精编同角三角函数的基本关系式及诱导公式
同角三角函数的基本关系与诱导公式
同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；(2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，其中k ∈Z.公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α.公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α.公式五：sin ）（απ-2＝cos α，cos ）（απ-2＝sin α. 公式六：sin ）（απ+2cos α，cos ）（απ+2＝－sin α. 一个口诀：诱导公式的记忆口诀为：（απ±2k ）奇变偶不变，符号看象限． 三种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝….一、已知某角的一个三角函数值，求其它三角函数值 例1：① 已知sinA=23, A 为第二象限的角，求cosA ，tanA 的值；②已知cosA=23, A 为第四象限的角，求sinA ，tanA 的值；③已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________；二、由某角的正切值求该角关于正弦余弦的三角函数式的值例 2：已知tan α=2,求:(1)4sin 2cos 5sin 3cos αααα-+;(2)2222sin 2sin cos cos 4cos 3sin 1αααααα---+;(3)25sin 3sin cos 2ααα+-变式(1)已知tan α＝13，求12sin αcos α＋cos 2α的值；三、关于某角的正弦与余弦之和，正弦与余弦之差，正弦与余弦之积，知一求二例3： 已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15①求sinxcosx 的值， ②求sinx+cosx 的值③求sin 2x －cos 2x 的【试一试】 (1)若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形（2）已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝________.四、利用诱导公式求值，化简例4： 已知sin）（2πα+＝－55，α∈(0，π)． (1)求)3cos()sin()23cos()2sin(απαπαππα++-+--的值； (2)求cos ）（απ-65的值．(2)已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角， 则sin (－α－32π)cos (32π－α)cos (π2－α)sin (π2＋α)·tan 2(π－α)＝________.专项基础训练一、选择题1．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( )A ．－32B.32C ．－12 D.12 2． cos(－2 013π)的值为( ) A.12B ．－1C ．－32D ．03．已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3的值为( )A.12B ．－12C.32 D ．－324．当0<x <π4时，函数f (x )＝cos 2xcos x sin x －sin 2x的最小值是( )A.14B.12 C ．2 D ．4 二、填空题5．如果sin α＝15，且α为第二象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝________.6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值为________．7. sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2·tan (α＋π)sin (π－α)＝________.三、解答题(共22分)8． (10分)已知sin θ＋cos θ＝23(0<θ<π)，求tan θ的值．9． (12分)已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．。
高考数学同角三角函数的基本关系与诱导公式
高考数学同角三角函数的基本关系与诱导公式2021高考各科复习资料2021年高三开学差不多有一段时刻了，高三的同学们是不是差不多投入了紧张的高考一轮复习中，数学网高考频道从高三开学季开始为大伙儿系列预备了2021年高考复习，2021年高考一轮复习，2021年高考二轮复习，2021年高考三轮复习都将连续系统的为大伙儿推出。
1.明白得同角三角函数的差不多关系式：sin2x+cos2x=1，=tan x.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.1.同角三角函数的差不多关系(1)平方关系：sin2α+cos2α=1.(2)商数关系：tan α=.2.三角函数的诱导公式公式一：sin(α+2kπ)=sin α，cos(α+2kπ)=cos_α，tan(α+2kπ)=ta n α，其中k∈Z.公式二：sin(π+α)=-sin_α，cos(π+α)=-cos_α，tan(π+α)=tan α.公式三：sin(-α)=-sin_α，cos(-α)=cos_α，tan(-α)=-tan α.我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一样在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。
什么缘故在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在19 78年就尖锐地提出:“中小学语文教学成效差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时刻,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数只是关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其要紧缘故确实是腹中无物。
专门是写议论文,初中水平以上的学生都明白议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的差不多结构:提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。
同角三角函数基本关系式、三角函数的诱导公式
一、知识概述1、同角三角函数的基本关系式同角三角函数基本关系可概括为平方关系，商数关系和倒数关系，如考虑sinα，cos α，tanα，cotα与secα，cscα六个函数，还可借助如下图表形象记忆：（1）对角线上两个函数的积为1（倒数关系）（2）任一顶点的函数等于与其相邻两个顶点的函数的积（商数关系）（3）阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方（平方关系）由此图可得出公式的变形形式或其他同角函数关系式．平方关系：sin2α＋cos2α=1，sec2α=1＋tan2α，csc2α=1＋cot2α.商数关系：倒数关系：tanα·cotα=1，sinα·cscα=1，cosα·secα=1.注：课本上只介绍了其中两个重要的关系式，事实上，掌握好其余的五个关系式能在有关解题中节省过程，带来方便.2、三角函数的诱导公式公式一：sin(α＋k·)=sinαcos(α＋k·)=cosαtan(α＋k·)=tanα其中k∈Z．公式二：sin(＋α)=－sinαcos(＋α)=－cosαtan(＋α)=tanα公式三：sin(－α)=－sinαcos(－α)=cosαtan(－α)=－tanα公式四：sin(－α)=sinαcos(－α)=－cosαtan(－α)=－tanα总结：α＋k·2（k∈Z），－α，±α的三角函数，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。
公式五：sin(－α)=cosαcos(－α)=sinα公式六：sin(＋α)=cosαcos(＋α)=－sinα总结：±α的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．二、重、难点知识归纳及讲解（一）利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即：例1、求值：.分析：运用诱导公式，对于cot，可先求出sin，cos，然后由商数关系可求出cot.解：原式例2、设的值为（）A．B．C．－1 D．1分析：利用诱导公式将条件等式和欲求式都化到α的同名三角函数上去，再利用同角三角函数基本关系式求解.解答：（二）同角三角函数关系式在求值、化简、证明中的应用.1、已知角α的某一三角函数值，可求出α的其余三角函数值.例3、已知tanα=2，求2sin2α－3sinαcosα－2cos2α的值.分析：由平方关系知1=sin2α＋cos2α，可把式子的分母看成sin2α＋cos2α，然后分子分母同除以cos2α，可得.解：2、利用同角三角函数关系式进行化简：化简结果的基本要求：（1）函数个数尽可能少；（2）次数尽可能低；（3）项数尽可能少；（4）尽可能地去掉根号；（5）尽可能地不含分母；（6）能求出值的要求出值来.例4、若sinαcosα<0，sinαtanα<0，化简：.分析：要想去掉根号，就应考虑将被开方数配成完全平方的形式.解：∵sinαcosα<0，sinαtanα<0.∴α是第二象限角.故是第一或第三象限角.原式若是第一象限角，此时1±sin>0，cos>0. 原式=若是第三象限角，此时1±sin>0，cos<0. 原式=.3、利用同角关系式进行三角恒等式的证明.证明三角恒等式的方法较多，既可由一边证向另一边，也可先证得另一个等式成立，从而得出要证的等式，还可用比较法证明等，关键是要依题而定。
同角三角函数的基本关系及诱导公式-高考复习
)
√2
A.6
(2)已知 sin
√2
B.
6
2√5
α= 5 ,则
2
C.3
5π
+)
2
5π
cos ( -)
2
sin (
tan(π+α)+
=
2
D.
3
.
答案 (1)D
5
5
(2) 或2
2
解析 (1)sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-√2cos2θ
sin
θ-2cos2θ=
=
,
2
2
2
sin +cos
tan +1
4+2-2
θ=2,故原式=
4+1
=
4
.
5
解题心得 1.利用 sin2α+cos2α=1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化,利用
tan
sin
α=cos
≠ π +
π
,∈Z
2
可以实现角 α 的弦切互化.
2.“1”的灵活代换:1=cos α+sin α=(sin α+cos α) -2sin αcos
解题心得1.利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择
恰当公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式.
2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可
能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.
3.用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简
【例 1】 (1)若
1
高三第一轮复习--同角三角函数的关系式及诱导公式
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开咯万丈光芒.东舌闭目凝神感受着万物,壹切都变得那么の清新整齐,没什么半分の紊乱否均.正自思绪纷飞之时,身后响起咯壹阵轻快の脚步声,东舌本能の回过头去长望.走来の否是别人,正是吐茂公.东舌淡然壹笑,转而问道:"吐军师,有什么事情吗？"吐茂公轻摇手中羽扇,掀起无数尘 埃飘散开来,在阳光の耀射之下格外の显眼,沉静如水地说道:"殿下,在下已经召集咯全部人在正堂集中,还望殿下无事の话速速前去."听咯吐茂公の话,东舌心中突然有种否好の预感,旋即问道:"军师,莫否是出咯什么事情？"吐茂公警觉地环扫四周,点咯点头,匆匆转身离去.从吐茂公の表 现,东舌便猜测出咯事情の重要性.也否多问什么,随着吐茂公壹起朝正堂走去..半响过后,钱塘王府正堂.东舌端坐在王座之上,台下文武按顺序摆开,已经颇有壹番******の样子.右侧武将之中走出壹人,只见身高七尺有余.身挂金甲,背披紫袍,长得却是有些异于常人.此人便是日行千里,神 驹子马灵,马灵早在半个月前就被东舌派出到各地搜罗情报,如今归来定是情况有变.马灵上前壹步,拱手说道:"殿下,末将在隋朝廷打听到咯壹个消息."东舌否假思索の问道:"什么消息,尽管说来便是.""北方罗艺军团全线崩溃.被其部下完颜阿骨打所杀,如今完颜阿骨打拥兵五万坐守幽州, 罗艺之子罗成报仇心切,领着七万兵力投降北方の神秘人,否过北方突降数百年否遇の大雪,怕是壹年半载否能作战."马灵将北方情况壹壹道来.东舌思酌着情报,用手抚着下颚の须绒,点咯点头说道:"那汤广有没什么什么动静？"马灵顿咯顿语气.旋即说道:"汤广派高颎带兵十五万出兵北方, 平定幽州之乱.并派出十万大军企图企图."马灵说到另外壹支大军之时,突然语气变得迟钝起来,好像有点难以启齿壹般.东舌眼
同角三角函数的基本关系与诱导公式-高考数学复习
3
θ＝ ，
5
cos
π
θ＜0，所以可得θ∈（ ，π），
2
sin θ cos
θ）2＝1－2
sin θ＋ cos
4
θ＝－ ，tan
5
1
θ＝ ，可得
25
sin θ cos
1
θ＝－ ，
5
sin θ cos θ
49
θ＝ ，所以
25
sin θ－ cos
sin θ
7
θ＝ ，联
5
3
θ＝－ ，故B错误，C正确.
4
目录
高中总复习·数学
可求解；
（2）若齐次式为二次整式，可将其视为分母为1的分式，然后将分母
1用 sin 2α＋ cos 2α替换，再将分子与分母同除以 cos 2α，化为只
含有tan α的式子，代入tan α的值即可求解.
目录
高中总复习·数学
考向3 “ sin α±cos α， sin α cos α”之间关系的应用
可以知一求二.
目录
高中总复习·数学
1. 若 sin θ＋ cos
2 3
θ＝
，则
3
解析：由 sin θ＋ cos
θ cos
1
θ＝ ，∴
6
sin 4θ＋ cos 4θ＝（
2 3
θ＝
，平方得1＋2
3
）
sin θ cos
4
θ＝ ，∴
3
sin
sin 4θ＋ cos 4θ＝（ sin 2θ＋ cos 2θ）2－2 sin 2θ cos 2θ
（1）思路：①分析结构特点，选择恰当的公式；②利用公式化成单
（4） sin α＝tan α cos
同角三角函数的基本关系式与诱导公式
课堂互动讲练
考点一
诱导公式的应用
应用诱导公式进行化简或证明时， 首先根据题意选准公式再用，一般是负 变正、大变小的思想．
在使用诱导公式时，α可为任意角， 并不一定要为锐角，只不过是在运用的 过程中把它“看作”是锐角而已．“奇 变偶不变，符号看象限”同样适用于正 切和余切．如tan(270°－α)＝cotα等．
cos2x－1 sin2x＝
cos2x＋sin2x cos2x－sin2x
，想法
使分
子分
母都出现 tanx 即可．
课堂互动讲练
【解】 (1)法一：联立方程：
sinx＋cosx＝15， sin2x＋cos2x＝1.
① 2分
②
①式两边平方得：sin2x＋cos2x＋2sinxcosx
＝215，
∴2sinxcosx＝－2245.4 分 ∵－π2<x<0，∴sinx<0，cosx>0. ∴sinx－cosx＝－ sin2x－2sinxcosx＋cos2x
三基能力强化
5．已知scions2θθ＋＋14＝2，那么(cosθ ＋ 3)(sinθ＋1)的值为________．
解析：∵scions2θθ＋＋14＝2，∴sin2θ＋4＝ 2cosθ＋2，
∴cos2θ＋2cosθ－3＝0，解得 cosθ＝ 1 或 cosθ＝－3(舍去)，由 cosθ＝1 得 sinθ ＝0，∴(cosθ＋3)(sinθ＋1)＝4.
规律方法总结
公式中 k·π2＋α 的整数 k 来讲的．“象
限”指在 k·π2＋α 中，将 α 看作锐角时 k·π2＋
α
所在的象限，如将
cos(32π＋α)写成
π cos(3·2
专题5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式(精讲)(解析版)
专题5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式【考纲要求】1. 理解同角三角函数的基本关系.2. 掌握正弦、余弦、正切的诱导公式.【知识清单】知识点1．同角三角函数的基本关系式 1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R )． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 2.对同角三角函数基本关系式的理解注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin 23α＋cos 23α＝1成立，但是sin 2α＋cos 2β＝1就不一定成立． 3．常用的等价变形sin 2α＋cos 2α＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，sin α＝±1－cos 2α，cos α＝±1－sin 2α；tan α＝sin αcos α⇒⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝tan αcos α，cos α＝sin αtan α.知识点2．三角函数诱导公式 六组诱导公式对于角“k π2±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”知识点3．特殊角的三角函数值（熟记）【考点梳理】考点一同角三角函数的基本关系式【典例1】（2020·嘉兴市第五高级中学高二期中）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，5cosα3，则sinα=________，tanα= ________.【答案】23【解析】因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，5cosα3，22sin cos1αα+=所以2sin3α=，2sintancosααα===故答案为：23.【典例2】（2020·金华市江南中学高一月考）已知sin cossin cosx xx x+-=2，则tan x=____，sin x cos x=____.【答案】3310【解析】将sin cos sin cos x x x x +-=2左端分子分母同除以cos x ，得tan 12tan 1x x +=-，解得tan 3x =， 2222sin cos tan 33sin cos sin cos tan 13110x x x x x x x x ====+++. 故答案为：3；310【规律方法】1.同角三角函数关系式的三种应用方法--“弦切互化法”、““1”的灵活代换法”、“和积转换法” (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，注意()222124sin cos sin cos sin cos tanπθθθθθθ=+=+-=等；(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论． 2. 利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．（1）若已知tan α＝m ，求形如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α(或a sin 2α＋b cos 2αc sin 2α＋d cos 2α)的值，其方法是将分子、分母同除以cos α(或cos 2α)转化为tan α的代数式，再求值，如果先求出sin α和cos α的值再代入，那么运算量会很大，问题的解决就会变得繁琐．（2）形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α通常把分母看作1，然后用sin 2α＋cos 2α代换，分子、分母同除以cos 2α再求解． 【变式探究】1.（2020·上海高一课时练习）若α是第三象限角，1sin 3α=-，则cos α=_________；tan α=________.【答案】4【解析】因为α是第三象限角，则cos 0α<，所以cos α===，1sin tan cos 4ααα-===.故答案为：42.（2020·山西平城�大同一中高一月考）已知tan 3α=，则3sin cos 5cos sin αααα-=-（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B 【解析】 由已知3sin cos 3tan 133145cos sin 5tan 53αααααα--⨯-===---．故选：B ． 【总结提升】在使用开平方关系sin α＝±1－cos 2α和cos α＝±1－sin 2α时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角α所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论． 考点二 sin α±cos α与sin αcos α的关系及应用【典例3】（2019·四川石室中学高考模拟（理））已知α为第二象限角，且1sin cos 5αα+=，则cos sin αα-=（ ）A ．75B ．75-C ．75±D ．2525【答案】B 【解析】∵1sin cos 5αα+=，平方得11+2sin cos 25αα=， ∴2cos αsin α＝﹣2425∴22449cos sin 1-2sin cos 12525αααα-==+=（），∵α为第二象限角， ∴7cos sin -5αα-= 故选：B ．【典例4】（2020·永州市第四中学高一月考）已知22sin 2sin cos 01tan 2k αααπαα+⎛⎫=<< ⎪+⎝⎭.试用k 表示sin cos αα-的值.【答案】详见解析【解析】()22sin sin cos 2sin 2sin cos sin 1tan 1cos ααααααααα++=++()2sin cos sin cos sin cos αααααα+=+2sin cos k αα==，()222sin cos sin cos 2sin cos αααααα-=+-12sin cos αα=-1k =-,当04πα<<时，sin cos αα<，此时sin cos αα-= 当42ππα≤<时，sin cos αα≥，此时sin cos αα-=【规律方法】和积转换法:利用()()22212,()2sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ±=±++-=的关系进行变形、转化.【变式探究】1. （2019·山东高三期末（理））已知sinα+cosα=15，α∈(0,π)，则tanα=（ ） A ．−34 B ．−43 C ．−34或−43 D ．34或43 【答案】B 【解析】由题意知， sinα+cosα=15,α∈(0,π)，① ∴(sinα+cosα)2=125，即1+2sinα⋅cosα=125， ∴2sinα⋅cosα=−2425<0，∴α为钝角，，∴sinα>0,cosα<0，∴sinα−cosα>0 ∴(sinα−cosα)2=1−2sinα⋅cosα=4925， ∴sinα−cosα=75，②由①②解得sinα=45,cosα=−35，∴tanα=45−35=−43，故选B.2. （2019·上海高考模拟）设a>0且a≠1，若log a(sinx−cosx)=0，则sin8x+cos8x=______．【答案】1【解析】设a>0且a≠1，若log a(sinx−cosx)=0，所以：sinx−cosx=a0=1，∴(sinx−cosx)2=1,又(sinx)2+(cosx)2=1，∴sinx⋅cosx=0，∴(sinx+cosx)2=1，又sin8x+cos8x=(sin4x−cos4x)2+2sin4x⋅cos4x=[(sin2x+cos2x)(sin2x−cos2x)]2+2sin4x⋅cos4x=[(sinx+cosx)(sinx−cosx)]2−0=(sinx+cosx)2(sinx−cosx)2=1，故答案为：1．【总结提升】1.对于三角函数式sinθ±cosθ，sinθ·cosθ之间的关系，可以通过(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθ·cosθ进行转化．2.若已知sinθ±cosθ，sinθ·cosθ中三者之一，利用方程思想进一步可以求得sinθ，cosθ的值，从而求出其余的三角函数值．考点三利用诱导公式化简求值【典例5】（2019·北京高考真题（文））如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（）A．4β+4cosβB．4β+4sinβC．2β+2cosβD．2β+2sinβ【答案】B 【解析】观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π-β, 面积S 的最大值为2222βππ⨯⨯+S △POB + S △POA =4β+1||sin()2OPOB πβ-‖1||sin()2OP OA πβ+-‖ 42sin 2sin 44sin βββββ=++=+⋅.故选：B .【典例6】（2017·全国高考真题（文））函数f (x )=15sin(x +π3)+cos(x −π6)的最大值为（ ）A ．65B ．1C ．35D ．15 【答案】A 【解析】由诱导公式可得cos (x −π6)=cos [π2−(x +π3)]=sin (x +π3)， 则f (x )=15sin (x +π3)+sin (x +π3)=65sin (x +π3), 函数f (x )的最大值为65. 所以选A. 【规律方法】1.利用诱导公式化简求值的步骤:(1)负化正;(2)大化小;(3)小化锐;(4)锐求值.2.利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择恰当公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式.3.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值. 【变式探究】1.（2020·永州市第四中学高一月考）已知α是第四象限角，3sin cos tan()22()tan()sin()f ππααπααπαπα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---. （1）化简()f α.（2）若33cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值. 【答案】（1）cos α-；（2）45- 【解析】（1）3sin()cos()tan()22()tan()sin()f ππααπααπαπα-+-=---． sin()sin (tan )2tan sin πααααα---=- cos sin tan tan sin ααααα=-cos α=-．（2）因为3cos()2πα- 3cos()2πα=- 3sin 5α=-=， 所以3sin 5α=-． 因为α是第四象限角， 所以4cos 5α=， 所以4()cos 5f αα=-=-．2.化简[][]sin()cos (1),sin (1)cos()k k k Z k k παπαπαπα---∈+++【答案】当2,k n n Z =∈时，原式1=-；当21,k n n Z =+∈时，原式1=. 【解析】（1）当2,k n n Z =∈时， 原式sin()cos()sin (cos )1sin()cos sin cos απαααπαααα-----===-+-；（2）当21,k n n Z =+∈时， 原式sin()cos()sin cos 1sin cos sin cos παααααααα--===.【总结提升】用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有π3-α与π6+α,π3+α与π6-α,π4+α与π4-α等,常见的互补关系有π6-θ与5π6+θ,π3+θ与2π3-θ,π4+θ与3π4-θ等.考点四 同角三角函数基本关系式、诱导公式的综合应用【典例7】（2020·山东诸城�高一期中）已知3sin 5α=-，且α是第________象限角.从①一，②二，③三，④四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题： （1）求cos ,tan αα的值；（2）化简求值：3sin()cos()sin 2cos(2020)tan(2020)πααπαπαπα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭+-.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）1625【解析】（1）因为3sin 5α=-，所以α为第三象限或第四象限角；若选③，4sin 3cos ,tan 5cos 4αααα==-==；若选④，4sin 3cos ,tan 5cos 4αααα====-； （2）原式sin cos (cos )cos tan()ααααα-=-sin cos tan ααα-=-sin cos sin cos αααα=2cos α=2315⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1625=. 【典例8】设tan(α＋8π7)＝m ，求证：sin (15π7＋α)＋3cos (α－13π7)sin (20π7－α)－cos (α＋22π7)＝m ＋3m ＋1．【答案】见解析 【解析】 证法一：左边＝sin[π＋(87π＋α)]＋3cos[(α＋8π7－3π)]sin[4π－(α＋87π)]－cos[2π＋(α＋8π7)]＝－sin (α＋8π7)－3cos (α＋8π7)－sin (α＋8π7)－cos (α＋8π7)＝tan (α＋8π7)＋3tan (α＋8π7)＋1＝m ＋3m ＋1＝右边．∴等式成立． 证法二：由tan(α＋8π7)＝m ，得tan(α＋π7)＝m ．左边＝sin[2π＋(π7＋α)]＋3cos[2π－(π7＋α)]sin[2π＋π－(π7＋α)]－cos[2π＋π＋(π7＋α)]＝sin (π7＋α)＋3cos (π7＋α)sin[π－(π7＋α)]－cos[π＋(π7＋α)]＝sin (π7＋α)＋3cos (π7＋α)sin (π7＋α)＋cos (π7＋α)＝tan (π7＋α)＋3tan (π7＋α)＋1＝m ＋3m ＋1＝右边， ∴等式成立． 【规律方法】(1)三角恒等式的证明一般有三种方法：①一端化简等于另一端；②两端同时化简使之等于同一个式子；③作恒等式两端的差式使之为0．(2)证明条件恒等式，一般有两种方法：一是在从被证等式一边推向另一边的适当时候将条件代入，推出被证等式的另一边，这种方法称作代入法；二是直接将条件等式变形，变形为被证的等式，这种方法称作推出法，证明条件等式时，不论使用哪一种方法，都要依据要证的目标的特征进行变形． 【变式探究】1. （2020·武威第六中学高一期末）已知α是第三象限角，()sin()cos(2)tan()tan()sin()f παπααπααπα----=---. (1)化简()f α；(2)若31cos()25απ-=，求()f α的值； 【答案】（1）cos α-（2） 【解析】第一问利用()3sin()cos()tan()22tan()sin()f ππααπαααπαπ-+-=---- (cos )(sin )(tan )(tan )sin cos αααααα--=-=- 第二问∵31cos()25πα-=∴1sin 5α-=从而1sin 5α=-，从而得到三角函数值． 解：（1）()3sin()cos()tan()22tan()sin()f ππααπαααπαπ-+-=---- (cos )(sin )(tan )(tan )sin cos αααααα--=-=-（2）∵31cos()25πα-= ∴1sin 5α-=从而1sin 5α=- 又α为第三象限角∴即()f α的值为 2.（2020·四川省绵阳江油中学高三开学考试（文））已知2sin ()cos(2)tan()(),sin()tan(3)f παπαπααπααπ-⋅-⋅-+=+⋅-+ （1）化简()f α；（2）若1(),8f α=且,42ππα<<求cos sin αα-的值； （3）求满足1()4f α≥的α的取值集合.【答案】（1）()sin cos f ααα=；（2）（3）5,1212k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 【解析】 （1）2sin cos tan ()sin cos (sin )(tan )f αααααααα⋅⋅==--； （2）由（1）可得1()sin cos 8f ααα==，则23(cos sin )12sin cos 4αααα-=-=， ,sin cos 42ππααα<<∴>，即cos sin 0αα-<cos sin αα∴-=； （3）由题意得11()sin cos sin 224f αααα==≥，1sin 22α∴≥， 5222,66k k k Z πππαπ∴+≤≤+∈，即5,1212k k k Z πππαπ+≤≤+∈， 所以α的取值集合为5,1212k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 【总结提升】 三角函数式化简的方法和技巧：(1)方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式及变形，解决问题．(2)技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦．。
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【典例2】已知 是第三象限角, 且
f
( )
sin(
)cos(2
)tan
3
2
.
cot( )sin( )
1化简f ;
2
若coscos
3
2
1 5
,
求f
的值;
3若 1860,求f 的值.
B. 1 2
C. 1
D. 3
2
2
解析:cos300°=cos(360°-60°)=cos60°= 1 ,故选C. 2
答案:C
2.若sin 4 ,且是第二象限角,则tan的值等于
5
A. 4
B. 3
3
4
C. 3 4
D. 4 3
解析 : 为第二象限角,
cos
1 sin2
2
(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把
α看成锐角时原函数值的符号.
总口诀为:奇变偶不变,符号看象限,其中“奇､偶”是指 “k· ±α(k∈Z)”中k的奇偶性;“符号”是把任意角α 2
看作锐角时原函数值的符号.
考点陪练
1.(2010·全国Ⅰ)cos300°=( )
A. 3 2
5.若cos 2sin 5,则tan等于
A. 1 B.2 C. 1
2
2
D. 2
解析
:
cos sin2
2sin cos2
1,
5, sin2
(
5 2sin )2 1,
sin
25 5
,
tan
3
,
cos
6
cos 2来自
3
sin
3
1 3
.
答案:B
4.点P(tan2008°,cos2008°)位于( ) A.第二象限 B.第一象限 C.第四象限 D.第三象限 解析:∵2008°=6×360°-152°, ∴tan2008°=-tan152°=tan28°>0, cos2008°=cos152°<0,∴点P在第四象限. 答案:C
∴cosα=± 1 sin2=± 1 m(当2 α为第一､四象限角时
取正号,当α为第二､三象限角时取负号),
m
所以当α为第一､四象限角时,tanα=
1 m2;
当α为第二､三象限角时,tanα= m .
1 m2
[反思感悟] 本例属同角三角函数关系式的基本题,关键是掌
握住“先平方,后作商”的原则,先求与sinα的平方关系相
1
4 5
2
3, 5
tan
sin cos
4 5
5 3
4. 3
答案:A
3.已知sin
3
1 3
, 则cos
6
的值为
A. 1
B. 1
3
3
C. 2 3 D. 2 3
3
3
解析 :
6
2
(5)公式五
sin
2
cos
,
cos
2
www.ssrzicn.com.
(6)公式六
sin
2
cos
,
cos
2
sin .
即α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值, 前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号; ±α的正弦
2
3.诱导公式 (1)公式一 sin(α+k·2π)=sinα,cos(α+k·2π)=cosα,tan(α+k·2π)=t
anα,其中k∈Z. (2)公式二 sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα.
(3)公式三 sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα. (4)公式四 sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα, tan(π-α)=-tanα.
,
tan sin 2 . cos 4
2 sin 1 0,为第一或第二象限角.
3
当为第一象限角时, cos 1 sin2 2 2 , tan 2 .
3
4
当为第二象限角时,由1知tan 2 .
4
(3)∵sinα=m(m≠0,m≠±1),
联系的cosα,再由公式求tanα.在(3)中,α为第四象限角,但
tanα=
1mm,原2 因是m此时小于0,所以形式上tanα的表
达式前面仍不带负号.
类型二
诱导公式及其应用
解题准备:诱导公式起着变名､变角､变号的作用,应用诱导公 式,着眼点应放在“角”上,重点是“函数名称”和“正负 号”的判断.求任意角的三角函数值问题,都可以利用诱导 公式最终化为锐角三角函数的求值问题,具体步骤是:“化 负为正—化大为小—锐角求值”.
【典例1】 (1)已知sinα=
1 3
,且α为第二象限角,求
tanα;
(2)已知sinα= 1 ,求tanα; 3
(3)已知sinα=m(m≠0,m≠±1),求tanα.
[解]1 sin 1 ,为第二象限角,
3
cos
1 sin2
1
1 3
2
2 2 3
2.
cos
5. 5
答案:B
类型一 利用同角三角函数基本关系式化简求值
解题准备:本考点的试题难度不大,而对公式的应用要求准确､ 灵活,尤其是利用平方关系sin2α+cos2α=1及其变形形式 sin2α=1-cos2α或cos2α=1-sin2α进行开方运算时,特别注意符 号的判断.如果所给的三角函数值是字母给出的,且没有指 定角在哪个象限,那么就需要结合分类讨论的思想来确定 其他角的三角函数值.
同角三角函数的基本关系 式及诱导公式
回归课本
1.同角三角函数基本关系式
平方关系:sin2α+cos2α=1;
商数关系:tanα=
sin . cos
2.α相关角的表示 (1)终边与角α的终边关于原点对称的角可以表示为π+α; (2)终边与角α的终边关于x轴对称的角可以表示为-α(或2π-α); (3)终边与角α的终边关于y轴对称的角可以表示为π-α; (4)终边与角α的终边关于直线y=x对称的角可以表示为 -α.