课时跟踪检测 (二十七) 不同函数增长的差异
人教A版高中数学第一册(必修1)课时作业3：4.4.3 不同函数增长的差异
4.4.3 不同函数增长的差异基础达标练1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型()x 45678910y 15171921232527A．一次函数模型 B．二次函数模型C．指数函数模型D．对数函数模型2．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是()3．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲比乙先到达终点．4．下面给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是()A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2tC ．一次函数：y ＝10tD ．二次函数：y ＝2t 25．甲用1 000元买入一种股票，后将其转卖给乙，获利10%，而后乙又将这些股票卖给甲，乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格九折将股票售出给丙，甲在上述交易中盈利________元．6．某种储蓄按复利计算利息，若本金为a 元，每期利率为r ，存期是x ，本利和(本金加利息)为y 元，求本利和y 随存期x 变化的函数关系式．素养提升练1．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：mg/L)与过滤时间t (单位：h)之间的函数关系式为：P ＝P 0e－kt(k ，P 0均为正的常数)．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么，至少还需要过滤的时间为( ) A ．12hB ．59hC ．5 hD ．10 h2．如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km 的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息，其中正确的信息是( )A ．骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h ，晚到1 hB ．骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动C ．骑摩托车者在出发1.5 h 后追上了骑自行车者D ．骑摩托车者在出发1.5 h 后与骑自行车者的速度一样3．某工厂一年中12月份的产量是1月份的a 倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是________．4．某地发生地震后，地震专家对该地区发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：强度(J) 1.6×1019 3.2×1019 4.5×1019 6.4×1019 震级(里氏)5.05.25.35.4注：地震强度是指地震时释放的能量．地震强度(x )和震级(y )的模拟函数关系可以选用y ＝a lg x ＋b (其中a ，b 为常数)．利用散点图可知a 的值等于________．(取lg 2≈0.3进行计算) 5．已知桶1与桶2通过水管相连如图所示，开始时桶1中有a L 水，t min 后剩余的水符合指数衰减函数y 1＝a ·e－nt，那么桶2中的水就是y 2＝a －a ·e－nt，假定5 min 后，桶1中的水与桶2中的水相等，那么再过多长时间桶1中的水只有a4L?——★ 参*考*答*案 ★——基础达标练1．A『『解 析』』自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型． 2．D『『解 析』』设该林区的森林原有蓄积量为a ，由题意，ax ＝a (1＋0.104)y ，故y ＝log 1.104x (x ≥1)，∴y ＝f (x )的图象大致为D 中图象． 3．D『『解 析』』由图知，甲、乙两人S 与t 的关系均为直线上升，路程S 的增长速度不变，即甲、乙均为匀速运动，但甲的速度快．又甲、乙的路程S 取值范围相同，即跑了相同的路程，故甲用时少，先到终点． 4．A『『解 析』』由题干中的图象可知，该函数模型应为指数函数． 5．1『『解 析』』由题意，甲卖给乙获利：1 000×10%＝100(元)， 乙卖给甲：1 000×(1＋10%)(1－10%)＝990(元)，甲卖给丙：1 000×(1＋10%)(1－10%)×90%＝1 000×1.1×0.9×0.9＝891(元)， 甲赔了：990－891＝99(元)，甲的盈亏情况为盈利：100－99＝1(元)．6．解 已知本金为a 元，利率为r ，则1期后本利和为y ＝a ＋ar ＝a (1＋r )，2期后本利和为y ＝a (1＋r )＋a (1＋r )r ＝a (1＋r )2,3期后本利和为y ＝a (1＋r )3， …，x 期后本利和为y ＝a (1＋r )x ，x ∈N *.素养提升练1．C『『解 析』』由题意知前5个小时消除了90%的污染物． ∵P ＝P 0e －kt ，∴(1－90%)P 0＝P 0e －5k，∴0.1＝e－5k，即－5k ＝ln 0.1，∴k ＝－15ln 0.1.由1%P 0＝P 0e －kt ，即0.01＝e －kt ，∴－kt ＝ln 0.01，∴⎝⎛⎭⎫15ln 0.1t ＝ln 0.01，∴t ＝10，∴至少还需要过滤5 h 才可以排放． 2．ABC『『解 析』』看时间轴易知A 正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此B 正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故C 正确，D 错误． 3．11a －1『『解 析』』设这一年中月平均增长率为x,1月份的产量为M ，则M (1＋x )11＝a ·M ，∴x ＝11a－1. 4．23『『解 析』』由模拟函数及散点图得⎩⎪⎨⎪⎧a lg 1.6＋b ＝5，a lg 3.2＋b ＝5.2，两式相减得a (lg 3.2－lg 1.6)＝0.2，a lg 2＝0.2，a ≈23.5．解 由题意，得a ·e－5n＝a －a ·e－5n，即e－5n＝12. ① 设再过t min 桶1中的水只有a4 L ，则a ·e－n (t ＋5)＝14a ，即e －n (t ＋5)＝14. ② 将①式两边平方得e－10n＝14， ③ 比较②，③得－n (t ＋5)＝－10n ，所以t ＝5. 即再过5 min 桶1中的水只有a4L.。
_新教材高中数学高效作业29不同函数增长的差异含解析新人教A版必修第一册
不同函数增长的差异[A级新教材落实与巩固]一、选择题1．当a＞1时，有下列结论：①指数函数y＝a x，当a越大时，其函数值的增长越快；②指数函数y＝a x，当a越小时，其函数值的增长越快；③对数函数y＝log a x，当a越大时，其函数值的增长越快；④对数函数y＝log a x，当a越小时，其函数值的增长越快．其中正确的结论是( B )A．①③ B．①④C．②③ D．②④【解析】结合指数函数及对数函数的图象可知①④正确，故选B.2．某公司为了适应市场需求，对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢．若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( D )A．一次函数 B．二次函数C．指数型函数 D．对数型函数【解析】一次函数匀速增长，二次函数和指数型函数都是开始增长慢，以后增长越来越快，只有对数型函数增长先快后慢．3．函数y＝2x－x2的图象大致是( A )【解析】分别画出y＝2x，y＝x2的图象，由图象可知(图略)，有3个交点，∴函数y ＝2x－x2的图象与x轴有3个交点，故排除B，C；当x＜－1时，y＜0，故排除D，故选A.4．某个体企业的一个车间去年有8名工人，每人年薪为10万元，从今年起，计划每人的年薪比上一年增加20%；另外，每年新招3名工人，每名新工人第一年的年薪为8万元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，将第n年企业付给工人的工资总额y(单位：十万元)表示成n的函数，则其表达式为( A )A．y＝(3n＋5)×1.2n＋2.4B．y＝8×1.2n＋2.4nC．y＝(3n＋8)×1.2n＋2.4D．y＝(3n＋5)×1.2n－1＋2.4【解析】第一年企业付给工人的工资总额为1×1.2×8＋0.8×3，第二年企业付给工人的工资总额为(8＋3)×1×(1＋20%)2＋3×0.8；依此类推，到第n年企业付给工人的工资总额为[8＋3(n－1)]×1×(1＋20%)n＋3×0.8；即y＝(3n＋5)×1.2n＋2.4.故选A.5．【多选题】在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示，现给出的下列说法正确的是( BC ) A．前5 min温度增加越来越快B．前5 min温度增加越来越慢C．5 min后温度保持匀速增加D．5 min后温度保持不变【解析】前5 min，温度y随x增加而增加，增长速度越来越慢；5 min后，温度y 随x的变化曲线是直线，即温度匀速增加，故BC正确．6．以下四种说法中，正确的是( D )A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B．对任意的x>0，x n>log a xC．对任意的x>0，a x>log a xD．不一定存在x0，当x>x0时，总有a x>x n>log a x【解析】对于A，幂函数的增长速度受幂指数的影响，幂指数不确定，而一次函数的增长速度受一次项系数的影响，增长速度不能比较；对于B，C，当0<a<1时，显然不成立；对于D，当a>1，n>0时，一定存在x0，使得当x>x0时，总有a x>x n>log a x，但若去掉限制条件“a>1，n>0”，则结论不成立．二、填空题7．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x ，当x∈R 时，f(x)与g(x)的大小关系为__f(x)＞g(x)__．【解析】 在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x 的图象，如图所示，由于函数f(x)＝3x的图象恒在函数g(x)＝2x 图象的上方，则f(x)＞g(x).8．现测得(x ，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型，甲：y ＝x2＋1，乙：y ＝3x －1，若又测得(x ，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用__甲__作为函数模型(填“甲”或“乙”).【解析】 把x ＝1，2，3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现甲模型较好． 9．函数y ＝x 2与函数y ＝x ln x 在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是__y ＝x 2__． 【解析】 当x 变大时，x 比ln x 增长要快，所以x 2要比x ln x 增长得快． 10．某药品经过两次降价，每瓶的零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率相同，设为x ，求两次降价的百分率，则列出的方程为__100(1－x)2＝81__．11．如图所示，某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y 与净化时间t(月)的近似函数关系为y ＝a t(t≥0，a>0且a≠1)的图象．则函数的解析式y ＝__⎝ ⎛⎭⎪⎫23t__；第__4__个月时，剩留量就会低于15.【解析】 根据题意，函数的图象经过点(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，49，故函数为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23 t.当t ＝3时，⎝ ⎛⎭⎪⎫23 3 >15 ，当t ＝4时，⎝ ⎛⎭⎪⎫23 4<15 .[B 级 素养养成与评价]12．有两个相同的桶，由甲桶向乙桶输水，开始时，甲桶有a L 水，t min 后，剩余的水y L 满足函数关系y ＝ae－nt，那么乙桶的水就是y ＝a －ae－nt，假设经过5 min ，甲桶和乙桶的水相等，则再过__10__min ，甲桶中的水只有a8L.【解析】 由题意可得，5 min 时，ae－5n＝12 a ，n ＝15 ln 2，那么ae －t5ln2＝18a ，所以t ＝15，从而再经过10 min 后，甲桶中的水只有18a L ．13．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A 对应__(4)__；B 对应__(1)__；C 对应__(3)__；D 对应__(2)__．A B C D【解析】 A 容器下粗上细，水的高度的变化为先慢后快，故与(4)对应；B 容器为球形，水的高度的变化为快—慢—快，应与(1)对应；C ，D 容器都是柱形的，水的高度的变化速度都应是直线型，但C 容器细，D 容器粗，故C 容器水的高度变化快，与(3)对应，D 容器水的高度变化慢，与(2)对应．14．已知函数f(x)＝1.1x(x ＞0)和g(x)＝ln x ＋1的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，且x 1＜x 2.(1)请指出图中曲线C 1，C 2分别对应的函数，并比较f(x)与g(x)的大小(以x 1，x 2为分界点)；(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 021)，g(2 021)的大小． 解：(1)C 1对应的函数为f(x)＝1.1x， C 2对应的函数为g(x)＝ln x ＋1.当0＜x＜x1时，f(x)＞g(x)；当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)；当x＞x2时，f(x)＞g(x)；当x＝x1或x2时，f(x)＝g(x).(2)f(2 021)＞g(2 021)＞g(6)＞f(6).15．复利是把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期利息的一种计算利息的方法．某人向银行贷款10万元，约定按年利率7%复利计算利息．(1)写出x年后，需要还款总数y(单位：万元)和x(单位：年)之间的函数关系式；(2)计算5年后的还款总额(精确到元)；(3)如果该人从贷款的第二年起，每年向银行还款t元，分5次还清，求每年的还款金额(精确到元).(参考数据：1.073≈1.225 04，1.074≈1.310 80，1.075≈1.402 55，1.076≈1.500 73) 解：(1)y＝10×(1＋7%)x，定义域为{x|x∈N*}．(2)5年后的还款总额为：y＝10×(1＋7%)5＝10×1.075≈14.025 5(万元)＝140 255(元).答：5年后的还款总额为140 255元．(3)由已知得t(1＋1.07＋1.072＋1.073＋1.074)＝140 255.解得t≈24 389.答：每年的还款金额约为24 389元．。
新人教版高中数学必修第一册课时跟踪检测(二十六) 不同函数增长的差异
课时跟踪检测（二十六）不同函数增长的差异A级——学考合格性考试达标练1．下列函数中，增长速度越来越慢的是()A．y＝6x B．y＝log6xC．y＝x6D．y＝6x解析：选B D中一次函数的增长速度不变，A、C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．2．有甲、乙、丙、丁四种不同品牌的自驾车，其跑车时间均为x小时，跑过的路程分别满足关系式：f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log3(x＋1)，f4(x)＝2x－1，则5个小时以后跑在最前面的为()A．甲B．乙C．丙D．丁解析：选D法一：分别作出四个函数的图象(图略)，利用数形结合，知5个小时后丁车在最前面．法二：由于4个函数均为增函数，且f1(5)＝52＝25，f2(5)＝20，f3(5)＝log3(5＋1)＝1＋log32，f4(5)＝25－1＝31，f4(5)最大，所以5个小时后丁车在最前面，故选D.3．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：则x，y)A．y＝a＋bx B．y＝a＋b xC．y＝ax2＋b D．y＝a＋b x解析：选B在坐标系中描出各点，知模拟函数为y＝a＋b x.4．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( ) A ．y ＝2x －2B ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xC ．y ＝log 2xD ．y ＝12(x 2－1)解析：选D 法一：相邻的自变量之差大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5、3.5、4.5、6，基本上是逐渐增加的，二次曲线拟合程度最好，故选D.法二：比较四个函数值的大小，可以采用特殊值代入法．可取x ＝4，经检验易知选D. 5．y 1＝2x ，y 2＝x 2，y 3＝log 2x ，当2＜x ＜4时，有( ) A ．y 1＞y 2＞y 3 B ．y 2＞y 1＞y 3 C ．y 1＞y 3＞y 2D ．y 2＞y 3＞y 1解析：选B 在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2，4)内，从上到下图象依次对应的函数为y 2＝x 2，y 1＝2x ，y 3＝log 2x ，故y 2>y 1>y 3.6．现测得(x ，y )的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型，甲：y ＝x 2＋1，乙：y ＝3x －1，若又测得(x ，y )的一组对应值为(3，10.2)，则应选用________作为函数模型．解析：把x ＝1，2，3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较好． 答案：甲7．已知函数f (x )＝3x ，g(x )＝2x ，当x ∈R 时，f (x )与g (x )的大小关系为________． 解析：在同一直角坐标系中画出函数f (x )＝3x ，g (x )＝2x 的图象，如图所示，由于函数f (x )＝3x 的图象在函数g (x )＝2x 图象的上方，则f (x )＞g (x )．答案：f (x )＞g (x )8．函数y ＝x 2与函数y ＝x ln x 在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．解析：当x变大时，x比ln x增长要快，∴x2要比x ln x增长的要快．答案：y＝x29．画出函数f(x)＝x与函数g(x)＝14x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．解：函数f(x)与g(x)的图象如图所示．根据图象易得：当0≤x＜4时，f(x)＞g(x)；当x＝4时，f(x)＝g(x)；当x＞4时，f(x)＜g(x)．10.函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数．(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 019)，g(2 019)的大小．解：(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)因为f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，所以1＜x1＜2，9＜x2＜10，所以x1＜6＜x2，2 019＞x2.从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，所以f(6)＜g(6)．当x＞x2时，f(x)＞g(x)，所以f(2 019)＞g(2 019)．又因为g(2 019)＞g(6)，所以f(2 019)＞g(2 019)＞g(6)＞f(6)．B级——面向全国卷高考高分练1．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为()解析：选D设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，函数为对数函数，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象，故选D.2．三个变量y1，y2，y3，随着变量x的变化情况如下表：则关于xA．y1，y2，y3B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1D．y1，y3，y2解析：选C通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度成倍增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x 的变化符合此规律，故选C.3．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：则对x，yA．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x解析：选D将x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；将x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.4．以下四种说法中，正确的是()A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B．对任意的x＞0，x n＞log a xC．对任意的x＞0，a x＞log a xD ．不一定存在x 0，当x ＞x 0时，总有a x ＞x n ＞log a x解析：选D 对于A ，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较；对于B 、C ，当0＜a ＜1时，显然不成立．当a ＞1，n ＞0时，一定存在x 0，使得当x ＞x 0时，总有a x ＞x n ＞log a x ，但若去掉限制条件“a ＞1，n ＞0”，则结论不成立．5．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A 对应______；B 对应_____；C 对应______；D 对应______．解析：A 容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B 容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C ，D 容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C 容器细，D 容器粗，故水高度的变化为：C 容器水高度变化快，与(3)对应，D 容器水高度变化慢，与(2)对应．答案：(4) (1) (3) (2)6.如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y 与净化时间t (月)的近似函数关系：y ＝a t (t ≥0，a ＞0且a ≠1)的图象．有以下说法：①第4个月时，剩留量就会低于15；②每月减少的有害物质质量都相等；③当剩留量为12，14，18时，所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则t 1＋t 2＝t 3.其中所有正确说法的序号是________．解析：由于函数的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，49，故函数的关系式为y ＝⎝⎛⎭⎫23t. 当t ＝4时，y ＝1681＜15，故①正确；当t ＝1时，y ＝23，减少13，当t ＝2时，y ＝49，减少29，故每月减少有害物质质量不相等，故②不正确；分别令y ＝12，14，18，解得t 1＝log 2312，t 2＝log 2314，t 3＝log 2318，t 1＋t 2＝t 3，故③正确．答案：①③7．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h (米)与生长时间t (年)的相关数据，选择h ＝mt ＋b 与h ＝log a (t ＋1)来拟合h 与t 的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度.解：据题表中数据作出散点图如图．由图象可以看出增长的速度越来越慢，用一次函数模型拟合不合适，则选用对数函数模型比较合理．不妨将(2，1)代入h ＝log a (t ＋1)中，得1＝log a 3，解得a ＝3. 故可用函数h ＝log 3(t ＋1)来拟合这个实际问题．当t ＝8时，求得h ＝log 3(8＋1)＝2，故可预测第8年松树的高度为2米．C 级——拓展探索性题目应用练某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2015年为第1年，且前4年中，第x 年与年产量f (x )(万件)之间的关系如下表所示：若f (x )近似符合以下三种函数模型之一：f (x )＝ax ＋b ，f (x )＝2x ＋a ，f (x )＝log 12x ＋a .(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2015年和2017年的数据求出相应的解析式；(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2021年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2021年的年产量．解：(1)符合条件的是f (x )＝ax ＋b ， 若模型为f (x )＝2x ＋a ， 则由f (1)＝21＋a ＝4， 得a ＝2， 即f (x )＝2x ＋2，此时f (2)＝6，f (3)＝10，f (4)＝18，与已知相差太大，不符合． 若模型为f (x )＝log 12x ＋a ，则f (x )是减函数，与已知不符合．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4，3a ＋b ＝7，解得⎩⎨⎧a ＝32，b ＝52.所以f (x )＝32x ＋52，x ∈N .(2)2021年预计年产量为f (7)＝32×7＋52＝13，2021年实际年产量为13×(1－30%)＝9.1.答：最适合的函数模型解析式为f (x )＝32x ＋52，x ∈N .2021年的年产量为9.1万件．。
2024秋新教材高中数学课时跟踪检测二十八不同函数增长的差异新人教A版必修第一册
不同函数增长的差异层级(一) “四基”落实练1．下列函数中，在(0，＋∞)上增长速度最快的是( )A．y＝x2B．y＝log2xC．y＝2x D．y＝2x答案：D2．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严峻，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是( )A．y＝0.2x B．y＝110(x2＋2x)C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x解析：选C 将x＝1,2,3，y＝0.2,0.4,0.76分别代入验算可知较为近似的是y＝2x10.3．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变更状况如下表：则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、直线型函数变更的变量依次为( )A．y1，y2，y3B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1D．y1，y3，y2解析：选C 通过比较指数型函数，对数型函数，直线型函数的增长规律可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变更符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变更符合此规律；直线型函数的增长速度稳定不变，y1随x的变更符合此规律，故选C.4．如图所示是某条公共汽车路途收支差额y与乘客量x的图象(收支差额＝车票收入－支出费用)．由于目前本条路途在亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(1)是不变更车票价格，削减支出费用；建议(2)是不变更支出费用，提高车票价格．图中虚线表示调整前的状态，实线表示调整后的状态．下列说法中正确的是( )A ．①反映了建议(2)，③反映了建议(1)B ．①反映了建议(1)，③反映了建议(2)C ．②反映了建议(1)，④反映了建议(2)D ．④反映了建议(1)，②反映了建议(2)解析：选B 建议(1)是不变更车票价格，削减支出费用，也就是增大y ，车票价格不变，即平行于原图象，故①反映了建议(1)；建议(2)是不变更支出费用，提高车票价格，即图形增大倾斜度，提高价格，故③反映了建议(2)．故选B.5．函数y ＝x 2与函数y ＝x ln x 在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________． 解析：当x 变大时，x 比ln x 增长要快， 所以x 2要比x ln x 增长的要快． 答案：y ＝x 26．某企业常年生产一种出口产品，由于技术革新后，该产品的产量平稳增长．记2014年为第1年，且前4年中，第x 年与年产量f (x )(万件)之间的关系如下表所示：x 1 2 3 4 f (x )4.005.587.008.44若f (x )近似符合以下三种函数模型之一：f (x )＝ax ＋b ，f (x )＝2x ＋a ，f (x )＝log 12x ＋a .(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后求出相应的解析式(所求a 或b 的值保留1位小数)；(2)因遭遇某国对该产品进行反倾销的影响，从2024年起，年产量比预料削减30%，试依据所建立的函数模型，确定2024年的年产量．解：(1)符合条件的是f (x )＝ax ＋b .理由如下： 若模型为f (x )＝2x＋a ，则由f (1)＝21＋a ＝4，得a ＝2，即f (x )＝2x＋2，此时f (2)＝6，f (3)＝10，f (4)＝18，与已知相差太大，不符合． 若模型为f (x )＝log 12x ＋a ，则f (x )是减函数，与已知不符合．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4，3a ＋b ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1.5，b ＝2.5，所以f (x )＝1.5x ＋2.5，x ∈N *.(2)2024年预料年产量为f (8)＝1.5×8＋2.5＝14.5(万件)， 2024年实际年产量为14.5×(1－30%)＝10.15(万件)．层级(二) 实力提升练1．下面对函数f (x )＝log 12x ，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝x -12在区间(0，＋∞)上的衰减状况说法正确的是( )A ．f (x )衰减速度越来越慢，g (x )衰减速度越来越快，h (x )衰减速度越来越慢B ．f (x )衰减速度越来越快，g (x )衰减速度越来越慢，h (x )衰减速度越来越快C ．f (x )衰减速度越来越慢，g (x )衰减速度越来越慢，h (x )衰减速度越来越慢D ．f (x )衰减速度越来越快，g (x )衰减速度越来越快，h (x )衰减速度越来越快 解析：选C 视察函数f (x )＝log-12x ，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝x -12在区间(0，＋∞)上的大致图象如图，可知：函数f (x )的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度渐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢；同样，函数g (x )的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h (x )的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，故选C.2.高为H ，满缸水量为V 的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h 时水的体积为v ，则函数v ＝f (h )的大致图象是( )解析：选B v ＝f (h )是增函数，且曲线的斜率应当是先变大后变小，故选B. 3．同一坐标系中，画出函数y ＝x ＋5和y ＝2x的图象，并比较x ＋5与2x的大小．解：依据函数y ＝x ＋5与y ＝2x的图象增长差异得： 当x ＜3时，x ＋5＞2x； 当x ＝3时，x ＋5＝2x ； 当x ＞5时，x ＋5＜2x .4．有一种树木栽植五年后可成材．在栽植后五年内，年增加20%，假如不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐．乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次．请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材？解：设树林最初栽植量为a ，甲方案在10年后树木产量为y 1＝a (1＋20%)5(1＋10%)5＝a (1.2×1.1)5≈4a .乙方案在10年后树木产量为y 2＝2a (1＋20%)5＝2a ×1.25≈4.98a .y 1－y 2＝4a －4.98a <0，因此，乙方案能获得更多的木材(不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算)．层级(三) 素养培优练某鞋厂从今年1月份起先投产，并且前四个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．由于产品质量好，款式受欢迎，前几个月的产品销售状况良好．为了使推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，须要估测以后几个月的产量．以这四个月的产品数据为依据，用一个函数模拟产品的月产量y 与月份x 的关系，模拟函数有三个备选：①一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，②二次函数g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，③指数型函数m (x )＝ab x＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b ＞0，b ≠1)．厂里分析，产量的增加是由于工人生产娴熟和理顺了生产流程，厂里也短暂不打算增加设备和工人，假如你是厂长，将会采纳什么方法估计以后几个月的产量？解：将已知前四个月的月产量y 与月份x 的关系记为A (1，1)，B (2,1.2)，C (3,1.3)，D (4,1.37)．①对于一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，将B ，C 两点的坐标代入，有f (2)＝2k ＋b ＝1.2，f (3)＝3k ＋b ＝1.3，解得k ＝0.1，b ＝1，故f (x )＝0.1x ＋1.所以f (1)＝1.1，与实际误差为0.1，f (4)＝1.4，与实际误差为0.03.②对于二次函数g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，将A ，B ，C 三点的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝1.2，9a ＋3b ＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.05，b ＝0.35，c ＝0.7，故g (x )＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7.所以g (4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3， 与实际误差为0.07.③对于指数型函数m (x )＝ab x＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b ＞0，b ≠1)，将A ，B ，C 三点的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝1，ab 2＋c ＝1.2，ab 3＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4.故m (x )＝－0.8×0.5x＋1.4.所以m (4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35，与实际误差为0.02.比较上述3个模拟函数的优劣，既要考虑到剩余点的误差值最小，又要考虑生产的实际问题，比如增产的趋势和可能性，可以认为m (x )最佳，一是误差值最小，二是由于新建厂，起先随着工人技术、管理效益渐渐提高，一段时间内产量明显上升，但到肯定时期后，设备不更新，那么产量必定要趋于稳定，而m (x )恰好反映了这种趋势，因此选用m (x )＝－0.8×0.5x＋1.4来估计以后几个月的产量比较接近客观实际．。
新教材高中数学人教A版必修第一册课时作业：4.4.3 不同函数增长的差异
第四章 4.4 4.4.3A组·素养自测一、选择题1．有一组实验数据如下表所示：x 1234 5y 1.5 5.913.424.137A．y＝log a x(a>1)B．y＝ax＋b(a>1)C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝log a x＋b(a>1)[解析]通过所给数据可知y随x增大而增大，其增长速度越来越快，而A、D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变，故选C．2．一辆汽车在某路段中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是(A)A．分段函数B．二次函数C．指数函数D．对数函数[解析]由图象知，在不同时段内，路程折线图不同，故对应的函数模型为分段函数．3．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是(C)A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝100x[解析]对于A中的函数，当x＝3或4时，误差较大；对于B中的函数，当x＝3或4时，误差也较大；对于C中的函数，当x＝1,2,3时，误差为0，x＝4时，误差为10，误差较小；对于D中的函数，当x＝2,3,4时，据函数关系式得到的结果与实际值相差都很远，综上，只有C中的函数误差最小，故选C．4．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况，一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图象，实线表示y ＝f (x )，虚线表示y ＝g (x )，其中最有可能正确的是( C )[解析] 即时价格若一直下跌，则平均价格也应该一直下跌，故排除A ，D ；即时价格若一直上升，则平均价格也应一直上升，排除B(也可以由x 从0开始增大时，f (x )与g (x )应在y 轴上有相同起点，排除A ，D)．故选C ．二、填空题5．函数y ＝x 2与函数y ＝x ln x 在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是__y ＝x 2__. [解析] 当x 变大时，x 比ln x 增长要快，∴x 2比x ln x 增长得要快．6．设常数a >1，实数x ，y 满足log a x ＋2log x a ＋log x y ＝－3，y 的最大值为2，则a 的值为__4__，x 的值为__18__.[解析] 由log a x ＋2log x a ＋log x y ＝－3，得log a x ＋2log a x ＋log a ylog a x ＝－3(x >0，y >0，x ≠1)，整理可得log a y ＝－(log a x )2－3log a x －2. 设log a x ＝t (t ≠0)，则有log a y ＝－(t ＋32)2＋14.因为a >1，所以当t ＝－32时，y 取得最大值2，即log a2＝14，解得a ＝4，从而log 4x ＝－32，即x ＝4－32 ＝18. 三、解答题7．对于5年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%.树木成材后，即可出售，然后重新栽树木；也可以让其继续生长．问：哪一种方案可获得较大的木材量(注：只需考虑10年的情形)?[解析] 设新树苗的木材量为Q ，则10年后有两种结果： 连续生长10年，木材量N ＝Q (1＋18%)5(1＋10%)5； 生长5年后重新栽树木，木材量M ＝2Q (1＋18%)5. 则M N ＝2(1＋10%)5.∵(1＋10%)5≈1.61<2，∴MN>1，即M >N .因此，生长5年后重新栽树木可获得较大的木材量．B 组·素养提升一、选择题1．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y (万公顷)关于年数x (年)的函数关系较为近似的是( C )A ．y ＝0.2xB ．y ＝110x 2＋2xC ．y ＝2x10D ．y ＝0.2＋log 16x[解析] 将x ＝1,2,3依次代入各函数表达式中得x 1 2 3 y ＝0.2x 0.2 0.4 0.6 y ＝2x 10 0.2 0.4 0.8 y ＝110x 2＋2x 2.1 4.4 6.9 y ＝0.2＋log 16x0.20.450.2＋log 1632．(多选题)在某种金属材料的耐高温实验中，温度y (℃)随着时间t (min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示，现给出下列说法中正确的是( BC )A ．前5 min 温度增加越来越快B ．前5 min 温度增加越来越慢C ．5 min 后温度保持匀速增加D ．5 min 后温度保持不变[解析] 前5 min 温度y 随x 增加而增加，增长速度越来越慢；5min 后，温度y 随x 的变化曲线是直线，即温度匀速增加，所以B 、C 正确，故选BC ．二、填空题3．里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__6__级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的__10 000__倍．[解析] 由lg 1 000－lg 0.001＝6，得此次地震的震级为6级．设9级地震的最大振幅为A 9,5级地震的最大振幅为A 5，则有lg A 9－lg 0.001＝9，得A 9＝106；同理得A 5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍．4．在不考虑空气阻力的情况下，火箭(除燃料外)的质量m kg 、火箭的最大速度v m/s 和燃料的质量M kg 的函数关系是v ＝2 000ln(1＋Mm )．当燃料质量是火箭质量的__e 6－1__倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.[解析] 设M ＝tm ，则有2 000ln(1＋t )＝12 000，即ln(1＋t )＝6解得t ＝e 6－1. 三、解答题5．有甲、乙两个水桶，开始时水桶甲中有a L 水，水桶乙中无水，水通过水桶甲的底部小孔流入水桶乙中，t min 后剩余的水符合指数衰减曲线y ＝a e －nt，假设过5 min 时水桶甲和水桶乙的水相等，求再过多长时间水桶甲中的水只有a8.[解析] 由题意得，a e －5n＝a －a e－5n，即e－5n＝12，设再过t 分钟水桶甲中的水只有a8，得a e－n (t ＋5)＝a8， 所以e－n (t ＋5)＝18＝(12)3＝e －15n ， ∴t ＋5＝15，∴t ＝10.∴再过10分钟水桶甲中的水只有a8.由Ruize收集整理。
2020_2021学年新教材高中数学4.4.3不同函数增长的差异课时素养评价(含解析)新人教A版必修第一册
不同函数增长的差异(15分钟30分)1.以下四种说法中，正确的是( )A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B.对任意的x>0，x n>log a xC.对任意的x>0，a x>log a xD.不一定存在x0，当x>x0时，总有a x>x n>log a x【解析】选 D.对于A，幂函数的增长速度受幂指数的影响，幂指数不确定，而一次函数的增长速度受一次项系数的影响，增长速度不能比较；对于B、C，当0<a<1时，显然不成立；对于D，当a>1，n>0时，一定存在x0，使得当x>x0时，总有a x>x n>log a x，但若去掉限制条件“a>1，n>0”，则结论不成立.2.向杯中匀速注水时，如果杯中水面的高度h随时间t变化的图象如图所示，则杯子的形状为( )【解析】选B.因为杯中水面的高度先经过两次直线增长，后不变，符合B中容器的形状. 【补偿训练】某林区的森林蓄积量平均每年比上一年增长8.6%，若经过x年可以增长到原来的y倍，则函数y=f(x)的大致图象是图中的( )【解析】选D.设某林区的森林蓄积量原有1个单位，则经过1年森林的蓄积量为1+8.6%；经过2年森林的蓄积量为(1+8.6%)2；…；经过x年的森林蓄积量为(1+8.6%)x(x≥0)，即y=(108.6%)x(x≥0).因为底数108.6%大于1，根据指数函数的图象，可知D选项正确.3.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：万元)对年销售量y(单位：t)的影响，对近6年的年宣传费x i和年销售量y i(i=1，2，…，6)进行整理，得数据如表所示：x 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00y 1.65 2.20 2.60 2.76 2.90 3.10根据表中数据，下列函数中，适合作为年销售量y关于年宣传费x的拟合函数的是( )A.y=0.5(x+1)B.y=log3x+1.5C.y=2x-1D.y=2【解析】选B.将题干表格中的数值描到坐标系内(图略)，观察可得这些点的拟合函数类似于对数函数，代入数值验证，也较为符合.4.某学校开展研究性学习活动，一组同学得到表中的实验数据：x 1.99 3 4 5.1 8y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00现有如下4个模拟函数：①y=0.58x-0.16；②y=2x-3.02；③y=x2-5.5x+8；④y=log2x.请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选_______.【解析】画出散点图，由图分析增长速度的变化，可知符合对数函数模型，故选④.答案：④5.画出函数f(x)=与函数g(x)=x-2的图象，并比较两者在[0，+∞)上的大小关系.【解析】函数f(x)与g(x)的图象如图.根据图象易得：当0≤x<4时，f(x)>g(x)；当x=4时，f(x)=g(x)；当x>4时，f(x)<g(x).(20分钟40分)一、单选题(每小题5分，共15分)1.如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是( )x 4 5 6 7 8 9 10y 15 17 19 21 23 25 27A.一次函数模型B.二次函数模型C.指数函数模型D.对数函数模型【解析】选A.随着自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型.2.某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是( )A.y=ax+bB.y=ax2+bx+cC.y=a·e x+bD.y=aln x+b【解析】选B.由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模型是y=ax2+bx+c.3.下面对函数f(x)=lo x，g(x)=与h(x)=-2x在区间(0，+∞)上的递减情况说法正确的是( )A.f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢B.f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快C.f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变D.f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快【解析】选C.观察函数f(x)=lo x，g(x)=与h(x)=-2x在区间(0，+∞)上的图象(如图)可知：函数f(x)的图象在区间(0，1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，+∞)上，递减较慢，且越来越慢；函数g(x)的图象在区间(0，+∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象递减速度不变.二、多选题(共5分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)4.某地一年内的气温Q(t)(单位：℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示.已知该年的平均气温为10 ℃，令C(t)表示时间段[0，t]内的平均气温，不能正确反映C(t)与t之间的函数关系的图象有( )【解析】选BCD.由题图知，当t=6时，C(t)=0，故C不正确；当t=12时，C(t)=10，故D不正确；在大于6的某一段时间平均气温大于10 ℃，故B不正确.三、填空题(每小题5分，共10分)5.如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y=a t(t≥0，a>0且a≠1)的图象.有以下说法：①第4个月时，残留量就会低于；②每月减少的有害物质质量都相等；③当残留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1+t2=t3.其中所有正确说法的序号是_______.【解析】由于函数的图象经过点，故函数的解析式为y=.当t=4时，y=<，故①正确；当t=1时，y=，减少，当t=2时，y=，减少，故每月减少有害物质质量不相等，故②不正确；分别令y=，，，解得t1=，t2=，t3=，t1+t2=t3，故③正确.答案：①③6.某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h=mt+b与h=log a(t+1)来刻画h与t的关系，你认为符合的函数模型是_______，根据你选择的函数模型预测第8年的松树高度为_____米.t/年 1 2 3 4 5 6h/米0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7【解析】据表中数据作出散点图如图：由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理.将(2，1)代入到h=log a(t+1)中，得1=log a3，解得a=3，即h=log3(t+1).当t=8时，h=log3(8+1)=2，故可预测第8年松树的高度为2米.答案：h=log a(t+1) 2四、解答题7.(10分)若不等式3x2<log a x在x∈内恒成立，求实数a的取值范围.【解题指南】原不等式等价于3x2<log a x，将不等式两边分别看成两个函数，作出它们的图象，研究a的取值范围.【解析】由题意，知3x2<log a x在x∈内恒成立，当x∈时，若a>1，则函数y=log a x的图象显然在函数y=3x2图象的下方，所以a>1不成立；当0<a<1时，y=log a x的图象必过点A或在这个点的上方，则log a≥，所以a≥，所以≤a<1.综上，a的取值范围是.。
2020年高中数学人教A版必修第一册课时作业 4.4.3《不同函数增长的差异》(含答案)
2020年高中数学人教A 版必修第一册课时作业4.4.3《不同函数增长的差异》一、选择题1.当2＜x ＜4时，2x ，x 2，log 2x 的大小关系是( )A.2x ＞x 2＞log 2xB.x 2＞2x ＞log 2xC.2x ＞log 2x ＞x 2D.x 2＞log 2x ＞2x2.有一组实验数据如下表所示：下列所给函数模型较适合的是( )A.y=log a x(a>1)B.y=ax ＋b(a>1)C.y=ax 2＋b(a>0)D.y=log a x ＋b(a>1)3.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系，可选用( )A.一次函数B.二次函数C.指数型函数D.对数型函数4.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog 2(x ＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到( )A.300只B.400只C.500只D.600只5.三个变量y 1，y 2，y 3随着变量x 的变化情况如下表：则关于x 分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为( )A.y 1，y 2，y 3B.y 2，y 1，y 3C.y 3，y 2，y 1D.y 1，y 3，y 26.某地为加强环境保护，决定使每年的绿地面积比上一年增长10%，那么从今年起，x 年后绿地面积是今年的y 倍，则函数y=f(x)的大致图象是( )7.某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是( )A.y=0.2xB.y=(x 2＋2x)C.y=D.y=0.2＋log 16x 1102x 108.在同一坐标系中画出函数y=log a x，y=a x，y=x＋a的图像，可能正确的是( )二、填空题9.函数y=x2与函数y=xln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________.10.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到__________.11.某种病菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知这种病菌的繁殖规律为y=e kt(k为常数，t为时间，单位：小时)，y表示病菌个数，则k=________；经过5小时，1个病菌能繁殖为________个.12.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示.以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变.其中说法正确的序号是________.三、解答题13.为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示.(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.14.如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x m.要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少米？15.某公司生产一种产品的固定成本为0.5万元，但每生产100件需要增加投入0.25万元，市场对此产品的需求量为500件，销售收入为函数R(x)=5x －(0≤x ≤5)万元，其中x 是产品售出的数量(单位：百件).x22(1)把利润表示为年产量的函数f(x)；(2)年产量为多少时，当年公司所得利润最大？16.复利是把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期利息的一种计算利息的方法.某人向银行贷款10万元，约定按年利率7%复利计算利息.(1)写出x年后，需要还款总数y(单位：万元)和x(单位：年)之间的函数关系式；(2)计算5年后的还款总额(精确到元)；(3)如果该人从贷款的第二年起，每年向银行还款x元，分5次还清，求每次还款的金额x(精确到元).(参考数据：1.073=1.225 0，1.074=1.310 8，1.075=1.402 551，1.076=1.500 730)答案解析1.答案为：B ；解析：法一：在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=log 2x ，y=x 2，y=2x ，在区间(2,4)上从上往下依次是y=x 2，y=2x ，y=log 2x 的图象，所以x 2＞2x ＞log 2x.法二：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法.可取x=3，经检验易知选B.2.答案为：C ；解析：通过所给数据可知s 随t 增大，其增长速度越来越快，而A ，D 中的函数增长速度越来越慢，B 中的函数增长速度保持不变，故选C.3.答案为：D ；解析：一次函数保持均匀的增长，不能体现题意；二次函数在对称轴的两侧有增也有降；而指数函数是爆炸式增长，不符合“增长越来越慢”；因此，只有对数函数最符合题意，先快速增长，后来越来越慢.4.答案为：A ；解析：由已知第一年有100只，得a=100. 将a=100，x=7代入y=alog 2(x ＋1)，得y=300.5.答案为：C ；解析：通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y 3随x 的变化符合此规律；指数函数的增长速度越来越快，y 2随x 的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y 1随x 的变化符合此规律，故选C.6.答案为：D ；解析：设今年绿地面积为m ，则有my=(1＋10%)x m ，∴y=1.1x ，故选D.7.答案为：C ；解析：将x=1,2,3，y=0.2,0.4,0.76分别代入验算.8.答案为：D ；解析：函数y=a x 与y=log a x 的单调性相同，由此可排除C ；直线y=x ＋a 在y 轴上的截距为a ，则选项A 中0<a<1，选项B 中a>1，显然y=a x 的图像不符，排除A ，B ，选D.9.答案为：y=x 2解析：当x 变大时，x 比ln x 增长要快，∴x 2要比xln x 增长得要快.10.答案为：300;解析：由已知第一年有100只，得a=100.将a=100，x=7代入y=alog 2(x ＋1)，得y=300.11.答案为：2ln 2 1 024解析：设病菌原来有1个，则半小时后为2个，得2=e ，k 2解得k=2ln 2，y(5)=e (2ln 2)·5=e 10ln 2=210=1 024(个).12.答案为：②③；解析：由t ∈[0,3]的图象联想到幂函数y=x a (0<a<1).反映了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢.由t ∈[3,8]的图象可知，总产量C 没有变化，即第三年后停产，所以②③正确.13.解：(1)由图象可设y 1=k 1x ＋29，y 2=k 2x ，把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y 1，y 2的解析式，得k 1=，k 2=.1512∴y 1=x ＋29(x ≥0)，y 2=x(x ≥0).1512(2)令y 1=y 2，即x ＋29=x ，则x=96.151223当x=96时，y 1=y 2，两种卡收费一致；23当x ＜96时，y 1＞y 2，使用便民卡便宜；23当x ＞96时，y 1＜y 2，使用如意卡便宜.2314.解：因为长为x m ，则宽为 m ，设面积为S m 2，50－x 3则S=x·=－(x 2－50x)=－(x －25)2＋(12.5<x<50)，50－x 313136253所以当x=25时，S 取得最大值，即鸡场的长度为25米时，面积最大.15.解：(1)设年产量为x(百件)，当0≤x ≤5时，f(x)=5x －－(0.5＋0.25x)；x22当x>5时，销售收入为万元，此时f(x)=－(0.5＋0.25x)=12－0.25x 252252∴f(x)=Error!(2)当0≤x ≤5时，f(x)=－(x －4.75)2＋10.781 25；12当x>5时，函数f(x)为单调递减函数.∴当年产量为475件时，公司所得利润最大.16.解：(1)y=10·(1＋7%)x ，定义域为{x|x ∈N *}.(2)5年后的还款总额为y=10×(1＋7%)5=10×1.075=14.025 5.答：5年后的还款总额为140 255元(或14.025 5万元).(3)由已知得x(1＋1.07＋1.072＋1.073＋1.074)=14.025 5.解得x=2.438 9.答：每次还款的金额为24 389元(或2.438 9万元).。
不同函数增长的差异 同步检测(含解析)—2024-2025学年高一上学期数学必修第一册
4.4.3 不同函数增长的差异（同步检测）一、选择题1.下列函数中，增长速度越来越慢的是( )A.y ＝6x B.y ＝log 6x C.y ＝x 6D.y ＝6x2.若x ∈(0，1)，则下列结论正确的是( )A.2x ＞＞lg x B.2x ＞lg x ＞C.＞2x ＞lg xD.lg x ＞＞2x3.某小型贸易公司为了实现年终10万元利润的目标，特制定了销售人员年终绩效奖励方案：当销售利润为x(单位：万元)(4≤x ≤10)时，奖金y(单位：万元)随销售利润x 的增加而增加，但奖金总数不超过2万元，同时奖金不超过销售利润的12，则下列函数中，符合该公司奖励方案的函数模型是( )A.y ＝0.4xB.y ＝lg x ＋1C.y ＝D.y ＝1.125x4.有甲、乙、丙、丁四种不同品牌的自驾车，其跑车时间均为x 小时，跑过的路程分别满足关系式：f 1(x)＝x 2，f 2(x)＝4x ，f 3(x)＝log 3(x ＋1)，f 4(x)＝2x －1，则5个小时以后跑在最前面的为( )A.甲 B.乙C.丙D.丁5.下列函数中随x 的增大而增长速度最快的是( )A.y ＝1100e xB.y ＝100ln xC.y ＝x 100D.y ＝100×2x6.如表是函数值y 随自变量x 变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为( )x 45678910y15171921232527A.一次函数模型B.二次函数模型C.指数函数模型D.对数函数模型7.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x 倍，需经过y 年，则函数y ＝f(x)的图象大致是( )12x 12x12x 12x 12x8.下面对函数f(x)＝，g(x)＝与h(x)＝－2x 在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是( )A.f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢B.f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快C.f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变D.f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快9.(多选)在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示，下列说法中正确的有( )A.前5 min 温度增加越来越快B.前5 min 温度增加越来越慢C.5 min 后温度保持匀速增加D.5 min 后温度保持不变二、填空题10.函数y ＝x 2与函数y ＝x ln x 在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________11.下列各项是四种生意预期的收益y 关于时间x 的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是________①y ＝10×1.05x ；②y ＝20＋x 1.5；③y ＝30＋lg(x －1)；④y ＝50．12.某商场2023年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：①f (x)＝p·q x (q>0，q ≠1)；②f (x)＝log p x ＋q(p>0，p ≠1)；③f (x)＝x 2＋px ＋q ．(1)能较准确反映商场月销售额f (x)与月份x 关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)；(2)若所选函数满足f (1)＝10，f (3)＝2，则f (x)＝___________A B C D12log x x1()213.生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________.(填序号)A B三、解答题14.某人对某种松树的生长进行了研究，搜集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据如下表所示，选择h＝mt＋b与h＝log a(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合，并预测第八年的松树的高度．t/年123456h/米0.61 1.3 1.5 1.6 1.715.画出函数f(x)＝x与函数g(x)＝14x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．16.假设有一套住房的房价从2013年的20万元上涨到2023年的40万元．下表给出了两种价格增长方式，其中P1是按直线上升的房价，P2是按指数增长的房价，t是2013年以来经过的年数．t05101520P1/万元2040P2/万元2040(1)求函数P1＝f(t)的解析式；(2)求函数P2＝g(t)的解析式；(3)完成上表空格中的数据，并在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种价格增长方式的差异．参考答案及解析：一、选择题1.B 解析：D 中一次函数的增长速度不变，A ，C 中函数的增长速度越来越快，只有B 中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．2.A 解析：结合y ＝2x ，y ＝及y ＝lg x 的图象易知，当x ∈(0，1)时，2x ＞＞lg x ．3.B 解析：在选项B 中，y ＝lg x ＋1在区间[4，10]上单调递增．当x ＝10时，y max ＝2.作出y ＝lg x ＋1与y ＝x 2的图象，如图所示，由图知lg x ＋1＜x2在x ∈[4，10]上恒成立．故B 正确．4.D 解析：由于4个函数均为增函数，且f 1(5)＝52＝25，f 2(5)＝20，f 3(5)＝log 3(5＋1)＝1＋log 32，f 4(5)＝25－1＝31，f 4(5)最大，所以5个小时后丁车在最前面．故选D.5.A 解析：指数函数y ＝ax ，在a ＞1时呈爆炸式增长，并且a 的值越大，增长速度越快．故选A ．6.A 解析：随着自变量每增加1，函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A ．7.D 解析：设该林区的森林原有蓄积量为a ，由题意，ax ＝a(1＋0.104)y ，故y ＝log 1.104x(x ≥1)，所以y ＝f(x)的图象大致为D 中图象．8.C 解析：观察函数f(x)＝，g(x)＝与h(x)＝－2x 在区间(0，＋∞)上的图象(如图)，函数f(x)的图象在区间(0，1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢．同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢．函数h(x)的图象递减速度不变．12x 12x 12log x x1()29.BC 解析：前5 min温度y随x增加而增加，增长速度越来越慢；5 min后，温度y随x的变化曲线是直线，即温度匀速增加，所以B，C正确．故选BC.二、填空题10.答案：y＝x2 解析：当x变大时，x比ln x增长要快，所以x2比x ln x增长要快．11.答案：① 解析：结合三类函数的增长差异可知①的预期收益最大，故填①．12.答案：(1)③ (2)x2－8x＋17 解析：(1)①②均单调，③先减后增，故能较准确反映商场月销售额f (x)与月份x关系的函数模型为③．(2)由f (1)＝10，f (3)＝2，得Error!解得p＝－8，q＝17，所以f (x)＝x2－8x＋17．13.答案：(4)，(1)解析：A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应．三、解答题14.解：由表可以看出增长速度越来越慢，用对数函数模型合理．把(2，1)代入h＝log a(t＋1)中，得a＝3．故h＝log3(t＋1)．当t＝8时，h＝2．故可预测第8年松树高2米．15.解：函数f(x)与g(x)的图象如图所示．根据图象易得，当0≤x ＜4时，f(x)＞g(x)；当x ＝4时，f(x)＝g(x)；当x ＞4时，f(x)＜g(x).16.解：(1)设f(t)＝kt ＋b(k ≠0)，则Error!解得Error!∴P 1＝f(t)＝2t ＋20.(2)设g(t)＝ma t (a ＞0，且a ≠1)，则Error!解得Error!∴P 2＝g(t)＝20×(102)t ＝20×.(3)表格中的数据如下表所示：t 05101520P 1/万元2030405060P 2/万元202024040280画出两个函数的图象如图所示．由图象可以看出，在前10年，按P 1增长的价格始终高于按P 2增长的价格，但10年后，P 2价格增长速度很快，远远超出P 1的价格并且时间越长，差别越大．t 102。
课时作业1：：4.4.3 不同函数增长的差异
4.4.3不同函数增长的差异基础达标一、选择题1.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是()A.y＝5xB.y＝log5xC.y＝x5D.y＝5x解析几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D.答案 D2.如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为()x 45678910y 15171921232527A.一次函数模型B.二次函数模型C.指数函数模型D.对数函数模型解析随着自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型.故选A.答案 A3.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是()解析设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，∴y＝f(x)的图象大致为D中图象.答案 D4.当2<x <4时，2x ，x 2，log 2x 的大小关系是( ) A.2x >x 2>log 2x B.x 2>2x >log 2x C.2x >log 2x >x 2D.x 2>log 2x >2x解析 法一 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y ＝log 2x ，y ＝x 2，y ＝2x 的图象(图略)，在区间(2，4)上从上往下依次是y ＝x 2，y ＝2x ，y ＝log 2x 的图象，所以x 2>2x >log 2x .法二 比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法.可取x ＝3，经检验易知选B. 答案 B5.下面对函数f (x )＝log 12x ，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与h (x )＝x －12在区间(0，＋∞)上的衰减情况说法正确的是( )A.f (x )衰减速度越来越慢，g (x )衰减速度越来越快，h (x )衰减速度越来越慢B.f (x )衰减速度越来越快，g (x )衰减速度越来越慢，h (x )衰减速度越来越快C.f (x )衰减速度越来越慢，g (x )衰减速度越来越慢，h (x )衰减速度越来越慢D.f (x )衰减速度越来越快，g (x )衰减速度越来越快，h (x )衰减速度越来越快解析 观察函数f (x )＝log 12x ，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与h (x )＝x －12在区间(0，＋∞)上的大致图象如图，可知：函数f (x )的图象在区间(0，1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢；同样，函数g (x )的图象在区间(0， ＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h (x )的图象在区间(0，1)上递减较快，但递减速度变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，故选C.答案 C 二、填空题6.函数y ＝x 2与函数y ＝x ln x 在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________.解析当x变大时，x比ln x增长要快，∴x2要比x ln x增长的要快.答案y＝x27.三个变量y1，y2，y3随变量x的变化情况如表：x 1.00 3.00 5.007.009.0011.00y15135625 1 715 3 645 6 655y2529245 2 18919 685177 149y3 5.00 6.10 6.61 6.957.207.40其中关于x呈对数函数型变化的变量是________，呈指数函数型变化的变量是________，呈幂函数型变化的变量是________.解析根据三种模型的变化特点，观察表中数据可知，y2随着x的增大而迅速增加，呈指数函数型变化，y3随着x的增大而增大，但变化缓慢，呈对数函数型变化，y1相对于y2的变化要慢一些，呈幂函数型变化.答案y3y2y18.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程f i(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1).有以下结论：①当x>1时，甲走在最前面；②当x>1时，乙走在最前面；③当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.其中，正确结论的序号为________.解析四个函数的大致图象如图所示，根据图象易知，③④⑤正确.答案 ③④⑤ 三、解答题9.有一种树木栽植五年后可成材.在栽植后五年内，年增加20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案： 甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐. 乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次. 请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材？解 设树林最初栽植量为a ，甲方案在10年后树木产量为y 1＝a (1＋20%)5(1＋10%)5＝a (1.2×1.1)5≈4a . 乙方案在10年后树木产量为： y 2＝2a (1＋20%)5＝2a ×1.25≈4.98a .y 1－y 2＝4a －4.98a <0，因此，乙方案能获得更多的木材(不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算).10.我国的烟花名目繁多，花色品种繁杂.其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂，通过研究，发现该型烟花爆裂时距地面的高度h (单位：米)与时间t (单位：秒)存在函数关系，并得到相关数据如下表：时间t 12 2 4 高度h102517(1)根据上表数据，从下列函数中，选取一个函数描述该型烟花爆裂时距地面的高度h 与时间t 的变化关系；y 1＝kt ＋b ，y 2＝at 2＋bt ＋c ，y 3＝ab t ，确定此函数解析式，并简单说明理由；(2)利用你选取的函数，判断烟花爆裂的最佳时刻，并求出此时烟花距地面的高度.解 (1)由表中数据分析可知，烟花距地面的高度随时间的变化呈先上升再下降的趋势，则在给定的三类函数中，只有y 2可能满足，故选取该函数. 设h (t )＝at 2＋bt ＋c ，有⎩⎪⎨⎪⎧10＝14a ＋12b ＋c ，25＝4a ＋2b ＋c ，17＝16a ＋4b ＋c⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝20，c ＝1.∴h (t )＝－4t 2＋20t ＋1(t ≥0). (2)h (t )＝－4t 2＋20t ＋1＝－4(t 2－5t )＋1＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －522＋26，∴当烟花冲出后2.5 s 时是爆裂的最佳时刻，此时烟花距地面的高度为26米.能力提升11.有甲、乙两家健身中心，两家设备和服务都相当，但收费方式不同.甲中心每小时5元；乙中心按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)90元，超过30小时的部分每小时2元.某人准备下个月从这两家中选择一家进行健身活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时.(1)设在甲中心健身活动x 小时的收费为f (x )元，在乙中心健身活动x 小时的收费为g (x )元，试求f (x )和g (x )； (2)选择哪家比较合算？为什么？ 解 (1)f (x )＝5x ，15≤x ≤40， g (x )＝⎩⎨⎧90，15≤x ≤30，30＋2x ，30<x ≤40.(2)当5x ＝90时，x ＝18， 即当15≤x <18时，f (x )<g (x )； 当x ＝18时，f (x )＝g (x )， 当18<x ≤40时，f (x )>g (x )；所以当15≤x <18时，选甲比较合算；当x ＝18时，两家一样合算；当18<x ≤40时，选乙比较合算.12.已知函数y ＝f (x )是函数y ＝log 2x 的反函数. (1)求y ＝f (x )的解析式；(2)若x ∈(0，＋∞)，试分别写出使不等式： ①log 2x <2x <x 2；②log 2x <x 2<2x 成立的自变量x 的取值范围； (3)求不等式log a (x －3)>log a (5－x )的解集.解 (1)∵函数y ＝f (x )是函数y ＝log 2x 的反函数， ∴f (x )＝2x .(2)作出函数y ＝2x ，y ＝x 2，y ＝log 2x 在同一直角坐标系中的图象，可得：22＝4，24＝42＝16，下面借助图象解决问题.①∵log 2x <2x <x 2，∴2<x <4，解集为(2，4)；②∵log 2x <x 2<2x ，∴0<x <2或x >4，解集为(0，2)∪(4，＋∞). (3)由log a (x －3)>log a (5－x )得，当a >1时，⎩⎨⎧x －3>0，5－x >0，x －3>5－x ，解得4<x <5，当0<a <1时，⎩⎨⎧x －3>0，5－x >0，x －3<5－x ，解得3<x <4，所以，当a >1时，原不等式的解集为(4，5)， 当0<a <1时，原不等式的解集为(3，4).。
2020.11.28.网课：不同函数增长差异
第三课时不同函数增长的差异[做一做]1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．()(2)函数y＝100x比y＝2x增长的速度更快些．()(3)当a＞1，k＞0时，对∀x∈(0，＋∞)，总有log a x＜kx＜a x成立．()答案：(1)√(2)×(3)×2．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是() A．y＝e x B．y＝ln x C．y＝2x D．y＝e－x答案：A3．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是()A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋c C．y＝a·e x＋b D．y＝a ln x＋b解析：选B4．某公司为了适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用()A．一次函数模型B．二次函数模型C．指数函数模型D．对数函数模型答案：DA．y1＝x2，y2＝2x，y3＝log2x B．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x C．y1＝log2x，y2＝x2，y3＝2x D．y1＝2x，y2＝log2x，y3＝x2 [答案] B[跟踪训练]四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程f i(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x＞1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是()A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝2xC．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x 解析：选Df(2019)>g(2019)>g(6)>f(6)[跟踪训练]函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．(1)指出曲线C1，C2分别对应题中哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．解：(1)f(x)＝lg x.(2)当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；当x ∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)．[例3]某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t,120 t,130 t．为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pq x＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？选用函数y＝g(x)＝pq x＋r作为模拟函数较好．[跟踪训练]某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买一种债券，你认为应购买哪种？解：应购买B种债券．[随堂检测]1．下列函数中，增长速度越来越慢的是()A．y＝6x B．y＝log6x C．y＝x6 D．y＝6x解析：选B2．以下四种说法中，正确的是()A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B．对任意的x＞0，x n＞log a xC．对任意的x＞0，a x＞log a xD．不一定存在x0，当x＞x0时，总有a x＞x n＞log a x 解析：选D3．有甲、乙、丙、丁四种不同品牌的自驾车，其跑车时间均为x小时，跑过的路程分别满足关系式：f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log3(x＋1)，f4(x)＝2x－1，则5个小时以后跑在最前面的为()A．甲B．乙C．丙D．丁解析：选D 4．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b 为待定系数)()A．y＝a＋bx B．y＝a＋b x C．y＝ax2＋b D．y＝a＋b x解析：选B5．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________．答案：f(x)＞g(x)[A级基础巩固]1．(多选)下面对函数f(x)＝log12x与g(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫12x在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法中错误的有()A．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快B．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢C．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快解析：选ABD2．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为()解析：选D3．三个变量y1，y2，y3，随着变量x的变化情况如下表：x 1357911y15135625171536456655y2529245218919685177149y35 6. 6. 6.97.27.410 61 85则关于x 分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为( )A ．y 1，y 2，y 3 B ．y 2，y 1，y 3C ．y 3，y 2，y 1D ．y 1，y 3，y 2 解析：选C4．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是()A ．y ＝2x －2 B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC．y＝log2x D．y＝12(x2－1) 解析：选D5．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有() A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2D．y2＞y3＞y1解析：选B6．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型．答案：甲7．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．答案：y＝x28．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应______；B对应_____；C对应______；D对应______．答案：(4)(1)(3)(2)9．画出函数f(x)＝x与函数g(x)＝14x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．解：当0≤x＜4时，f(x)＞g(x)；当x＝4时，f(x)＝g(x)；当x＞4时，f(x)＜g(x)．10.某地发生地震，各地纷纷捐款捐物，甲、乙、丙三个公司分别派代表到慈善总会捐款给灾区.甲公司的代表说：“在10天内，我们公司每天捐款5万元给灾区.”乙公司的代表说：“在10天内，我们公司第1天捐款1万元，以后每天比前一天多捐款1万元.”丙公司的代表说：“在10天内，我们公司第1天捐款0.1万元，以后每天捐款都比前一天翻一番.”你觉得哪个公司在10天内捐款最多？解：丙[B级综合运用]11．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：x 0.50.992.013.98y －0.990.010.982.00则对x，y最适合的拟合函数是()A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 解析：选D12．已知f(x)＝x2－bx＋c且f(0)＝3，f(1＋x)＝f(1－x)，则有()A．f(b x)≥f(c x) B．f(b x)≤f(c x)C．f(b x)<f(c x) D．f(b x)，f(c x)大小不定解析：选B13.如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝a t(t≥0，a＞0且a≠1)的图象．有以下说法：①第4个月时，剩留量就会低于15；②每月减少的有害物质质量都相等；③当剩留量为12，14，18时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.其中所有正确说法的序号是________．答案：①③14．已知函数f(x)＝2x和g(x)＝x3，设两个函数的图象相交于点A(x1，y1)和B(x2，y2)，且x1<x2.若x1∈[a，a ＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出a，b的值，并说明理由．解：a＝1.b＝9.[C级拓展探究]15．某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2015年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示：若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝log 12x＋a.(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2015年和2017年的数据求出相应的解析式；(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2021年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2021年的年产量．解：(1)f(x)＝32x＋52，x∈N.(2)2021年产量9.1万件．。
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课时跟踪检测 （二十七） 不同函数增长的差异层级(一) “四基”落实练1．下列函数中，在(0，＋∞)上增长速度最快的是( ) A ．y ＝x 2 B ．y ＝log 2x C ．y ＝2x D ．y ＝2x答案：D2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )解析：选C 小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.3．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：x 1.99 3 4 5.1 6.12 y1.54.047.51218.01) A ．y ＝2x －2 B ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xC ．y ＝log 2xD ．y ＝12(x 2－1)解析：选D 法一：相邻的自变量之差大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5,3.5,4.5,6，基本上是逐渐增加的，二次曲线拟合程度最好，故选D.法二：比较四个函数值的大小，可以采用特殊值代入法．可取x ＝4，经检验易知选D. 4．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y (万公顷)关于年数x (年)的函数关系较为近似的是()A．y＝0.2x B．y＝110(x2＋2x)C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x解析：选C将x＝1,2,3，y＝0.2,0.4,0.76分别代入验算可知较为近似的是y＝2x10.5．(多选)某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，给出的下列说法正确的是()A．此指数函数的底数为2B．在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m2C．野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2只需1.5个月D．设野生水葫芦蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则有t1＋t2＝t3解析：选ABD易知该指数函数的解析式为f(x)＝2x，所以A正确；当x＝5时，f(5)＝32>30，所以B正确；由f(x1)＝2x1＝4和f(x2)＝2x2＝12，得x1＝2，x2＝log212＝2＋log23，所以x2－x1＝log23>1.5，所以C错误；设2t1＝2,2t2＝3,2t3＝6，则t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，则t1＋t2＝1＋log23＝log2(2×3)＝log26＝t3，所以D正确．6．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．解析：当x变大时，x比ln x增长要快，所以x2要比x ln x增长的要快．答案：y＝x27.在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示．现给出下列说法：①前 5min温度增加的速度越来越快；②前5 min温度增加的速度越来越慢；③5 min以后温度保持匀速增加；④5 min以后温度保持不变．其中正确的说法是________．解析：因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，所以5 min前每当t增加一个单位，相应的增量Δy越来越小，而5 min后是y关于t的增量保持为0，则②④正确．答案：②④8．三个变量y1，y2，y3随变量x的变化情况如表：x 1.00 3.00 5.007.009.0011.00y15135625 1 715 3 645 6 655y2529245 2 18919 685177 149y3 5.00 6.10 6.61 6.957.207.40其中关于x呈对数函数型变化的变量是________，呈指数函数型变化的变量是________，呈幂函数型变化的变量是________．解析：根据三种模型的变化特点，观察表中数据可知，y2随着x的增大而迅速增加，呈指数函数型变化，y3随着x的增大而增大，但变化缓慢，呈对数函数型变化，y1相对于y2的变化要慢一些，呈幂函数型变化．答案：y3y2y19．同一坐标系中，画出函数y＝x＋5和y＝2x的图象，并比较x＋5与2x的大小．解：根据函数y＝x＋5与y＝2x的图象增长差异得：当x＜3时，x＋5＞2x，当x＝3时，x＋5＝2x，当x＞5时，x＋5＜2x.10．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t(天)60100180种植成本Q(元/100 kg)11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿的种植成本Q与上市时间t的变化关系．Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·b t，Q＝a·log b t.利用你选取的函数，回答下列问题：(1)求西红柿种植成本最低时的上市天数．(2)求最低种植成本．解：根据表中数据可知函数不单调，所以Q＝at2＋bt＋c，且开口向上．(1)函数图象的对称轴方程为t＝－b 2a＝60＋1802＝120，所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120.(2)将表格中的数据代入Q＝at2＋bt＋c，得⎩⎪⎨⎪⎧3 600a＋60b＋c＝116，10 000a＋100b＋c＝84，32 400a＋180b＋c＝116，解得⎩⎪⎨⎪⎧b＝－2.4，c＝224，a＝0.01.所以最低种植成本是14 400a＋120b＋c＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80(元/100 kg)．层级(二)素养提升练1．下面对函数f(x)＝log12x，g(x)＝⎝⎛⎭⎫12x与h(x)＝x－12在区间(0，＋∞)上的衰减情况说法正确的是()A．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越慢B．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越快C．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越慢D．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越快解析：选C观察函数f(x)＝log12x，g(x)＝⎝⎛⎭⎫12x与h(x)＝x12－在区间(0，＋∞)上的大致图象如图，可知：函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢；同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，故选C.2．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应______；B对应_____；C 对应______；D对应______．解析：A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C、D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．答案：(4)(1)(3)(2)3．有一种树木栽植五年后可成材．在栽植后五年内，年增加20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐．乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次．请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材？解：设树林最初栽植量为a，甲方案在10年后树木产量为y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5＝a(1.2×1.1)5≈4a.乙方案在10年后树木产量为：y2＝2a(1＋20%)5＝2a×1.25≈4.98a.y1－y2＝4a－4.98a<0，因此，乙方案能获得更多的木材(不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算)．4．某鞋厂从今年1月份开始投产，并且前四个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．由于产品质量好，款式受欢迎，前几个月的产品销售情况良好．为了使推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量．以这四个月的产品数据为依据，用一个函数模拟产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数有三个备选：①一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，②二次函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)，③指数型函数m(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人，假如你是厂长，将会采用什么办法估计以后几个月的产量？解：将已知前四个月的月产量y与月份x的关系记为A(1，1)，B(2,1.2)，C(3,1.3)，D(4,1.37)．①对于一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，将B，C两点的坐标代入，有f(2)＝2k＋b＝1.2，f (3)＝3k ＋b ＝1.3，解得k ＝0.1，b ＝1，故f (x )＝0.1x ＋1.所以f (1)＝1.1，与实际误差为0.1，f (4)＝1.4，与实际误差为0.03.②对于二次函数g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，将A ，B ，C 三点的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝1.2，9a ＋3b ＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.05，b ＝0.35，c ＝0.7，故g (x )＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7.所以g (4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3， 与实际误差为0.07.③对于指数型函数m (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b ＞0，b ≠1)，将A ，B ，C 三点的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝1，ab 2＋c ＝1.2，ab 3＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4.故m (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4.所以m (4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35，与实际误差为0.02.比较上述3个模拟函数的优劣，既要考虑到剩余点的误差值最小，又要考虑生产的实际问题，比如增产的趋势和可能性，可以认为m (x )最佳，一是误差值最小，二是由于新建厂，开始随着工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量明显上升，但到一定时期后，设备不更新，那么产量必然要趋于稳定，而m (x )恰好反映了这种趋势，因此选用m (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4来估计以后几个月的产量比较接近客观实际．。