代数余子式练习题
高等代数竞赛练习题
高等代数竞赛练习题一. 多项式. 计算题：1. 设,12)(234++++=x x x x x f ,122)(23+++=x x x x g 求))(),((x g x f . 答案：辗转相除法求.1))(),((2++=x x x g x f2. 设u x tx x x f +++=23)(及1)1()(23+++=x t x x g 的最大公因式是一个二次多项式,求u t ,. 3. 设)(x f 与)(x g 是有理系数多项式且1))(),((=x g x f ,令)()1()()1()(233x g x x x x f x x -+-+-=ϕ,)()()()1()(22x g x x x f x x -+-=ψ,求))(),((x x ψϕ.4. 设)(),(21x f x f 是首项系数为1的次数3≤的互异多项式,设)()(|13243124x f x x f x x +++,求)(),(21x f x f 的最大公因式.证明题：5. 设一元多项式)(),(),(x h x g x f ,其中1))(),((=x h x f ,且)(x f 与)(x g 被)(x h 除所得余式相等,6. 设数域F 上的多项式)(),(),(x h x g x f ,证明存在:][)(x P x p ∈使得)(|)(x p x f ,且))()((|)(x h x p x g +当且仅当h g f |),(.7. 设][)(),(),(x x h x g x f R ∈,且满足以下等式:0)()2()()1()()1(2=-+-++x g x x f x x h x ,0)()2()()1()()1(2=+++++x g x x f x x h x ,证明: )(|1),(|122x g x x f x ++.8. 证明: 任给非负整数n ,都有))1((|11222++++++n n x xx x .9. 设][)(1110x a x a x a x a x f n n n n Z ∈++++=-- ,证明:若0,a a n 为奇数,且)1(f 及)1(-f 中至少有一个为奇数,则)(x f 无有理根.10. 设)(),(),(x h x g x f 是实系数多项式,满足222xh xg f+=,证明:0===h g f .11. 设p 是素数,a 是整数,1)(++=px ax x f p,且)1(|2+a p ,证明)(x f 没有有理根.12. 证明:如果n 次多项式()f x 满足()()',f x f x 则()f x 有n 重根.13. 设A 是复数域C 上的一个n 阶方阵,()x f 是复数域C 上的一个次数大于0的多项式,()x g 是矩阵A 的最小多项式.试证明:⑴．若()()()()x g x f x d ,=,则秩=)(A d 秩)(A f . ⑵．)(A f 可逆当且仅当()x f 与()x g 互素.二. 行列式. 计算题:1. 计算n 阶行列式x y y y y zx y y y z z x y y z z z x y zzzzx.2. 计算n阶行列式2cos100012cos 100012cos 012cos n D αααα=,其中k απ≠.3. 计算n 阶行列式nn n n nn y x y x y x y x y x y x y x y x y x D ++++++++++++=1112122212121114. 计算n 阶行列式nD 222232222222221=5. 设0132110432340122310112210a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D n n n n n n n n n n n ----------=,称为循环行列式,求其行列式.6. 若3≥n ,求行列式nn n n n n n αααααααααααααααααααααααααααα2sin )sin()sin()sin()sin(2sin )sin()sin()sin()sin(2sin )sin()sin()sin()sin(2sin 321332313232212131211++++++++++++.证明题:7. ∑=+=+++++++++=n j i ij nn n n n n A x A xa x a x a xa x a x a xa x a x a D 1,212221211211 .8. 证明当βα≠时,,1000001000100011βαβαβααββαβααββααββα--=+++++=++n n n D9. 设nij a D =,ij A 为ij a 的代数余子式,证明∑=-=nj i j i ij nn nn n n nn x x A D y y y x a a a x a a a x a a a 1,21212222211112111.10. 若n 阶方阵A 与B 只是第j 列不同,证明:B A B A n+=+-12.三. 矩阵与线性方程组. 计算题1. 问b a ,取何值时方程组1231231234324ax x x x bx x x bx x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有解？有解时求解.2. 若1102510101113010002X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭,求X . 3. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111111111A ,矩阵B 满足*12A B A B -=+,求矩阵B . 4. 设)4,,4(),2,1,(),1,,1(),1,1,1(2321-==-=-=t t t βααα,若β可由321,,ααα线性表出且表示法不唯一,求t 及β的表示法.5. 若n 阶方阵A 的各行元素之和均为零,且1)(-=n A r ,求线性方程组0=AX 的通解.6. 设A 的伴随阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A ,且E XA AXA 311+=--.求X 7, (1) 设n 阶方阵A ,且A A =2,证明:A E 2-可逆. (2) 设n 阶方阵A ,且3)(2A E A A =-,证明A E -可逆.(3) 设n 阶方阵B A ,满足AB B A =+,证明A E -可逆,且BA AB =. 8. 设B A ,为数域F 上的两个n 阶方阵,k 是一个正整数,若0,01=≠+k kBB ,A 可逆,且BA AB =,证明:B A -可逆,并求1)(--B A .证明题9. 设A 是一实矩阵,证明:1) 齐次线性方程组0=AX 与0=AX A T同解. 2) )()(A A r A r T=,3) 方程组B A AX A TT =有解.其中B 是一个s 维列向量.10. 设A 是一n 阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵且011≠A ,证明: 0=AX 有无穷多个解当且仅当0*=X A 有非零解.11. 设A 是数域P 上的一个n m ⨯矩阵,记),,,(21n A ααα =,设β是一个列向量,记),,,,(21βαααn A =为方程组β=AX 的增广矩阵,令),,,(21βααn A =,已知方程组β=AX 有解,证明:方程组β=AX 的任一解的第一个分量为零当且仅当)()(1A r A r <.12. 设向量组m ααα,,,21 线性无关,而向量组m αααβ,,,,21 线性相关,且0≠β,证明:向量组m αααβ,,,,21 中有且仅有一个向量)1(m j j ≤≤α可由其前面的向量121,,,,-j αααβ 线性表出.13. 设n m ⨯矩阵A ,β=AX 是非齐次线性方程组,有解0γ,s ηηη,,,21 是导出组0=AX 的一个基础解系,证明: (1) s ηγηγηγγ+++020100,,,, 是β=AX 的线性无关的解.(2) β=AX 的任一解可表示为s ηγηγηγγ+++020100,,,, 的一个线性组合. 14. (1) 设A 是n 阶方阵,满足A A =2,则存在可逆矩阵P ,使得⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0001rE AP P . 设A 是n 阶方阵,满足E A =2,则存在可逆矩阵P ,使得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--r n rE E AP P 001. 设A 是n 阶方阵,满足02=A ,则存在可逆矩阵P ,使得⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-000001rE AP P . 15. 设B A ,都是n 阶方阵,A A =2,BA AB B B ==,2,证明存在可逆阵G ,使得BG G AG G 11,--同时为对角阵.16. 设A 是一个n 阶可逆矩阵,证明:存在对角元为1的下三角阵L 和上三角阵T ,使得LT A =当且仅当A 的各阶顺序主子式均非零,且上述分解唯一.17. 设F 是一个数域, nm F ∈ααα,,,21 ,s r m =),,,(21ααα ,且m ααα,,,21 中任意s 个向量均线性无关,证明: 1) 若02211=+++m m k k k ααα ,则或者021====m k k k 或者至少存在1+s 个系数全不为零.2) 若m s <,则m ααα,,,21 中任一向量均可由其余向量线性表出.四.二次型部分. 计算题:1. t 取何值时,二次型323121232221321222)(),,(x x x x x x x x x t x x x f -++++=正定. 2. 化二次型23323121321262),,(x x x x x x x x x x f ++-=为标准形3. 用正交线性替换化二次型323121232221844552x x x x x x x x x f --+++=为标准形.4. 设实对称阵,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=510810228211A ,(1) 求A 的特征根及相应的线性无关的特征向量. (2) 求正交阵Q ,使得AQ Q T是对角阵. 5. 设A 是n 阶可逆实矩阵,求⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00T A A B 的正负惯性指数. 6. 用正交线性替换化实二次型323121232221321222),,(x x x x x bx x ax x x x x f +++++=为标准形.证明题:7. 假设AX X f T =是一个实二次型,若有n 维实向量21,X X 使得0,02211<>AX X AX X TT ,证明:存在n 维实向量0X ,使得000=AX X T.8. 下列关于n 阶实对称阵A 的命题等价. (1) A 是正定阵.(2) 存在主对角线元素全等于1的上三角矩阵B ,使得DB B A T=,其中D 是正定对角阵. (3) 存在主对角线元素全为正的上三角阵C ,使得C C A T=.9. 设AX X X f T=)(是实二次型,若A 的前1-n 个顺序主子式11,,-n P P 非零,求证:经过可逆线性变换f 可化为下标准形212212211n n n y P P y P P y P f -+++= ,其中A P n =. 10. (1) 设A 是n 阶半正定阵,求证:对于任意的自然数1>k ,必存在同阶半正定阵B ,使kB A =. (2) 设A 是n 阶正定阵,求证:对于任意的自然数1>k ,必存在同阶正定阵B ,使kB A =. 11. . (1) 设A 是n 阶正定阵,B 是n 阶实对称阵,则存在可逆阵P ,使得E AP P T=,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n T BP P λλλ21,其中i λ是B A 1-的特征值.(2) 设B A ,是n 阶实对称阵,则存在正交阵Q ,使得BQ Q AQ Q TT ,是对角阵⇔BA AB =.五. 线性空间和线性变换部分 计算题:1. 设B A ,均为n 阶方阵s B r r A r ==)(,)(,k B A r =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,设满足0=AX 与0=BX 的n 阶方阵X 组成的解空间分别为21,V V ,求21V V +的维数.2. 已知232212,1,1x x f x f x f +=+=-=是3][x F 的一组基,线性变换σ满足232211,,2x x f x f x f ++==+=σσσ.(1) 求基2,,1x x 到321,,f f f 基的过渡矩阵. (2) 求σ在321,,f f f 基下的矩阵. (3) 求2321x x f ++=在σ下的像.3. 设n 维线性空间V ,线性变换σ,n ααα,,,21 线性无关,i i βσα=,n i ,,2,1 =,设矩阵A 与B 的列向量分别是向量n ααα,,,21 与n n βββββ++-1211,,, 在V 的基n εεε,,,21 下的坐标,求σ在基n εεε,,,21 下的矩阵.4. 已知线性空间3R 的线性变换σ为TTb ac b a ),,0(),,(=σ,其中nTc b a R ∈),,(,(1) 选取3R 的一组基,求σ在基下的矩阵.(2) 求)ker(),(3σσR 及)ker()(3σσ R 的各一组基.5. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=5334111y xA ,已知A 有3个线性无关的特征向量,2=λ是A 的二重特征值,求可逆矩阵P ,使得AP P 1-为对角阵.6. 设矩阵A 是n 阶可对角化矩阵,特征值为n λλλ,,,21 ,求矩阵的⎪⎪⎭⎫⎝⎛A A A A22的特征值. 7. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0110A ,AX X :σ是2R 的一个线性变换,求σ的不变子空间. 8. 设σ是n 维线性空间V 的一个线性变换,取V ∈α,设W 是含α的V 最小σ不变子空间,求W 的维数与一组基.证明题:9. 设nn F⨯是n 阶矩阵组成的线性空间,设},,0|{1nF X AX X V ∈==},,|{n s F X X AX X V ∈==证明21V V F n ⊕=当且仅当A A =2.10. 设nn FA ⨯∈,][)(),(x F x g x f ∈,且1))(),((=x g x f ,令21,,W W W 分别为齐次线性方程组0)()(=X A g A f ,0)(=X A f 与0)(=X B f 的解空间,证明21W W W ⊕=.11. 设)(x f 是数域F 上的一个二次多项式,有互异特征值F ∈21,λλ,V 是F 上的二维线性空间,σ是V 的一个线性变换,满足2,1,=≠i id i λσ,但0)(=σf ,证明: (1)21,λλ是σ的特征值, (2) 21λλV V V ⊕=. 12. 设n 维线性空间V 中的线性变换σ满足等式22E σσ+=,1{2}V Vασαα=∈=-,2{}V V ασαα=∈=,证明:12V V V =⊕.13. 设数域F 上n 阶矩阵A 的特征值n λλλ,,,21 全在F 中,则存在可逆矩阵P ,使得AP P 1-是上三角阵, 14. 设σ是2R 的一个线性变换,在标准基下的矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2211A (1) 证明σ的不变子空间只能为2R 与}0{,(2) 若τ是2C 的一个线性变换,在标准基下的矩阵是A ,证明τ有一维不变子空间. 15. 令σ是数域P 上线性空间V 的一个线性变换,且满足σσ=2,证明: (1) ()()10{|}V σζσζζ-=-∈. (2) ())(01V V σσ⊕=-.首届中国大学生数学竞赛赛区竞赛试卷-高等题目. 1 设nn ⨯C是n n ⨯复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C 上的线性空间,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=--121100020001000a a a a F n n n .(1) 假设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A212222111211,若AF FA =,证明:E a F a F a F a A n n n n 112121111++++=--- . (2) 求nn ⨯C的子空间}|{)(XF FX X F C nn =∈=⨯C的维数.证明: 设A 的列向量组为),,,(21n A ααα =,E a F a Fa F a M n n n n 112121111++++=--- ,证明A 与M 的各列对应相等.设n e e e ,,,21 为n 维单位列向量.证明:)(i i i Ae Me α==.记Tn n a a a ),,(11,---=- β则),,,,(32βn e e e F =,而且n n n e Fe e F e Fe e F e Fe =====--111321221,, . (*)则11121211111)(e E a F a Fa F a Me n n n n ++++=--- 1111122111111111211211111Ae e a e a e a e a Ee a Fe a e F a e F a n n n n n n n n ==++++=++++=-----α .211112Ae AFe FAe FMe MFe Me =====.3121212123Ae e AF Ae F Me F e MF Me =====.如此下去,就有A M =.(2) 由(1), },,,,{)(12-=n F F F E span F C ,设0112210=++++--n n F x F x F x E x ,两边同乘1e ,利用(*)得:11122101)(00e F x F x F x E x e n n --++++== 1111221110e F x e F x Fe x e x n n --++++=n n e x e x e x e x 1322110-++++=由于n e e e ,,,21 线性无关,则01210=====-n x x x x ,故12,,,,-n F F F E 线性无关,为)(F C 的基,从而n F C =)(dim .2. 假设V 是复数域C 上n 维数线性空间)0(>n ,g f ,是V 上的线性变换,若f gf fg =-,证明:f 的特征都是0,且g f ,有公共特征向量.证明: 假设0λ是f 的特征值,W 是相应的特征子空间,即})(|{0ηληη=∈=f V W ,于是W 在f 下是不变的.先证明: 00=λ,任取非零向量W ∈η,记m 为使得)(,),(),(,2ηηηηm g g g 线性相关的最小的正整数,则当10-≤≤m i 时, )(,),(),(,2ηηηηi g g g 线性无关, 10-≤≤m i 令)}(,),(),(,{2ηηηηi i g g g span W =,其中}0{0=W ,因此)1(dim m i i W i ≤≤=,并且 ===++21m m m W W W ,显然1)(+⊆i i W W g ,特别的, m W 在g 下是不变的.再证明: m W 在f 下是不变的.事实上由ηλη0)(=f ,知道ηληληηη00)()()()(+=+=g f gf fg . ηληληληληληληληηη002000002)(2)())(())(()()()(++=+++=+=g g g g g fg gfg fg)())(()()()(1111ηηηηη----+=+=k k k k k fg fg g fg gfg fg ,用归纳法可以证明)(ηk fg 可表示为)(,),(),(,2ηηηηk g g g 的线性组合,且)(ηk g 前的系数为0λ.m W 在f 下是不变的.mW f |在基)(,),(),(,12ηηηη-m g g g 下的矩阵是个上三角阵,且对角线元素都是0λ.故mW f |的迹为0λm . f gf fg =-在m W 上仍成立,而gf fg -的迹为零,故00=λm ,从而00=λ.任取W ∈η,由于0)(=ηf ,则0)()()(=+=ηηηf gf fg 故W g ∈η,因此W 在g 下是不变的.从而W 中存在g 的特征向量,这也是g f ,的公共特征向量.。
代数式(压轴必刷30题5种题型专项训练)(解析版)
代数式（压轴必刷30题5种题型专项训练）一．列代数式（共7小题）1．（2022秋•拱墅区月考）现有一张边长为a的大正方形卡片和三张边长为b的小正方形卡片（a＜b＜a），如图1；取出两张小正方形卡片放入大正方形卡片内拼成的图案如图2；再重新用三张小正方形卡片放入大正方形卡片内拼成的图案如图3．则图3中阴影部分的面积为（用含有a，b的代数式表示）；已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大2ab﹣15，则小正方形卡片的面积是．【分析】图2中阴影正方形的边长为（2b﹣a），面积就是（2b﹣a）2；图3中两个阴影部分的面积可以上下拼在一起，也是个正方形，其边长是（a﹣b），面积就是（a﹣b）2．再根据等量关系列方程就可以得出含有a、b的关系式了．【解答】解：图2中阴影部分是正方形，它的边长是（2b﹣a），所以它的面积就是（2b﹣a）2．图3a﹣b），所以它的面积就可以表示为：（a﹣b）2．又因为图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大2ab﹣15，所以可得：（2b﹣a）2+2ab﹣15＝（a﹣b）2，4b2﹣4ab+a2+2ab﹣15＝a2+b2﹣2ab，3b2＝15，b2＝5，故小正方形的面积是5．【点评】本题考查列代数式的能力，用字母表示阴影部分的面积．再根据等量关系进行推导．2．（2022秋•余姚市校级期中）A市、B市和C市分别有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10台．已知调运机器的费用如表所示．设从A市、B市各调x台到D市．（1）C市调运到D市的机器为台（用含x的代数式表示）；（2）B市调运到E市的机器的费用为元（用含x的代数式表示，并化简）；（3）求调运完毕后的总运费（用含x的代数式表示，并化简）；（4）当x＝5和x＝8时，哪种调运方式总运费少？少多少？【分析】（1）用D市需要的总数减去从A市、B市各调的台数即可；（2）求得B市剩下的台数，再乘运费即可；（3）用运送的台数乘运费分别求得各自得运费，再进一步求和即可；（4）把x＝5和x＝8分别代入求得答案即可．【解答】解：（1）C市调运到D市的机器为18﹣2x台；故答案为：（18﹣2x）；（2）B市调运到E市的机器的费用为700（10﹣x）＝（7000﹣700x）元（用含x的代数式表示，并化简）；故答案为：（7000﹣700x）．（3）调运完毕后的总运费为200x+800（10﹣x）+300x+700（10﹣x）+400（18﹣2x）+500[8﹣（18﹣2x）]＝17200﹣800x；（4）当x＝5时，总运费为17200﹣800×5＝13200元；当x＝8时，总运费为17200﹣800×8＝10800元；10800元＜13200元，13200﹣10800＝2400，所以当x＝8时，总运费最少，最少为10800元，少2400元．【点评】此题考查列代数式，题目关系是比较多，理清顺序，正确利用基本数量关系解决问题．3．（2021秋•陕州区期末）某单位在五月份准备组织部分员工到北京旅游，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为2000元/人，两家旅行社同时都对10人以上的团体推出了优惠举措：甲旅行社对每位员工七五折优惠；而乙旅行社是免去一位带队管理员工的费用，其余员工八折优惠．（1）如果设参加旅游的员工共有a（a＞10）人，则甲旅行社的费用为元，乙旅行社的费用为元；（用含a的代数式表示，并化简．）（2）假如这个单位现组织包括管理员工在内的共20名员工到北京旅游，该单位选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由．（3）如果计划在五月份外出旅游七天，设最中间一天的日期为a，则这七天的日期之和为．（用含a的代数式表示，并化简．）（4）假如这七天的日期之和为63的倍数，则他们可能于五月几号出发？（写出所有符合条件的可能性，并写出简单的计算过程．）【分析】（1）由题意得，甲旅行社的费用＝2000×0.75a；乙旅行社的费用＝2000×0.8（a﹣1），再对两个式子进行化简即可；（2）将a＝20代入（1）中的代数式，比较费用较少的比较优惠；（3）设最中间一天的日期为a，分别用含有a的式子表示其他六天，然后求和即可；根据前面求得七天的日期之和的求得最中间的那个日期，然后分别求得当为63的1倍，2倍，3倍时，日期分别是什么即可．【解答】解：（1）由题意得，甲旅行社的费用＝2000×0.75a＝1500a；乙旅行社的费用＝2000×0.8（a﹣1）＝1600a﹣1600；故答案为1500a．（1600a﹣1600）．（2）将a＝20代入得，甲旅行社的费用＝1500×20＝30000（元）；乙旅行社的费用＝1600×20﹣＝30400（元）∵30000＜30400元∴甲旅行社更优惠；（3）设最中间一天的日期为a，则这七天分别为：a﹣3，a﹣2，a﹣1，a，a+1，a+2，a+3∴这七天的日期之和＝（a﹣3）+（a﹣2）+（a﹣1）+a+（a+1）+（a+2）+（a+3）＝7a（4）①设这七天的日期和是63，则7a＝63，a＝9，所以a﹣3＝6，即6号出发；②设这七天的日期和是63的2倍，即126，则7a＝126，a＝18，所以a﹣3＝15，即15号出发；③设这七天的日期和是63的3倍，即189，则7a＝189，a＝27，所以a﹣3＝24，即24号出发；所以他们可能于五月6号或15号或24号出发．【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．4．（2020秋•衢州期中）甲．乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价20元，乒乓球每盒定价5元．现两家商店搞促销活动，甲店的优惠办法是：每买一副乒乓球拍赠一盒乒乓球；乙店的优惠办法是：按定价的9折出售．某班需购买乒乓球拍4副，乒乓球若干盒（不少于4盒）．（1）用代数式表示（所填式子需化简）：当购买乒乓球的盒数为x盒时，在甲店购买需付款元；在乙店购买需付款元．（2）当购买乒乓球盒数为10盒时，到哪家商店购买比较合算？说出你的理由．（3）当购买乒乓球盒数为10盒时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并求出此时需付款几元？【分析】（1）甲店需付费：4副乒乓球拍子费用+（x﹣4）盒乒乓球费用；乙店需付费：（4副乒乓球拍子费用+x盒乒乓球费用）×0.9，把相关数值代入求解即可；（2）把x＝10代入（1）得到的式子计算，比较结果即可；（3）可在甲店购买乒乓球拍子，在乙店购买乒乓球．【解答】解：（1）甲店需付费：4×20+（x﹣4）×5＝80+5x﹣20＝（5x+60）元；乙店需付费：（4×20+x ×5）×0.9＝（4.5x+72）元；故答案为（5x+60）；（4.5x+72）；（2）当x＝10时，甲店需付费5×10+60＝110元；乙店需付费4.5×10+72＝117元，∴到甲商店比较合算；（3）可在甲店购买4副乒乓球拍子，在乙店购买（10﹣4）盒乒乓球，所需费用为：4×20+（10﹣4）×5×0.9＝80+27＝107元．【点评】5．（2021秋•下城区校级期中）从2012年7月1日起某市执行新版居民阶梯电价，小明同学家收到了新政后的第一张电费单，小明爸爸说：“小明，请你计算一下，这个月的电费支出与新政前相比是多了还是少了？”于是小明上网了解了有关电费的收费情况，得到如下两表：2004年1月至2012年6月执行的收费标准：2012年7月起执行的收费标准：（1）若小明家2012年7月份的用电量为200度，则小明家7月份的电费支出是多少元？比新政前少了多少元？（2）若新政后小明家的月用电量为a度，请你用含a的代数式表示当月的电费支出．【分析】（1）根据表格中的数据可以计算出小明家2012年7月份的用电量为200度时当月的电费支出和新政前用电量为200度时当月的电费支出，从而可以解答本题；（2）根据表格中的数据可以分别用代数式表示出各个阶段的电费支出．【解答】解：（1）由题意可得，小明家2012年7月份的用电量为200度，小明家7月份的电费支出是：200×0.53＝106（元），新政前，用电200度电费支出为：50×0.53+（200﹣50）×0.56＝110.5（元），∵110.5﹣106＝4.5（元），∴新政后比新政前少华4.5元，即若小明家2012年7月份的用电量为200度，则小明家7月份的电费支出是106元，比新政前少了4.5元；（2）由题意可得，当0≤a≤230时，小明家当月的电费支出为：0.53a，当230＜a≤400时，小明家当月的电费支出为：0.53×230+（a﹣230）×0.58＝0.58a﹣11.5，当a＞400时，小明家当月的电费支出为：0.53×230+0.58×（400﹣230）+0.83×（a﹣400）＝0.83a﹣111.5，由上可得，新政后小明家的月用电量为a度，当月支出的费用为：．【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．6．（2023秋•海曙区校级期中）小明去文具用品商店给同学买某品牌水性笔，已知甲、乙两商店都有该品牌的水性笔且标价都是1.50元/支，但甲、乙两商店的优惠条件却不同．甲商店：若购买不超过10支，则按标价付款；若一次购10支以上，则超过10支的部分按标价的60%付款．乙商店：按标价的80%付款．在水性笔的质量等因素相同的条件下．（1）设小明要购买的该品牌笔数是x（x＞10）支，请用含x的式子分别表示在甲、乙两个商店购买该品牌笔的费用；（2）若小明要购买该品牌笔30支，你认为在甲、乙两商店中，到哪个商店购买比较省钱？说明理由．【分析】（1）先求出甲商店10支水性笔的价钱，然后再求出超过10支的部分的价钱，然后列出代数式；乙商店每支水性笔的价钱是1.5×0.8元，那么x支的价钱是1.5×0.8×x元；（2）把x＝30代入即可得到答案．【解答】解：（1）在甲商店需要：10×1.5+0.6×1.5×（x﹣10）＝0.9x+6（元），在乙商店需要：1.5×0.8×x＝1.2x（元），（2）当x＝30时，0.9x+6＝33，1.2x＝36，因为33＜36，所以小明要买30支笔应到甲商店买比较省钱．【点评】本题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．7．（2021秋•临海市月考）大客车上原有（3a﹣b）人，中途下车一半人，又上车若干人，使车上共有乘客（8a﹣5b）人．问中途上车乘客是多少人？当a＝10，b＝8时，上车乘客是多少人？【分析】原有（3a﹣b）人，中途下车（3a﹣b）人，又上车若干人后车上共有乘客（8a﹣5b）人．中途上车乘客数＝车上共有乘客数﹣中途下车人数，所以中途上车乘客为，把a＝10，b＝8代入上式可得上车乘客人数．【解答】解：中途上车乘客是（8a﹣5b）﹣（3a﹣b）＝（人），当a＝10，b＝8时，上车乘客是29人．【点评】要分析透题中的数量关系：中途上车乘客数＝车上共有乘客数﹣中途下车人数，用代数式表示各个量后代入即可．二．代数式求值（共7小题）8．（2023秋•西湖区期中）已知|m|＝3，|n|＝2，且m＜n，求m2+mn+n2的值．【分析】先利用绝对值的性质求得m、n的值，然后根据m＜n分类计算即可．【解答】解：由题意可得，m＝±2，n＝±2，又∵m＜n，∴m＝﹣3，n＝2 或m＝﹣3，n＝﹣2，当m＝﹣3，n＝2时，原式＝（﹣3）2+（﹣3）×2+22＝9﹣6+4＝7；当m＝﹣3，n＝﹣2时，原式＝（﹣3）2+（﹣3）×（﹣2）+（﹣2）2＝9+6+4＝19．【点评】本题主要考查的是求代数式的值，求得m、n的值是解题的关键．9．（2022秋•阳新县期中）某电器商销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价800元，电磁炉每台定价200元，“十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．方案一：买一台微波炉送一台电磁炉；方案二：微波炉和电磁炉都按定价的90%付款．现某客户要到该卖场购买微波炉10台，电磁炉x台（x＞10）．（1）若该客户按方案一、方案二购买，分别需付款多少元？（用含x的式子表示）（2）若x＝30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？（3）当x＝30时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．并计算需付款多少元？【分析】（1）根据题目提供的两种不同的付款方式列出代数式即可；（2）将x＝30代入求得的代数式中即可得到费用，然后比较即可得到选择哪种方案更合算；（3）根据题意考可以得到先按方案一购买10台微波炉送10台电磁炉，再按方案二购买20台电磁炉更合算．【解答】解：（1）800×10+200x﹣10）＝200x+6000（元），（800×10+200x）×90%＝180x+7200（元）；（2）当x＝30时，方案一：200×30+6000＝12000（元），方案二：180×30+7200＝12600（元），所以，按方案一购买较合算．（3）先按方案一购买10台微波炉送10台电磁炉，再按方案二购买20台电磁炉，共10×800+200×20×90%＝11600（元）．【点评】本题考查了列代数式和求代数式的值的相关的题目，解题的关键是认真分析题目并正确的列出代数式．10．（2022秋•吴兴区期中）电动车厂计划每天平均生产n辆电动车（每周工作五天），而实际产量与计划产量相比有出入，下表记录了某周五个工作日每天实际产量情况（超过计划产量记为正、少于计划产量记为负）：（1）用含n的整式表示本周五天生产电动车的总数；（2）该厂实行每日计件工资制，每生产一辆车可得200元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖55元；少生产一辆扣60元，当n＝50时，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？（3）若将上面第（2）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，当n ＝50时，在此方式下这一周工人的工资总额与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由．【分析】（1）根据正负数的意义分别表示出5天的生产电动车的数量，再求和即可；（2）5天的生产电动车的总数×200元+超出部分的奖励﹣罚款可得工人这一周的工资总额；（3）计算出一周的工资，然后与（2）中数据进行比较即可．【解答】解：（1）n+5+n﹣1+n﹣6+n+13+n﹣2＝5n+9；（2）当n＝50时，5n+9＝5×50+9＝259，200×259+55（5+13）+60（﹣1﹣6﹣2）＝52250，所以该厂工人这一周的工资总额是52250元．（3）5+（﹣1）+（﹣6）+13+（﹣2）＝9，259×200+9×55＝52295，∵52250＜52295，∴每周计件工资制一周工人的工资总额更多．【点评】此题主要考查了由实际问题列代数式，关键是正确理解题意，掌握每日计件工资制的计算方法．11．（2021秋•镇海区校级期中）周末小明陪爸爸去陶瓷商城购买一些茶壶和一些茶杯，了解情况后发现甲、乙两家商店都在出售两种同样品牌的茶壶和茶杯，定价相同，茶壶每把定价40元，茶杯每只定价5元，且两家都有优惠，甲商店买一送一大酬宾（买一把茶壶送一只茶杯），乙商店全场九折优惠，小明的爸爸需茶壶5把，茶杯a只（不少于25只）（1）分别用含有a的代数式表示在甲、乙两家商店购买所需的费用；（2）当a＝40时，在甲、乙哪个商店购买付款较少？请说明理由．（3）若小明的爸爸准备了1800元钱，在甲、乙哪个商店购买的茶杯多？请说明理由．【分析】（1）根据实际付款数得到甲店购买需付款为5（a﹣5）+40×5＝（5a+175）（元），乙店购买需付款为（5a+40×5）×0.9＝（4.5a+180）（元）；（2）将a＝40分别代入（1）中所求的两式子，得出的值在哪家少就在那家买；（3）令甲乙的付款数都为1800，然后解方程5a+175＝1800和4.5a+135＝1800，根据a的大小进行判断．【解答】解：（1）设购买茶杯a只（不少于25只），甲商店买一送一大酬宾（买一把茶壶送一只茶杯），且茶壶每把定价40元，茶杯每只定价5元，故在甲店购买需付：5（a﹣5）+40×5＝（5a+175）（元）；乙商店全场九折优惠，故在乙店购买需付：（5a+40×5）×0.9＝（4.5a+180）（元）；（2）在乙商店购买付钱较少．理由如下：当a＝40时，在甲店购买需付：5×40+175＝375元，在乙店购买需付：4.5×40+180＝360元，∵375＞360，∴在乙商店购买付款较少；（3由5a+175＝1800，得a＝325；由4.5a+180＝1800，得a＝360．所以在乙商店购买的茶杯多．【点评】本题考查了一元一次方程在经济问题中的运用以及买东西的优惠问题，注意细心求解即可．12．（2023秋•下城区校级月考）如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为4时，求最后输出的结果y是．【分析】根据题中的程序流程图，将x＝4代入计算，得到结果为﹣2小于1，将x＝﹣2代入计算得到结果为1，将x＝1代入计算得到结果大于1，即可得到最后输出的结果．【解答】解：输入x＝4，代入（x2﹣8）×（﹣）得：（16﹣8）×（﹣）＝﹣2＜1，将x＝﹣2代入（x2﹣8）×（﹣）得：（4﹣8）×（﹣）＝1＝1，将x＝1代入（x2﹣8）×（﹣）得：（1﹣8）×（﹣）＝＞1，则输出的结果为．故答案为：．【点评】此题考查了代数式求值，弄清题中的程序流程是解本题的关键．13．（2021秋•诸暨市期中）若在运动会颁奖台上面及两侧铺上地毯（如图阴影部分），长为m，宽为n，高为h，（单位为：cm）（1）用m，n，h表示需要地毯的面积；（2）若m＝160，n＝60，h＝80，求地毯的面积．【分析】（1）根据平移计算出地毯总长，然后再根据长×宽可得面积；（2）把已知数据代入（1）中求出答案．【解答】解：（1）地毯的面积为：mn+2nh；（2）地毯总长：80×2+160＝320（cm），320×60＝19200（cm2），答：地毯的面积为19200cm2．【点评】此题主要考查了生活中的平移现象、代数式求值，关键是掌握平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．14．（2021秋•椒江区校级期中）历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）（f可用其它字母，但不同的字母表示不同的多项式）形式来表示，例如f（x）＝x2+3x﹣5，把x＝某数时多项式的值用f（某数）来表示．例如x＝﹣1时多项式x2+3x﹣5的值记为f（﹣1）＝（﹣1）2+3×（﹣1）﹣5＝﹣7．已知g（x）＝﹣2x2﹣3x+1，h（x）＝ax3+2x2﹣x﹣12．（1）求g（﹣2）值；（2）若h（）＝﹣11，求g（a）的值．【分析】（1）根据举的例子把x＝﹣2代入求出即可；（2）把x＝代入h（x）＝ax3+2x2﹣x﹣12得出一个关于a的方程，求出a的值，把a的值代入g（x）＝﹣2x2﹣3x+1即可．【解答】解：（1）g（﹣2）＝﹣2×（﹣2）2﹣3×（﹣2）+1＝﹣2×4﹣3×（﹣2）+1＝﹣8+6+1＝﹣1；（2）∵h（）＝﹣11，∴a×（）3+2×（）2﹣﹣12＝﹣11，解得：a＝1，即a＝8∴g（a）＝﹣2×82﹣3×8+1＝﹣2×64﹣24+1＝﹣128﹣24+1＝﹣151．【点评】本题考查了有理数的混合运算和新定义，关键是培养学生的阅读能力和理解能力，也培养学生的计算能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．三．多项式（共1小题）15．（2021秋•越城区期中）关于x的多项式﹣5x2﹣（2m﹣1）x2+（2﹣3n）x﹣1中不含二次项和一次项时，求m、n的值．【分析】利用多项式的定义得出二次项与一次项系数为0，进而求出即可．【解答】解：∵关于x的多项式﹣5x2﹣（2m﹣1）x2+（2﹣3n）x﹣1中不含二次项和一次项，∴﹣5﹣（2m﹣1）＝0，2﹣3n＝0，解得：m＝﹣2，n＝．【点评】此题主要考查了多项式的定义，得出各项系数之间关系是解题关键．四．整式的加减（共9小题）16．（2020秋•西湖区校级期末）定义：若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数．（1）3与是关于1的平衡数，5﹣x与是关于1的平衡数．（用含x的代数式表示）（2）若a＝2x2﹣3（x2+x）+4，b＝2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]，判断a与b是否是关于1的平衡数，并说明理由．【分析】（1）由平衡数的定义可求得答案；（2）计算a+b是否等于2即可．【解答】解：（1）设3的关于1的平衡数为a，则3+a＝2，解得a＝﹣1，∴3与﹣1是关于1的平衡数，设5﹣x的关于1的平衡数为b，则5﹣x+b＝2，解得b＝2﹣（5﹣x）＝x﹣3，∴5﹣x与x﹣3是关于1故答案为：﹣1；x﹣3；（2）a与b不是关于1的平衡数，理由如下：∵a＝2x2﹣3（x2+x）+4，b＝2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]，∴a+b＝2x2﹣3（x2+x）+4+2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]＝2x2﹣3x2﹣3x+4+2x﹣3x+4x+x2+2＝6≠2，∴a与b不是关于1的平衡数．【点评】本题主要考查整式的加减，理解题目中所给平衡数的定义是解题的关键．17．（2021秋•婺城区校级期中）已知整式M＝x2+5ax﹣x﹣1，整式M与整式N之差是3x2+4ax﹣x （1）求出整式N；（2）若a是常数，且2M+N的值与x无关，求a的值．【分析】（1）根据题意，可得N＝（x2+5ax﹣x﹣1）﹣（3x2+4ax﹣x），去括号合并即可；（2）把M与N代入2M+N，去括号合并得到最简结果，由结果与x值无关，求出a的值即可．【解答】解：（1）N＝（x2+5ax﹣x﹣1）﹣（3x2+4ax﹣x）＝x2+5ax﹣x﹣1﹣3x2﹣4ax+x＝﹣2x2+ax﹣1；（2）∵M＝x2+5ax﹣x﹣1，N＝﹣2x2+ax﹣1，∴2M+N＝2（x2+5ax﹣x﹣1）+（﹣2x2+ax﹣1）＝2x2+10ax﹣2x﹣2﹣2x2+ax﹣1＝（11a﹣2）x﹣3，由结果与x值无关，得到11a﹣2＝0，解得：a＝．【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握去括号与合并同类项法则是解本题的关键．18．（2021秋•临海市校级期中）已知：A＝2a2+3ab﹣2a﹣1，B＝﹣a2+ab﹣1．（1）求3A+6B；（2）若3A+6B的值与a的取值无关，求b的值；（3）如果A+2B+C＝0，则C的表达式是多少？【分析】（1）先把A、B的表达式代入，再去括号，合并同类项即可；（2）根据（1）中3A+6B的表达式，再令a的系数等于0，求出b的值即可；（3）先把A、B C的表达式即可．【解答】解：（1）∵A＝2a2+3ab﹣2a﹣1，B＝﹣a2+ab﹣1，∴3A+6B＝3（2a2+3ab﹣2a﹣1）+6（﹣a2+ab﹣1）＝6a2+9ab﹣6a﹣3﹣6a2+6ab﹣6＝15ab﹣6a﹣9；（2）3A+6B＝15ab﹣6a﹣9＝a（15b﹣6）﹣9，∵3A+6B的值与a无关，∴15b﹣6＝0，∴b＝；（3）∵A＝2a2+3ab﹣2a﹣1，B＝﹣a2+ab﹣1，A+2B+C＝0，∴C＝﹣A﹣2B＝﹣（2a2+3ab﹣2a﹣1）﹣2（﹣a2+ab﹣1）＝﹣2a2﹣3ab+2a+1+2a2﹣2ab+2＝﹣5ab+2a+3．【点评】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．19．（2020秋•奉化区校级期末）已知多项式A＝2x2﹣xy+my﹣8，B＝﹣nx2+xy+y+7，A﹣2B中不含有x2项和y项，求n m+mn的值．【分析】把A与B代入A﹣2B中，去括号合并得到最简结果，由结果不含有x2项和y项求出m与n的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：∵A＝2x2﹣xy+my﹣8，B＝﹣nx2+xy+y+7，∴A﹣2B＝2x2﹣xy+my﹣8+2nx2﹣2xy﹣2y﹣14＝（2+2n）x2﹣3xy+（m﹣2）y﹣22，由结果不含有x2项和y项，得到2+2n＝0，m﹣2＝0，解得：m＝2，n＝﹣1，则原式＝1﹣2＝﹣1．【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键．20．（2021秋•嵊州市期中）一个三位数，它的百位上的数比十位上的数的2倍大1，个位上的数比十位上的数的3倍小1．如果把这个三位数的百位上的数字和个位上的数字对调，那么得到的三位数比原来的三位数大99，求这个三位数．【分析】x，则这个数是100（2x+1）+10x+（3x﹣1），把这个三位数的百位上的数字和个位上的数字对调后的数为100（3x﹣1）+10x+（2x+1），根据新数减去原数等于99建立方程求解．【解答】解：由题意设十位上的数为x，则这个数是100（2x+1）+10x+（3x﹣1），把这个三位数的百位上的数字和个位上的数字对调后的数为100（3x﹣1）+10x+（2x+1），则100（3x﹣1）+10x+（2x+1）﹣[100（2x+1）+10x+（3x﹣1）]＝99，解得x＝3．所以这个数是738．【点评】本题利用了整式来表示每位上的数，整式的减法，建立方程求解．21．（2021秋•嵊州市期中）符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法规为：＝ad﹣bc．（1）计算：＝；（直接写出答案）（2）化简二阶行列式：．【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；（2）原式利用题中的新定义化简，去括号合并即可得到结果．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式＝10﹣12＝﹣2；故答案为：﹣2；（2）根据题中的新定义得：原式＝（a+2b）（a﹣2b）﹣4b（0.5a﹣b）＝a2﹣4b2﹣2ab+4b2＝a2﹣2ab．【点评】此题考查了整式的加减，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．（2023秋•象山县校级期中）已知：A＝ax2+x﹣1，B＝3x2﹣2x+4（a为常数）．（1）若A与B的和中不含x2项，求出a的值；（2）在（1）的基础上化简：B﹣2A．【分析】（1）A与B的和中不含x2项，即x2项的系数为0，依此求得a的值；（2）先将表示A与B的式子代入B﹣2A，再去括号合并同类项．【解答】解：（1）A+B＝ax2+x﹣1+3x2﹣2x+4＝（a+3）x2﹣x+3，∵A与B的和中不含x2项，∴a+3＝0，则a＝﹣3；（2）B﹣2A＝3x2﹣2x+4﹣2×（﹣3x2+x﹣1）＝3x2﹣2x+4+6x2﹣2x+2＝9x2﹣4x+6．【点评】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握多项式加减的运算法则，合并同类项的法则．23．（2020秋•婺城区期末）已知A﹣2B＝7a2﹣7ab，且B＝﹣4a2+6ab+7．（1）用含a，b的代数式表示A．（2）若|a+1|+（b﹣2）2＝0，求A的值．【分析】（1）表示出A，然后去掉括号，再根据整式的加减运算方法进行计算即可得解；（2）根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入进行计算即可得解．【解答】解：（1）∵A﹣2B＝7a2﹣7ab，∴A＝7a2﹣7ab+2B，＝7a2﹣7ab+2（﹣4a2+6ab+7）＝7a2﹣7ab﹣8a2+12ab+14＝﹣a2+5ab+14；（2）根据题意得，a+1＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣1，b＝2，∴A＝﹣a2+5ab+14＝﹣（﹣1）2+5×（﹣1）×2+14＝﹣1﹣10+14＝3．【点评】本题考查了整式的加减，代数式求值，非负数的性质，实质就是去括号，合并同类项的过程，熟记去括号法则和合并同类项法则是解题的关键．24．（2022秋•鄞州区校级期中）已知A＝3x2+3y2﹣5xy，B＝2xy﹣3y2+4x2．（1）化简：2B﹣A；（2）已知﹣a|x﹣2|b2与ab y是同类项，求2B﹣A的值．【分析】（1）把A与B代入2B﹣A中，去括号合并即可得到结果；（2）利用同类项的定义求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：（1）∵A＝3x2+3y2﹣5xy，B＝2xy﹣3y2+4x2，∴2B﹣A＝2（2xy﹣3y2+4x2）﹣（3x2+3y2﹣5xy）＝4xy﹣6y2+8x2﹣3x2﹣3y2+5xy＝5x2+9xy﹣9y2；（2）∵﹣a|x﹣2|b2与ab y的同类项，∴|x﹣2|＝1，y＝2，解得：x＝3或x＝1，y＝2，当x＝3，y＝2时，原式＝45+54﹣36＝63；当x＝1，y＝2时，原式＝5+18﹣36＝﹣13．【点评】此题考查了整式的加减，以及同类项，熟练掌握运算法则是解本题的关键．五．整式的加减—化简求值（共6小题）25．（2020秋•永嘉县校级期末）先化简再求值：2（x2+3y）﹣（2x2+3y﹣x），其中x＝1，y＝﹣2．【分析】先去括号，再合并同类项即可化简原式，继而将x、y的值代入计算可得．【解答】解：原式＝2x2+6y﹣2x2﹣3y+x＝3y+x，当x＝1、y＝﹣2时，原式＝3×（﹣2）+1＝﹣6+1＝﹣5．【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算整式加减运算顺序和法则是解本题的关键．26．（2020秋•诸暨市期中）化简求值：5（3a2b﹣2ab2）﹣4（﹣2ab2+3a2b），其中a＝﹣2，b＝1．【分析】原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝（15a2b﹣10ab2）﹣（﹣8ab2+12a2b）＝15a2b﹣10ab2+8ab2﹣12a2b＝3a2b﹣2ab2，当a＝﹣2，b＝1时，原式＝16．【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．27．（2020秋•富阳区期中）化简并求值：[2b2﹣3+2（a2﹣1）]﹣（4a2﹣3b2），其中a＝﹣2，b＝1．【分析】原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝2b2﹣3+2a2﹣2﹣4a2+3b2＝5b2﹣2a2﹣5，当a＝﹣2，b＝1时，原式＝5﹣8﹣5＝﹣8．【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．28．（2020秋•温州月考）求多项式的值，其中x＝5，y＝﹣8．【分析】原式去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝﹣xy+x2﹣3x2+xy＝﹣2x2，当x＝5时，原式＝﹣50．【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．29．（2020秋•长兴县期末）先化简，再求值：2（a2﹣ab）﹣3（a2﹣ab﹣1），其中a＝﹣2，b＝3．【分析】原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝2a2﹣2ab﹣2a2+3ab+3＝ab+3，当a＝﹣2，b＝3时，原式＝﹣6+3＝﹣3．【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．30．（2021秋•椒江区校级期中）已知|x+2|+（y﹣）2＝0，求代数式（x3+2x2y）+x3﹣（﹣3x2y+5xy2）﹣（7﹣5xy2）的值．【分析】原式去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值．【解答】解：∵|x+2|+（y﹣）2＝0，∴x＝﹣2，y＝，则原式＝x3+2x2y+x3+3x2y﹣5xy2﹣7+5xy2＝x3+5x2y﹣7＝﹣8+10﹣7＝﹣5．【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。
线性代数-章节知识点及习题
第一章 行列式一、教学要求1、了解行列式定义；2、掌握行列式的性质和展开法则；3、会利用化三角法和行列式展开法则计算低阶行列式以及简单n 阶行列式；4、了解克莱姆法则；重点、难点：熟练运用行列式性质，掌握行列式计算方法二、主要知识点及练习 1、 行列式性111213111112132122232121222331323331313233223=1223=223a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ，则。
练习：若行列式---311234=1303=101313a b c a b c ，则。
练习：若行列式+++2、 代数余子式13122,112D x x D=则中的系数为。
练习：设行列式11111111x x 是关于的一次多项式，该式中的一次项系数是。
练习：--- 3、 行列式计算1） 对角线法------计算二阶、三阶行列式212103214111213212223313233--、a a a a a a a a a 练习：计算三阶行列式2） 利用行列式性质计算行列式------将行列式化为上三角、下三角、对角行列式222222222(1)(2)(1)(2)(2)(1)(2)11231123(3)(4)11131121(1)ab b b x x x ba b b y y y bb a b z z z b b b ax ab ac aex bd cdde x bf cfefx 练习：计算下列行列、式、、的值+++++++-+-+-+3） 利用行列式展开法计算行列式------将行列式降阶0110100111011110练习：四阶行列式。
=11121314313233441111123456224816123434D A A A A A A A A 练习：已知行列式，则，。
==+++=++--+=123,1,3D A A 练习：设三阶行列式的第二行元素分别为,,第一行元素的代数余子式的值分别为,,则。
代数余子式
D ,当 i = j , ∑ aik Ajk = Dδ ij = 0 ,当 i ≠ j; k =1
n
1 ,当 i = j， 其中 δ ij = 0 ,当 i ≠ j .
思考题
设n阶行列式
1 1 Dn = 1 ⋮ 1 2 2 0 ⋮ 0 3 0 3 ⋮ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ n 0 0 ⋮ n
a22 ⋯ a2 n ⋮ ⋮ an 2 ⋯ ann
1+1
即有 D = a11 M 11 . 又 从而
A11 = (− 1)
M 11 = M 11 ,
D = a11 A11 .
在证一般情形, 在证一般情形 此时
a11 ⋯ a1 j ⋯ a1n ⋮ D= 0 ⋮ ⋮ aij ⋯ aij ⋮ ⋮ ⋯ 0 ⋮
1 = ( x 2 − x1 )( x 3 − x1 )⋯( x n − x1 ) x2 ⋮
n x2 −2
1 x3 ⋮
⋯ ⋯
1 xn ⋮
n n x3 −2 ⋯ xn −2
n-1阶范德蒙德行列式 阶范德蒙德行列式
∴ Dn = ( x 2 − x1 )( x 3 − x1 )⋯( x n − x1 ) =
A12 = (− 1) M 12 = − M 12 . a11 a12 a13 M 44 = a21 a22 a23 , A44 = (− 1)4+ 4 M 44 = M 44 . a31 a32 a33
行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式.
阶行列式， 引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 外都为零， 元素除 a ij外都为零，那末这行列式等于 a ij 与它的 代数余子式的乘积， 代数余子式的乘积，即 D = a ij Aij ． a11 a12 a13 a14 例如 D =
(2021年整理)线性代数1-2章精选练习题
线性代数1-2章精选练习题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（线性代数1-2章精选练习题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 （ ）。
(A) 24315 (B ） 14325 (C ） 41523 （D ）24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k ， 则排列12j j j n 的逆序数是（ )。
(A ）k (B ）k n - (C)k n -2! （D)k n n --2)1(3。
n 阶行列式的展开式中含1122a a 的项共有( )项。
（A ） 0 （B)2-n (C) )!2(-n （D) )!1(-n4．=0001001001001000( )。
（A) 0 (B)1- (C ） 1 (D ） 25. =0001100000100100（ ）。
(A) 0 （B ）1- （C ） 1 （D) 26．在函数10323211112)(x x x xx f ----=中3x 项的系数是( ）。
（A) 0 (B)1- （C) 1 (D ） 27。
若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ ）.（A) 4 （B ） 4- （C ） 2 (D ） 2- 8．若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( )。
《线性代数》复习要点及练习
第一章 行列式复习要点：1. 会计算逆序数，余子式，代数余子式2. 熟练掌握行列式的性质，并能利用性质计算行列式3. 掌握克莱姆法则练习题：1. 排列1 6 5 3 4 2的逆序数是（ ）.A. 8 B ．9 C ．7 D ． 62122.431235-的代数余子式12A 是（ ）.A 2143-- B2143- C 4125--D4125-3. 排列32514的逆序数是（ ）.A. 3B. 4C. 5D. 64.关于行列式，下列命题错误的是（ ）.A. 行列式第一行乘以2，同时第二列除以2，行列式的值不变 B ．互换行列式的第一行和第三行，行列式的值不变 C ．互换行列式的任意两列，行列式仅仅改变符号 D ． 行列式可以按任意一行展开 5. 关于行列式，下列命题正确的是（ ）.A. 任何一个行列式都与它的转置行列式相等B ．互换行列式的任意两行所得到的行列式一定与原行列式相等C ．如果行列式有一行的所有元素都是1，则这个行列式等于零D ． 以上命题都不对6. 关于行列式，下列正确的是（ ）.A. 如果行列式有一行的所有元素都是1，则这个行列式等于零.B. 互换行列式的任意两行所得到的行列式一定与原行列式相等.C. 行列式中有两行对应成比例，则此行列式为零.D. 行列式与它的转置行列式互为相反数.7. 下列命题错误的是（ ）.A. 如果线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组有唯一解 B ．如果线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组无解 C ．如果齐次线性方程组的系数行列式等于零，则该方程组有非零解 D ．如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组只有零解8212431235-的余子式32M =————，代数余子式32A =—————— 9. 已知k341k 000k 1-=，则k =__________.10. 若52k 74356=，则k =__________.11. 计算行列式|12345006|=_________ 12. 计算行列式|1111123413610141020| 13.计算行列式53-120172520-23100-4-14002350D =14. 计算行列式1234248737124088D =15.计算行列式x yyxx x y y yx x y+++第二章 矩阵复习要点：1. 掌握矩阵的线性运算，矩阵乘法运算律，转置矩阵的运算律，2. 掌握矩阵的初等变换3. 掌握方阵行列式的性质，转置矩阵的性质，逆矩阵的性质4. 会求逆矩阵.了解待定系数法和伴随矩阵法，掌握用初等变换求解逆矩阵相关问题.能够证明矩阵的可逆性.5. 会用初等行变换求矩阵的秩6. 会求解矩阵方程练习题：1. 设A ，B 均为n 阶可逆阵，则下列公式成立的是( ). A T T T B A AB =)( B T T T B A B A +=+)( C 111)(---=B A AB D 111)(---+=+B A B A2. A,B 均为n 阶方阵，若要22(A B)(A B)A B +-=-不成立，需满足（ ）.A. A=E B ．B=O C ．A=B D ． AB ≠BA 3. 若方阵2A A,=A 不是单位方阵，则（ ）.A. A 0= B ． A 0≠ C ．A O = D ．A O ≠4.若矩阵111A 121231⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪λ+⎝⎭的秩为2，则λ=（ ）. A. 0 B ． 2 C ．1 D ． -15.矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=32015431A 的秩是（ ） 6. 110201211344⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭ 的秩是（ ）7. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321212113A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111012111B 求AB 和BA8. 设矩阵，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1021A 求32A A ，. 9. 设矩阵521320A ,B 341201--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，求T T T(1)AB ;(2)B A;(3)A A.10.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=210111121A ，求逆矩阵11. 223110121⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭.，求逆矩阵 12. 求矩阵X , 使B AX =, 其中.341352,343122321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A13. 求解矩阵方程,X A AX += 其中.010312022⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A.B AX X ,B ,A . 132231 11312221414=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=使求设15. 已知n 阶方阵A 满足矩阵方程2A 3A 2E O --=,其中A 给定，E 为n 阶单位矩阵，证明A 可逆，并求1A -. 16. 设A 、B 为n 阶矩阵，2A B AB E --=，2A A =，其中E 为n 阶单位矩阵.证明：A B -为可逆矩阵，并求()1A B --.17. 设方阵A 满足22A A E O --=，证明A 及2A E +都可逆.第三章 线性方程组复习要点：1. 熟练掌握方程组解无解/有解/有唯一解/有无穷多解的充要条件2. 会求向量组的秩；能够验证向量组的线性相关性；会求向量组的极大线性无关组，并可以将其他向量用极大无关组线性表示.3. 熟练掌握基础解系的求解3. 会求解齐次线性方程组的通解，会求非齐次线性方程组的通解和特解练习题：1. 若线性方程组Ax b =的增广矩阵为B 23124010012⎛⎫ ⎪→λλ ⎪ ⎪λ-λ-⎝⎭，当常数λ=（ ）时，此线性方程组有唯一解.A. -1 B ．0 C ．1 D ． 22. 已知n 元线性方程组b Ax =，其增广矩阵为B ，当（ ）时，线性方程组有解.A. ()n B r =B. ()n B r ≠C. ()()B r A r =D. ()()B r A r ≠3. 若线性方程组Ax b =的增广矩阵为B 23124010012⎛⎫ ⎪→λλ ⎪ ⎪λ-λ-⎝⎭，当常数λ=（ ）时，此线性方程组有唯一解.A. -1 B ．0 C ．1 D ． 24. 设A 为m×n 矩阵，齐次线性方程组Ax =0仅有零解的充分必要条件是 系数矩阵的秩r (A )（ ）A. 小于mB. 小于nC. 等于mD. 等于n5. 已知向量组1,,m αα线性相关，则（ ）.A 、该向量组的任何部分组必线性相关.B 、该向量组的任何部分组必线性无关.C 、该向量组的秩小于m .D 、该向量组的最大线性无关组是唯一的.6. 如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式D _____0. ( = 或 ≠)7. 已知线性方程组Ax b =有解，若系数矩阵A 的秩r(A)=4,则增广矩阵B 的r(B)=__________.8. 若线性方程组Ax b =的增广矩阵为B 312400120012⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪λ⎝⎭，则当常数λ=__________时，此线性方程组有无穷多解.9. 若线性方程组Ax b =的增广矩阵为B 300200a 11⎛⎫→ ⎪+⎝⎭，则当常数a =__________时，此线性方程组无解.10.λ取何值时，非齐次线性方程组 1231232123+1++x x x x x x x x x λλλλλ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩（1）有唯一解（2）无解（3）有无穷多解？ 取何值时，线性方程组当 11..λ ()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++3313123321321321x λλx x λλx x λλx λx x x λ 有唯一解、无解、无穷多解？当方程组有无穷多解时求出它的解.12.求下列方程组的通解.236222323754325432154321⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=-+++=++++x x x x x x x x x x x x x x13. 判断下列向量组的线性相关性：（1）1234=-1,3,2,5=3-1,0-4=2,2,2,2=1,5,4,6αααα（），（，，），（），（）（2）1234=1,1,3,1=10,00=2,2,7,-1=3,-1,2,4αααα（），（，，），（），（） 14. 已知向量组()()()()T4T3T2T13 2 10 0 10 1 11 1 1α-====,,α,,,α,,,α,,,,求向量组的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.15. 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---140113*********12211的列向量组()54321α,α,α,α,α的一个极大无关组,并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示.16. 试证若向量组γβα,,线性无关, 则向量组,βα+,γβ+αγ+亦线性无关. 17. 已知向量321ααα，，线性无关，证明向量11232βααα=+-,2123312βαααβαα=--=+，也是线性无关的。
07线性代数练习题(含答案)
习题线性代数练习题一、单项选择题111011011．行列式 ( )10110111A. 1B. 3C. －1D. －3a10２．行列式b40a2b300b2a30b10（） 0a4A. a1a2a3a4 b1b2b3b4B.a1a2a3a4 b1b2b3b4C. (a1a2 b1b2)(a3a4 b3b4)D. (a1a4 b1b4)(a2a3 b2b3) ３、在下列矩阵中，可逆的是（）000 A. 010 001 110 011C. 121110B. 220 001 100 111D. 101４、A是n阶方阵，且A 0，则A中（）A．必有一列元素全为0 B．必有两列元素成比例C．必有一列向量是其余列向量的线性组合D．任一列向量是其余列向量的线性组合５．对任意n阶方阵A、B总有（）A.AB=BAB.|AB|=|BA|TTT222C.(AB)=ABD.(AB)=AB ６、设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC=En，则必有（）（A）ACB=En (B)BCA=En (C)CBA=En (D)BAC=En ７、设有m维向量组(I)： 1, 2, , n，则（）A.当m<n时，(I)一定线性相关B.当m>n时，(I)一定线性相关C.当m<n时，(I)一定线性无关D.当m>n时，(I)一定线性相关８．设A是m n矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是（）A.A的行向量组线性无关 B.A的行向量组线性相关 C.A的列向量组线性无关 D.A的列向量组线性相关-1９．设A是3阶方阵，且|A|=-2，则|A|等于（）习题A.-2B.11C. 22D.2* 1１０．设A,B均是n阶方阵， 2,B 3，则2AB （）2n 122n 12n 12nn2 （A）（B）( 1) （C）（D） 333 3（A是A的伴随矩阵）*1 111 的秩为2，则 =（）１１．设矩阵A= 1223 1A.2C.0B.1 D.-1１２．设A是三阶矩阵，有特征值1，-1，2，则下列矩阵中可逆矩阵是（） A. E-A B. E+A C. 2E-A D. 2E+A222１３．二次型f(x1,x2,x3) x1 3x2 4x3 6x1x2 10x2x3的矩阵是（ C ）A. 330 50 4 130C. 335 05 4160B. 0310 00 4 0 16 D. 6310 010 4二、填空题（每小题4分，共20分）012１．行列式123的值为 .234２、=x+1 -1 1 -13.设A 022x123 4 1,已知矩阵A的秩r(A)=2,则x４．已知A 2A 2E 0,则(A E) (其中E是n阶单位阵)习题1 1 0 1５、初等矩阵A 0 1 0 ,A0 0 100F６．设 A G13G24H2I, 则 A0JJ0K等于1 1 1 11 1 1 1 ,A的非零特征值为７、A1 1 1 1 1 1 1 1T８、向量组 1 1 -1 2 4 , 2 (0 3 1 2),T3 (3 0 7 14)T，4 (1 -1 2 0)T,5 (2 1 5 6)T的秩为。
线性代数练习卷1-340
一、选择题(每题2分，共20分)1. 若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=λ++=+λ+=++λ000321321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ（ ）.A . 1或2B . －1或－2C . 1或－2D . －1或22. 已知4阶矩阵A 的第三列元素依次为1,3,2,2-，它们的余子式的值分别为3,2,1,1-，则=A （）. A .5 B .-5 C .-3 D .33. 设A 、B 均为n 阶矩阵，满足O AB =，则必有（ ）.A .0=+B A B .））B r A r ((=C .O A =或O B =D .0=A 或0=B4. 设21β,β是非齐次线性方程组b X A =的两个解向量，则下列向量中仍为该方程组解的是（ ）.A ．21+ββB ．()212351ββ+ C ．()21221ββ+ D ．21ββ-5. 以下乘积中（ ）是4阶行列式ij D a =中取负号的项.A .11233344a a a aB .14233142a a a aC ．12233144a a a aD .23413211a a a a6．下列行列式的值不一定为零的是（ ）.A ．行列式中每行元素之和为aB ．n 阶行列式中，零的个数多于2n n -个C ．行列式中两行元素完全相同D ．行列式中两行元素成比例7．设,,A B C 为n 阶方阵，则下列方阵中为对称矩阵的是（ ）.A ．T A A - B. T AA C ．T CAC D ．()T AA B8．下列矩阵中,不为初等矩阵的是( ).A ．001010100⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ B ．100010301⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ C ．100010001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ D ．100020001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭9. n 元齐次线性方程组0Ax =的系数矩阵A 的秩为r ，则它有非零解的充要条件是（ ）.A. r n =B. r n <C. r n ≥D. r n >10. 下列论述错误的是( ).A. 含有零向量的向量组必线性相关B. n+1个n 维向量构成的向量组必线性相关C. 向量组12,,,m ααα中的每一个向量i α都可以由该向量组线性表示D. 向量组A ：1α、2α、… 、m α(2)m ≥线性相关的充要条件是向量组中每一个向量可由其余m-1个向量线性表示二、填空题(每题3分，共24分)1. 排列953876421的逆序数为 .2．设11223524A t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的秩为2，则t = . 3．已知111213212223313233a a a a a a m a a a =，则111112132121222331313233453453453a a a a a a a a a a a a -+-+=-+ . 4．设12,ηη为三元非齐次线性方程组AX b =的两个不同解，且()2r A =，则AX b =的通解为 .5．设102113A -⎛⎫= ⎪⎝⎭,112013B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则T AB = . 6. 设矩阵1200230000320022A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则10||A = . 7. 设方阵A 满足20A A E ++=，则1()A E -+= .8. 设A 为5阶方阵，且3A =，则1*T A A A A -= .三、计算题(每小题8分，共40分)1．计算行列式1123010130231211D --=--. 2. 计算n 阶行列式121121121121n n n n n n n ax x x x ax x D x x a x x x x a ------=.（对角线元素都为a ，每行其余元素为1x 至1n x -） 3. 设矩阵1410,1102P D ---⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，矩阵A 满足关系式D AP P =-1，试求5A .4．求向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0221,8451,6352,2130,421154321ααααα的秩与它的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示.5．已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+++=+++a x x x x x x x x x x x x 4321432143219105363132，（1）问a 为何值时方程组有解？（2）当方程组有解时求出它的通解（用解的结构表示）.四、综合题(每小题8分，共16分)1．设,A B 均为n 阶方阵. 证明：AB 可逆当且仅当,A B 均可逆，并求1()AB -.2．一个投资者想把1万元钱投入给3个企业1A 2A 3A ，所得利润率分别为12%，15%，22%，他想得到2000元的利润．(1) 如果投入给2A 的钱是投入给1A 的2倍，那么应当分别给1A 2A 3A 投资多少？(2) 可不可以投给3A 的钱等于投给1A 2A 的钱的和？。