北京市海淀区2018届九年级数学上学期期末考试试题新人教版
(解析版)2018-2019学度北京海淀区初三上年末数学试卷.doc
(解析版)2018-2019学度北京海淀区初三上年末数学试卷【一】选择题〔共8小题，每题4分，总分值32分〕1、方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是〔〕A、有两个不相等的实数根B、有两个相等的实数根C、没有实数根D、无法确定是否有实数根2、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，那么sinA的值为〔〕A、B、C、D、3、假设如图是某个几何体的三视图，那么这个几何体是〔〕A、长方体B、正方体C、圆柱D、圆锥4、小丁去看某场电影，只剩下如下图的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号、假设小丁从中随机抽取一个，那么抽到的座位号是偶数的概率是〔〕A、B、C、D、5、如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，假设C1为OC的中点，AB=4，那么A1B1的长为〔〕A、1B、2C、4D、86、点A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕是反比例函数y=﹣的图象上的两点，假设x1＜0＜x2，那么以下结论正确的选项是〔〕A、y1＜0＜y2B、y2＜0＜y1C、y1＜y2＜0D、y2＜y1＜07、如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F、假设AC=2，那么OF的长为〔〕A、B、C、1D、28、如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD交于点O、点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EF⊥BD于F，设AE=x，图1中某条线段的长为y，假设表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，那么这条线段可能是图1中的〔〕A、线段EFB、线段DEC、线段CED、线段BE【二】填空题〔共4小题，每题4分，总分值16分〕9、如图，扇形的半径为3cm，圆心角为120°，那么扇形的面积为cm2、〔结果保留π〕10、在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为m、11、如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A〔﹣2，4〕，B〔1，1〕，那么关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为、12、对于正整数n，定义F〔n〕=，其中f〔n〕表示n的首位数字、末位数字的平方和、例如：F〔6〕=62=36，F〔123〕=f〔123〕=12+32=10、规定F1〔n〕=F〔n〕，F k+1〔n〕=F〔F k〔n〕〕、例如：F1〔123〕=F〔123〕=10，F2〔123〕=F〔F1〔123〕〕=F〔10〕=1、〔1〕求：F2〔4〕=，F2018〔4〕=；〔2〕假设F3m〔4〕=89，那么正整数m的最小值是、【三】解答题〔共13小题，总分值72分〕13、计算：〔﹣1〕2018+sin30°﹣〔π﹣3.14〕0+〔〕﹣1、14、如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE⊥AC于E，求证：△ACD∽△BCE、15、m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根，求代数式的值、16、抛物线y=2x2平移后经过点A〔0，3〕，B〔2，3〕，求平移后的抛物线的表达式、17、如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y=的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC、〔1〕求反比例函数的解析式；〔2〕假设点P是反比例函数y=图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标、18、如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E、〔1〕求线段CD的长；〔2〕求cos∠ABE的值、19、关于x的一元二次方程mx2﹣〔m+2〕x+2=有两个不相等的实数根x1，x2、〔1〕求m的取值范围；〔2〕假设x2＜0，且＞﹣1，求整数m的值、20、某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示〔其中x为正整数，且1≤x≤10〕；质量档次12...x (10)日产量〔件〕9590...100﹣5x (50)单件利润〔万元〕68...2x+4 (24)为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元、〔1〕求y关于x的函数关系式；〔2〕工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值、21、如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC 于点E，交⊙O于点F、点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF、〔1〕求证：直线PC是⊙O的切线；〔2〕假设AB=，AD=2，求线段PC的长、22、阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值、请回答：〔1〕如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；〔2〕如图2，线段AB与CD交于点O、为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决、请你帮小明计算：OC=；tan∠AOD=；解决问题：如图3，计算：tan∠AOD=、23、在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象经过点A〔1，4〕、B〔m，n〕、〔1〕求代数式mn的值；〔2〕假设二次函数y=〔x﹣1〕2的图象经过点B，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值；〔3〕假设反比例函数y=的图象与二次函数y=a〔x﹣1〕2的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取值范围、24、如图1，在△ABC中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α、〔1〕如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；〔2〕将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF、①假设α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长〔用含α的式子表示〕、25、在平面直角坐标系xOy中，设点P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕是图形W上的任意两点、定义图形W的测度面积：假设|x1﹣x2|的最大值为m，|y1﹣y2|的最大值为n，那么S=mn为图形W的测度面积、例如，假设图形W是半径为1的⊙O，当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得最大值，且最大值n=2、那么图形W的测度面积S=mn=4〔1〕假设图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1、①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S=；②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S=；〔2〕假设图形W是一个边长1的正方形ABCD，那么此图形的测度面积S的最大值为；〔3〕假设图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围、2018-2018学年北京市海淀区九年级〔上〕期末数学试卷参考答案与试题解析【一】选择题〔共8小题，每题4分，总分值32分〕1、方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是〔〕A、有两个不相等的实数根B、有两个相等的实数根C、没有实数根D、无法确定是否有实数根考点：根的判别式、分析：求出b2﹣4ac的值，再进行判断即可、解答：解：x2﹣3x﹣5=0，△=b2﹣4ac=〔﹣3〕2﹣4×1×〔﹣5〕=29＞0，所以方程有两个不相等的实数根，应选A、点评：此题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0〔a、b、c为常数，a≠0〕①当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2﹣4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2﹣4ac＜0时，一元二次方程没有实数根、2、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，那么sinA的值为〔〕A、B、C、D、考点：锐角三角函数的定义、分析：直接根据三角函数的定义求解即可、解答：解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，∴sinA==、应选A、点评：此题考查的是锐角三角函数的定义，比较简单，用到的知识点：正弦函数的定义：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA、即sinA=∠A的对边：斜边=a：C、3、假设如图是某个几何体的三视图，那么这个几何体是〔〕A、长方体B、正方体C、圆柱D、圆锥考点：由三视图判断几何体、分析：由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状、解答：解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥、应选：D、点评：此题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定、4、小丁去看某场电影，只剩下如下图的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号、假设小丁从中随机抽取一个，那么抽到的座位号是偶数的概率是〔〕A、B、C、D、考点：概率公式、分析：由六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号，直接利用概率公式求解即可求得答案、解答：解：∵六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号，∴抽到的座位号是偶数的概率是：=、应选C、点评：此题考查了概率公式的应用、用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比、5、如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，假设C1为OC的中点，AB=4，那么A1B1的长为〔〕A、1B、2C、4D、8考点：位似变换、专题：计算题、分析：根据位似变换的性质得到=，B1C1∥BC，再利用平行线分线段成比例定理得到=，所以=，然后把OC1=OC，AB=4代入计算即可、解答：解：∵C1为OC的中点，∴OC1=OC，∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，∴=，B1C1∥BC，∴=，∴=，即=∴A1B1=2、应选B、点评：此题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心、注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行、6、点A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕是反比例函数y=﹣的图象上的两点，假设x1＜0＜x2，那么以下结论正确的选项是〔〕A、y1＜0＜y2B、y2＜0＜y1C、y1＜y2＜0D、y2＜y1＜0考点：反比例函数图象上点的坐标特征、专题：计算题、分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y1=﹣，y2=﹣，然后利用x1＜0＜x2即可得到y1与y2的大小、解答：解：∵A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕是反比例函数y=﹣的图象上的两点，∴y1=﹣，y2=﹣，∵x1＜0＜x2，∴y2＜0＜y1、应选B、点评：此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=〔k为常数，k≠0〕的图象是双曲线，图象上的点〔x，y〕的横纵坐标的积是定值k，即xy=k、7、如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F、假设AC=2，那么OF的长为〔〕A、B、C、1D、2考点：垂径定理；全等三角形的判定与性质、分析：根据垂径定理求出AD，证△ADO≌△OFE，推出OF=AD，即可求出答案、解答：解：∵OD⊥AC，AC=2，∴AD=CD=1，∵OD⊥AC，EF⊥AB，∴∠ADO=∠OFE=90°，∵OE∥AC，∴∠DOE=∠ADO=90°，∴∠DAO+∠DOA=90°，∠DOA+∠EF=90°，∴∠DAO=∠EOF，在△ADO和△OFE中，，∴△ADO≌△OFE〔AAS〕，∴OF=AD=1，应选C、点评：此题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理的应用，解此题的关键是求出△ADO ≌△OFE和求出AD的长，注意：垂直于弦的直径平分这条弦、8、如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD交于点O、点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EF⊥BD于F，设AE=x，图1中某条线段的长为y，假设表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，那么这条线段可能是图1中的〔〕A、线段EFB、线段DEC、线段CED、线段BE考点：动点问题的函数图象、分析：作BN⊥AC，垂足为N，FM⊥AC，垂足为M，DG⊥AC，垂足为G，分别找出线段EF、CE、BE最小值出现的时刻即可得出结论、解答：解：作BN⊥AC，垂足为N，FM⊥AC，垂足为M，DG⊥AC，垂足为G、由垂线段最短可知：当点E与点M重合时，即AE＜时，FE有最小值，与函数图象不符，故A错误；由垂线段最短可知：当点E与点G重合时，即AEd＞时，DE有最小值，故B正确；∵CE=AC﹣AE，CE随着AE的增大而减小，故C错误；由垂线段最短可知：当点E与点N重合时，即AE＜时，BE有最小值，与函数图象不符，故D错误；应选：B、点评：此题主要考查的是动点问题的函数图象，根据垂线段最短确定出函数最小值出现的时刻是解题的关键、【二】填空题〔共4小题，每题4分，总分值16分〕9、如图，扇形的半径为3cm，圆心角为120°，那么扇形的面积为3πcm2、〔结果保留π〕考点：扇形面积的计算、专题：压轴题、分析：知道扇形半径，圆心角，运用扇形面积公式就能求出、解答：解：由S=知S=×π×32=3πcm2、点评：此题主要考查扇形面积的计算，知道扇形面积计算公式S=、10、在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为24m、考点：相似三角形的应用、分析：根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解、解答：解：设这栋建筑物的高度为xm，由题意得，=，解得x=24，即这栋建筑物的高度为24m、故答案为：24、点评：此题考查了相似三角形的应用，熟记同时同地的物高与影长成正比是解题的关键、11、如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A〔﹣2，4〕，B〔1，1〕，那么关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1、考点：二次函数的性质、专题：数形结合、分析：根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解、解答：解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A〔﹣2，4〕，B〔1，1〕，∴方程组的解为，，即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1、故答案为x1=﹣2，x2=1、点评：此题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的顶点坐标是〔﹣，〕，对称轴直线x=﹣、也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题、12、对于正整数n，定义F〔n〕=，其中f〔n〕表示n的首位数字、末位数字的平方和、例如：F〔6〕=62=36，F〔123〕=f〔123〕=12+32=10、规定F1〔n〕=F〔n〕，F k+1〔n〕=F〔F k〔n〕〕、例如：F1〔123〕=F〔123〕=10，F2〔123〕=F〔F1〔123〕〕=F〔10〕=1、〔1〕求：F2〔4〕=37，F2018〔4〕=26；〔2〕假设F3m〔4〕=89，那么正整数m的最小值是6、考点：规律型：数字的变化类、专题：新定义、分析：通过观察前8个数据，可以得出规律，这些数字7个一个循环，根据这些规律计算即可、解答：解：〔1〕F2〔4〕=F〔F1〔4〕〕=F〔16〕=12+62=37；F1〔4〕=F〔4〕=16，F2〔4〕=37，F3〔4〕=58，F4〔4〕=89，F5〔4〕=145，F6〔4〕=26，F7〔4〕=40，F8〔4〕=16，通过观察发现，这些数字7个一个循环，2018是7的287倍余6，因此F2018〔4〕=26；〔2〕由〔1〕知，这些数字7个一个循环，F4〔4〕=89=F18〔4〕，因此3m=18，所以m=6、故答案为：〔1〕37，26；〔2〕6、点评：此题属于数字变化类的规律探究题，通过观察前几个数据可以得出规律，熟练找出变化规律是解题的关键、【三】解答题〔共13小题，总分值72分〕13、计算：〔﹣1〕2018+sin30°﹣〔π﹣3.14〕0+〔〕﹣1、考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值、专题：计算题、分析：原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法那么计算，最后一项利用负指数幂法那么计算即可、解答：解：原式=﹣1+﹣1+2=、点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法那么是解此题的关键、14、如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE⊥AC于E，求证：△ACD∽△BCE、考点：相似三角形的判定、专题：证明题、分析：根据等腰三角形的性质，由AB=AC，D是BC中点得到AD⊥BC，易得∠ADC=∠BEC=90°，再加上公共角，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论、解答：证明：∵AB=AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠ADC=∠BEC，而∠ACD=∠BCE，∴△ACD∽△BCE、点评：此题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似、也考查了等腰三角形的性质、15、m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根，求代数式的值、考点：一元二次方程的解、专题：计算题、分析：把x=m代入方程得到m2﹣2=3m，原式分子利用平方差公式化简，将m2﹣2=3m代入计算即可求出值、解答：解：把x=m代入方程得：m2﹣3m﹣2=0，即m2﹣2=3m，那么原式===3、点评：此题考查了一元二次方程的解，熟练掌握运算法那么是解此题的关键、16、抛物线y=2x2平移后经过点A〔0，3〕，B〔2，3〕，求平移后的抛物线的表达式、考点：二次函数图象与几何变换、专题：计算题、分析：由于抛物线平移前后二次项系数不变，那么可设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c，然后把点A和点B的坐标代入得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c即可得到平移后的抛物线的表达式、解答：解：设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c，把点A〔0，3〕，B〔2，3〕分别代入得，解得，所以平移后的抛物线的表达式为y=2x2﹣4x+3、点评：此题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式、17、如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y=的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC、〔1〕求反比例函数的解析式；〔2〕假设点P是反比例函数y=图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标、考点：反比例函数与一次函数的交点问题、分析：〔1〕把A点横坐标代入正比例函数可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k，可求得反比例函数解析式；〔2〕由条件可求得B、C的坐标，可先求得△ABC的面积，再结合△OPC与△ABC的面积相等求得P点坐标、解答：解：〔1〕把x=2代入y=2x中，得y=2×2=4，∴点A坐标为〔2，4〕，∵点A在反比例函数y=的图象上，∴k=2×4=8，∴反比例函数的解析式为y=；〔2〕∵AC⊥OC，∴OC=2，∵A、B关于原点对称，∴B点坐标为〔﹣2，﹣4〕，∴B到OC的距离为4，∴S△ABC=2S△ACO=2××2×4=8，∴S△OPC=8，设P点坐标为〔x，〕，那么P到OC的距离为||，∴×||×2=8，解得x=1或﹣1，∴P点坐标为〔1，8〕或〔﹣1，﹣8〕、点评：此题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题，在〔1〕中求得A点坐标、在〔2〕中求得P点到OC的距离是解题的关键、18、如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E、〔1〕求线段CD的长；〔2〕求cos∠ABE的值、考点：解直角三角形；勾股定理、专题：计算题、分析：〔1〕在△ABC中根据正弦的定义得到sinA==，那么可计算出AB=10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD=AB=5；〔2〕在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC=6，在根据三角形面积公式得到S△BDC=S△ADC，那么S△BDC=S△ABC，即CD•BE=•AC•BC，于是可计算出BE=，然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解、解答：解：〔1〕在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴sinA==，而BC=8，∴AB=10，∵D是AB中点，∴CD=AB=5；〔2〕在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=8，∴AC==6，∵D是AB中点，∴BD=5，S△BDC=S△ADC，∴S△BDC=S△ABC，即CD•BE=•AC•BC，∴BE==，在Rt△BDE中，cos∠DBE===，即cos∠ABE的值为、点评：此题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由元素求未知元素的过程就是解直角三角形、也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式、19、关于x的一元二次方程mx2﹣〔m+2〕x+2=有两个不相等的实数根x1，x2、〔1〕求m的取值范围；〔2〕假设x2＜0，且＞﹣1，求整数m的值、考点：根的判别式；根与系数的关系、专题：计算题、分析：〔1〕由二次项系数不为0，且根的判别式大于0，求出m的范围即可；〔2〕利用求根公式表示出方程的解，根据题意确定出m的范围，找出整数m的值即可、解答：解：〔1〕由得：m≠0且△=〔m+2〕2﹣8m=〔m﹣2〕2＞0，那么m的范围为m≠0且m≠2；〔2〕方程解得：x=，即x=1或x=，∵x2＜0，∴x2=＜0，即m＜0，∵＞﹣1，∴＞﹣1，即m＞﹣2，∵m≠0且m≠2，∴﹣2＜m＜0，∵m为整数，∴m=﹣1、点评：此题考查了根的判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根即为根的判别式大于0、20、某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示〔其中x为正整数，且1≤x≤10〕；质量档次12...x (10)日产量〔件〕9590...100﹣5x (50)单件利润〔万元〕68...2x+4 (24)为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元、〔1〕求y关于x的函数关系式；〔2〕工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值、考点：二次函数的应用、分析：〔1〕根据总利润=单件利润×销售量就可以得出y与x之间的函数关系式；〔2〕由〔1〕的解析式转化为顶点式，由二次函数的性质就可以求出结论、解答：解：〔1〕由题意，得y=〔100﹣5x〕〔2x+4〕，y=﹣10x2+180x+400〔1≤x≤10的整数〕；答：y关于x的函数关系式为y=﹣10x2+180x+400；〔2〕∵y=﹣10x2+180x+400，∴y=﹣10〔x﹣9〕2+1210、∵1≤x≤10的整数，∴x=9时，y最大=1210、答：工厂为获得最大利润，应选择生产9档次的产品，当天利润的最大值为1210万元、点评：此题考查了总利润=单件利润×销售量的运用，二次函数的解析式的运用，顶点式的运用，解答时求出函数的解析式是关键、21、如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC 于点E，交⊙O于点F、点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF、〔1〕求证：直线PC是⊙O的切线；〔2〕假设AB=，AD=2，求线段PC的长、考点：切线的判定；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质、分析：〔1〕首先连接OC，由AD与⊙O相切，可得FA⊥AD，四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，然后由垂径定理可证得F是的中点，BE=CE，∠OEC=90°，又由∠PCB=2∠BAF，即可求得∠OCE+∠PCB=90°，继而证得直线PC是⊙O的切线；〔2〕首先由勾股定理可求得AE的长，然后设⊙O的半径为r，那么OC=OA=r，OE=3﹣r，那么可求得半径长，易得△OCE∽△CPE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得线段PC的长、解答：〔1〕证明：连接OC、∵AD与⊙O相切于点A，∴FA⊥AD、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴FA⊥BC、∵FA经过圆心O，∴F是的中点，BE=CE，∠OEC=90°，∴∠COF=2∠BAF、∵∠PCB=2∠BAF，∴∠PCB=∠COF、∵∠OCE+∠COF=180°﹣∠OEC=90°，∴∠OCE+∠PCB=90°、∴OC⊥PC、∵点C在⊙O上，∴直线PC是⊙O的切线、〔2〕解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=2、∴BE=CE=1、在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB=，∴、设⊙O的半径为r，那么OC=OA=r，OE=3﹣r、在Rt△OCE中，∠OEC=90°，∴OC2=OE2+CE2、∴r2=〔3﹣r〕2+1、解得，∵∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP=90°、∴△OCE∽△CPE，∴、∴、∴、点评：此题考查了切线的判定、平行四边形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质、此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用、22、阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值、请回答：〔1〕如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；〔2〕如图2，线段AB与CD交于点O、为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决、请你帮小明计算：OC=；tan∠AOD=5；解决问题：如图3，计算：tan∠AOD=、考点：相似形综合题、分析：〔1〕用三角板过C作AB的垂线，从而找到D的位置；〔2〕连接AC、DB、AD、DE、由△ACO∽△DBO求得CO的长，由等腰直角三角形的性质可以求出AF，DF的长，从而求出OF的长，在Rt△AFO中，根据锐角三角函数的定义即可求出tan∠AOD的值；〔3〕如图，连接AE、BF，那么AF=，AB=，由△AOE∽△BOF，可以求出AO=，在Rt△AOF中，可以求出OF=，故可求得tan∠AOD、解答：解：〔1〕如下图：线段CD即为所求、〔2〕如图2所示连接AC、DB、AD、∵AD=DE=2，∴AE=2、∵CD⊥AE，∴DF=AF=、∵AC∥BD，∴△ACO∽△DBO、∴CO：DO=2：3、∴CO=、∴DO=、∴OF=、tan∠AOD=、〔3〕如图3所示：根据图形可知：BF=2，AE=5、由勾股定理可知：AF==，AB==、∵FB∥AE，∴△AOE∽△BOF、∴AO：OB=AE：FB=5：2、∴AO=、在Rt△AOF中，OF==、∴tan∠AOD=、点评：此题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用、锐角三角函数的定义，根据点阵图构造相似三角形是解题的关键、23、在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象经过点A〔1，4〕、B〔m，n〕、〔1〕求代数式mn的值；〔2〕假设二次函数y=〔x﹣1〕2的图象经过点B，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值；〔3〕假设反比例函数y=的图象与二次函数y=a〔x﹣1〕2的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取值范围、考点：反比例函数综合题；代数式求值；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的性质、专题：综合题；数形结合；分类讨论、分析：〔1〕只需将点A、B的坐标代入反比例函数的解析式就可解决问题；〔2〕将点B的坐标代入y=〔x﹣1〕2得到n=m2﹣2m+1，先将代数式变形为mn〔m2﹣2m+1〕+2mm﹣4n，然后只需将m2﹣2m+1用n代替，即可解决问题；〔3〕可先求出直线y=x与反比例函数y=交点C和D的坐标，然后分a＞0和a＜0两种情况讨论，先求出二次函数的图象经过点D或C时对应的a的值，再结合图象，利用二次函数的性质〔|a|越大，抛物线的开口越小〕就可解决问题、解答：解：〔1〕∵反比例函数y=的图象经过点A〔1，4〕、B〔m，n〕，∴k=mn=1×4=4，即代数式mn的值为4；〔2〕∵二次函数y=〔x﹣1〕2的图象经过点B，∴n=〔m﹣1〕2=m2﹣2m+1，∴m3n﹣2m2n+3mn﹣4n=m3n﹣2m2n+mn+2mn﹣4n=mn〔m2﹣2m+1〕+2mm﹣4n=4n+2×4﹣4n=8，即代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值为8；〔3〕设直线y=x与反比例函数y=交点分别为C、D，解，得：或，∴点C〔﹣2，﹣2〕，点D〔2，2〕、①假设a＞0，如图1，当抛物线y=a〔x﹣1〕2经过点D时，有a〔2﹣1〕2=2，解得：a=2、∵|a|越大，抛物线y=a〔x﹣1〕2的开口越小，∴结合图象可得：满足条件的a的范围是0＜a＜2；②假设a＜0，如图2，当抛物线y=a〔x﹣1〕2经过点C时，有a〔﹣2﹣1〕2=﹣2，解得：a=﹣、∵|a|越大，抛物线y=a〔x﹣1〕2的开口越小，∴结合图象可得：满足条件的a的范围是a＜﹣、综上所述：满足条件的a的范围是0＜a＜2或a＜﹣、点评：此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、求代数式的值、求直线与反比例函数图象的交点坐标、二次函数的性质等知识，另外还重点对整体思想、数形结合的思想、分类讨论的思想进行了考查，运用整体思想是解决第〔2〕小题的关键，考虑临界位置并运用数形结合及分类讨论的思想是解决第〔3〕小题的关键、24、如图1，在△ABC中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC 为边作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α、〔1〕如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；〔2〕将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF、①假设α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长〔用含α的式子表示〕、考点：几何变换综合题、分析：〔1〕根据等腰直角三角形的性质得出即可；〔2〕①设DE与BC相交于点H，连接AE，交BC于点G，根据SAS推出△ADE≌△BDC，根据全等三角形的性质得出AE=BC，∠AED=∠BCD、求出∠AFE=45°，解直角三角形求出即可；②过E作EM⊥AF于M，根据等腰三角形的性质得出∠AEM=∠FME=，AM=FM，解直角三角形求出FM即可、解答：解：〔1〕AD+DE=4，理由是：如图1，∵∠ADB=∠EDC=∠α=90°，AD=BD，DC=DE，∴AD+DE=BC=4；〔2〕①补全图形，如图2，设DE与BC相交于点H，连接AE，交BC于点G，∵∠ADB=∠CDE=90°，∴∠ADE=∠BDC，在△ADE与△BDC中，，∴△ADE≌△BDC，∴AE=BC，∠AED=∠BCD、∵DE与BC相交于点H，∴∠GHE=∠DHC，∴∠EGH=∠EDC=90°，∵线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，∴EF=CB=4，EF∥CB，∴AE=EF，∵CB∥EF，∴∠AEF=∠EGH=90°，∵AE=EF，∠AEF=90°，∴∠AFE=45°，∴AF==4；②如图2，过E作EM⊥AF于M，∵由①知：AE=EF=BC，∴∠AEM=∠FME=，AM=FM，∴AF=2FM=EF×sin=8sin、点评：此题考查了全等三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，平移的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大、25、在平面直角坐标系xOy中，设点P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕是图形W上的任意两点、定义图形W的测度面积：假设|x1﹣x2|的最大值为m，|y1﹣y2|的最大值为n，那么S=mn为图形W的测度面积、例如，假设图形W是半径为1的⊙O，当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得最大值，且最大值n=2、那么图形W的测度面积S=mn=4〔1〕假设图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1、①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S=1；②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S=1；〔2〕假设图形W是一个边长1的正方形ABCD，那么此图形的测度面积S的最大值为2；〔3〕假设图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围、考点：圆的综合题、分析：〔1〕由测度面积的定义利用它的测度面积S=|OA|•|OB|求解即可；②利用等腰直角三角形的性质求出AC，AB，利用测度面积S=|AB|•|OC|求解即可；〔2〕先确定正方形有最大测度面积S时的图形，即可利用测度面积S=|AC|•|BD|求解、〔3〕分两种情况当A，B或B，C都在x轴上时，当顶点A，C都不在x轴上时分别求解即可、解答：解：〔1〕①如图3，。
2018~2019学年北京海淀区初三上学期期末数学试卷
2018~2019学年北京海淀区初三上学期期末数学试卷⼀、选择题（每题2分，共16分）1.A.B.C.D.抛物线的原顶点坐标为（ ）．2. A. B. C. D.如图，在平⾯直⻆坐标系中，点，与轴正半轴的夹⻆为，则的值为（ ）．3. A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.⽆实数根D.只有⼀个实数根⽅程的根的情况是（ ）．4. A. B. C. D.如图，⼀块含⻆的直⻆三⻆板绕点顺时针旋转到，当，，在⼀条直线上时，三⻆板的旋转⻆度为（ ）．5.如图，在平⾯直⻆坐标系中中，是反⽐例函数（）图象上的⼀点，则矩形的⾯积为（ ）．A. B. C. D.6. A. B. C. D.如图，在中，，且分别交，于点，，若，则和的⾯积之⽐等于（ ）．7. A. B.C.D.图是⼀个地铁站⼊⼝的双翼闸机，如图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧⽴⾯夹⻆，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最⼤宽度为（ ）．闸机箱闸机箱图图8.在平⾯直⻆坐标系中中，四条抛物线如图所示，其解析式中的⼆次项系数⼀定⼩于的是（）．A. B. C. D.⼆、填空题（每题2分，共16分）9.⽅程的根为 ．10.半径为且圆⼼⻆为的扇形⾯积为 ．11.已知抛物线的对称轴是，若抛物线与轴交于，两点，则的值为 ．12.在同⼀平⾯直⻆坐标系中中，若函数与（）的图象有两个交点，则的取值范围是 ．13.如图，在平⾯直⻆坐标系中中，有两点，，以原点为位似中⼼，把缩⼩得到，若的坐标为，则点的坐标为 ．14.已知，是反⽐例函数图象上两点的坐标，且，请写出⼀个符合条件的反⽐例函数的解析式 ．15.如图，在平⾯直⻆坐标系中，已知点，判断：在，，，四点中，满⾜到点和点的距离都⼩于的点是 ．16.如图，在平⾯直⻆坐标系中中，是直线上的⼀个动点，⊙的半径为，切⊙于点，则线段的最⼩值为 ．三、解答题（共68分）17.计算：．18.如图，与交于点，，，，，求的⻓．19.已知是关于⼀元⼆次⽅程的⼀个根，若，求的值．20.（1）（2）近视镜镜⽚的焦距（单位：⽶）是镜⽚的度数（单位：度）的函数，下表记录了⼀组数据：（单位：度）（单位：⽶）在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是 ．．．．．利⽤（）中的结论计算：当镜⽚的度数为度时，镜⽚的焦距约为 ⽶．21.下⾯是⼩元设计的“过圆上⼀点作圆的切线”的尺规作图过程：2019/11/13教研云资源页（1）（2）已知：如图，⊙及⊙上⼀点，求过点的⊙的切线．作法：如图，①作射线．②在直线外任取⼀点，为半径作⊙，与射线交于另⼀点．③连接并延⻓于⊙交于点．④作直线，则直线即为所求．根据⼩元设计的尺规作图过程：使⽤直尺和圆规，补全图形．（保留作图痕迹）完成下⾯的证明：证明：∵是⊙的直径，∴（ ）（填推理的依据），∴，⼜∵是⊙的半径，∴是⊙的切线（ ）（填推理的依据）．22.年⽉⽇，港珠澳⼤桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的⼀道靓丽的⻛景，⼤桥主体⼯程隧道的东，⻄两端各设置了⼀个海中⼈⼯岛，来衔接桥梁和海底隧道，⻄⼈⼯岛上的点和东⼈⼯岛上的点间的距离约为千⽶，点是⼈⼯岛相连的⼤桥上的⼀点，，，在⼀条直线上，如图，⼀艘观光船沿于⼤桥段垂直的⽅向航⾏，到达点时观测两个⼈⼯岛，分别测得，与航向的夹⻆，，求此时观光船到⼤桥段的距离的⻓．（参考数据：，，，，，．）2019/11/13教研云资源页23.x–5–4–3–2–112345y–5–4–3–2–1123456O （1）12（2）在平⾯直⻆坐标系中中，已知直线与双曲线的⼀个交点是．求的值．设点是双曲线上的⼀点，直线与轴交于点．若，求的值．若，结合图象，直接写出的值．24.（1）（2）（3）如图，，，为⊙上的定点，连接，，为上的⼀个动点，连接，将射线绕点顺时针旋转，交⊙于点，连接，若，，记，两点间的距离为，，两点间的距离为．⼩东根据学习函数的经验，对函数随⾃变量的变化⽽变化的规律进⾏了探究．下⾯是⼩东探究的过程，请补充完整：通过取点，画图，测量，得到了与的⼏组值，如下表：//在平⾯直⻆坐标系中中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．结合画出的函数图象，解决问题：当时，的⻓度约为 ．25.2019/11/13教研云资源页（1）（2）如图，是⊙的弦，半径，为的延⻓线上⼀点，与⊙相切于点，与交于点．求证：．连接，，若，且，，求的⻓．26.12（1）（2）在平⾯直⻆坐标系中中，已知抛物线，，．当时．求抛物线与轴的交点坐标．若抛物线与线段只有⼀个交点，求的取值范围．若存在实数，使得抛物线与线段有两个交点，结合图象，直接写出的取值范围．27.12（1）（2）（3）已知中，，，直线经过点（不经过点或点），点关于直线的对称点为，连接，．如图．图求证：点，，在以点为圆⼼，为半径的圆上．直接写出的度数（⽤含的式⼦表示） ．如图，当时，过点作的垂线与直线交于点，求证：．图如图，当时，记直线与的交点为，连接，将直线绕点旋转，当线段的⻓取得最⼤值时，直接写出的值．2019/11/13教研云资源页图28.（1）（2）12（3）在平⾯直⻆坐标系中中，已知点和点，给出如下定义：以为边，按照逆时针⽅向排列，，，四个顶点，作正⽅形，则称正⽅形为点，的逆序正⽅形，例如：，时，点，的逆序正⽅形如图所示．x–5–4–3–2–112345y–5–4–3–2–112345O 图）图中，点的坐标为 ．改变图中点的位置，其余条件不变，则点的 坐标不变（填“横”或“纵”），它的值为 ．已知正⽅形为点，的逆序正⽅形．判断：结论“若点落在轴上，则点落在第⼀象限内” （填“正确”或“错误”），若结论正确，请说明理由，若结论错误，请在图中画出⼀个反例．x–5–4–3–2–112345y–5–4–3–2–112345O 图⊙的圆⼼为，半径为，若，，且点恰好落在⊙上，直接写出的取值范围．。
北京市海淀区九级(上)数学期末试卷
海淀区 2018-2018 学年九年级第一学期期末数学试卷（分数： 120 分时间： 120 分钟）一、选择题（此题共32 分，每题 4 分）下边各题均有四个选项，此中只有一个．．是切合题意的．1．的值是()A．3B．－ 3C．D．62．如图，将一张矩形纸片沿对角线剪开获得两个直角三角形纸片，将这两个直角三角形纸片经过图形变换组成以下四个图形，这四个图形中是中心对称图形的是 ( )．．．．．矩形纸片A B C D3．如图，在△中，点、分别为边、上的点，且∥，若，，，则的长为()A．3B．6 C．9 D．124．二次函数的图象如下图，将其绕坐标原点O 旋转，则旋转后的抛物线的解读式为( )A ．B ．C． D ．5．在平面直角坐标系中，以点为圆心， 4为半径的圆与y 轴所在直线的地点关系是 ()A ．相离B．相切C．订交D．没法确立6．若对于的方程没有实数根，则的取值范围是A ．B． C ．D．7．如图，是⊙的切线，为切点，的延伸线交⊙于点，连结，若，，则等于 ( C. D.8．如图， Rt △ ABC 中， AC=BC =2 ，正方形CDEF 的极点 D 、F分别在 AC、 BC 边上，C、 D 两点不重合，设CD 的长度为 x，△ ABC 与正方形 CDEF 重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示 y 与 x 之间的函数关系的是()yyy y22241111A B C D二、填空题（此题共16 分，每题 4 分）9．比较大小：（填“>”、“ =”或“ <”）．10．如图，是⊙ O 上的点，若，则___________度．11．已知点 P（ - 1，m）在二次函数的图象上，则m 的值为；平移此二次函数的图象，使点P 与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解读式为. 12．在△中，分别是边上的点，是边的等分点，，.如图1，若，，则∠+∠+∠++∠度；如图2，若，，则∠+∠+∠++∠（用含，的式子表示） .BP1P2P3F P n-1C E A图 2三、解答题（此题共30 分，每题 5 分）13．计算：．14．解方程：．15．如图，在△和△中，，为线段上一点，且．求证：．16．已知抛物线经过（0，- 1），（3，2）两点．求它的解读式及极点坐标．17．如图，在四边形ABCD 中，∥且，E是BC上一点，且．求证：．18．若对于的方程有实数根．（1）求的取值范围；（2）当获得最大整数值时，求此时方程的根.四、解答题（此题共20 分，每题 5 分）19．如图，用长为20M 的篱笆恰巧围成一个扇形花坛，且扇形花坛的圆心角小于180°，设扇形花坛的半径为M ，面积为平方 M ．（注：的近似值取3）（ 1）求出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（ 2）当半径为什么值时，扇形花坛的面积最大，并求面积的最大值．20．如图， AB 为O 的直径，射线AP 交O 于 C 点，∠ PCO 的均分线交O 于 D 点，过点 D作交AP于E点．（ 1）求证： DE 为O 的切线；（ 2）若，，求直径的长．21．已知二次函数．（ 1）若点与在此二次函数的图象上，则（填“ >”、“ =”或“<”）；（ 2）如图，此二次函数的图象经过点，正方形ABCD 的极点C、 D 在 x 轴上，A、 B 恰幸亏二次函数的图象上，求图中暗影部分的面积之和．22．晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程．解：原方程可变形，得.，，.直接开平方并整理，得．我们称晓东这类解法为“均匀数法”.（ 1）下边是晓东用“均匀数法”解方程时写的解题过程．解：原方程可变形，得.，.直接开平方并整理，得¤．上述过程中的“”，“” ，“☆”，“¤”表示的数分别为_____，_____，_____， _____．（2）请用“均匀数法”解方程：．五、解答题（此题共22 分，第 23、 24 小题各 7 分，第 25 小题 8 分）23．已知抛物线（）．（1）求抛物线与轴的交点坐标；（2）若抛物线与轴的两个交点之间的距离为2，求的值；（3）若一次函数的图象与抛物线一直只有一个公共点，求一次函数的解读式.24．已知四边形ABCD 和四边形 CEFG 都是正方形，且AB>CE．（ 1）如图 1，连结 BG、 DE．求证： BG=DE ；（ 2）如图2，假如正方形ABCD 的边长为，将正方形CEFG 绕着点 C 旋转到某一地点时恰巧使得 C G//BD，BG=BD .①求的度数；②请直接写出正方形CEFG 的边长的值 .图 1图 225．如图 1，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点(B在A的左边)，极点为C，点 D （1， m）在此二次函数图象的对称轴上，过点 D 作 y 轴的垂线，交对称轴右边的抛物线于 E 点．（ 1）求此二次函数的解读式和点 C 的坐标；（ 2）当点 D 的坐标为（ 1， 1）时，连结BD、．求证：均分；（ 3）点 G 在抛物线的对称轴上且位于第一象限，若以A、 C、 G 为极点的三角形与以G、D 、E 为极点的三角形相像，求点 E 的横坐标．图1备用图1备用图2海淀区九年级第一学期期末练习数学试卷答案及评分参照:1.,,, .2.,.3.,.32412345678A CB DC B B A1649<1013011 0,(2)12(2 )30,51354.5145.145 1552=3△△451650-1322341 - 25 175123△△.45 1851.12 212.34 ,52051951lM....2.3 2..5 205P 1:ECOD.21D,F 3.CDPCO A BO..1....DE O.2(2)O F..,.3,ODEF...4 Rt AOF...52151<.220 - 4m = - 43ABCDyOD=OC.Bn 2nn >0B..4 B24.=2 4=8522.5(1)42- 1- 7 .22..3.452223 24725823.71...x 1 00 .22..3...4 3..6.724.71...1..22BE.1BG=DE ...,.3,A D..4G,.BFC.E5.7 25.81 D 1 m1 C1-422D 1 1 DE y E 1 DE xyED EB O A xED E =C图 1A3,0B-1,0BD =BD=DE343ACG G D EGDEACGGA3,0C1-4,G1 1AG=AC=图 211/12AC=2 AG.GD=2 DE DE =2 GD .t >1.D G DE=t1-GD =() =.i.2GD =2 DE= 2(t- 1)..()5图 3 ii.3DE =2GDt - 1=2()..()6.DG DE=t - 1GD=1-()= -.i.4GD =2 DE= 2 t - 1 .图 4.()7=2 GDt- 1=2..()8E.图 512/12。
月海淀初三数学期末试题及答案
11．海淀区九年级第一学期期末测评数学试卷2018.1一、选择题<本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．下列说法正确的是 ( >A. 掷两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面超上是不可能事件B．随意地翻到一本书的某页，这页的页码为奇数是随机事件C．经过某市一装有交通信号灯的路口，遇到红灯是必然事件D．某一抽奖活动中奖的概率为,买100张奖券一定会中奖2C Db5E2RGbCAP3. 将抛物线y=x2平移得到抛物线y=x2+3,则下列平移过程正确的是 ( >A.向上平移3个单位B.向下平移3个单位C. 向左平移3个单位D.向右平移3个单位4.下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是 ( >A ．x2+1=0B ．9x2-6x+1=0C ．x2-x+2=0D ．x2-2x-3=0p1EanqFDPw 5. 已知圆锥的底面半径为2cm ，母线长为5cm ，则此圆锥的侧面积为 ( >A. 5πcm2B.10πcm2C.14πcm2D.20πcm2DXDiTa9E3d 6.如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端、树的顶端的影子恰好 落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距6m,与树相距 15m ，则树的高度为 ( >A. 4mB. 5mC. 7mD. 9mRTCrpUDGiT 7. 已知二次函数y＝ax2＋bx ＋c 的图象如右图所示，则下列 结论中正确的是( > A ．a>0 B ．c ＜0 C ．D ．a ＋b ＋c>08.已知O 为圆锥顶点, OA 、OB 为圆锥的母线, C 为OB 一只小蚂蚁从点C 开始沿圆锥侧面爬行到点A, 另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬O B(A )COABC行到点B ，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示.若沿OA 剪开,则得到的圆锥侧面展开图为 ( > A BC D5PCzVD7HxA 二、填空题<本题共16分，每小题4分） 9. 方程的解是 .10.如图, △ABD 与△AEC 都是等边三角形, 若∠ADC = 15︒, 则 ∠ABE=︒ . 11. 若<x, y, z 均不为0），则的值为 .12．用两个全等的含30︒角的直角三角形制作如图1所示的两种卡片, 两种卡片中扇形的半径均为1, 且扇形所在圆的圆心分别为长直角边的中点和30︒角的顶点, 按先A 后B的顺序交替摆放A 、B 两种卡片得到图2所示的图案. 若摆放这个图案共用两种卡片8张，则这个图案中阴影部分的面积之和为。
2017-2018学年北京市海淀区九年级(上)期末数学试卷-普通用卷
2017-2018学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷副标题一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.抛物线的对称轴是A. B. C. D.2.在中，若，，则的值为A. B. C. D. 33.如图，线段BD，CE相交于点A，若，，，则BC的长为A. 1B. 2C. 3D. 44.如图，将绕点A逆时针旋转，得到若点D在线段BC的延长线上，则的大小为A. B. C. D.5.如图， ∽ ，，，，与的面积分别是和，与的周长分别是和，则下列等式一定成立的是A. B. C. D.6.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A从出发，绕点O顺时针旋转一周，则点A不经过A. 点MB. 点NC. 点PD. 点Q7.如图，反比例函数的图象经过点，当时，x的取值范围是A. 或C.D.8.两个少年在绿茵场上游戏小红从点A出发沿线段AB运动到点B，小兰从点C出发，以相同的速度沿逆时针运动一周回到点C，两人的运动路线如图1所示，其中两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间单位：秒的对应关系如图2所示则下列说法正确的是A. 小红的运动路程比小兰的长B. 两人分别在秒和秒的时刻相遇C. 当小红运动到点D的时候，小兰已经经过了点DD. 在秒时，两人的距离正好等于的半径二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.方程的根为_________．10.已知为锐角，且，那么的大小是_________．11.若一个反比例函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，则此反比例函数表达式可以是_________写出一个即可12.如图，抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为，则点Q的坐标为_________．13.若一个扇形的圆心角为，面积为，则这个扇形的半径为_________．14.如图，AB是的直径，PA，PC分别与相切于点A，点C，若，，则AB的长为_________．15.在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶设小张距大巴车尾xm，若大巴车车顶高于小张的水平视线，红灯下沿高于小张的水平视线，若小张能看到整个红灯，则x的最小值为_________．16.下面是“作一个角”的尺规作图过程．请回答：该尺规作图的依据是___________________________________________________________．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.计算：．四、解答题（本大题共11小题，共88.0分）18.已知是关于x的方程的一个根，求的值．19.如图，在中，为锐角，，，，求BC的长．20.码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间轮船到达目的地后开始卸货，记平均卸货速度为单位：吨天，卸货天数为t．直接写出v关于t的函数表达式：_________________；不需写自变量的取值范围如果船上的货物5天卸载完毕，那么平均每天要卸载多少吨？21.如图，在中，，，，以AC为边作，，，延长BC至点D，使，连接求证：∽ ．22.古代阿拉伯数学家泰比特伊本奎拉对勾股定理进行了推广研究：如图图1中为锐角，图2中为直角，图3中为钝角．在的边BC上取，两点，使，则 ∽∽，，，进而可得__________；用，，BC表示，若，，，则23.如图，函数与的图象交于点和点．求k，a，b的值；直线与的图象交于点P，与的图象交于点Q，当时，直接写出m的取值范围．24.如图，A，B，C三点在上，直径BD平分，过点D作交弦BC于点E，在BC的延长线上取一点F，使得．求证：DF是的切线；连接AF交DE于点M，若，，求DM的长．25.如图，在中，，，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点A顺时针旋转至，连接已知，设BD为xcm，为ycm．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整说明：解答中所填数值均保留一位小数通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．结合画出的函数图象，解决问题：线段的长度的最小值约为__________；若，则BD的长度x的取值范围是_____________．26.已知二次函数．该二次函数图象的对称轴是_________；若该二次函数的图象开口向下，当时，y的最大值是2，求当时，y的最小值；若对于该抛物线上的两点，，当，时，均满足，请结合图象，直接写出t的最大值．27.对于与上的一点A，若平面内的点P满足：射线AP与交于点点Q可以与点P重合，且，则点P称为点A关于的“生长点”．已知点O为坐标原点，的半径为1，点．若点P是点A关于的“生长点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标________；若点B是点A关于的“生长点”，且满足，求点B的纵坐标t 的取值范围；直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于的“生长点”，直接写出b的取值范围是_____________________________．28.在中，，．图1 图2 图3如图1，的角平分线BD，CE交于点Q，请判断“”是否正确：________填“是”或“否”；点P是所在平面内的一点，连接PA，PB，且．如图2，点P在内，，求的大小；如图3，点P在外，连接PC，设，，用等式表示，之间的数量关系，并证明你的结论．答案和解析【答案】1. B2. A3. C4. B5. D6. C7. A8. D9. 或10. 6011. 答案不唯一12.13. 614. 215. 1016. 三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半17. 解：原式，，．18. 解：是关于x的方程的一个根，．．．19. 解：如图，作于点D，．，，，在中，，，在中，．20. 解：；，，，，解得．即平均每天至少要卸载48吨．21. 证明：，，，，，，，，，，，，，．．∽ ．22. 解：BC；BC；；23. 解：函数的图象经过点，，得函数的图象还经过点，，点A的坐标为函数的图象经过点A和点B，，解得．，且．24. 证明：平分，．，．，，．是半径，是的切线解：连接DC，是的直径，．，，≌ ．，．，，．，．，，∽ ．．．25. 解：；如右图所示；．26. 解：；该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线，当时，y取到在上的最大值为2．．，．当时，y随x的增大而增大，当时，y取到在上的最小值0 ．当时，y随x的增大而减小，当时，y取到在上的最小值．当时，y的最小值为．当，时，均满足，当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合时，满足条件，，，的最大值为27. 解：答案不唯一如图，在x轴上方作射线AM，与交于M，且使得，并在AM上取点N，使，并将MN关于x轴对称，得，则由题意，线段MN和上的点是满足条件的点B．作轴于H，连接MC，，即．是的直径，，即．．．．设，则，，，解得，即点M的纵坐标为．又由，A为，可得点N的纵坐标为，故在线段MN上，点B的纵坐标t满足：由对称性，在线段上，点B的纵坐标t满足：，点B的纵坐标t的取值范围是或或28. 解：否作于D，则，，，．．由是锐角，得．，证明如下：作，并取，连接DC，DP．．，，即．，，≌ ．，．，，，．，．．，，，．．．．【解析】1. 【分析】此题考查二次函数的性质，抛物线是抛物线的顶点式，抛物线的顶点是，对称轴是利用顶点式直接求得对称轴即可．【解答】解：抛物线的对称轴是．故选B．2. 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．根据正弦的定义解得即可．【解答】解：，，，，故选A．3. 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，由平行线得出比例式是解决问题的关键由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出BC的长．【解答】解：，，即，解得：；故选C．4. 【分析】本题主要考查的是旋转的性质和等腰三角形的性质，由旋转的性质得到为等腰三角形是解题的关键．由旋转的性质可知，，再由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得．【解答】解：由旋转的性质可知：，．．故选B．5. 【分析】本题考查对相似三角形性质的理解：相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．根据相似三角形对应边成比例，相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比对各选项分析判断即可得解．解：与OD是对应边，所以，不一定成立，故本选项错误；B.的度数：的度数：1，所以，故本选项错误；C.，故本选项错误；D.，正确，故本选项正确．故选D．6. 【分析】本题考查了点的坐标及到原点的距离，勾股定理先根据A、Q、P、N、M在平面直角坐标系中的位置，确定点的坐标，利用勾股定理求出各点到原点的距离，即可得到答案．【解答】解：，，，，，，，，，，，点A不经过点P．故选C．7. 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．直接根据函数的图象即可得出结论．【解答】解：由图可知，当或时，反比例函数的图象在1的下方，当时，x的取值范围是或．故选A．8. 【分析】本题主要考查了函数图象的读图能力，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论根据函数图象，找准几个关键点，求出所需的时间，结合两人的运动过程，进行分析解答即可．【解答】解：由函数图象可知：小红从点A出发沿线段AB运动到点B，用时秒，小兰从点C出发，沿逆时针运动一周回到点C，用时秒，因为两人的速度相同，所以小红的运动路程比小兰的短，故A错误；B.由函数图象可知：两人分别在秒和秒的时刻距离C的距离相等，不能相遇故B错误；C.由函数图象可知：小兰到达D点的时间：秒，此时小红已经过了点D，所以当小红运动到点D的时候，小兰还没有到点D故C错误；D.由函数图象可知，秒时，小红运动到点B，秒，由对称性可知秒时，小红正好运动到点O，小兰在圆O上，所以在秒时，两人的距离正好等于的半径故正确．故选D．9. 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解是解本题的关键提公因式后，可求出x的值．【解答】解：，，或，解得：或．故答案为或．10. 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值根据特殊角的三角函数值，即可求出的度数【解答】解：，故答案为6011. 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，此题属开放性题目，答案不唯一，只要写出的反比例函数的解析式符合条件即可设该反比例函数的解析式是，再根据它在每个象限内，y随x增大而减小判断出k的符号，选取合适的k的值即可．【解答】解：设该反比例函数的解析式是，它在每个象限内，y随x增大而减小，，符合条件的反比例函数的解析式可以为：答案不唯一．故答案为答案不唯一．12. 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，解题时注意：抛物线与x轴的两交点关于抛物线的对称轴对称根据抛物线的对称性和为x轴上的点，即可求出另一个点Q的交点坐标【解答】解：由于抛物线的对称轴为，而点位于x轴上，设与x轴另一交点坐标为，根据题意得：，解得，抛物线与x轴的另一个交点Q坐标为故答案为．13. 【分析】本题考查了扇形面积的计算，属于基础题，解答本题的关键是能够灵活运用扇形的面积公式．根据扇形的面积公式，得．【解答】解：设这个扇形的半径是r．根据扇形面积公式，得，解得，故答案为6．14. 【分析】本题考查了切线长定理，圆周角定理及其推论，特殊角的三角函数值以及等边三角形的判定和性质．利用切线长定理得出，再利用等边三角形的判定得出是等边三角形，得到AC的长，，进而得到，利用圆周角定理及其推论得到，在，中，利用锐角三角函数的定义，求出AB的长．【解答】解：PA，PC分别与相切于点A，点C，，，，是等边三角形，，，，是的直径，，．故答案为2．15. 【分析】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．根据题意容易得到 ∽ ，再根据相似三角形的性质解答即可．【解答】解：如图所示：由题意得：，∽ ，，即，解得．所以x的最小值为10．故答案为10．16. 【分析】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和圆周角定理．先根据作图得出，即为等边三角形，据此可得，再根据圆周角定理知，从而得出答案．【解答】解：如图，连接BC、OC，由作图知，，为等边三角形，则，，综上可知，该尺规作图的依据是：三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；故答案为三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半．17. 本题考查了特殊角的三角函数值熟记特殊角的三角函数值即可解题，属于基础题型将特殊角的三角函数值代入求值即可．18. 本题主要考查一元二次方程的解，把方程的解代入得到到关于m的方程是解题的关键把代入方程可得到关于m的方程，可求得，然后整体代入求值．19. 本题考查了解直角三角形，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形作于D，在中，利用的正弦可计算出AD，然后根据勾股定理计算出CD，在中，根据勾股定理求出BD，再利用求解．20. 【分析】本题考查反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，进一步根据题意求解．首先根据题意可知总工作量为吨不变，故卸货速度v与卸货时间t之间为反比例关系，即，变形即可得出v关于t的函数关系式；由得出，再将代入，即可求出v的取值范围．【解答】解：设轮船上的货物总量为k吨，根据已知条件得，所以v关于t的函数关系式为；见答案．21. 先利用勾股定理计算出，则，所以，再证明然后根据相似三角形的判定方法可判断 ∽ ．本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．22. 【分析】本题考查了勾股定理以及相似三角形的判定与性质，用到的知识点为：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简叙为两角对应相等，两三角形相似；相似三角形的对应边成比例根据相似三角形的判定定理：两角对应相等，两三角形相似，得到 ∽ ， ∽ ，根据相似三角形的对应边成比例，得到比例式，把两个比例式变形，然后两式相加得到结论，先根据勾股定理判定出为钝角三角形，然后利用比例式求出，，即可得到BC的长．【解答】，，∽ ，，即；，，∽ ，，即；；，，，，是钝角三角形，，，，，．故答案为BC；BC；；．23. 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及解方程组，解题的关键是：根据点A、B的坐标利用待定系数法求出a，b的值；联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出两函数图象的交点坐标．将点B坐标代入可得k的值，求出反比例函数解析式，据此求得点A坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出a，b的值；当A，Q点重合时，，所以；当时，根据直线互相垂直，则k12，可得出过点A直线的k等于1，得出所求的解析式联立直线l和反比例函数解析式成方程组，解方程组可找出交点坐标P，然后根据函数图象，即可确定当时，m的取值范围．【解得】解：见答案；当时，直线过点A，即A，Q点重合，，所以；当时，，，设直线PA解析式为，把点代入得，解得，直线PA解析式为，联立解析式，解得或，点P的坐标为即此时，，且．故答案为，且．24. 本题考查了圆的切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理及其推论，勾股定理等知识点．根据直径BD平分，，利用可得，进一步求得，可得结论；连接DC，由圆周角定理的推论得到，证明 ≌ ，推出，，在直角三角形中，利用勾股定理得到CE的长，得到BF、BC、AB的长，再证明 ∽ ，利用相似三角形的性质，对比边成比例，得到ME的长，即可得到DM的长．25. 【分析】本题考查坐标与图形的关系，函数图象和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用测量法、图象法解决实际问题，属于中考压轴题．利用取点，测量的方法，即可解决问题；利用描点法，画出函数图象即可；根据函数图象，找到最低点的坐标，即可确定线段的长度的最小值；，即的值，结合函数图象确定x的取值范围即可．【解答】解：通过取点、画图、测量可得时，，故答案为．见答案；由函数图象可知：最低点的坐标为，所以线段的长度的最小值约为；，即的值，则BD的长度x的取值范围是．故答案为；．26. 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的区间最值，有一定的难度，注意分类讨论思想的运用．直接利用二次函数的对称轴公式求解即可；利用二次函数的性质得到时，，代入函数解析式，求出a的值，确定函数解析式，然后利用二次函数的性质，分情况讨论，确定y的最小值；利用二次函数的性质，利用数形结合思想确定t的最大值．【解答】解：，，该二次函数图象的对称轴是；故答案为；见答案；见答案．27. 【分析】本题考查了圆周角定理的推论，锐角三角函数的定义，一次函数的图象和性质，平面坐标内的对称变换等知识，综合性较强．根据点P称为点A关于的“生长点”的定义，只要取得的点P横的坐标大于或等于1而小于或等于3即可；作轴于H，连接MC，由圆周角定理的推论得到，利用锐角三角函数的定义得到，设，进而得到y的方程，分别求出点M，N的纵坐标，结合对称性确定t的取值范围；分两种情况：当时，可得当时，可得．【解答】解：的半径为1，点，可以取，故答案为；见答案；分两种情况：当时，可得当时，可得．故答案为或．28. 【分析】本题是一道综合题，解答的关键是熟练掌握性质定理．作于点M，延长AQ交BC于点N，设，则，根据，可得结论；作于D，则，利用，可得的大小本题还可以有如下解法；作，并取，连接DC，DP，首先证明 ≌ ，然后得到，利用．可得【解答】解：作于点M，延长AQ交BC于点N，的角平分线BD，CE交于点Q，为的角平分线，在中，，AB AC，，，设，则，，，在中，由勾股定理可得2，，故答案为否；见答案；另证：作点P关于直线AB的对称点，连接，则．，．是等边三角形．．，．．．见答案．。
2018年1月北京市海淀区初三上数学期末试题及标准答案
北京市海淀区初三第一学期期末学业水平调研数 学 2018．1本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分。
考试时间120分钟。
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．．． 1．抛物线()212y x =-+的对称轴是A ．1x =-B ．1x =C ．2x =-D ．2x =2．在△ABC 中，∠C =90°．若AB =3，BC =1，则sin A 的值为A ．13B． C．3D ．33．如图，线段BD ，CE 相交于点A ，DE ∥BC ．若AB =4，AD =2，DE =1.5， 则BC 的长为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转100°，得到△ADE ．若点D 在线段BC 的延长线上，则B ∠的大小为 A ．30° B ．40° C ．50° D ．60°5．如图，△OAB ∽△OCD ，OA :OC =3:2，∠A =α，∠C =β，△OAB 与△OCD 的面积分别是1S 和2S ，△OAB 与△OCD 的周长分别是1C 和2C ，则下列等式一定成立的是 A ．32OB CD=B ．32αβ= C ．1232S S =D ．1232C C =6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 从（3，4）出发，绕点O 顺时针旋转一周，则点A 不．经过 A ．点MB ．点NC ．点PD ．点QEB C DADECBAD OA BC7．如图，反比例函数k y x=的图象经过点A （4，1），当1y <时，x 的取值范围是A ．0x <或4x >B ．04x <<C ．4x <D ．4x >8．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A 出发沿线段AB 运动到点B ，小兰从点C 出发，以相同的速度沿⊙O 逆时针运动一周回到点C ，两人的运动路线如图1所示，其中AC =DB ．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C 的距离y 与时间x （单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是图1 图2A ．小红的运动路程比小兰的长B ．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C ．当小红运动到点D 的时候，小兰已经经过了点D D ．在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O 的半径二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．方程220x x -=的根为 ． 10．已知∠A 为锐角，且tan A =A 的大小是 °．11．若一个反比例函数图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，则此反比例函数表达式可以是 ．（写出一个即可） 12．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为1x =，点P ，点Q 是抛物线与x 轴的两个交点，若点P 的坐标为（4，0），则点Q 的坐标为 ．13．若一个扇形的圆心角为60°，面积为6π，则这个扇形的半径为 ．14．如图，AB 是⊙O 的直径，P A ，PC 分别与⊙O 相切于点A ，点C ，若∠P =60°，P A =，则AB 的长为．CDA OB15．在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为10m 的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m 的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾x m ，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m ，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m ，若小张能看到整个红灯，则x 的最小值为 ．停止线信号灯16．下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．请回答：该尺规作图的依据是 ． 三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：2sin 30°2cos 45-°18．已知1x =是关于x 的方程2220x mx m --=的一个根，求(2)1m m +的值．19．如图，在△ABC 中，∠B 为锐角， AB=AC =5，sin 35C =，求BC 的长． CB A20．码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．轮船到达目的地后开始卸货，记平均卸货速度为v （单位：吨/天），卸货天数为t ．（1）直接写出v 关于t 的函数表达式：v = ；（不需写自变量的取值范围） （2）如果船上的货物5天卸载完毕，那么平均每天要卸载多少吨？21．如图，在△ABC 中，∠B =90°，AB =4，BC =2，以AC 为边作△ACE ，∠ACE =90°，AC=CE ，延长BC 至点D ，使CD =5，连接DE ．求证：△ABC ∽△CED ．22．古代阿拉伯数学家泰比特·伊本·奎拉对勾股定理进行了推广研究：如图（图1中BAC ∠为锐角，图2中BAC ∠为直角，图3中BAC ∠为钝角）．AB B' C' CAB B'(C')C B C' B' C A在△ABC 的边BC 上取B '，C '两点，使A BB A CC B A C''∠∠∠==，则ABC △∽B BA '△∽C AC '△，()ABB BAB'=，()AC C CAC'=，进而可得22AB AC += ；（用BB CC BC ''，，表示）若AB =4，AC =3，BC =6，则B C ''= ．图1 图2 图3E B C D A23．如图，函数ky x=（0x <）与y ax b =+的图象交于点A （-1，n ）和点B （-2，1）． （1）求k ，a ，b 的值；（2）直线x m =与k y x=（0x <）的图象交于点P ，与1y x =-+的图象交于点Q ，当90PAQ ∠>︒时，直接写出m 的取值范围．24．如图，A ，B ，C 三点在⊙O 上，直径BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ∥AB 交弦BC 于点E ，在BC 的延长线上取一点F ，使得EF =DE ． （1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）连接AF 交DE 于点M ，若 AD =4，DE =5，求DM 的长．25．如图，在△ABC 中，90ABC ∠=︒，40C ∠=°，点D 是线段BC 上的动点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转50°至AD '，连接BD '．已知AB =2cm ，设BD 为x cm ，B D '为ycm ．小明根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）（1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表：D' B D C A（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：线段BD '的长度的最小值约为__________cm ；若BD '≥BD ，则BD 的长度x 的取值范围是_____________． 26．已知二次函数243y ax ax a =-+．（1）该二次函数图象的对称轴是x = ；（2）若该二次函数的图象开口向下，当14x ≤≤时，y 的最大值是2，求当14x ≤≤时，y 的最小值； （3）若对于该抛物线上的两点11() P x y ， ，22() Q x y ，，当1+1t x t ≤≤，25x ≥时，均满足12y y ≥，请结合图象，直接写出t 的最大值．27．对于⊙C 与⊙C 上的一点A ，若平面内的点P 满足：射线．．AP 与⊙C 交于点Q（点Q 可以与点P 重合），且12PAQA≤≤，则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”． 已知点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A （-1，0）．（1）若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且点P 在x 轴上，请写出一个符合条件的点P 的坐标________； （2）若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且满足1tan 2BAO ∠=，求点B 的纵坐标t 的取值范围；（3）直线y b =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，直接写出b 的取值范围是_____________________________．28．在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ．（1）如图1，△ABC 的角平分线BD ，CE 交于点Q，请判断“QB =”是否正确：________（填“是”或“否”）；（2）点P 是△ABC 所在平面内的一点，连接PA ，PB ，且PB=PA ．①如图2，点P 在△ABC 内，∠ABP =30°，求∠PAB 的大小；②如图3，点P 在△ABC 外，连接PC ，设∠APC =α，∠BPC =β，用等式表示α，β之间的数量关系，并证明你的结论．PPEDQB CAB CAB CA图1 图2 图3北京市海淀区初三第一学期期末学业水平调研数学参考答案及评分标准2018．1一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．0或2 10．60 11．1y x=（答案不唯一） 12．（2-，0） 13．614．2 15．1016．三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；或：直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，直角三角形两个锐角互余； 或：直径所对的圆周角为直角，1sin 2A =，A ∠为锐角，30A ∠=︒.三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小题，每小题7分） 17．解：原式 = 1222⨯-+ (3)分 = 1= 1+ ………………5分 18．解：∵ 1x =是关于x 的方程2220x mx m --=的一个根， ∴ 2120m m --=.∴ 221m m +=. ………………3分 ∴ 2(2)211m m m m =++=. ………………5分 19．解：作AD ⊥BC 于点D ， ∴ ∠ADB =∠ADC =90°. ∵ AC =5，3sin 5C =，∴ sin 3AD AC C =⋅=. ………………2分 ∴ 在Rt △ACD 中，4CD ==. ………………3分B∵ AB=∴ 在Rt △ABD中，3BD ==. ………………4分∴ 7BC BD CD =+=. ………………5分 20．解：（1）240t. ………………3分 （2）由题意，当5t =时，24048v t==. ………………5分答：平均每天要卸载48吨. 21．证明：∵ ∠B =90°，AB =4，BC =2， ∴AC =.∵ CE =AC ， ∴CE = ∵ CD =5， ∴AB ACCE CD=. ………………3分 ∵ ∠B =90°，∠ACE =90°，∴ ∠BAC +∠BCA =90°，∠BCA +∠DCE =90°.∴ ∠BAC =∠DCE .∴ △ABC ∽△CED . ………………5分 22．BC ，BC ，()BC BB CC ''+ ………………3分116………………5分 23．解：（1）∵ 函数ky x=（0x <）的图象经过点B （-2， 1）， ∴12k=-，得2k =-. ………………1分 ∵ 函数ky x=（0x <）的图象还经过点A （-1，n ），∴ 221n -==-，点A 的坐标为（-1，2）. ………………2分 ∵ 函数y ax b =+的图象经过点A 和点B ，EB C DA∴ 2,2 1.a b a b -+=⎧⎨-+=⎩解得1,3.a b =⎧⎨=⎩………………4分（2）20m -<<且1m ≠-. ………………6分 24．（1）证明：∵ BD 平分∠ABC ， ∴ ∠ABD =∠CBD . ∵ DE ∥AB ， ∴ ∠ABD =∠BDE .∴ ∠CBD =∠BDE . ………………1分 ∵ ED =EF ，∴ ∠EDF =∠EFD . ∵∠EDF +∠EFD +∠EDB +∠EBD =180°， ∴ ∠BDF =∠BDE +∠EDF =90°.∴ OD ⊥DF . ………………2分 ∵OD 是半径，∴ DF 是⊙O 的切线. ………………3分（2）解： 连接DC ，∵ BD 是⊙O 的直径， ∴ ∠BAD =∠BCD =90°. ∵ ∠ABD =∠CBD ，BD =BD ， ∴ △ABD ≌△CBD . ∴ CD =AD =4，AB =BC. ∵ DE =5，∴3CE ==，EF =DE =5. ∵ ∠CBD =∠BDE ， ∴ BE =DE =5.∴ 10BF BE EF =+=，8BC BE EC =+=.∴ AB =8. ………………5分 ∵ DE ∥AB ， ∴ △ABF ∽△MEF . ∴AB BFME EF=. ∴ ME =4.∴ 1DM DE EM =-=. ………………6分25．（1）0.9. ………………1分 （2）如右图所示. ………………3分 （3）0.7， ………………4分 00.9x ≤≤. ………………6分 26．解：（1）2． ………………1分 （2）∵ 该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线2x =， ∴ 当2x =时，y 取到在14x ≤≤上的最大值为2. ∴ 4832a a a -+=.∴ 2a =-，2286y x x =-+-. ………………3分 ∵ 当12x ≤≤时，y 随x 的增大而增大， ∴ 当1x =时，y 取到在12x ≤≤上的最小值0. ∵ 当24x ≤≤时，y 随x 的增大而减小， ∴ 当4x =时，y 取到在24x ≤≤上的最小值6-.∴ 当14x ≤≤时，y 的最小值为6-. ………………4分 （3）4. ………………6分 27．解：（1）（2，0）(答案不唯一). ………………1分 （2）如图，在x 轴上方作射线AM ，与⊙O 交于M ，且使得1tan 2OAM ∠=，并在AM 上取点N ，使AM =MN ，并由对称性，将MN 关于x 轴对称，得M N ''，则由题意，线段MN 和M N ''上的点是满足条件的点B .作MH ⊥x 轴于H ，连接MC ，∴ ∠MHA =90°，即∠OAM +∠AMH =90°. ∵ AC 是⊙O 的直径，∴ ∠AMC =90°，即∠AMH +∠HMC =90°. ∴ ∠OAM =∠HMC .∴ 1tan tan 2HMC OAM ∠=∠=. 112O∴12MH HC HA MH ==. 设MH y =，则2AH y =，12CH y =， ∴ 522AC AH CH y =+==，解得45y =，即点M 的纵坐标为45.又由2AN AM =，A 为（-1，0），可得点N 的纵坐标为85，故在线段MN 上，点B 的纵坐标t 满足：4855t ≤≤. ……………3分由对称性，在线段M N ''上，点B 的纵坐标t 满足：8455t -≤≤-.……………4分∴ 点B 的纵坐标t 的取值范围是8455t -≤≤-或4855t ≤≤.（3）41b -≤≤-或14b ≤≤ ………………7分 28．解：（1）否. ………………1分 （2）① 作PD ⊥AB 于D ，则∠PDB =∠PDA =90°， ∵ ∠ABP =30°， ∴ 12PD BP =. ………………2分 ∵PB =， ∴2PD PA =. ∴sin PD PAB PA ∠==. 由∠P AB 是锐角，得∠P AB =45°. ………………3分 另证：作点P 关于直线AB 的对称点'P ，连接',',B P P A P P ，则',',','P B A P B A P A B P A B B P B P A P A P∠=∠∠=∠==. ∵∠ABP =30°， ∴'60P BP ∠=︒.∴△'P BP 是等边三角形. ∴'P P BP =.∵PB =，BBC∴'P P =. ………………2分 ∴222''P P PA P A =+. ∴'90PAP ∠=︒.∴45PAB ∠=︒. ………………3分② 45αβ+=︒，证明如下： ………………4分 作AD ⊥AP ，并取AD =AP ，连接DC ，DP . ∴ ∠DAP =90°. ∵ ∠BAC =90°，∴ ∠BAC +∠CAP =∠DAP +∠CAP , 即 ∠BAP =∠CAD . ∵ AB =AC ，AD =AP ， ∴ △BAP ≌△CAD .∴ ∠1=∠2，PB =CD . ………………5分 ∵ ∠DAP =90°，AD =AP ，∴PD =，∠ADP =∠APD =45°. ∵PB =， ∴ PD =PB =CD . ∴ ∠DCP =∠DPC . ∵ ∠APC =α，∠BPC =β，∴ 45DPC α∠=+︒，12αβ∠=∠=-. ∴ 31802902DPC α∠=︒-∠=︒-. ∴ 139045ADP αβ∠=∠+∠=︒--=︒.∴ 45αβ+=︒. ………………7分B。
北京海淀区2018-2019学年初三第一学期期末数学试题及答案
初三第一学期期末学业水平调研 数学试卷答案及评分参考一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）2019．01题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACCABBCA二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9． x 1 = 0 ， x 2 = 310． π11．2 12． k > 013． (1，2) 14.答案不唯一，如： y =-1x15． M ，N16．三、解答题（本题共 68 分，第 17~22 题，每小题 5 分；第 23~26 题，每小题 6 分；第 27~28题，每小题 7 分）解答应写出文字说明、验算步骤或证明过程．17．（本小题满分 5 分）解：原式=2 - 2 ⨯ 1+1 2 2 = 2 ． 218．（本小题满分 5 分）证明：∵ ∠A = ∠C ， ∠AOB = ∠COD ，∴△AOB ∽△COD ．∴AO = AB ．CO CD ∵ A O = 4，CO = 2，CD = 3 ，∴ A B = 6 ．19．（本小题满分 5 分）解：依题意，得 mn 2 - 4n - 5 = 0 ．∴ m n 2 - 4n = 5． ∵ m n 2 - 4n + m = 6 ， ∴ 5 + m = 6 ． ∴ m = 1 ．20．（本小题满分 5 分）解：（1）B ．（2） 0.50 ．3CAOPB21．（本小题满分 5 分）（1） 补全的图形如图所示：（2） 直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．22．（本小题满分 5 分）解：在Rt △DP A 中，∵ t an ∠DP A = AD，PD ∴AD= PD ⋅tan ∠DP A．在Rt △DPB 中，∵ t an ∠DPB = BD，PD∴ B D = PD ⋅ tan ∠DPB ．∴ A B = BD - AD = PD ⋅(tan ∠DPB - tan ∠DP A )． ∵ A B = 5.6 ， ∠DPB = 53 °， ∠DP A = 18 °， ∴ P D = 5.6 ．答：此时观光船到大桥 AC 段的距离 PD 的长为5.6 千米． 23．（本小题满分 6 分）解：（1）∵直线 y = 1x 经过点 A (2，a ) ，2∴ a = 1 ． ∴ A (2，1) 又∵双曲线 y = k经过点 A ，x∴ k = 2 ．（2）①当 m = 1 时，点 P 的坐标为(1，2) ． ∴直线 P A 的解析式为 y = -x + 3 ．∵直线P A与x轴交于点B(b，0)，∴b= 3 ．② b = 1或3 ．24．（本小题满分6 分）解：本题答案不唯一，如：（1）x /cm 0 0.25 0.47 1 2 3 4 5 6y /cm 1.43 0.66 0 1.31 2.59 2.76 2.41 1.66 0 （2）y4321O 1 2 3 4 5 6 7 x（3）1.38 或 4.62 ．说明：允许（1）的数值误差范围±0.05；（3）的数值误差范围±0.225．（本小题满分6 分）（1）证明：如图，连接OC ．A∵O E⊥AB ，∴∠EGF = 90 °．∵PC 与⊙O 相切于点C ，∴∠OCP=90 °． ............. 1分EG F B P OC∴∠E +∠EFG =∠OCF +∠PCF = 90 °．∵O E =OC ，∴∠E =∠OCF ．∴∠EFG =∠PCF ．又∵∠EFG =∠PFC ，∴∠PCF =∠PFC ．∴P C =PF ．（2）方法一：解：如图，过点 B 作BH⊥PC 于点H ．∵O B∥PC ，∠OCP = 90︒，2 2 AG F B OHCAG F H BOCE∴ ∠BOC = 90︒ ． ∵ O B = OC ，P∴ ∠OBC = ∠OCB = 45 °． ∴ ∠BCH = ∠OBC = 45 °．在Rt △BHC 中， B C = 3 ，可得 BH = BC ⋅ sin 45 ° = 3 ， CH = BC ⋅ cos 45 ° = 3 ．在Rt △BHP 中， tan P = 3，4可得 PH =∴ B P = BHtan P= 4 ．= 5 ． ∴ P C = PH + CH = 7 ． ∴ P F = PC ．∴ FB = PF - PB = PC - PB =2 ． 方法二：解：如图，过点 C 作CH ⊥AP 于点 H ． E∵ O B ∥PC ， ∠OCP = 90︒ ， P∴ ∠BOC = 90 °． ∵ O B = OC ，∴ ∠OBC = ∠OCB = 45 °．在Rt △OBC 中， B C = 3 ，可得OB = BC ⋅ sin 45 ° = 3 ． ∴ O E = OB = 3 ．∵ ∠GBO = ∠P ，t an P = 3， 4∴t an ∠GBO = 3． 4在Rt △GBO 中， tan ∠GBO = OG， OB = 3 ．GB∴O G = 9 ， G B = 12 ． 5 5∴E G = OE - OG = 6． 5在Rt △CHP 中， tan P = CH， CH 2 + PH 2 = PC 2 ．PH设CH = 3x ，则 PH = 4x ， PC = 5x ． ∵ P C = PF ，∴ F H = PF - PH = x ．PH 2 + BH 22 ∵ ∠EFG = ∠CFH ， ∠EGF = ∠CHF = 90， ∴△EGF ∽△CHF∴FG = FH = 1 ．EG CH 3∴ F G = 1 EG = 2．3 5∴ FB = GB - FG =2 ． 方法三 ： 解：如图，过点C 作CH ⊥AP 于点 H ，连接 AC ． ∵ O B ∥PC ， ∠OCP = 90︒ ，∴ ∠BOC = 90︒ ． ∴ ∠A = 1 ∠BOC = 45 °. 2在Rt △CHP 中， tan P =CH = 3，EG F H B PH 4A P设CH = 3x ，则 P H = 4x ， P C = 5x ． O在Rt △AHC 中， ∠A = 45 °， CH = 3x ，∴ A H = CH = 3x ， A C = 3 2x ． C∴ P A = AH + PH = 7x ．∵ ∠P = ∠P ， ∠PCB = ∠A = 45︒ ， ∴△PCB ∽△P AC ． ∴PB = PC = BC ．PC PA AC∵ B C = 3 ，∴ x = 7 ， P C = 7 ， P B = 5 ．5∵ P F = PC ， ∴ P F = 7 ．∴ F B = PF - PB = 2 ．26．（本小题满分 6 分）y3 解：（1）①当 a = 1 时， y = 4x 2 - 8x ．21当 y = 0 时， 4x 2 -8x = 0， A解得 x 1 = 0 ， x 2 = 2 ．∴抛物线G 与 x 轴的交点坐标为(0，0) ， (2，0) ．–1 O –1 –2 –3 –41 23 x图 1图 2∴∠DAE = ∠DAC ． ②当 n = 0 时，抛物线G 与线段 AN 有一个交点． 当 n = 2 时，抛物线G 与线段 AN 有两个交点． 结合图象可得0 ≤ n < 2 ． （2） n ≤ -3 或 n ≥ 1 ．27．（本小题满分 7 分）D （1）①证明：连接 AD ，如图 1．∵点 C 与点 D 关于直线l 对称， ∴ A C = AD ． ∵ A B = AC ， BC∴ A B = AC = AD ．∴点 B ，C ，D 在以 A 为圆心， AB 为半径的圆上．② 1α ． 2（2） 证法一：证明：连接CE ，如图 2．D∵ α =60 °，A∴ ∠BDC = 1α = 30 °．2 l∵ D E ⊥BD ，E∴ ∠CDE = 90 ° -∠BDC = 60 °． BC∵点C 与点 D 关于直线l 对称， ∴ E C = ED ．∴△CDE 是等边三角形． ∴ C D = CE ， ∠DCE = 60 °． ∵ A B = AC ， ∠BAC = 60 °， ∴△ABC 是等边三角形． ∴ C A = CB ， ∠ACB = 60 °．∵ ∠ACE = ∠DCE + ∠ACD ， ∠BCD = ∠ACB + ∠ACD ， ∴ ∠ACE = ∠BCD ． ∴△ACE ≌△BCD ． ∴AE =BD ． 证法二：证明：连接 AD ，CE ，如图 2．∵点C 与点 D 关于直线l 对称， ∴ A D = AC ，AE ⊥CD ．12AlDAElBC 图 22（3） 1．3∵ ∠DBC = 1∠DAC ，2∴ ∠DBC = ∠DAE ． ∵ A E ⊥CD ， B D ⊥DE ，∴ ∠BDC + ∠CDE = ∠DEA + ∠CDE = 90 °． ∴ ∠BDC = ∠DEA ． ∵ A B = AC ，∠BAC = 60 °， ∴△ABC 是等边三角形． ∴ C A = CB = AD ． ∴△BCD ≌△ADE ∴ A E = BD ．28．（本小题满分 7 分）解：（1）图 1 中点C 的坐标为 (-1，3) ．（2） 改变图 1 中的点 A 的位置，其余条件不变，则点C 的 纵 坐标不变，它的值为 3 ．（3） ①判断：结论“点C 落在 x 轴上，则点 D 落在第一象限内．” 错误．反例如图所示：② 3 < t ≤ 4 + ．yC（B ） xDAO。
20181北京海淀初三数学期末试题含答案
初三第一学期期末学业水平调研数学2018． 1 学校姓名准考证号考生须知 1 ．本试卷共8 页，共三道大题，28道小题，满分 100 分。
考试时间120 分钟。
2 ．在试卷和答题卡上正确填写学校名称、班级和准考证号。
3 ．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4 ．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其余试题用黑色笔迹署名笔作答。
5 ．考试结束，将本试卷、答题卡和稿本纸一并交回。
一、选择题（本题共 16分，每题 2 分）第1-8题均有四个选项，吻合题意的选项只有一个． 1 ．抛物线的对称轴是 A． B． C． D． 2 ．在△ABC中，∠C 90° ．若 AB 3， BC 1，则的值为A ． B． C． D． 3 ．如图，线段 BD，CE订交于点 A ， DE∥BC．若 AB 4， AD 2， DE 1.5 ，则BC的长为 A． 1 B ． 2C．3D．44．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则的大小为A．30°B．40°C．50°D．60° 5．如图，△OAB∽△ OCD，OA:OC 3:2，∠Aα，∠C β，△OAB与△OCD的面积分别是和，△OAB与△OCD 的周长分别是成立的是 A ． B．C．直角坐标系 xOy 中，点A 点O顺时针旋转一周，B．点NC．点PD．点Q 7．如图，反比率函数（4， 1），当时，x A．或B．C．D．8．两个少年在绿茵场发沿线段AB运动到点B 相同的速度沿⊙O逆时针人的运动路线如图1所时开始运动，直到都停间他们与点C的距离y 的对应关系如图2所示图 1图2A．小红的运动人分别在秒和红运动到点 D的时候，和，则下列等式一定D．6．如图，在平面从（3，4）出发，绕则点A不经过A．点 M的图象经过点A的取值范围是上游戏．小红从点 A 出，小兰从点C出发，以运动一周回到点C，两示，其中 ACDB ．两人同止运动时游戏结束，其与时间x（单位：秒）．则下列说法正确的是路程比小兰的长B．两秒的时刻相遇C．当小小兰已经经过了点 DD．在 4.84 秒时，两人的距离正好等于⊙O的半径二、填空题（本题共16分，每题2分）9．方程的根为． 10．已知∠A为锐角，且，那么∠A的大小是°．11．若一个反比率函数图象的每一支上， y随 x的增大而减小，则此反比率函数表达式可以是．（写出一个即可）12．如图，抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与 x 轴的两个交点，若点 P 的坐标为（4，0），则点Q的坐标为．13．若一个扇形的圆心角为 60°，面积为 6π，则这个扇形的半径为．14．如图，AB是⊙O的直径，PA， PC分别与⊙O相切于点A，点 C，若∠P60°，PA，则AB的长为．15．在同车道行驶的灵活车，后车应该与前车保持足以采纳紧迫制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为 10m 的大巴车遇红灯后停在距交通讯号灯20m 的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾 x m ，若大巴车车顶高于小张的水平视线，红灯下沿高于小张的水平视线 3.2m ，若小张能看到整个红灯，则 x 的最小值为． 16．下边是“作一个 30°角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A．求作：∠A，使得∠A30°．作法：如图，（1）作射线AB；（ 2）在射线AB上取一点O，以 O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB订交于点C ；（3）以C为圆心，OC为半径作弧，与⊙O交于点D，作射线AD．∠DAB即为所求的角．请回答：该尺规作图的依照是．三、解答题（本题共68分，第17~22 题，每小题5分；第23~26小题，每题6分；第 27~28小题，每题7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：°°．18．已知是关于x 的方程的一个根，求的值．19．如图，在△ABC 中，∠B为锐角， AB，AC5，，求BC的长．20．码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．轮船到达目的地后开始卸货，记平均卸货速度为v（单位：吨/天），卸货天数为t．（1）直接写出v关于t的函数表达式：v=；（不需写自变量的取值范围）（2）假如船上的货物5天卸载达成，那么均匀每日要卸载多少吨？21．如图，在△ABC中，∠B90°， AB4 ， BC2 ，以AC 为边作△ACE ，∠ACE90°， AC=CE，延长 BC 至点D，使 CD5，连接DE．求证：△ABC∽△CED．22．古代阿拉伯数学家泰比特?伊本?奎拉对勾股定理进行了推行研究：如图（图1中为锐角，图2中为直角，图3中为钝角）．在△ABC的边 BC上取，两点，使，则∽∽，，，从而可得；（用表示）若AB=4， AC=3，BC=6，则．23．如图，函数（）与的图象交于点A（-1，n ）和点 B（ -2， 1）．（ 1）求 k ， a ， b 的值；（2）直线与（）的图象交于点P，与的图象交于点Q，当时，直接写出 m 的取值范围．24．如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，在BC的延长线上取一点F，使得EFDE．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接AF交DE于点M，若 AD4， DE5，求DM的长．25．如图，在△ABC中，，° ，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点A顺时针旋转 50°至，连接．已知 AB 2cm，设 BD为x cm ， B 为y cm．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了研究，下边是小明的研究过程，请增补完好．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）（1）通过取点、画图、测量，得到了与的几组值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（ 3）联合画出的函数图象，解决问题：线段的长度的最小值约为__________ ；若，则的长度 x 的取值范围是 _____________ ．26．已知二次函数．（1）该二次函数图象的对称轴是 x ；（ 2）若该二次函数的图象张口向下，当时，的最大值是2，求当时，的最小值；（ 3）若关于该抛物线上的两点，，当，时，均满足，请结合图象，直接写出的最大值．27．关于⊙C与⊙C上的一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q（点Q可以与点P 重合），且，则点P称为点A关于⊙C的“生长点” ．已知点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（ -1， 0）．（ 1）若点P是点 A 关于⊙O的“生长点”，且点P在 x 轴上，请写出一个吻合条件的点P的坐标________；（ 2 ）若点B是点A关于⊙O的“生长点”，且满足，求点B的纵坐标 t 的取值范围；（ 3）直线与 x 轴交于点 M ，与 y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，直接写出b的取值范围是_____________________________ ．28．在△ABC 1，△ABC 的“”能否正中，∠A90°，ABAC．（1）如图角平分线BD，CE交于点Q，请判断确：________（填“是”或“否”）；（2）点P是△A BC所在平面内的一点，连接PA，PB，且PBPA．①如图2，点P在△ABC内，∠ABP30°，求∠PAB的大小；②如图3，点P在△ABC 外，连接PC ，设∠APCα，∠BPCβ，用等式表示α，β之间的数量关系，并证明你的结论．。
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北京市海淀区2018届九年级数学上学期期末考试试题一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．．． 1．抛物线()212y x =-+的对称轴是A ．1x =-B ．1x =C．2x =-D ．2x=2．在△ABC 中，∠C =90°．若AB =3，BC =1，则sin A 的值为A ．13B ．C ．3D ．33．如图，线段BD ，CE 相交于点A ，DE ∥BC ．若AB =4，AD =2，DE =1.5， 则BC 的长为 A ．1 B ．2 C ．3D ．44．如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转100°，得到△ADE ．若点D 在线段BC 的延长线上，则B ∠的大小为A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°5．如图，△OAB ∽△OCD ，OA :OC =3:2，∠A =α，∠C =β，△OAB与△OCD 的面积分别是1S 和2S ，△OAB 与△OCD 的周长分别是1C 和2C ，则下列等式一定成立的是 A ．32OB CD=B ．32αβ=C ．1232S S =D ．1232C C =6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 从（3，4）出发，绕点O 顺时针旋转一周，则点A 不．经过 A ．点M B ．点N C ．点P D ．点Q7．如图，反比例函数k y x=的图象经过点A （4，1），当1y <时，x 的取值范围是A ．0x <或4x >B ．04x <<C ．4x <D ．4x >8．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A 出发沿线段AB 运动到点B ，小兰从点C 出发，以相同的速度沿⊙O 逆时针运动一周回到点C ，两人的运动路线如图1所示，其中AC =DB ．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C 的距离y 与时间x （单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是CD A O B图1 图2A ．小红的运动路程比小兰的长B ．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C ．当小红运动到点D 的时候，小兰已经经过了点D D ．在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O 的半径二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．方程220x x -=的根为 ．10．已知∠A 为锐角，且tan A =A 的大小是 °．11．若一个反比例函数图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，则此反比例函数表达式可以是 ．（写出一个即可）12．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为1x =，点P ，点Q 是抛物线与x轴的两个交点，若点P 的坐标为（4，0），则点Q 的坐标为 ．13．若一个扇形的圆心角为60°，面积为6π，则这个扇形的半径为．14．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，点C，若∠P=60°，PA=，则AB的长为．15．在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾x m，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m，若小张能看到整个红灯，则x的最小值为．16．下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．请回答：该尺规作图的依据是．三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：2sin 30°2cos 45-°18．已知1x =是关于x 的方程2220x mx m --=的一个根，求(2)1m m +的值． 19．如图，在△ABC 中，∠B 为锐角， AB=，AC =5，sin 35C =，求BC 的长．20．码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．轮船到达目的地后开始卸货，记平均卸货速度为v （单位：吨/天），卸货天数为t ．（1）直接写出v 关于t 的函数表达式：v = ；（不需写自变量的取值范围） （2）如果船上的货物5天卸载完毕，那么平均每天要卸载多少吨？21．如图，在△ABC 中，∠B =90°，AB =4，BC =2，以AC 为边作△ACE ，∠ACE =90°，AC =CE ，延长BC 至点D ，使CD =5，连接DE ．求证：△ABC ∽△CED ．22．古代阿拉伯数学家泰比特·伊本·奎拉对勾股定理进行了推广研究：如图（图1中BAC ∠为锐角，图2中BAC ∠为直角，图3中BAC ∠为钝角）．在△ABC的边BC上取B '，C '两点，使AB B AC C BAC ''∠∠∠==，则ABC △∽B BA '△∽C AC '△，()ABB BAB'=，()ACC CAC'=，进而可得22AB AC += ；（用BB CC BC ''，，表示）图1 图2 图3若AB =4，AC =3，BC =6，则B C ''= ． 23．如图，函数ky x=（0x <）与y ax b =+的图象交于点A （-1，n ）和点B （-2，1）． （1）求k ，a ，b 的值； （2）直线x m =与ky x=（0x <）的图象交于点P ，与1y x =-+的图象交于点Q ，当90PAQ ∠>︒时，直接写出m 的取值范围．24．如图，A ，B ，C 三点在⊙O 上，直径BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ∥AB 交弦BC 于点E ，在BC 的延长线上取一点F ，使得EF =DE ． （1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）连接AF 交DE 于点M ，若 AD =4，DE =5，求DM 的长．25．如图，在△ABC 中，90ABC ∠=︒，40C ∠=°，点D 是线段BC 上的动点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转50°至AD '，连接BD '．已知AB =2cm ，设BD 为x cm ，B D '为y cm ．小明根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数） （1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：线段BD '的长度的最小值约为__________cm ；若BD '≥BD ，则BD 的长度x 的取值范围是_____________．26．已知二次函数243y ax ax a =-+．（1）该二次函数图象的对称轴是x = ；（2）若该二次函数的图象开口向下，当14x ≤≤时，y 的最大值是2，求当14x ≤≤时，y 的最小值；（3）若对于该抛物线上的两点11() P x y ， ，22() Q x y ，，当1+1t x t ≤≤，25x ≥时，均满足12y y ≥，请结合图象，直接写出t 的最大值．27．对于⊙C 与⊙C 上的一点A ，若平面内的点P 满足：射线．．AP 与⊙C 交于点Q （点Q 可以与点P 重合），且12PAQA≤≤，则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”． 已知点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A （-1，0）．（1）若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且点P 在x 轴上，请写出一个符合条件的点P 的坐标________；（2）若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且满足1tan 2BAO ∠=，求点B 的纵坐标t 的取值范围；（3）直线y b =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，直接写出b 的取值范围是_____________________________．28．在△ABC中，∠A=90°，AB=AC．（1）如图1，△ABC的角平分线BD，CE交于点Q，请判断“QB=”是否正确：________（填“是”或“否”）；（2）点P是△ABC所在平面内的一点，连接PA，PB，且PB=PA．①如图2，点P在△ABC内，∠ABP=30°，求∠PAB的大小；②如图3，点P在△ABC外，连接PC，设∠APC=α，∠BPC=β，用等式表示α，β之间的数量关系，并证明你的结论．图1 图2 图3参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．0或2 10．60 11．1y x=（答案不唯一） 12．（2-，0） 13．6 14．2 15．1016．三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；或：直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，直角三角形两个锐角互余； 或：直径所对的圆周角为直角，1sin 2A =，A ∠为锐角，30A ∠=︒.三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小题，每小题7分）17．解：原式 = 1222⨯- ………………3分= 1= 1………………5分 18．解：∵ 1x =是关于x 的方程2220x mx m --=的一个根，∴ 2120m m --=.∴ 221m m +=. ………………3分∴ 2(2)211m m m m =++=. ………………5分 19．解：作AD ⊥BC 于点D ，∴ ∠ADB =∠ADC =90°. ∵ AC =5，3sin 5C =， ∴ sin 3AD AC C =⋅=. ………………2分∴ 在Rt △ACD 中，4CD ==. ………………3分∵ AB =，∴ 在Rt △ABD 中，3BD ==. ………………4分∴ 7BC BD CD =+=. ………………5分 20．解：（1）240t. ………………3分 （2）由题意，当5t =时，24048v t==. ………………5分 答：平均每天要卸载48吨. 21．证明：∵ ∠B =90°，AB =4，BC =2，∴ AC ==.∵ CE =AC ，∴ CE = ∵ CD =5， ∴AB ACCE CD=. ………………3分 ∵ ∠B =90°，∠ACE =90°，∴ ∠BAC +∠BCA =90°，∠BCA +∠DCE =90°.∴ ∠BAC =∠DCE .∴ △ABC ∽△CED . ………………5分 22．BC ，BC ，()BC BB CC ''+ ………………3分116………………5分 23．解：（1）∵ 函数ky x=（0x <）的图象经过点B （-2， 1）， ∴12k=-，得2k =-. ………………1分 ∵ 函数ky x=（0x <）的图象还经过点A （-1，n ）， ∴ 221n -==-，点A 的坐标为（-1，2）. ………………2分 ∵ 函数y ax b =+的图象经过点A 和点B ，∴ 2,2 1.a b a b -+=⎧⎨-+=⎩解得1,3.a b =⎧⎨=⎩ ………………4分（2）20m -<<且1m ≠-. ………………6分 24．（1）证明：∵ BD 平分∠ABC ， ∴ ∠ABD =∠CBD . ∵ DE ∥AB ， ∴ ∠ABD =∠BDE .∴ ∠CBD =∠BDE . ………………1分 ∵ ED =EF ，∴ ∠EDF =∠EFD . ∵∠EDF +∠EFD +∠EDB +∠EBD =180°， ∴ ∠BDF =∠BDE +∠EDF =90°.∴ OD ⊥DF . ………………2分 ∵OD 是半径，∴ DF 是⊙O 的切线. ………………3分（2）解： 连接DC ，∵ BD 是⊙O 的直径，∴ ∠BAD =∠BCD =90°. ∵ ∠ABD =∠CBD ，BD =BD ， ∴ △ABD ≌△CBD . ∴ CD =AD =4，AB =BC. ∵ DE =5，∴ 3CE ==，EF =DE =5.∵ ∠CBD =∠BDE ， ∴ BE =DE =5.∴ 10BF BE EF =+=，8BC BE EC =+=.∴ AB =8. ………………5分 ∵ DE ∥AB ， ∴ △ABF ∽△MEF . ∴AB BFME EF=. ∴ ME =4.∴ 1DM DE EM =-=. ………………6分25．（1）0.9. ………………1分 （2）如右图所示. ………………3分 （3）0.7， ………………4分 00.9x ≤≤. ………………6分 26．解：（1）2． ………………1分 （2）∵ 该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线2x =， ∴ 当2x =时，y 取到在14x ≤≤上的最大值为2. ∴ 4832a a a -+=.∴ 2a =-，2286y x x =-+-. ………………3分 ∵ 当12x ≤≤时，y 随x 的增大而增大， ∴ 当1x =时，y 取到在12x ≤≤上的最小值0. ∵ 当24x ≤≤时，y 随x 的增大而减小， ∴ 当4x =时，y 取到在24x ≤≤上的最小值6-.∴ 当14x ≤≤时，y 的最小值为6-. ………………4分 （3）4. ………………6分 27．解：（1）（2，0）(答案不唯一). ………………1分 （2）如图，在x 轴上方作射线AM ，与⊙O 交于M ，且使得1tan 2OAM ∠=，并在AM 上取点N ，使AM =MN ，并由对称性，将MN 关于x 轴对称，得M N ''，则由题意，线段MN 和M N ''上的点是满足条件的点B .作MH ⊥x 轴于H ，连接MC ，∴ ∠MHA =90°，即∠OAM +∠AM H =90°. ∵ AC 是⊙O 的直径，∴ ∠AMC =90°，即∠AMH +∠HMC =90°. ∴ ∠OAM =∠HMC .∴ 1tan tan 2HMC OAM ∠=∠=. ∴12MH HC HA MH ==.设MH y =，则2AH y =，12CH y =， ∴ 522AC AH CH y =+==，解得45y =，即点M 的纵坐标为45. 又由2AN AM =，A 为（-1，0），可得点N 的纵坐标为85， 故在线段MN 上，点B 的纵坐标t 满足：4855t ≤≤. ………………3分 由对称性，在线段M N ''上，点B 的纵坐标t 满足：8455t -≤≤-.………………4分 ∴ 点B 的纵坐标t 的取值范围是8455t -≤≤-或4855t ≤≤.（3）41b -≤≤-或14b ≤≤………………7分 28．解：（1）否. ………………1分 （2）① 作PD ⊥AB 于D ，则∠PDB =∠PDA =90°，∵ ∠ABP =30°， ∴ 12PD BP =. ………………2分∵ PB =，∴ 2PD PA =.∴ sin 2PD PAB PA ∠==. 由∠PAB 是锐角，得∠PAB =45°. ………………3分 另证：作点P 关于直线AB 的对称点'P ，连接',','B P P A P P ，则',P B A P B∠=∠∠. ∵∠ABP =30°，∴'60P BP ∠=︒. ∴△'P BP 是等边三角形. ∴'P P BP =.∵PB =，∴'P P =. ………………2分 ∴222''P P PA P A =+. ∴'90PAP ∠=︒.∴45PAB ∠=︒. ………………3分② 45αβ+=︒，证明如下： ………………4分作AD ⊥AP ，并取AD =AP ，连接DC ，DP . ∴ ∠DAP =90°. ∵ ∠BAC =90°，∴ ∠BAC +∠CAP =∠DAP +∠CAP , 即 ∠BAP =∠CAD . ∵ AB =AC ，AD =AP ， ∴ △B AP ≌△CAD .∴ ∠1=∠2，PB =CD . ………………5分 ∵ ∠DAP =90°，AD =AP ，∴ PD =，∠ADP =∠APD =45°.∵ PB =，∴ PD =PB =CD . ∴ ∠DCP =∠DPC .∵ ∠APC =α，∠BPC =β，∴ 45DPC α∠=+︒，12αβ∠=∠=-.∴ 31802902DPC α∠=︒-∠=︒-. ∴ 139045ADP αβ∠=∠+∠=︒--=︒.∴ 45αβ+=︒. ………………7分。