新人教版九下优质教案 26.2用函数的观点一元二次方程(2)
初中数学 26.2 用函数观点看一元二次方程 教案2
26.2 用函数的观点看一元二次方程教学目标：1．复习巩固用函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象求方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解。
2．让学生体验函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 的交点的横坐标是方程x 2＝bx ＋c 的解的探索过程，掌握用函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 图象交点的方法求方程ax 2＝bx ＋c 的解。
3．提高学生综合解题能力，渗透数形结合思想。
重点难点：重点；用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力是教学的重点。
难点：提高学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点。
教学过程：一、复习巩固1．如何运用函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象求方程ax 2＋bx ＋c 的解?2．完成以下两道题：(1)画出函数y ＝x 2＋x －1的图象，求方程x 2＋x －1＝0的解。
(精确到0.1)(2)画出函数y ＝2x 2－3x －2的图象，求方程2x 2－3x －2＝0的解。
教学要点1．学生练习的同时，教师巡视指导， 2．教师根据学生情况进行讲评。
解：略函数y ＝2x 2－3x －2的图象与x 轴交点的横坐标分别是x 1＝－12和x 2＝2，所以一元二次方程的解是x 1＝－12和x 2＝2。
二、探索问题问题1：(问题4)育才中学初三(3)班学生在上节课的作业中出现了争论：求方程x 2＝12x 十3的解时，几乎所有学生都是将方程化为x 2－12x －3＝0，画出函数y ＝x 2－12x －3的图象，观察它与x 轴的交点，得出方程的解。
唯独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数y ＝x 2和y ＝12x ＋2的图象，如图(3)所示，认为它们的交点A 、B 的横坐标－32和2就是原方程的解． 提问： 1. 这两种解法的结果一样吗? 2．小刘解法的理由是什么?让学生讨论，交流，发表不同意见，并进行归纳。
3．函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 的图象一定相交于两点吗?你能否举出例子加以说明? 4，函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 的图象的交点横坐标一定是一元二次方程x 2＝bx ＋c 的解吗?5．如果函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 图象没有交点，一元二次方程x 2＝bx ＋c 的解怎样?三、做一做利用图26．3．4(见P24页)，运用小刘方法求下列方程的解，并检验小刘的方法是否合理。
26.2用函数观点看一元二次方程_(2课时)
●请你把这节课你学到了东西告诉你的同 请你把这节课你学到了东西告诉你的同 讨 论 然后告诉老师？ 桌，然后告诉老师？
这节课应有以下内容： 节课应有以下内容：
二次函数与一 元二次方程的 关系
二 次 函 数 与
当二次函数y=ax2+bx+c中y的值 当二次函数 中 的值 确定， 的值时， 确定，求x的值时，二次函数就变 的值时 为一元二次方程。即当y取定值时 取定值时， 为一元二次方程。即当 取定值时， 二次函数就为一元二次方程。 二次函数就为一元二次方程。
y
y = x2 + x − 2
O
y = x2 − 6x + 9
y
(a)
O
(b)
(c)
对应二次函数(1)-(3)得到图象(a)-(c)。
x
O
x y
y = x2 − x + 1
x
y
O
y = x + x−2
2
y = x2 − 6 x + 9
y y
O O
y = x2 − x + 1
y = x 2 + x − 2 的函数图象与 轴的公共点的横坐标是 和1， 的函数图象与x轴的公共点的横坐标是 轴的公共点的横坐标是-2和 ， （1） ）
两个交点
轴 的 交 点
交 一个交点 点 没有交点 的交点的
b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 一元二次方程的
二次函数与x 二次函数与
x
练习:看谁算的又快又准。 练习 看谁算的又快又准。 看谁算的又快又准 1.不与 轴相交的抛物线是 D ) 不与x轴相交的抛物线是 不与 轴相交的抛物线是( A y=2x2 – 3 B y= - 2 x2 + 3 D y=-2(x+1)2 - 3 C y= - x2 – 2x 2.如果关于 的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实 如果关于x的一元二次方程 如果关于 有两个相等的实 1 数根,则 ＿＿ ＿＿,此时抛物线 轴有＿ 数根 则m=＿＿ 此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有＿ 个 与 轴有 1 交点. 交点 16 3.已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上 则c=＿＿＿＿ 已知抛物线 轴上,则 ＿＿＿＿ ＿＿＿＿. 的顶点在 轴上 (0,2) 4.抛物线 抛物线y=x2-3x+2 与y轴交于点＿＿＿＿ 与x轴交 轴交于点＿＿＿＿ 抛物线 轴交于点＿＿＿＿,与 轴交 (1,0) 于点＿＿＿ 于点＿＿＿ (2,0) . ＿
初中数学教学设计.26.2.用函数观点看一元二次方程
26.2 用函数观点看一元二次方程一、教学目标知识技能：通过探索，理解二次函数与一元二次方程的联系，能够运用二次函数及其图象、性质解决生活中的实际问题.数学思考：灵活掌握用函数图象法求方程解的方法,在知识的学习过程中提高综合思维能力,进一步发展抽象思维能力.问题解决：明确二次函数图象与x轴的位置关系的三种情况，以及与一元二次方程方程的根的三种情况的对应关系，建立知识间的相互联系.情感态度：培养和提高综合解题能力，渗透数形结合的思想，树立应用数学的意识．二、重难点分析教学重点：使学生理解二次函数与一元二次方程之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题.通过设置问题，帮助学生体会一元二次方程与二次函数的对应关系；感受二次函数图象上的点与一元二次方程的解与抛物线点的坐标的关系,并让学生通过画图探索从形的角度去认识二次函数与解一元二次方程的关系.教学难点：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想．三、学习者学习特征分析学生在学习了一个新的内容后，用新的内容与观点来看原来的问题往往有新的收获.本节就是在学生学习了二次函数之后，利用函数的观点再认识一元二次方程，使学生既获得了新的见解，又沟通了知识之间的联系，利用知识的迁移既是一种研究问题的手段，也是一种重要的学习方法.四、教学过程（一）创设情境，引入新课（多媒体视频引入）情境：如图，以每秒40米的速度将球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位:米)与飞行时间t(单位:秒)具有关系2520t t h -=（1）球的飞行高度能否达到15米？如能，需要多少飞行时间？ （2）球的飞行高度能否达到20米？如能，需要多少飞行时间？ （3）球的飞行高度能否达到20.5米？如能，需要多少飞行时间？ (4） 球从飞出到落地要用多少时间（二）合作交流，探索新知1.二次函数与一元二次方程的关系问题1：引言中的问题（让学生讨论、交流，如何将文学语言转化为数学语言，得出问题1就是求解方程，从函数解析式看，就是已知函数值求自变量的值；学生解答，教师巡视指导.师生共同解决问题，注意观察图象，数形结合）解：（1）解方程252015t t -= ，342+-t t =0，1t =1，2t =3.当球飞行1s 和3s 时，它的高度为15m.（2）解方程252020t t -= ，442+-t t =0，1t =2t =2.当球飞行2s 时，它的高度为20m.（3）解方程25205.20t t -= ，1.442+-t t =0，因为1.44)4(2⨯--＜0，所以方程无实数根. 球的飞行高度达不到20.5米.（4）解方程25200t t -=，t t 42-=0，1t =0，2t =4.当球飞行0s 和4s 时，它的高度为0m ，即0s 时球从地面飞出，4s 时落回地面.学生观察、总结：二次函数与一元二次方程关系密切.（1）题中，一元二次方程有两个解，从函数解析式上看，就是自变量取这两个值时函数值为15，从函数图象上看，就是直线y=15与抛物线有两个公共点.（2）题中，一元二次方程有两个相同的解，从函数解析式上看，就是自变量取这两个值时函数值为20，从函数图象上看，就是直线y=20与抛物线有一个公共点.（3）题中，一元二次方程无实数解，从函数解析式上看，就是自变量取任何实数值时函数值都不会为20.5，从函数图象上看，就是直线y=20.5与抛物线有没有公共点.（4）题中，一元二次方程有两个解，从函数解析式上看，就是自变量取这两个值时函数值为0，从函数图象上看，就是x 轴与抛物线有两个公共点.问题2：画出函数22--=x x y 的图象，根据图象回答下列问题.(1)图象与x 轴交点的坐标是什么；(2)当x 取何值时，y ＝0?这里x 的取值与方程22--x x ＝0有什么关系?(3)你能从中得到什么启发?教学步骤：1．先让学生回顾函数c bx ax y ++=2图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数22--=x x y 的图象.2．教师巡视，与学生合作、交流.3．教师讲评，并画出函数图象，如图所示.4．教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出的问题，得到图象与x 轴交点的坐标分别是 (－1，0)和(2，0).5．让学生完成(2)的解答.教师巡视指导并讲评.6．对于问题(3)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数22--=x x y 的图象与x 轴交点的横坐标，即为方程22--x x ＝0的解；从“数”的方面看，当二次函数22--=x x y 的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程22--x x ＝0的解.一般地，函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交点的横坐标即为方程c bx ax ++2＝0的解；当二次函数c bx ax y ++=2的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程c bx ax ++2＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系.问题3：下列二次函数的图象与x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x 取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）22-+=x x y ；（2）962+-=x x y ；（3）12+-=x x y 教师引导学生观察图象，总结：（1）抛物线22-+=x x y 与x 轴有两个公共点，它们的横坐标是-2，1.当x 取公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程22-+x x =0的根是-2，1.（2）抛物线962+-=x x y 与x 轴有一个公共点，它的横坐标是3.当x=3时，函数的值是0.由此得出方程962+-x x =0有两个相等的实数根3.（3）抛物线12+-=x x y 与x 轴没有公共点，由此得出方程12+-x x =0没有实数根.一般地，从二次函数c bx ax y ++=2的图象可知，（1）如果抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有公共点，公共点的横坐标是0x ，那么当x=0x 时，函数的值是0.因此x=0x 就是方程c bx ax ++2=0的一个根.（2）二次函数的图象与x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.2.利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根例：利用函数图象求方程222--x x =0的实数根（精确到0.1）.解：作y=222--x x ，它与x 轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.所以方程222--x x =0的实数根为1x ≈-0.7，2x ≈2.7.（教师引导学生观察图象，培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合思想.）（三）课堂小结，体验收获（PPT 显示）这堂课你学会了哪些知识？有何体会？（学生小结）1.二次函数与一元二次方程的关系2.利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根（四）拓展延伸，布置作业（1）必做题：①二次函数1832--=x x y 的图象与x 轴有两交点，求两交点间的距离.②利用函数的图象求下列方程的解：(ⅰ) 62-+x x ＝0； (ⅱ) 5322--x x ＝0（2）选做题：已知抛物线c bx ax y ++=2与直线y ＝x －2相交于(m ，－2)，(n ，3)两点，且抛物线的对称轴为直线x ＝3，求函数的关系式（3）思考题已知抛物线k x x y -+=2与直线y ＝－2x ＋1的交点的纵坐标为3.(ⅰ)求抛物线的关系式；(ⅱ)求抛物线k x x y -+=2与直线y ＝－2x ＋1的另一个交点坐标．五、学习评价(一)选择题1．抛物线322+-=x x y 与x 轴（ ）（A ）有两个公共点. （B ）只有一个公共点.（C ）没有公共点. （D ）公共点情况不确定.2. 下列抛物线中与x 轴有两个公共点的是（ ）（A ）5752+-=x x y . （B ）924162+-=x x y . （C ）4322-+=x x y . （D ）12++=x x y .3. 抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线x=2，且经过点（3，0），则a ＋b ＋c 的值为（ ）（A ）-1. （B ）0. （C ）1. （D ）2.4. 已知二次函数m x x y ++=2，当x 取任意实数时，都有y>0，则m 的取值范围是（ ）（A ）m ≥14. （B ）m>14. （C ）m ≤14. （D ）m<14. 5. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，那么abc ，ac b 42-，2a ＋b ，a ＋b＋c 这四个代数式中，值为正数的有（ ）（A ）4个. （B ） 3个. （C ） 2个. （D ）1个.(二)填空题6.已知抛物线652++=x x y ,它与x 轴的交点坐标为_________.7.已知抛物线12+--=x x y ,它与y 轴的交点坐标为_________.8.抛物线c x ax y ++=2和x 轴的一个交点是（-1，0），则a+c=_________．9．已知二次函数与x 轴的两个交点间的距离为8，且顶点坐标为（1，5），则它的的解析式为 _________．10．若关于x 的一元二次方程c bx ax ++2=0的两根为1x =-1, 2x =3,则抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点坐标为_________.11．请写出一个开口向下，对称轴为直线x=2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式_________.(三)解答题12.利用函数的图象求下列方程的解：(1) 9322-+x x ＝0； (2) 122--x x ＝013．已知抛物线2ax y =与直线y ＝kx ＋1的一个交点是（1，4），试确定另一个交点的坐标.14．已知：抛物线228y x x =+-．（1）求证：此抛物线与x 轴一定有两个交点；（2）若此抛物线与x 轴的两个交点分别为A 、B ，且它的顶点为C ，求△ABC 的面积．15．已知二次函数c bx x y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标分别为1x 、2x ，一元二次方程202++bx x ＝0的两实根为3x 、4x ，且2x －3x ＝1x －4x ＝3，求二次函数的解析式，并写出顶点坐标.16．已知二次函数34)1(2-+-=x x m y 的图象与x 轴交于点A 和B ，与y 轴交于点C ．（1）求点C 的坐标；（2）若点A 的坐标为（1，0），求二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，在y 轴上是否存在点P ，使以P 、O 、B 为顶点的三角形与△AOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．答案与提示12．（1）(-3,0),(3/2,0) ；（2）(-3,0),(4,0)14．解：(1)因为△＝22－4×（－8）＝36＞0，所以抛物线与x 轴有两个交点．（2）因为A 、B 两点的坐标分别为（－4，0），（2，0），所以AB ＝6．顶点坐标为（－1，－9）．所以S △ABC ＝1692⨯⨯＝27． 15．232++=x x y ； (-3/2,- 1/4). 16.解：（1）C （0，－3）；（2）将（1，0）代入34)1(2-+-=x x m y 中，得m ＝2，所以二次函数的解析式为243y x x =-+-；（3）存在这样的点P ，它的坐标分别为（0，1），（0，－1），（0，9），（0，－9）．。
新人教版九年下《26.2用函数观点看一元二次方程》word教学设计2份
26.2用函数观点看一元二次方程教学目标知识与技能1．总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．2．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.过程与方法经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．情感态度价值观通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想．教学重点和难点重点:方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.难点:二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.教学过程设计（一）问题的提出与解决问题如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t—5t2考虑以下问题（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t－5t2.所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值.解：（1）解方程15＝20t—5t2. t2—4t＋3=0. t1＝1,t2＝3.当球飞行1s和3s时，它的高度为15m.（2）解方程20＝20t－5t2. t2－4t＋4＝0. t1＝t2＝2.当球飞行2s时，它的高度为20m.（3）解方程20.5＝20t－5t2. t2－4t＋4.1＝0因为（－4）2－4×4.1<0.所以方程无解.球的飞行高度达不到20.5m.（4）解方程0＝20t－5t2. t2－4t＝0. t1＝0,t2＝4.当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面飞出.4s时球落回地面播放课件：函数的图像，画出二次函数h=20t－5t2的图象，观察图象，体会以上问题的答案.从上面可以看出.二次函数与一元二次方程关系密切.由学生小组讨论，总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系？例如：已知二次函数y＝－x2＋4x的值为3.求自变量x的值.可以解一元二次方程－x2＋4x＝3（即x2－4x＋3＝0）.反过来，解方程x2－4x＋3＝0又可以看作已知二次函数y＝x2－4＋3的值为0，求自变量x的值.一般地，我们可以利用二次函数y＝ax2＋bx＋c深入讨论一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.（二）问题的讨论二次函数（1）y＝x2＋x－2；（2）y＝x2－6x＋9；（3）y＝x2－x＋0.的图象如图26.2－2所示.（1）以上二次函数的图象与x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？（2）当x 取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？先画出以上二次函数的图象，由图像学生展开讨论，在老师的引导下回答以上的问题. 可播放课件：函数的图像，输入a,b,c 的值，划出对应的函数的图像，观察图像，说出函数对应方程的解.可以看出：（1）抛物线y ＝x 2＋x －2与x 轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1.当x 取公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程x 2＋x －2=0的根是－2,1.（2）抛物线y ＝x 2－6x ＋9与x 轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x ＝3时，函数的值是0.由此得出方程x 2－6x ＋9=0有两个相等的实数根3.（3）抛物线y ＝x 2－x ＋1与x 轴没有公共点， 由此可知，方程x 2－x ＋1=0没有实数根.总结：一般地，如果二次函数y=2ax bx c ++的图像与x 轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程2ax bx c ++=0的根.（三）归纳一般地，从二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，（1）如果抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴有公共点，公共点的横坐标是x 0，那么当x ＝x 0时，函数的值是0，因此x ＝x 0就是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根.（2）二次函数的图象与x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的.（四）例题例利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根（精确到0.1）.解：作y＝x2－2x－2的图象（图26.2－3），它与x轴的公共点的横坐标大约是－0.7,2.7.所以方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7,x2≈2.7.播放课件：函数的图象与求解一元二次方程的解，前一个课件用来画图，可根据图像估计出方程x2－2x－2＝0实数根的近似解，后一个课件可以准确的求出方程的解，体会其中的差异.（五）小结总结本节的知识点.（六）作业:（七）板书设计a bx＋教学目标：1．知识与技能：通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系.2．方法与过程：使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识.3．情感、态度与价值观：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想教学重点：使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题是教学的重点.教学难点：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点．教学方法：学生学法教学过程：一、引言在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义.本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题.二、探索问题问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A 处安装一个喷头向外喷水.连喷头在内，柱高为0.8m.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示.根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y ＝－x 2＋2x ＋45. (1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?(2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内? 问题2：画出函数y ＝x 2－x －3/4的图象，根据图象回答下列问题.(1)图象与x 轴交点的坐标是什么；(2)当x 取何值时，y ＝0?这里x 的取值与方程x 2－x －34＝0有什么关系? (3)你能从中得到什么启发?对于问题(2)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数y ＝x 2－x －34的图象与x 轴交点的横坐标，即为方程x 2－x －34＝0的解；从“数”的方面看，当二次函数y ＝x 2－x －34的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x 2－x －34＝0的解.更一般地，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标即为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解；当二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系.三、课堂练习： P23练习1、2. 五、小结： 1．通过本节课的学习，你有什么收获?有什么困惑?2．若二次函数y ＝a x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴无交点，试说明，元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0和一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0、a x 2＋bx ＋c ＜0的解的情况.六、作业：26.2 用函数的观点看一元二次方程（2）教学目标：1．知识与能力：复习巩固用函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象求方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解.2．方法与过程：让学生体验函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 的交点的横坐标是方程x 2＝bx ＋c 的解的探索过程，掌握用函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 图象交点的方法求方程ax 2＝bx ＋c 的解.3．情感、态度与价值观：提高学生综合解题能力，渗透数形结合思想.教学重点；用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力是教学的重点. 教学难点：提高学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点.教学方法： 学生学法教学过程：一、复习巩固1．如何运用函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象求方程ax 2＋bx ＋c 的解?2．完成以下两道题：(1)画出函数y ＝x 2＋x －1的图象，求方程x 2＋x －1＝0的解.(精确到0.1)(2)画出函数y ＝2x 2－3x －2的图象，求方程2x 2－3x －2＝0的解.二、探索问题已知抛物线y 1＝2x 2－8x ＋k ＋8和直线y 2＝mx ＋1相交于点P(3，4m).(1)求这两个函数的关系式；(2)当x 取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标.解：(1)因为点P(3，4m)在直线y 2＝mx ＋1上，所以有4m ＝3m ＋1，解得m ＝1所以y 1＝x ＋1，P(3，4). 因为点P(3，4)在抛物线y 1＝2x 2－8x ＋k ＋8上，所以有4＝18－24＋k ＋8 解得 k ＝2 所以y 1＝2x 2－8x ＋10(2)依题意，得⎩⎨⎧y ＝x ＋1y ＝2x 2－8x ＋10 解这个方程组，得⎩⎨⎧x 1＝3y 1＝4 ，⎩⎨⎧x 2＝1.5y2＝2.5所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是(3，4)，(1.5，2.5). 五、小结： 如何用画函数图象的方法求方程的解?六、作业：。
九年级数学《用函数观点看一元二次方程2》教案
【赏析】随时搜集掌握评定学生尝试学习效果，及时回授评定的结果，以便有针对性地组织质疑和讲解，帮助学生克服思维障碍，补救知识或方法方面的漏洞。为使学生的主体作用得以有效发挥，尊重学生的个体差异，为不同学生的发展创造条件，作业分层推荐、分类要求。
X²+X－1= 0的近似解。
2.用求根公式求出方程x²+x-1=0的近似解，并由检验例5中所给图象解法的精确度。
3.利用函数图象判断下列方程有没有解，有几个解。若有解，求出它们的解（精确到0.1）。
①X²=2x-1②2x²-x+1=0③2x²-4x-1=0
4.在本节的例5中，我们把一元二次方程X²+X－1= 0的解看做是抛物线y=x²+x-1与x轴交点的横坐标，利用图象求出了方程的近似解。如果把方程x²+x-1 = 0变形成x² = -x+1，那么方程的解也可以看成怎样的两个函数的交点的横坐标？用不同图象解法试一试，结果相同吗？在不使用计算机画图象的情况下，你认为哪一种方法较为方便？
26.2用函数观点看一元二次方程
教
学
目
标
知识技能
理解二次函数与一元二次方程间的关系，会用图象法求一元二次方程的解。
数学思考
经历二次函数与一元二次方程关系的探索及相关实际问题的解决过程，学会用函数的观点去认识问题。
解决问题
能应用二次函数的图像解决相关实际问题。
情感态度
在探究活动中培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，在师生、生生的交流活动中，学会与人合作，学会倾听、欣赏和感悟，体验数学的价值，建立自信心。
活动二:诱导尝试，探究新知
1、一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，如图，
当球离抛出地的水平距离为30m时，达到最大值高10m。
26.2用函数观点看一元二次方程
第九课时、用函数观点看一元二次方程【教学内容】用函数观点看一元二次方程【教学目标】知识与能力：从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质，使学生理解二次函数与一元二次方程的相互关系。
探索二次函数的变化觃律,掌握函数的最大(或最小值)值及函数的增减性的概念,会求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性。
过程与方法：使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识。
情感与态度：迚一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想。
语言积累：函数观点、一元二次方程。
【教学重点】二次函数的最大值,最小值及增减性的理解和求法。
【教学难点】二次函数的性质的应用。
【教学用具】课件、学具。
【教学过程】一、复习引入：二次函数: y=ax2 +bx + c (a 0)的图象是一条抛物线,它的开口由什么决定呢?补充: 当a的绝对值相等时,其形状完全相同,当a的绝对值越大,则开口越小,反之成立。
如图四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2。
则a、b、c、d的大小关系为（A ）A a＞b＞c＞dB a＞b＞d＞cC b＞a＞c＞dD b＞a＞d＞c二次函数cbxaxy++=2的图象如图，则点M（b，ac）在（D）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限将抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线，其解析式是( A )A y=2(x+1)2+3B y=2(x－1)2－3C y=2(x+1)2－3D y=2(x－1)2+3方法：课件出示题目；指名回答，集体订正。
二、新课教学：1、探索填空:根据下边已画好抛物线y= -2x2的顶点坐标是, 对称轴是，在侧，即x_ _0时，y随着x的增大而增大；在侧，即x____0时，y随着x的增大而减小。
当x= 时，函数y最大值是__ __. 当x___ _0时,y<0.方法：课件出示题目；指名回答，集体订正。
人教版-数学-九年级下册-26.2用函数观点看一元二次方程(2)教学案WORD
数学教学案教学内容：26．2 二次函数的图象与性质（2）教学目标：会画出k ax y +=2这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． 教学重点：通过画图得出二次函数性质 教学难点：识图能力的培养 教具准备： 教学过程： 一、 情境创设：同学们还记得一次函数x y 2=与12+=x y 的图象的关系吗？你能由此推测二次函数2x y =与12+=x y 的图象之间的关系吗？ ，那么2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系？ ．二、 实践和探索：例1．在同一直角坐标系中，画出函数22x y =与222+=x y 的图象．描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示．回顾与反思 当自变量x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？x… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 22x y = … … 222+=x y……探索观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数22xy=与222-=xy的图象之间的关系吗？例2．在同一直角坐标系中，画出函数12+-=xy与12--=xy的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线12+-=xy得到抛物线12--=xy．描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．4所示．可以看出，抛物线12--=xy是由抛物线12+-=xy向下平移两个单位得到的．回顾与反思抛物线12+-=xy和抛物线12--=xy分别是由抛物线2xy-=向上、向下平移一个单位得到的．探索如果要得到抛物线42+-=xy，应将抛物线12--=xy作怎样的平移？例3．一条抛物线的开口方向、对称轴与221xy=相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．解x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …12+-=xy……12--=xy……回顾与反思 k ax y +=2（a 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归1． 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：221x y =， 2212+=x y ， 2212-=x y ．观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．你能说出抛物线k x y +=221的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？ 2．抛物线9412-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线241x y =向 平移 个单位得到的．3．函数332+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．1．已知函数231x y =， 3312+=x y ， 2312-=x y ． （1）分别画出它们的图象；（2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；（3）试说出函数5312+=x y 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．2． 不画图象，说出函数3412+-=x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数241x y -=通过怎样的平移得到的．3． 若二次函数22+=ax y 的图象经过点（-2，10），求a 的值．这个函数有最大还是最小值？是多少？4．在同一直角坐标系中b ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 的图象的大致位置是( )4． 已知二次函数7)1(82-+--=k x k x y ，当k 为何值时，此二次函数以y 轴为对称轴？写出其函数关系式．。
九年级数学下册(262用函数观点看一元二次方程)教学设计2 新人教版 教案
《26.2用函数观点看一元二次方程》教学设计讲课教师：学科：数学课时：第一课时总课时数：46教学目标知识与技能理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点个数，掌握方程与函数间的转化过程与方法通过交点个数的观察，由特殊到一般，用函数观点看一元二次方程的学习，进一步体会数形结合的优越感。
情感态度与价值观培养合作的良好意识并养成大胆探索数学知识间联系的好习惯；体会到二次函数的广泛意义。
教材分析教学重点探索二次函数图象与一元二次方程的关系，理解抛物线与X轴交点情况。
教学难点函数→方程→X轴交点，三者之间的关系的理解与运用。
教学过程教师活动学生活动备注（教学目的、时间分配等）导：（1）回忆一次函数与一元一次方程有何关系？（2）二次函数与一元二次方程在结构上有哪些相同呢?它们之间有哪些关系呢？这节我们一起探究二次函数与一元二次方程根的关系动:探究（1）二次函数与一元二次方程间的关系活动：小球的飞行路线是一条抛物线，它的飞行高度h=20t-5t²球的飞行高度能否达到15m?20m?20.5m？多长时间落地?探究（2）二次函数的图象与x轴的交点情况同一元二次方程的根的情况之间的关系活动：观察抛物线与x轴的交点你能得出方程的根吗?x²+x-2=0的根是―x²-6x+9=0的根是―x²-x+1=0的根是―总：（1）二次函数与二次方程的关系：(2)数学方法：分类讨论与数形结合落：例1：观察图象你能看出哪些方程的根？y=-x²+2x-3学生思考后回答学生通过分组讨论计算得出结果函数y=ax+bx+c，当y=m时，自变量x的值就是方程ax²ax²+bx+c=m的根学生归纳（1）抛物线y=ax²+bx+c与x轴交点的横坐标是方程ax²+bx+c=0的根（2）抛物线与x轴无交点方程无根；抛物线与x轴有一个交点方程有两个相等实根；抛物线与x轴有两个交点方程有两个不等实根方程-x²+2x+3=4的根为―方程-x²+2x+3=3的根为―方程-x²+2x+3=0的根为―3分10分培养学生归纳总结的能力培养学生观察和运用已学知识解决问题的能力教师活动学生活动备注（教学目的、时间分配等）例2已知二次函数y=2x ² (4k+1)x+2k ²-1的图象与x 轴交于两点，求k 的取值范围例3已知抛物线y=x ²+(2k+1)x-k ²+k (1) 求证抛物线与x 轴有两个不同的交点（2）当k=0时求抛物线与坐标轴的交点坐标 练习1、已知抛物线23)1(2----=k x k x y 与x 轴交于两点A （α，0），B （β，0），且1722=+βα，则k ＝ 。
数学26.2用函数观点看一元二次方程(2课时)教案(人教新课标九年级下)
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九年级数学下册 26.2 用函数观点看一元二次方程学案 新人教版
用函数观点看一元二次方程学习目标：1．了解一元二次方程的根的几何意义；会利用二次函数的图象求一元 二次方程的近似解．2．体会到事物之间是相互联系，相互作用的． 学习重点：二次函数与一元二次方程的关系． 学习难点：二次函数与一元二次方程的关系． 【学前准备】1．一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式△= ．① 当 时，方程有两个不相等的实数根； ② 当 时，方程有两个相等的实数根； ③ 当 时，方程没有实数根．2．已知竖直向上抛物体，离地高度h （米）和抛出时间t （秒）的关系是2021gt t v h -=，0v 是竖直上抛时的瞬时速度，重力加速度g =10米∕秒2，0v =30米∕秒．（1）h 与t 的函数关系式是： ，这个函数是 函数； （2）物体离地高度能否是25米？如能，需要多长时间？（3）物体离地高度能否是50米？如能，需要多长时间？（4）多少时间以后物体回到原处？通过解决上述问题，请你想想二次函数与一元二次方程之间有怎样的联系？【课堂探究】问题1：下列二次函数的图象与x 轴有公共点吗？若有，求出公共点的坐标；若没有，说明理由．（1）22-+=x x y （2）962+-=x x y （3）12+-=x x y想一想：（1）请你说出二次函数22-+=x x y 的图象与x 轴的公共点坐标和一元二次方程022=-+x x之间的关系．（2）抛物线c bx ax y ++=2与一元二次方程02=++c bx ax 之间的关系：① 二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个公共点时，这两个交点的横坐标就是对应的一元二次方程02=++c bx ax 的 ；所以抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个公共点的条件是 ；② 二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴只有一个公共点时，这个点的横坐标就是对应的一元二次方程02=++c bx ax 的 ；所以抛物线c bx ax y ++=2与x 轴只有一个公共点的条件是 ；③ 如果二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴没有公共点时，对应的一元二次方程02=++c bx ax ；所以抛物线c bx ax y ++=2与x 轴没有公共点的条件是 ；问题2：画出函数322--=x x y 的图象，利用图象回答： （1）当x 取什么值时，函数值大于0？ （2）当x 取什么值时，函数值小于0？【课堂检测】1．已知二次函数222--=x x y 的图象如图所示，根据其中提供的信息， （1）方程0222=--x x 的一个负根在哪两个整数之间？另一个正根在哪两个整数之间？（2）当30≤≤x 时，函数值y 的取值范围是 ； （3）当x 满足 时，函数值y 大于1．2．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度h （单位：m ）与水平距离之间x （单位：s ）的关系是35321212++-=x x y （1）画出函数的图象；（2）观察图象，指出铅球推出的距离．【课堂拓展】如图，抛物线322++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ． （1）求经过B 、C 两点的直线所对应的函数关系式；（2）若设直线BC 与抛物线的对称轴交于点E ，点P 是线段BC 上一个动点（不含C 、B 两个端点），过点P 作PF∥DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ；① 当m 为何值时，四边形PEDF 是平行四边形？ ② 设△BCF 的面积为S ，求S 的最大值．【课后作业】1．抛物线232+-=x x y与y 轴的交点坐标是 ，与x 轴的交点坐标是 ． 2．已知二次函数m x x y +--=22的部分图象如图所示，则：（1）方程022=+--m x x 的根为 ； （2）关于x 的不等式022>+--m x x 的解集为 ． 3．抛物线c bx ax y ++=2经过点（－1，3）和（5，3），则它的对称轴为 ．4．在平面直角坐标系中，抛物线x x y 22-=与x 轴的交点的个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．05．抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的公共点是（－1，0）、（3，0），求这条抛物线的对称轴．【课后反思】。
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26.2 用函数的观点看一元二次方程（2）
教学目标：
1．复习巩固用函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象求方程ax 2
＋bx ＋c ＝0的解。
2．让学生体验函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 的交点的横坐标是方程x 2＝bx ＋c 的解的探索过程，掌握用函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 图象交点的方法求方程ax 2＝bx ＋c 的解。
3．提高学生综合解题能力，渗透数形结合思想。
重点难点：
重点；用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力是教学的重点。
难点：提高学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点。
教学过程：
一、复习巩固
1．如何运用函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象求方程ax 2
＋bx ＋c 的解?
2．完成以下两道题：
(1)画出函数y ＝x 2＋x －1的图象，求方程x 2＋x －1＝0的解。
(精确到0.1)
(2)画出函数y ＝2x 2－3x －2的图象，求方程2x 2－3x －2＝0的解。
教学要点
1．学生练习的同时，教师巡视指导， 2．教师根据学生情况进行讲评。
解：略
函数y ＝2x 2－3x －2的图象与x 轴交点的横坐标分别是x 1＝－12
和x 2＝2，所以一元二次方程的解是x 1＝－12
和x 2＝2。
二、探索问题
问题1：(P23问题4)育才中学初三(3)班学生在上节课的
作业中出现了争论：求方程x 2＝12
x 十3的解时，几乎所有学生都是将方程化为x 2－12x －3＝0，画出函数y ＝x 2－12
x －3的图象，观察它与x 轴的交点，得出方程的解。
唯独小刘没有将方程移
项，而是分别画出了函数y ＝x 2和y ＝12
x ＋2的图象，如图(3)所示，认为它们的交点A 、B 的横坐标－32
和2就是原方程的解． 提问： 1. 这两种解法的结果一样吗? 2．小刘解法的理由是什么?
让学生讨论，交流，发表不同意见，并进行归纳。
3．函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 的图象一定相交于两点吗?你能否举出例子加以说明?
4，函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 的图象的交点横坐标一定是一元二次方程x 2＝bx ＋c 的解吗?
5．如果函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 图象没有交点，一元二次方程x 2＝bx ＋c 的解怎样?
三、做一做
利用图26．3．4(见P24页)，运用小刘方法求下列方程的解，并检验小刘的方法是否合理。
(1)x 2＋x －1＝0(精确到0.1)； (2)2x 2－3x －2＝0。
教学要点：①要把(1)的方程转化为x 2＝－x ＋1，画函数y ＝x 2
和y ＝－x ＋1的图象；
②要把(2)的方程转化为x 2＝32x ＋1，画函数y ＝x 2和y ＝32
x ＋1的图象；③在学生练习的同时，教师巡视指导；④解的情况分别与复习两道题的结果进行比较。
四、综合运用
已知抛物线y 1＝2x 2－8x ＋k ＋8和直线y 2＝mx ＋1相交于点P(3，4m)。
(1)求这两个函数的关系式；
(2)当x 取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标。
解：(1)因为点P(3，4m)在直线y 2＝mx ＋1上，所以有4m ＝3m ＋1，解得m ＝1
所以y 1＝x ＋1，P(3，4)。
因为点P(3，4)在抛物线y 1＝2x 2－8x ＋k ＋8上，所以有 4＝18－24＋k ＋8 解得 k ＝2 所以y 1＝2x 2－8x ＋10
(2)依题意，得⎩⎨⎧y ＝x ＋1y ＝2x 2－8x ＋10 解这个方程组，得⎩⎨⎧x 1＝3y 1＝4 ，⎩⎨⎧x 2＝1.5y2＝2.5 所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是(3，4)，(1.5，2.5)。
五、小结： 1．如何用画函数图象的方法求方程韵解?
2．你能根据方程组：⎩⎨⎧y ＝x 2
y ＝bx ＋c
的解的情况，来判定函数y ＝x 2与y ＝bx ＋c 图象交点个数吗?请说说你的看法。
六、作业：
1. 利用函数的图象求下列方程的解：(1)x 2＋x －6＝0； (2)2x 2
－3x －5＝0
2．利用函数的图象求下列方程的解。
(1)、⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝12x ＋3 ， (2)、⎩⎨⎧y ＝x 2＋x y ＝5x －4 3．填空。
(1)抛物线y ＝x 2
－x －2与x 轴的交点坐标是______，与y 轴的交点坐标是______。
(2)抛物线y ＝2x 2－5x ＋3与y 轴的交点坐标是______，与x 轴的交点坐标是______。
4．已知抛物线y 1＝x 2＋x －k 与直线y ＝－2x ＋1的交点的纵坐标为3。
(1)求抛物线的关系式；
(2)求抛物线y ＝x 2＋x －k 与直线y ＝－2x ＋1的另一个交点坐标．
5．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝x －2相交于(m ，－2)，(n ，3)两点，且抛物线的对称轴为直线x ＝3，求函数的关系式。