2011高考数学课下练兵：三角函数的诱导公式

第三章 第二节 三角函数的诱导公式
课下练兵场
一、选择题
1.若α、β终边关于y 轴对称，则下列等式成立的是 ( ) A .sinα＝sinβ B.cosα＝cosβ C .tanα＝tanβ D.sinα＝－sin β 解析：法一：∵α、β终边关于y 轴对称， ∴α＋β＝π＋2kπ或α＋β＝－π＋2kπ，k ∈Z ， ∴α＝2kπ＋π－β或α＝2kπ－π－β，k ∈Z ， ∴sin α＝sin β.
法二：设角α终边上一点P (x ，y )，则点P 关于y 轴对称的点为P ′(－x ，y )，且点P 与点P ′到原点的距离相等设为r ，则sin α＝sin β＝y
r .
答案：A 2.已知A ＝
sin(kπ＋α)sin α＋cos(kπ＋α)
cos α
(k ∈Z)，则A 的值构成的集合是 ( )
A.{1，－1,2，－2}
B.{－1,1}
C.{2，－2}
D.{1，－1,0,2，－2} 解析：当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos α
cos α＝2；
k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos α
cos α＝－2.
答案：C
3.已知tan x ＝sin(x ＋π
2)，则sin x ＝ ( )
A.－1±52
B.3＋12
C.5－12
D.3－12
解析：∵tan x ＝sin(x ＋π
2)，∴tan x ＝cos x ，
∴sin x ＝cos 2x ，
∴sin 2x ＋sin x －1＝0，解得sin x ＝5－12(或－1－5
2
<－1，舍去) 答案：C
4.已知α∈(π2，3π2)， tan(α－7π)＝－3
4，则sin α＋cos α的值为 ( )
A.±15
B.－15
C.15
D.－7
5
解析：tan(α－7π)＝tan α＝－34，∴α∈(π2，π)，sin α＝35，cos α＝－45，∴sin α＋cos α＝－15.
答案：B
5.已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx －β)，其中α、β、a 、b 均为非零实数，若f (2010)＝－1，则f (2011)等于 ( ) A.－1 B.0 C.1 D.2 解析：由诱导公式知f (2010)＝a sin α＋b cos β＝－1， ∴f (2011)＝a sin(π＋α)＋b cos(π－β)＝－(a sin α＋b cos β)＝1. 答案：C
6.已知
sin(2π＋θ)tan(π＋θ)tan(3π－θ)
cos(π
2
－θ)tan(－π－θ)
＝1，
则
3
sin 2
θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θ
的值是 ( )
A.1
B.2
C.3
D.6 解析：∵sin(2π＋θ)tan(π＋θ)tan(3π－θ)
cos(π
2－θ)tan(－π－θ)
＝
sin θtan θtan(π－θ)－sin θtan(π＋θ)＝－sin θtan θtan θ
－sin θtan θ
＝tan θ＝1， ∴
3
sin 2
θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θ
＝3sin 2θ＋3cos 2θ
sin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θ ＝3tan 2θ＋3tan 2θ＋3tan θ＋2＝3＋31＋3＋2＝1. 答案：A 二、填空题
＝ 解析：cos(2π－α)＝cos α＝5
3，又α∈(－π2，0)， 故sin(π－α)＝sin α＝－1－(
53)2＝－2
3
. 答案：－2
3
8.(2009·北京高考)若sin θ＝－4
5，tan θ＞0，则cos θ＝ .
解析：由sin θ＝－4
5＜0，tan θ＞0知θ是第三象限角.
故cos θ＝－3
5.
答案：－3
5
9.已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin(－α－32π)cos(3
2
π－α)
cos(π2－α)sin(π2
＋α)
·tan 2
(π－α)＝ .
解析：方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－3
5，x 2＝2，
由α是第三象限角，∴sin α＝－35，cos α＝－4
5，
∴sin(－α－32π)cos(3
2π－α)
cos(π2－α)sin(π
2＋α)
·tan 2
(π－α) ＝－sin(π＋π2＋α)cos(π＋π2
－α)
sin αcos α·tan 2α
＝－ sin(π2＋α)cos(π
2
－α)
sin αcos α·tan 2α
＝
－cos αsin α
sin αcos α
·tan 2α
＝－tan 2α＝－sin 2
αcos 2α＝－(－35)2
(－45)2
＝－9
16
.
答案：－9
16
三、解答题
10.已知sin α＝25
5，求tan(α＋π)＋sin(5π2＋α)
cos(5π
2－α)
.
解：∵sin α＝
25
5
>0，∴α为第一或第二象限角 当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55
， tan(α＋π)＋sin(5π2＋α)
cos(5π2－α)
＝tan α＋cos α
sin α
＝
sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝5
2
. 当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55
， 原式＝1sin αcos α＝－5
2
.
11.(1)若角α是第二象限角，化简tan α 1
sin 2α
－1； (2)化简：1－2sin130°cos 130°sin130°＋1－sin 2
130° . 解：(1)原式＝tan α 1－sin 2α
sin 2α
＝tan α cos 2α
sin 2α
＝
sin αcos α|cos αsin α
|， ∵
α是第二象限角，∴sin α>0，
cos α<0，
∴原式＝sin αα⎧=⎪=sin αcos α|cos αsin α|＝sin αcos α·－cos α
sin α
＝－1. (2)原式＝sin 2130°＋cos 2130°－2sin130°cos 130°
sin130°＋cos 2130°
＝
|sin130°－cos130°|sin130°＋|cos130°|＝sin130°－cos130°sin130°－cos130°
＝1.
12.是否存在角α，β，α∈(－π2，π2)，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos(π
2－β)，3cos
(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，
β的值；若不存在，请说明理由
解：假设存在角,αβ满足条件，则sin
α⎧=⎪
由①2＋②2得sin 2α＋3cos 2α＝2. ∴sin 2α＝12，∴sin α＝±2
2.
∵α∈(－π2，π2)，∴α＝±π
4
.
当α＝π4时，cos β＝3
2，∵0<β<π，∴β＝π6
；
当α＝－π4时，cos β＝3
2，∵0<β<π，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去.
∴存在α＝π4，β＝π
6满足条件.。