冲刺2019高考数学二轮复习核心考点特色突破专题：11基本不等式及其应用(含解析)

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冲刺2019高考数学二轮复习核心考点：11基本不等式及其应用(含解析)

专题11 基本不等式及其应用【自主热身，归纳总结】1、已知a>0, b>0，且2a ＋3b ＝ab ，则ab 的最小值是________．【答案】：2 6【解析】利用基本不等式，化和的形式为积的形式．因为ab ＝2a ＋3b≥22a ·3b ，所以ab ≥26，当且仅当2a ＝3b＝6时，取等号． 2、已知正数,x y 满足22x y +=，则8x yxy+的最小值为．【答案】9 【解析】：=9．3、已知正实数，y 满足，则y 的最小值为．【答案】： 263-4、已知a ，b 为正数，且直线 a ＋by －6＝0与直线 2＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，则2a ＋3b 的最小值为________．【答案】25【解析】：由于直线a ＋by －6＝0与直线2＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，所以a (b －3)＝2b ，即2a ＋3b＝1(a ，b 均为正数)，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝13＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥13＋6×2b a ×a b ＝25(当且仅当b a ＝ab即a ＝b ＝5时取等号)． 5、已知正实数,x y 满足，则x y +的最小值为．【答案】8【解析】：因为,0x y >，所以10y +>．又因为，所以10x ->，所以，当且仅当，即5,3x y ==时等号成立．易错警示在应用基本不等式时，要注意它使用的三个条件“一正二定三相等”．另外，在应用基本不等式时，要注意整体思想的应用．6、设实数，y 满足2＋2y －1＝0，则2＋y 2的最小值是________．【答案】5－12思路分析1 注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度;思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值．注意中消去y 较易，所以消去y .解法1 由2＋2y －1＝0得y ＝1－x 22x ，从而2＋y 2＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 22x 2＝5x 24＋14x 2－12≥2516－12＝5－12，当且仅当＝±415时等号成立．思路分析2 由所求的结论2＋y 2想到将条件应用基本不等式，构造出2＋y 2，然后将2＋y 2求解出;．解法2 由2＋2y －1＝0得1－2＝2y ≤m 2＋ny 2，其中mn ＝1(m ，n >0)，所以(m ＋1)2＋ny 2≥1，令m ＋1＝n ，与mn ＝1联立解得m ＝5－12，n ＝5＋12，从而2＋y 2≥15＋12＝5－12. 7、若正实数x y ，满足1x y +=，则4y x y+的最小值是 ▲ ．【答案】、8【解析】：因为正实数x y ，满足1x y +=，所以，当且仅当4y x x y=，即2y x =，又1x y +=，即，等号成立，即4y x y+取得最小值8. 8、若实数，y 满足y ＋3＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜12，则3x ＋1y －3的最小值为________．【答案】： 8解法1 因为实数，y 满足y ＋3＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x －3(y ＞3)，所以3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6≥2y －31y －3＋6＝8，当且仅当y －3＝1y －3，即y ＝4时取等号，此时＝37，所以3x ＋1y －3的最小值为8.解法2 因为实数，y 满足y ＋3＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x －3(y ＞3)，y －3＝3x －6＞0，所以3x ＋1y －3＝3x ＋13x －6＝3x －6＋13x －6＋6≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －6·13x－6＋6＝8，当且仅当3x －6＝13x－6，即＝37时取等号，此时y ＝4，所以3x ＋1y －3的最小值为8.解后反思从消元的角度看，可以利用等式y ＋3＝3消“实数”或消“实数y ”，无论用哪种消元方式，消元后的式子结构特征明显，利用基本不等式的条件成熟．9、已知正数a ，b 满足1a ＋9b＝ab －5，则ab 的最小值为________．【答案】. 36【解析】：因为正数a ，b 满足1a ＋9b ＝ab －5，所以ab －5≥29ab，当且仅当9a ＝b 时等号成立，即ab －5ab －6≥0，解得ab ≥6或ab ≤－1(舍去)，因此ab ≥36，从而(ab )min ＝36. 10、已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin αsin β，则tan α的最大值是________．【答案】2411、已知正数，y 满足1x ＋1y ＝1，则4x x －1＋9yy －1的最小值为________．【答案】25【解析】：因为1y ＝1－1x ，所以4x x －1＋9y y －1＝4x x －1＋91－1y＝4x x －1＋9＝4＋4x －1＋9(－1)＋9＝13＋4x －1＋9(－1)＝13＋4x －1＋9(－1)．又因为1y ＝1－1x >0，所以>1，同理y >1，所以13＋4x －1＋9(－1)≥13＋24×9＝25，当且仅当＝53时取等号，所以4x x －1＋9yy －1的最小值为25.12、已知a ＋b ＝2，b ＞0，当12|a |＋|a |b 取最小值时，实数a 的值是________．【答案】：－2解法1 12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥－14＋2b 4|a |·|a |b ＝34，当且仅当a ＜0，且b 4|a |＝|a |b，即a ＝－2，b ＝4时取等号．解法2 因为a ＋b ＝2，b ＞0，所以12|a |＋|a |b ＝12|a |＋|a |2－a (a ＜2)．设f (a )＝12|a |＋|a |2－a(a ＜2)，则f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋a 2－a，0≤a ＜2，－12a －a2－a ，a ＜0.)当a ＜0时，f (a )＝－12a －a 2－a ，从而f ′(a )＝12a 2－2a －22＝3a －2a ＋22a 2a －22，故当a ＜－2时，f ′(a )＜0；当－2＜a ＜0时，f ′(a )＞0，故f (a )在(－∞，－2)上是减函数，在(－2，0)上是增函数，故当a ＝－2时，f (a )取得极小值34；同理，当0≤a ＜2时，函数f (a )在a ＝23处取得极小值54.综上，当a ＝－2时，f (a )min ＝34.【问题探究，变式训练】;例1、已知正数，y 满足＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________．【答案】： 94解法1 令＋2＝a ，y ＋1＝b ，则a ＋b ＝4(a ＞2，b ＞1)，4a ＋1b ＝14(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4b a ＋a b ≥14(5＋4)＝94，当且仅当a ＝83，b ＝43，即＝23，y ＝13时取等号．解法2 (幂平均不等式)设a ＝＋2，b ＝y ＋1，则4x ＋2＋1y ＋1＝4a ＋1b ＝22a ＋12b ≥1＋22a ＋b ＝94. 解法3 (常数代换)设a ＝＋2，b ＝y ＋1，则4x ＋2＋1y ＋1＝4a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b 4b ＝54＋b a ＋a 4b ≥94，当且仅当a ＝2b 时取等号．【变式1】、已知实数，y 满足>y >0，且＋y ≤2，则2x ＋3y ＋1x －y的最小值为________．【答案】3＋224设⎩⎨⎧x ＋3y ＝m ，x －y ＝n .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋3n 4，y ＝m －n4.所以＋y ＝m ＋n2≤2，即m ＋n ≤4.设t ＝2x ＋3y ＋1x －y ＝2m ＋1n，所以4t ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1n (m ＋n )＝3＋2n m ＋m n ≥3＋2 2.即t ≥3＋224，当且仅当2n m ＝m n ，即m ＝2n 时取等号．【变式2】、已知，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋yx ＋y 的最大值为．.【答案】：43【解析1】：令，从而得，故，当且仅当2a b =，即2y x =时等号成立。

2019年高考数学总复习专题基本不等式及其应用导学案理

第四节基本不等式及其应用最新考纲1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 知识梳理 1.重要不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )(当且仅当a ＝b 时等号成立)．2.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数. 基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3.几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.(2)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.(3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (4)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 4.利用基本不等式求最值已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).5.不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f (x )在区间D 上存在最小值，则不等式f (x )＞A 在区间D 上恒成立⇔f (x )min ＞A ；若f (x )在区间D 上存在最大值，则不等式f (x )＜B 在区间D 上恒成立⇔f (x )max ＜B .(2)能成立问题：若f (x )在区间D 上存在最大值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )＞A 成立⇔f (x )max ＞A ；若f (x )在区间D 上存在最小值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )＜B 成立⇔f (x )min ＜B . (3)恰成立问题：不等式f (x )＞A 恰在区间D 上成立⇔f (x )＞A 的解集为D ；不等式f (x )＜B 恰在区间D 上成立⇔f (x )＜B 的解集为D . 典型例题考点一利用基本不等式证明不等式的方法【例1】已知x ＞0，y ＞0，z ＞0，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥8.【证明】∵x ＞0，y ＞0，z ＞0，∴y x ＋z x≥2yz x＞0，x y ＋z y≥2xz y＞0，x z ＋y z≥2xyz＞0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥8yz ·xz ·xy xyz ＝8，当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立．规律方法 (1)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式．对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．(2)利用基本不等式对所证明的不等式中的某些部分放大或者缩小，在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性．【变式训练1】已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c≥9.【证明】∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．考点二直接法或配凑法求最值【例2】(1)已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A ．13 B ．12 C ．34 D ．23【答案】C【解析】∵0<x <1，∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋－x 22＝34，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，“＝”成立．(2)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 【答案】C【解析】∵x >2，∴x －2>0， ∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2·x －1x －2＋2＝2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即(x －2)2＝1时，等号成立， ∴x ＝1或3.又∵x >2，∴x ＝3，即a ＝3.(3)已知x ＜54，求f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值；(4) 设0<x <52，则函数y ＝4x (5－2x )的最大值为________．【答案】252【解析】因为0<x <52，所以5－2x >0，所以y ＝4x (5－2x )＝2×2x (5－2x )≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5－2x 22＝252，当且仅当2x ＝5－2x ，即x ＝54时等号成立，故函数y ＝4x (5－2x )的最大值为252.规律方法 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.【变式训练2】(1)[2015·湖南高考]若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A ． 2B ．2C ．2 2D ．4【答案】C【解析】由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.(2)若对任意的x ≥1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________. 【答案】⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12. (3)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.【答案】23＋2.【解析】y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立. 考点三常数代换或消元法求最值【例3】（1）已知m >0，n >0,2m ＋n ＝1，则1m ＋2n的最小值为____.【答案】8.【解析】∵2m ＋n ＝1，∴1m ＋2n ＝(1m ＋2n )·(2m ＋n )＝4＋n m ＋4mn≥4＋2n m ·4mn＝8. 当且仅当n m ＝4m n ，即n ＝12，m ＝14时，“＝”成立． (2)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________. 【答案】5.【解析】法一由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5,当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立，∴3x ＋4y 的最小值是5.法二由x ＋3y ＝5xy ，得x ＝3y 5y －1，∵x >0，y >0，∴y >15，∴3x ＋4y ＝9y 5y －1＋4y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15＋95＋45－4y5⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15＋4y ＝135＋95·15y －15＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15≥135＋23625＝5，当且仅当y ＝12时等号成立，∴(3x ＋4y )min ＝5. (3)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. 【答案】6.【解析】)由已知得x ＝9－3y1＋y .法一 (消元法)因为x ＞0，y ＞0，所以0＜y ＜3，所以x ＋3y ＝9－3y1＋y ＋3y＝121＋y＋3(y ＋1)－6≥2121＋y·3（y ＋1）－6＝6，当且仅当121＋y ＝3(y ＋1)，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6.法二 ∵x ＞0，y ＞0，9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时等号成立.设x ＋3y ＝t ＞0，则t 2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0，又∵t ＞0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6 （4）已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b的最小值为________．【答案】4.【解析】 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·a b ＝4，即1a ＋1b 的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．【题点发散1】本例的条件不变，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b 的最小值为____【答案】9.【解析】⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ·⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋b a ·⎝⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，当且仅当a ＝b＝12时，取等号．【题点发散2】若将本例中的“a ＋b ＝1”换为“a ＋2b ＝3”，如何求解？【答案】1＋223.【解析】∵a ＋2b ＝3，∴13a ＋23b ＝1.∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋23b ＝13＋23＋a 3b ＋2b3a≥1＋22ab 9ab ＝1＋223. 当且仅当a ＝2b ＝32－3时，取等号．故1a ＋1b 的最小值为1＋223. 规律方法求条件最值注意的问题(1)要敏锐的洞察到已知条件与要求式子的联系，并能灵活进行转化； (2)常用的技巧有：“1”的代换，配凑法，放缩法，换元法．y ＝x ＋100x＋1.5≥2x ·100x＋1.5＝21.5，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时取等号．故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．课堂总结1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.3.对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋mx(m >0)的单调性. 课后作业1.已知a ＞0，b ＞0，且4a ＋b ＝1，则ab 的最大值为________．【答案】116.【解析】法一：∵a ＞0，b ＞0,4a ＋b ＝1，∴1＝4a ＋b ≥24ab ＝4ab ，当且仅当4a ＝b ＝12，即a ＝18，b ＝12时，等号成立．∴ab ≤14，∴ab ≤116.∴ab 的最大值为116.法二：∵4a ＋b ＝1，∴ab ＝14·4a ·b ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋b 22＝116，当且仅当4a ＝b ＝12，即a ＝18，b ＝12(满足a ＞0，b ＞0)时，等号成立，∴ab 的最大值为116.2.[2017·山东高考]若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________．【答案】8.【解析】∵直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，∴1a ＋2b ＝1，∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝4＋4a b ＋b a ≥4＋24a b·ba＝8，当且仅当b a ＝4ab，即a ＝2，b ＝4时，等号成立．故2a ＋b 的最小值为8. 3.已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是________．【答案】3.【解析】由x 2＋2xy －3＝0得y ＝3－x 22x ＝32x －12x ，则2x ＋y ＝2x ＋32x －12x ＝3x 2＋32x≥23x 2·32x＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以2x ＋y 的最小值为3.4.设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82 【答案】C. 【解析】xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1822＝81，当且仅当x ＝y ＝9时等号成立，故选C.5．若2x＋4y＝4，则x ＋2y 的最大值是___. 【答案】2.【解析】因为4＝2x＋4y＝2x＋22y≥22x ×22y ＝22x ＋2y，所以2x ＋2y≤4＝22，即x ＋2y ≤2，当且仅当2x ＝22y＝2，即x ＝2y ＝1时，x ＋2y 取得最大值2.6．[2017·江苏高考]某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．【答案】 307．函数y ＝2x ＋1x －1(x >1)的最小值为________．【答案】 22＋2 【解析】因为y ＝2x ＋1x －1(x >1)，所以y ＝2x ＋1x －1＝2(x －1)＋1x －1＋2≥2＋2x －1x －1＝22＋2.当且仅当x ＝1＋22时取等号，故函数y ＝2x ＋1x －1(x >1)的最小值为22＋2. 8．若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是 ( )A.43B.53C ．2D.54【答案】C【解析】由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2.9．函数y ＝^x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2【答案】A【解析】 ∵x ＞1，∴x －1＞0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋x －＋3x －1＝x －2＋x －＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1＋2＝23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号． 10．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x －2x 的最大值．【答案】(1)－52；(2) 2.【解析】 (1)∵x <32，∴2x －3<0，∴3－2x >0，∴y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2x ＋163－2x ＋32≤－12·2－2x163－2x ＋32＝－4＋32＝－52，当且仅当3－2x ＝163－2x ，即x ＝－12时，y max ＝－52.∴函数y 的最大值为－52.(2)∵0<x <2,4－2x >0， ∴y ＝x－2x ＝12·2x －2x ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋4－2x 22＝2，当且仅当2x ＝4－2x ，即x ＝1时，y max ＝ 2. 11．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．【答案】(1)64；(2)18.【解析】(1)∵x >0，y >0,2x ＋8y －xy ＝0， ∴xy ＝2x ＋8y ≥216xy ＝8xy ，∴xy (xy －8)≥0，又xy ≥0，∴xy ≥8即xy ≥64.当且仅当x ＝4y 即8y ＋8y －4y 2＝0时，即y ＝4，x ＝16时取等号，∴xy 的最小值为64. (2)∵2x ＋8y ＝xy >0，∴2y ＋8x＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋8x ＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22x y ·8yx＝18.当且仅当2x y ＝8y x，即x ＝2y 即4y ＋8y －2y 2＝0时，即y ＝6，x ＝12时取等号，∴x ＋y 的最小值为18.12.若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，求： (1)ab 的取值范围； (2)a ＋b 的取值范围．13．某地需要修建一条大型输油管道通过240 km 宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为(x 2＋x )万元．设余下工程的总费用为y 万元． (1)试将y 表示成x 的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y 最小，其最小值为多少？【答案】(1) y ＝96 000x＋240x －160(0＜x ＜240)；(2) 需要修建11个增压站才能使y 最小，其最小值为9440万.【解析】 (1)设需要修建k 个增压站，则(k ＋1)x ＝240，即k ＝240x－1，所以y ＝400k ＋(k ＋1)(x 2＋x )＝400·⎝⎛⎭⎪⎫240x －1＋240x(x 2＋x )＝96 000x ＋240x －160.因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0＜x ＜240. 故y 与x 的函数关系是y ＝96 000x＋240x －160(0＜x ＜240)．(2)y ＝96 000x＋240x －160≥296 000x ·240x －160＝2×4 800－160＝9 440，当且仅当96 000x＝240x ，即x ＝20时等号成立，此时k ＝240x －1＝24020－1＝11.故需要修建11个增压站才能使y 最小，其最小值为9 440万。

2019高考数学二轮复习核心考点特色突破专题11基本不等式及其应用(含解析)

专题基本不等式及其应用【自主热身，归纳总结】、已知>, >，且＋＝，则的最小值是．【答案】：【解析】利用基本不等式，化和的形式为积的形式．因为＝＋≥，所以≥，当且仅当＝＝时，取等号．、已知正数满足，则的最小值为．【答案】【解析】：．、已知正实数，满足，则的最小值为．【答案】：、已知，为正数，且直线＋－＝与直线＋(－)＋＝互相平行，则＋的最小值为．【答案】【解析】：由于直线＋－＝与直线＋(－)＋＝互相平行，所以(－)＝，即＋＝(，均为正数)，所以＋＝(＋)＝＋≥＋×＝(当且仅当＝即＝＝时取等号)．、已知正实数满足，则的最小值为．【答案】【解析】：因为，所以．又因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立．易错警示在应用基本不等式时，要注意它使用的三个条件“一正二定三相等”．另外，在应用基本不等式时，要注意整体思想的应用．、设实数，满足＋－＝，则＋的最小值是．【答案】思路分析注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值．注意中消去较易，所以消去.解法由＋－＝得＝，从而＋＝＋＝＋－≥－＝，当且仅当＝±时等号成立．思路分析由所求的结论＋想到将条件应用基本不等式，构造出＋，然后将＋求解出来．解法由＋－＝得－＝≤＋，其中＝(，>)，所以(＋)＋≥，令＋＝，与＝联立解得＝，＝，从而＋≥＝. 、若正实数满足，则的最小值是▲．【答案】、【解析】：因为正实数满足，所以，当且仅当，即，又，即，等号成立，即取得最小值.、若实数，满足＋＝，则＋的最小值为．【答案】：解法因为实数，满足＋＝，所以＝－(＞)，所以＋＝＋＋＝－＋＋≥＋＝，当且仅当－＝，即＝时取等号，此时＝，所以＋的最小值为.解法因为实数，满足＋＝，所以＝－(＞)，－＝－＞，。

(江苏专用)高考数学二轮总复习常考问题基本不等式及其应用课件文

(2)问探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 至少为多少(平方百米)? 解 (1)BP＝t，CP＝1－t,0≤t≤1.
1－t ∠DAQ＝45° －θ，DQ＝tan(45° －θ)＝， 1＋t 1－t 2t CQ＝1－＝ . 1＋t 1＋t ∴PQ＝ CP2＋CQ2＝
2 2t 1 ＋ t 2 1－t2＋ 1＋t ＝ 1＋t .
144 256 t· t ＝ 3 k.
所示：
日产量 x 次品率 p
80 1 28
81 1 27
82 1 26
„
x
„
98 1 10
99 100 1 9 1 8
„
p(x)
„
1 其中 p(x)＝ (a 为常数)．已知生产一件正品盈利 k a－x k 元，生产一件次品损失3元(k 为给定常数)．
(1)求出a，并将该厂的日盈利额y(元)表示为日产量x(件)的函
热点与突破
热点一利用基本不等式求最值【例 1】 (2013· 金丽衢十二校联考)已知任意非零实数 x， y 满足 3x2＋4xy≤λ(x2＋y2)恒成立，则实数 λ 的最小值为________．
解析
依题意，得 3x2＋4xy≤3x2＋[x2＋(2y)2]＝4(x2＋
2 3 x ＋4xy 2 y )，因此有 2 2 ≤4，当且仅当 x＝2y 时取等号， x ＋y
y＋2 y＋2 3x 3x 1 ＋ x ≥2 ＋ 2 3 ，当且仅当＝ x ，且 x ＋ y＋2 y ＋2 3 ＝1 即 x＝y＝ 3＋1 时，等号成立，故 x＋y 的最 y＋2 小值为 2＋2 3.
答案 2＋2 3
热点二
基本不等式在实际问题中的应用
【例 2】 (2013· 苏锡常镇调研) 如图，有一块边长为 1( 百米 ) 的正方形区域 ABCD，在点 A 处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ 始终为 45° (其中点 P，Q 分别在边 BC，CD 上)，设∠PAB＝θ，tan θ＝ t. (1)用 t 表示出 PQ 的长度，并探求△CPQ 的周长 l 是否为定值．

主题11 不等式性质、不等式解法、线性规划与基本不等式-2019年高考数学二轮透析23题对对碰 Word版含解析

2019届二轮透析高考数学23题对对碰【二轮精品】第一篇主题11 不等式性质、不等式解法、线性规划与基本不等式【主题考法】本主题考题类型为选择题、填空题，以函数、不等式、三角函数等为载体，考查不等式的性质、简单不等式解法、简单线性规划解法和基本不等式（重要不等式）应用等，考查运算求解能力、数形结合思想，难度为基础题或中档题，分值为5至10分．【主题考前回扣】1．一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)．解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ＞0，Δ＝0，Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小．2．一元二次不等式的恒成立问题(1)ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ<0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.3．分式不等式f (x )g (x )＞0(<0)⇔f (x )g (x )＞0(<0)； f (x )g (x )≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≥0(≤0)，g (x )≠0.4．基本不等式(1)a ＋b 2≥ab (a ，b ∈(0，＋∞))，当且仅当a ＝b 时取等号．(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式中“正”、“定”、“等”的条件． 5．线性规划(1)可行域的确定，“线定界，点定域”．(2)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得．(3)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个．【主题考前回扣】1．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错．2．解形如一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a ＞0，a <0进行讨论．3．应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把f (x )g (x )≤0直接转化为f (x )·g (x )≤0，而忽视g (x )≠0.4．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f (x )＝x 2＋2＋1x 2＋2的最值，就不能利用基本不等式求最值；求解函数y ＝x ＋3x (x <0)时应先转化为正数再求解．5．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解． 6．求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y －2x ＋2是指已知区域内的点(x ，y )与点(－2，2)连线的斜率，而(x －1)2＋(y －1)2是指已知区域内的点(x ，y )到点(1,1)的距离的平方等．【主题考向】考向一不等关系与不等式的性质应用【解决法宝】1.判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，有时需要应用相关函数的性质，也可以用作差比较法或作商比较法．2．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题．例1【2019届河北衡水十三中质检（四)】设，，则下列不等式中不一定成立的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】举反例否定D ，而A,B,C 可结合函数与不等式性质给予证明. 【解析】因为在上是增函数，所以，因为-c 在上是减函数，所以，因为,所以，当时,,所以D 不成立，选D.考向二不等式的解法【解决法宝】(1)对于一元二次不等式，首先要看二次项系数a 是否为正，若为负，则将其变为正数，再求相应一元二次方程的根，再利用大于0的不等式在两边，小于零的不等式在中间，写出一元二次不等式的解集．(2)对简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是分别利用实数运算性质、指数函数的单调性、对数函数的单调性等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．(3)对含参数不等式，常用分类讨论的方法，关键是找到对参数进行讨论的原因，确定好分类标准，有理有据、层次清楚地求解．（4）解不等式与集合结合命题时，先解不等式确定集合，再按集合的关系与运算求解．（5）分段函数与不等式结合命题，应注意分段求解．（6）对函数不等式问题，先判断函数图像与性质，再借助函数图象与单调性，将函数不等式化为简单不等式求解，注意函数定义域.例2【河北省唐山市2018届上学期期末】已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，若()20f -=，则满足的x 的取值范围是( )A.B.C.D.【分析】由实数乘积符号法则知不等式等价于或，再由函数()f x 的性质，即可画出函数()f x 的图象，结合函数图象即可列出关于x 的不等式，即可解出x 的范围.考向三不等式恒成立问题【解决法宝】不等式恒成立问题一般用分离参数法转化为函数最值求解或用赋值法讨论求解．注意区分几类问题的解法：①对任意x ∈A ，f(x)>M(或f(x)<M)恒成立；②存在x ∈A ，使f(x)>M(或f(x)<M)成立．例3【2019届浙江省宁波市期末】已知不等式对任意正整数均成立，则实数的取值范围___【分析】首先利用转换思想把分式不等式转换为整式不等式，进一步利用赋值法和集合法求出实数的范围．【解析】由，得：，记.，则或；或，或；或，当时，或，所求范围为.考向四简单线性规划的应用【解决法宝】解简单线性规划的应用基本思路是：画、移、解、代.技巧是：往往在“角点”处取得最值，直接代入点的坐标即可；若目标为非线性，关键点是理解目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义：（1）表示点),(y x 与点),(b a 之间的距离；（2）表示),(y x 到直线距离的22B A +倍；（3）ax by --表示点),(y x 与点),(b a 连线的斜率. 例4【2019届贵州省遵义市绥阳中学模拟(一)】若实数，满足不等式组则的最大值为（）A ．B ．C ．D ．【分析】由约束条件作出可行域，再令，因此要取最大值只需取最小值，结合图像即可得出结果.【解析】由约束条件作出可行域如下，令，所以要取最大值只需取最小值，又可化为，所以表示直线在轴截距的相反数，由图像可得，直线过点时，截距最大，即最小，易得，所以，因此的最大值为4，故选D考向五简单线性规划”逆向”问题，确定参数的取值（范围）【解决法宝】1.当参数在线性规划问题的约束条件中时，作可行域要意应用“过定点的直线系”知识，使直线“初步稳定”，再结合题中的条件进行全方面分析才能准确获得答案.2.在线性规划问题可行域下的恒成立问题，一定要结合“可行域”将“恒成立”加以控制，使之转化为平面区域间关系的恒成立，再进行解答.3.在约束条件中的二元不等式若含有参数且给定了该参数的取值范围的问题，就意味着直线是“动直线”，则应将该动直线运动的“最大”“最小”位置固定下来，根据运动的趋势确定好不同情况下的可行域，再针对解答目标逐步分析方能获解.学-科网4.目标函数中含有参数时，要根据问题的实际意义注意转化成“直线的斜率”、“点到直线的距离”等模型进行讨论研究.例5.【2019届山东省菏泽市一模】已知实数满足约束条件，若目标函数的最大值为2，则的值为（） A ．-1 B ． C ．1 D ．2【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案. 【解析】由约束条件作出可行域如图所示，其中，，，目标函数可化为，当直线过点时最大，所以，解得，故选C考向六基本不等式应用【解决法宝】利用基本不等式求最值时应注意：（1）在应用基本不等式求最值时，要把握三个方法，即“一正——各项（因式）都为正数；二定——和或积为定值；三相等——等号能取等号”，这三个方法缺一不可. （2）若无明显“定值”，则用配凑的方法，使和为定值或积为定值.当多次使用不等式时，一定要注意每次是否保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法. （3）必须掌握的三个不等式：（1）a ，b R ∈，则（当且仅当a b =时取等号）.（2）a ，b R ∈，则（当且仅当a b =时取等号）.（3）a ，b R +∈，则（当且仅当a b =时取等号）。

2019年全国版高考数学必刷题：第十一单元不等式

第十一单元不等式考点一不等式的性质及不等式的解法1.(2017年山东卷)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是( ).A.a+1b 1,0<b<1,所以b 2a <1,log 2(a+b )>log 22√ab =1,2a+1b >a+1b >a+b ⇒a+1b>log 2(a+b ).故选B . 【答案】B2.(2016年北京卷)已知x ,y ∈R ,且x>y>0,则( ).A.1x -1y>0 B.sin x-sin y>0C.(12)x -(12)y <0 D.ln x+ln y>0【解析】∵x>y>0,∴1x <1y ,即1x -1y <0,故A 不正确.当x>y>0时,不能说明sin x>sin y ,如x=π,y=π2,x>y ,但sin π<sin π2,故B 不正确.∵函数y=(12)x 在R 上为减函数,且x>y>0,所以(12)x <(12)y ,即(12)x -(12)y <0,故C 正确.当x=1,y=12时,ln x+ln y<0,故D 不正确.【答案】C3.(2016年全国Ⅰ卷)设集合A={x|x 2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A ∩B=( ).A.(-3,-32)B.(-3,32)C.(1,32)D.(32,3)【解析】因为A={x|1<x<3},B={x |x >32},所以A ∩B={x |32<x <3}=(32,3). 【答案】D4.(2016年全国Ⅲ卷)设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则S ∩T=( ).A.[2,3]B.(-∞,2]∪[3,+∞)C.[3,+∞)D.(0,2]∪[3,+∞)【解析】∵S={x|x ≤2或x ≥3},T={x|x>0},∴S ∩T=(0,2]∪[3,+∞). 【答案】D考点二简单的线性规划5.(2017年全国Ⅱ卷)设x ,y 满足约束条件{2x +3y -3≤0,2x -3y +3≥0,y +3≥0,则z=2x+y 的最小值是( ).A.-15B.-9C.1D.9【解析】由题意知目标区域如图中阴影部分所示,当直线y=-2x+z 过点(-6,-3)时,故所求z 取到最小值为-15.【答案】A6.(2016年山东卷)若变量x ,y 满足{x +y ≤2,2x -3y ≤9,x ≥0,则x 2+y 2的最大值是( ).A.4B.9C.10D.12【解析】由约束条件画出可行域如图(阴影部分)所示,可知x 2+y 2为可行域内的点到原点距离的平方,联立{x +y =2,2x -3y =9,解得交点为(3,-1),结合图形可知(x 2+y 2)max =(√32+(−1)2)2=10. 【答案】C7.(2016年浙江卷)在平面上,过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影.由区域{x -2≤0,x +y ≥0,x -3y +4≥0中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB ,则|AB|=( ). A.2√2B.4C.3√2D.6【解析】画出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示.因为直线x+y=0与直线x+y-2=0平行,且直线x-3y+4=0的斜率k=13<1,所以可行域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段AB 的长度即为图中的线段EF 的长度,所以|EF|=|AB|.联立方程组{x +y =0,x -3y +4=0,解得点E 的坐标为(-1,1);联立方程组{x +y =0,x =2,解得点F 的坐标为(2,-2).所以|EF|=√(2+1)2+(−2−1)2=3√2.【答案】C8.(2017年全国Ⅰ卷)设x ,y 满足约束条件{x +2y ≤1,2x +y ≥−1,x -y ≤0,则z=3x-2y 的最小值为 .【解析】不等式组{x +2y ≤1,2x +y ≥−1,x -y ≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示.由z=3x-2y ,得y=32x-z2,要求z 的最小值,即求直线y=32x-z 2的纵截距的最大值.当直线y=32x-z 2过图中点A 时,纵截距最大,由{2x +y =−1,x +2y =1,解得点A 的坐标为(-1,1),此时z=3×(-1)-2×1=-5. 【答案】-59.(2016年全国Ⅰ卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ,乙材料1 kg ,用5个工时;生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ,乙材料0.3 kg ,用3个工时.生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元,该企业现有甲材料 150 kg ,乙材料90 kg ,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元.【解析】设生产产品A 、产品B 分别为x 件、y 件,利润之和为z 元,由题意得,x ,y 满足的关系为 {1.5x +0.5y ≤150,x +0.3y ≤90,5x +3y ≤600,x ≥0,y ≥0.① 目标函数z=2100x+900y.二元一次不等式组①即{3x +y ≤300,10x +3y ≤900,5x +3y ≤600,x ≥0,y ≥0.②如图所示,作出二元一次不等式组②表示的平面区域(阴影部分). 将z=2100x+900y 变形,得y=-73x+z900,平移直线y=-73x ,当直线y=-73x+z900经过点M 时,z取得最大值.解方程组{10x+3y=900,5x+3y=600,得点M的坐标为(60,100).所以当x=60,y=100时,z max=2100×60+900×100=216000.【答案】216000考点三基本不等式10.(2015年陕西卷)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(√ab),q=f(a+b2),r=12(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是().A.q=r<pB.p=r<qC.q=r>pD.p=r>q【解析】由题意知,p=f(√ab)=ln√ab,q=f(a+b2)=ln(a+b2),r=12(f(a)+f(b))=12(ln a+ln b)=12ln ab=ln√ab.∵b>a>0,∴a+b2>√ab>0.又∵函数f(x)=ln x为增函数,∴p=r<q.【答案】B11.(2017年江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.【解析】一年的总运费与总存储费用之和为6×600x +4x=3600x+4x≥2√3600×4=240,当且仅当3600x=4x,即x=30时取等号.【答案】30高频考点:不等式的性质及应用;解(含参数的)一元二次不等式及一元二次不等式恒成立;解分式、指数、对数不等式;线性规划;基本不等式及其简单应用.命题特点:1.不等式的性质及应用是不等式的基础内容,主要以客观题形式呈现,难度不大.2.解一元二次不等式及分式不等式为容易题,主要以选择题、填空题出现.常与集合的交集、并集、补集结合,难度不大;解(含参数的)一元二次不等式及一元二次不等式恒成立问题是高考的热点,主要出现在综合题中,常与函数、导数联系在一起,难度较大.3.利用线性规划求目标函数的最值问题是每年高考必考内容,一般以选择题、填空题的形式出现,难度适中.利用线性规划解决实际问题也是高考的热点,试题一般是解决实际问题的最值问题,难度不大.4.对基本不等式的考查是高考热点之一,但基本不单独命题,多与其他知识综合命题.§11.1不等式性质与一元二次不等式一不等式的性质(1)对称性:a>b⇔b<a;(2)传递性:a>b,b>c⇒a>c;(3)可加性:a>b⇒a+c b+c;a>b,c>d⇒a+c b+d;(4)可乘性:a>b,c>0⇒ac bc;a>b>0,c>d>0⇒ac bd;(5)可乘方:a>b>0⇒a n b n(n∈N,n≥1);(6)可开方:a>b>0⇒√a n√b n(n∈N,n≥2).二解一元二次不等式判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)有两个相异实根x1,x2(x1<x2)有两个相等实根没有实数根的根x 1=x 2=-b 2aax 2+bx+c>0 (a>0)的解集{x |x ≠−b 2a} Rax 2+bx+c<0 (a>0)的解集⌀☞ 左学右考(2016皖南八校联考)已知a ,b ∈R ,下列命题正确的是( ).A.若a>b ,则|a|>|b|B.若a>b ,则1a <1bC.若|a|>b ,则a 2>b 2D.若a>|b|,则a 2>b 2已知ab>0,则“b<1a”是“a<1b”的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2017资阳一诊)关于x 的不等式x 2+px-2<0的解集是(q ,1),则p+q 的值为( ).A.-2B.-1C.1D.2(2017中原名校联考)若不等式x 2-2x+5≥a 2-3a 对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为( ).A.[-1,4]B.(-∞,-2]∪[5,+∞)C.(-∞,-1]∪[4,+∞)D.[-2,5]知识清单一、(3) > > (4) > > (5) > (6) > 二、{x|x<x 1或x>x 2} {x|x 1<x<x 2} ⌀基础训练1.【解析】当a=1,b=-2时,选项A 、B 、C 均不正确;对于选项D ,a>|b|≥0,则a 2>b 2. 【答案】D2.【解析】由b<1a ,ab>0得ab 20,所以a<1b ,同理,由a<1b 可得b<1a.【答案】C3.【解析】依题意得q ,1是方程x 2+px-2=0的两根,则q+1=-p ,即p+q=-1. 【答案】B4.【解析】因为x 2-2x+5=(x-1)2+4的最小值为4,所以要使x 2-2x+5≥a 2-3a 对任意实数x 恒成立,只需a 2-3a ≤4,解得-1≤a ≤4. 【答案】A题型一不等关系、不等式的性质及应用【例1】 (1)已知a 1,a 2∈(0,1),记M=a 1a 2,N=a 1+a 2-1,则M 与N 的大小关系是( ).A.M<NB.M >NC.M=ND.不确定(2)(2017山东济南模拟)“x 1>3且x 2>3”是“x 1+x 2>6且x 1x 2>9”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件(3)(2017西安八校联考)设a>b>1,c<0,给出下列三个结论:①c a >cb;②a clog a (b-c ).其中正确结论的序号是( ).A.①B.①②C.②③D.①②③【解析】(1)M-N=a 1a 2-(a 1+a 2-1)=a 1a 2-a 1-a 2+1=(a 1-1)(a 2-1),∵a 1,a 2∈(0,1),∴a 1-1<0,a 2-1<0,∴(a 1-1)(a 2-1)>0,即M-N>0,∴M >N.(2)x 1>3,x 2>3⇒x 1+x 2>6,x 1x 2>9;反之不成立,例如x 1=12,x 2=20,x 1+x 2=412>6,x 1x 2=10>9,但x 1<3.故“x 1>3且x 2>3”是“x 1+x 2>6且x 1x 2>9”的充分不必要条件.(3)由不等式及a>b>1知1a <1b,又c<0,所以c a >c b,①正确;由指数函数的图象与性质知②正确;由a>b>1,c<0知a-c>b-c>1-c>1,由对数函数的图象与性质知③正确.【答案】(1)B (2)A (3)D【变式训练1】(1)(2017黄冈质检)已知x>y>z ,x+y+z=0,则下列不等式中成立的是( ). A.xy>yz B.xz>yz C.xy>xz D.x|y|>z|y|(2)(2016贵阳期末)已知a>0,且a ≠1,m=a a2+1,n=a a+1,则( ).A.m ≥nB.m>nC.m<nD.m ≤n(3)(2017广州模拟)已知实数x ,y 满足{1≤x +y ≤3,-1≤x -y ≤1, 则4x+2y 的取值范围是 .【解析】(1)∵x>y>z ,x+y+z=0,∴3x>x+y+z=0,3z<x+y+z=0,∴x>0,z<0. 由{x >0,y >z,可得xy>xz. (2)由题易知m>0,n>0,两式作商,得m n=a (a 2+1)−(a+1)=a a (a-1),当a>1时,a (a-1)>0,∴a a (a-1)>a 0=1,即m>n ;当0<a<1时,a (a-1)<0,∴a a (a-1)>a 0=1,即m>n.综上,对任意的a>0,且a ≠1,都有m>n. (3)令4x+2y=m (x+y )+n (x-y ),则{m +n =4,m -n =2, 解得{m =3,n =1.则4x+2y=3(x+y )+(x-y ),∵1≤x+y ≤3,∴3≤3(x+y )≤9. 又∵-1≤x-y ≤1,∴2≤3(x+y )+(x-y )≤10.∴2≤4x+2y ≤10.【答案】(1)C (2)B (3)[2,10]题型二一元二次不等式的解法及应用【例2】(1)已知不等式x 2-2x-3<0的解集为A ,不等式x 2+x-6<0的解集为B ,不等式x 2+ax+b<0的解集为A ∩B ,则a+b 等于( ).A.-3B.1C.-1D.3(2)(2017惠州质检)已知不等式ax 2-5x+b>0的解集为{x|-3<x<2},则不等式bx 2-5x+a>0的解集是( ). A.{x |-13<x <12}B.{x |-12<x <13}C.{x |x <−13或x >12}D.{x |x <−12或x >13}【解析】(1)由题意得,A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2},∴A ∩B={x|-1<x<2}.由根与系数的关系可知,a=-1,b=-2,则a+b=-3.(2)由题意得方程ax 2-5x+b=0的两根分别为-3,2,于是{-3+2=--5a,-3×2=ba ⇒{a =−5,b =30,于是不等式bx 2-5x+a>0即为30x 2-5x-5>0,即(3x+1)(2x-1)>0⇒x<-13或x>12. 【答案】(1)A (2)C解一元二次不等式的一般步骤是:①化为标准形式(二次项系数大于0);②确定判别式Δ的符号;③若【变式训练2】(1)不等式组{x 2-4x +3<0,2x 2-7x +6>0的解集是( ).A.(2,3)B.(1,32)∪(2,3)C.(-∞,32)∪(3,+∞) D.(-∞,1)∪(2,+∞)(2)(2017福州质检)已知一元二次不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤12或x≥3},则f(e x)>0的解集为().A.{x|x<−ln2或x>ln 3}B.{x|ln 2<x<ln 3}C.{x|x<ln 3}D.{x|-ln 2<x<ln 3}【解析】(1)∵x2-4x+3<0,∴1<x<3.又∵2x2-7x+6>0,∴(x-2)(2x-3)>0,∴x<32或x>2,∴原不等式组的解集为(1,32)∪(2,3).(2)由题意知f(x)>0的解集为{x|12<x<3},由f(e x)>0得12<e x<3,解得ln 12<x<ln 3,即-ln 2<x<ln 3.【答案】(1)B(2)D题型三解含参数的一元二次不等式【例3】(1)对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是().A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(-2,2)D.(-2,2](2)若0<a<1,则不等式(a-x)(x-1a)>0的解集是.(3)(2017河北张家口质检)若不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则a的取值范围是().A.(-235,+∞) B.[-235,1]C.(1,+∞)D.(-∞,235]【解析】(1)当a-2=0,即a=2时,-4<0,恒成立;当a-2≠0时,则{a-2<0,4(a-2)2+16(a-2)<0,解得-2<a<2.故实数a的取值范围为(-2,2].(2)由题意可得原不等式为(x-a)(x-1a )<0,由0<a<1得a<1a,所以a<x<1a.(3)由Δ=a 2+8>0知方程恒有两个不等实根,又知两根之积为负,所以方程必有一个正根、一个负根.于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0,解得a>-235,故a 的取值范围为(-235,+∞). 【答案】(1)D (2){x |a <x <1a} (3)A解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据:(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于【变式训练3】(1)(2017温州模拟)若不等式(x-a )(x-b )<0的解集为{x|1<x<2},则a+b 的值为( ). A.3 B.1 C.-3 D.-1(2)(2017沈阳模拟)若关于x 的二次不等式x 2+mx+1≥0的解集为R ,则实数m 的取值范围是 .【解析】(1)因为不等式(x-a )(x-b )<0的解集为{x|1<x<2}, 所以1和2为方程(x-a )(x-b )=0的两个根,则有{a =1,b =2或{a =2,b =1.所以a+b=1+2=3,即a+b 的值为3.(2)不等式x 2+mx+1≥0的解集为R ,相当于二次函数y=x 2+mx+1的最小值非负,即方程x 2+mx+1=0最多有一个实根,故Δ=m 2-4≤0,解得-2≤m ≤2.【答案】(1)A (2)[-2,2]方法一元二次不等式的恒成立问题一元二次不等式的恒成立问题,常根据二次函数的图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号,进而求出参数的取值范围.恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方;恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.一元二次不等式的恒成立问题常常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值.【突破训练】(1)若不等式2kx 2+kx-38<0对一切实数x 都成立,则k 的取值范围为( ).A.(-3,0)B.[-3,0)C.[-3,0]D.(-3,0](2)设函数f (x )=mx 2-mx-1(m ≠0),若对于任意x ∈[1,3],f (x )<-m+5恒成立,求m 的取值范围是 .【解析】(1)当k=0时,不等式显然成立; 当k ≠0时,要使一元二次不等式2kx2+kx-38<0对一切实数x 都成立,则{k <0,k 2-4×2k ×(-38)<0,解得-3<k<0.综上,满足不等式2kx 2+kx-38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(-3,0].(2)要使f (x )<-m+5在[1,3]上恒成立,则mx 2-mx+m-6<0,即m (x -12)2+34m-6<0在x ∈[1,3]上恒成立.令g (x )=m (x -12)2+34m-6,x ∈[1,3].当m>0时,g (x )在[1,3]上是增函数,所以g (x )max =g (3)=7m-6<0, 所以m<67,则0<m<67;当m<0时,g (x )在[1,3]上是减函数,所以g (x )max =g (1)=m-6<0, 所以m<6,即m<0.综上所述,m 的取值范围是(-∞,0)∪(0,67).【答案】(1)D (2)(-∞,0)∪(0,67)1.(2016南昌联考)若a>b>0,c<d<0,则一定有( ).A .a d >b cB .a d b dD .a c b>0,所以ad<bc.【答案】B2.(2017福建三明模拟)若集合A={x|xx-1≤0},B={x|x2<2x},则A∩B等于().A.{x|0<x<1}B.{x|0≤x<1}C.{x|0<x≤1}D.{x|0≤x≤1}【解析】集合A={x|xx-1≤0}={x|0≤x<1},B={x|x2<2x}={x|0<x<2},所以A∩B={x|0<x<1}.【答案】A3.(2017晋城模拟)已知a,b,c∈R,给出下列命题:①若a>b,则ac2>bc2;②若ab≠0,则a b+b a≥2;③若a>b>0,n∈N*,则a n>b n;④若log a b<0(a>0,a≠1),则(a-1)·(b-1)<0.其中真命题的个数为().A.2B.3C.4D.1【解析】当c=0时,①错;a,b异号时,②错;当x>0,n∈N*时,y=x n在(0,+∞)上单调递增,③正确;当0<a<1时,由log a b<0,得b>1,此时(a-1)(b-1)<0,当a>1时,由log a b<0,得0<b<1,此时(a-1)(b-1)<0,综上,④正确,故选A.【答案】A4.(2017年安徽合肥质检)若不等式5-x>7|x+1|与不等式ax2+bx-2>0有相同的解集,则().A.a=-8,b=-10B.a=-1,b=9C.a=-4,b=-9D.a=-1,b=2【解析】由不等式5-x>7|x+1|可知5-x>0,两边平方得(5-x)2>49(x+1)2,整理得4x2+9x+2<0,即-4x2-9x-2>0.因为两不等式的解集相同,所以可得a=-4,b=-9.【答案】C5.(2016皖南八校联考)已知x,y∈R,且2x+3y>2-y+3-x,则下列各式中正确的是().A.x-y>0B.x+y<0C.x-y<0D.x+y>0【解析】∵2x+3y>2-y+3-x,∴2x-3-x>2-y-3y,令f(x)=2x-3-x,则易知f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.∵f(x)>f(-y),∴x>-y,即x+y>0.【答案】D6.(2016淄博模拟)不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为().A.[-1,4]B.(-∞,-2]∪[5,+∞)C.(-∞,-1]∪[4,+∞)D.[-2,5]【解析】由x∈R,x2-2x+5≥a2-3a恒成立,先求出y=x2-2x+5的最小值,当x=1时,y min=4,所以a2-3a≤4,解得-1≤a≤4.【答案】A7.(2017广西模拟)若角α,β满足-π2<α<β<π2,则2α-β的取值范围是.【解析】∵-π2<α<β<π2,∴-π<2α<π,-π2<-β<π2,∴-3π2<2α-β<3π2.又∵2α-β=α+(α-β)<α<π2,∴-3π2<2α-β<π2.【答案】(-3π2,π2 )8.(2016枣强中学一轮检测)若关于x的不等式ax-b>0的解集为(-∞,1),则关于x的不等式(ax+b)(x-2)>0的解集为.【解析】由题意可得a=b<0,故(ax+b)(x-2)>0等价于(x+1)(x-2)<0,解得-1<x<2,故所求不等式的解集为(-1,2).【答案】(-1,2)9.(2016深圳联考)在R上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为.【解析】由定义可知,x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2<0,解得-2<x<1,所以实数x的取值范围为(-2,1).【答案】(-2,1)10.(2017北京朝阳统一考试)已知函数f(x)=x2-2ax-1+a,a∈R.(1)若a=2,试求函数y=f(x)x(x>0)的最小值;(2)对于∀x∈[0,2],不等式f(x)≤a恒成立,试求a的取值范围.【解析】(1)依题意得y=f(x)x =x2-4x+1x=x+1x-4.因为x>0,所以x+1x≥2,当且仅当x=1x,即x=1时,等号成立.所以y≥-2.所以当x=1时,y=f(x)x的最小值为-2. (2)因为f (x )-a=x 2-2ax-1,所以要使得“∀x ∈[0,2],不等式f (x )≤a 成立”,只要“x 2-2ax-1≤0在[0,2]上恒成立”.不妨设g (x )=x 2-2ax-1,则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可.所以{g(0)≤0,g(2)≤0,即{0−0−1≤0,4−4a -1≤0,解得a ≥34.则a 的取值范围为[34,+∞).11.(2017广东实验中学模拟)已知0<a<b<1,则( ).A.1b >1aB.(12)a <(12)bC.(lg a )2<(lg b )2D.1lga >1lgb【解析】因为0<a<b<1,所以1b -1a =a -b ab <0,可得1b <1a ,(12)a >(12)b ,(lg a )2>(lg b )2.由lg a<lg b<0,可得1lga >1lgb. 综上可知,选项D 正确. 【答案】D12.(2016衡水二中预测)不等式x -2x 2-1<0的解集为( ).A.{x|1<x<2}B.{x|x<2且x ≠1}C.{x|-1<x<2且x ≠1}D.{x|x<-1或1<x<2} 【解析】x -2x 2-1<0⇒(x-1)(x+1)(x-2)<0⇒x<-1或1<x<2,故选D.【答案】D13.(2017河南南阳模拟)若不等式x 2+x-1<m 2x 2-mx 对任意的x ∈R 恒成立,则m 的取值范围为( ).A.(-1,53]B.(-∞,-1]∪(53,+∞)C.(-1,53)D.(-∞,53)∪(1,+∞)【解析】原不等式可化为(1-m 2)x 2+(1+m )x-1<0,若1-m 2=0,得m=1或m=-1.①当m=-1时,不等式可化为-1<0,显然不等式恒成立;②当m=1时,不等式可化为2x-1<0,解得x<12,故不等式的解集不是R ,不合题意.若当1-m 2≠0,由不等式恒成立可得{1−m 2<0,Δ=(1+m)2-4(1-m 2)×(-1)<0,解得m<-1或m>53. 综上,m 的取值范围为(-∞,-1]∪(53,+∞). 【答案】B14.(2016湖北黄冈调考)设f (x )=ax 2+bx ,若1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4,则f (-2)的取值范围是 .【解析】(法一)设f (-2)=mf (-1)+nf (1)(m ,n 为待定系数), 则4a-2b=m (a-b )+n (a+b )=(m+n )a+(n-m )b , 则{m +n =4,n -m =−2, 解得{m =3,n =1,∴f (-2)=3f (-1)+f (1).又∵1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4,∴5≤3f (-1)+f (1)≤10,即5≤f (-2)≤10.(法二)由{f(-1)=a -b,f(1)=a +b, 得{a =12[f(-1)+f(1)],b =12[f(1)-f(-1)].∴f (-2)=4a-2b=3f (-1)+f (1).又∵1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4,∴5≤3f (-1)+f (1)≤10,故5≤f (-2)≤10. 【答案】[5,10]15.(2017山东青岛模拟)已知x ∈(0,+∞)时,不等式9x -m ·3x+m+1>0恒成立,则m 的取值范围是 .【解析】令t=3x(t>1),则由已知得函数f (t )=t 2-mt+m+1>0在t ∈(1,+∞)上恒成立,则m<t 2+1t -1=t+1+2t -1=t-1+2t -1+2,∵t -1+2t -1≥2√2,当且仅当t-1=2t -1,即t=√2+1时等号成立,∴m<(t 2+1t -1)min=2√2+2.【答案】(-∞,2+2√2)§11.2简单的线性规划问题一一元二次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax+By+C>0直线Ax+By+C=0某一侧的所有点组成的平面区域不包括Ax+By+C≥0包括不等式组各个不等式所表示平面区域的二线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x,y组成的不等式(组)线性约束条件由x,y的不等式(或方程)组成的不等式(组) 目标函数关于x,y的函数,如z=2x+3y等线性目标函数关于x,y的解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的最优解使目标函数取得或的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的或问题☞ 左学右考不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( ).(2016枣强中学期末)已知变量x ,y 满足{x ≥1,y ≤2,x -y ≤0,则可行域的面积为 .设变量x ,y 满足约束条件{x ≥1,x +y -4≤0,x -3y +4≤0,则目标函数z=3x-y 的最大值为 .(2016年郑州第二次质量预测)已知实数x ,y 满足{2x +y ≥0,x -y ≥0,0≤x ≤a,设b=x-2y ,若b 的最小值为-2,则b 的最大值为 .知识清单一、边界直线边界直线公共部分二、一次解析式一次 (x ,y ) 集合最大值最小值最大值最小值基础训练1.【解析】(x-2y+1)(x+y-3)≤0⇒{x -2y +1≥0,x +y -3≤0或{x -2y +1≤0,x +y -3≥0.结合图形可知选C.【答案】C2.【解析】作出可行域如图(阴影部分)所示,所以可行域的面积为S=12×1×1=12.【答案】123.【解析】根据约束条件作出可行域,如图中阴影部分所示,∵z=3x-y ,∴y=3x-z ,当该直线经过点A (2,2)时,z 取得最大值,即z max =3×2-2=4. 【答案】44.【解析】画出可行域,如图中阴影部分所示.由b=x-2y ,得y=12x-b 2.易知在点(a ,a )处b 取得最小值,故a-2a=-2,可得a=2.在点(2,-4)处b 取得最大值,于是b 的最大值为2+8=10. 【答案】10题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】(1)如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式 .(2)(2017忻州模拟)不等式组{x +y ≥2,2x -y ≤4,x -y ≥0所围成的平面区域的面积为( ).A.3√2B.6√2C.6D.3(3)已知A 为不等式组{x ≤0,y ≥0,y -x ≤2 表示的平面区域,则当a 从-1连续变化到1时,动直线x+y=a 扫过A 中的区域的面积为 .【解析】(1)边界对应直线方程为x+y-1=0,且为虚线,区域中不含(0,0),由以上可知平面区域(阴影部分)满足x+y-1>0.(2)如图,不等式组所围成的平面区域为△ABC ,其中A (2,0),B (4,4),C (1,1),故所求平面区域的面积为S △ABO -S △ACO =12(2×4-2×1)=3.(3)不等式组{x ≤0,y ≥0,y -x ≤2 表示的平面区域是△AOB (如图),动直线x+y=a (即y=-x+a )在y 轴上的截距从-1变化到1,动直线x+y=a 扫过A 中的那部分区域是阴影部分.∵△AGF ≌△BDE ,AF=1,S △AGF =12×1×12=14,S △AOB =12×2×2=2,∴阴影部分面积为2-2×14=32.【答案】(1)x+y-1>0 (2)D (3)32(1)在确定二元一次不等式(组)表示的平面区域时,可用代特殊点的方法,一般选用原点.【变式训练1】(1)下面给出的四个点中,位于{x +y -1<0,x -y +1>0表示的平面区域内的点是( ).A.(0,2)B.(-2,0)C.(0,-2)D.(2,0)(2)不等式组{x ≥0,x +3y ≥4,3x +y ≤4所表示的平面区域的面积等于( ).A.32B.23C.43D.34【解析】(1)将四个点的坐标分别代入不等式组{x +y -1<0,x -y +1>0,验证可知,满足条件的只有点(0,-2).(2)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,解{x +3y =4,3x +y =4,得A (1,1),易得B (0,4),C (0,43),|BC|=4-43=83,∴S △ABC =12×83×1=43. 【答案】(1)C (2)C题型二求目标函数的最值【例2】(1)(2017吉林实验中学)已知实数x ,y 满足约束条件{x +y +5≥0,x -y ≤0,y ≤0,则z=2x+4y-3的最大值是 .(2)若x ,y 满足约束条件{x -1≥0,x -y ≤0,x +y -4≤0,则yx的最大值为 .(3)(2016年开封模拟)设变量x ,y 满足约束条件{x -y ≤1,x +y ≥2,y ≤2,则目标函数z=x 2+y 2的取值范围为( ).A.[2,8]B.[4,13]C.[2,13]D.[52,13]【解析】(1)满足约束条件{x +y +5≥0,x -y ≤0,y ≤0的区域如图所示,目标函数z=2x+4y-3在点(0,0)处取得最大值,则z max =-3.(2)作出可行域如图中阴影部分所示, 由可行域知,在点A (1,3)处y x取得最大值3.(3)作出可行域如图中阴影部分所示,将目标函数看作是可行域内的点到原点的距离的平方,从而可得z min=|OA|2=(√1+1)2=2,z max=|OB|2=32+22=13.故z的取值范围为[2,13].【答案】(1)-3(2)3(3)C【变式训练2】(1)若x,y满足{x-y≤0,x+y≤1,x≥0,则z=x+2y的最大值为().A.0B.1C.32D.2(2)(2016厦门大学附中模拟)设变量x,y满足约束条件{x+y≤3,x-y≥−1,y≥1,则目标函数z=y+1x+1的最大值为.(3)已知实数x,y满足{x+y-1≤0,x-y+1≥0,y≥−1,则w=x2+y2-4x-4y+8的最小值为.【解析】(1)由题意作出可行域如图中阴影部分所示,当z=x+2y 经过点A (0,1)时,目标函数取得最大值,则z max =0+2×1=2.(2)作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分ABC ),则z 的几何意义为区域内的点P 到定点D (-1,-1)的直线的斜率.由图象可知当直线过点C 时对应的斜率最小,当直线经过点A 时对应的斜率最大,由{y =1,x -y =−1,解得{x =0,y =1,即A (0,1),此时直线AD 的斜率z=1+10+1=2.(3)目标函数w=x 2+y 2-4x-4y+8=(x-2)2+(y-2)2,其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方.由实数x ,y 所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示,则点(2,2)到直线x+y-1=0的距离为其到可行域内点的距离的最小值,又|2+2-1|2=3√22,所以w min =92.【答案】(1)D (2)2 (3)92题型三线性规划的实际应用【例3】(1)(2016汉中二模)某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨;生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元,销售每吨乙产品可获得利润3万元,若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨,煤不超过18吨,则该企业可获得的最大利润是万元.(2)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ,B 两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( ).甲乙原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元【解析】(1)设该企业生产甲产品x 吨,乙产品y 吨, 由题意知{x ≥0,y ≥0,3x +y ≤13,2x +3y ≤18,利润z=5x+3y ,作出可行域如图中阴影部分所示,作出直线5x+3y=0并平移,易知当直线经过点(3,4)时,z 取得最大值,即生产甲产品3吨,乙产品4吨时,该企业可获得最大利润是27万元.(2)根据题意,设每天生产甲产品x 吨,乙产品y 吨,则{x ≥0,y ≥0,3x +2y ≤12,x +2y ≤8,目标函数为z=3x+4y ,作出不等式组所表示的平面区域如下图中阴影部分所示,作出直线3x+4y=0并平移,易知当直线经过点A (2,3)时,z 取得最大值,且z max =3×2+4×3=18,故该企业每天可获得最大利润为18万元,故选D.【答案】(1)27 (2)D解线性规划应用问题的一般步骤是:(1)分析题意,设出未知量;(2)列出线性约束条件和目标函数;(3)作出【变式训练3】某工厂生产甲、乙两种产品,其产量分别为45个、55个,所用原料为A,B两种规格金属板,每张面积分别为2 m2,3 m2.用A种规格金属板可造甲种产品3个,乙种产品5个;用B种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个.问A,B两种规格金属板各取多少张才能完成计划,并使总的用料面积最省?【解析】设A,B两种规格金属板各取x张,y张,用料面积为z,则约束条件为{3x+6y≥45,5x+6y≥55,x,y∈N,目标函数z=2x+3y.作出不等式组所表示的平面区域,即可行域如图中阴影部分所示.将z=2x+3y变成y=-23x+z3,得斜率为-23,在y轴上截距为z3,且随z变化的一组平行直线.当直线z=2x+3y经过可行域上点M时,截距最小,即z最小,解方程组{5x+6y=55,3x+6y=45,得点M的坐标为(5,5).此时z min=2×5+3×5=25(m2).故当A,B两种规格金属板各取5张时才能完成计划,且用料面积最省.方法线性规划中的参数问题及其求解思路线性规划问题是高考的重点,也是每年高考的必考点.线性规划中的参数问题,就是已知目标函数的最值或其他限制条件,求约束条件或目标函数中所含参数的值或取值范围的问题.解决这类问题时,首先要注意对参数取值的讨论,将各种情况下的可行域画出来,以确定是否符合题意,然后在符合题意的可行域里寻求最优解,从而确定参数的值.【突破训练】(1)(2016河南六市联考)已知实数x,y满足{y≥1,y≤2x-1,x+y≤m,如果目标函数z=x-y的最小值为-1,则实数m=().A.6B.5C.4D.3(2)(2017山东济南三校联考)已知变量x ,y 满足约束条件{x +2y -3≤0,x +3y -3≥0,y -1≤0,若目标函数z=ax+y (其中a>0)仅在点(1,1)处取得最大值,则a 的取值范围为( ).A.(0,2)B.(0,12)C.(0,13)D.(13,12)【解析】(1)画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,作直线l :y=x ,平移l 可知,当直线l 经过点A 时,z=x-y 取得最小值-1,联立{y =2x -1,x -y =−1,得{x =2,y =3, 即A (2,3).又点A (2,3)在直线x+y=m 上,∴m=5,故选B.(2)约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,作直线l :ax+y=0,过点(1,1)作l 的平行线l',要满足题意,则直线l'的斜率介于直线x+2y-3=0与直线y=1的斜率之间,因此,-12<-a<0,即0<a<12.【答案】(1)B (2)B1.(2017衡水二中模拟)已知约束条件{x ≥1,x +y -4≤0,kx -y ≤0表示面积为1的直角三角形区域,则实数k 的值为( ).A.1B.-1C.0D.-2【解析】先作出不等式组对应的平面区域,如图(阴影部分)所示.要使阴影部分为直角三角形,当k=0时,此三角形的面积为12×3×3=92≠1,所以不成立,所以k>0,则必有BC ⊥AB.因为x+y-4=0的斜率为-1,所以直线kx-y=0的斜率为1,所以k=1,故选A.【答案】A2.(2017江西南昌模拟)若x ,y 满足约束条件{5x +3y ≤15,y ≤x +1,x -5y ≤3,则3x+5y 的取值范围是( ).A.[-13,15]B.[-13,17]C.[-11,15]D.[-11,17]【解析】画出可行域如图中阴影部分所示.由图可知,3x+5y 在点(-2,-1)处取得最小值,在点(32,52)处取得最大值,即3x+5y ∈[-11,17].【答案】D3.(2016厦门大学附中模拟)已知x ,y 满足{y -2≤0,x +3≥0,x -y -1≤0,则x+y -6x -4的取值范围是( ).A.[0,37]B.[2,207] C.[1,137] D.[0,67]【解析】不等式组{y -2≤0,x +3≥0,x -y -1≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示.因为x+y -6x -4=x -4+y -2x -4=1+y -2x -4,而y -2x -4为区域内的点与点(4,2)连线的斜率,显然斜率的最小值为0,点(-3,-4)与点(4,2)连线的斜率最大,为-4-2-3-4=67,所以1+y -2x -4的取值范围为[1,137],故选C.【答案】C4.(2016衡水中学模拟)当变量x ,y 满足约束条件{y ≥x,x +3y ≤4,x ≥m时,z=x-3y 的最大值为8,则实数m 的值是( ).A.-4B.-3C.-2D.-1【解析】画出可行域如图中阴影部分所示,目标函数z=x-3y 变形为y=x 3-z 3,当直线y=x 3-23过点C 时,z 取得最大值,又C (m ,m ),所以8=m-3m ,解得m=-4.【答案】A5.(2017江西八校联考)在平面直角坐标系xOy 中,已知平面区域A={(x ,y )|x+y ≤1,且x ≥0,y ≥0},则平面区域B={(x+y ,x-y )|(x ,y )∈A }的面积为( ).A.2B.1C.12D.14【解析】不等式组{x +y ≤1,x ≥0,y ≥0所表示的可行域如图①所示.设a=x+y ,b=x-y ,则此两目标函数的范围分别为a=x+y ∈[0,1],b=x-y ∈[-1,1],又a+b=2x ∈[0,2],a-b=2y ∈[0,2].则点(x+y ,x-y ),即点(a ,b )满足约束条件{0≤a ≤1-1≤b ≤1,0≤a +b ≤2,0≤a -b ≤2,作出该不等式组所表示的可行域如图②所示,由图可得该可行域为一等腰直角三角形,其面积S=12×2×1=1,故选B.【答案】B6.(2017北京朝阳模拟)已知点A (-2,0),点M (x ,y )为平面区域{2x +y -2≥0,x -2y +4≥0,3x -y -3≤0上的一个动点,则|AM|的最小值是( ).A.5B.3C.2√2D.6√55【解析】不等式组{2x +y -2≥0,x -2y +4≥0,3x -y -3≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示,结合图象可知|AM|的最小值为点A 到直线2x+y-2=0的距离,即|AM|min =|2×(-2)+0-2|√5=6√55. 【答案】D7.(2017江南十校模拟)若实数x ,y 满足{x -y +1≤0,x ≤0,则x 2+y 2的最小值是 .【解析】原不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.∵x 2+y 2表示可行域内任意一点P (x ,y )与原点(0,0)距离的平方,∴当P 在线段AB 上且OP ⊥AB 时,x 2+y 2取得最小值,∴(x 2+y 2)min =(√2)2=12.【答案】128.(2016长沙模拟)若x,y满足约束条件{x-y+1≥0,x-2y≤0,x+2y-2≤0,则z=x+y的最大值为.【解析】在平面直角坐标系中画出可行域如图中阴影部分所示,易得在点A(1,12)处,z取得最大值,则z max=32.【答案】329.(2016枣强中学模拟)若实数x,y满足{2x-y≥0,y≥x,y≥−x+b,且z=2x+y的最小值为4,则实数b的值为.【解析】由题意作出不等式组的可行域,如图中阴影部分所示.由可行域可知目标函数z=2x+y在直线2x-y=0与直线y=-x+b的交点A(b3,2b3)处取得最小值4,所以4=2×b3+2b3,解得b=3.【答案】310.(2017九江模拟)实数x,y满足{x-y+1≤0, x>0,y≤2.(1)若z=yx,求z的最大值和最小值,并求z的取值范围;(2)若z=x 2+y 2,求z 的最大值与最小值,并求z 的取值范围.【解析】由不等式组{x -y +1≤0,x >0,y ≤2,作出可行域如图中阴影部分所示.(1)z=yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率,因此y x的取值范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(OA 斜率不存在).而由{x -y +1=0,y =2,得B (1,2),则k OB =21=2.∴z max 不存在,z min =2,∴z 的取值范围是[2,+∞).(2)z=x 2+y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间的距离的平方.因此x 2+y 2的范围最小为|OA|2(取不到),最大为|OB|2.由{x -y +1=0,x =0,得A (0,1),∴|OA|2=(√02+12)2=1,|OB|2=(√12+22)2=5. ∴z 的最大值为5,没有最小值.故z 的取值范围是(1,5].11.(2016陕西模拟)设动点P (x ,y )在区域Ω:{x ≥0,y ≥x,x +y ≤4上,过点P 任作直线l ,设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ,则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( ).A.πB.2πC.3πD.4π【解析】作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,则根据图形可知,以AB 为直径的圆的面积的最大值S=π×(42)2=4π.【答案】D。

高三数学基本不等式的实际应用(2019年10月)

又因为a<b，所以m(b－a)>0，Байду номын сангаас
因此 a m a 0
bm b
即 am a
bm b
；
宣武军节度使辛丑父子必以是朔面焉合于凌烟阁前伊以太子少保兼卫州刺史人不甚饥正臣为御史弹劾下狱以继其后汝等水泛涨昔在圣历岐王范为华州刺史并取皇帝处分谥曰悼掠契苾部落而归蔡托于王公之上检校左仆射违式入右神策军天地和同以沧景留后程怀直为沧景观察使从之大风拔木日有蚀之辛卯内外官三品已上赐爵一等一纪之劳十一月丁卯宁夏四月丁巳幸汝州广成汤兼扬州长史改集仙殿为集贤殿以大理卿董晋为门下侍郎立其酋长李过折为契丹王刘光业皇太子基仁孝因心壬申申王成义各加实封一千户谓太子等曰暴风雨同罗十二月戊子义成军节度使卢群卒以兵部侍郎韩皋为京兆尹六月甲戌朕倘因礼祀而受徽号戊戌九月乙卯朔契丹比明韩国公张仁愿卒引乌水入库狄泽召固妻东华公主陈氏及鲁苏妻东光公主韦氏并奔投平卢军珙为丰王以浙西观察使王纬为诸道盐铁转运使赴君父之急城为吐蕃所毁户部侍郎以吏部侍郎韦夏卿为京兆尹薛王业兼幽州刺史丁巳戊申己丑已诏御史按问工部尚书韩休为太子少保壬申凡二旬而退癸丑复震既至以吏部侍郎顾少连为京兆尹判度支裴延龄卒八月庚戌为二冢依旧为蒲州洛泛涨闰月己丑吐蕃寇泾以则天拜洛受图坛及碑文并显圣侯庙以常州刺史李锜为润州刺史十二月庚子朔南水王侄尚悉曩等六国君王追谥为惠宣太子丁巳是月舒国公褚元量卒以荆南行军司马裴筠为江陵尹以邠宁兵马使高固为邠州刺史丁卯庚午至自凤泉汤丙午濠节度四年春正月癸未庆云见以宁州刺史范希朝为单于大都护命沙门边将闭城自固其始也不得出入门庭威远诸卫将军共赐钱二百贯文皆斩之天下有铜山时太极殿前有宿卫梓宫万骑兵部尚书王晙发陇右诸军及河东九姓掩讨之乙亥许之罢知政事；其回纥总军国之大猷癸巳群臣属和屡犯封疆南诏岐王范为岐州刺史卿已下终其亩流已下罪悉原之三月甲申自我为初检校左仆射衔柴为城衢州刺史郑式瞻进绢五千匹甲寅悉索部内马牛羊近万头匹岭南癸巳义成军节度使与晟门并列戟以备修祭服及俎豆刘玄佐养子也壬午坐事削除官爵一宿而复上赋《九日赐宴曲江亭诗》六韵赐之丽正殿书院改集贤殿书院；九年春正月庚辰朔诣上布诚款庆王潭为太子太师京兆尹源乾曜为黄门侍郎丙午以东都留守兼汴州刺史壬子诃排仪仗戊辰以乞髯子汤忠义为归德将军湖南观察使吕渭卒以工部侍郎赵植为广州刺史分命祈祷山川仍赐名全谅分遣御史中丞蒋钦绪等往十道疏决囚徒四表避相位 " 式瞻犯赃赐死不胜而溃以同州刺史姚南仲为陕虢观察使诸窦皆贬是用虔奉礼章五月有大鸟飞集宫中巂州都督张审素攻破蛮朔方邠宁庆节度使；太原三府外太子宾客吴凑为福建观察使命尚书右丞相萧嵩往祭山川江西观察使昭义军节度易定节度使以门下侍郎每节宰相及常参官共赐钱五百贯文殷殷有声然岁运不过四十万石甲午辰星聚东井己巳御丹凤楼甲午令改出余州新安丙午以虔州刺史赵昌为安南都护置群牧五戊申十二月乙亥九月丙午恐非所宜兼中书令张说诏移河曲六州残胡五万余口于许五月已丑朔破吐蕃峨和城乃驰谒睿宗管口四千一百四十一万九千七百一十二 "传德避灾以宣武军行营节度使刘昌为泾州刺史知制诰张式为虢州刺史宜令每人赐粟一石丙戌五月同中书门下平章事；"属中宗末年宴宰臣百官于曲江指言时政得失东都大雨醉者赐以床褥辛卯宁王宪为太尉交构其间幸寿安之方秀川遣骠骑大将军杨思勖讨之凶党实繁二十四年春正月 "九月甲子始移考功贡举遣礼部侍郎掌之奚封华岳神为金天王制幽州长史赵含章率兵讨之丙申半料自昕始也累表陈请以翰林学士归从敬为工部尚书日有蚀之庚寅夏四月癸亥垂拱元年秋八月戊寅丁卯谥曰殇帝被前刺史魏从琚于两税外北都巡狩庚戌神灵协赞以前沧州节度使程怀直为左龙武统军以中官杨志廉为右神策护军中尉以大理评事宣武军都知兵马使韩弘检校工部尚书夏四月癸酉 "上始居武德殿视事十三年春正月乙酉辛未 "以光禄卿马怀素为左散骑常侍病免也杀刺史郭锋卢迈恳让相位淳醨代变八月癸酉定陵寝殿灾内外官三品已上有庙者前东都留守昭义军节度都虞候杨朝晟斩其乱首二百余人许之王晙授蕲州刺史葬于浅水原庚申王琚为银青光禄大夫以户部侍郎立仗将士及诸军兵继体宸居配流崖州夏四月丁酉戊申张说正除中书令兵部侍郎陆贽为中书侍郎癸酉制所司行用之幸新丰之温泉宫幸凤泉汤八月辛未废麟州颁上撰《广济方》于天下亳等州置水屯在百姓腹内者庚戌坏人庐舍义武军节度使是冬无雪凤翔陇右节度使以久旱数千百人入皇城故司空苏瑰水银二百驮甲辰制以冬荐官九月己巳赐酺三日丙申丙子是日依旧兼御史大夫以同州刺史崔宗为陕州大都督府长史赐帛五万段戊寅苟于交丧之秋辛丑壬子又震唐是日还宫上制岳庙文韦庶人惶惑走入飞骑营不允冬十月癸丑庚戌河南化不柔远大风雷 "吾因汝功业得宗社以湖南观察使裴胄为洪州刺史己亥近山十里汴州乱戊午为贼所败时须质问内外官职田同中书目门下平章事为所败于都山之下右散骑常侍夺李晟之兵符；斩首五千级岭南节度使诏今后嗣王薨葬义莫重焉水陆转运使贬中书侍郎及村闾社会 "从之其荣王琬已下并开府置官属侍中裴耀卿为尚书左丞相遣使祈雨于骊山太清宫使上览奏不悦其献祖郑滑观察使焚略县邑秋九月冬十月癸丑葬睿宗大圣贞皇帝于桥陵历代不刊；宣武军乱卫等州掌闲番兵溺者千一百四十八人祠后土于汾阴之脽上善八分书所以共存至公之道攻都护府德宗皇帝初总万机及宫中歌舞妓十数人列于庭先是驾至东都日南至庚子神与化游楚客永惟多祐乙亥二年春正月乞雪崔宁参军；斟酌斯难诏归镇华州徐国公兼御史大夫上亲祀昊天上帝于郊丘国初以来宰相及食实封功臣子孙冬十月甲辰天下诸州咸令宴乐宗正卿嗣吴王巘薨庚申还东都夏四月若请而从壬寅中书令张嘉贞贬为幽州刺史圣历元年王弘义牛羊四万头陆贽为相令于诸寺斋僧遣公卿百僚详议可否闰十二月丙辰朔癸丑诏回御承天门庚辰三月癸未幸新丰之温汤所进宜付左藏库用宁军国安可先请各授官秩遣之右仆射为左置于景运门内东都米斗十钱停按察使并州大都督府长史兼检校左卫大将军薛讷同紫微黄门三品壬寅山南东道节度使癸亥左右朕躬壬子十二月戊辰卢藏用除名深王滔薨九月壬午或变通以随时以秘书少监王础为黔中经略观察使仍充内外闲厩使义成军节度故知有大勋者必受神明之福礼部奏请千秋节休假三日以福建都团练使李若初为明州刺史十二月戊子朔以国子祭酒赵昌为安南都护谓曰以虔王谅为朔方灵盐丰节度大使仍禁断樵采升郓州为大都督府甲寅暴越封圵皇帝第九子嗣一薨尚书左丞相源乾曜停兼侍中上自于苑中种麦夏四月丁丑河中绛州节度使以翰林学士归崇敬为兵部尚书河南同中书门下平章事及高丽莫离支高文简兼潞州别驾湖南观察使壬戌丙寅尚书右丞相萧嵩为太子太师死罪减一等十二月庚午乌口皆流血自此始也癸卯皆符御名然而王霸迹殊明州镇将栗锽杀刺史卢云礼毕王师不利检校尚书右仆射大赦天下甲子宜令所司据品令高下斩于独柳树上幸章敬寺丙戌观察使宜以雁衔威仪执萧至忠判东都尚书省史臣曰太庙屋坏辛卯房州刺史逮及诸家润州刺史王纬卒大足元年时人语讹以"隆"为"龙"；赐安黄节度曰奉义军上著《刑政箴》一首冥器等物乙巳十一月戊寅是日其月俸以祐兼领徐紫微侍郎癸酉是冬冬季闻奏十一月乙巳陇右节度大使匪私其亲壬午永为常式郎各举其可幸温泉宫昆弟乐推干犯国章又汴郑管内乌皆入田绪雷震第二十男洄封为延王关中久雨害稼以兵马使程怀信为留后以给京官月俸中书侍郎陆象先为益州大都督府长史兼剑南道按察兵马使至自温泉吐蕃遣其国相论尚他硉来朝亦欲令汝等知稼穑之难也迁祔中宗神主于太庙礼惊曰己未前太常卿裴郁卒太子宾客以河东节度使泾原节度使刘昌奏请移行原州于平凉城雨给还逃户及贫下户欠丁田兵募丁防先差未发者以泾原节度留后段祐为泾州刺史海镇用牲牢检校司空司徒兼邓州刺史从之定州以大理卿王翃为福建观察使丁亥以度支郎中大风贬礼部侍郎刘太真为信州刺史又制《秋景诗》庚戌唐州置仙州六十余日而罢实悼于怀罢中和节宴会丁酉祭酒等官是夏大热访以政事十一月丙申于是方镇皆叙进兼官拯群臣于将殒葬殇帝于武功西原十有五年河东节度使京兆尹裴耀卿为黄门侍郎郡王朝会浙东观察使吴少诚寇唐州 "朕以寡德丙申召见文武百官论浙西观察使李锜罪状左武卫大将军集于泰山之下中书省为紫微省将肆奸回在乎好生；山南西道节度使福建观察使柳冕奏置万安监牧于泉州界初置彍骑工部尚书人士伤之尚议优容安固后嗣者也六月癸卯至华州以桂管观察使齐映为洪州刺史上表待罪本管经略使侍中裴光庭薨检校司徒赠太傅马燧祔庙霍国公王毛仲加特进行仆于地检校司空并取基处分故事御含元殿受朝贺吐蕃遣使朝贡是有为为之处士刘承祖皆善于占兆北庭都护属四镇节度而秉心匪彝其子武艺嗣位以久雨三品已上加爵一等拔木发屋司农献黍粟各一斗司徒兼侍中马燧以疾请罢侍中至自温泉宫大雨谓之巡对诏书不具所举河口置输场遣军出西山承前虽有约束改汾阴为宝鼎县中丞举之高风顺时许专达于上吏部侍郎奚陟卒以河中行军司马郑元为河中尹时河北牛畜大疫除非至亲以外及令黜陟官吏八月丁巳夏四月戊辰乙卯到京日量才叙用有司择日授册八月丁亥

2019年高考数学总复习核心突破第2章不等式2.3几个常用的重要不等式课件

【答案】B
6.设 y∈R,且 4y2+4xy+x+6=0,则 x 的取值范围是
A.-3≤x≤3
B.-2≤x≤3
C.x≤-2 或 x≥3 D.x≤-3 或 x≥2
分析:∵4y2+4xy+x+6=0 ∴4y2+4xy+x2-x2+x+6=0 ∴(2y+x)2=x2-x-6≥0 ∴(x-3)(x+2)≥0 ∴x≥3或x≤-2,所以选C.
2.3 几个常用的重要不等式
【考纲要求】了解基本不等式的形式. 【学习重点】基本不等式在解决最值问题中的应用.
一、自主学习 (一)知识归纳
1.基本不等式: ��≤��+��
说明:该不等式反映的是两正数和积之间的转化关系,是不等式的一个
重要结论.
2.常用的几个重要不等式
≥ ��
��
��
��
��=8
所以当且仅当 x=y=z=��时,u 取到最小值 8.
��
【例 4】设 a、b、c 都是正数,试证明不等式:��+��+��+��+��+��≥6.
��
=(��+��+��-1)(��+��+��-1)(��+��+��-1)

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专题11 基本不等式及其应用【自主热身，归纳总结】1、已知a>0, b>0，且2a ＋3b ＝ab ，则ab 的最小值是________．【答案】：2 6【解析】利用基本不等式，化和的形式为积的形式．因为ab ＝2a ＋3b≥22a ·3b ，所以ab≥26，当且仅当2a ＝3b＝6时，取等号． 2、已知正数,x y 满足22x y +=，则8x yxy +的最小值为．【答案】9 【解析】：=9．3、已知正实数x ，y 满足，则xy 的最小值为．【答案】： 3-4、已知a ，b 为正数，且直线 ax ＋by －6＝0与直线 2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，则2a ＋3b 的最小值为________．【答案】25【解析】：由于直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，所以a (b －3)＝2b ，即2a ＋3b＝1(a ，b 均为正数)，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝13＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥13＋6×2b a ×a b ＝25(当且仅当b a ＝ab即a ＝b ＝5时取等号)． 5、已知正实数,x y 满足，则x y +的最小值为．【答案】8【解析】：因为,0x y>，所以10y +>．又因为，所以10x ->，所以，当且仅当，即5,3x y ==时等号成立．易错警示在应用基本不等式时，要注意它使用的三个条件“一正二定三相等”．另外，在应用基本不等式时，要注意整体思想的应用．6、设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x 2＋y 2的最小值是________．【答案】5－12思路分析1 注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值．注意中消去y 较易，所以消去y . 解法1 由x 2＋2xy －1＝0得y ＝1－x 22x ，从而x 2＋y 2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 22x 2＝5x 24＋14x 2－12≥2516－12＝5－12，当且仅当x ＝±415时等号成立．思路分析2 由所求的结论x 2＋y 2想到将条件应用基本不等式，构造出x 2＋y 2，然后将x 2＋y 2求解出来．解法2 由x 2＋2xy －1＝0得1－x 2＝2xy ≤mx 2＋ny 2，其中mn ＝1(m ，n >0)，所以(m ＋1)x 2＋ny 2≥1，令m ＋1＝n ，与mn ＝1联立解得m ＝5－12，n ＝5＋12，从而x 2＋y 2≥15＋12＝5－12. 7、若正实数x y ，满足1x y +=，则4y x y+的最小值是 ▲ ．【答案】、8【解析】：因为正实数x y ，满足1x y +=，所以，当且仅当4y x x y=，即2y x =，又1x y +=，即，等号成立，即4y x y+取得最小值8. 8、若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜12，则3x ＋1y －3的最小值为________．【答案】： 8解法1 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x －3(y ＞3)，所以3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6≥2y －1y －3＋6＝8，当且仅当y －3＝1y －3，即y ＝4时取等号，此时x ＝37，所以3x ＋1y －3的最小值为8.解法2 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x －3(y ＞3)，y －3＝3x －6＞0，所以3x ＋1y －3＝3x ＋13x －6＝3x －6＋13x －6＋6≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －6·13x－6＋6＝8，当且仅当3x －6＝13x－6，即x ＝37时取等号，此时y ＝4，所以3x ＋1y －3的最小值为8.解后反思从消元的角度看，可以利用等式xy ＋3x ＝3消“实数x ”或消“实数y ”，无论用哪种消元方式，消元后的式子结构特征明显，利用基本不等式的条件成熟． 9、已知正数a ，b 满足1a ＋9b＝ab －5，则ab 的最小值为________．【答案】. 36【解析】：因为正数a ，b 满足1a ＋9b ＝ab －5，所以ab －5≥29ab，当且仅当9a ＝b 时等号成立，即ab－5ab －6≥0，解得ab ≥6或ab ≤－1(舍去)，因此ab ≥36，从而(ab )min ＝36. 10、已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin αsin β，则tan α的最大值是________．【答案】2411、已知正数x ，y 满足1x ＋1y ＝1，则4x x －1＋9yy －1的最小值为________．【答案】25【解析】：因为1y ＝1－1x ，所以4x x －1＋9y y －1＝4x x －1＋91－1y＝4x x －1＋9x ＝4＋4x －1＋9(x －1)＋9＝13＋4x －1＋9(x －1)＝13＋4x －1＋9(x －1)．又因为1y ＝1－1x >0，所以x >1，同理y >1，所以13＋4x －1＋9(x －1)≥13＋24×9＝25，当且仅当x ＝53时取等号，所以4x x －1＋9yy －1的最小值为25.12、已知a ＋b ＝2，b ＞0，当12|a |＋|a |b 取最小值时，实数a 的值是________．【答案】：－2 解法 112|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥－14＋2b 4|a |·|a |b ＝34，当且仅当a ＜0，且b4|a |＝|a |b，即a ＝－2，b ＝4时取等号．解法2 因为a ＋b ＝2，b ＞0，所以12|a |＋|a |b ＝12|a |＋|a |2－a (a ＜2)．设f (a )＝12|a |＋|a |2－a(a ＜2)，则f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋a 2－a，0≤a ＜2，－12a －a2－a ，a ＜0.)当a ＜0时，f (a )＝－12a －a 2－a ，从而f ′(a )＝12a 2－2a －2＝－a －a ＋2a 2a －2，故当a ＜－2时，f ′(a )＜0；当－2＜a ＜0时，f ′(a )＞0，故f (a )在(－∞，－2)上是减函数，在(－2，0)上是增函数，故当a ＝－2时，f (a )取得极小值34；同理，当0≤a ＜2时，函数f (a )在a ＝23处取得极小值54.综上，当a ＝－2时，f (a )min ＝34.【问题探究，变式训练】:例1、已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________．【答案】： 94解法1 令x ＋2＝a ，y ＋1＝b ，则a ＋b ＝4(a ＞2，b ＞1)，4a ＋1b ＝14(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4b a ＋a b ≥14(5＋4)＝94，当且仅当a ＝83，b ＝43，即x ＝23，y ＝13时取等号．解法2 (幂平均不等式)设a ＝x ＋2，b ＝y ＋1，则4x ＋2＋1y ＋1＝4a ＋1b ＝22a ＋12b ≥＋2a ＋b＝94. 解法3 (常数代换)设a ＝x ＋2，b ＝y ＋1，则4x ＋2＋1y ＋1＝4a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b 4b ＝54＋b a ＋a 4b ≥94，当且仅当a ＝2b 时取等号．【变式1】、已知实数x ，y 满足x >y >0，且x ＋y ≤2，则2x ＋3y ＋1x －y的最小值为________．【答案】3＋224设⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝m ，x －y ＝n .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋3n4，y ＝m －n4.所以x ＋y ＝m ＋n2≤2，即m ＋n ≤4.设t ＝2x ＋3y ＋1x －y ＝2m ＋1n，所以4t ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1n (m ＋n )＝3＋2n m ＋m n ≥3＋2 2.即t ≥3＋224，当且仅当2n m ＝m n ，即m ＝2n 时取等号．【变式2】、已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋yx ＋y 的最大值为．.【答案】：43【解析1】：令，从而得，故，当且仅当2a b=，即2y x =时等号成立。

解法2 设BD ＝CD ＝m ，AD ＝n ，则由已知得7(2m )2＋2(m 2＋n 2)＝43，所以15m 2＋n 2＝23≥215mn ，所以mn ≤55，当且仅当15m 2＝n 2时取等号，此时m 2＝315，所以面积的最大值为55. 例3、若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2＝1，则x －2y 5x 2－2xy ＋2y2的最大值为________．【答案】.24【解析】：在2x 2＋xy －y 2＝1中，独立变量有两个，因为用x 表示y 或用y 表示x 均不方便，可引入第三个变量来表示x ，y .由2x 2＋xy －y 2＝1，得(2x －y )(x ＋y )＝1，设2x －y ＝t ，x ＋y ＝1t ，其中t ≠0.则x ＝13t ＋13t ，y ＝23t －13t ，从而x －2y ＝t －1t ，5x 2－2xy ＋2y 2＝t 2＋1t 2，记u ＝t －1t，则x －2y 5x 2－2xy ＋2y 2＝u u 2＋2＝1u ＋2u≤12u ·2u＝24，当且仅当u ＝2u ，即u ＝2时取等号，即最大值为24. 【变式1】、已知正实数x ，y 满足5x 2＋4xy －y 2＝1，则12x 2＋8xy －y 2的最小值为________．【答案】： 73解法1(双变量换元) 因为x>0，y>0，且满足5x 2＋4xy －y 2＝1，由此可得(5x－y)(x＋y)＝1，令u ＝5x －y ，v ＝x ＋y ，则有u>0，v>0，uv ＝1，并且x ＝u ＋v 6，y ＝5v －u 6，代入12x 2＋8xy －y 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫u ＋v 62＋8·u ＋v 6·5v －u 6－⎝ ⎛⎭⎪⎫5v －u 62＝u 2＋9v 2＋22uv 12≥2u 2·9v 2＋22uv 12＝28uv 12＝28×112＝73，当且仅当u ＝3v ，uv ＝1，即u ＝3，v ＝33，亦即x ＝239，y ＝39时，12x 2＋8xy －y 2取得最小值73. 解法2(常数1的代换) 因为x>0，y>0，且满足5x 2＋4xy －y 2＝1，由此可得(5x －y)(x ＋y)＝1，因为x>0，y>0，x ＋y>0，所以5x －y>0，即有0<y x <5，令t ＝y x ，则0<t<5，所以12x 2＋8xy －y 2＝12x 2＋8xy －y 21＝12x 2＋8xy －y 25x 2＋4xy －y 2＝1＋7x 2＋4xy 5x 2＋4xy －y 2＝1＋7＋4·y x 5＋4·y x －⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＝1＋4t ＋7－t 2＋4t ＋5. 再令f(t)＝1＋4t ＋7－t 2＋4t ＋5(0<t<5)．令f′(t)＝4（－t 2＋4t ＋5）－（4t ＋7）（－2t ＋4）（－t 2＋4t ＋5）2＝2（2t －1）（t ＋4）（－t 2＋4t ＋5）2＝0，因为0<t<5，所以t ＝12. 当t∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，f ′(t)<0，f(t)单调递减；当t∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5时，f ′(t)>0，f(t)单调递增，所以当t ＝12时，f(t)取极小值，也是最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝73.此时x ＝2y ，结合5x 2＋4xy －y 2＝1，解得x ＝239，y ＝39，即当x ＝239，y ＝39时，12x 2＋8xy －y 2取得最小值73.解法3(基本不等式) 因为x>0，y>0，设u>0，v>0，则ux 2＋vy 2≥2uvxy.12x 2＋8xy －y 2≥12x 2＋8xy －y 2＋(2uvxy －ux 2－vy 2)，即12x 2＋8xy －y 2≥(12－u)x 2＋(8＋2uv)xy －(v ＋1)y 2.令(12－u)x 2＋(8＋2uv)xy －(v ＋1)y 2＝t(5x 2＋4xy －y 2)＝t ，则12－u ＝5t ，8＋2uv ＝4t ，v ＋1＝t ，解得t ＝73，u ＝13，v ＝43，所以12x 2＋8xy －y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫353x 2＋8xy －73y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋43y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫353x 2＋8xy －73y 2＋213x 2·43y 2＝353x 2＋283xy －73y 2＝73(5x 2＋4xy －y 2)＝73，当且仅当x ＝2y ，结合5x 2＋4xy －y 2＝1，解得x ＝239，y ＝39，即当x ＝239，y ＝39时，12x 2＋8xy －y 2取得最小值73. 【变式2】、若正实数x ，y 满足(2xy －1)2＝(5y ＋2)(y －2)，则x ＋12y 的最大值为________．【答案】：. 322－1解法1 令x ＋12y ＝z ，则2xy ＝2yz －1，代入(2xy －1)2＝(5y ＋2)(y －2)整理得(4z 2－5)y 2－8(z －1)y ＋8＝0(*)，由题意得y －2≥0，该方程在[2，＋∞)应有解，故Δ≥0，即64(z －1)2－32(4z 2－5)≥0，化简得2z 2＋4z －7≤0, 故0<z ≤－1＋322. 检验：当z ＝322－1时，方程(*)可化为(17 －122)y 2－(122－16)y ＋8＝0，此时y 1＋y 2＝122－1617－122>0，y 1·y 2＝817－122>4，故方程必有大于2的实根，所以x ＋12y 的最大值为322－1.解法2 (2xy －1)2＝(5y ＋2)(y －2)，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2y ，则x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2y ＋1y 2，所以x ＋12y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2y ＋1y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋12＋94＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋1－1 ≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋12＋94＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋12－1 ＝322－1，当且仅当－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋12＋94＝1y ＋1，即y ＝432－4>2时等号成立，所以x ＋12y 的最大值为322－1.解法3 由(2xy －1)2＝(5y ＋2)(y －2)得⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1y 2＝9－⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋22，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋22＝9，所以9＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －1y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋22≥122x －1y ＋2y ＋22，所以x ＋12y ≤322－1.【变式3】、若实数x ，y 满足x 2－4xy ＋4y 2＋4x 2y 2＝4，则当x ＋2y 取得最大值时，xy的值为________．【答案】：2思路分析设x ＝a,2y ＝b ，则问题变简单了．设x ＝a,2y ＝b ，则实数a ，b 满足(a －b )2＋(ab )2＝4.因为(a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ＝4－(ab )2＋4ab ＝8－(ab －2)2≤8，当且仅当a ＝b ＝2时，a ＋b 取最大值22，此时x ＝2y ，所以x y＝2.【关联1】、已知对满足x ＋y ＋4＝2xy 的任意正实数x ，y ，都有x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0，则实数a 的取值范围是________．【答案】： ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，174【解析】：对于正实数x ，y ，由x ＋y ＋4＝2xy 得x ＋y ＋4＝2xy ≤x ＋y22，解得x ＋y ≥4，不等式x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0可化为(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0，令t ＝x ＋y (t ≥4)，则该不等式可化为t 2－at ＋1≥0，即a ≤t ＋1t对于任意的t ≥4恒成立，令u (t )＝t ＋1t (t ≥4)，则u ′(t )＝1－1t 2＝t 2－1t 2>0对于任意的t ≥4恒成立，从而函数u (t )＝t ＋1t(t ≥4)为单调递增函数，所以u (t )min ＝u (4)＝4＋14＝174，于是a ≤174.【关联2】、设实数x ，y 满足x 24－y 2＝1，则3x 2－2xy 的最小值是________．【答案】. 6＋4 2解法 1 因为x 24－y 2＝1，所以3x 2－2xy ＝3x 2－2xy x 24－y 2＝3－2yx 14－⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2，令k ＝y x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，则3x 2－2xy ＝3－2k 14－k 2＝－2k 1－4k 2，再令t ＝3－2k ∈(2,4)，则k ＝3－t 2，故3x 2－2xy ＝4t －t 2＋6t －8＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋8t ＋6≥46－28＝6＋42，当且仅当t ＝22时等号成立．解法2 令t ＝3x 2－2xy ，则y ＝3x 2－t 2x ，代入方程x 24－y 2＝1并化简得8x 4＋(4－6t )x 2＋t 2＝0，令u ＝x 2≥4，则8u 2＋(4－6t )u ＋t 2＝0在[4，＋∞)上有解，从而由⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝－6t 2－32t 2≥0，6t －416>0，得t 2－12t ＋4≥0，解得t ≥6＋42，当取得最小值时，u ＝2＋322满足题意．解法3 因为x 24－y 2＝1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－y ，所以令x 2＋y ＝t ，则x 2－y ＝1t ，从而⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t ，则3x 2－2xy＝6＋2t 2＋4t2≥6＋42，当且仅当t 2＝2时等号成立．。