辽宁省丹东市凤城市2018-2019学年高二下学期5月月考数学(文)试题 含解析

2018-2019学年辽宁省丹东市凤城市高二（下）5月月考数学试卷（文科）一、单选题1.设集合,则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由已知得，，故，选B．考点：集合的运算．2.已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：∴，∴z=，故选C.考点：复数运算3.已知向量，满足，，则=（）A. 4B. 3C. 2D. 0【答案】B【解析】【分析】对所求式子利用向量数量积的运算公式，去括号，然后代入已知条件求得结果.【详解】解：向量满足，，则，故选：B．【点睛】本小题主要考查向量数量积运算，考查运算求解能力，属于基础题.4.函数的部分图象如图所示，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式．【详解】根据函数的部分图象，可得，，解得，再根据五点法作图，可得，解得，故，故选：A．【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，其中解答中函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5.函数的图像大致为 ( )A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．6.圆的圆心到直线的距离为1，则（）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】试题分析：由配方得，所以圆心为，因为圆的圆心到直线的距离为1，所以，解得，故选A.【考点】圆的方程，点到直线的距离公式【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】B 【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为，故选B.点睛:（1）解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．（2）三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据． 8.若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】， ，，，，则，选C.9.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则( )A. 乙可以知道四人的成绩B. 丁可以知道四人的成绩C. 乙、丁可以知道对方的成绩D. 乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案【详解】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了故选：D．【点睛】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题．10.已知函数f(x)=,下列结论中错误的是A. , f()=0B. 函数y=f(x)的图像是中心对称图形C. 若是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,）单调递减D. 若是f（x ）的极值点，则()=0【答案】C【解析】试题分析：由于三次函数的三次项系数为正值，当x→－∞时，函数值→－∞，当x→＋∞时，函数值也→＋∞，又三次函数的图象是连续不断的，故一定穿过x轴，即一定∃x0∈R，f(x0)＝0，选项A中的结论正确；函数f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形如(x＋m)3＋n(x＋m)＋h的形式，通过平移函数图象，函数的解析式可以化为y＝x3＋nx的形式，这是一个奇函数，其图象关于坐标原点对称，故函数f(x)的图象是中心对称图形，选项B中的结论正确；由于三次函数的三次项系数为正值，故函数如果存在极值点x1，x2，则极小值点x2＞x1，即函数在－∞到极小值点的区间上是先递增后递减的，所以选项C中的结论错误；根据导数与极值的关系，显然选项D中的结论正确.考点：函数的零点、对称性、单调性、极值．11.过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在轴上方），为的准线，点在上且，则到直线的距离为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得与抛物线方程联立解得，因此 ,所以M到直线NF的距离为 ,选C.12.若存在正数x使2x（x-a）＜1成立，则a 的取值范围是（）A. （-∞，+∞）B. (-2, +∞)C. (0, +∞)D. （-1，+∞）【答案】D【解析】由题意知，存在正数，使，所以，而函数在上是增函数，所以，所以，故选D.【考点定位】本小题主要考查不等式、分离参变量、函数的单调性等知识，考查转化与化归等数学思想，考查分析问题以及解决问题的能力.二、填空题13.曲线在点处的切线方程为__________．【答案】y=2x–2【解析】分析：求导，可得斜率，进而得出切线的点斜式方程.详解：由，得则曲线在点处的切线的斜率为，则所求切线方程为，即.点睛：求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理.14.长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为__________.【答案】【解析】长方体的体对角线长为球的直径，则，，则球的表面积为.15.的内角的对边分别为，若，则 ________．【答案】【解析】【分析】根据正弦定理将边化为角，再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cos B的值，即得B角.【详解】由2b cos B＝a cos C＋c cos A及正弦定理，得2sin B cos B＝sin A cos C＋sin C cos A.∴2sin B cos B＝sin(A＋C)．又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∴2sin B cos B＝sin(π－B)＝sin B. 又sin B≠0，∴cos B ＝.∴B ＝.∵在△ABC中，a cos C＋c cos A＝b，∴条件等式变为2b cos B＝b，∴cos B ＝.又0<B<π，∴B ＝.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.16.已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a= ．【答案】8【解析】试题分析：函数在处的导数为，所以切线方程为；曲线的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.考点：导函数的运用.【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．三、解答题17.已知是递增的等差数列，，是方程的根（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）由和可得公差，进而可求通项公式；（Ⅱ）由，利用错位相减法求和即可.【详解】（Ⅰ）方程的两个根为2，3，由题意得，设数列的公差为，则，故，从而所以的通项公式为（Ⅱ）设的前项和为，由（1）知，则①②①-②得.所以，【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项相消法求和的计算，属于基础题.18.如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）设，，三棱锥的体积，求到平面的距离．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）设与的交点为，连结，通过直线与平面平行的判定定理证明平面；（Ⅱ）通过，，三棱锥的体积，求出，作角于，说明就是到平面的距离．通过解三角形求解即可．【详解】解：（Ⅰ）证明：设与的交点为，连结，∵是矩形，∴为的中点∵为的中点，∴．平面，平面∴平面；（Ⅱ）∵，，三棱锥的体积，∴，∴，．作交于，由题意可知平面，∴，故平面．又在三角形中，由射影定理可得：所以，到平面的距离．【点睛】本题考查直线与平面平行，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，需要熟记线面平行的判定定理等，属于常考题型.19.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）, 其频率分布直方图如下：（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较。

附：【答案】（1）0.62（2）有99%的把握 （3）新养殖法优于旧养殖法 【解析】 试题分析：(1)由频率近似概率值，计算可得旧养殖法的箱产量低于50kg 的频率为0.62.据此，事件A 的概率估计值为0.62. (2)由题意完成列联表，计算K 2观测值k ＝≈15.705＞6.635，则有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法． 试题解析：(1)旧养殖法的箱产量低于50kg 的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62. 因此，事件A 的概率估计值为0.62.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表K2的观测值k＝≈15.705.由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50kg到55kg之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45kg到50kg之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．20.在直角坐标系中，点P到两点的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．（1）求曲线C的方程；（2）过点作直线l与曲线C交于点A、B，以线段为直径的圆能否过坐标原点，若能，求出直线l的方程，若不能请说明理由．【答案】（1）；（2）能，直线的方程为：.【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义求得，根据两个定点求得c，由此求得b，进而求得曲线的方程.（2）设出直线l的方程，联立直线方程和椭圆方程，写出韦达定理.根据直径所对的圆周角为直角，得到，即，将前面韦达定理得到的表达式代入，化简求得的值，由此求出符合题意的直线的方程.【详解】(1)设，由椭圆定义可知，点的轨迹C是以，为焦点，长半轴为2的椭圆.它的短半轴，故曲线C的方程为.(2)设直线，分别交曲线C于，，其坐标满足,消去并整理得.故，.若以线段AB为直线的圆过坐标原点，则，即,而，于是化简得，所以，所以所以直线l的方程为：【点睛】本小题主要考查椭圆的定义，考查直线和椭圆的位置关系，考查圆的几何性质，考查平面向量的坐标运算，属于中档题.21.设函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围.【答案】（1）减区间为，，增区间为；（2）.【解析】【分析】求出函数的导数，求出极值点，利用导函数的符号，判断函数的单调性即可．化简，下面对的范围进行讨论：当时，当时，设函数，则，推出结论；当时，推出结果，然后得到的取值范围．【详解】因为，，所以，令可知，当或时，当时，所以在，上单调递减，在上单调递增；由题可知下面对a的范围进行讨论：当时，设函数，则，因此在上单调递减，又因为，所以，所以；当时，设函数，则，所以在上单调递增，又，所以．因为当时，所以，取，则，所以，矛盾；当时，取，则，矛盾；综上所述，a的取值范围是．【点睛】点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．22.在直角坐标系中，曲线（t为参数，），其中，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．（1）求与交点的直角坐标；（2）若与相交于点A，与相交于点B，求的最大值．【答案】（1）与交点的直角坐标为；（2）4.【解析】【分析】（1）由曲线和，根据代入可得直角坐标方程，联立解出可得与交点的直角坐标．（2）由曲线的参数方程，消去参数，化为普通方程：，其中,得出其极坐标方程为，利用即可得出．【详解】（1）由曲线，化为，再由，可得曲线的直角坐标方程为．同理由，可得直角坐标方程：，联立，解得或，∴与交点的直角坐标为．（2）曲线（t为参数，），化为普通方程：，其中，其极坐标方程为：，∵都在上，∴．∴，当时，取得最大值4．【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、以及三角函数的单调性，着重考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【答案】(1) {x|x≥4或x≤1}；(2) [－3，0].【解析】试题分析：（1）解绝对值不等式首先分情况去掉绝对值不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于-2-x≤a≤2-x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围试题解析：（1）当a＝－3时，f（x）＝当x≤2时，由f（x）≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；当2＜x＜3时，f（x）≥3无解；当x≥3时，由f（x）≥3得2x－5≥3，解得x≥4.所以f（x）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}． 6分（2）f（x）≤|x－4||x－4|－|x－2|≥|x＋a|.当x∈[1，2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|（4－x）－（2－x）≥|x＋a|－2－a≤x≤2－a，由条件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0，故满足条件的实数a的取值范围为[－3，0]．考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数。