八年级数学全等三角形3

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2022年人教版八年级上册数学第十二章全等三角形第2节第3课时判定三角形全等ASA,AAS)

基基础础巩巩固固
能力提升
核心素养
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第3课时利用两角一边判定三角形全等(ASA,AAS)
8.如图,课间小明拿着老师的等腰三角板玩,不小心掉到两张凳子之间(凳子与地面垂直).已知DC＝a,CE＝b,则两张凳子的高度之和为 a＋b .
基基础础巩巩固固
能力提升
核心素养
-11-
第3课时利用两角一边判定三角形全等(ASA,AAS)
∴△ABC≌△DCB(ASA),∴AB＝DC.
基基础础巩巩固固
能力提升
核心素养
-5-
第3课时利用两角一边判定三角形全等(ASA,AAS)
知识点2 三角形全等的判定方法(AAS) 4.如图,在△ABC中,∠C＝90°,D是AB上的一点,DM⊥AB,且DM ＝AC,过点M作ME∥BC交AB于点E,则△ACB≌△MDE , 判定依据是 AAS(答案不唯一) .(用字母表示)
-8-
第3课时利用两角一边判定三角形全等(ASA,AAS)
解:∵AB∥DE,∴∠ABC＝∠DEF.
∠ABC＝∠DEF, 在△ABC 和△DEF 中, ∠A＝∠D,
AC＝DF,
∴△ABC≌△DEF(AAS),
∴BC＝EF,∴EC＝BF＝3 m,
∴FC＝10－3－3＝4(m).
基基础础巩巩固固
能力提升
第3课时利用两角一边判定三角形全等(ASA,AAS)
第3课时利用两角一边判定三角形全等(ASA,AAS)
限时:15分钟
知识点1 三角形全等的判定方法(ASA)
1.如图,已知∠1＝∠2,则不一定能使△ABC≌△ABD的条件
是( B )
A.AC＝AD
B.BC＝BDC.∠C＝∠来自 D.∠3＝∠4第1题图

八年级数学三角形与全等三角形知识点大全

八年级数学三角形知识点归纳一、与三角形有关的线段1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形2、等边三角形：三边都相等的三角形3、等腰三角形：有两条边相等的三角形4、不等边三角形：三边都不相等的三角形5、在等腰三角形中，相等的两边都叫腰，另一边叫底，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角6、三角形分类：不等边三角形等腰三角形：底边与腰不等的等腰三角形等边三角形7、三角形两边之与大于第三边，两边之差小于第三边注：1）在实际运用中，只需检验最短的两边之与大于第三边，则可说明能组成三角形2）在实际运用中，已经两边，则第三边的取值范围为：两边之差<第三边<两边之与3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，注意检查每个答案能否组成三角形8、三角形的高：从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高9、三角形的中线：连接△ABC的顶点A与它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线注：两个三角形周长之差为x，则存在两种可能：即可能是第一个△周长大，也有可能是第一个△周长小10、三角形的角平分线：画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线11、三角形的稳定性，四边形没有稳定性二、与三角形有关的角1、三角形内角与定理：三角形三个内角的与等于180度。

证明方法：利用平行线性质2、三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角3、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的与4、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角5、三角形的外角与为360度6、等腰三角形两个底角相等三、多边形及其内角与1、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形2、N边形：如果一个多边形由N条线段组成，那么这个多边形就叫做N边形。

3、内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角4、外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角5、对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线6、正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形7、多边形的内角与：n边形内角与等于（n-2）*1808、多边形的外角与：360度注：有些题，利用外角与，能提升解题速度9、从n边形的一个顶点出发，可以引n-3条对角线，它们将n 边形分成n-2个△注：探索题型中，一定要注意是否是从N边形顶点出发，不要盲目背诵答案10、从n边形的一个顶点出发，可以引n-3条对角线，n边形共有对角线23)-n(n条。

人教版八年级数学上册第十二章全等三角形证明方法归纳及典型例题

全等三角形的证明全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．专题1、常见辅助线的做法典型例题找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。

全等三角形的性质(3个考点八大题型)(原卷版)-2024-2025学年八年级数学上册(苏科版)

全等三角形的性质（3个考点八大题型）【题型01：全等图形的概念】【题型02：全等三角形的对应元素的判断】【题型03：全等三角形的性质-求长度】【题型04：全等三角形的性质-求角度】【题型05：全等三角形的性质-判断结论】【题型06：全等三角形的性质-探究线段和角度之间的关系】【题型07：全等三角形的性质-动点问题】【题型08：全等三角形的性质-证明题】【题型01：全等图形的概念】1．下列各组图形中，是全等图形的是（）A．B．C．D．2．下列各组图形中，属于全等图形的是（）A．B．C．D．3．下列叙述中错误的是（）A．能够完全重合的两个图形称为全等图形B．全等图形的形状和大小都相同C．所有正方形都是全等图形D．平移、翻折、旋转前后的图形全等4．下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（）A．B．C．D．【题型02：全等三角形的对应元素的判断】5.（2022秋•荆州月考）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，若∠B＝90°，∠C＝60°，∠D′＝105°，则∠A′＝ °．6.（2022春•南阳期末）如图，四边形ABCD≌四边形A'B′C'D'，若∠A＝110°，∠C＝60°，∠D′＝105°，则∠B＝．7.如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′全等，则∠A′= ，∠A= ，B′C′= ，AD= ．8.如图，△ABC 中，点A（0，1），点C（4，3），如果要使△ABD 与△ABC 全等，那么符合条件的点 D 的坐标为 .【题型03：全等三角形的性质-求长度】9．如图，A,B,C三点共线，D,E,B三点共线，且△ABD≌△EBC,AB=5,BC=12，则DE长为（）A．5B．6C．7D．810．如图，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，若测得∠A=∠D=90°，AB=3，DG=1，AG=2，则梯形CFDG的面积是（）A．5B．6C．7D．811．如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，DE=3，BD=10，则AB等于（）A．5B．6C．7D．812．如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE=6，AC=8，则BD长（）A．12B．14C．16D．1813．如图，△ABC≌△DEF，BC=7，则EF的长为（）A．7B．5C．3D．214．如图，△ABC≌△DEC，点E在AB上，AC与DE相交于点F,BC=6,BE=3．则△EBC的周长为（）A．15B．16C．17D．1215．如图所示，△ABC≌△DEF,AD=8,AE=2，则AB的长是（）A．10B．8C．6D．416．如图，已知△AEC≌△ADB，若AB=5，AD=3，则BE的长为（）A．5B．4C．3D．2【题型04：全等三角形的性质-求角度】17．已知下图中的两个三角形全等，则∠α等于（）A．72°B．58°C．60°D．50°18．如图，△ABC≌△ADE，∠B=30°，∠E=115°，则∠BAC的度数是（）A．35°B．30°C．45°D．25°19．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，BE与CD相交于点N．若△ABE≌△ACD，且∠A=65°，∠C=25°，则∠AEB的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．105°20．如图，△ABC≌△A′B′C，若∠B=25°,∠A=70°,∠A′CB=45°，则∠B′CB的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．40°21．如图，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应点，若∠D=79°，∠CAB=41°，则∠DBC的度数为（）A．19°B．20°C．41°D．60°22．如图，AB⊥CD，△ABC≌△ADE，∠C=53°，则∠D=（）A．47°B．35°C．37°D．53°23．如下图，已知△ABC≌△DBE，点D恰好在AC的延长线上，∠DBE=20°，∠BDE=41°．则∠BCD的度数是（）A．60°B．62°C．61°D．63°24．如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1=56°，则∠BAE的度数为（）A．34°B．56°C．62°D．68°25．如图，△ABC≌△DBE，∠ABC=80∘，∠E=35∘，则∠D的度数为（）A．80∘B．35∘C．65∘D．115∘【题型05：全等三角形的性质-判断结论】26．如图，△ABD≌△EBC，AB=12，BC=5，A、B、C三点共线，则下列结论中：①CD⊥AE；②AD⊥CE；③ED=8；④∠EAD=∠ECD；正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个27．如图，△ABC≌△CDA，AB与CD，BC与DA是对应边，则下列结论错误的是（）A．∠BAC=∠DCA B．AB∥DCC．∠BCA=∠DCA D．BC∥DA28．如图，已知△ABC≌△AED，则下列边或角的关系正确的是（）A．∠C=∠D B．∠CAB=∠AED C．AC=ED D．BC=AE29．如图，已知△OAB≌△OA1B1，AB与A1O交于点C，AB与A1B1交于点D，则下列说法错误的是（）A．∠A=∠A1B．AO=COC．OB=OB1D．∠AOC=∠A1DC30．如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（）．A．△ABD和△CDB的面积相等B．△ABD和△CDB的周长相等C．∠ABD=∠CBD D．AD∥BC，且AD=CB31．如图，若△ABC≌△DCB，则下列结论错误的是（）A．∠A=∠D=90°B．S△ABC=S△DCBC．CD∥AB D．AC=DB【题型06：全等三角形的性质-探究线段和角度之间的关系】32．如图所示，已知AD⊥BC于点D，△ABD≌△CFD．(1)若BC=10，AD=7，求BD的长．(2)试判断AB和CF的关系，并说明理由33．已知：如图所示，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，在AB 上有一点M，且CM=CD．(1)若AF=12，DF=4，求AM的长．(2)试说明∠CDA与∠CMA的关系．34．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF．(1)求证：AD平分∠BAC；(2)直接写出AB，AC，AE之间的等量关系．35．△ABC在中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN 于点E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，猜想线段DE、AD与BE有怎样的数量关系？请写出这个关系，并加以证明；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD―BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系不必证明.36．阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在△ABC中，AB=7，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．(1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：①延长AD到Q使得DQ=AD；②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；③利用三角形的三边关系可得4<AQ<10，则AD的取值范围是___________．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．(2)请写出图1中AC与BQ的位置关系并证明；(3)思考：已知，如图2，AD是△ABC的中线，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠FAC=90°，试探究线段AD与EF的数量和位置关系，并加以证明．37．（1）如图1，△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2=__________；（2）如图2，在△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成为四边形，则∠1+∠2=__________；（3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳∠1+∠2与∠A的关系是______________；（4）若没有剪去∠A，而是将∠A折成如图3的形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并说明理由．【题型07：全等三角形的性质-动点问题】38．如图，在△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．如果点P 在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以a厘米/秒的速度由C点向A点运动．当△BPD与△CQP全等时，a的值为（）A．3B．4C．4或6D．2或339．如图，∠A=∠B=90°，AB=60，E、F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为3:7，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为（）A．18B．70C．88或62D．18或7040．如图，在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B﹣C﹣A向终点A运动，点P，Q都运动到各自的终点时停止．设运动时间为t（秒），直线l经过点C，且l∥AB，过点P，Q分别作直线l的垂线段，垂足为E，F．当△CPE与△CQF全等时，t的值不可能是（）A．2B．2.8C．3D．641．如图，AB=12m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，当P、Q两点同时出发t分钟后△CAP全等于△PBQ，则此时t的值是（）A．4B．6C．8D．1042．《姑苏繁华图》是清代苏州籍宫廷画家徐扬的作品，全长1241cm，如图，AB=12cm，∠A=∠B=60°，AC=BD=9cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上以x(cm/s)的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为t(s)，当△ACP 与△BPQ全等时，x的值是（）A．2B．1或1.5C．2或1.5D．2或343．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点M，N分别在AC的垂线AX与线段AC上移动，MN=AB，AC=12cm，BC=6cm，若△ABC和以点M、N、A为顶点的三角形全等，则AN 的值为（）A．12cm B．12cm或6cm C．11cm或7cm D．6cm【题型08：全等三角形的性质-证明题】44．如图，△ABD≌△CFD，且点B，D，C在一条直线上，点F在AD上，延长CF交AB于点E．(1)试说明：CE⊥AB．(2)若BD=3，AF=1，求BC的长．45．如图所示，△ABC≌△ADE，若∠BAD=100°，∠CAE=40°，求∠BAC的度数．46．如图，点D，A，E在同一条直线上，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E，且△ABD≌△CAE，AD=2cm，BD=4cm．求：(1)DE的长；(2)∠BAC的度数．47．如图，A，E，C三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．(1)求证：DE=CE+BC；(2)猜想：当△ADE满足什么条件时DE∥BC？并证明你的猜想．48．如图所示，已知AD⊥BC于点D，△ABD≌△CFD．(1)若BC=10，AD=7，求BD的长；(2)求证：CE⊥AB．49．如图，已知△ABF≌△CDE．(1)若∠B=45°，∠DCF=25°，求∠EFC的度数；(2)若BD=10，EF=5，求BF的长．。

人教版八年级数学上册作业课件第十二章全等三角形专题课堂(三) 三角形全等中辅助线的常见类型

∵∠D＝60°，∠A＝∠C＝90°，∴∠ABC＝360°－60°－90°×2＝120°. ∵∠EBF＝60°，∴∠ABE＋∠CBF＝∠ABC－∠EBF＝120°－60°＝60°， ∴∠MBF＝∠MBC＋∠CBF＝∠ABE＋∠CBF＝60°，∴∠MBF＝∠EBF.在
△BMF 和△BEF 中，B∠MM＝BFB＝E，∠EBF， ∴△BMF≌△BEF，∴MF＝EF， BF＝BF，
3．如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE＝2AM.
解：延长AM至N，使MN＝AM，连接BN，∵点M为BC的中点，∴BM＝ CM.又∵∠BMN＝∠CMA，∴△AMC≌△NMB(SAS)，∴AC＝BN，∠C＝ ∠ NBM ， ∠ ABN ＝ ∠ ABC ＋ ∠ NBM ＝ ∠ ABC ＋ ∠ C ＝ 180° － ∠ BAC ＝ ∠ EAD.∵AC ＝ AD ， ∴ BN ＝ AD ，又 AB ＝ EA ， ∴ △ ABN≌△EAD(SAS) ， ∴DE＝NA，又∵AM＝MN，∴DE＝2AM
(2)结论还成立．理由同(1)
9．如图，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F 分别是边 BC，CD 上的点，且∠EAF＝12 ∠BAD，求证：EF＝BE＋FD.
解：将△ADF 顺时针旋转得到△ABG，使得 AD 与 AB 重合，则△ADF ≌△ABG，∴∠FAG＝∠BAD，AF＝AG，FD＝GB，∠ABG＝∠D，∵∠ ABE＋∠D＝180°，∴∠ABG＋∠ABE＝180°，即 G，B，E 共线．∵∠
∵MF图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为BC的中点， CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.求证：∠ADC＝∠BDF.
解：过点B作BG∥AC，交CF的延长线于点G，∴∠G＝∠ACE.∠CBG＝ ∠ ACB ＝ 90° ， ∵ AC⊥BC ， CE⊥AD ， ∴ ∠ ACE ＋ ∠ DCE ＝ ∠ ADC ＋ ∠DCE＝90°，∴∠ACE＝∠ADC，∴∠G＝∠ADC.又∵AC＝CB，∠ACD ＝∠CBG＝90°，∴△ADC≌△CGB(AAS)，∴BG＝CD＝BD.在等腰直角 △ ABC 中， ∠ CAB ＝ ∠ ABC ＝ 45° ， ∵ BG∥AC ， ∴ ∠ GBF ＝ ∠ CAB ， ∴ ∠ GBF ＝ ∠ DBF ，又 ∵ BF ＝ BF ， BG ＝ BD ， ∴ △ GBF≌△DBF(SAS) ， ∴∠G＝∠BDF，∴∠ADC＝∠BDF

八年级数学上册 12.2 三角形全等的判定(第3课时)课件 (新版)新人教版

例1. 已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C. 求证：BD=CE .
第十三页，共25页。
例题(lìtí)讲解：
例1.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交 (xiāngjiāo)于
点O，AB=AC，∠B=∠C.
求证：BD=CE.
A
证明：在△ADC和△AEB中
第十页，共25页。
(liànxí
练已知：如图，AB=A＇C，∠A=∠A ＇，∠B=∠C
1
习求证(qiúzhèng)：△ABE≌ △A ＇CD
证明：在______和_______中
________ （
）
________ （
）
________ （
）
∴△____≌△_____（）
第十一页，共25页。
∠ABC=180°－∠4
练习
而∠3=∠4（已知）
1
3
∴∠ABD=∠ABC
A2
B4
在△ABD和△ABC中
∠1=∠2（已知）
C
AB=AB （公共边）
∠ABD=∠ABC （已证）
∴△ABD ≌ △ABC（ASA ）
∴AC=AD
（全等三角形对应边相等）
第十六页，共25页。
2.已知，如图，∠1=∠2，∠C=∠D
∴ ∠ABD=∠ABC 在△ABD和△ABC中
1
A2
B
∠1=∠2 （已知）
AB=AB（公共边）
C
∠ABD=∠ABC（已证）
∴△ABD≌△ABC （ASA）
∴AC=AD （全等三角形对应边相等）
第十八页，共25页。
六、评价(píngjià)

三角形全等的判定(6种题型)-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(浙教版)(解析版)

三角形全等的判定（6种题型）【知识梳理】一、全等三角形判定——“边边边”全等三角形判定——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .二、全等三角形判定——“边角边”1. 全等三角形判定——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.三、垂直平分线：1.定义：垂直于一条线段,并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,简称中垂线.2.性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等四、全等三角形判定——“角边角”全等三角形判定——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .五、全等三角形判定——“角角边” 1.全等三角形判定——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果BC ，那么∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，又∠A ＝∠A ，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.六、角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等.【考点剖析】题型一、全等三角形的判定——“边边边”例1、已知：如图，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分∠PRQ ．【思路点拨】由中点的定义得PM ＝QM ，RM 为公共边，则可由SSS 定理证明全等.【答案与解析】证明：∵M 为PQ 的中点（已知），∴PM ＝QM在△RPM 和△RQM 中，()(),,RP RQ PM QM RM RM ⎧=⎪=⎨⎪=⎩已知公共边 ∴△RPM ≌△RQM （SSS ）．∴ ∠PRM ＝∠QRM （全等三角形对应角相等）．即RM 平分∠PRQ.【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到，如：公共边、公共角、对顶角等条件隐含在题目或图形之中. 用全等三角形的性质和判定.【变式】已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：∠CAD ＝∠DBC.【答案】证明：连接DC ，在△ACD 与△BDC 中()AD BC AC BDCD DC ⎧=⎪=⎨⎪=⎩公共边 ∴△ACD≌△BDC（SSS ）∴∠CAD ＝∠DBC （全等三角形对应角相等）【变式2】、如图，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，求证：∠BAD ＝∠CAE.【答案与解析】证明：在△ABD 和△ACE 中，AB AC AD AE BD CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACE （SSS ）∴∠BAD ＝∠CAE （全等三角形对应角相等）.【总结升华】把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的判定和性质. 要证∠BAD ＝∠CAE ，先找出这两个角所在的三角形分别是△BDA 和△CAE ，然后证这两个三角形全等.题型二、全等三角形的判定——“边角边”例2、已知：如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2．求证：BC ＝DE ．【思路点拨】由条件AB ＝AD ，AC ＝AE ，需要找夹角∠BAC 与∠DAE ，夹角可由等量代换证得相等.【答案与解析】证明： ∵∠1＝∠2∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠DAE在△ABC 和△ADE 中AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADE （SAS ）∴BC ＝DE （全等三角形对应边相等）【总结升华】证明角等的方法之一：利用等式的性质，等量加等量，还是等量.【变式】如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD ＝90°），连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论．【答案】AE ＝CD ，并且AE ⊥CD证明：延长AE 交CD 于F ，∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形∴AB ＝BC ，BD ＝BE在△ABE 和△CBD 中90AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CBD （SAS ）∴AE ＝CD ，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC ＝90°∴AE ⊥CD例3、如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD ．【思路点拨】延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ．通过证全等将AB 转化到△CEA 中，同时也构造出了2AD ．利用三角形两边之和大于第三边解决问题.【答案与解析】证明：如图，延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ．在△ABD 和△ECD 中，AD DE ADB EDC BD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝．∴△ABD ≌△ECD （SAS ）．∴AB ＝CE ．∵AC ＋CE ＞AE ，∴AC ＋AB ＞AE ＝2AD ．即AC ＋AB ＞．【总结升华】证明边的大小关系主要有两个思路：（1）两点之间线段最短；（2）三角形的两边之和大于第三边．要证明AB ＋AC ＞2AD ，如果归到一个三角形中，边的大小关系就是显然的，因此需要转移线段，构造全等三角形是转化线段的重要手段．可利用旋转变换，把△ABD 绕点D 逆时针旋转180°得到△CED ，也就把AB 转化到△CEA 中，同时也构造出了2AD ．若题目中有中线，倍长中线，利用旋转变换构造全等三角形是一种重要方法．例4、已知，如图：在△ABC 中，∠B ＝2∠C ，AD ⊥BC ，求证：AB ＝CD －BD ．【思路点拨】在DC 上取一点E ，使BD ＝DE ，则△ABD ≌△AED ，所以AB ＝AE ，只要再证出EC ＝AE 即可．【答案与解析】证明：在DC 上取一点E ，使BD ＝DE∵ AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠ADE在△ABD 和△AED 中，BD DE ADB=ADE AD AD ⎧⎪⎨⎪⎩＝∠∠＝∴△ABD ≌△AED （SAS ）．∴AB ＝AE ，∠B ＝∠AED ．又∵∠B ＝2∠C ＝∠AED ＝∠C ＋∠EAC ．∴∠C ＝∠EAC ．∴AE ＝EC ．∴AB ＝AE ＝EC ＝CD —DE ＝CD —BD ．【总结升华】此题采用截长或补短方法.上升到解题思想，就是利用翻折变换，构造的全等三角形，把条件集中在基本图形里面，从而使问题加以解决．如图，要证明AB ＝CD －BD ，把CD －BD 转化为一条线段，可利用翻折变换，把△ABD 沿AD 翻折，使线段BD 运动到DC 上，从而构造出CD －BD ，并且也把∠B 转化为∠AEB ，从而拉近了与∠C 的关系.【变式】已知，如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，并且AE ＝12（AB ＋AD ），求证：∠B ＋∠D ＝180°. AE D CB【答案】证明：在线段AE 上，截取EF ＝EB ，连接FC ，∵CE ⊥AB ，∴∠CEB ＝∠CEF ＝90°在△CBE 和△CFE 中，CEB CEF EC =EC EB EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△CBE 和△CFE （SAS ）∴∠B ＝∠CFE∵AE ＝12（AB ＋AD ），∴2AE ＝ AB ＋AD ∴AD ＝2AE －AB∵AE ＝AF ＋EF ，∴AD ＝2（AF ＋EF ）－AB ＝2AF ＋2EF －AB ＝AF ＋AF ＋EF ＋EB －AB ＝AF ＋AB －AB ，即AD ＝AF在△AFC 和△ADC 中(AF AD FAC DAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩角平分线定义）∴△AFC ≌△ADC （SAS ）∴∠AFC ＝∠D∵∠AFC ＋∠CFE ＝180°，∠B ＝∠CFE.∴∠AFC ＋∠B ＝180°，∠B ＋∠D ＝180°.题型三、全等三角形的判定——“角边角”例5、已知：如图，E ，F 在AC 上，AD ∥CB 且AD ＝CB ，∠D ＝∠B ．求证：AE ＝CF ．【答案与解析】证明：∵AD ∥CB∴∠A ＝∠C在△ADF 与△CBE 中A C AD CB D B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF ≌△CBE （ASA ）∴AF ＝CE ，AF ＋EF ＝CE ＋EF故得：AE ＝CF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．【变式】（2022•长安区一模）已知：点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB ∥DE ，AC ∥DF ，BE ＝CF ．求证：△ABC ≌△DEF ．【分析】先利用平行线的性质得到∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，再证明BC＝EF，然后根据“ASA”可判断△ABC≌△DEF．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，{∠B=∠DEF BC=EF∠ACB=∠F，∴△ABC≌△DEF（ASA）．5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．例6、如图，G是线段AB上一点，AC和DG相交于点E.请先作出∠ABC的平分线BF，交AC于点F；然后证明：当AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝2∠ADG时，DE＝BF.【思路点拨】通过已知条件证明∠DAC＝∠C，∠CBF＝∠ADG，则可证△DAE≌△BCF【答案与解析】证明：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C∵BF平分∠ABC∴∠ABC＝2∠CBF∵∠ABC＝2∠ADG∴∠CBF＝∠ADG在△DAE 与△BCF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠C DAC BCAD CBF ADG ∴△DAE≌△BCF（ASA ）∴DE＝BF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．【变式】已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM.【答案】证明：∵MQ 和NR 是△MPN 的高，∴∠MQN ＝∠MRN ＝90°，又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4∴∠1＝∠2在△MPQ 和△NHQ 中，12MQ NQ MQP NQH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MPQ ≌△NHQ （ASA ）∴PM ＝HN题型四、全等三角形的判定——“角角边”例7.（2021秋•苏州期末）如图，在四边形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠ACD ，∠CED +∠B ＝180°．求证：△ADE ≌△CAB ．【分析】由等角对等边可得AC＝AD，再由平行线的性质可得∠DAE＝∠ACB，由∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，得∠AED＝∠B，从而利用AAS可判定△ADE≌△CAB．【解答】证明：∵∠ADC＝∠ACD，∴AD＝AC，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ACB，∵∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，∴∠AED＝∠B，在△ADE与△CAB中，{∠DAE=∠ACB ∠AED=∠BAD=AC，∴△ADE≌△CAB（AAS）．【点评】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是由已知条件得出相应的角或边的关系．例8、已知：如图，AB⊥AE，AD⊥，∠E＝∠B，DE＝CB．求证：AD＝AC．【思路点拨】要证AC＝AD，就是证含有这两个线段的三角形△BAC≌△EAD.【答案与解析】证明：∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠CAD＝∠BAE＝90°∴∠CAD＋∠DAB＝∠BAE＋∠DAB ，即∠BAC＝∠EAD在△BAC和△EAD中BAC EAD B E CB=DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△BAC ≌△EAD （AAS ）∴AC ＝AD【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．题型五：线段的垂直平分线例9．（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图所示，在ABC 中，8AC =，5BC =，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BCE 的周长为（）A ．13B ．18C ．10.5D ．21【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AE BE =，再将BCE 的周长转化为AC BC +的长，即可求解.【详解】解：DE 是AB 的垂直平分线，∴AE BE =，∴BCE 的周长为BE EC BC AE EC BC AC BC ++=++=+，8AC =，5BC =，∴BCE 的周长为8513AC BC +=+=，故选：A ．【点睛】本题主要考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．【变式1】（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，点D 是ABC 边AC 的中点，过点D 作AC 的垂线交BC 于点E ，已知6AC =，ABC 的周长为14，则ABE 的周长是（）A ．6B ．14C ．8D ．20【答案】C 【分析】由题意可知：ED 垂直平分AC ,故EA EC =，结合6AC =，ABC 的周长为14，即可得出答案．【详解】解：∵点D 是ABC 边AC 的中点， ED AC ⊥,∴ED 垂直平分AC ,∴EA EC =，∵6AC =，ABC 的周长为14，∴1468AB BC +=−=,∴8AB BC AB BE EC AB BE AE +=++=++=,∴ABE 的周长是8．故选：C ．【点睛】此题考查了垂直平分线的性质和判定，掌握垂直平分线的性质和判定是解题的关键．【答案】C 【分析】根据垂直平分线的性质可知，到A ，B ，C 表示三个居民小区距离相等的点，是AC ，BC 两边垂直平分线的交点，由此即可求解．【详解】解：如图所示，分别作AC ，BC 两边垂直平分线MN ，PQ 交于点O ，连接OA，OB，OC，∵MN，PQ是AC，BC两边垂直平分线，==，∴OA OB OC∴点O是到三个小区的距离相等的点，即点O是AC，BC两边垂直平分线的交点，故选：C．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．八年级专题练习）如图，在ABC中，是ABC外的一点，且【分析】根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，即可证明A、D都在BC的垂直平分线上，由此即可证明结论．AB AC，【详解】证明：∵=∴点A在BC的垂直平分线上，BD CD，∵=∴点D在BC的垂直平分线上，∴A、D都在BC的垂直平分线上，∴AD垂直平分BC．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟知线段垂直平分线的判定条件是解题的关键．【变式】．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，点E是△ABC的边AB的延长线上一点，∠BCE＝∠A＋∠ACB，求证：点E在BC的垂直平分线上．【分析】由三角形的外角性质得到∠EBC=∠A+∠ACB，结合已知推出∠BCE=∠EBC，得到BE=CE，即可得到结论．【详解】证明：∵∠BCE=∠A+∠ACB，∠EBC=∠A+∠ACB，∴∠BCE=∠EBC，∴BE=CE，∴点E在BC的垂直平分线上．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，线段垂直平分线的判定，用到的知识点：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．题型六：角平分线【答案】A【分析】根据角平分线上的点到两边的距离相等即可解答．【详解】根据题意要使集贸市场到三条公路的距离相等即集贸市场应建在三个角的角平分线的交点．故本题选A ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解答本题的关键．的中点，ABC ，则BED 的面积为（【答案】C【分析】作DF AC ⊥于F ，DM AB ⊥于点M ，根据角平分线的性质求出DM ，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：作DF AC ⊥于F ，DM AB ⊥于点MAD 是ABC 的角平分线DF AC ⊥于F ，DM AB ⊥，112122AC DF AB DM ∴⋅+⋅=，112122AC DM AB DM ⋅+⋅=∴即：3421DM DM +=得3DM =8AB =， E 是AB 的中点，142BE AB ∴== 1143622BEDS BE DM ∴=⋅=⨯⨯= 故选：C ．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．例12．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知：如图，90B C ∠=∠=，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠．(1)若连接AM ，则AM 是否平分BAD ∠？请你证明你的结论；(2)线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由．【答案】(1)AM 平分BAD ∠，证明见解析(2)DM AM ⊥，理由见解析【分析】（1）过点M 作ME AD ⊥，垂足为E ，证明ME MC MB ==即可得证．（2）利用两直线平行，同旁内角互补，证明1390∠+∠=．【详解】（1）AM 平分BAD ∠，理由为：证明：过点M 作ME AD ⊥，垂足为E ，∵DM 平分ADC ∠，∴12∠=∠，∵ME AD ⊥，MC CD ⊥∴MC ME =（角平分线上的点到角两边的距离相等），又∵MC MB =，∴ME MB =，∵MB AB ⊥，ME AD ⊥，∴AM 平分BAD ∠（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．（2）DM AM ⊥，理由如下：∵90B C ∠=∠=，∴,DC CB AB CB ⊥⊥，∴DC AB ∥（垂直于同一条直线的两条直线平行），∴180DAB CDA ∠+∠=（两直线平行，同旁内角互补）又∵111,322CDA DAB ∠=∠∠=∠（角平分线定义） ∴2123180∠+∠=，∴1390∠+∠=，∴90AMD ∠=．即DM AM ⊥．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，平行线的性质，熟练掌握以上的知识是解题的关键．【变式1】（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图 90B C ∠=∠=︒，E 为BC 上一点，AE 平分BAD ∠，DE 平分CDA ∠．(1)求AED ∠的度数；(2)求证：E 是BC 的中点．【答案】(1)90︒(2)见解析．【分析】（1）利用已知条件可以得到180BAD CDA ∠+∠=︒，想要求AED ∠的度数，只需要根据三角形内角和定理和角平分线的性质即可得到结论．（2）过点E 做EF AD ⊥，根据角平分线上的点到角的两边距离相等即可得结论．【详解】（1）解：∵90B C ∠=∠=︒，∴DC AB ∥，∴180BAD CDA ∠+∠=︒，∵AE 平分BAD ∠，DE 平分CDA ∠， ∴12EAD BAD ∠=∠，12EDA CDA ∠=∠， ∴1()902EAD EDA BAD CDA ∠+∠=∠+∠=︒，∴180()90AED EAD EDA ∠=︒−∠+∠=︒；（2）证明：过点E 作EF AD ⊥于点F ，∵AE 平分BAD ∠，90B Ð=°，EF AD ⊥，∴EF EB =．∵DE 平分CDA ∠，90C ∠=︒，EF AD ⊥，∴EF EC =．∴EB EC =，即E 是BC 的中点．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，以及角平分线上的点到角两边距离相等的性质，熟记性质和定理并做出辅助线是解题的关键．【变式2】．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在ABC 外作两个大小不同的等腰直角三角形，其中90DAB CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AC AE =．连接DC 、BE 交于F 点．(1)求证：DAC BAE ≌△△； (2)直线DC 、BE 是否互相垂直，试说明理由；(3)求证：AF 平分DFE ∠．【答案】(1)见解析(2)DC BE ⊥，理由见解析(3)见解析【分析】（1）由题意可得AD AB =，AC AE =，由90DAB CAE ∠=∠=︒，可得到DAC BAE ∠=∠，从而可证DAC BAE ≌△△；（2）由（1）可得ACD AEB ∠=∠，再利用直角三角形的性质及等量代换即可得到结论；（3）作AM DC ⊥于M ，AN BE ⊥于N ，利用全等三角形的面积相等及角平分线的判定即可证得结论．【详解】（1）证明：∵90DAB CAE ∠=∠=︒，∴DAB BAC CAE BAC ∠+∠=∠+∠，即DAC BAE ∠=∠，又∵AD AB =，AC AE =，∴()SAS DAC BAE ≌△△；（2）解：DC BE ⊥，理由如下；∵DAC BAE ≌△△， ∴ACD AEB ∠=∠，∵90AEB AOE ∠+∠= ，AOE FOC ∠=∠，∴90FOC ACD ∠+∠=，∴90EFC ∠=，∴DC BE ⊥；（3）证明：作AM DC ⊥于M ，AN BE ⊥于N ，∵DAC BAE ≌△△， ∴DAC BAE S S ∆∆=，DC BE =， ∴1122DC AM BE AN ⋅=⋅，∴AM AN =，∴AF 平分DFE ∠．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，及直角三角形的性质，角平分线的判定，熟练掌握判定和性质是解决本题的关键．【变式3】（2023春·浙江金华·八年级浙江省义乌市后宅中学校考阶段练习）已知：OP 平分MON ∠，点A ，B 分别在边OM ，ON 上，且180OAP OBP ∠∠+=︒．(1)如图1，当90OAP ∠=︒时，求证：OA OB =；(2)如图2，当90OAP ∠<︒时，作PC OM ⊥于点C ．求证：①PA PB =；②请直接写出OA ，OB ，AC 之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②2OA OB AC −=【分析】（1）证明()AAS OPA OPB ≌，即可得证；（2）①作PD ON ⊥于点D ，证明()AAS PAC PBD ≌，即可得证； ②证明()AAS OCP ODP ≌，得出OD =，根据AC BD =，即可得证．【详解】（1）证明：180OAP OBP ∠∠+=︒，且90OAP ∠=︒，90OAP OBP ∠∠∴==︒，OP 平分MON ∠，POA POB ∠∠∴=，OP OP =，()AAS OPA OPB ∴≌，OA OB ∴=；（2）证明：①如图2，作PD ON ⊥于点D ，PC OM ⊥于点C ，PC PD ∴=，90PCA PDB OCP ∠∠∠===︒，180OAP OBP ∠∠+=︒，180DBP OBP ∠∠+=︒，OAP DBP ∠∠∴=，在PAC 和PBD 中，CAP DBP PCA PDBPC PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AAS PAC PBD ∴≌， PA PB ∴=；②结论：2OA OB AC −=．理由：在OCP 和ODP 中，OCP ODP COP DOP OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS OCP ODP ∴≌，OC OD ∴=，OA AC OB BD ∴−=+，AC BD =，2OA OB AC BD AC ∴−=+=．故答案为：2OA OB AC −=．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．【过关检测】一、单选题 1．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，在ABC 中，90A ∠=︒，点D 是边AC 上一点，3DA =，若点D 到BC 的距离为3，则下列关于点D 的位置描述正确的是（）A ．点D 是AC 的中点B ．点D 是B ∠平分线与AC 的交点 C ．点D 是BC 垂直平分线与AC 的交点D ．点D 与点B 的距离为5【答案】B 【分析】作DE BC ⊥于E ，连接BD ，利用角平分线的判定定理可证明BD 是ABC ∠的角平分线，即可作答．【详解】解：如图所示：作DE BC ⊥于E ，连接BD ，∵3DA =，点D 到BC 的距离为3，∴=AD DE ，∵90A ∠=︒，∴DA BA ⊥，∵DE BC ⊥，∴BD 是ABC ∠的角平分线，即点D 是ABC ∠的角平分线与AC 的交点，故B 项正确；其余选项，利用现有条件均无法得出，故选：B ．【点睛】本题主要考查了角平分线的判定定理，作出辅助线，证明BD 是ABC ∠的角平分线，是解答本题的关键． 2．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，已知BF DE =，AB ∥DC ，要使ABF CDE ≅△△，添加的条件可以是（）A．BE DF =B ．AF CE =C ．AB CD = D ．B D ∠=∠【答案】C 【分析】根据AB ∥DC ，可得B D ∠=∠，又BF DE =，所以添加AB CD =，根据SAS 可证ABF CDE ≅△△．【详解】解：应添加AB DC =，理由如下：AB ∥DC ，B D ∴∠=∠．在ABF △和CDE 中，AB CD B DBF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ABF CDE ∴≅，故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．3．（2023·浙江金华·统考二模）如图，ABC 和DEF 中，AB DE ∥，A D ∠=∠，点B ，E ，C ，F 共线，添加一个条件，不能判断ABC DEF ≌△△的是（）A ．AB DE =B ．ACB F ∠=∠C ．BE CF =D ．AC DF =【答案】B 【分析】根据AB DE ∥可得B DEF ∠=∠，加上A D ∠=∠，可知ABC 和DEF 中两组对角相等，因此一组对边相等时，即可判断ABC DEF ≌△△．【详解】解：AB DE ∥，∴B DEF ∠=∠，又A D ∠=∠，∴ABC 和DEF 中两组对角相等，当AB DE =时，根据ASA 可证ABC DEF ≌△△，故A 选项不合题意；当ACB F ∠=∠时，ABC 和DEF 中，三组对角相等，不能判断ABC DEF ≌△△，故B 选项符合题意；当BE CF =时，BC EF =，根据AAS 可证ABC DEF ≌△△，故C 选项不合题意；当AC DF =时，根据AAS 可证ABC DEF ≌△△，故D 选项不合题意；故选B ．【点睛】本题考查添加条件使三角形全等，解题的关键是熟练掌握全等三角形的各种判定方法．．ABC 的三条中线的交点．ABC 三边的垂直平分线的交点．ABC 三条角平分线的交点．ABC 三条高所在直线的交点【答案】C【分析】角平分线上的点到角的两边的距离相等，由此可解．【详解】解：要使凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭应在ABC 三条角平分线的交点处．故选C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是注意区分三角形中线的交点、高的交点、垂直平分线的交点以及角平分线的交点之间的区别． 5．（2020秋·浙江·八年级期末）如图，AD 是ABC 中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ，若7ABC S =△，2DE =，4AB =，则AC 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A 【分析】先根据角平分线的性质得到2DF DE ==，再利用三角形面积公式得到11242722AC ⨯⨯+⨯⨯=，然后解关于AC 的方程即可．【详解】解：∵AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，2DE =，∴2DF DE ==，∵7ABC S =△，4AB =，又∵ABD ACD ABC S S S +=△△△，∴111124272222AB DE DF AC AC ⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=，∴3AC =．故选：A ．【点睛】本题考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．理解和掌握角平分线的性质是解题的关键．本题也考查了三角形的面积及等积变换．6．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，用B C ∠=∠，12∠=∠，直接判定ABD ACD ≌△△的理由是（）A ．AASB ．SSSC ．ASAD ．SAS【答案】A 【分析】根据三角形全等的判定方法判定即可．【详解】解：在ABD △和ACD 中，12B CAD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()AAS ABD ACD ≌，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，解题的关键是掌握证明全等三角形的几种证明方法：AAS 、ASA 、SSS 、SAS 、HL ．A ．2B ．【答案】C 【分析】由FC AB ∥，得F ADE ∠=∠,FCE A ∠=∠，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明CFE ADE ≅，则4CF AD AB BD ==−=．【详解】解：FC AB ∥，F ADE ∴∠=∠，FCE A ∠=∠，在CFE 和ADE V 中，F ADE FCE AFE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS CFE ADE ∴≅， CF AD ∴=，5AB =，1BD =，514AD AB BD ∴=−=−=，4CF ∴=，CF ∴的长度为4．故选：C ．【点睛】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明CFE ADE ≅是解题的关键．A ．SSS【答案】B 【分析】根据已知条件两边，及两边的夹角是对顶角解答．【详解】解：在AOB 和COD △中，OA OC AOB COD OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOB COD SAS ∴≌．故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，准确识图判断出两组对应边的夹角是对顶角是解题的关键． 9．（2022秋·浙江嘉兴·九年级校考期中）在联欢会上，有A 、B 、C 三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放在ABC 的（）A ．三边垂直平分线的交点B ．三杂中线的交点C ．三条角平分线的交点D ．三条高所在直线的交点【答案】A【分析】根据题意可知，当木凳所在位置到A 、B 、C 三个顶点的距离相等时，游戏公平，再由线段垂直平分线的性质即可求解．【详解】解：由题意可得：当木凳所在位置到A 、B 、C 三个顶点的距离相等时，游戏公平，∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，∴木凳应放的最适当的位置是在ABC 的三边垂直平分线的交点，故选：A ．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质的应用，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．）可说明ABC 与△ 【答案】A 【分析】先根据垂直的定义可得90ACB ADB ∠=∠=︒，再根据角平分线的定义可得CAB DAB ∠=∠，然后根据AAS 定理即可得．【详解】解：,BC AC BD AD ⊥⊥，90ACB ADB ∴∠=∠=︒，AB 平分CAD ∠，CAB DAB ∴∠=∠，在ABC 和ABD △中，90ACB ADB CAB DABAB AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ABC ABD ∴≌，故选：A ．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．二、填空题【答案】CA FD =，B E ∠=∠，A D ∠=∠，AB DE ∥等【分析】可选择CA FD =添加条件后，能用SAS 进行全等的判；也可选择B E ∠=∠添加条件后，能用ASA 进行全等的判定；也可选择A D ∠=∠添加条件后，能用AAS 进行全等的判定；也可选择AB DE ∥添加条件后，能用ASA 进行全等的判定即可；【详解】解：添加CA FD =，∵12∠=∠，BC EF =，∴()SAS ABC DEF ≌△△，故答案为：CA FD =；或者添加B E ∠=∠，∵BC EF =，12∠=∠，∴()ASA ABC DEF ≌△△，故答案为：B E ∠=∠；或者添加A D ∠=∠，∵12∠=∠，BC EF =，∴()AAS ABC DEF ≌△△，故答案为：A D ∠=∠；或者添加AB DE ∥，∵AB DE ∥，∴B E ∠=∠，∵12∠=∠，BC EF =，∴()AAS ABC DEF ≌△△，故答案为：AB DE ∥．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答本题关键是掌握全等三角形的判定定理，本题答案不唯一．【答案】AB DC =【分析】添加条件AB DC =，利用SAS 证明ABC DCB △≌△即可．【详解】解：添加条件AB DC =，理由如下：在ABC 和DCB △中，AB DC ABC DCBBC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS ABC DCB △≌△，故答案为：AB DC =．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有SSS SAS AAS ASA HL ，，，，． 13．（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）如图，已知AC DB =，要使得ABC DCB ≅，根据“SSS”的判定方法，需要再添加的一个条件是_______．【答案】ABDC =【分析】要使ABC DCB ≅，由于BC 是公共边，若补充一组边相等，则可用SSS 判定其全等．【详解】解：添加AB DC =．在ABC 和DCB △中AB DC BC CB AC BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴()ABC DCB SSS ≅△△，故答案为：AB DC =．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择添加的条件是正确解答本题的关键．14．（2022秋·浙江丽水·八年级统考期末）如图，在ABC 中，CD 是边AB 上的高，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，6BC =，若BCE 的面积为9，则DE 的长为______．【答案】3【分析】过E 作EF BC ⊥于F ，根据角平分线性质求出EF DE =，根据三角形面积公式求出即可．【详解】解：过E 作EF BC ⊥于F ，CD 是AB 边上的高，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，DE EF ∴=，192BCE S BC EF =⋅=，1692EF ∴⨯⨯=，3EF DE ∴==，故答案为：3．【点睛】本题考查了角平分线性质的应用，能根据角平分线性质求出3EF DE ==是解此题的关键，注意：在角的内部，角平分线上的点到角的两边的距离相等．八年级期末）如图，在ABC 中，【答案】4【分析】根据线段垂直平分线的性质得到2AD BD ==，则4CD AC AD =−=．【详解】解：∵AB 的垂直平分线交AB 于点E ，交AC 于点D ，∴2AD BD ==，∵6AC =，∴4CD AC AD =−=，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 16．（2022秋·浙江温州·八年级校联考期中）如图，在ABC 中，DE 是AC 的中垂线，分别交AC ，AB 于点D ，E ．已知BCE 的周长为9，4BC =，则AB 的长为______．【答案】5【分析】先利用三角形周长得到5CE BE +=，再根据线段垂直平分线的性质得到EC EA =，然后利用等线段代换得到AB 的长．【详解】解：∵BCE 的周长为9，9CE BE BC ∴++=，又4BC =，5CE BE ∴+=，又DE 是AC 的中垂线，EC EA ∴=，5AB AE BE CE BE ∴=+=+=；故答案为：5．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．17．（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图，已知12∠=∠，要说明ABC BAD ≌，（1）若以“SAS ”为依据，则需添加一个条件是__________；（2）若以“ASA ”为依据，则需添加一个条件是__________．【答案】 BC AD = BAC ABD ∠=∠【分析】（1）根据SAS 可添加一组角相等，故可判定全等；（2）根据ASA 可添加一组角相等，故可判定全等；【详解】解：（1）已知一组角相等和一个公共边，以“SAS ”为依据，则需添加一组角，即BC AD =故答案为：BC AD =；（2）已知一组角相等，和一个公共边，以“ASA ”为依据，则需添加一组角，即BAC ABD ∠=∠．故答案为：BAC ABD ∠=∠．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS SAS ASA AAS HL 、、、、．添加时注意：AAA SSA 、不能判定两个三角形全等． 18．（2019秋·浙江嘉兴·八年级校考阶段练习）如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB ∥DE ，AB=DE ，BE=CF ，AC=6，则DF=________【答案】6.【分析】根据题中条件由SAS 可得△ABC ≌△DEF ，根据全等三角形的性质可得AC=DF=6．【详解】∵AB ∥DE ，∴∠B=∠DEF∵BE=CF ，∴BC=EF ，在△ABC 和△DEF 中，AB DE B DEFBC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SAS ），∴AC=DF=6．考点：全等三角形的判定与性质．。

2022年八年级数学上册第十三章全等三角形13.3全等三角形的判定3教案新版冀教版

13.3全等三角形的判定（3）教学目标【知识与能力】1.掌握“角边角”及“角角边”的内容.2.能初步应用“角边角”及“角角边”判定两个三角形全等.【过程与方法】使学生经历探索三角形全等的过程,体验用操作、归纳得出数学结论的过程.【情感态度价值观】通过探究三角形全等的活动,培养学生敢于面对困难、克服困难的能力.教学重难点【教学重点】“角边角”及“角角边”的内容.【教学难点】分析问题,寻找判定两个三角形全等的条件.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:教师讲解:前面,我们已经知道,当两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等时,两个三角形一定全等,而当两个三角形的两条边及其中一边的对角分别对应相等时,两个三角形不一定全等.这节课,我们将讨论以下情况:如图所示,一种情况是已知两个角及这两角的夹边;另一种情况是已知两个角及其中一角的对边.[设计意图]让学生明确本节课要研究的主要内容,并明确三角形中边与角的位置关系,理解“两角夹一边”和“两角一对边”的含义.导入二:1.复习旧知:(1)三角形中已知三个元素,包括哪几种情况?(三个角、三个边、两边一角、两角一边)(2)到目前为止,可以作为判定两三角形全等的方法有几种?各是什么?2.师:在三角形中,已知三个元素的四种情况中,我们研究了两种,我们接着探究已知两角一边是否可以判定两三角形全等.导入三:【课件1】如图所示,小明不小心把一块三角形的玻璃打碎成四块,现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是什么?你能帮小明出出主意吗?要想最省事,就要带块数最少且要满足它能够确定该三角形的形状和大小,这就是本节课要学到的判定三角形全等的知识.学完本节,你就会知道为什么应该带第2块去.[设计意图]激趣设疑,让学生产生学习的兴趣,积极地投入到本节课的学习之中.二、新知构建：活动一:“角边角”基本事实和“角角边”定理的探究思路一做一做:【课件2】三角形的两个内角分别是60°和80°,它们的夹边为4cm,你能画一个三角形同时满足这些条件吗?将你画的三角形剪下来.同伴比较,观察它们是不是全等,你能得出什么结论?【学生活动】自己动手操作,然后与同伴交流,得出结论.【教师活动】检查指导,帮助有困难的同学.活动结果展示:以小组为单位将所得三角形放在一起,发现完全重合,这说明这些三角形全等.提炼结论:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简记为“角边角”或“ASA”).师:我们刚才作的三角形是一个特殊三角形,随意画一个三角形ABC,能不能作一个ΔA'B'C',使∠A=∠A',∠B=∠B',AB=A'B'呢?生:能.学生口述画法,教师进行多媒体课件演示,使学生加深对“ASA”的理解.生:(1)先用量角器量出∠A与∠B的度数,再用直尺量出AB边的长;(2)画线段A'B',使A'B'=AB;(3)分别以A',B'为顶点,A'B'为一边在同侧作∠DA'B',∠EB'A',使∠DA'B'=∠CAB,∠EB'A'=∠CBA;(4)射线A'D与B'E交于一点,记为C',即可得到ΔA'B'C'.将ΔA'B'C'与ΔABC放到一起,发现两三角形全等.教师出示图形:于是我们发现规律:两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA ”). 这又是一个判定两个三角形全等的方法.[知识拓展] “ASA ”中的“S ”必须是两个“A ”所夹的边.书写格式:在ΔABC 和ΔA'B'C'中,{∠A =∠A ',AB =A 'B ',∠B =∠B ',所以ΔABC ≌ΔA'B'C'.出示探究问题:【课件3】如图所示,在ΔABC 和ΔDEF 中,∠A =∠D ,∠B =∠E ,BC =EF ,ΔABC 与ΔDEF 全等吗?能利用角边角条件证明你的结论吗?〔解析〕如果能证明∠C =∠F ,就可以利用“角边角”证明ΔABC 和ΔDEF 全等,由三角形内角和定理可以证明∠C =∠F.证明:∵∠A +∠B +∠C =∠D +∠E +∠F =180°,∠A =∠D ,∠B =∠E ,∴∠A +∠B =∠D +∠E∴∠C =∠F.在ΔABC 和ΔDEF 中,{∠B =∠E ,BC =EF ,∠C =∠F ,∴ΔABC ≌ΔDEF (ASA).于是得规律:两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS ”).[知识拓展] “角角边”(AAS)可以看成是“角边角”(ASA)的推论.由“角边角”及“角角边”可知两角及一边对应相等的两个三角形全等,无论这一边是“对边”还是“夹边”,只要对应相等即可.思路二一、体验已知两角及夹边的三角形的唯一性1.利用刻度尺、量角器、小刀等工具制作符合如下条件的三角形:(1)ΔABC ,其中∠A =35°,∠B =65°,AB =5cm;(2)ΔDEF ,其中∠D =70°,∠E =50°,∠E 的对边DF =4cm .注意:(2)题学生可能感觉难度较大,教师可提示学生先求出∠F=60°,再利用(1)的作法进行作图.2.如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边,那么你画的三角形与同伴画的一定完全重合吗?试试看.结论:有两角和夹边对应相等的两个三角形全等,简写成“ASA”或“角边角”.3.如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边,以你所画的ΔDEF为例,你画的三角形与同伴画的一定完全重合吗?试试看.结论:有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等,简写成“角角边”或“AAS”.二、证明“ASA”定理教师出示已知条件:如图所示,在ΔABC和ΔA'B'C'中,已知AB=A'B',∠A=∠A',∠B=∠B'.求证ΔABC≌ΔA'B'C'.教师给出证明方法:由于AB=A'B',我们移动其中的ΔABC,使点A与点A'、点B与点B'重合,且使点C与点C'分别位于线段AB,A'B'的同侧,因为∠A=∠A',因此可以使∠A与∠A'的边AC 与A'C'重叠在一起;同样因为∠B=∠B',可以使∠B与∠B'的边BC与B'C'重叠在一起,由于两条直线相交只有一个交点,因此点C与点C'重合,这就说明这两个三角形全等,由此可得判定三角形全等的又一种简便方法:如果两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等,那么这两个三角形全等,简记为“ASA”(或角边角).三、证明“AAS”定理教师出示应用“ASA”证明三角形全等的问题:【课件4】如图所示,已知∠ABC=∠DCB,∠A=∠D,求证ΔABC≌ΔDCB.教师要求学生应用“ASA”定理证明本题,学生思考后教师提问,并根据学生的回答加以引导后由教师板书.证明结束后教师提出问题:如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等,那么这两个三角形是否一定全等?教师要求学生思考这个问题,并提醒学生利用三角形内角和为180°这一公理来考虑问题,一般学生都会得出正确结论,教师再加以总结:因为三角形的内角和为180°,所以有两个角对应相等,那么第三个角必对应相等,于是问题就由“角角边”转化为“角边角”,这样便可证得这两个三角形全等.教师要求学生自己证明“AAS”定理:如果两个三角形的两角及其中一个角的对边对应相等,那么这两个三角形全等.简记为“AAS ”(或角角边).学生证明后,教师边讲解边板书.教师提问:我们已经讨论了两个三角形有两边一角以及两角一边分别对应相等,这两个三角形能否全等的情况.我们很容易发现,如果两个三角形有三个角分别对应相等,那么这两个三角形未必全等,如图所示,这两个三角形三个角分别相等,它们并不全等,只是形状相同. 活动二:例题讲解【课件5】已知:如图所示,AD =BE ,∠A =∠FDE ,BC ∥EF.求证:ΔABC ≌ΔDEF.[师生共析] 根据AD =BE ,得到AB =DE ;由两直线平行,得到同位角相等,然后利用“ASA ”即可得到ΔABC ≌ΔDEF.证明:∵AD =BE (已知),∴AB =DE (等式的性质).∵BC ∥EF (已知),∴∠ABC =∠E (两直线平行,同位角相等).在ΔABC 和ΔDEF 中,∵{∠A =∠FDE ,AB =DE ,∠ABC =∠E ,∴ΔABC ≌ΔDEF (ASA).师:到目前为止,在三角形中已知三个条件探索两个三角形全等的问题已全部结束,请同学们把两个三角形全等的判定方法作一个小结.【学生活动】自我回忆总结,然后小组讨论交流、补充.三、课堂小结：知识点一:“角边角”判定三角形全等两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或“ASA ”.这是我们学习的第三个判定三角形全等的方法,这里的两角和夹边,是指同一个三角形的边和角,边是两个角的夹边.知识点二:“角角边”判定三角形全等两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS ”).该判定是通过“ASA ”推导得出的,今后可以直接用“AAS ”来判定两个三角形全等,它是“ASA ”的一个推论.。

人教版八年级数学上册专题(三) 全等三角形判定与性质的综合运用

Rt△ODE≌Rt△OCE(AAS)，∴DE＝CE
类型三：证明两直线平行
4．如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD.求证：AB∥CD.
解：在△DOC 与△BOA 中，O∠CD＝OOC＝ A，∠BOA， OD＝OB，
∴△DOC≌△BOA(SAS)，∴∠D＝∠B，∴AB∥CD
类型四：证明两直线互相垂直 5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．解：BE＝EC，BE⊥EC，证明：∵AC＝2AB，D是AC的中点，∴AB＝ AD＝CD，∵∠EAD＝∠EDA＝45°，∴∠EAB＝∠EDC＝135°，∵EA＝ ED，∴△EAB≌△EDC(SAS)，∴∠AEB＝∠DEC，EB＝EC，∴∠BED＋ ∠DEC＝∠BED＋∠AEB＝90°，∴BE⊥EC
3．如图，AC⊥AD，BC⊥BD，OE⊥CDபைடு நூலகம்AC＝BD.求证：DE＝CE.
解：∵AC⊥AD，BC⊥BD，∴∠A＝∠B＝90°，在 Rt△ADC 和 Rt△BCD 中，DACC＝＝CBDD，，∴Rt△ADC≌Rt△BCD(HL)，∴∠ACD
＝∠BDC，在 Rt△ODE 和 Rt△OCE 中，∠∠OOEDDE＝＝∠∠OOECCE＝，90°，∴ OE＝OE，
∴∠A＝∠D
类型二：证明两线段相等 2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD＝BC， CE⊥BD于点E.求证：AD＝BE. 解：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，又CE⊥BD，∴∠BEC＝90°，又∵∠A＝90°，∴∠A＝∠BEC，又BD＝CB，∴△ABD≌△ECB(AAS)， ∴AD＝BE

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A D D C E
B
B
C
两条边相等,三角形不一定全等: 图1中AB=AD=CD 但是△ABD与 △ADC不全等
一条边和一个角相等,三角形不一定全等: 图1和图2中AB=A`B`, ∠B=∠B`但是△ABD 与△A`B`D`不全等两个角相等,三角形不一定全等: 图3中∠ADE=∠ABC, ∠AED=∠ACB,但是△ADE与 △ABC不全等
∴ ∴ △ACE ≌ △DCB(SAS) AE=DB
同步练习
1、如图，点ＥＦ在ＢＣ上，ＢＥ＝ＣＦ，ＡＢ＝ＤＣ， ∠Ｂ=∠Ｃ,求证 ∠A=∠D
证明： ∵ BE=CF ∴ BE+EF=CF=EF 即BF=CE 在△ABF和△DCE中 ∵ AB=DC BF=CE ∠Ｂ=∠Ｃ ∴ △ABF ≌ △DCE(SAS) ∴ ∠A=∠D
B E F AB//CD， AB=CD，要利用SAS证明 △ABE ≌ △DCF,还需要添加什么条件？ A
F E D
B
C
添加BE=CF 证明 ∵ AB//CD ∴ ∠Ｂ=∠Ｃ在△ABE和△DCF中 ∵ AB=CD ∠Ｂ=∠Ｃ BE=CF ∴ △ABE ≌ △DCF(SAS)
CA=CD ∠1=∠2， CB=CE ∴ △ABC ≌ △DEC(SAS) ∴ AB=DE(全等三角形对应边相等)
B
D
例题教学
１、请说说本例已知了哪些条件，还差一个什么条件，怎么办？２、你能用“因为‥‥根据‥‥所以 ‥‥”的表达形式说说本题的说理过程吗？
因为CA=CD(已知)，CB=CE(已知)， ∠1=∠2（对顶角相等）根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）
引导活动，揭示知识产生过程
问题：
1.举例说明只量一个数据，即一条边相等或一个角相等能否判定两个三角形全等？
A 一个角相等,三角形不一定全等 B A 一条边相等,三角形不一定全等 C E D D
F
B
C
E
F
引导活动，揭示知识产生过程
2、测量两个数据即边边、边角、角角能判断两个三角形全等吗？ A 若不能，请举一反例说明。 A`
方法一:△ＡBＣ顺时针旋转180度，然后平移得到△DＥＣ
A B 1
方法二:?????
C
2
D
E
例题教学
４、对例题进行变式与引申已知条件不变，你能证明出ＡＥ＝ＤＢ吗？
证明：连接AE.BD A 1 C 2 D E B
在△ACE和△DCB中 AC=DC（已知）
∵ CB=CE （已知
∠ACE=∠DCB （对顶角）
13.2 三角形全等的条件(SAS)
创设情景，激发求知欲望
某公司接到一批三角形架的加工任务，客户的要求是所有的三角形必须全等。质检部门为了使产品顺利过关，提出了明确的要求：要逐一检查三角形的三条边、三个角是不是都相等。技术科的毛毛提出质疑：分别检查三条边、三个角这六个数据固然可以。但为了提高效率，是不是可以找到一个更优化的方法，只量一个数据可以吗？两个呢？……..
B A
C 1 2 D E 证明：在△ABC和△DEC中
所以△ABC ≌ △DEC
因为△ABC ≌ △DEC 根据全等三角形对应边相等这一性质，所以AB=DE
CA=CD (已知)
∠1=∠2，(对顶角) CB=CE (已知) ∴ △ABC ≌ △DEC（SAS） ∴ AB=DE
例题教学
３、 △DEC可由△ＡBＣ经过怎样的图形变换得到？
引导活动，揭示知识产生过程
3、讨论三个条件有哪几种情况？三个条件能否判定两个三角形全等？边
角
3
0
2
1
1
2
0
3
引导活动，揭示知识产生过程
小组竞赛：每人画一个三角形，其中一个角是30°，有两条边分别是7cm、5cm，看哪组先完成，小组之间进行比较,看是否全等?
小组成果一：
结论：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即（”边角边”或”SAS”）
引导活动，揭示知识产生过程
小组成果二:
7 A 5 C E 7 5 F D
30°
B
30°
两边和其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等
例题教学
如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可以在 A 平地上取一个可以直接到 1 达A和B的点C ，连接AC C 2 并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E使 CE=CB连接DE，那么量出 E DE的长就是A、B的距离，证明：在△ABC和△DEC中为什么？
课堂小结
1.本节课你有什么收获？
2.你还有那些疑问？
作业布置
完成教材104页第3题、第4题
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音如何，约略听到点风声，似乎跟井有关，恐怕不是什么正路好事，老太太没发话，便不敢多谈，静了静，明秀一根、一根的抚过戎琴弦，笑道：“五弟，宝音姑娘若在这里，必定也劝你从开初便小心些，后头可省多少麻烦。”苏含萩立即点头，叫过青翘训道：“少爷年轻不知事，你也不知吗？料你向来行事是端正细致的，这才派你到少爷屋里服侍，再过几个月官中算总帐了，要紧时候，这么大马虎眼你也不提点着！”嘴又快又甜的大丫头这时候也不敢快语、也不敢笑了，低头承训：“姑奶奶教训得是！”明秀恰在此时发出一个轻轻的诧异声，欢快道：“哎哟，我想到这琴怎么弹了！”众人注意力都被她吸引过来，她取来明蕙手中那竹棍，去刮拨那琴弦。呀！原来这弦比中原的琴弦硬朗很多，手指拨上去，发音闷闷的，用硬竹棍拨，便立时的激越清昂起来，音势宏大，竟比琵琶还壮丽些。明秀即兴取琴谱之乐章，在戎琴上奏了一段，便是苏小横在窗边听得的隐隐乐声了。这段奏完，众人皆喝彩不已，明秀丢下竹棍，摇头笑道：“这戎器，响成这样！太失体统。”明柯忙道：“闻说戎境植被丰富、地势崎岖、房屋低陋，他们习惯露天生活，大概因此，乐器什么的都要响亮些吧！你想，朋友见面，动不动一个在高山上、一个在低谷里，弹个琴给对方听，轻了怎么听得见！”明蕙“吃” 的笑出声来，以帕子掩住了嘴。苏含萩似笑非笑睇着明柯。明柯暗道不好，勾着头住了嘴，苏含萩却过来，抚摩他的肩膀，上下看看，叹了一声：“你这猴儿。你这猴儿！偏是这些事上有聪明。我问你，你买琴的所在，是不是恪思阁？”这是锦城最负盛名的戎商铺。明柯脸上泛起佩服之色，垂手道： “是。”苏含萩又道：“那个阁里，据我所知，还从没卖过假货。阁主放话说，一个真正的商人，从真货上能赚到的钱，绝对比在假货上能赚到的多。是不是这样？”第十八章暗度戎琴成新赏（4）明柯眼里，已经有“士逢知己”的笑意：“姑姑知道得真多。”苏含萩便道：“你信他，所以就问都不多问。因你知道，这几年，连锦城眼力最辣、盘货最多的几个老爷叔们都盛赞他们信誉，你再小心，也不可能越过那几位爷叔去。若真千万分之一机会，证明了他们拿假货空手套白狼，爷叔们都上当了。那恪思阁商誉上的损失，比你买一件古董的损失还大。你前思后想清楚，既不必、也无谓跟他们斗眼力，所以索性懒一点，是么？”她滔滔分析完了，明柯腰杆骄傲的越挺越直，直得无可再直了，苏含萩猛的在他额角上戳一指头，把他打回原型：“可我宁愿你有时候别那么懒！憨一点儿勤一点儿呢！怕什么？你可知道真正学成大学问、成就大事的，都是有点憨劲儿的人！”明柯悚然一惊，颇有点儿悲伤的应道：“是！”苏含萩