2019-2020学年高中数学课时跟踪检测十八平面向量基本定理
2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测二十九平面向量基本定理及坐标表示含解析
课时跟踪检测（二十九） 平面向量基本定理及坐标表示[A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(2019·内江模拟)下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34解析：选B A 选项中，零向量与任意向量都共线，故其不可以作为基底；B 选项中，不存在实数λ，使得e 1＝λe 2，故两向量不共线，故其可以作为基底；C 选项中，e 2＝2e 1，两向量共线，故其不可以作为基底；D 选项中，e 1＝4e 2，两向量共线，故其不可以作为基底．故选B.2．(2019·石家庄模拟)已知向量a ＝(1，m)，b ＝(m ,1)，则“m ＝1”是“a ∥b ”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 向量a ＝(1，m)，b ＝(m ,1)，若a ∥b ，则m 2＝1，即m ＝±1，故“m ＝1”是“a ∥b ”的充分不必要条件，选A.3．(2019·天津六校期中联考)已知向量a ＝(1,2)，a －b ＝(4,5)，c ＝(x,3)，若(2a ＋b)∥c ，则x ＝( )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4解析：选C ∵a ＝(1,2)，a －b ＝(4,5)，∴b ＝a －(a －b)＝(1,2)－(4,5)＝(－3，－3)，∴2a ＋b ＝2(1,2)＋(－3，－3)＝(－1,1)．又∵c ＝(x,3)，(2a ＋b)∥c ，∴－1×3－x ＝0，∴x ＝－3.故选C.4．(2019·兰州模拟)已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ＝( )A.π6B.π4C.π3D.5π12解析：选B 因为a ∥b ，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×12＝0，得sin 2θ＝12，所以sin θ＝±22，故锐角θ＝π4. 5．(2019·福建莆田二十四中期中)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，F 是线段DC 上的点．若DC ＝3DF ，设AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，则AF ―→＝( )A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14b D.13a ＋23b 解析：选B 如图所示，平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，F是线段DC 上的点，且DC ＝3DF ，∴DF ―→＝13DC ―→＝13(OC ―→－OD ―→)＝16(AC ―→－BD ―→)，AD ―→＝OD ―→－OA ―→＝12BD ―→＋12AC ―→.则AF ―→＝AD ―→＋DF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 BD ―→＋12 AC ―→＋16(AC ―→－BD ―→)＝13BD ―→＋23AC ―→＝23a ＋13b.故选B. [B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·福州期末)已知a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，c ＝2a －b ，则|c |＝( ) A.26 B ．3 2 C.10D. 6解析：选B ∵a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，∴c ＝2a －b ＝(3,3)，∴|c |＝9＋9＝32，故选B.2．(2019·长沙一模)已知向量OA ―→＝(k ,12)，OB ―→＝(4,5)，OC ―→＝(－k ,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23B.43C.12D.13解析：选A AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(4－k ，－7)，AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝(－2k ，－2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→，AC ―→共线，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k ＝－23.3．(2019·丹东五校协作体联考)向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则cos 2α＝( )A.13B ．－13C.79 D ．－79解析：选C ∵a ∥b ，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，∴13－tan α·cos α＝0，∴sin α＝13，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.故选C.4.(2019·深圳模拟)如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC ―→＝λAM ―→＋μBD ―→，则λ＋μ＝( )A.43B.53C.158D ．2解析：选B 以点A 为坐标原点，分别以AB ―→，AD ―→的方向为x ，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系．设正方形的边长为2，则A (0,0)，C (2,2)，M (2,1)，B (2,0)，D (0,2)，所以AC ―→＝(2,2)，AM ―→＝(2,1)，BD ―→＝(－2,2)，所以λAM ―→＋μBD ―→＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因为AC ―→＝λAM ―→＋μBD ―→，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－2μ＝2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53.故选B.5．(2019·邹城期中)在△ABC 所在平面上有三点P ，Q ，R ，满足PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝AB ―→，QA ―→＋QB ―→＋QC ―→＝BC ―→，RA ―→＋RB ―→＋RC ―→＝CA ―→，则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比是( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5解析：选B 由PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝AB ―→，得PA ―→＋PC ―→＝－PB ―→＋AB ―→，即PA ―→＋PC ―→＝AB ―→＋BP ―→＝AP ―→，∴PC ―→＝2AP ―→，则P 为线段AC 的一个三等分点，同理可得Q ，R 的位置．∴△PQR 的面积为△ABC 的面积减去三个小三角形面积．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则S △PQR ＝S △ABC －( 12×2c 3×13bsin A ＋12×13c ×2a 3sin B ＋12×13a ×2b3sinC )＝S △ABC －29×3S △ABC ＝13S △ABC ，∴△PQR 与△ABC 的面积比为1∶3.故选B.6．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(m ,3m －4)，b ＝(1,2)，且平面内的任意向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb(λ，μ为实数)，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(4，＋∞)C ．(－∞，4)∪(4，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：选C 平面内的任意向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb ，由平面向量基本定理可知，向量a ，b 可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a ，b 是不共线向量．又因为a ＝(m ,3m －4)，b ＝(1,2)，则m ×2－(3m －4)×1≠0，即m ≠4，所以m 的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞)．7．(2019·淮南一模)已知G 是△ABC 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 分别交于点M ，N ，且AM ―→＝x AB ―→，AN ―→＝y AC ―→(x ，y >0)，则3x ＋y 的最小值是( )A.83B.72C.52D.43＋233解析：选D 如图．AC ―→＝1y AN ―→，AB ―→＝1x AM ―→，又∵AG ―→＝13AB ―→＋13AC ―→，∴AG ―→＝13x AM ―→＋13y AN ―→，又∵M ，G ，N 三点共线，∴13x ＋13y ＝1.∵x >0，y >0，∴3x ＋y ＝(3x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋13y ＝1＋13＋y 3x ＋x y ≥43＋233.当且仅当y ＝3x 时取等号．故选D.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，|OC ―→|＝2，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ＝( )A ．2 2 B. 2 C ．2D ．4 2解析：选A 因为|OC ―→|＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.9.如图，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点D ，若OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，则m ＋n 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1,0)解析：选D 由点D 是圆O 外一点，可设BD ―→＝λBA ―→ (λ>1)，则OD ―→＝OB ―→＋λBA ―→＝λOA ―→＋(1－λ)OB ―→.又C ，O ，D 三点共线，令OD ―→＝－μOC ―→ (μ>1)，则OC ―→＝－λμOA ―→－1－λμ·OB ―→(λ>1，μ>1)，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ，则m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1,0)．10．(2019·福清校际联盟期中)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,4)，则a ＋b ＝________. 解析：a ＋b ＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)． 答案：(4,6)11.如图，在△ABC 中，已知43BN ―→－BA ―→＝13BC ―→，点P 在线段BN 上，若AP ―→＝λAB ―→＋316AC ―→，则实数λ的值为________．解析：43BN ―→－BA ―→＝13BC ―→可化为AN ―→＝13NC ―→，即AN ―→＝14AC ―→，因为AP ―→＝λAB ―→＋316AC ―→，所以AP ―→＝λAB ―→＋34AN ―→.由B ，P ，N 三点共线可得λ＝14.答案：1412．已知点A (2,3)，B (4,5)，C (7,10)，若AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→(λ∈R)，且点P 在直线x －2y ＝0上，则λ的值为________．解析：设P (x ，y )，则由AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→，得(x －2，y －3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x ＝5λ＋4，y ＝7λ＋5.又点P 在直线x －2y ＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－23.答案：－2313.如图，O 点在△ABC 的内部，E 是BC 边的中点，且有OA ―→＋2OB ―→＋3OC ―→＝0，则△AEC 的面积与△AOC 的面积的比为________．解析：取AC 的中点D ，连接OE ，OD .因为D ，E 分别是AC ，BC 边的中点，所以OA ―→＋OC ―→＝2OD ―→，OB ―→＋OC ―→＝2OE ―→，因为OA ―→＋2OB ―→＋3OC ―→＝0，所以2OD ―→＋4OE ―→＝0，所以O ，D ，E 三点共线，且|DE ||OD |＝32.又因为△AEC 与△AOC 都以AC 为底，所以△AEC 的面积与△AOC 的面积的比为3∶2.答案：3∶214.如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上的点，∠CBA ＝60°，∠ABD ＝45°，CD ―→＝x OA ―→＋y BC ―→，求x ＋y 的值．解：不妨设圆O 的半径为1，则A (－1,0)，B (1,0)，D (0,1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，所以CD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1＋32，BC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.又CD ―→＝x OA ―→＋y BC ―→， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1＋32＝x (－1,0)＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.所以⎩⎪⎨⎪⎧ －12＝－x －12y ，1＋32＝－32y ，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋33，y ＝－3＋233，所以x ＋y ＝3＋33－3＋233＝－33.15．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，且CM―→＝3c ，CN ―→＝－2b.(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝mb ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)因为mb ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，因为CM ―→＝OM ―→－OC ―→＝3c ， 所以OM ―→＝3c ＋OC ―→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． 所以M (0,20)．又因为CN ―→＝ON ―→－OC ―→＝－2b ， 所以ON ―→＝－2b ＋OC ―→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， 所以N (9,2)．所以MN ―→＝(9，－18)．。
课时跟踪检测 ( 六 ) 平面向量基本定理
课时跟踪检测 （六） 平面向量基本定理层级(一) “四基”落实练1.如图所示，在矩形ABCD 中，BC ―→＝5e 1，DC ―→＝3e 2，则OC ―→等于( )A.12(5e 1＋3e 2) B.12(5e 1－3e 2) C.12(3e 2－5e 1) D.12(5e 2－3e 1) 解析：选A OC ―→＝12AC ―→＝12(BC ―→－BA ―→)＝12(BC ―→＋DC ―→)＝12(5e 1＋3e 2)． 2．已知平行四边形ABCD ，P 是对角线AC 所在直线上一点，且BP ―→＝t BA ―→＋(t －1)BC ―→，则t ＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．任意实数解析：选B 因为BP ―→，BA ―→，BC ―→共始点，且P ，A ，C 三点共线，所以t ＋t －1＝1，故t ＝1，故选B. 3．如图，向量a －b 等于( )A ．－4e 1－2e 2B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2解析：选C 不妨令a ＝CA ―→，b ＝CB ―→，则a －b ＝CA ―→－CB ―→＝BA ―→，由平行四边形法则可知BA ―→＝e 1－3e 2.4．已知在△ABC 中，AN ―→＝13NC ―→，P 是BN 上的一点．若AP ―→＝m AB ―→＋211AC ―→，则实数m的值为( )A.911B.511C.311D.211解析：选C 设BP ―→＝λBN ―→，则AP ―→＝AB ―→＋BP ―→＝AB ―→＋λBN ―→＝AB ―→＋λ(AN ―→－AB ―→)＝AB ―→＋λ＝(1－λ)AB ―→＋λ4AC ―→＝m AB ―→＋211AC ―→，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ4＝211，m ＝1－λ，解得⎩⎨⎧λ＝811，m ＝311.5．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ―→＝3CD ―→，则( )A ．AD ―→＝－13AB ―→＋43AC ―→B ．AD ―→＝13AB ―→－43AC ―→C ．AD ―→＝43AB ―→＋13AC ―→D ．AD ―→＝43AB ―→－13AC ―→解析：选A 由题意得AD ―→＝AC ―→＋CD ―→＝AC ―→＋13BC ―→＝AC ―→＋13AC ―→－13AB ―→＝－13AB ―→＋43AC ―→.6．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(2x ＋y )e 1＋(3x ＋2y )e 2＝0，则x ＋y ＝________.解析：∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，3x ＋2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0.∴x ＋y ＝0.答案：07.如图，已知E ，F 分别是矩形ABCD 的边BC ，CD 的中点，EF 与AC 交于 点G ，若AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，用a ，b 表示AG ―→＝_________. 解析：AG ―→＝AE ―→－GE ―→＝AB ―→＋BE ―→－GE ―→＝a ＋12b －12FE ―→＝a ＋12b －12×12DB ―→＝a ＋12b －14(a －b )＝34a ＋34b . 答案：34a ＋34b8.如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点．若AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，用a ，b 表示AD ―→，AE ―→，AF ―→. 解：AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝AB ―→＋12BC ―→＝a ＋12(b －a )＝12a ＋12b ；AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋13BC ―→＝a ＋13 (b －a )＝23a ＋13b ；AF ―→＝AB ―→＋BF ―→＝AB ―→＋23BC―→＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b . 层级(二) 能力提升练1.如图所示，向量OA ―→，OB ―→，OC ―→的终点在同一直线上，且AC ―→＝－3CB ―→. 设OA ―→＝p ，OB ―→＝q ，OC ―→＝r ，则下列等式中成立的是( )A ．r ＝－12p ＋32qB ．r ＝－p ＋2qC ．r ＝32p －12qD ．r ＝－q ＋2p解析：选A ∵AC ―→＝－3CB ―→，∴AB ―→＝－2CB ―→＝2BC ―→.∴r ＝OC ―→＝OA ―→＋AB ―→＋BC ―→＝OA ―→＋AB ―→＋12AB ―→＝OA ―→＋32 (OB ―→－OA ―→ )＝32OB ―→－12OA ―→＝－12p ＋32q . 2.如图，在△ABC 中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且AD ―→＋AE ―→＝x AB ―→ ＋y AC ―→，则1x ＋4y 的最小值为( )A.32 B ．2 C.52D.92解析：选D 设AD ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，AE ―→＝λAB ―→＋μAC ―→.∵B ，D ，E ，C 共线，∴m ＋n ＝1，λ＋μ＝1. ∵AD ―→＋AE ―→＝x AB ―→＋y AC ―→，则x ＋y ＝2， ∴1x ＋4y ＝12⎝⎛⎭⎫1x ＋4y (x ＋y ) ＝12⎝⎛⎭⎫5＋y x ＋4x y ≥12⎝⎛⎭⎫5＋2 y x ·4x y ＝92，当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝23，y ＝43时取等号，∴1x ＋4y 的最小值为92.3．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足AM ―→＝34AB ―→＋14AC ―→，则△ABM 与△ABC 的面积之比为________．解析：如图，由AM ―→＝34AB ―→＋14AC ―→可知M ，B ，C 三点共线，令BM ―→＝λBC ―→ ，则AM ―→＝AB ―→＋BM ―→＝AB ―→＋λBC ―→＝AB ―→＋λ(AC ―→－AB ―→) ＝(1－λ)AB ―→＋λAC ―→⇒λ＝14，所以S △ABM S △ABC ＝14，即面积之比为1∶4.答案：1∶44．在梯形ABCD 中，AB ―→∥CD ―→，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DC AB ＝k .设AD ―→＝e 1，AB―→＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC ―→，BC ―→， MN ―→. 解：如图所示，∵AB ―→＝e 2，且DC AB ＝k ， ∴DC ―→＝k AB ―→＝k e 2.又∵AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＋DA ―→＝0，∴BC ―→＝－AB ―→－CD ―→－DA ―→＝－AB ―→＋DC ―→＋AD ―→＝e 1＋(k －1)e 2.又∵MN ―→＋NB ―→＋BA ―→＋AM ―→＝0，且NB ―→＝－12BC ―→，AM ―→＝12AD ―→，∴MN ―→＝－AM ―→－BA ―→－NB ―→＝－12AD ―→＋AB ―→＋12BC ―→＝k ＋12e 2.5．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2.(1)求证：{a ，b }可以作为一个基底；(2)以{a ，b }为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值．解：(1)证明：若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ，则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23.∴λ不存在，故a 与b 不共线，∴{a ，b }可以作为一个基底． (2)设c ＝m a ＋n b (m ，n ∈R)， 则3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2) ＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.∴c ＝2a ＋b . (3)由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2)＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1. 层级(三) 素养培优练1．(多选)由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则，正确的选项有 ( )A ．“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”B ．“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”C ．“(mn )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”D ．“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝a b”解析：选AB 对于A ，“a ·b ＝b ·a ”是向量的数量积的交换律，根据向量数量积的定义可知是正确的；对于B ，“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”是向量数量积对于加法的分配律，这是正确的；对于C ，“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”这是错误的，左边是与向量c 共线的向量，右边是与向量a 共线的向量，其中a ·b ，b ·c 都是实数；对于D ，“a ·c b ·c ＝ab ”这是错误的，等号右边的向量的除法是无意义的，向量没有除法的概念．2．(多选)已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，则下列四个结论中正确的是 ( )A ．|a ＋b |>1⇔θ∈⎣⎡⎭⎫0，2π3B ．|a ＋b |>1⇔θ∈⎝⎛⎭⎫2π3，π C ．|a －b |>1⇔θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3 D ．|a －b |>1⇔θ∈⎝⎛⎦⎤π3，π解析：选AD 因为|a ＋b |>1，则|a |2＋2a ·b ＋|b |2>1，可得a ·b >－12，即|a ||b |cos θ＝cosθ>－12，所以θ∈⎣⎡⎭⎫0，2π3，故A 正确，B 错误．因为|a －b |>1，即|a |2－2a ·b ＋|b |2>1，可知a ·b <12，即|a ||b |·cos θ＝cos θ<12，所以θ∈⎝⎛⎦⎤π3，π，故D 正确，C 错误． 3.如图，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将平面分割成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)四个部分，若OP ―→＝aOP 1―→＋bOP 2―→，且点P 落在第Ⅲ部分，试探求实数a ，b 的符号．解：如图，过点P 作PA ∥OP 2交直线OP 1于点A ，过点P 作PB ∥OP 1交 直线OP 2 于点B ，则OP ―→＝OA ―→＋OB ―→.又OP ―→＝aOP 1―→＋bOP 2―→， 所以OA ―→＝aOP 1―→，OB ―→＝bOP 2―→.又OA ―→与OP 1―→方向相同，OB ―→与OP 2―→方向相反， 所以a >0，b <0.。
高中数学课时跟踪检测(十九)--平面向量基本定理
课时跟踪检测（十九） 平面向量基本定理层级一 学业水平达标1．已知▱ABCD 中∠DAB ＝30°，则AD 与CD 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选D 如图，AD 与CD 的夹角为∠ABC ＝150°.2．设点O 是▱ABCD 两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④OD 与OB . A ．①② B ．①③ C ．①④D ．③④解析：选B 寻找不共线的向量组即可，在▱ABCD 中，AD 与AB 不共线，CA 与DC 不共线；而DA ∥BC ，OD ∥OB ，故①③可作为基底．3．若AD 是△ABC 的中线，已知AB ＝a ，AC ＝b ，则以a ，b 为基底表示AD ＝( ) A ．12(a －b )B ．12(a ＋b )C ．12(b －a )D ．12b ＋a解析：选B 如图，AD 是△ABC 的中线，则D 为线段BC 的中点，从而BD ＝DC ，即AD －AB ＝AC －AD ，从而AD ＝12(AB ＋AC )＝12(a ＋b )． 4．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC ＝e 1，DC ＝e 2，则OC ＝( ) A ．12(e 1＋e 2)B ．12(e 1－e 2)C ．12(2e 2－e 1)D ．12(e 2－e 1)解析：选A 因为O 是矩形ABCD 对角线的交点，BC ＝e 1，DC ＝e 2，所以OC ＝12(BC ＋DC )＝12(e 1＋e 2)，故选A.5．(全国Ⅰ卷)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ＝3CD ，则( ) A ．AD ＝－13AB ＋43ACB ．AD ＝13AB －43ACC ．AD ＝43AB ＋13ACD ．AD ＝43AB －13AC解析：选A 由题意得AD ＝AC ＋CD ＝AC ＋13BC ＝AC ＋13AC －13AB ＝－13AB ＋43AC .6．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为______．解析：∵a ，b 是一组基底，∴a 与b 不共线， ∵(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，∴x －y ＝3. 答案：37．已知e 1，e 2是两个不共线向量，a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎫1－5k2e 2与b ＝2e 1＋3e 2共线，则实数k ＝______.解析：由题设，知k 22＝1－5k 23，∴3k 2＋5k －2＝0，解得k ＝－2或13.答案：－2或138．如下图，在正方形ABCD 中，设AB ＝a ，AD ＝b ，BD ＝c ，则在以a ，b 为基底时，AC 可表示为______，在以a ，c 为基底时，AC 可表示为______．解析：以a ，c 为基底时，将BD 平移，使B 与A 重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得．答案：a ＋b 2a ＋c9.如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM ＝13BC ，CN ＝13CA ，AP ＝13AB ，若AB ＝a ，AC ＝b ，试用a ，b 将MN ，NP ，PM 表示出来．解：NP ＝AP －AN ＝13AB －23AC ＝13a －23b ， MN ＝CN －CM ＝－13AC －23CB ＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ， PM ＝－MP ＝－(MN ＋NP )＝13(a ＋b )．10．证明：三角形的三条中线共点．证明：如图所示，设AD ，BE ，CF 分别为△ABC 的三条中线，令AB ＝a ，AC ＝b .则有BC ＝b －a .设G 在AD 上，且AG AD ＝23，则有AD ＝AB ＋BD ＝a ＋12(b －a )＝12(a ＋b )． BE ＝AE －AB ＝12b －a .∴BG ＝AG －AB ＝23AD －AB＝13(a ＋b )－a ＝13b －23a ＝23⎝⎛⎭⎫12b －a ＝23BE . ∴G 在BE 上，同理可证CG ＝23CF ，即G 在CF 上．故AD ，BE ，CF 三线交于同一点．层级二 应试能力达标1．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD ＝2DC ，设AB ＝a ，AC ＝b ，则AD 可用基底a ，b 表示为( )A ．12(a ＋b )B ．23a ＋13bC ．13a ＋23bD ．13(a ＋b )解析：选C ∵BD ＝2DC ，∴BD ＝23BC .∴AD ＝AB ＋BD ＝AB ＋23BC ＝AB ＋23(AC －AB )＝13AB ＋23AC ＝13a ＋23b .2．AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD ＝a ，BE ＝b ，则BC ＝( )A ．43a ＋23bB ．23a ＋43bC ．23a －23bD ．－23a ＋23b解析：选B 设AD 与BE 交点为F ，则FD ＝13a ，BF ＝23b .所以BD ＝BF ＋FD ＝23b ＋13a ，所以BC ＝2BD ＝23a ＋43b . 3．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是( ) A ．若存在实数λ1，λ2，使得λ1e 1＋λ2e 1＝0，则λ1＝λ2＝0B ．平面α内任一向量a 都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1，λ2∈RC ．λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内，λ1，λ2∈RD ．对于平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对解析：选B A 中，(λ1＋λ2)e 1＝0，∴λ1＋λ2＝0，即λ1＝－λ2；B 符合平面向量基本定理；C 中，λ1e 1＋λ2e 2一定在平面α内；D 中，λ1，λ2有且只有一对．4．已知非零向量OA ，OB 不共线，且2OP ＝x OA ＋y OB ，若PA ＝λAB (λ∈R)，则x ，y 满足的关系是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0解析：选A 由PA ＝λAB ，得OA －OP ＝λ(OB －OA )， 即OP ＝(1＋λ)OA －λOB .又2OP ＝x OA ＋y OB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2. 5．设e 1，e 2是平面内的一组基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，解得⎩⎨⎧e 1＝13a －23b ，e 2＝13a ＋13b .故e 1＋e 2＝⎝⎛⎭⎫13a －23b ＋⎝⎛⎭⎫13a ＋13b ＝23a ＋⎝⎛⎭⎫－13b . 答案：23 －136．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为________．解析：由题意可画出图形， 在△OAB 中，因为∠OAB ＝60°，|b |＝2|a |， 所以∠ABO ＝30°，OA ⊥OB ， 即向量a 与c 的夹角为90°. 答案：90°7．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)若 4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值．解：(1)证明：若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ， 则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23.∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底． (2)设c ＝ma ＋nb (m ，n ∈R)，则 3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2) ＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.∴c ＝2a ＋b . (3)由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得 4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1. 故所求λ，μ的值分别为3和1.8．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足：AM ＝34AB ＋14AC .(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比．(2)若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点O ，设BO ＝x BM ＋y BN ，求x ，y 的值．解：(1)如图，由AM ＝34AB ＋14AC 可知M ，B ，C 三点共线，令BM ＝λBC ⇒AM ＝AB ＋BM ＝AB ＋λBC ＝AB ＋λ(AC －AB )＝(1－λ)AB ＋λAC ⇒λ＝14，所以S △ABM S△ABC＝14，即面积之比为1∶4. (2)由BO ＝x BM ＋y BN ⇒BO ＝x BM ＋y 2BA ，BO ＝x4BC ＋y BN ，由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线⇒⎩⎨⎧x ＋y2＝1，x4＋y ＝1⇒⎩⎨⎧x ＝47，y ＝67.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
2019-2020学年新教材高中数学课时素养评价六平面向量基本定理新人教A版必修
课时素养评价 六平面向量基本定理(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分.共16分)1.(20xx·全国卷I)在△ABC中.AD为BC边上的中线.E为AD的中点.则=( ) A.- B.-C.+D.+【解析】选A.如图所示：=-=-=-·(+)=-.2.(20xx·日照高一检测)如图.向量a-b等于( )A.-4e1-2e2B.-2e1-4e2C.e1-3e2D.3e1-e2【解析】选C.不妨令a=.b=.则a-b=-=.由平行四边形法则可知=e1-3e2.3.若G是△ABC的重心.D.E.F分别是AB.BC.CA的中点.则++等于( ) A.6 B.-6C.-6D.0【解析】选D.令=a.=b.则=-=-=-(a+b).=-=-=-=-b+a.=-=-=-=-a+b.所以++=-a-b-b+a-a+b=0.4.已知非零向量.不共线.且2=x+y.若=λ(λ∈R).则x.y满足的关系是 ( )A.x+y-2=0B.2x+y-1=0C.x+2y-2=0D.2x+y-2=0【解析】选A.由=λ.得-=λ(-).即=(1+λ)-λ.又2=x+y.所以消去λ得x+y=2.即x+y-2=0.二、填空题(每小题4分.共8分)5.已知A.B.D三点共线.且对任一点C.有=+λ.则λ=________.【解析】因为A.B.D三点共线.所以存在实数t.使=t.则-=t(-).所以=+t(-)=(1-t)+t.所以解得λ=-.答案：-6.如图.在平面内有三个向量...||=||=1.与的夹角为120°.与的夹角为30°.||=5.设=m+n(m.n∈R).则m+n=________.【解析】作以OC为一条对角线的平行四边形OPCQ.则∠COQ=∠OCP=90°.在Rt△QOC中.2OQ=QC.||=5.则||=5.||=10.所以||=10.又||=||=1.所以=10.=5.所以=+=10+5.所以m+n=10+5=15.答案：15三、解答题(共26分)7.(12分)如图所示.设M.N.P是△ABC三边上的点.且=.=.=.若=a.=b.试用a.b将..表示出来.【解析】=-=-=a-b.=-=--=-b-(a-b)=-a+b.=-=-(+)=(a+b).8.(14分)若向量a.b不共线.则c=2a-b.d=3a-2b.试判断c.d能否作为基底.【解析】设存在实数λ.使c=λd.则2a-b=λ(3a-2b).即(2-3λ)a+(2λ-1)b=0.由于向量a.b不共线.所以2-3λ=2λ-1=0.这样的λ是不存在的.从而c.d不共线.故c.d能作为基底.(15分钟·30分)1.(4分)(多选题)在平行四边形ABCD中.O是对角线AC.BD的交点.N是线段OD的中点.AN的延长线与CD交于点E.则下列说法正确的是( )A.=+B.=-C.=+D.=+【解析】选A、B、C.由向量减法的三角形法则知.=-.B正确；由向量加法的平行四边形法则知.=+.==+.A、C正确；只有D错误.2.(4分)在△ABC中.点D在线段BC的延长线上.且=3.点O在线段CD上(与点C、D不重合).若=x+(1-x).则x的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选D.依题意.设=λ.其中1<λ<.则有=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ.又=x+(1-x).且.不共线.于是有x=1-λ∈.即x的取值范围是.3.(4分)已知e1.e2不共线.a=e1+2e2.b=2e1+λe2.要使a.b能作为平面内的一个基底.则实数λ的取值范围为________.【解析】若能作为平面内的一个基底.则a与b不共线.a=e1+2e2.b=2e1+λe2.由a≠k b即得λ≠4.答案：(-∞.4)∪(4.+∞)4.(4分)l1、l2是不共线向量.且a=-l1+3l2.b=4l1+2l2.c=-3l1+12l2.若b.c为一个基底.则a=________.【解析】设a=λ1b+λ2c.即-l1+3l2=λ1(4l1+2l2)+λ2(-3l1+12l2).即-l1+3l2=(4λ1-3λ2)l1+(2λ1+12λ2)l2.所以解得λ1=-.λ2=.答案：-b+c5.(14分)若等边△ABC的边长为2.平面内一点M满足=+.求·.【解析】如图所示.·=(-)·(-)=·=·=·--=×(2)2×c os 60°-×(2)2-×(2)2=-2.1.若已知e1、e2是平面上的一个基底.则下列各组向量中不能作为基底的一组是( )A.e1与-e2B.3e1与2e2C.e1+e2与e1-e2D.e1与2e1【解析】选D.e1与2e1是共线向量.不能作为一个基底.其余三组可以.2.如图.在△ABC中.点M是BC的中点.点N在边AC上.且AN=2NC.AM与BN交于点P.求AP∶PM的值.【解析】设=e1.=e2.则=+=-3e2-e1.=+=2e1+e2.因为A.P.M和B.P.N分别共线.所以存在实数λ.μ.使=λ=-λe1-3λe2.=μ=2μe1+μe2.所以=-=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.又=+=2e1+3e2.所以解得所以=.即AP∶PM=4∶1.。
课时跟踪检测(六) 平面向量基本定理
课时跟踪检测（六）平面向量基本定理[文档副标题][日期]MICROSOFT[公司地址]课时跟踪检测（六） 平面向量基本定理A 级——学考合格性考试达标练1．若k 1a ＋k 2b ＝0，则k 1＝k 2＝0，那么下列对a ，b 的判断正确的是( )A ．a 与b 一定共线B ．a 与b 一定不共线C ．a 与b 一定垂直D ．a 与b 中至少一个为0解析：选B 由平面向量基本定理知，当a ，b 不共线时，k 1＝k 2＝0.故选B.2．如果e 1，e 2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )A ．e 1与e 1＋e 2B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2C ．e 1＋e 2与e 1－e 2D ．e 1－2e 2与－e 1＋2e 2解析：选D 由e 1，e 2为不共线向量，可知e 1与e 1＋e 2，e 1－2e 2与e 1＋2e 2，e 1＋e 2与e 1－e 2必不共线，都可作为平面向量的基底，而e 1－2e 2＝－(－e 1＋2e 2)，故e 1－2e 2与－e 1＋2e 2共线，不能作为该平面所有向量的基底．故选D.3．在△ABC 中，AB ―→＝c ，AC ―→＝b ，若点D 满足BD ―→＝2DC ―→，以b 与c 作为基底，则AD ―→＝( )A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c 解析：选A ∵BD ―→＝2DC ―→，∴AD ―→－AB ―→＝2(AC ―→－AD ―→)，∴AD ―→－c ＝2(b －AD ―→)，∴AD ―→＝13c ＋23b .故选A. 4．设向量e 1与e 2不共线，若3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2，则实数x ，y 的值分别为( )A ．0,0B ．1,1C ．3,0D ．3,4解析：选D ∵向量e 1与e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＝4y －7，10－y ＝2x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4.故选D. 5.如图所示，|OA ―→|＝|OB ―→|＝1，|OC ―→|＝3，∠AOB ＝60°，OB⊥OC ，设OC ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，则( )A ．x ＝－2，y ＝－1B ．x ＝－2，y ＝1C ．x ＝2，y ＝－1D ．x ＝2，y ＝1解析：选B 过点C 作CD ∥OB 交AO 的延长线于点D ，连接BC (图略)．由|OB ―→|＝1，|OC ―→|＝3，∠AOB ＝60°，OB ⊥OC ，知∠COD ＝30°.在Rt △ODC 中，可得OD ＝2CD ＝2，则OC ―→＝OD ―→＋OB ―→＝－2OA ―→＋OB ―→.故选B.6.如图，平行四边形ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，M 是DC 的中点，以a ，b 为基底表示向量AM ―→＝________.解析：AM ―→＝AD ―→＋DM ―→＝AD ―→＋12DC ―→＝AD ―→＋12AB ―→＝b ＋12a . 答案：b ＋12a 7．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(2x ＋y )e 1＋(3x ＋2y )e 2＝0，则x ＋y ＝________.解析：∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝0，3x ＋2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0. ∴x ＋y ＝0.答案：08.如图，已知E ，F 分别是矩形ABCD 的边BC ，CD 的中点，EF与AC 交于点G ，若AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，用a ，b 表示AG ―→＝________.解析：AG ―→＝AB ―→＋BE ―→＋EG ―→＝a ＋12b ＋14BD ―→＝a ＋12b ＋14b －14a ＝34a ＋34b . 答案：34a ＋34b 9.如图所示，D 是BC 边的一个四等分点．试用基底AB ―→，AC ―→表示AD ―→.解：∵D 是BC 边的四等分点，∴BD ―→＝14BC ―→＝14(AC ―→－AB ―→)，∴AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝AB ―→＋14(AC ―→－AB ―→)＝34AB ―→＋14AC ―→. 10.如图所示，已知在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC边上的中点．若AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，试以a ，b 为基底表示DE ―→，BF ―→.解：∵四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点，∴AD ―→＝BC ―→＝2BE ―→，CD ―→＝BA ―→＝2CF ―→，∴BE ―→＝12AD ―→＝12b ， CF ―→＝12CD ―→＝12BA ―→＝－12AB ―→＝－12a . ∴DE ―→＝DA ―→＋AB ―→＋BE ―→＝－AD ―→＋AB ―→＋BE ―→＝－b ＋a ＋12b ＝a －12b ， BF ―→＝BC ―→＋CF ―→＝AD ―→＋CF ―→＝b －12a . B 级——面向全国卷高考高分练1．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB ―→＝( )A.34AB ―→－14AC ―→ B.14AB ―→－34AC ―→ C.34AB ―→＋14AC ―→ D.14AB ―→＋34AC ―→ 解析：选A 作出示意图如图所示．EB ―→＝ED ―→＋DB ―→＝12AD ―→＋12CB ―→＝12×12(AB ―→＋AC ―→)＋12(AB ―→－AC ―→)＝34AB ―→－14AC ―→.故选A. 2．[多选]设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组，可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )A.AD ―→与AB ―→B.DA ―→与BC ―→C.CA ―→与DC ―→D.OD ―→与OB ―→解析：选AC 由题意作平行四边形ABCD ，如图．因为AD ―→与AB―→不共线，CA ―→与DC ―→不共线，所以它们均可作为这个平行四边形所在平面的一组基底，DA ―→与BC ―→共线，OD ―→与OB ―→共线，故这两组向量不能作为该平面的一组基底，故选A 、C.3．若OP 1―→＝a ，OP 2―→＝b ，P 1P ―→＝λPP 2―→，则OP ―→＝( )A ．a ＋λbB ．λa ＋bC ．λa ＋(1＋λ)b D.a ＋λb 1＋λ解析：选D ∵P 1P ―→＝λPP 2―→，∴OP ―→－OP 1―→＝λ(OP 2―→－OP ―→)，(1＋λ)OP ―→＝λOP 2―→＋OP 1―→，∴OP ―→＝λb ＋a 1＋λ.故选D. 4.如图，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将平面分割成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)四个部分，若OP ―→＝a OP 1―→＋b OP 2―→，且点P 落在第Ⅲ部分， 则实数a ，b 满足( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0解析：选B 如图，过点P 作P A ∥OP 2交直线OP 1于点A ，过点P作PB ∥OP 1交直线OP 2于点B ，则OP ―→＝OA ―→＋OB ―→，又OP ―→＝a OP 1―→＋b OP 2―→，所以OA ―→＝a OP 1―→，OB ―→＝b OP 2―→.又OA ―→与OP 1―→方向相同，OB ―→与OP 2―→方向相反，所以a >0，b <0.故选B.5.如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点O,7AE ―→＝5AB ―→，AD ―→＝4AF ―→，EF 交AC 于点K ，AK ―→＝λOA ―→，则实数λ的值为________．解析：因为AK ―→＝λOA ―→＝－λAO ―→＝－λ2(AB ―→＋AD ―→)，所以AK ―→＝－λ2⎝⎛⎭⎫75AE ―→＋4AF ―→. 又E ，F ，K 三点共线，所以－λ2⎝⎛⎭⎫75＋4＝1，解得λ＝－1027. 答案：－10276．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为以a ，b 为基向量的线性组合，即e 1＋e 2＝________.解析：设e 1＋e 2＝m a ＋n b (m ，n ∈R )，∵a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，∴e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2.∵e 1与e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －n ＝1，2m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧ m ＝23，n ＝－13.∴e 1＋e 2＝23a －13b . 答案：23a －13b 7．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA ―→，BC ―→的中点，且DC AB＝k (k ≠1)．设AD ―→＝e 1，AB ―→＝e 2，选择基底{e 1，e 2}，试写出下列向量在此基底下的分解式DC ―→，BC ―→，MN ―→.解：如图所示，∵AB ―→＝e 2，且DC AB＝k ， ∴DC ―→＝k AB ―→＝k e 2，又AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＋DA ―→＝0，∴BC ―→＝－AB ―→－CD ―→－DA ―→＝－AB ―→＋DC ―→＋AD ―→＝－e 2＋k e 2＋e 1＝e 1＋(k －1)e 2.而MN ―→＋NB ―→＋BA ―→＋AM ―→＝0，∴MN ―→＝－NB ―→－BA ―→－AM ―→＝BN ―→＋AB ―→－AM ―→＝12BC ―→＋e 2－12AD ―→ ＝12[e 1＋(k －1)e 2]＋e 2－12e 1＝k ＋12e 2. C 级——拓展探索性题目应用练如图，在△ABC 中，F 是BC 中点，直线l 分别交AB ，AF ，AC 于点D ，G ，E .如果AD ―→＝λAB ―→，AE ―→＝μAC ―→，λ，μ∈R .求证：G 为△ABC 重心的充要条件是1λ＋1μ＝3. 证明：充分性：若G 为△ABC 重心，则AG ―→＝23AF ―→＝23×12(AB ―→＋AC ―→)＝13⎝⎛⎭⎫AD ―→λ＋AE ―→μ， 又因点D ，G ，E 共线，所以AG ―→＝t AD ―→＋(1－t )AE ―→＝13⎝⎛⎭⎫AD ―→λ＋AE ―→μ， 因AD ―→，AE ―→不共线，所以13λ＝t 且13μ＝1－t ，两式相加即得1λ＋1μ＝3. 必要性：若1λ＋1μ＝3，则AG ―→＝x AF ―→＝x 2(AB ―→＋AC ―→)＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→λ＋AE ―→μ＝t AD ―→＋(1－t )AE ―→，所以x 2λ＝t 且x 2μ＝1－t ，相加即得x ＝23，即G 为△ABC 重心． 故G 为△ABC 重心的充要条件是1λ＋1μ＝3.。
2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测4-2平面向量的基本定理及坐标表示
1．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且MP＝2MN，则P点的坐标为(B. －1，－2⎪C. 1，2⎪解析：设P(x，y)，则MP＝(x－3，y＋2)．而2MN＝2(－8,1)＝ －4，2⎪，∴P －1，－2⎪.故选B.⎩⎩．如图，在△2OAB中，P为线段AB上的一点，OP＝xOA＋yOB，且BP＝2P A，则()C．x＝，y＝解析：由题意知OP＝OB＋BP，又BP＝2P→A，所以OP＝OB＋3BA＝O B＋3(OA －OB)＝3OA＋3OB，所以x＝3，y＝3.[课时跟踪检测][基础达标]→1→) A．(－8,1)⎛3⎫⎝⎭⎛3⎫⎝⎭D．(8，－1)→1→1⎛1⎫⎝⎭⎧⎪x－3＝－4，∴⎨1⎪y＋2＝2.⎧⎪x＝－1，解得⎨3⎪y＝－2.⎛3⎫⎝⎭答案：B→→→→→21A．x＝3，y＝312B．x＝3，y＝3134431D．x＝4，y＝4→→→→→→2→→2→→2→1→21答案：A4．已知点 A (2,3)，B (4,5)，C (7,10)，若AP ＝AB ＋λAC (λ∈R )，且点 P 在直线解析：设 P (x ，y )，则由AP ＝AB ＋λAC ，得(x －2，y －3)＝(2,2)＋λ(5，7)＝(2又点 P 在直线 x －2y ＝0 上，故 5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得 λ＝－ ，故选 B.中点，且 BP ＝2PC .若P →A ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC 等于( 解析：由题知，PQ －P →A ＝AQ ＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)．又因为点 Q 是 AC 的中点，所以AQ ＝QC . 所以PC ＝PQ ＋QC ＝(1,5)＋(－3,2)＝(－2,7)． 因为BP ＝2PC ，所以BC ＝BP ＋PC ＝3PC ＝3(－2,7)＝(－6，21)． 6．已知 AC ⊥BC ，AC ＝BC ，D 满足CD ＝tCA ＋(1－t )CB ，若∠ACD ＝60°，3．已知向量 a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若 3a －2b ＋c ＝0，则 c＝()A ．(－23，－12)C ．(7,0)B ．(23,12)D ．(－7,0)⎧23＋x ＝0，解析：由题意可得 3a －2b ＋c ＝(23＋x,12＋y )＝(0,0)，所以⎨ 解⎩12＋y ＝0，⎧x ＝－23， 得⎨ 所以 c ＝(－23，－12)．⎩y ＝－12.答案：A→ → →x －2y ＝0 上，则 λ 的值为()2 23 3A.3B ．－3 C.2D ．－2→ → →＋5λ，2＋7λ)，∴x ＝5λ＋4，y ＝7λ＋5.23答案：B5．(2017 届山东日照一中月考△)在 ABC 中，点 P 在 BC 上，点 Q 是 AC 的→ → → →)A ．(－6,21)C ．(6，－21)B ．(－2,7)D ．(2，－7)→ →→ →→ → →→ → → → → →答案：A→ → →则 t 的值为()⎧y＝3x，⎩x＋y＝1得y＝22.故选A.8．(2018届东北三校二联)已知向量AB与向量a＝(1，－2)的夹角为π，|AB|解析：依题意，设AB＝λa，其中λ<0，则有|AB|＝|λa|＝－λ|a|，即25＝－5λ，∴λ＝－2，∴AB＝－2a＝(－2,4)，因此点B的坐标是(－2,4)＋(3，－4)＝(1,0)，A.3－122019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测B.3－2C.2－1D.3＋12解析：由题意知D在直线AB上．令CA＝CB＝1，建立平面直角坐标系，如图，则B点坐标为(1,0)，A点坐标为(0,1)．设D点的坐标为(x，y)，因为∠DCB3＝30°，则直线CD的方程为y＝3x，易知直线AB的方程为x＋y＝1，由⎨33－13－1，即t＝答案：A7．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为()A．(－1,1)C．(－4,6)B．(1，－1)D．(4，－6)解析：由题知4a＝(4，－12)，3b－2a＝(－6,12)－(2，－6)＝(－8,18)．由4a＋(3b－2a)＋c＝0，知c＝(4，－6)，选D.答案：D→→＝25，点A的坐标为(3，－4)，则点B的坐标为()A．(1,0)C．(5，－8)B．(0,1)D．(－8,5)→→→故选A.∴a ＝AO ＝(－1,1)，b ＝OB ＝(6,2)，c ＝BC ＝(－1，－3)．∵c ＝λa ＋μb ，∴(－ ⎪⎩n ＝8.9答案：A9．向量 a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若 c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，λ则μ＝________.解析：以向量 a 和 b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为 1)，则 A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，→ → →1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，1 即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得 λ＝－2，μ＝－2，λ∴μ＝4.答案：410．平面内给定三个向量 a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足 a ＝m b ＋n c 的实数 m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数 k .解：(1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1) ，⎧－m ＋4n ＝3， 所以⎨⎩2m ＋n ＝2，⎧⎪m ＝5， 解得⎨ 9(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，16由题意得 2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得 k ＝－13.11．已知 A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)，判断AB 与CD 是否共线？如果＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，解：AB＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)，CD，CD 共线．∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴AB＝－2AB ，又CD，CD 方向相反．综上，AB 与CD 共线且方向相反．∴AB → ＝1OA ，OD ＝1OB，△12．在 AOB 中，已知点 O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)，OC＝(0,5)，OB ＝(4,3)．解：∵点 O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)，∴OA＝ OA ＝ 0，4⎪，∴点 C 的坐标为 0，4⎪.∵OC 4 同理可得点 D 的坐标为 2，2⎪.7⎫→＝(x ，y －5)，AD ＝⎛2，－ ⎪.∵A ，M ，D 三 设点 M 的坐标为(x ，y )，则AM与AD共线．点共线，∴AMCM ＝ x ，y －4⎪，＝ 4－0，3－4⎪＝ 4，4⎪.CB∵C ，M ，B 三点共线，∴CM 与CB 共线． ∴4x －4 y －4⎪＝0，由①②得 x ＝ 7 ，y ＝2，∴M 7 ，2⎪.→ →共线，它们的方向相同还是相反？→→→ →→ →→ → → →→ → → 42AD 与 BC 交于点 M ，求点 M 的坐标．→ →→ 1 → ⎛ 5⎫ ⎛ 5⎫ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ 3⎫ ⎝ ⎭→⎝ 2⎭→ →7∴－2x －2(y －5)＝0，即 7x ＋4y ＝20.①→ ⎛ 5⎫ ⎝⎭→ ⎛ 5⎫ ⎛ 7⎫ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭→ →7 ⎛ 5⎫ ⎝ ⎭即 7x －16y ＝－20.②12 ⎛12 ⎫ ⎝ ⎭[能 力 提 升]．如图，在△1ABC中，设AB＝a，AC＝b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P，则AP＝(解析：如图，连接BP，则AP＝AC＋CP＝b＋PR，①AP＝AB＋BP＝a＋RP－RB，②①＋②，得2AP＝a＋b－RB，③又RB＝2QB＝2(AB－AQ)＝a－2AP⎪，④→＝a＋b－1⎛a－1AP⎫⎪，将④代入③，得2AP2．(2017届河南商丘三模)已知P是△ABC所在平面内一点，若AP＝4BC－3，则△BAPBC与△ABC的面积的比为()→→→)11A.2a＋2b12B.3a＋3b24C.7a＋7b42D.7a＋7b→→→→→→→→→→→→1→1→→1⎛1→⎫2⎝⎭→2⎝2⎭→24解得AP＝7a＋7b.答案：C→3→2→P(xP，yP)，C(x C,0)，若AP＝4BC－3BA，即(x P－x A，y P－y A)＝4(x C,0)－3(x A，y A)，3．已知向量OA＝(1,－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(k＋1，k－2)，若A，B，解析：若点A，B，C能构成三角形，则向量AB，AC不共线．∵AB＝OB－OA＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC＝OC－OA＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，∴PG＝λPQ.∴OG＝OP＋PG＝OP＋λPQ＝OP＋λ(OQ－OP)1A.32C.31B.23D.4解析：以B为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设A(x A，y A)，→3→2→3221∴yP－yA＝－3y A，得y P＝3y A，则△PBC与△ABC的面积的比为1∶3.答案：A→→→C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________．→→→→→→→→∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.答案：k≠14．如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，→→→→11Q三点共线．设OP＝xOA，OQ＝yOB，则x＋y＝________.解析：∵点P，G，Q在一条直线上，→→→→→→→→→→＝(1－λ)OP＋λOQ＝(1－λ)xOA＋λy OB，①∴OG＝3OM＝3×2(OA＋OB)＝3OA＋3OB.②而OA→，OB不共线，∴由①②，得⎨3⎪⎩λy＝1.⎪⎩1＝3λ.2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测→→→→又∵G是△OAB的重心，→2→21→→1→1→⎧⎪(1－λ)x＝1，→3解得⎧⎪1＝3－3λ，⎨xy11∴x＋y＝3.答案：3。
【精品卷】2019—2020年最新北师大版高中数学必修四《平面向量基本定理》课时提升练习及答案解析.docx
（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修四课时提升作业3.2平面向量基本定理一、选择题(每小题3分,共18分)1.若O为平行四边形ABCD的中心,=4e1,=6e2,则3e2-2e1等于( )A. B. C. D.【解析】选B.由于=4e1,=6e2,3e2-2e1=(6e2-4e1)=(-)=(+)==.2.已知在△ABC中,点D在BC边上,且=2,=r+s,则r+s的值是( )A. B. C.-3 D.0【解析】选D.因为=-,=-.所以=--=--.所以=-,所以=-.又=r+s,所以r=,s=-,所以r+s=0.3.已知e1=a+5b,e2=3a-2b,e3=-6a+4b,a与b不共线,其中不能作为基底的是( )A.e1与e2B.e2与e3C.e1与e3D.e1+e2与e3【解析】选B.由于e3=-6a+4b=-2(3a-2b)=-2e2.故e2与e3共线,不能作为基底,A,C,D中的向量均不共线,能作为基底.4.P是△ABC所在平面上的一点,满足++2=0,若△ABC的面积为1,则△ABP的面积为( )A.1B.2C.D.【解题指南】由向量加法的运算法则,设AB的中点是D,则+=2=-2,所以P为CD的中点,所以△PAB 的面积与△ABC的面积之比即为AB上的高之比,也即为PD和CD之比.【解析】选C.设AB的中点是D,则+=2=-2,所以P为CD的中点,所以△PAB的面积为△ABC的面积的,即△ABP的面积为.5.已知向量a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中e1,e2不共线,则a+b与c=6e1-2e2的关系为( )A.不共线B.共线C.相等D.不能确定【解析】选B.a+b=3e1-e2=c,故a+b与c共线.6.(2014·大庆高一检测)在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD 交于点F,若=a,=b,则= ( )A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b【解题指南】根据两个三角形相似对应边成比例,得到DF与FC之比,作FG平行B D交AC于点G,使用已知向量表示出要求的向量,得到结果.【解析】选D.因为由题意可得△DEF∽△BEA,所以==,再由AB=CD可得=,所以=.作FG平行BD交AC于点G,所以==,所以===b.因为=+=+=+==a,所以=+=a+b.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·北京高一检测)如图,向量=,若=x+y,则x-y= .【解析】因为=,所以+=(+),整理得=-+,=+,所以x=,y=,x-y=-.答案:-8.(2013·四川高考)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=λ,则λ= .【解析】在平行四边形ABC D中,+=,而=2,所以λ=2.答案:29.(2013·宿州高一检测)已知a=x e1+2e2与b=3e1+y e2共线,且e1,e2不共线,则xy的值为.【解析】因为a与b共线,所以x e1+2e2与3e1+y e2对应项的系数成比例,即=,所以xy=6.答案:6【举一反三】若将“b=3e1+y e2”改为“b=3e1+4e2”,其他条件不变,则x= .【解析】因为a与b共线,所以存在实数λ使得a=λb,即x e1+2e2=λ(3e1+4e2).所以λλ所以λ答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.如图,平面内有三个向量,,,其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=2,若=λ+μ(λ,μ∈R).求λ+μ的值.【解析】如图,以OA,OB所在射线为邻边,OC为对角线作平行四边形ODCE,则=+,在直角△OCD中,因为||=2,∠COD=30°,∠OCD=90°,所以||=4,||=2,故=4,=2,即λ=4,μ=2,所以λ+μ=6.11.在△ABC中,点D和E分别在BC,AC上,且=,=,AD与BE交于R,证明:=.【解题指南】由A,D,R三点共线,可得=λ+(1-λ)=λ+(1-λ).由B,E,R三点共线,可得=μ+(1-μ)=μ+(1-μ).根据平面向量的基本定理,可构造关于λ和μ的方程组,进而求出λ,μ的值,进而根据向量减法的三角形法则,得到答案.【证明】由A,D,R三点共线,可得=λ+(1-λ)=λ+(1-λ).由B,E,R三点共线,可得=μ+(1-μ)=μ+(1-μ).所以λμλμ所以λμ所以=+,所以=-=-,=-=-=-==.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·东营高一检测)设e1,e2是不共线向量,则下面四组向量中,能作为基底的组数是( )①e1和e1+e2; ②e1-2e2和e2-2e1;③e1-2e2和4e2-2e1; ④e1+e2和e1-e2.A.1B.2C.3D.4【解析】选C.不共线的两个非零向量才能作为基底,③中,因为4e2-2e1=-2(e1-2e2),所以两向量共线,其他不共线,故选C.【变式训练】设O是平行四边形ABCD对角线的交点,下列向量组:①与;②与;③与;④与.其中可作为这个平行四边形所在平面内表示它的所有向量的基底的是.【解析】①与不共线,②=-,∥,与共线,③与不共线,④=-,∥,与共线.答案:①③2.(2014·重庆高一检测)如图,在矩形OABC中,点E,F分别在线段AB,BC上,且满足AB=3AE,BC=3CF,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ= ( )A. B.C. D.1【解析】选B.=λ+μ=λ+μ=λμ+λμ,λμ又因为=+,所以两等式相加得:λ+μ=.λμ3.(2014·泸州高一检测)△ABC中,若=2,=+λ,则λ= ( )A. B. C.- D.-【解析】选B.如图所示,因为=+,=,=-,所以 =+ (-) =+. 因为=+λ,所以λ=.4.在直角梯形ABCD 中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2 ,BC=2,点E 在线段CD 上,若 = +μ,则μ的取值范围是 ( ) A.[0,1] B.[0, ] C.D.【解题指南】过点C 作CF ⊥AB,垂足为F.在Rt △BCF 中,∠B=30°.可得CF=1,BF= .再利用已知AB=2 ,可得AF= .由四边形AFCD 是平行四边形,可得CD=AF= =AB.再利用向量的三角形法则和向量共线定理即可得出.【解析】选C.如图所示, 过点C 作CF ⊥AB, 垂足为F.在Rt △BCF 中,∠B=30°. 所以CF=1,BF= . 因为AB=2 ,所以AF= . 由四边形AFCD 是平行四边形, 可得CD=AF= =AB. 因为=+=+μ, 所以=μ,因为∥,=, 所以0≤μ≤.二、填空题(每小题5分,共10分)5.设e1,e2是平面内一组基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基向量a,b的线性组合,即e1+e2= .【解题指南】设e1+e2=m a+n b(m,n∈R),根据e1与e2不共线及平面向量基本定理求m,n.【解析】设e1+e2=m a+n b(m,n∈R),因为a=e1+2e2,b=-e1+e2,所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.因为e1与e2不共线,所以所以m=,n=-,所以e1+e2=a-b.答案:a-b6.在△ABC中,点P是AB上的一点,且=+,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,又=t,则t 的值为.【解题指南】先根据向量关系=+得=,即P是AB的一个三等分点,利用平面几何知识,过点Q作PC的平行线交AB于D,利用三角形的中位线定理得到PC=4PM,结合向量条件即可求得t值.【解析】因为=+,所以-=-+,所以=,即P是AB的一个三等分点,过点Q作PC的平行线交AB于D,因为Q是BC的中点,所以QD=PC,且D是PB的中点,从而QD=2PM,所以PC=4PM,所以CM=CP,又=t,则t=.答案:三、解答题(每小题12分,共24分)7.如图,在△ABC中,点D是AC的中点,点E是BD的中点,设=a,=c,(1)用a,c表示向量.(2)若点F在AC上,且=a+c,求AF∶CF.【解析】(1)因为=-=c-a,所以==(c-a),所以=(+)=+=-a+(c-a)=c-a.(2)设=λ,所以=+=+λ=a+λ(c-a)=(1-λ)a+λc.又=a+c,所以λ=,所以=,所以AF∶CF=4∶1.【变式训练】设M,N,P是△ABC三边上的点,它们使=,=,=,若=a,=b,试用a,b将,,表示出来.【解析】因为=,所以=,由此可得,=-=--,因为=-,所以=--(-)=-=-a+b.同理可得=a-b,=-=-(+)=a+b.【拓展提升】用基底表示向量的技巧用基底表示未知向量,一般有两种方法,一是直接利用基底,结合向量的线性运算,灵活应用三角形法则与平行四边形法则求解;二是利用“正难则反”原则引入参数或添加辅助线,采用方程思想借助向量运算确定参数.8.如图所示,点L,M,N分别为△ABC的边BC,CA,AB上的点,且=l,=m,=n,若++=0.求证:l=m=n.【证明】设=a,=b,由已知得=l a,=m b,因为=+=-a-b,所以=n=-n a-n b,所以=+=(l-1)a-b,①=+=a+m b, ②=+=-n a+(1-n)b, ③将①②③代入++=0,整理得(l-n)a+(m-n)b=0,所以l=m=n.。
2019_2020学年高中数学课时跟踪训练19平面向量基本定理新人教A版必修4
课时跟踪训练(十九)(时间45分钟) 题型对点练(时间20分钟)题组一 用基底表示向量1.如图所示，|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝3，∠AOB ＝60°，OB →⊥OC →，设OC →＝xOA →＋yOB →，则( )A ．x ＝－2，y ＝－1B ．x ＝－2，y ＝1C ．x ＝2，y ＝－1D ．x ＝2，y ＝1[解析] 如图，过C 作CD ∥OB 交AO 的延长线于D ，连接BC .由|OB →|＝1，|OC →|＝3，∠AOB ＝60°，OB ⊥OC ，知∠COD ＝30°.在Rt △OCD 中，可得OD ＝2CD ＝2.则OC →＝OD →＋OB →＝－2OA →＋OB →，故x ＝－2，y ＝1，故选B[答案] B2．设G 为△ABC 的重心，O 为坐标原点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用a ，b ，c 表示OG →，OG →＝__________.[解析] OG →＝OC →＋CG →＝OC →＋13(CA →＋CB →)＝OC →＋13(OA →－OC →＋OB →－OC →)＝13(a ＋b ＋c )．[答案] 13(a ＋b ＋c )3．已知e 1、e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a ，b 能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为__________．[解析] 若a ，b 能作为平面内的一组基底，则a 与b 不共线，则a ≠k b (k ∈R )，又a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，∴λ≠4.[答案] (－∞，4)∪(4，＋∞) 题组二 向量的夹角4．若向量a 与b 的夹角为60°，则向量－a 与－b 的夹角是( ) A ．60° B ．120° C ．30°D ．150°[解析] ∵－a 与－b 分别为a 与b 的相反向量． ∴－a 与－b 的夹角为60°. [答案] A5．在直角三角形ABC 中，∠BAC ＝30°，则AC →与BA →的夹角等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°[解析] AC →与BA →的夹角为∠BAC 的补角． [答案] D6．已知向量a 与b 的夹角等于60°，则 (1)2a 与3b 的夹角是__________， (2)2a 与－b 的夹角是__________．[解析] 2a 与3b 的夹角等于a 与b 的夹角即为60°；2a 与－b 的夹角等于a 与b 夹角的补角，即为120°.[答案] (1)60° (2)120° 题组三 平面向量基本定理的应用7．已知向量a ，b 不共线，且AB →＝a ＋4b ，BC →＝－a ＋9b ，CD →＝3a －b ，则一定共线的是( ) A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D[解析] BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＝2(a ＋4b )＝2AB →，又BD →与AB →有公共点B ，故A 、B 、D 三点共线．[答案] A8．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( ) A.165B.125C.85D.45[解析] ∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →，∴r ＝45，s ＝－45.∴3r ＋s ＝125－45＝85.[答案] C9．设e 1，e 2是平面内的一组基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则e 1＋e 2＝__________a ＋__________b .[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧e 1＝13a －23b ，e 2＝13a ＋13b .故e 1＋e 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －23b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋13b＝23a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13b . [答案] 23 －13综合提升练(时间25分钟)一、选择题1．如果e 1、e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是( ) A ．若存在实数λ1、λ2，使得λ1e 1＋λ2e 1＝0，则λ1＝λ2＝0B ．平面α内任一向量a 都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1、λ2∈RC ．λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内，λ1、λ2∈RD ．对于平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1、λ2有无数对[解析] A 中，(λ1＋λ2)e 1＝0，∴λ1＋λ2＝0，即λ1＝－λ2；B 符合平面向量基本定理；C 中，λ1e 1＋λ2e 2一定在平面α内；D 中，λ1、λ2有且只有一对．[答案] B2．在△ABC 中，M 是AB 边所在直线上任意一点，若CM →＝－2CA →＋λCB →，则λ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[解析] ∵△ABC 中，M 是AB 边所在直线上任意一点，∴存在实数μ，使得AM →＝μMB →，即CM →－CA →＝μ(CB →－CM →)，化简得CM →＝11＋μCA →＋μ1＋μCB →，∵CM →＝－2CA →＋λCB →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧11＋μ＝－2，μ1＋μ＝λ，解之得λ＝3，μ＝－32，故选C.[答案] C3．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB .若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →等于( )A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.35a ＋45b D.45a ＋35b [解析] ∵CD 平分∠ACB ，∴|CA →||CB →|＝|AD →||DB →|＝21.∴AD →＝2DB →＝23AB →＝23(CB →－CA →)＝23(a －b )．∴CD →＝CA →＋AD →＝b ＋23(a －b )＝23a ＋13b .[答案] B 二、填空题4．如图：在梯形ABCD 中，AD ∥BC 且AD ＝12BC ，AC 与BD 相交于O ，设AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示BO →，则BO →＝__________.[解析] BD →＝AD →－AB →＝b －a . ∵O ，B ，D 三点共线， ∴BO →＝xBD →＝x (b －a )，x ∈R ，∴AO →＝AB →＋BD →＝a ＋x (b －a )＝(1－x )a ＋x b ， ∵AC →＝AB →＋BC →＝a ＋2b ，∴由A ，O ，C 三点共线知 (1－x )a ＋x b ＝y (a ＋2b )，y ∈R ，故⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝y ，x ＝2y ，解得x ＝23，y ＝13，故BO →＝23(b －a )＝－23a ＋23b .[答案] －23a ＋23b5．l 1，l 2是不共线向量，且a ＝－l 1＋3l 2，b ＝4l 1＋2l 2，c ＝－3l 1＋12l 2，若b ，c 为一组基底，则a ＝__________.[解析] 设a ＝λ1b ＋λ2c ，即－l 1＋3l 2＝λ1(4l 1＋2l 2)＋λ2(－3l 1＋12l 2)，即－l 1＋3l 2＝(4λ1－3λ2)l 1＋(2λ1＋12λ2)l 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧4λ1－3λ2＝－1，2λ1＋12λ2＝3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－118，λ2＝727.则a ＝－118b ＋727c .[答案] －118b ＋727c三、解答题6.如图，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ、μ∈R )，求λ＋μ的值．[解] 如图，以OC 为对角线作▱OMCN ，使得M 在直线OA 上，N 在直线OB 上，则存在λ、μ，使OM →＝λOA →，ON →＝μOB →， 即OC →＝OM →＋ON →＝λOA →＋μOB →.在Rt △COM 中，|OC →|＝23，∠COM ＝30°，∠OCM ＝90°， ∴|OM →|＝4，∴OM →＝4OA →. 又|ON →|＝|MC →|＝2，∴ON →＝2OB →，∴OC →＝4OA →＋2OB →，即λ＝4，μ＝2.∴λ＋μ＝6.7．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足：AM →＝34AB →＋14AC →.(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比．(2)若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点O ，设BO →＝xBM →＋yBN →，求x ，y 的值．[解] (1)如图，由AM →＝34AB →＋14AC →可知M ，B ，C 三点共线，令BM →＝λBC →⇒AM →＝AB →＋BM →＝AB→＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →⇒λ＝14，所以S △ABM S △ABC ＝14，即面积之比为1∶4.(2)由BO →＝xBM →＋yBN →⇒BO →＝xBM →＋y 2BA →，BO →＝x4BC →＋yBN →，由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C三点共线⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y2＝1，x4＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝47，y ＝67.。
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课时跟踪检测（十八） 平面向量基本定理一、基本能力达标1．若e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是( ) A ．e 1和e 1＋e 2 B ．e 1－2e 2和e 2－2e 1 C ．e 1－2e 2和4e 2－2e 1D ．e 1＋e 2和e 1－e 2解析：选C 选项C 中，4e 2－2e 1＝－2(e 1－2e 2)，可见e 1－2e 2和4e 2－2e 1是共线向量，不能作为一组基底．故选C.2. 如图，在△ABC 中，点D 是BC 边上靠近B 的三等分点，则uuu rAD ＝ ( )A.23uuur AB －13uuu r AC B.13uuur AB ＋23uuu r AC C.23uuur AB ＋13uuu r AC D.13uuur AB －23uuu r AC 解析：选C 由平面向量的三角形法则，可得：uuu r AD ＝uuu r AB ＋uuu rBD ，又点D 是BC 边上靠近B 的三等分点，所以uuu r AD ＝uuu r AB ＋13uuu r BC ＝uuu r AB ＋13(uuu r AC －uuu r AB )＝23uuur AB ＋13uuu r AC .3．已知非零向量uu u r OA ，uu u r OB 不共线，且2uu u r OP ＝x uu u r OA ＋y uu u r OB ，若uur PA ＝λuuu rAB (λ∈R)，则x ，y 满足的关系是 ( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0解析：选A 由uur PA ＝λuuu rAB ，得uu u r OA －uu u r OP ＝λ(uu u r OB －uu u r OA )， 即uu u r OP ＝(1＋λ)uu u r OA －λuu u r OB .又2uu u r OP ＝x uu u r OA ＋y uu u r OB ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2.4．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 的值为 ( ) A ．3 B ．－3 C ．0D ．2解析：选A 由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，∴x ＝6，y ＝3.∴x －y ＝3.5．若点G 是△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则uu u r GA ＋uu u r GB ＋uuu rGC 等于( )A ．6uuu r GDB ．－6uuu rGDC ．－6uuu rGED ．0解析：选D 令GB 的中点为P ，连接DP ，PE ，得平行四边形GDPE (如图所示)，取向量uuu r GD ，uuu r GE 为一组基底，则有uu u r GB ＝2uu u rGP＝2(uuu r GD ＋uuu r GE )，uu u r GA ＝－2uuu r GE ，uuu r GC ＝－2uuu rGD .上面三式左右两边分别相加，有uu u r GA ＋uu u r GB ＋uuu rGC ＝0.6.如图，在△MAB 中，C 是边AB 上的一点，且AC ＝5CB ，设MA―→＝a ，MB ―→＝b ，则MC ―→＝________(用a ，b 表示)．解析：MC ―→＝MA ―→＋AC ―→＝MA ―→＋56AB ―→＝MA ―→＋56(MB ―→－MA ―→)＝16MA ―→＋56MB ―→＝16a ＋56b .答案：16a ＋56b7．已知e 1，e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a ，b 能作平面内所有向量的一组基底，则实数λ的取值范围是________．解析：若向量a ，b 共线，则有λ＝4，故当向量a ，b 不共线时，λ≠4. 答案：λ≠48．已知平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，uuu r AP ＝x uuu r AB ，uuu r AQ ＝y uuu rAD ，其中x ，y ∈R ，且均不为0，若uuu r PQ ∥uuu r BE ，则xy＝________.解析：uuu r PQ ＝uuu r AQ －uuu r AP ＝y uuu r AD －x uuu rAB ， 由uuu r PQ ∥uuu r BE 得uuu r PQ ＝λuuu rBE (λ≠0)，∴y uuu r AD －x uuu r AB ＝λ(uu u r CE －uu u r CB )＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12uuu r AB ＋uuu r AD ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12λ，y ＝λ，∴x y ＝12. 答案：129. 如图，在△AOB 中，uu u r OA ＝a ，uu u rOB ＝b ，M ，N 分别是OA ， OB 上的点，且uuur OM ＝13a ，uuu r ON ＝12b ，设uuu r AN 与uuur BM 相交于点P ，用向量a ，b 表示uu u rOP .解：由题意得uu u r OP ＝uuur OM ＋uuu r MP ，uu u r OP ＝uuu r ON ＋uuu rNP . 设uuu r MP ＝m uuu r MB ，uuu r NP ＝n uuu r NA ， 则uu u r OP ＝uuur OM ＋m uuu r MB ＝uuurOM ＋m (uu u r OB －uuur OM )＝13a ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫b －13a ＝13(1－m )a ＋mb ， uu u r OP ＝uuu r ON ＋n uuu r NA ＝uuur ON ＋n (uu u r OA －uuu r ON ) ＝12b ＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ＝na ＋12(1－n )b . ∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧13(1－m )＝n ，12(1－n )＝m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝15，m ＝25.∴OP ―→＝15a ＋25b .10. 如图，已知M 为△ABC 的边BC 上一点，且满足uuu u r AM ＝34uuu r AB ＋14uuur AC ，求△ABM 与△ABC 的面积之比．解：∵uuu u r AM ＝34uuu r AB ＋14uuur AC ，∴uuu u r AM ＝34(uuu r MB －uuu r MA )＋14(uuurMC －uuu r MA )，∴34uuu r MB ＋14uuurMC ＝0， ∴uuur MC ＝3uuur BM ，∴S △ABM S △ABC ＝|uuurBM ||uuur BC |＝14. 二、综合能力提升1．已知uu u r OA ，uu u r OB ，uuu r OC 的终点A ，B ，C 在一条直线上，且uuu r AC ＝－3uu u r CB ，设uu u r OA ＝p ，uu u rOB ＝q ，uuu rOC ＝r ，则下列等式成立的是 ( )A ．r ＝－12p ＋32qB ．r ＝－p ＋2qC ．r ＝32p －12qD ．r ＝－q ＋2p解析：选A r ＝uuu r OC ＝uu u r OA ＋uuu r AC ＝uu u r OA －3uu u r CB ＝uu u r OA －3(uu u r OB －uuu rOC )＝p －3q ＋3r ，所以2r ＝3q －p ，r ＝－12p ＋32q ，选A.2.如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点O,7AE ―→＝5AB ―→，AD ―→＝4AF ―→，EF 交AC 于点K ，AK ―→＝λOA ―→，则实数λ的值为( )A ．－1027B ．－13C.1027D.133. 如图，在矩形OABC 中，点E ，F 分别在线段AB ，BC 上，且满足AB ＝3AE ，BC ＝3CF ，若uu u r OB ＝λuuu r OE ＋μuuu rOF (λ，μ∈R)，则λ＋μ＝ ( ) A. 83 B. 32 C. 53D ．1解析：选B 由题意uu u r OB ＝λuuu r OE ＋μuuu r OF ＝λ(uu u r OA ＋uuu rAE )＋μ(uuu r OC ＋uuu r CF )＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫uu u r OA ＋13uuu r OC ＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫uuu r OC ＋13uu u r OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋13μuu u r OA ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13λ＋μuuu r OC .又∵uu u r OB ＝uu u r OA ＋uuu rOC ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋13μ＝1，13λ＋μ＝1.两式相加，得λ＋μ＝32.故选B.4．已知|uu u r OA |＝1，|uu u r OB |＝3，∠AOB ＝90°，点C 在∠AOB 内部且∠AOC ＝30°，设uuu rOC ＝m uu u r OA ＋n uu u r OB (m ，n ∈R)，则mn等于 ( )A ．3B. 13C.33D. 3解析：选A 由题意得△OAB 是直角三角形，且OA ＝1，OB ＝3，OA ⊥OB ，∴AB ＝2，∠A ＝60°.如图所示，延长OC 交AB 于D ，设uuu r OC ＝λuuu rOD ,0＜λ＜1.在△AOD 中，∠A ＝60°，∠AOD ＝30°，∴∠ADO ＝90°，又OA ＝1，∴AD ＝12，则uuu r AD ＝14uuu r AB ，uuu r OD ＝uu u r OA ＋uuu r AD ＝uu u r OA ＋14uuu r AB ＝uu u r OA ＋14(uu u r OB －uu u r OA )＝34uu ur OA ＋14uu u r OB ，∴uuu r OC ＝λuuu r OD ＝3λ4uu u r OA ＋λ4uu u r OB ， ∴m ＝3λ4，n ＝λ4，∴mn＝3.5．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________. 解析：设e 1＋e 2＝ma ＋nb (m ，n ∈R)， ∵a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2， ∴e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2) ＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2.∵e 1与e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，∴m ＝23，n ＝－13，∴e 1＋e 2＝23a －13b .答案： 23a －13b6．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若uuu r OC ＝λuu u r OA ＋μuu u rOB (λ∈R ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是________．解析：设uuu r OD ＝k uuu rOC (0＜k ＜1)，则uuu r AD ＝uuur OD －uu u r OA ＝k uuu r OC －uu u r OA＝(kλ－1) uu u r OA ＋kμuu u rOB . ∵D 是OC 与AB 的交点，∴A ，D ，B 三点共线， ∴uuu r AD ，uuu rAB 共线， 设uuu r AD ＝m uuu r AB ，又uuu r AB ＝uu ur OB －uu u r OA ，∴(kλ－1)uu u r OA ＋kμuu u r OB ＝m uu u r OB －m uu u rOA . ∵uu u r OA ，uu u rOB 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧kλ－1＝－m ，kμ＝m ，∴kλ－1＝－kμ， ∴k (λ＋μ)＝1， ∴λ＋μ＝1k＞1.答案：(1，＋∞)7．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)若 4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值．解：(1)证明：若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ， 则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23.∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底． (2)设c ＝ma ＋nb (m ，n ∈R)， 则3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2) ＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.∴c ＝2a ＋b .(3)由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3,1.8．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足AM ―→＝34AB ―→＋14AC ―→.(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比；(2)若N 为AB 的中点，AM 与CN 交于点O ，设BO ―→＝x BM ―→＋y BN ―→，求x ，y 的值．解：(1)由AM ―→＝34AB ―→＋14AC ―→，可知M ，B ，C 三点共线． 如图，设BM ―→＝λBC ―→，则AM ―→＝AB ―→＋BM ―→＝AB ―→＋λBC ―→＝AB ―→＋λ(AC ―→－AB ―→)＝(1－λ)AB ―→＋λAC ―→， 所以λ＝14，所以S △ABM S △ABC ＝14，即△ABM 与△ABC 的面积之比为1∶4.(2)由BO ―→＝x BM ―→＋y BN ―→，得BO ―→＝x BM ―→＋y 2BA ―→，BO ―→＝x 4BC ―→＋y BN ―→，由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y2＝1，x 4＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝47，y ＝67.。