，2，3，4，5} 2．若a+2i＝（1﹣i）（1+bi）（a，b∈R，i为虚数单位），则复数a﹣bi在复平⾯内对应的点所在的象限为（）A．第⼀象限B．第⼆象限C．第三象限D．第四象限3．若实数x、y满⾜，则y﹣x的最⼤值为（）A．3B．0C．﹣3D．﹣94．已知α，β是两个不同的平⾯，直线m?α，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m∥βB．若α⊥β，则m⊥βC．若m∥β，则α∥βD．若m⊥β，则α⊥β5．课堂上数学⽼师和同学们做游戏，随机询问甲、⼄、丙、丁4位同学的作业完成情况，甲说：“丙未完成作业或丁未完成作业”；⼄说：“丁未完成作业”；丙说：“我完成作业了”；丁说：“我完成作业了”．他们中恰有⼀个⼈说了谎话，请问：是谁说了谎话？（）A．甲B．⼄C．丙D．丁6．已知正项等⽐数列{a n}，若向量，则log2a1+log2a2+…+log2a9＝（）A．12B．8+log25C．5D．187．我国古代劳动⼈民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等⼯程中，积累了丰富的经验，总结出了⼀套有关体积、容积计算的⽅法，这些⽅法以实际问题的形式被收⼊我国古代数学名著《九章算术》中．《九章算术》将底⾯为长⽅形且有⼀条侧棱与底⾯垂直的四棱锥称之为阳马，如图所⽰的阳马三视图，则它的体积为（）A．B．1C．2D．38．已知两个不相等的⾮零向量，满⾜，且与的夹⾓为45°，则的取值范围是（）A．B．C．（0，2]D．9．已知，则sin（60°+α）的值为（）A．B．C．D．10．设函数f（x）＝sin x+cos x+sin x cos x+1，则下列说法中正确的是（）A．f（x）关于（0，1）中⼼对称B．f（x）的极⼩值为C．f（x）的最⼩正周期为πD．f（x）图象的⼀条对称轴为11．已知双曲线上存在⼀点M，过点M向圆x2+y2＝1做两条切线MA、MB，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝9（lnx）2+（a﹣3）?xlnx+3（3﹣a）x2有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜1＜x2＜x3，则的值为（）A．81B．﹣81C．﹣9D．9⼆、填空题：本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．13．我校⾼⼀、⾼⼆、⾼三共有学⽣1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采⽤分层抽样的⽅法，从这1800名学⽣中抽取⼀个容量为36的样本．若从⾼⼀、⾼⼆、⾼三抽取的⼈数恰好是从⼩到⼤排列的连续偶数，则我校⾼三年级的学⽣⼈数为．14．已知实数a、c满⾜c＜1＜a，关于x的不等式的解集为．15．直线l经过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与直线交于点M，若，且，则抛物线的⽅程为．16．设△ABC的内⾓A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a﹣b+c）＝3ac，则B＝；若边AC上的点D满⾜BD＝CD＝2AD＝2，则△ABC的⾯积S＝．三、解答题：共70分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．（⼀）必考题：共60分．17．已知数列是公差不为0的等差数列，且a1＝1，a2?a3＝a8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和S n．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平⾯ABCD⊥平⾯P AD，AD∥BC，AB＝BC AD＝1，∠APD＝∠BAD＝90°．（Ⅰ）求证：PD⊥PB；（Ⅱ）当P A＝PD时，求三棱锥P﹣BCD的体积．19．2022年冬奥会将由北京和张家⼝联合举办，其中冰壶⽐赛将在改造⼀新的⽔⽴⽅进⾏．⼥⼦冰壶⽐赛将由来⾃全球的⼗⽀最优秀的队伍参加，中国⼥⼦冰壶队作为东道主，将对奥运冠军发起冲击．（Ⅰ）已知参赛球队包括来⾃亚洲的中国队、⽇本队和韩国队，来⾃美洲的加拿⼤对和美国队，以及来⾃欧洲的瑞⼠队、英国对、瑞典队、丹麦队和德国队．每⽀球队有四名参赛队员．若赛前安排球员代表合影，需要以分层抽样的⽅式从三个⼤洲的运动员中抽取10名运动员，则每个⼤洲各需要抽取多少运动员？（Ⅱ）此次参赛的夺冠热门队伍包括加拿⼤对、瑞⼠队、英国对、瑞典队和东道主中国队，若⽐赛的揭幕战随机的从这五⽀球队中选择两⽀球队出站，求中国队被选中的概率．20．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，若函数f（x）与g（x）图象交于P（x1，y1）、Q（x2，y2）（x2＞x1）两点，求实数a的取值范围21．已知椭圆，动直线l与椭圆E交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且△AOB的⾯积为1，其中O为坐标原点．（Ⅰ）为定值；（Ⅱ）设线段AB的中点为M，求|OM|?|AB|的最⼤值．（⼆）选考题：共10分．请考⽣在第22、23题中任选⼀题作答．如果多做，则按所做的第⼀题计分，作答时⽤2B铅笔在答题卡上把所选题⽬对应的题号涂⿊．[选修4-4：坐标系与参数⽅程]22．在直⾓坐标系xOy中，直线l的⽅程是y＝2，曲线C的参数⽅程是（φ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的⾮负半轴为极轴建⽴极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标⽅程；（Ⅱ）若A（ρ1，α）是曲线C上⼀点，是直线l上⼀点，求的最⼤值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a、b、c∈R+，且a+b+c＝6．（Ⅰ）当c＝5时，求的最⼩值；（Ⅱ）证明：a2+b2﹣2b+c2﹣4c≥﹣2．⼀、选择题：本题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1．已知集合A、B均为集合U＝{1，2，3，4，5，6}的⼦集，且（?U A）∩B＝{3}，（?U B）∩A＝{6}，A∩B＝{1，2}，则集合B＝（）A．{1，2，3}B．{1，2，6}C．{1，2}D．{1，2，3，4，5}根据两个集合的交集，看出两个集合中都含有这两个元素，根据A 的补集与B的交集的元素，看出B中不含有元素6，得到结果．因为集合A、B均为集合U＝{1，2，3，4，5，6}的⼦集，且（?U A）∩B＝{3}，（?U B）∩A＝{6}，A∩B＝{1，2}，所以：3∈B，6?B，1，2∈B，4，5?B，4，5?A；故集合B＝{1，2，3}．故选：A．本题考查⼦集与交集，并集的转换，是⼀个基础题，本题典型的解法是利⽤⽂恩图看出集合B中的元素．2．若a+2i＝（1﹣i）（1+bi）（a，b∈R，i为虚数单位），则复数a﹣bi在复平⾯内对应的点所在的象限为（）A．第⼀象限B．第⼆象限C．第三象限D．第四象限利⽤复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．因为a+2i＝（1﹣i）（1+bi）＝（1+b）+（b﹣1）i，∴a＝1+b且2＝b﹣1；所以：a＝4，b＝3；∴复数a﹣bi在复平⾯内对应的点（4，﹣3）所在的象限为第四象限．故选：D．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，考查复数的代数表⽰法及其⼏何意义，是基础题．3．若实数x、y满⾜，则y﹣x的最⼤值为（）A．3B．0C．﹣3D．﹣9画出可⾏域，将⽬标函数变形画出相应的直线，将直线平移⾄B时纵截距最⼤，z最⼤．画出的可⾏域如图：B（6，6）．令z＝y﹣x变形为y＝x+z作直线y＝x将其平移⾄B（6，6）时，直线的纵截距最⼤，最⼤为：0．故选：B．本题主要考查利⽤线性规划求函数的最值，关键是将⽬标函数赋予⼏何意义．4．已知α，β是两个不同的平⾯，直线m?α，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m∥βB．若α⊥β，则m⊥βC．若m∥β，则α∥βD．若m⊥β，则α⊥β直接利⽤线⾯垂直和平⾏的判定和性质的应⽤求出结果．对于选项A：若α⊥β，则m∥β也可能m⊥β，故错误．对于选项B：若α⊥β，则m⊥β也可能m∥β，故错误．对于选项C：若m∥β，则α∥β也可能α与β相交，故错误．对于选项D，直线m?α，m⊥β，则α⊥β是⾯⾯垂直的判定，故正确．故选：D．本题考查的知识要点：线⾯垂直和平⾏的判定和性质的应⽤，主要考查学⽣的运算能⼒和转换能⼒及思维能⼒，属于基础题型．5．课堂上数学⽼师和同学们做游戏，随机询问甲、⼄、丙、丁4位同学的作业完成情况，甲说：“丙未完成作业或丁未完成作业”；⼄说：“丁未完成作业”；丙说：“我完成作业了”；丁说：“我完成作业了”．他们中恰有⼀个⼈说了谎话，请问：是谁说了谎话？（）A．甲B．⼄C．丙D．丁根据题意判断其中两⼈说话⽭盾，有⼈说话，其他⼈说真话，可推出．由⼄说：“丁未完成作业，与丁说：“我完成作业了”，则⼄丁有⼀⼈说谎，则甲丙说的真话，可知丙完成作业了，丁未完成作业，进⽽可以判断丁说了假话．故选：D．本题考查简单的合情推理，属于基础题．6．已知正项等⽐数列{a n}，若向量，则log2a1+log2a2+…+log2a9＝（）A．12B．8+log25C．5D．18本题先根据平⾏向量的坐标运算可得a2?a8＝16，再根据等⽐中项的知识，可计算出a5＝4，在求和时根据对数的运算及等⽐中项的性质可得到正确选项．由题意，向量，则8?2﹣a2?a8＝0，即a2?a8＝16，根据等⽐中项的知识，可得a2?a816，∵a5＞0，∴a5＝4，∴log2a1+log2a2+…+log2a9＝log2（a1a2 (9)＝log2[（a1a9）?（a2a8）?（a3a7）?（a4a6）?a5]＝log2a59＝9log24＝18．故选：D．本题主要考查等⽐数列的性质应⽤，以及数列与向量的综合问题．考查了转化与化归思想，平⾏向量的运算，对数的计算，逻辑思维能⼒和数学运算能⼒．本题属中档题．7．我国古代劳动⼈民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等⼯程中，积累了丰富的经验，总结出了⼀套有关体积、容积计算的⽅法，这些⽅法以实际问题的形式被收⼊我国古代数学名著《九章算术》中．《九章算术》将底⾯为长⽅形且有⼀条侧棱与底⾯垂直的四棱锥称之为阳马，如图所⽰的阳马三视图，则它的体积为（）A．B．1C．2D．3由三视图还原原⼏何体，可知该⼏何体为四棱锥，底⾯ABCD为矩形，AB＝2，AD＝3，侧棱P A⊥底⾯ABCD，且P A＝1．再由棱锥体积公式求解．由三视图还原原⼏何体如图，可知该⼏何体为四棱锥，底⾯ABCD为矩形，AB＝2，AD＝3，侧棱P A⊥底⾯ABCD，且P A＝1．∴该⼏何体的体积V．故选：C．本题考查由三视图求⾯积、体积，关键是由三视图还原原⼏何体，是中档题．8．已知两个不相等的⾮零向量，满⾜，且与的夹⾓为45°，则的取值范围是（）A．B．C．（0，2]D．如图所⽰，设，，∠CAB＝45°，由图可知，当BC⊥AC时，||的取值最⼩，求出最⼩值，没有最⼤值，即可得到结果．如图所⽰，设，，∠CAB＝45°，由图可知，当BC⊥AC时，||的取值最⼩，此时，则||，⽽||没有最⼤值，故则的取值范围为[，+∞），故选：D．本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其⼏何意义，属于基础题．9．已知，则sin（60°+α）的值为（）A．B．C．D．由已知结合同⾓平⽅关系，诱导公式及⼆倍⾓公式进⾏化简即可求解．∵，则sin（60°+α）＝sin（90°﹣30°+α）＝cos（α﹣30°）＝cos（30°﹣α），＝1﹣2sin2（15°﹣α）＝1．故选：A．本题主要考查了诱导公式及⼆倍⾓公式在三⾓化简求值中的应⽤，属于基础试题．10．设函数f（x）＝sin x+cos x+sin x cos x+1，则下列说法中正确的是（）A．f（x）关于（0，1）中⼼对称B．f（x）的极⼩值为C．f（x）的最⼩正周期为πD．f（x）图象的⼀条对称轴为借助于三⾓函数的性质逐项进⾏判断，选出正确选项．对于A选项，f（x）关于（0，1）中⼼对称，⾸先表达错误，应该说f（x）的图象关于某个点中⼼对称，其次f（x）+f（﹣x）＝2cos x+2不恒等于2，所以A错误；对于B选项，∵f（x）＝sin x+cos x+sin x cos x+1∴f′（x）＝cos x﹣sin x+cos2x，令f′（x）＝0有sin x＝cos x或sin x+cos x＝﹣1．当sin x＝cos x＝±时，有f（x）＝±，当sin x+cos x＝﹣1时，两边平⽅可得1+2sin x cos x＝1，sin x cos x＝0，此时f（x）＝sin x+cos x+sin x cos x+1＝0，所以f（x）的极⼩值不可能为，所以B错误；对于C选项，f（x+π）＝﹣sin x﹣cos x+sin x cos x+1≠f（x），所以π不是f（x）的最⼩正周期，所以C错误；对于D选项，∵f（）＝sin（）+cos（）+sin（）cos （）+1＝cos x+sin x+sin x cos x+1＝f（x），∴f（）＝f（x），所以f（x）图象的⼀条对称轴为x，故D正确．故选：D．本题考查三⾓函数的性质，属于中档题．11．已知双曲线上存在⼀点M，过点M向圆x2+y2＝1做两条切线MA、MB，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．利⽤已知条件，推出a的关系式，即可求解结果．双曲线上存在⼀点M，过点M向圆x2+y2＝1做两条切线MA、MB，若，可知MAOB是正⽅形，MO，所以双曲线的实半轴长的最⼤值为，所以a∈．故选：B．本题考查双曲线的简单性质，圆的切线性质的应⽤，考查分析问题解决问题的能⼒，是中档题．12．已知函数f（x）＝9（lnx）2+（a﹣3）?xlnx+3（3﹣a）x2有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜1＜x2＜x3，则的值为（）A．81B．﹣81C．﹣9D．9把f（x）的零点转化为a﹣3的零点，令t＝3，t∈（0，+∞），可得⽅程9t2﹣（51+a）t+81＝0有两实根t1，t2，由判别式⼤于0解得a的范围，再由根与系数的关系可得6，t1t2＝9，进⼀步得到t1＞3，3，结合x1＜1＜x2＜x3，可得3，3，33，则可知t1，3t2，则．f（x）＝9（lnx）2+（a﹣3）?xlnx+3（3﹣a）x2＝0（a﹣3）（xlnx﹣3x2）＝﹣9（lnx）2a﹣3，令t＝3，则，t∈[3，+∞），a﹣39t2﹣（51+a）t+81＝0．设关于t的⼀元⼆次⽅程有两实根t1，t2，∴△＝（51+a）2﹣4×9×81＞0，可得a＞3或a＜﹣105．∴6，t1t2＝9．⼜∵t1+t2，当且仅当t1＝t2＝3时等号成⽴，由于t1+t2≠6，∴t1＞3，3（不妨设t1＞t2）．∵x1＜1＜x2＜x3，∴3，3，33．则可知t1，3t2．∴．故选：A．本题考查函数零点与⽅程根的关系，考查数学转化思想⽅法，考查⼀元⼆次⽅程根的分布，属难题．⼆、填空题：本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．13．我校⾼⼀、⾼⼆、⾼三共有学⽣1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采⽤分层抽样的⽅法，从这1800名学⽣中抽取⼀个容量为36的样本．若从⾼⼀、⾼⼆、⾼三抽取的⼈数恰好是从⼩到⼤排列的连续偶数，则我校⾼三年级的学⽣⼈数为700．设从⾼三年级抽取的学⽣⼈数为2x⼈，由题意利⽤分层抽样的定义和⽅法，求出x的值，可得⾼三年级的学⽣⼈数．设从⾼三年级抽取的学⽣⼈数为2x⼈，则从⾼⼆、⾼⼀年级抽取的⼈数分别为2x﹣2，2x﹣4．由题意可得2x+（2x﹣2）+（2x﹣4）＝36，∴x＝7．设我校⾼三年级的学⽣⼈数为N，再根据，求得N＝700，故答案为：700．本题主要考查分层抽样，属于基础题．14．已知实数a、c满⾜c＜1＜a，关于x的不等式的解集为{x|x≥a或x≤c}．由已知可转化为⼆次不等式即可求解．由题意可得（x﹣a）（x﹣c）≥0且x≠1，因为c＜1＜a，所以x≥a或x≤c，故不等式的解集为{x|x≥a或x≤c}．故答案为：{x|x≥a或x≤c}．本题主要考查了分式不等式的求解，体现了转化思想的应⽤．15．直线l经过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与直线交于点M，若，且，则抛物线的⽅程为y2＝4x．由抛物线的⽅程可得焦点F的坐标，由向量的关系可得F为AM的中点，可得A的横坐标，代⼊抛物线的⽅程可得A的纵坐标，进⽽求出直线AB的⽅程与抛物线联⽴求出两根之和，再由抛物线的性质可得AB的值，由题意可得p的值，进⽽求出抛物线的⽅程．由题意如图所⽰，因为，F为AM的中点，所以AF＝AA'＝NF＝2p，设A（x1，y1），B（x2，y2），所以2p＝x1，所以x1，代⼊抛物线的⽅程可得y1p即A（，p）所以k AB，所以直线AB的⽅程为：y（x），直线与抛物线的⽅程联⽴可得：，整理可得：3x2﹣5px0，x1+x2，由抛物线的性质可得AB＝x1+x2+p p，解得p＝2，所以抛物线的⽅程为：y2＝4x，故答案为：y2＝4x．本题考查向量与点的位置关系，以及抛物线的性质，属于中档题．16．设△ABC的内⾓A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a﹣b+c）＝3ac，则B＝；若边AC上的点D满⾜BD＝CD＝2AD＝2，则△ABC的⾯积S＝．（l）利⽤余弦定理容易求出B的⼤⼩；（2）引⼊⾓α＝∠DBC，根据BD＝DC得α＝C，再利⽤内⾓和定理将A⽤α表⽰出来，最后在△ABD中利⽤正弦定理可求出α，问题迎刃⽽解．（1）根据题意（a+b+c）（a﹣b+c）＝3ac，化简得a2+c2﹣b2＝ac，所以cos B，∵B∈（0，π），∴B；（2）做出图形如下：由题意不妨设∠DBC＝α，则∠ABDα，∠C＝α，所以Aα，在△ABD中由正弦定理得，将AD＝1，BD＝2代⼊化简得，∴．∴A，C，易得AB．∴．故答案为：．本题考查三⾓形中的⼏何计算问题，涉及内⾓和定理、正余弦定理的应⽤，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．（⼀）必考题：共60分．17．已知数列是公差不为0的等差数列，且a1＝1，a2?a3＝a8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和S n．本题第（Ⅰ）题先根据数列是公差不为0的等差数列可知1，再列出、、关于d的表达式，根据a2?a3＝a8有?，代⼊表达式可得关于d的⽅程，解出d的值，即可得到等差数列的通项公式，进⼀步可得数列{a n}的通项公式；第（Ⅱ）题先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运⽤裂项相消法计算前n项和S n．（Ⅰ）由题意，可知1，1+d，1+2d，1+7d，∵a2?a3＝a8，∴?，即（1+d）（1+2d）＝（1+7d），整理，得d2﹣2d＝0，解得d＝0（舍去），或d＝2．∴1+2（n﹣1）＝2n﹣1，∴a n＝（2n﹣1）2，n∈N*．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，[]，∴S n＝b1+b2+…+b n（1）（）[][1][1]．本题主要考查数列求通项公式的计算，以及运⽤裂项相消法计算前n项和．考查了转化与化归思想，⽅程思想，裂项相消法的运⽤，以及逻辑思维能⼒和数学运算能⼒．本题属中档题．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平⾯ABCD⊥平⾯P AD，AD∥BC，AB＝BC AD＝1，∠APD＝∠BAD＝90°．（Ⅰ）求证：PD⊥PB；（Ⅱ）当P A＝PD时，求三棱锥P﹣BCD的体积．（Ⅰ）推导出BA⊥AD，BA⊥PD，AP⊥PD，从⽽PD⊥平⾯P AB，由此能证明PD⊥PB；（Ⅱ）取AD中点O，连接PO，则PO⊥AD，证明PO⊥平⾯ABCD，再由棱锥体积公式求解．证明：（Ⅰ）∵∠BAD＝90°，∴BA⊥AD，∵平⾯ABCD⊥平⾯P AD，交线为AD，∴BA⊥平⾯P AD，从⽽BA⊥PD，∵∠APD＝90°，∴AP⊥PD，∵BA∩AP＝A，∴PD⊥平⾯P AB，∵PB?平⾯P AB，∴PD⊥PB；解：（Ⅱ）∵P A＝PD，取AD中点O，连接PO，则PO⊥AD，由平⾯ABCD⊥平⾯P AD，交线为AD，得PO⊥平⾯ABCD．⼜∠APD＝90°，AD＝2，得PO＝1，∴．即三棱锥P﹣BCD的体积为．本题考查空间中线线、线⾯、⾯⾯间的位置关系等基础知识，考查空间想象能⼒与思维能⼒，训练了多⾯体体积的求法，是中档题．19．2022年冬奥会将由北京和张家⼝联合举办，其中冰壶⽐赛将在改造⼀新的⽔⽴⽅进⾏．⼥⼦冰壶⽐赛将由来⾃全球的⼗⽀最优秀的队伍参加，中国⼥⼦冰壶队作为东道主，将对奥运冠军发起冲击．（Ⅰ）已知参赛球队包括来⾃亚洲的中国队、⽇本队和韩国队，来⾃美洲的加拿⼤对和美国队，以及来⾃欧洲的瑞⼠队、英国对、瑞典队、丹麦队和德国队．每⽀球队有四名参赛队员．若赛前安排球员代表合影，需要以分层抽样的⽅式从三个⼤洲的运动员中抽取10名运动员，则每个⼤洲各需要抽取多少运动员？（Ⅱ）此次参赛的夺冠热门队伍包括加拿⼤对、瑞⼠队、英国对、瑞典队和东道主中国队，若⽐赛的揭幕战随机的从这五⽀球队中选择两⽀球队出站，求中国队被选中的概率．（Ⅰ）利⽤分层抽样法求出从亚洲、美洲、欧洲运动员中抽取的⼈数；（Ⅱ）利⽤列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．（Ⅰ）利⽤分层抽样法从亚洲运动员中抽取103（⼈），从美洲运动员中抽取102（⼈），从欧洲运动员中抽取105（⼈）；（Ⅱ）从“加拿⼤队、瑞⼠队、英国队、瑞典队和中国队”中任选两队，基本事件是{加拿⼤队，瑞⼠队}，{加拿⼤队，英国队}，{加拿⼤队，瑞典队}，{加拿⼤队，中国队}，{瑞⼠队，英国队}，{瑞⼠队，瑞典队}，{瑞⼠队，中国队}，。
【新结构】2024届东北三省四市教研联合体高考模拟(二)数学试题+答案解析
【新结构】2024届东北三省四市教研联合体高考模拟（二）数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则()A.B.C.D.2.已知复数z 满足，则在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知角的终边与单位圆的交点，则()A.B.C.D.4.根据分类变量x 与y 的成对样本数据，计算得，依据的独立性检验，结论为()参考值：A.x 与y 不独立B.x 与y 不独立，这个结论犯错误的概率不超过C.x 与y 独立D.x 与y 独立，这个结论犯错误的概率不超过5.函数在处的切线方程为()A.B.C. D.6.等差数列中，，前n 项和为若，则()A.B. C.D.7.已知函数的图象经过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则()A.B.C.D.8.已知正四棱锥的侧棱长为2，且二面角的正切值为，则它的外接球表面积为()A.B.C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.四名同学各投掷骰子5次，分别记录骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果，可能出现点数6的是()A.平均数为5，中位数为2B.众数为2，中位数为3C.平均数为2，方差为D.平均数为3，方差为10.抛物线的焦点F到准线的距离为4，过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，与抛物线C分别交于点A，B和点M，N，则()A.抛物线C的准线方程是B.过抛物线C的焦点的最短弦长为8C.若弦MN的中点为，则直线MN的方程为D.四边形AMBN面积的最小值为12811.阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，截角四面体是阿基米德多面体其中的一种.如图所示，将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为a的截角四面体，则下列说法中正确的是()A.点E到平面ABC的距离为B.直线DE与平面ABC所成角的正切值为2C.该截角四面体的表面积为D.该截角四面体存在内切球三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
东北三省三校2022届高三第二次联合模拟考试数学(文科)试题
一、单选题二、多选题1. 命题“存在实数，使”的否定是（ ）A ．不存在实数，使B ．存在实数，使C ．对任意的实数x，都有D ．对任意的实数x，都有2. 在正方体中，、分别是线段、上的动点，且直线与所成的角为，则下列直线中与所成的角必为的是（ ）．A．B．C．D．3. 已知，，则A ．1B ．-1C ．2D ．-24. 已知菱形沿对角线向上折起，得到三棱锥分别是棱的中点.设三棱锥的外接球为球，则下列结论正确的个数为（）①；②上存在点，使得平面；③当二面角为时，球的表面积为.④三棱锥的体积最大值为1.A ．1B ．2C ．3D ．45.过抛物线焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，则（ ）A．B．C ．1D ．166. 复数，则（ ）A．B．C．D．7. 数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音．如图为某段乐音的图像，则该段乐音对应的函数解析式可以为（）A．B．C．D．8. 已知，则（ ）A ．有最大值1B ．有最小值1C ．有最大值2D ．有最小值2东北三省三校2022届高三第二次联合模拟考试数学（文科）试题东北三省三校2022届高三第二次联合模拟考试数学（文科）试题三、填空题四、解答题9. 已知函数的零点构成一个公差为的等差数列，把的图象沿轴向右平移个单位得到函数的图象，则（ ）A ．在上单调递增B ．是的一个对称中心C．是奇函数D ．在区间上的值域为10. 下列说法不正确的是（ ）A ．存在，使得B．函数的最小正周期为C ．函数的一个对称中心为D ．若角的终边经过点，则角是第三象限角11.设函数，则关于函数说法正确的是（ ）A ．函数是偶函数B ．函数在单调递减C ．函数的最大值为D ．函数图像关于点对称12. 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：，是双曲线的左､右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（）A ．射线所在直线的斜率为，则B．当时，C ．当过点时，光线由到再到所经过的路程为13D．若点坐标为，直线与相切，则13.已知，设，①当时，的最大值为______.②当时，的最大值为______.14.在中，记角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，面积为S ，则的最大值为______15.已知函数，.给出下列四个结论：①；②存在，使得；③对于任意的，都有；④.其中所有正确结论的序号是___________.16. 如图，已知双曲线的方程为（），两条渐近线的夹角为，焦点到渐近线的距离为．、两动点在双曲线的两条渐近线上，且分别位于第一象限和第四象限，是直线与双曲线右支的一个公共点，.（1）求双曲线的方程；（2）当时，求的取值范围；（3）试用表示的面积，设双曲线上的点到其焦点的距离的取值范围为集合，若，求的取值范围.17. 直三棱柱中，为正方形，，，为棱上任意一点，点、分别为，的中点.(1)求证：平面；(2)当点为中点时，求直线和平面所成角的正弦值.18.如图，在三棱柱中，平面ABC，D为线段AB的中点，，，，三棱锥的体积为8．(1)证明：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．19.已知椭圆C： (a>b>0)的焦点为F1，F2，离心率为，点P为其上一动点，且三角形PF1F2面积的最大值为，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）若点M，N为C上的两个动点，求常数m，使·＝m时，点O到直线MN的距离为定值，求这个定值．20. 人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）.(1)求首次试验结束的概率；(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.①求选到的袋子为甲袋的概率，②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.21. 已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，A，F分别为双曲线C的左顶点和右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于第一象限的点B，的面积为(1)求双曲线C的方程；(2)若直线与双曲线的左､右两支分别交于M，N两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P，Q两点，，求实数的取值范围.。
2024 年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量检测(二)数学参考答案
2024年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量检测（二）数 学（参考答案）一、单项选择题：1．D 2．B 3. A 4．C 5.A 6．C 7.B 8.C 二、多项选择题:6．()662163264P A −==，事件AB =“取出的重卦中有3阳3阴或4阳2阴或5阳1阴” 则()345666641264C C C P AB ++==，则()()()4163P AB P B A P A == 【答案】C7. 直线1PA ，1PB ，1PC ，1PD 与平面1111A B C D 所成角大小分别为1θ，2θ，3θ，4θ等价于直线1PA ，1PB ，1PC ，1PD 与直线1AA ，1BB ，1CC ，1DD 成角大小分别为12πθ−，22πθ−，32πθ−,42πθ−，由13θθ=，可知P 在线段BD 上，又24θθ>，则2422ππθθ−<−，1PB 与1BB 成角更小，则点P 在线段OB 上 【答案】B8.由题意可知，两个函数图像都在x 轴上方，任何一个为导函数，则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为()y f x '=，实线部分为()y f x =，则A ，B 显然错误，对于C ，D 而言，()2()e ()e ()()e e x x x x f x f x f x f x y ''−−'==，由图像可知(),0x ∈−∞，()e xf x y =单调递增，()0,x ∈+∞，()e x f x y =单调递减，所以函数()e xf x y =在0x =处取得最大值为1 【答案】C 9. 由实系数一元二次方程求根公式知i z i z 2321,232121−−=+−=，21,z z 是1的两个立方虚根， 则222123212321z i i z =−−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−=(与21,z z 顺序无关），A 正确； 因为13231==z z ，所以03231=−z z ，B 正确；0122221≠−=−z z z z ，C 错误；2121111z z z z z ===，D 正确.【答案】ABD10．已知所有棱长都相等，不妨设为1.A ：过S 作直线l ∥AD ，则l 为平面SAD 与平面SBC 的交线，取AD 中点E ，BC 中点F ，连接ES ，FS ， 则∠ESF 为二面角A-l -B 的平面角，连接EF ，在△EFS 中， cos∠ESF =(√3)2+(√3)2−12(√32)2 = 13≠0所以平面SAD 与平面SBC 不垂直，故A 错；B ：取SB 中点G ，SC 中点H ，连接OGH ，可知平面OGH ∥平面SAD ，所以当P ∈GH 时，OP ∥平面SAD ，这样的点P 有无穷多，故B 正确；C ：由已知可知当Q 在正方形ABCD 各边中点时，SQ 与底面ABCD 所成的角最大， cos∠SEO =12√32=√33>12，所以∠SEO<π3，所以不存在Q 使得SQ 与底面ABCD 成的角为π3，故出错误；D ：作OI 垂直于MN ，连接SI ，则∠SIO 为二面角S-MN-O 的平面角，当MN 都无限向点B 靠拢时，∠SIO →π4；当M →A ，N →C 时，∠SHO →π2， 所以二面角S-MN-O 范围是(π4，π2)，故D 正确. 【答案】BD 11.A ：|a n |=1(n−c )2+1，|a n+1|=1(n+1−c )2+1，(n +1−c )2+1−[(n −c )2+1]=2n +1−2c因为c ≤1,n ∈N ∗，所以2n +1−2c >0 所以(n +1−c )2+1>(n −c )2+1 所以|a n+1|<|a n |，即数列{||}n a 单调递减，故A 正确； B ：a 1=−1(1−c )2+1<0当n 为偶数时，1n a a ≥必成立，c 任意；当n 为奇数且n ≥3时，1n a a ≥为−1(n−c )2+1≥−1(1−c )2+1 等价于(n −c )2+1≥(1−c )2+1 等价于c ≤n+12，而(n+12)min=2，所以c ≤2. 综上c ≤2，故B 错误；C ：显然当i,j 同奇或同偶时，必有0i j a a +≠当i 为奇数，j 为偶数时，a i +a j =−1(i −c )2+1+1(j −c )2+1=(i +j −2c )(i −j )[(i −c )2+1][(j −c )2+1]因为i+j 为奇数，2c 为偶数，*c ∈N ，所以i +j −2c ≠0， 所以0i j a a +≠，故C 正确；D ：先考虑最大项，最小项和为0，再调整： 若和为0，则c 必为相邻两整数正中间，如：上图是c=3.5情形，a 3+a 4=0；当c →3.4时，会有|a 3|>|a 4|,a 3+a 4<0,如下图——当c →3.6时，会有|a 3|<|a 4|,a 3+a 4>0,如下图——即c 靠近偶数时，{}n a 的最大项与最小项之和为正数，临界值为*1122,22k c k k −<<+∈N ，故D 正确.【答案】ACD12.3381log 16333313log 2,161118181log log 2log 22log 31616161616f f f f −<<−⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=++===⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 13.设点),(y x P ，由PA PB 2=得422=+y x ，若该圆上有且只有3个点直线:340l x y m ++=的距离为1，则圆心到直线的距离1==md ，解得5±=m .1,3,5,,21n +，42121212n n n C +++++21212n n C ++++210212n n C ++−−15．（1）因为sin cos a B A =，由正弦定理可得sin sin cos A B B A =……3分 sin 0B ≠，所以sin A A =，故tan 3A =−，23A π∠= ………………6分 （2）由题意可知ABD ACD ABC S S S ∆∆∆+=，即111sin 60sin 60sin120222c b bc +=，化简可得b c bc +=， ……………9分 在ABC ∆中，由余弦定理得()2222221cos 222b c bc a b c a A bc bc +−−+−===−从而()2220122bc bc bc −−=−，解得5bc =或4bc =−（舍） ………………12分所以11sin 5sin12022534ABC S bc A ∆==⨯= ………………13分16.（1）当0a =时，()e x x f x =，则1()e x x f x −'=，(1)0f '=，1(1)ef =， 所以切线方程为1ey =………………3分 （2）当1a =时，()e e x xf x x −=−，21e ()(1)e e e x x x xx f x x −−−'=−−= ………………4分令2()1e x g x x =−−，2()12e 0x g x '=−−<故()g x 在R 上单调递减，而(0)0g =，因此0是()g x 在R 上的唯一零点即：0是()f x '在R 上的唯一零点 ………………6分 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：()f x (,0)−∞ ………………8分 ()f x 的极大值为(0)1f =−，无极小值. ………………9分 （3）由题意知1−−≤−x x xeae xe，即x x x e e xe a 1−−−≥，即ee x a x 12−≥，设()e e x x m x 12−=，则()()x x x x e x e xe e x m 22222212−=−='， ………………………………11分令()0='x m ，解得21=x ， 当()()x m x m x ,0,21,>'⎪⎭⎫ ⎝⎛∞−∈单调递增，当()()x m x m x ,0,,21<'⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈单调递减， 所以()ee e m x m 2112121max −=−=⎪⎭⎫ ⎝⎛=， ……………………………………………14分 所以ea 21−≥. ………………………………………………………………………………15分17．（1）方法一：AB B A 2111= ,112222AA AB AA AD ∴⋅=⋅== ………………1分 1121AA AD A D −−=()()111121211AA AD AB AP A D P D −+⎪⎭⎫ ⎝⎛−+−=+=∴λλλ ……………2分()()()AD AB AA AD AB AC P D +⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+⎪⎭⎫ ⎝⎛−+−=⋅∴11121211λλλ()()()11221121211AA AD AA AB AD AB ⋅−+⋅−+⎪⎭⎫ ⎝⎛−+−=λλλλ()()0142121818=−+⎪⎭⎫ ⎝⎛−+−=λλλ,1AC P D ⊥∴即.1AC P D ⊥ ……………………………………………………5分（1）方法二：如图所示建立空间直角坐标系，设正四棱台的高度为h ，则有 )A，)B，()C ，()D ，122A h ⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭，122C h ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，122D h ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,0M()AC =−()()1(1),22222AP h λλλλ⎛⎫⎛⎫=−+−+−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭132D A h ⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭112222D P D A AP h h λ⎛⎫=+=−+−+− ⎪ ⎪⎝⎭………………………4分 故10AC D P ⋅=，所以1D P AC⊥………………………………………5分（2）方法一：确定正四棱台的高（传统法） 取OC 中点E ,则ABCD E C 平面⊥1，作AM EF ⊥，垂足为F ，连结F C 1，由三垂线定理得AM F C ⊥1，所以FE C 1∠为平面1AMC 与平面ABCD 所成二面角的平面角，因为22=AB ，2324343=⨯==∆∆AMC AME S S , ……………………………………7分 10103,2321=∴=⋅∴EF AM EF ………………………………………………8分,3102tan ,73cos 11=∠∴=∠FE C FE C 即2,310211=∴=E C EF E C ………………11分 方法二：确定正四棱台的高（空间向量） 设平面ABCD 的法向量为()0,0,1n =设平面1AMC 的法向量为(),,m x y z =，()AM =−，122AC h ⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭则有10AM m AC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0022x y hz ⎧+=⎪⎨−++=⎪⎩，令x =，则()22,3m = ………………8分又题意可得3cos ,7m n ==，可得2h = ………………11分因为23λ=，经过计算可得40,0,3P ⎛⎫⎪⎝⎭，1D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，142,3D P ⎛⎫= ⎪⎭ ………………13分 将2h =代入，可得平面1AMC 的法向量()42,2m = ………………14分 设直线DP 与平面1AMC 所成角的为θsin cos ,DP m θ===………………17分 18.（1）设(),B x y '，POP θ'∠=，则cos sin x OP y OB θθθθ⎧==⎪⎨==⎪⎩， ……………3分消去θ得22163x y +=所以B '点轨迹Ω的方程22163x y += ……………5分 （2）方法一：设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为y kx m =+22163x y y kx m⎧⎪⎨+==+⎪⎩消去y 可得：()222124260k x kmx m +++−= ()()()22222441226488240km k m k m ∆=−+−=−+>，即2263m k <+ 从而122412kmx x k −+=+，21222612m x x k −=+1212121211112222AM AN y y kx m kx m k k x x x x −−+−+−⋅=⋅=⋅−−−−()()()()2212121212111242k x x k m x x m x x x x +−++−==−++整理得24210k km m ++−=，即()()()()2412121210k m k k k m −++=+−+= ………………8分当210k +=时，直线MN 的方程为12y x m =−+ 当210k m −+=时，直线MN 的方程为()21y k x =−+，恒过()2,1A 点，不合题意………………10分 设(),G G G x y ，将()11,M x y ，()22,N x y将M N 、两点代入到椭圆中22112222163163x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得22221212063x x y y −−+=，即()()()()()()1212121212121212032602y y y y y y y y x x x x x x x x +⎛⎫−− ⎪−+⎝⎭==−+−+⎛⎫−− ⎪⎝⎭，12MN OG k k ⋅=−，故1OGk = ………………14分设OG 与y 轴负半轴所形成的夹角为α，因为1OG k =，所以4πα=设OA 与x 轴正半轴所形成的夹角为β，因为()2,1A，所以sin 5β=，cos 5β= cos cos 2AOG παβ⎛⎫∠=++ ⎪⎝⎭()()sin sin cos cos 1si 0n αβαβαβ=−+=−+=− …………17分方法二：设()11,M x y ，()22,N x y ，直线AM 的方程为()21y k x =−+()2221163y k x x y ⎧⎪⎨+==−+⎪⎩消去y 可得：()()222212848840k x k k x k k +−−+−−= 从而21288412A k k x x k−−⋅=+，故21244212k k x k −−=+， 将1x 代入直线AM 的方程可得21244112k ky k −−=++，所以222244244,11212k k k k M k k ⎛⎫−−−−+ ⎪++⎝⎭又12AM AN k k ⋅=，将上式点M 中的k 换成12k 得到22224424,11212k k k N k k ⎛⎫−−−−+ ⎪++⎝⎭212112MN y y k x x −==−−，下面同方法一方法三： 以()2,1A 为坐标原点建立新的直角坐标系，新坐标系下椭圆方程()()2221163x y −−+=，在新坐标系下设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为1mx ny +=将椭圆方程变形可得：224240x x y y +++=将直线MN 的方程与椭圆方程结合，构成其次分式可得()()224240x x mx ny y y mx ny +++++=整理得()()()224244140n y n m xy m x +++++=即：()()()24244140y y n n m m x x ⎛⎫+++++= ⎪⎝⎭，所以1212141422AM AN y y m k k x x n +⋅=⋅==+，故2n m =， 直线MN 的方程为21mx my +=，12MN k =−，下面同方法一方法四：设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为y kx m =+22163x y y kx m ⎧⎪⎨+==+⎪⎩消去y 可得：()222124220k x kmx m +++−= 因为1x ，2x 是上述一元二次方程的两个根，所以()()()()2222121242212k xkmx m k x x x x +++−=+−−①又1212111222AM AN y y k k x x −−⋅=⋅=−− 整理得：()()()()121222211x x y y −−−−− ()()21212112220m m x x k x x k k −−⎛⎫⎛⎫=−−−+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭在①式中令2x =得：()()()()222124128221222kkm mk x x +++−=+−−②令1m x k −=得：()()()222212211111242212m m m m k km m k x x k k k k −−−−⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++−=+−− ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭③②+③()22k ⨯−可得：整理得24210k km m ++−=，下面同方法一（以上方法可酌情给分）19.（1）剔除第10天数据的()911 2.2100.4 2.499i i y y=⨯−===∑新，()12959t +++==新101118.73100.4114.73i i i t y =⎛⎫=−⨯= ⎪⎝⎭∑新；1022138510285i i t =⎛⎫=−= ⎪⎝⎭∑新所以12221114.7395 2.4673285956000ni ii nii b x y nx yxnx==−−⨯⨯===−⨯−∑∑故67322072.4560001200a =−⨯=，所以673220760001200y x =+. ……………4分 （以上每个新数据求解正确，可给1分）（2）由题意可知()1223355n n n P P P n −−=+≥，其中125P =，22231955525P =⨯+= ……6分 将此式变形可得112123232525555n n n n n n P P P P P P λλλλ−−−−−⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫−=−+=−+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪−⎝⎭令3525λλ−=−，解得1λ=或35λ=− ………………8分方法一：当35λ=−时，则()11233355n n n n P P P P n −−−+=+≥，所以135n n P P −⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为常数列首项为2131932152555P P +=+⨯=，故()13125n n P P n −+=≥， 将()13125n n P P n −+=≥变形可得()15352858n n P P n −⎛⎫−=−−≥ ⎪⎝⎭所以58n P ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭是以首项为1525985840P −=−=−，公比为35−的等比数列 故15938405n n P −⎛⎫−=−− ⎪⎝⎭，即19354058n n P −⎛⎫=−−+ ⎪⎝⎭………………12分 方法二：当1λ=时，则()()112335n n n n P P P P n −−−−=−−≥， 所以{}1n n P P −−是以首项为21192925525P P −=−=，公比为35−的等比数列， 故()21932n n n P P n −−⎛⎫−=−≥ ⎪成立 ，25593255⎝⎭⎛⎫− ⎪⎝⎭累加可得 0121933325555n n P P −⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−+−++−⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦213319139553254054015n n −−⎛⎫⎛⎫+−⨯− ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==−−+ ⎪⎛⎫⎝⎭−− ⎪⎝⎭故1113940540n n P P −⎛⎫=−−++ ⎪⎝⎭，即1935533=4058885n nn P −⎛⎫⎛⎫=−−++− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭………………12分 （3）解答：①当n 为偶数时，5335330885885nnn P ⎛⎫⎛⎫=+−=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，最大值为21925P =；当n 为奇数时，5335330885885nnn P ⎛⎫⎛⎫=+−=−< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递增，最小值为125P =； 综上：数列{}n P 的最大值为1925，最小值为25. ………………………………14分②证明：对任意0ε>总存在正整数0358log 13N ε⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，（其中[]x 表示取整函数）当358log 13n ε⎡⎤⎛⎫>+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦时，…………………………17分。
沈阳、大连、长春、哈尔滨第二次联合考试文科数学试卷及答案
东北三省四市沈阳、大连、长春哈尔滨、第二次联合考试数学（文史类）参考公式：一般地，假设有两个变量X 和Y ，它们的可能取值分别为12{,}x x 和扫12{,}y y ，其样随机变量22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={1，2}，则满足{1,2,3}A B =，的集合B 的个数是 （A ）1 （B ）3 （C ）4 （D ）82．若复数而312a ii++， （a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 （A ）-2 （B ）6 （C ）4 （D ）-63．已知向量m ，n 满足m=（2，0），3(,22n =．∆ABC ，AB = 2m+2n, 2AC =6m n -，D 为BC 边的中点，则||AD =（A ）2 （B ）4 （C ）6（D ）84．关于函数()sin cos f x x x =+下列命题正确的是（A ）函数()f x 最大值为2 （B ）函数()f x 的一条对称轴为4x π=（C ）函数()f x 的图象向左平移4π个单位后对应的函数是奇函数 （D ）函数产|()|y f x =的周期为2π5．如图给出的是计算1111 (3529)++++的值的一个程序框图，则图中执行框内①处和判断框中的②处应填的语句是（A ）2,15n n i =+= （B ）2,15n n i =+> （C ）1,15n n i =+= （D ）1,15n n i =+>6．两个平面α与β相交但不垂直，直线m 在平面α内，则在平面β内 （A ）一定存在直线与m 平行，也一定存在直线与m 垂直 （B ）一定存在直线与m 平行，但不一定存在直线与m 垂直 （C ）不一定存在直线与m 平行，但一定存在直线与m 垂直 （D ）不一定存在直线与m 平行，也不一定存在直线与m 垂直7．在2010年3月15日那天，哈市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其y是； 3.2y x a =-+，（参考公式：回归方程；,y bx a a y bx =+=-），则a =（ ） A ．-24 B ．35．6 C ．40．5 D ．408．已知等差数列{}n a 与等比数列{}n b ，满足33a b =，32420b b b -=．则{}n a 前5项的和5S 为 （A ）5（B ）20 （C ）10（D ）409．已知点(,)P x y 是直线40(0)kx y k ++=>上一动点，PA 、PB 是圆C ：2220x y y +-=的两条切线，A 、B 是切点，若四边形PA CB 的最小面积是2，则k 的值为（A（B ）2（C ） （D ）2 10．正方体ABCD 1111A B C D -中M ，N ，P 分别为11A B ，CD ，11B C 的中点，则下列中与直线AM 有关的正确命题是（A ）AM 与PC 是异面直线 （B ）AM PC ⊥（C ）AM //平面1BC N（D ）四边形AMC 1N 为正方形11．已知P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上一点，12,F F 为双曲线的左右焦点，且12120,cos PF PF PF F =∠则此双曲线离心率是（A （B ）5 （C ） （D ）312．已知定义在（0，+∞）上的函数()f x 为单调函数，且1()[()]1f x f f x x+=，则(1)f =（A ）1 （B （C （D第II 卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分第13题～第21题为必考题，每个试题学生都必须做答第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（本题共4个小题。
2024届东北三省四市教研联合体高考模拟(二)数学试题(解析版)
2024年东北三省四市教研联合体高考模拟（二）数学试卷（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上.2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}1,0,1,2,3A =-，{}2N 60B x x x =∈--<，则A B = （）A.{}1,2 B.{}0,1,2 C.{}1,0,1- D.{}1,0,1,2-【答案】B 【解析】【分析】本题解出一元二次不等式，再取解集范围内的自然数，从而求得B 集合的解集，再求其与集合A 的交集即可得出结果.【详解】{}{}{}2N 60N 230,1,2B x x x x x =∈--=∈-= ＜＜＜，又{}1,0,1,2,3A =-，{}0,1,2A B ∴⋂=.故选：B2.已知复数z 满足236i z z -=+，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解.【详解】设()i ,R z a b a b =+∈，则i z a b =-，因为236i z z -=+，所以()()2i i 36i a b a b --+=+，即3i 36i a b -=+，所以3,2a b ==-，所以z 在复平面内对应的点坐标为()3,2，位于第一象限.故选：A .3.已知角α的终边与单位圆的交点34,55P ⎛⎫-⎪⎝⎭，则πsin 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.45-B.35-C.35D.45【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知3cos 5α=，利用诱导公式运算求解.【详解】因为角α的终边与单位圆的交点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可知3cos 5α=，所以π3sin cos 25αα⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭.故选：B.4.根据分类变量x 与y 的成对样本数据，计算得2 2.826χ=，依据0.05α=的独立性检验，结论为（）参考值：α0.10.050.01x α2.7063.8416.635A.x 与y 不独立B.x 与y 不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05C.x 与y 独立D.x 与y 独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05【答案】C 【解析】【分析】利用独立性检验的基本思想即可得解.【详解】零假设0H 为：x 与y 独立，由2 2.826 3.841χ=<，依据0.05α=的独立性检验，可得0H 成立，故可以认为x 与y 独立.故选：C .5.函数()31f x x =+在=1x -处的切线方程为（）A.46y x =+B.26y x =-+C.33y x =--D.31y x =--【答案】D 【解析】【分析】当0x <时()31f x x =-+，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程.【详解】因为()31f x x =+，则()()31112f -=-+=，当0x <时()31f x x =-+，则()23f x x '=-，所以()()21313f '-=-⨯-=-，所以切点为()1,2-，切线的斜率为3-，所以切线方程为()231y x -=-+，即31y x =--.故选：D6.等差数列{}n a 中，12020a =，前n 项和为n S ，若101221210S S -=-，则2023a =（）A.2026-B.2024- C.2- D.3-【答案】B 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列求和公式得到()112n n d S a n -=+，由101221210S S -=-求出d ，即可得到通项公式，再由通项公式计算可得.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()112n n n dS na -=+，所以()112n n d S a n -=+，因为101221210S S -=-，即()()11121101222dd a a ⎡⎤--+-+=-⎢⎥⎣⎦，解得2d =-，所以()1122022n a a n d n =+-=-+，所以20232202320222024a =-⨯+=-.故选：B7.已知函数||12x y a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象经过原点，且无限接近直线2y =，但又不与该直线相交，则ab =（）A.1-B.2-C.4-D.9-【答案】C 【解析】【分析】由题意可得0a b +=且2b =，求出a ，即可求解.【详解】因为函数1()(2xy f x a b ==+图象过原点，所以01()02a b +=，得0a b +=，又该函数图象无限接近直线2y =，且不与该直线相交，所以2b =，则2a =-，所以4ab =-.故选：C8.已知正四棱锥P ABCD -的侧棱长为2，且二面角P AB C --，则它的外接球表面积为（）A.16π3 B.6πC.8πD.28π3【答案】A 【解析】【分析】设正方形ABCD 中心为O ，取AB 中点H ，连接PO 、PH 、OH ，由正四棱锥的性质可知PH AB ⊥，OH AB ⊥，PO ⊥平面ABCD ，则PHO ∠为二面角P AB C --的平面角，设正方形ABCD 的边长为()0a a >，利用锐角三角函数求出a ，即可求出PO ，AO ，再设球心为G ，则球心在直线PO 上，设球的半径为R ，利用勾股定理求出R ，最后再由球的表面积公式计算可得.【详解】设正方形ABCD 中心为O ，取AB 中点H ，连接PO 、PH 、OH ，则PH AB ⊥，OH AB ⊥，PO ⊥平面ABCD ，所以PHO ∠为二面角P AB C --的平面角，即tan POPHO OH∠==，设正方形ABCD 的边长为()0a a >，则62PO a =，又122AO AC ==，2PA =，所以222PO AO PA +=，即2262422a a ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得a =，则PO =，1AO =，设球心为G ，则球心在直线PO 上，设球的半径为R ，则)2221R R=+，解得233R =，所以外接球的表面积22164π4ππ33S R ⎛==⨯= ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是确定二面角的平面角，利用锐角三角函数求出底面边长与高，再由正四棱锥的性质确定球心在PO 上.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.四名同学各投掷骰子5次，分别记录骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可能出现点数6的是（）A.平均数为5，中位数为2B.众数为2，中位数为3C.平均数为2，方差为2.4D.平均数为3，方差为2.8【答案】BD 【解析】【分析】推出A 、C 数据矛盾，利用特例说明B 、D.【详解】对于A ，若平均数为5，则点数和为5525⨯=，又中位数为2，则从小到大排列的前3个数不能大于2，即和不超过6，后2个数的和最大为12，显然不满足条件，故不可能出现平均数为5且中位数为2的数据，故A 错误；对于B ，当掷骰子出现的结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点6，所以B 正确；对于C ，若平均数为2，且出现点数6，则方差221(62) 3.2 2.45s >-=>，所以当平均数为2，方差为2.4时，一定不会出现点数6，所以C 错误；对于D ，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为1(12336)35++++=，方差为2222221(13)(23)(33)(33)(63) 2.85s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦，所以可以出现点6，所以D 正确，故选：BD10.抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为4，过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，与抛物线C 分别交于点A ，B 和点M ，N ，则（）A.抛物线C 的准线方程是4x =-B.过抛物线C 的焦点的最短弦长为8C.若弦MN 的中点为()m,2，则直线MN 的方程为24y x =-D.四边形AMBN 面积的最小值为128【答案】BCD 【解析】【分析】首先表示出焦点坐标与准线方程，依题意求出p ，即可得到抛物线方程，从而判断A ，根据焦点弦的性质判断B ，利用点差法求出MN k ，即可判断C ，设直线AB 为()()20y k x k =-≠，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，由焦点弦公式表示出AB ，MN ，再由12AMBN S AB MN =及基本不等式计算面积最小值，即可判断D.【详解】抛物线()2:20C y px p =>焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2px =-，依题意可得4p =，则抛物线方程为28y x =，所以准线方程为2x =-，故A 错误；过抛物线C 的焦点且与x 轴垂直时弦长最短，最短弦长为28p =，故B 正确；设()11,M x y ，()22,N x y ，则2118y x =，2228y x =，所以()2212128y y x x -=-，即()()()1212128y y yy x x -+=-，又弦MN 的中点为(),2m ，所以124y y +=，所以12121282y y x x y y -==-+，即2MN k =，又弦MN 过焦点()2,0F ，所以弦MN 的方程为()22y x =-，即24y x =-，故C 正确；依题意直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 为()()20y k x k =-≠，由()228y k x y x⎧=-⎨=⎩，消去y 整理得()22224840k x k x k -++=，显然0∆>，所以2248A B k x x k ++=，所以22248848A B k AB x x p k k+=++=+=+，同理可得288MN k =+，所以()2222118188832222AMBN S AB MN k k k k ⎛⎫⎛⎫==++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭322128⎛≥+= ⎝，当且仅当221k k=，即1k =±时取等号，故D 正确.故选：BCD11.阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，截角四面体是阿基米德多面体其中的一种．如图所示，将棱长为3a 的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为a 的截角四面体，则下列说法中正确的是（）A.点E 到平面ABC 的距离为263a B.直线DE 与平面ABC 所成角的正切值为2C.该截角四面体的表面积为2D.该截角四面体存在内切球【答案】AC 【解析】【分析】如图，将该截角四面体补成正四面体P MNQ -.对于A ：由平面ABC ∥平面MNQ 可知点E 到平面ABC 的距离即为点S 到平面ABC 的距离，运算求解即可；对于B ：由DE ∥PN ，可知直线DE 与平面ABC 所成角即为PN 与平面MNQ 所成角PNS ∠，运算求解即可；对于C ：根据正三角的面积结合比例关系运算求解；对于D ：假设存在内切球根据对称性可知该球心为正四面体P MNQ -的中心O ，求点O 到平面ABC 的距离即可判断.【详解】如图，将该截角四面体补成正四面体P MNQ -，取底面MNQ 的中心S ，连接,PS NS ，可知PS ⊥平面MNQ ，则2sin 60QMNS ==︒，可得PS ==，对于选项A ：由题意可知：平面ABC ∥平面MNQ ，则点E 到平面ABC 的距离即为点S 到平面ABC 的距离233d PS a ==，故A 正确；对于选项B ：由题意可知：DE ∥PN ，则直线DE 与平面ABC 所成角即为PN 与平面MNQ 所成角PNS ∠，可得tan PSPNS SN∠==，所以直线DE 与平面ABC ，故B 错误；对于选项C ：由题意可知：2139399224MNQ QEF S S a a a ==⨯⨯⨯⨯=△△，则23332EFHILK MNQ QEF S S S =-=△△，所以该截角四面体的表面积为222333334424EFHILK QEF S S a a +=⨯+⨯=△，故C 正确；对于选项D ：若该截角四面体存在内切球，根据对称性可知该球心为正四面体P MNQ -的中心O ，可知OP ON OS ==-，因为222ON NS OS =+，即)2223OSa OS -=+，解得64OS a =，由选项A 可知：点S 到平面ABC 的距离22633d PS a ==，则点O 到平面ABC 的距离为12d OS a OS -=≠，所以该截角四面体不存在内切球，故D 错误；故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是将该截角四面体补成正四面体P MNQ -，结合正四面体的性质分析求解.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．12.已知向量()1,a m = ，(),6b n = ，若3b a = ，则a b ⋅= ______．【答案】15【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示求出m 和n ，再利用向量数量积的坐标表示求解即可.【详解】 3b a =，即()(),,633n m =，∴3n =，2m =，∴()1,2a =，()3,6b =r ，∴132615a b ⋅=⨯+⨯= .故答案为：15.13.以双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点A 为圆心的圆与x 轴恰好相切于双曲线的右焦点F ，且与y 轴交于B ，C 两点．若ABC 为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是______．【答案】2【解析】【分析】由题设可得2,b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭，根据圆A 与坐标轴的位置关系及ABC 为等腰直角三角形得到关于a 和c的齐次方程，即可求离心率.【详解】A 为双曲线上一点，不妨设A 在第一象限，(),0Fc ，A 与x 轴相切于双曲线的焦点F ，∴A 的横坐标为c ，将x c =代入22221x y a b -=得，22221c y a b -=，又222c a b =+，解得2b y a =±，∴2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴A 的半径r 为2b AF a =，点A 到y 轴的距离为AN c =,ABC 为等腰直角三角形，所以22cos 2AN c BAN b ABa∠===，所以2c =，即2c =所以210e -=，解得262e =， 1e >，∴2e =，即双曲线的离心率为262.故答案为：2+.14.已知函数()f x 满足：()1tan cos 2f x x=，则111(2)(3)(2024)232024f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．【答案】0【解析】【分析】借助三角恒等变换公式可得()1tan 0tan f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可得解.【详解】()2222221cos sin 1tan tan cos 2cos sin 1tan x x x f x x x x x++===--，则()222222221111tan 1tan tan 1tan tan 01tan 1tan 1tan tan 11tan x x x x f x f x x x x x ++++⎛⎫+=+== ⎪---⎝⎭-，则111(2)(3)(2024)232024f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()111232024232024f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦0000=+++=L .故答案为：0.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长均为2，M 是BC 的中点，N 是1AB 的中点，P 是11B C的中点．（1）证明：//MN 平面1A CP ；（2）求点P 到直线MN 的距离．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）建立如图空间直角坐标系A xyz -，设平面1A CP 的一个法向量为(,,)n x y z =，利用空间向量法证明0MN n ⋅= 即可；（2）利用空间向量法即可求解点线距.【小问1详解】由题意知，1AA ⊥平面ABC ，60BAC ︒∠=，而AB ⊂平面ABC ，所以1AA AB ⊥，在平面ABC 内过点A 作y 轴，使得AB ⊥y 轴，建立如图空间直角坐标系A xyz -，则11(0,0,0),(2,0,0),(0,0,2),(2,0,2)A B C A B，得33((1,0,1),(2222M N P ，所以11312),((,22AC A P MN =-==-- ，设平面1A CP 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则112033022n A C x z n A P x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，得1y z ==-，所以(1,1)n =- ，所以11()(1(1)022MN n ⋅=-⨯+-⨯+⨯-= ，又MN 不在平面1A CP 内即//MN 平面1A CP ；【小问2详解】如图，连接PM ，由（1）得(0,0,2)PM =- ，则2MN PM ⋅=-，2MN PM == ，所以点P 到直线MN的距离为d =16.近日，H 市流感频发，主要以1L 型流感为主，据疾控中心调查，全市患病率为5%．某单位为加强防治，通过验血筛查患1L 型流感的员工．已知该单位共有5000名员工，专家建议随机地按k （1k >且为5000的正因数）人一组分组，然后将各组k 个人的血样混合再化验．如果混管血样呈阴性，说明这k 个人全部阴性，其中每个人记作化验1k次；如果混管血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就要对该组每个人再分别化验一次．设每个人平均化验X 次．（1）若10k =，求和均值()E X ；（2）若按全市患病率估计，试比较4k =与5k =时哪一种情况下化验总次数更少.（参考数据：40.950.815≈，50.950.774≈，100.950.599≈）【答案】（1）分布列见解析，()0.501E X =（2）5k =时化验总次数更少【解析】【分析】（1）根据独立重复试验的概率计算公式、对立事件的概率计算公式求出X 的分布列即可；（2）根据独立重复试验的概率计算公式、对立事件的概率计算公式求出X 的分布列和均值()E X ，比较当4k =与5k =时()E X 的大小即可.【小问1详解】10k =，如果混管血样呈阴性，则110X =；如果混管血样呈阳性，则11111010X =+=，∴X 的所有可能取值为110，1110，1010.950.59910P X ⎛⎫==≈ ⎪⎝⎭，101110.950.40110P X ⎛⎫==-≈ ⎪⎝⎭，∴X 的分布列为X1101110P 0.5990.401()1110.5990.4010.5011010E X =⨯+⨯=；【小问2详解】如果混管血样呈阴性，则1X k =；如果混管血样呈阳性，则11X k =+，∴X 的所有可能取值为1k ，11k +，10.95k P X k ⎛⎫== ⎪⎝⎭，1110.95k P X k ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，∴X 的分布列为X1k 11k +P 0.95k 10.95k-()()1110.95110.9510.95k k k E X k k k ⎛⎫=⨯++⨯-=+- ⎪⎝⎭，当4k =时，()4110.950.4354E X =+-≈，当5k =时，()5110.950.4265E X =+-≈， 0.4260.435<，∴当5k =时化验总次数更少.17.某校为激发学生对冰雪运动的兴趣，丰富学生体育课活动项目，设计在操场的一块扇形区域内浇筑矩形冰场.如图，矩形内接于扇形，且矩形一边AB 落在扇形半径OP 上，该扇形半径50OP =米，圆心角π3POQ ∠=．矩形的一个顶点C 在扇形弧上运动，记POC α∠=.（1）当π4α=时，求OCD 的面积；（2）求当角α取何值时，矩形冰场面积最大？并求出这个最大面积．【答案】（1）(62533-（2）当π6α=时，矩形ABCD 的面积最大为【解析】【分析】（1）先在Rt OBC △中求出BC ，再在Rt OAD △中求出OD ，根据差角的正弦公式求出sin DOC ∠，利用面积公式求解即可.（2）在Rt OBC △中用α表示BC 和OB ，在Rt ADO △中求出OA ，则AB OB OA =-，将矩形的面积写成关于α的三角函数的形式，转化为三角函数求最值即可求解.【小问1详解】在Rt OBC △中，50OC =，π4BOC POC ∠=∠=，∴250sin 2BO BC OC C ⨯⋅∠===，∴AD =，在Rt OAD △中，sin AD DOA OD ∠=，即32522OD =，解得5063OD =， πππ3412DOC DOP POC ∠=∠-∠=-=，∴πππππππ62sin sin sin sin cos cos sin 123434344DOC -⎛⎫∠==-=-= ⎪⎝⎭，∴(62531150662sin 5022343OCD S OD OC DOC =⋅⋅⋅∠=⨯ ；【小问2详解】在Rt OBC △中，50sin BC α=，50cos OB α=，在Rt ADO △中，tan 3AD OA π==，所以OA AD α===，所以50cosAB OB OA αα=-=-，设矩形ABCD 的面积为S ，则S AB BC=⋅50cos 50sinααα⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭22500sin cosααα⎛⎫=- ⎪⎝⎭132500sin 2226αα⎛=+- ⎝⎭3π25003n(2)366α=+-⎥⎣⎦，由π03α<<，得ππ5π2666α<+<，所以当ππ262α+=，即π6α=时，max 33125032500363S ⎛=-= ⎝⎭，因此，当π6α=时，矩形ABCD 的面积，最大面积为125033.18.如图，圆I 的半径为4，圆心()1,0I -，G 是圆I 上任意一点，定点()1,0K ，线段GK 的垂直平分线和半径IG 相交于点H ，当点G 在圆上运动时，动点H 运动轨迹为Γ．（1）求点H 的轨迹Γ的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与轨迹Γ有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ，试探究：在x 轴上是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）22143x y Γ+=：（2）存在，且()1,0M 【解析】【分析】（1）借助垂直平分线的性质、圆的半径与椭圆定义即可得；（2）联立曲线，消去y ，借助Δ0=可得k 与m 的关系，借助k 与m 可表示点Q 坐标，结合圆上的点的性质可得0MP MQ ⋅= ，代入数据计算即可得.【小问1详解】连接HK ，由题意可得HG HK =，又4IG HI GH =+=，故4HI HK +=，即点H 到定点()1,0I -、()1,0K 的距离之和为4，即点H 的轨迹为以()1,0I -、()1,0K 为焦点，4为长轴长的椭圆，即有2a =，1c =，则b ==22143x y Γ+=：；【小问2详解】由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理，得()2224384120k x kmx m +++-=，因为直线l ：y kx m =+与椭圆Γ有且只有一个公共点P ，所以()()()222Δ84434120km k m =-+-=，即22430k m -+=，所以0m ≠，此时24443P km k x k m =-=-+，22443P k k m y k m m m m -+⎛⎫=-+== ⎪⎝⎭，所以43,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由4y kx m x =+⎧⎨=⎩，得()4,4Q k m +，假设存在定点()00,M x y ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ，则0MP MQ ⋅= ，又0043,k MP x y m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()004,4MQ x k m y =-+- ，所以()()000043440k MP MQ x x y k m y m m ⎛⎫⎛⎫⋅=---+-⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理，得()22000004314430k x m k y x y x m m ⎛⎫⋅-+---++-+= ⎪⎝⎭，所以0022000100430x y x y x -=⎧⎪=⎨⎪+-+=⎩，解得0010x y =⎧⎨=⎩，故存在定点()1,0M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M .【点睛】方法点睛：求解直线或曲线过定点问题的方法指导：（1）把直线或曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．（2）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式00()y y k x x -=-，则直线必过定点00(,)x y ；若得到了直线方程的斜截式y kx m =+，则直线必过定点(0,)m ．19.南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”．在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式．如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第1n +层球数是第n 层球数与1n +的和，设各层球数构成一个数列{}n a ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：当0x >时，()ln 11xx x+>+（3）若数列{}n b 满足2ln(2)2ln n n n b a n=-，对于*n ∈N ，证明：11232n n b b b b n +++++<⨯ ．【答案】（1）()12n n n a +=（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得1n n a a n --=()2n ≥，利用累加法计算可得；（2）设()()ln 11x f x x x=+-+()0,x ∈+∞，利用导数说明函数的单调性，即可得证；（3）由（2）令1x n =()*n ∈N 即可得到11ln 11n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭，从而得到()12n n b n <+⨯，再利用错位相减法计算可得.【小问1详解】根据题意，12341,3,6,10,a a a a ==== ，则有213212,3,,n n a a a a a a n --=-=-= ，当2n ≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ ()()()112212n n n n n +=+-+-+++=，又11a =也满足，所以()12n n n a +=.【小问2详解】设()()ln 11x f x x x=+-+，()0,x ∈+∞，则()()()22110111x f x x x x =-=>+++'，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，则()()00f x f >=，即()ln 101x x x+->+，即当0x >时，()ln 11x x x +>+.【小问3详解】由（2）可知当0x >时，()ln 11x x x +>+，令1x n =()*n ∈N ，则11ln 11n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭，所以()()()222222121ln(2)2ln ln 1ln 1ln 1ln n n n n n n n b n a n n n n n n n n ====<+⨯-+-+⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎣⎦+ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，所以()31122322324212n n b n b b b +++⨯⨯+⨯+++<++⨯ ，令()12322324212nn T n =⨯+⨯++++⨯⨯L ，则()2341222324212n n T n +=⨯+⨯+⨯+++⨯L ，所以()12312222212n n n T n +-=+++++-+⨯ ()()11212212212n n n n n ++-=+-+⨯=-⨯-，所以12n n T n +=⨯，所以11232n n b b b b n +++++<⨯ .【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是结合（2）的结论，令1x n =()*n ∈N 得到11ln 11n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭，从而得到()12n n b n <+⨯.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2010年东北三省四市第二次联合考试 (哈尔滨·长春·沈阳·大连教研室联合命题)数学(文史类)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第I 卷1—3页，第Ⅱ卷4—6页．共 150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区 域内．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写．字 体工整．笔迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草 稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、刮纸刀． 参考公式：一般地，假设有两个变量X 和Y ，它们的可能取值分别为12{,}x x 和扫12{,}y y ，其样本频数列联表为随机变量22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++第I 卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的)1．设集合A={1，2}，则满足{1,2,3}A B =U ，的集合B 的个数是 (A)1 (B)3 (C)4(D)82．若复数而312a ii++， (a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为 (A)-2 (B)6 (C)4(D)-63．已知向量m ，n 满足m=(2，0)，33(,22n =．∆ABC ，AB u u u r = 2m+2n, 2AC =u u u r 6m n -， D 为BC 边的中点，则||AD uuu r=(A)2 (B)4 (C)6(D)84．关于函数()sin cos f x x x =+下列命题正确的是 (A)函数()f x 最大值为2 (B)函数()f x 的一条对称轴为4x π=(C)函数()f x 的图象向左平移4π个单位后对应的函数是奇函数 (D)函数产|()|y f x =的周期为2π 5．如图给出的是计算1111 (3529)++++的值的一个程序框图，则图中执行框内 ①处和判断框中的②处应填的语句是 (A)2,15n n i =+= (B)2,15n n i =+> (C)1,15n n i =+= (D)1,15n n i =+>6．两个平面α与β相交但不垂直，直线m 在平面α内，则在平面β内 (A)一定存在直线与m 平行，也一定存在直线与m 垂直 (B)一定存在直线与m 平行，但不一定存在直线与m 垂直 (C)不一定存在直线与m 平行，但一定存在直线与m 垂直 (D)不一定存在直线与m 平行，也不一定存在直线与m 垂直7．在2010年3月15日那天，哈市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是；$ 3.2y x a =-+，(参考公式：回归方程；$,y bx a a y bx =+=-)，则a =(A)-24 (B)35．6 (C)40．5(D)408．已知等差数列{}n a 与等比数列{}n b ，满足33a b =，32420b b b -=．则{}n a 前5项的和5S 为(A)5 (B)20(C)10(D)409．已知点(,)P x y 是直线40(0)kx y k ++=>上一动点，PA 、PB 是圆C ：2220x y y +-=的两条切线，A 、B 是切点，若四边形PA CB 的最小面积是2，则k 的值为 2(B)2122(D)210．正方体ABCD 1111A B C D -中M ，N ，P 分别为11A B ，CD ，11B C 的中点，则下列中与直线AM 有关的正确命题是 (A)AM 与PC 是异面直线 (B)AM PC ⊥(C)AM //平面1BC N(D)四边形AMC 1N 为正方形11．已知P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>左支上一点，12,F F 为双曲线的左右焦点，且121250,cos 5PF PF PF F =∠u u u r u u u u r g 则此双曲线离心率是5(B)5 5(D)312．已知定义在(0，+∞)上的函数()f x 为单调函数，且1()[()]1f x f f x x+=g ，则(1)f =（A ）1 （B 15+15-（C ）152+ （D ）152第II 卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分第13题～第21题为必考题，每个试题学生都必须做答 第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本题共4个小题。
每小题5分，共20分，将答案填在答题卡的相应位置)13．设函数32()2310f x x x x =+++在1x ，2x 处取得极值，则2212x x +=14．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起形 成三棱锥C-ABD 的主视图与俯视图如图所示，则 左视图的面积为 ．15．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它们有一定的规律性第30个三角数与第28个三角数的差为 ．16．甲乙两人约定某天在7：00～8：00之间到达约定地点，假定每人在这段时间内随机到达，先到的等20分钟后便可以离开，则两人能会面的概率为 ．三、解答题(本题共6小题，总分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)已知函数，2()cos ()1(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=++>><<的最大值为3，()f x 的图像的相邻两对称轴间的距离为2，在y 轴上的截距为2． (I)求函数()f x 的解析式； (Ⅱ)求()f x 的单调递增区间．18．(本题满分12分)如图，在三棱锥S -ABC 中，22SA AB AC BC SB SC =====，O 为BC 的中点．(I)线段SB 的中点为E ，求证：平面AOE ⊥平面SAB ； (II)若SB=3，求三棱锥S-ABC 的体积．19．(本题满分12分)为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下丢失数据的列联表：药物效果试验列联表工作人员曾用分层抽样的方法从50只服用药的动物中抽查10个 进行重点跟踪试验．知道其中患病的有2只． (I)求出列联表中数据x ，y ，M ，N 的值；(11)画出列联表的等高条形图，并通过条形图判断药物是否有效； (11I)能够以97．5％的把握认为药物有效吗?参考数据：20．(本题满分12分)如图，S(1，1)是抛物线为22(0)y px p =>上的一点，弦SC ，SD 分别交x 小轴于A ，B 两点，且SA=SB 。
(I)求证：直线CD 的斜率为定值；(Ⅱ)延长DC 交x 轴于点E ，若13EC ED =u u u r u u u r，求cos CSD ∠的值．21．(本题满分12分) 已知函数ln (),()xf x kxg x x=(I)若不等式 ()()f x g x ≥在区间(0，+∞)上恒成立，求k 的取值范围； (Ⅱ)求证：444ln 2ln 3ln 1...232n n e++<请考生在第22，23，24三题中任选一道题做答，并在答题卡相应住置上涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分 22．(本题满分10分) 4—1(几何证明选讲)如图，∆ABC 是直角三角形，∠ABC=90o．以AB 为直径的圆O 交AC 于点E 点D 是BC 边的中点，连OD 交圆O 于点M (I)求证：O ，B ，D ，E 四点共圆； (II)求证：22DE DM AC DM AB =+g g23．(本题满分lO 分) 4—4(坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极方程为sin()42πρθ+=．圆O的参数方程为cos sin x r y r θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，（θ为参数，0r >） (I)求圆心的极坐标；(Ⅱ)当r 为何值时，圆O 上的点到直线Z 的最大距离为3．24．(本题满分10分) 4—5(不等式证明)设对于任意实数x ，不等式|7||1|x x ++-≥m 恒成立． (I)求m 的取值范围；(Ⅱ)当m 取最大值时，解关于x 的不等式：|3|2212x x m --≤-．2010年四市联考（文科答案）一、1-5 C D A B B 6-10 C D C D C 11-12 AB二、13．934 14. 41 15.59 16. 95 三、17.解：（Ⅰ）()()2122cos 2Ax A x f +++=ϕωΘ ------- 1分依题意2A ,3212=∴=++AA -------2分 又 4T , 22==得T 4422πωωπ==∴ ------3分()222cos +⎪⎭⎫⎝⎛+=∴ϕπx x f令 x=0,得 22 20, 222cos πϕπϕϕ=∴<<=+又 -------4分所以函数()x f 的解析式为x x f 2sin 2)(π-= ------6分（还有其它的正确形式，如：2)22cos()(,1)44(cos 2)(2++=++=ππππx x f x x f 等）（Ⅱ）当322222k x k πππππ+<<+，k Z ∈时()f x 单调递增 ------8分即4143k x k +<<+，k Z ∈ ----10分 ∴()f x 的增区间是(41,43),k k k Z ++∈ ------12分 （注意其它正确形式，如：区间左右两端取闭区间等）18．解：（1） SC SB BC 22==Θ ，SC SB ⊥∴ -------- 1分又OB CO EB SE ==, ，OE ∴//SC-------- 2分OE SB ⊥∴ ----- 3分又AE SB SA AB ⊥∴=, ----- 4分 且有E OE AE =⋂AOE SB 平面⊥∴ ------ 5分而SAB SB 平面⊂∴AOE SAB 平面平面⊥∴ ------ 6分（2）连接 SO ，显然BC SO ⊥∴又 SB SA SB AO SB SO 2,26,22===222SA OA SO =+∴ ，OA SO ⊥∴ ----- 7分又 O OA BC =⋂∴ ， ABC SO 平面⊥∴ ---- 8分SO S V ABC ABC S ⨯=Λ-31---- 9分23322362121=⨯⨯=⨯⨯=ΛAO BC S ABC --- 10分 26=∴SO ------ 11分423262333131=⨯⨯=⨯=Λ-SO S V ABC ABC S ---- 12分 19．解：（1） 由题意有 50102=∴x ------- 1分10=∴x -------- 2分40=∴y -------- 3分70,30==∴N M -------4分（2）画出列联表的等高条形图 ------6分 由列联表的等高条形图可以初步判断药物有效 ---8分（3）76.450507030)300800(10022≈⨯⨯⨯-=K Θ ------10分 由参考数据知不能够以97.5%的把握认为药物有效。