上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练:三角函数
2019版高考数学理科课标A版一轮复习习题:4-4 三角恒

§4.4三角恒等变换考纲解读分析解读 1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2.备考时,应做到灵活掌握各公式的正用、逆用、变形用等.3.三角恒等变换是三角变换的工具,主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,可单独考查,也可与三角函数的知识综合考查,分值为5分或12分,为中低档题.五年高考考点一两角和与差的三角函数公式1.(2015课标Ⅰ,2,5分)sin20°cos10°-cos160°sin10°=()A.-B.C.-D.答案D2.(2014课标Ⅰ,8,5分)设α∈,β∈,且tanα=,则()A.3α-β=B.3α+β=C.2α-β=D.2α+β=答案C3.(2017江苏,5,5分)若tan=,则tanα=.答案4.(2013课标全国Ⅰ,15,5分)设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=.答案-5.(2016江苏,15,14分)在△ABC中,AC=6,cos B=,C=.(1)求AB的长;(2)求cos的值.解析(1)因为cos B=,0<B<π,所以sin B===.由正弦定理知=,所以AB===5.(2)在△ABC中,A+B+C=π,所以A=π-(B+C),于是cos A=-cos(B+C)=-cos=-cos Bcos+sin B·sin,又cos B=,sin B=,故cos A=-×+×=-.因为0<A<π,所以sin A==.因此,cos=cos Acos+sin Asin=-×+×=.教师用书专用(6—13)6.(2015重庆,9,5分)若tanα=2tan,则=()A.1B.2C.3D.4答案C7.(2013重庆,9,5分)4cos50°-tan40°=()A. B.C. D.2-1答案C8.(2015江苏,8,5分)已知tanα=-2,tan(α+β)=,则tanβ的值为.答案39.(2015四川,12,5分)sin15°+sin75°的值是.答案10.(2014课标Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为. 答案111.(2013课标全国Ⅱ,15,5分)设θ为第二象限角,若tan=,则sinθ+cosθ=. 答案-12.(2014江苏,15,14分)已知α∈,sinα=.(1)求sin的值;(2)求cos的值.解析(1)因为α∈,sinα=,所以cosα=-=-.故sin=sincosα+cossinα=×+×=-.(2)由(1)知sin2α=2sinαcosα=2××=-,cos2α=1-2sin2α=1-2×=,所以cos=coscos2α+sinsin2α=×+×=-.13.(2014江西,16,12分)已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中a∈R,θ∈.(1)当a=,θ=时,求f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值;(2)若f=0,f(π)=1,求a,θ的值.解析(1)f(x)=sin+cos=(sin x+cos x)-sin x=cos x-sin x=sin,因为x∈[0,π],从而-x∈.故f(x)在[0,π]上的最大值为,最小值为-1.(2)由得由θ∈知cosθ≠0,解得考点二二倍角公式1.(2016课标全国Ⅱ,9,5分)若cos=,则sin2α=()A. B. C.-D.-答案D2.(2016四川,11,5分)cos2-sin2=.答案3.(2016浙江,10,6分)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=.答案;1教师用书专用(4)4.(2013浙江,6,5分)已知α∈R,sinα+2cosα=,则tan2α=()答案C三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一两角和与差的三角函数公式1.(2018云南玉溪模拟,7)下列各式中,值为的是()A.sin15°cos15°B.cos2-sin2C. D.答案D2.(2017河北冀州第二次阶段考试,8)(1+tan18°)(1+tan27°)的值是()A. B.C.2D.答案C3.(2016浙江杭州重点中学期中,3)已知α∈,β∈,tanα=,则()A.α+β=B.α-β=C.α=2βD.β=2α答案D考点二二倍角公式4.(2018天津实验中学模拟,6)已知sin2a=,则cos2=()A. B. C. D.答案A5.(2017江西抚州七校高三上学期联考,6)若sin=,则tan=()答案D6.(2018江苏常州武进期中,8)已知锐角α的终边上一点P(1+cos80°,sin80°),则锐角α=.答案40°7.(2017湖南长沙一模,15)化简:=.答案2sinαB组2016—2018年模拟·提升题组(满分:45分时间:30分钟)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018湖北咸宁重点高中联考,9)已知tan(α+β)=2,tanβ=3,则sin2α=()A. B. C.-D.-答案C2.(2018湖南永州祁阳二模)已知tan=,则cos2=()A. B. C. D.答案B3.(2018湖北八校第一次联考,10)已知3π≤θ≤4π,且+=,则θ=()A.或B.或C.或D.或答案D4.(2017陕西榆林二模,8)若cos=,则cos的值为()A. B.-C. D.-答案A5.(2017湖南邵阳二模,9)若tancos=sin-msin,则实数m的值为()A.2B.C.2D.3答案A二、填空题(每小题5分,共10分)6.(2018湖南五十校教改共同体联考,15)若α∈,且cos2α=sin,则tanα=. 答案7.(2017河北衡水中学第三次调研,14)若tanα+=,α∈,则sin+2coscos2α=. 答案0三、解答题(共10分)8.(2018湖北咸宁重点高中联考,17)已知f(x)=sin2x+cos2x-1.(1)若f(x)=-3,求tan x;(2)若θ∈,f(θ)=,求sin2θ的值.解析(1)f(x)=2sin-1,当f(x)=-3时,有sin=-1,所以2x+=2kπ-,k∈Z,即x=kπ-,k∈Z.故tan x=-.(2)因为f(θ)=2sin-1=,所以sin=.因为θ∈,所以2θ+∈,所以cos=-,故sin2θ=sin=sincos-cos·sin=×-×=.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1三角函数的化简与求值问题1.(2017湖北新联考四模,6)=()A. B. C. D.1答案A2.(2017河南百校联盟4月联考,8)已知α为第二象限角,且tanα+tan=2tanαtan-2,则sin 等于()A.-B.C.-D.答案C3.(2018辽宁沈阳四校协作体联考,14)化简:-=.答案4方法2利用辅助角公式解决问题的方式4.(2016北京东城期中,8)函数y=cos2+sin2-1是()A.周期为的函数B.周期为的函数C.周期为π的函数D.周期为2π的函数答案C5.(2018江苏南京联合体学校调研测试,8)函数f(x)=sin·sin的最小正周期为.答案2π6.(2017河北冀州第二阶段考试,17)已知函数f(x)=sin2x+2sin xcos x+sinsin.(1)求f(x)的最小正周期和单调增区间;(2)若x=x0为f(x)的一个零点,求cos2x0的值.解析(1)f(x)=sin2x+2sin xcos x+sin·sin=sin2x+sin2x+(sin x+cos x)·(sin x-cosx)=+sin2x-cos2x=sin2x-cos2x+=2sin+,所以f(x)的最小正周期为π,因为2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,所以kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间是,k∈Z.(2)由题意知f(x0)=2sin+=0,∴sin=-.因为0≤x0≤,所以-≤2x0-≤,又sin<0,所以-≤2x0-<0,所以cos=,所以cos2x0=cos=×+×=.。
上海2019届高三数学一轮复习典型题专项训练三角函数

上海2019届⾼三数学⼀轮复习典型题专项训练三⾓函数上海市2019届⾼三数学⼀轮复习典型题专项训练三⾓函数⼀、选择、填空题1、(2017上海⾼考)设1a 、2a ∈R ,且121122sin 2sin(2)αα+=++,则12|10|παα--的最⼩值等于2、(2016上海⾼考)⽅程3sin 1cos 2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________3、(浦东新区2018⾼三⼆模)函数2()cos 2f x x x =,x ∈R 的单调递增区间为 4、(宝⼭区2018⾼三上期末)函数y cos x 22(3)1π=-的最⼩正周期为. 5、(崇明区2018⾼三上期末(⼀模))若函数y=2sin (ωx ﹣)+1(ω>0)的最⼩正周期是π,则ω= .6、(奉贤区2018⾼三上期末)已知tan 2θ=-,且??∈ππθ,2,则cos θ=________. 7、(虹⼝区2018⾼三⼆模)已知(0,)απ∈,3cos 5α=-,则tan()4πα+= . 8、(黄浦区2018⾼三⼆模)已知ABC ?的三内⾓A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、,若2222sin a b c bc A=+-,则内⾓A 的⼤⼩是.9、(静安区2018⾼三⼆模)⽅程cos2x =的解集为 10、(普陀区2018⾼三⼆模)在锐⾓三⾓形ABC 中,⾓A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若222()tan b c a A bc +-=,则⾓A 的⼤⼩为________.11、(青浦区2018⾼三⼆模)若1sin 3α=,则cos 2πα?-=_______________. 12、(青浦区2018⾼三上期末)函数()2cos cos f x x x x =+的最⼤值为. 13、(松江区2018⾼三上期末)已知⾓α的终边与单位圆221x y +=交于点01(,)2P y ,则cos 2α= ▲.14、(松江区2018⾼三上期末)函数sin 2y x =的图像与cos y x =的图像在区间[]0,2π上交点的个数是▲.15、(杨浦区2018⾼三上期末)已知3cos 5θ=-,则sin()2πθ+=16、(长宁、嘉定区2018⾼三上期末)已知54sin =α,则=??? ?+2cos πα__________. 17、(2016上海⾼考)已知ABC ?的三边长分别为3,5,7,则该三⾓形的外接圆半径等于_________18、(静安区2018⾼三⼆模)函数()sin()f x A x ω?=+(0,0)A ω>>的部分图像如图所⽰,则()3f π的值为()A.B.C.D. 019、(虹⼝区2017届⾼三⼀模)设函数()sin cos f x x x =-,且()1f α=,则sin 2α= . 20、(黄浦区2017届⾼三上学期期终调研)已知π1sin()23α+=,π(,0)2α∈-,则tan α的值为.⼆、解答题1、(2018上海⾼考)设常数a R ∈,函数f x ()22?asin x cos x =+ (1)若f x ()为偶函数,求a 的值;(2)若4f π〔〕1=,求⽅程1f x =()ππ-[,]上的解。
专题06 三角函数及解三角形-2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(文)

专题06 三角函数及解三角形1.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数f (x )=2sin cos ++x xx x 在的图像大致为[,]-ππA.B.C.D .【答案】D【解析】由,得是奇函数,其图象关于原点对称,22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+()f x 排除A .又,排除B ,C ,故选D .22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+【名师点睛】本题考查函数的性质与图象,渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养,采取性质法或赋值法,利用数形结合思想解题.解答本题时,先判断函数的奇偶性,得是奇函数,排除A ,再()f x 注意到选项的区别,利用特殊值得正确答案.2.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°=A .B .33C .D .【答案】D【解析】=tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)︒=︒+︒=︒=︒+︒tan 45tan 301tan45tan 30︒+︒-︒︒故选D.2==+【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力.首先应用诱导公式,将问题转化成锐角三角函数的计算,进一步应用两角和的正切公式计算求解.题目较易,注重了基础知识、基本计算能力的考查.3.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a sin A −b sin B =4c sin C ,cos A =−,则=14bc A .6B .5C .4D .3【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得,2224a b c -=由余弦定理推论可得2222214131cos ,,,422424b c a c c c A bc bc b +---==∴=-∴=,故选A .3462b c ∴=⨯=【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用.先利用余弦定理推论得出a ,b ,c 关系,再结合正弦定理边角互换列出方程,解出结果.4.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若x 1=,x 2=是函数f (x )=(>0)两个相邻的极值点,则=4π43πsin x ωωωA .2B .32C .1D .12【答案】A【解析】由题意知,的周期,解得.故选A .()sin f x x ω=232()44T ωπππ==-=π2ω=【名师点睛】本题考查三角函数的极值和周期,渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.利用周期公式,通过方程思想解题.5.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知a ∈(0,),2sin2α=cos2α+1,则sin α=π2A .B 15C D 【答案】B【解析】,,2sin 2cos 21αα=+ 24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭ sin 0,α>,又,,又,2sin cos αα∴=22sin cos 1αα+=2215sin 1,sin 5αα∴==sin 0α>sin α∴=故选B .【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查,中等难度,判断正余弦的正负,运算准确性是关键,题目不难,需细心,解决三角函数问题,研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键,切记不能凭感觉.解答本题时,先利用二倍角公式得到正余弦关系,再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案.6.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数在[0,2π]的零点个数为()2sin sin2f x x x =-A .2 B .3 C .4D .5【答案】B【解析】由,()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=得或,sin 0x =cos 1x =,.[]0,2πx ∈ 0π2πx ∴=、或在的零点个数是3,()f x ∴[]0,2π故选B .【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数,渗透了直观想象和数学运算素养.令,得或,再根据x 的取值范围可求得零点.()0f x =sin 0x =cos 1x =7.【2019年高考北京卷文数】设函数f (x )=cos x +b sin x (b 为常数),则“b =0”是“f (x )为偶函数”的A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】C【解析】时,,为偶函数;0b =()cos sin cos f x x b x x =+=()f x 为偶函数时,对任意的恒成立,即,()f x ()=()f x f x -x ()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-,得对任意的恒成立,从而.从而“”是cos sin cos sin x b x x b x +=-sin 0b x =x 0b =0b =“为偶函数”的充分必要条件,故选C.()f x 【名师点睛】本题较易,注重基础知识、逻辑推理能力的考查.根据定义域为R 的函数为偶函数()f x 等价于恒成立进行判断.()=()f x f x -8.【2019年高考北京卷文数】如图,A ,B 是半径为2的圆周上的定点,P 为圆周上的动点,是APB ∠锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A .4β+4cos βB .4β+4sin βC .2β+2cos βD .2β+2sin β【答案】B【解析】设圆心为O ,如图1,连接OA ,OB ,AB ,OP ,则,22AOB APB ∠=∠=β所以,22242OABS ⨯==扇形ββ因为,且都已确定,ABP AOBOAB S S S S=+-△△阴影扇形AOBOAB S S △扇形,所以当最大时,阴影部分面积最大.ABP S △观察图象可知,当P 为弧AB 的中点时(如图2),阴影部分的面积S 取最大值,此时∠BOP =∠AOP =π−β,面积S 的最大值为=4β+S △POB + S △POA =4β+ABP AOBOAB S S S S=+-△△阴影扇形|OP ||OB |sin (π−β)+|OP ||OA |sin (π−β)=4β+2sin β+2sin β=4β+4 sin β,故选B.1212【名师点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力,有一定的难度.关键是观察分析区域面积最大时的状态,并将面积用边角等表示.9.【2019年高考天津卷文数】已知函数是奇函数,且()sin()(0,0,||π)f x A x A ωϕωϕ=+>><的最小正周期为π,将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),()f x ()y f x =所得图象对应的函数为.若,则()g x 2π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A .−2B .2CD .22【答案】C【解析】∵为奇函数,∴;()f x (0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=∵的最小正周期为π,∴,()f x 2ππ,T ∴==ω2ω=∴1()sin sin ,2g x A x A x ==ω又,π(4g =2A =∴,()2sin 2f x x =3π(8f =故选C.【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题,解题关键是求出函数,结合函数性质()g x 逐步得出的值即可.,,A ωϕ10.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数的最小值为___________.3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-【答案】4-【解析】23π()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x =+-=--=--+,23172(cos 48x =-++,当时,,1cos 1x -≤≤ ∴cos 1x =min ()4f x =-故函数的最小值为.()f x 4-【名师点睛】本题首先应用诱导公式,转化得到二倍角的余弦,进一步应用二倍角的余弦公式,得到关于的二次函数,从而得解.注意解答本题的过程中,部分考生易忽视的限制,而cos x 1cos 1x -≤≤简单应用二次函数的性质,出现运算错误.11.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知ABC △b sin A +a cos B =0,则B =___________.【答案】3π4【解析】由正弦定理,得.,∴sin sin sin cos 0B A A B +=(0,),(0,)A B ∈π∈π sin 0,A ∴≠,即,sin cos 0B B +=tan 1B =-3.4B π∴=【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式,渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取定理法,利用转化与化归思想解题.本题容易忽视三角形内角的范围致误,三角形内角均在范围内,化边(0,π)为角,结合三角函数的恒等变化求角.12.【2019年高考江苏卷】已知,则的值是 ▲ .tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】由,得,()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭23tan 5tan 20αα--=解得,或.tan 2α=1tan 3α=-πππsin 2sin 2cos cos 2sin444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭)222222sin cos cos sin sin 2cos 2sin cos αααααααα⎫+-=+⎪+⎭,222tan 1tan tan 1ααα⎫+-⎪+⎭当时,上式tan 2α=2222212221⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭当时,上式=1tan 3α=-22112()1()2233[1()13⨯-+---+综上,π2sin 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值,渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法,利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得的值,然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原tan α问题转化为齐次式求值的问题,最后切化弦求得三角函数式的值即可.13.【2019年高考浙江卷】在中,,,,点在线段上,若ABC △90ABC ∠=︒4AB =3BC =D AC ,则___________,___________.45BDC ∠=︒BD =cos ABD ∠=【解析】如图,在中,由正弦定理有:,而,ABD △sin sin AB BD ADB BAC =∠∠3π4,4AB ADB =∠=,,所以5AC =34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==BD =.ππcos cos()cos cos sin sin 44ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=【名师点睛】本题主要考查解三角形问题,即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在中应用正弦定理,建立方程,进而得解.解答解三角形问题,要注意充分利用图形特征.ABD △14.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知ABC △.sinsin 2A Ca b A +=(1)求B ;(2)若△ABC 为锐角三角形,且c =1,求△ABC 面积的取值范围.【答案】(1)B =60°;(2).33()【解析】(1)由题设及正弦定理得.sin sinsin sin 2A CA B A +=因为sin A 0,所以.≠sinsin 2A CB +=由,可得,故.180A B C ︒++=sincos 22A C B +=cos 2sin cos 222BB B=因为,故,因此B =60°.cos02B ≠1sin 22B =(2)由题设及(1)知△ABC 的面积.ABC S =△由正弦定理得.()sin 120sin 1sin sin 2C c A a C C ︒-===+由于△ABC 为锐角三角形,故0°<A <90°,0°<C <90°,由(1)知A +C =120°,所以30°<C <90°,故.122a <<ABC S <<△因此,△ABC 面积的取值范围是.【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识,以及正弦定理的使用(此题也可以用余弦定理求解),最后考查是锐角三角形这个条件的利用,考查的很全面,是一道很好的考题.V ABC 15.【2019年高考北京卷文数】在△ABC 中,a =3,,cos B =.–2b c =12-(1)求b ,c 的值;(2)求sin (B +C )的值.【答案】(1),;(27b =5c =33【解析】(1)由余弦定理,得2222cos b a c ac B =+-.2221323()2b c c =+-⨯⨯⨯-因为,2b c =+所以.2221(2)323()2c c c +=+-⨯⨯⨯-解得.5c =所以.7b =(2)由得.1cos 2B =-sin B =由正弦定理得.sin sin a A B b ==在中,.ABC △B C A +=π-所以sin()sin B C A +==【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用,两角差的正弦公式的应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.【2019年高考天津卷文数】在中,内角所对的边分别为.已知,ABC △,,A B C ,,a b c 2b c a +=.3sin 4sin c B a C =(1)求的值;cos B (2)求的值.sin 26πB ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】(1);(2).14-357+【解析】(1)在中,由正弦定理,得,ABC △sin sin b cB C =sin sin b C c B =又由,得,即.3sin 4sin c B a C =3sin 4sin b C a C =34b a =又因为,得到,.2b c a +=43b a =23c a =由余弦定理可得.222222416199cos 22423a a a a c b B ac a a +-+-===-⋅⋅(2)由(1)可得,从而,215sin 1cos B B =-=15sin 22sin cos B B B ==,故227cos 2cos sin 8B B B =-=-.71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=-⨯= ⎪⎝⎭【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.17.【2019年高考江苏卷】在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .(1)若a =3c ,b,cos B =,求c 的值;23(2)若,求的值.sin cos 2A B ab =sin()2B π+【答案】(1)2c=【解析】(1)因为,23,3a c b B ===由余弦定理,得,即.222cos 2a c b B ac +-=23=213c =所以3c =(2)因为,sin cos 2A Bab =由正弦定理,得,所以.sin sin a b A B =cos sin 2B B b b =cos 2sin B B =从而,即,故.22cos (2sin )B B =()22cos 41cos B B =-24cos 5B =因为,所以,从而.sin 0B >cos 2sin 0B B =>25cos B =因此π25sin cos 2B B ⎛⎫+==⎪⎝⎭【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,考查运算求解能力.18.【2019年高考江苏卷】如图,一个湖的边界是圆心为O 的圆,湖的一侧有一条直线型公路l ,湖上有桥AB (AB 是圆O 的直径).规划在公路l 上选两个点P 、Q ,并修建两段直线型道路PB 、QA .规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD (C 、D 为垂足),测得AB =10,AC =6,BD =12(单位:百米).(1)若道路PB 与桥AB 垂直,求道路PB 的长;(2)在规划要求下,P 和Q 中能否有一个点选在D 处?并说明理由;(3)在规划要求下,若道路PB 和QA 的长度均为d (单位:百米).求当d 最小时,P 、Q 两点间的距离.【答案】(1)15(百米);(2)见解析;(3)17+.【解析】解法一:(1)过A 作,垂足为E .AE BD ⊥由已知条件得,四边形ACDE 为矩形,.'6, 8DE BE AC AE CD =====因为PB ⊥AB ,所以.84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==所以.12154cos 5BD PB PBD ===∠因此道路PB 的长为15(百米).(2)①若P 在D 处,由(1)可得E 在圆上,则线段BE 上的点(除B ,E )到点O 的距离均小于圆O 的半径,所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处,连结AD ,由(1)知,10AD ==从而,所以∠BAD 为锐角.2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此,Q 选在D 处也不满足规划要求.综上,P 和Q 均不能选在D 处.(3)先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求;当∠OBP ≥90°时,对线段PB 上任意一点F ,OF ≥OB ,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求.设为l 上一点,且,由(1)知,B =15,1P 1PB AB ⊥1P 此时;11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=当∠OBP >90°时,在中,.1PPB △115PB PB >=由上可知,d ≥15.再讨论点Q 的位置.由(2)知,要使得QA ≥15,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求.当QA =15时,.此时,线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.2222156321CQ QA AC =-=-=综上,当PB ⊥AB ,点Q 位于点C 右侧,且CQ =时,d 最小,此时P ,Q 两点间的距离321PQ =PD +CD +CQ =17+321因此,d 最小时,P ,Q 两点间的距离为17+.321解法二:(1)如图,过O 作OH ⊥l ,垂足为H.以O 为坐标原点,直线OH 为y 轴,建立平面直角坐标系.因为BD =12,AC =6,所以OH =9,直线l 的方程为y =9,点A ,B 的纵坐标分别为3,−3.因为AB 为圆O 的直径,AB =10,所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A (4,3),B (−4,−3),直线AB 的斜率为.34因为PB ⊥AB ,所以直线PB 的斜率为,43-直线PB 的方程为.42533y x =--所以P (−13,9),.15PB ==因此道路PB 的长为15(百米).(2)①若P 在D 处,取线段BD 上一点E (−4,0),则EO =4<5,所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处,连结AD ,由(1)知D (−4,9),又A (4,3),所以线段AD :.36(44)4y x x =-+-……在线段AD 上取点M (3,),因为,15422221533454OM ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上,P 和Q 均不能选在D 处.(3)先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求;当∠OBP ≥90°时,对线段PB 上任意一点F ,OF ≥OB ,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求.设为l 上一点,且,由(1)知,B =15,此时(−13,9);1P 1PB AB ⊥1P 1P 当∠OBP >90°时,在中,.1PPB △115PB PB >=由上可知,d ≥15.再讨论点Q 的位置.由(2)知,要使得QA≥15,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求.当QA =15时,设Q (a ,9),由,得a =Q (9),此时,线段QA 15(4)AQ a ==>4+4+上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上,当P (−13,9),Q (,9)时,d 最小,此时P ,Q两点间的距离4+.4(13)17PQ =+--=+因此,d 最小时,P ,Q 两点间的距离为(百米).17+【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.19.【2019年高考浙江卷】设函数.()sin ,f x x x =∈R (1)已知函数是偶函数,求的值;[0,2),θ∈π()f x θ+θ(2)求函数的值域.22[([(124y f x f x ππ=+++【答案】(1)或;(2).π2θ=3π233[1-【解析】(1)因为是偶函数,所以,对任意实数x 都有()sin()f x x θθ+=+,sin()sin()x x θθ+=-+即,sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+故,2sin cos 0x θ=所以.cos 0θ=又,因此或.[0,2π)θ∈π2θ=3π2(2)2222ππππsin sin 124124y f x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 2136212sin 22222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎫⎝⎭⎝⎭=+=--⎪⎪⎭.π123x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因此,函数的值域是.[1+【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识,同时考查运算求解能力.20.【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知角的顶点在坐标原点,始边与α轴正半轴重合,终边经过点,则x (1)P cos 2=αAB .13C .D .13-【答案】B【解析】因为角的顶点在坐标原点,始边与轴正半轴重合,终边经过点,αx (21)P ,所以,26cos 21-==+α因此.故选B.21cos 22cos 13=-=αα【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义,以及二倍角公式,熟记三角函数的定义与二倍角公式即可,属于常考题型.解答本题时,先由角的终边过点,求出,再由二倍角公式,即α(21)P -,cos α可得出结果.21.【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学试题】已知,,则4cos 5=-α()π,0∈-απtan 4⎛⎫-=⎪⎝⎭αA .B .717C .D .17-7-【答案】C【解析】,∴,()4cos ,π,05a =-∈- αππ,2⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭α,33sin ,tan 54∴=-=αα则.故选C .πtan 1tan 41tan -⎛⎫-= ⎪+⎝⎭ααα31143714-==-+【名师点睛】本题主要考查了同角三角函数关系式及两角差的正切公式的简单应用,属于基础题.解答本题时,根据已知的值,结合同角三角函数关系式可求tan α,然后根据两角差的正切公式即可求cos α解.22.【广东省韶关市2019届高考模拟测试(4月)数学文试题】已知函数的相π()sin()6f x x =+ω(0)>ω邻对称轴之间的距离为,将函数图象向左平移个单位得到函数的图象,则π2π6()g x ()g x =A .B .πsin()3x +πsin(23x +C .D .cos 2x πcos(23x +【答案】C【解析】由函数的相邻对称轴之间的距离为,得,即,π()sin()(0)6f x x =+>ωωπ2π22T =πT =所以,解得,2ππ=ω2=ω将函数的图象向左平移个单位,π()sin(26f x x =+π6得到的图象,故选C .ππππ()sin[2()]sin 2cos 26636g x x x x⎛⎫=++=++= ⎪⎝⎭【名师点睛】本题考查的知识要点:三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用,正弦型函数性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力,属于基础题型.解答本题时,首先利用函数的图象求出函数的关系式,进一步利用图象的平移变换的应用求出结果.23.【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学试题】已知函数,()()sin f x A x =+ωϕ的部分图象如图所示,则使成立的的最小正值为π0,0,2A >><ωϕ()()0f a x f a x +--=aA .B .π12π6C .D .π4π3【答案】B【解析】由图象易知,,,即,且,即,2A =(0)1f =2sin 1=ϕπ2<ϕ6π=ϕ由图可知,所以,即,11π(0,12f =11ππ11ππsin()0,π,126126k k ⋅+=∴⋅+=∈Z ωω122,11k k -=∈Z ω又由图可知,周期,且,11π2π11π24,121211T >⇒>∴<ωω0>ω所以由五点作图法可知,2,2k ==ω所以函数,π()2sin(2)6f x x =+因为,所以函数关于对称,()()0f a x f a x +--=()f x x a =即有,所以可得,ππ2π,62a k k +=+∈Z ππ,26k a k =+∈Z 所以的最小正值为.a π6故选B.【名师点睛】本题考查了三角函数的图象和性质,熟练运用三角函数的图象和周期对称性是解题的关键,属于中档题.解答本题时,先由图象,求出,可得函数的解析式,再由,,A ϕω()f x易知的图象关于对称,即可求得a 的值.()()0f a x f a x +--=()f x x a =24.【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试数学试题】在中,,,分别为角,ABC △a b c A ,的对边,若的面积为,且,则B C ABC △S ()22a b c =+-πsin 4C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A .1BCD【答案】D【解析】由,得,()2243S a b c =+-222143sin 22ab C a b c ab =+-+∵,∴,2222cos a b c ab C +-=3sin 2cos 2ab C ab C ab =+,即,则,cos 1C C -=π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π1sin 62C ⎛⎫-=⎪⎝⎭∵,∴,∴,即,0πC <<ππ5π666C -<-<ππ66C -=π3C =则,πππππππsin sin sin cos cos sin 4343434C ⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3212622++=故选D .【名师点睛】本题主要考查解三角形的应用,结合三角形的面积公式以及余弦定理求出的值以及利C 用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键.解答本题时,根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出的值,然后利用两角和的正弦公式进行求解即可.C 25.【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试(一模)数学试题】在中,角,,的对边ABC △A B C 分别为,,,若,则角a b c 1a =cos )cos 0A C C b A ++=A =A .B .2π3π3C .D .π65π6【答案】D【解析】∵,1a=cos )cos 0A C C bA ++=,cos cos cos A C C A bA +=-,)cos A C B b A+==-,sin cos B b A =-,3sin sin cos A B B A =-∵,即,sin 0B >3cos A A =-3tan A =∵,∴.故选D .(0,π)A ∈5π6A =【名师点睛】本题主要考查解三角形,熟记正弦定理,两角和的正弦公式即可,属于基础题.解答本,再由正弦定理得到3cos (3)cos 0A C C b A ++=3sin cos a B b A =-,结合,即可求得的值.3tan A =(0,π)A ∈A 26.【广东省韶关市2019届高考模拟测试(4月)数学试题】在中,、、分别是内角、ABC △a b c A 、.BC 3cos sin (cos cos )b A A aC c A =+(1)求角的大小;A (2)若,,求的周长.a =ABC △ABC △【答案】(1);(2).π3A =【解析】(1,cos sin (cos cos )A A a C c A =+∴由正弦定理可得:,cos sin (sin cos sin cos )B A A A C C A =+sin sin()sin sin A A C A B =+=,cos B A sin sin A B =∵,sin 0B≠∴,tan A =∵,(0,π)A ∈∴.π3A =(2)∵,,,π3A =a =ABC △1353sin 2bc A ∴==∴,5bc =∴由余弦定理可得:,2222cos a b c bc A =+-即,解得:222212()3()15b c bc b c bc b c =+-=+-=+-33b c +=∴的周长为.ABC △3333a b c ++=+=【名师点睛】本题主要考查了正弦定理,两角和的正弦函数公式,三角形的面积公式,余弦定理在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.(1,由3cos sin sin B A A B =,可求,结合,可求.sin 0B ≠tan 3A =(0,π)A ∈π3A =(2)利用三角形的面积公式可求,进而根据余弦定理可得,即可计算的5bc =b c +=ABC △周长的值.27.【北京市昌平区2019届高三5月综合练习(二模)数学试题】已知函数.1(=cos cos )+2f x x x x -)(1)求的值;π(3f(2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.π[0,]2x ∈()2c f x c <<+c 【答案】(1)1;(2).1(1,)2--【解析】(1)21(cos cos +2f x x x x -12cos 22x x -,π=sin(2)6x -所以.π(13f =(2)因为,π02x ≤≤所以,ππ5π2666x -≤-≤所以.1sin 226x π-≤-≤()1由不等式恒成立,得,解得.()2c f x c <<+1221c c ⎧<-⎪⎨⎪+>⎩112c -<<-所以实数的取值范围为.c 1(1,)2--【名师点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用,恒成立问题的处理方法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.(1)首先整理函数的解析式,然后结合函数的解析式求解函数值即可;(2)首先求得函数在区间上的值域,然后结合恒成立的结论得到关于c 的不等式组,求解不()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦等式组可得c 的取值范围.。
上海高考三角函数汇总(2013-2019)

15. 已知ω∈R ,函数2()(6)sin()f x x x ω=-⋅,存在常数a ∈R ,使得()f x a +为偶函数, 则ω的值可能为( ) A.2π B. 3π C. 4πD. 5π答案: C思路:f( x + a )为偶函数 ,只有两种情况:奇函数 × 奇函数 = 偶函数 偶函数 × 偶函数 = 偶函数 按照题意只能是 (x +a - 6)2 为偶函数 ,sin (wx + wa )也为偶函数 则 a = 6 ; 6 w = 2π + k π (k ∈ Z )16. 已知tan tan tan()αβαβ⋅=+,有下列两个结论:① 存在α在第一象限,β在第三象限;② 存在α在第二象限,β在第四象限;则( )A. ①②均正确B. ①②均错误C. ①对②错D. ①错②对答案: C 特殊值法当 α 在第一象限,取 α =4π, 令 tan β = x , 则由条件化简得到, 1 = - x 2 X无解 ,则 ① 不正确 ;当 α 在第二象限,取 α = 43π, 令 tan β = x , 则由条件化简得到,tan 1β=-±说明tan β可以是一个正数(对应第一、三象限),也可以是一个负数(对应第二、四象限), ② 正确18.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) 设常数a ∈R ,函数2()sin 22cos f x a x x =+。
(1)若()f x 为偶函数,求a 的值;(2)若()14f π=,求方程()1f x =-[,]ππ-上的解。
解:(1)()f x 为偶函数,f ( -x ) = f (x) ,则化简得到:2asin2x = 0 , a = 0(2)f ( 4π) = a + 1 = 3 + 1 , a = 3 原式为: 3 sin2x + 2cos 2x = 1 -22 sin (2x + 6π) = -2sin (2x + 6π) = -22- π ≤ x ≤ π , - 611π ≤ 2x + 6π≤ 613π借助图形,可知:2x + 6π= - 43π x= - 2411π 2x + 6π= -4πx = -245π2x + 6π = 45π x = 2413π 2x + 6π=47π x= 2419π2017年上海高考11.(5分)设a1、a2∈R,且,则|10π﹣a1﹣a2|的最小值等于.要使+ = 2 ,∵1 ≤ sin α1 + 2 ≤ 3∴ 1 ≥21sin1a≥31,最大取值是1,结果却是2,说明只能同时取1则,α1+α2=(2k1+k2)π,∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π﹣(2k1+k2)π|的最小值为.18.(14分)已知函数f(x)=cos2x﹣sin2x+,x∈(0,π).(1)求f(x)的单调递增区间;(2)设△ABC为锐角三角形,角A所对边a=,角B所对边b=5,若f(A)=0,求△ABC的面积.(1)函数f(x)=cos2x﹣sin2x+=cos2x+,x∈(0,π),由题意知,π≤x<π,可得f(x)的增区间为[,π)(2)设△ABC为锐角三角形,角A 所对边a=,角B 所对边b=5,若f (A )=0,即有cos2A+=0,解得2A=π,即A=π,由余弦定理可得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA , 化为c 2﹣5c+6=0, 解得c=2或3, 若c=2,则cosB=<0,即有B 为钝角,c=2不成立, 则c=3,△ABC 的面积为S=bcsinA=×5×3×=.2016年上海高考7. 方程在区间上的解为________________cos 2x = 1 - 2sin 2 x (2cos 2x - 1) 二倍角公式 化简:13.设, ,若对任意实数都有,则满足条件的有序实数组的组数为______________ 不会3sin 1cos2x x =+[0,2π],,a b ∈R [0,2π)c ∈x π2sin(3)sin()3x a bx c -=+(,,)a b c2015年上海高考14.在锐角三角形 A BC中,tanA=,D为边 BC上的点,△A BD与△ACD的面积分别为2和4.过D作D E⊥A B于 E,DF⊥AC于F,则•= .16.(5分)已知点A的坐标为(4,1),将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB,则点B的纵坐标为()A.B.C.D.2014年上海高考1. (2014)函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 .注意:12. (2014)设常数a 使方程sin x x a +=在闭区间[0,2]π上恰有三个解123,,x x x ,则123x x x ++= . 答案: 37πsin x x a += 2sin()3x a π+=Sin (x + 3π) =2a令 (x + 3π )= t , 3π≤ t ≤ 37π由图像知,当 2a= sin3π =23, 即 a =3 时恰有三个解,分别为 3π 32π 37π ,则: 123x x x ++=3π + 32π + 37π - π= 37π2013年上海高考答案: π - arccos 3111 . (4分) 若 cosxcosy + sinxsiny = 21 ,sin2x + sin2y = 32求:sin (x + y )=答案: 32cosxcosy + sinxsiny = cos ( x - y) =21sin2x + sin2y = sin [(x+ y) + (x- y)] + sin [(x+y)-(x-y)] = 2 sin(x + y) cos (x - y) = sin(x + y)21. (14分) 已知函数f (x)= 2 sin (wx) ,其中常数w > 0 (1)若 y = f (x ) 在[ -4π ,32π] 上单调递增,求w 的取值范围(2)令w= 2, 将函数y = f (x) 的图像向左平移 6π个单位,再向上平移1个单位,得到函数 y = g (x)的图像,区间 [a , b] (a,b ∈ R ,a < b) 满足:y= g(x) 在[a , b] 上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的[a , b]中,求b- a 的最小值。
2019届高考数学总复习分类试卷 三角函数、解三角形、平面向量

2019届高考数学总复习分类试卷三角函数、解三角形、平面向量(时间:120分钟总分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知sin(88°+θ)=23,则cos(178°+θ)=()A.23B.-23C.√53D.-√532.设P是△ABC所在平面内的一点,且CP⃗⃗⃗⃗ =2PA⃗⃗⃗⃗ ,则△PAB与△PBC的面积的比值是( )A.13B.12C.23D.343.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知bsin A=3csin B,a=3,cos B=23,则b=( ) A.14 B.6 C.√14 D.√64.函数f(x)=cos(x+π4)-cos(x-π4)是( )A.周期为π的偶函数B.周期为2π的偶函数C.周期为π的奇函数D.周期为2π的奇函数5.函数y=2sin(π6-2x)(x∈[-π,0])的单调递增区间是( )A.[-π,-5π6] B.[-π3,0] C.[-2π3,-π6] D.[-π3,-π6]6.已知函数y=sin ωx(ω>0)在区间[0,π2]上为增函数,且图象关于点(3π,0)对称,则ω的取值集合为( )A.{13,23,1} B.{16,13} C.{13,23} D.{16,23}7.若把函数y=sin(ωx-π6)的图象向左平移π3个单位,所得到的图象与函数y=cos ωx的图象重合,则ω的一个可能取值是( )A.2B.32C.23D.128.在△ABC中,A=π3,AB=2,AC=3,CM⃗⃗⃗⃗⃗ =2MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AM⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗ =( )A.-113B.-43C.43D.1139.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=π3,则△ABC的面积是( )A.3B.9√32C.3√32D.3√310.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且2S=(a+b)2-c2,则tan C 等于( )A.34B.43C.-43D.-3411.已知△ABC是边长为1的等边三角形,则(AB⃗⃗⃗⃗⃗ -2BC⃗⃗⃗⃗ )·(3BC⃗⃗⃗⃗ +4CA⃗⃗⃗⃗ )=( )A.-132B.-112C.-6-√32D.-6+√3212.将函数f(x)=2sin(ωx-π3)(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位,得到函数y=g(x)的图象.若y=g(x)在[0,π4]上为增函数,则ω的最大值为( )A.1B.2C.3D.41 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.若单位向量e1,e2的夹角为π3,向量a=e1+λe2(λ∈R),且|a|=√32,则λ=.14.△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,若4√3S=(a+b)2-c2,则角C的大小为.15.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2),y=f(x)的部分图象如图,则f(π24)= .16.在平面四边形ABCD中,若AB=1,BC=2,∠B=60°,∠C=45°,∠D=120°,则AD= .三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=√3sin 2ωx+cos4ωx-sin4ωx+1(其中0<ω<1),若点(-π6,1)是函数f(x)图象的一个对称中心.(1)求f(x)的解析式,并求距y轴最近的一条对称轴的方程;(2)先列表,再作出函数f(x)在区间[-π,π]上的图象.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2√3sin(x+π4)·cos(x+π4)+sin 2x+a的最大值为1.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)将函数f(x)的图象向左平移π6个单位,得到函数g(x)的图象,若方程g(x)=m在x∈[0,π2]上有解,求实数m的取值范围.19.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a+1a=4cos C,b=1.(1)若A=90°,求△ABC的面积;(2)若△ABC的面积为√32,求a,c.20.(本小题满分12分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足2asin A=(2sin B-√3sinC)b+(2sin C-√3sin B)c.(1)求角A的大小;(2)若a=2,b=2√3,求△ABC的面积.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2cos(2x+2π3)+√3sin 2x.(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值;(2)设△ABC的三个内角分别是A,B,C,若f(C2)=-12,且AC=1,BC=3,求sin A的值.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2√3sin xcos x-3sin 2x-cos 2x+2. (1)当x ∈[0,π2]时,求f(x)的值域;(2)若△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且满足ba =√3,sin(2A+C)sinA=2+2cos(A+C),求f(B)的值.三角函数、解三角形、平面向量一、选择题1.B ∵sin(88°+θ)=23,∴cos(178°+θ)=cos(90°+88°+θ)=-sin(88°+θ)=-23.2.B ∵CP ⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,又△PAB 边PA 上的高与△PBC 边PC 上的高相等,∴S △PAB S△PBC=|PA ⃗⃗⃗⃗⃗||CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12. 3.D 在△ABC 中,由asinA =bsinB,可得bsin A=asin B,又bsin A=3csin B,所以a=3c,又a=3,故c=1.由b 2=a 2+c 2-2accos B,cos B=23,可得b=√6.故选D.4.D f(x)=cos (x +π4)-cos (x -π4)=-√2sin x,所以函数f(x)是周期为2π的奇函数. 5.C 因为y=2sin (π6-2x)=-2sin (2x -π6),所以函数y=2sin (π6-2x)的单调递增区间就是函数y=sin (2x -π6)的单调递减区间.由π2+2kπ≤2x-π6≤3π2+2kπ(k∈Z ),解得π3+kπ≤x ≤5π6+kπ(k∈Z ),即函数y=2sin (π6-2x)的单调递增区间为[π3+kπ,5π6+kπ](k ∈Z ),又x ∈[-π,0],所以k=-1,故函数y=2sin (π6-2x)(x ∈[-π,0])的单调递增区间为[-2π3,-π6].6.A 由题意知{π2ω≥π2,3ωπ=kπ,k ∈Z,即{0<ω≤1,ω=k 3,k ∈Z,则ω=13或ω=23或ω=1.7.A 把函数y=sin (ωx -π6)的图象向左平移π3个单位得函数y=sin [ω(x +π3)-π6]=sin [ωx +(π3ω-π6)]的图象,由题意,得π3ω-π6=2kπ+π2(k ∈Z ),所以ω=6k+2(k∈Z ),所以ω的一个可能取值是2,故选A.8.C 因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13×32-23×22+13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13+13×3×2cos π3=43,故选C. 9.C c 2=(a-b)2+6,即c 2=a 2+b 2-2ab+6①.∵C=π3,∴由余弦定理得c 2=a 2+b 2-ab②,由①和②得ab=6,∴S △ABC =12absin C=12×6×√32=3√32,故选C.10.C 由2S=(a+b)2-c 2得2×12absin C=a 2+b 2-c 2+2ab,得absin C=2abcos C+2ab,sin C-2cos C=2,∴sin 2C+4cos 2C-4sin Ccos C=4, ∴tan 2C -4tanC+4tan 2C+1=4,∴tan C=-43或0(舍去),故选C.11.B (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(3BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +4CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ -6BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ -8BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 120°-6|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+4|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 120°-8|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 120°=3×1×1×(-12)-6×12+4×1×1×(-12)-8×1×1×(-12)=-32-6-2+4=-112,故选B. 12.B 将函数f(x)=2sin (ωx -π3)(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位,得g(x)=2sin ω(x +π3ω)-π3=2sin (ωx +π3-π3)=2sin ωx 的图象,当x ∈[0,π4]时,ωx∈[0,ωπ4],要使y=g(x)在[0,π4]上为增函数,需满足ωπ4≤π2,即ω≤2,故ω的最大值为2.二、填空题 13.答案 -12解析 由题意可得e 1·e 2=12,|a |2=(e 1+λe 2)2=1+2λ×12+λ2=34,化简得λ2+λ+14=0,解得λ=-12. 14.答案π3解析 由4√3S=a 2+b 2-c 2+2ab 可得,2√3absin C=2abcos C+2ab,即√3sin C-cos C =2sin (C -π6)=1,sin (C -π6)=12,由题意知0<C<π,∴-π6<C-π6<56π,∴C -π6=π6,解得C=π3. 15.答案 √3解析 由题图可知:T=2(3π8-π8)=π2, ∴ω=2,∴2×π8+φ=kπ+π2,k ∈Z ,又|φ|<π2, ∴φ=π4.又f(0)=1,∴Atan π4=1, 得A=1,∴f(x)=tan (2x +π4),∴f (π24)=tan (π12+π4)=tan π3=√3. 16.答案√6-√22解析 连接AC.在△ABC 中,AC 2=BA 2+BC 2-2BA ·BC ·cos 60°=3,所以AC=√3,又AC 2+BA 2=4=BC 2,所以△ABC 是直角三角形,且∠BAC=90°.在四边形ABCD 中,∠BAD=360°-(60°+45°+120°)=135°,因此∠CAD=∠BAD-∠BAC=45°,所以∠ACD=180°-∠CAD-∠D=15°.在△ACD 中,由ADsin ∠ACD =ACsin ∠D,即ADsin15°=√3sin120°,得AD=√3sin15°sin120°=√3×(√6-√2)4×√3=√6-√22. 三、解答题17.解析 (1)f(x)=√3sin 2ωx+(cos 2ωx -sin 2ωx)(cos 2ωx+sin 2ωx)+1=√3sin 2ωx+cos 2ωx+1 =2sin (2ωx +π6)+1.∵点(-π6,1)是函数f(x)图象的一个对称中心,∴-ωπ3+π6=kπ,k∈Z ,∴ω=-3k+12,k ∈Z . ∵0<ω<1,∴ω=12,∴f(x)=2sin (x +π6)+1.由x+π6=kπ+π2,k ∈Z ,得x=kπ+π3,k ∈Z ,令k=0,得距y 轴最近的一条对称轴方程为x=π3.(2)由(1)知, f(x)=2sin (x +π6)+1,当x ∈[-π,π]时,列表如下:x+π6-5π6-π2π2π 7π6 x-π -2π3 -π6π3 5π6 π f(x) 0 -1 13 1则函数f(x)在区间[-π,π]上的图象如图所示.18.解析 (1)f(x)=√3sin (2x +π2)+sin 2x+a=√3cos 2x+sin 2x+a=2sin (2x +π3)+a,由题意知2+a=1,解得a=-1. 由-π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ,k∈Z , 解得-5π12+kπ≤x ≤π12+kπ,k∈Z ,∴函数f(x)的单调递增区间是[-5π12+kπ,π12+kπ],k ∈Z .(2)∵将函数f(x)的图象向左平移π6个单位,得到函数g(x)的图象,∴g(x)=f (x +π6)=2sin [2(x +π6)+π3]-1=2sin (2x +2π3)-1,当x ∈[0,π2]时,2x+2π3∈[2π3,5π3],当2x+2π3=2π3时,sin (2x +2π3)=√32,g(x)取最大值√3-1; 当2x+2π3=3π2时,sin (2x +2π3)=-1,g(x)取最小值-3.∴-3≤m ≤√3-1. 19.解析 (1)∵b=1, ∴a+1a =4cos C=4×a 2+b 2-c 22ab=2(a 2+1−c 2)a,∴2c 2=a 2+1.又A=90°,∴a 2=b 2+c 2=c 2+1, ∴2c 2=a 2+1=c 2+2,解得c=√2, ∴S △ABC =12bcsin A=12bc=12×1×√2=√22.(2)∵S △ABC =12absin C=12asin C=√32, ∴sin C=√3a ,∵a+1a=4cos C,∴[14(a +1a)]2+(√3a)2=1, 化简得(a 2-7)2=0,∴a=√7, ∴cos C=2√77. 由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab ·cos C =7+1-2×√7×1×2√77=4,从而c=2.20.解析 (1)由已知及正弦定理可得2a 2=(2b-√3c)b+(2c-√3b)c,整理得b 2+c 2-a 2=√3bc,所以cos A =√32. 又A ∈(0,π),故A=π6. (2)由a sinA=b sinB ,a=2,b=2√3,A=π6, 得sin B=√32. 又B ∈(0,5π6),故B=π3或2π3. 若B=π3,则C=π2,于是S △ABC =12ab=2√3; 若B=2π3,则C=π6,于是S △ABC =12absin C=√3. 21.解析 (1)f(x)=2cos (2x +2π3)+√3sin 2x=-cos 2x,∴函数f(x)的最小正周期T=π,函数f(x)的最大值为1. (2)由(1)知f(x)=-cos 2x, ∴f (C2)=-cos C=-12,可得cos C=12. ∵C∈(0,π),∴sin C=√32. 由余弦定理可得,AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC ·cos C=1+9-2×1×3×12=7, ∴AB=√7.第 11 页 共 11 页 ∴由正弦定理可得,sin A=BC ·sinC AB =3×√32√7=3√2114. 22.解析 (1)f(x)=2√3sin xcos x-3sin 2x-cos 2x+2 =√3sin 2x-2sin 2x+1=√3sin 2x+cos 2x=2sin (2x +π6).∵x∈[0,π2],∴2x+π6∈[π6,7π6], ∴sin (2x +π6)∈[-12,1],∴f(x)在x ∈[0,π2]上的值域是[-1,2]. (2)由题意可知sin[A+(A+C)]=2sin A+2sin Acos(A+C),即sin Acos(A+C)+cos Asin(A+C)=2sin A+2sin Acos(A+C), 化简可得sin C=2sin A,由正弦定理可得c=2a,∵b=√3a,∴cos B=a 2+c 2-b 22ac =a 2+4a 2-3a 22a ·2a =12, ∵0<B<π,∴B=π3.∴f(B)=2sin (2×π3+π6)=1.。
2019高考一轮复习——上海市各地市11年试题分类大汇编第3部分函数与导数共14页文档

上海市各地市2019-2019学年下学期高考数学最新试题分类大汇编:第3部分 函数与导数一、选择题:1.(上海市十三校2019年高三第二次联考理科) “函数)(x f 在],[b a 上为单调函数”是“函数)(x f 在],[b a 上有最大值和最小值”的( A ) (A )充分非必要条件 (B )必要非充分条件 (C )充要条件 (D )非充分非必要条件2.(上海市闵行区2019届高三下学期质量调研文科)设函数141()log ()4xf x x =-、2141()log ()4x f x x =-的零点分别为12x x 、,则[答]( D )(A) 122x x ≥. (B) 1212x x <<. (C) 121x x =. (D) 1201x x <<.3. (上海市杨浦区2019年4月高三模拟理科)已知⎩⎨⎧≥<--=)1(log )1()3()(x xx ax a x f a 是),(+∞-∞上的增函数,那么a 的取值范围是 ……………………………( D )(A) (1,+∞) ; (B) (0,3); (C) (1,3); (D) [32,3). 4. (上海市卢湾区2019年4月高考模拟理科)已知234101()1234101x x x x f x x =+-+-+⋅⋅⋅+,234101()1234101x x x x g x x =-+-+-⋅⋅⋅-,若函数()f x 有唯一零点1x ,函数()g x 有唯一零点2x ,则有 ( B )A .12(0,1),(1,2)x x ∈∈B .12(1,0),(1,2)x x ∈-∈C .12(0,1),(0,1)x x ∈∈D .12(1,0),(0,1)x x ∈-∈二、填空题:5.(上海市黄浦区2019年4月高考二模试题理科)函数()f x =是 .[10)(0),,-??6.(上海市黄浦区2019年4月高考二模试题理科)已知函数1()y fx -=是函数1()2(1)x f x x -=≥的反函数,则1()f x -= (要求写明自变量的取值范围).21log (1)y x x =+?7.(上海市黄浦区2019年4月高考二模试题理科)已知01()m m R <<∈,α是方程210x mx ++=的根,则||α= 1 .8.(上海市黄浦区2019年4月高考二模试题文科)函数()f x =是 .[10)(0),,-?? 9.(上海市黄浦区2019年4月高考二模试题文科)已知函数1()y fx -=是函数1()2(1)x f x x -=≥的反函数,则1()f x -= (要求写明自变量的取值范围).21log (1)y x x =+?10.(上海市十校2019-2019学年第二学期高三第二次联考理科)函数22()log (43)log (2)f x x x =---的定义域是___ .3(,2)411.(上海市十校2019-2019学年第二学期高三第二次联考理科)已知函数21(0)()log (0)x a x f x x x ⎧++≤=⎨>⎩有三个不同零点,则实数a 的取值范围为 .[1,0)- 12、(上海市虹口区2019-2019学年第二学期高三教学质量测试理科)关于x 的方程0922=-++a x a x (R a ∈)有唯一的实数根,则=a 3 .13、(上海市虹口区2019-2019学年第二学期高三教学质量测试理科)定义在R 上的偶函数)(x f ,对任意的R x ∈均有)()4(x f x f =+成立,当]2,0[∈x 时,3)(+=x x f ,则直线29=y 与函数)(x f y =的图像交点中最近两点的距离等于 1 . 14. (上海市五校2019年联合教学调研理科设f x ()的反函数为1()fx -,若函数f x ()的图像过点(1,2),且1211fx ()-+=, 则x = 。
2019年上海高考·高三数学 第一轮复习

高三“三角函数”专题的复习分析与指导一、“三角函数”专题内容分析(一)“三角函数”专题知识体系的梳理 1、地位与价值在教学中,三角函数是描述周期现象的重要数学模型,它具有十分重要的地位,由于其思考性、方法性、技巧性和目的性都较强,对于提高学生数学素养,培养学生思维能力都有很重要的作用。
从三角函数的起源来看,三角函数起源于生活中的天文学,被广泛应用于解决航海通商问题,此后在自动控制、电子领域、工程领域等都有重要意义。
从历年高考的情况来看,三角恒等变换、三角函数的图像和性质、正余弦定理与解三角形等都是高考的热点问题,并常与其他交汇以解答题的形式考查,难度适中。
2、知识网络图 3、核心知识①研究三角函数的概念、图像和性质,其突出特征是具有周期性的函数,尤其是正、余弦函数具有边界和零点;难点是函数()()sin +f x A x k ωϕ=+的图像变换,落实“五点法”画图技能.A 的确定:()()max min =2f x f x A - ;k 的确定:()()max min k=2f x f x +;ω的确定:()20T πωω=> ;ϕ的确定:初始角=ϕω-,与平移单位有关.②三角恒等变换的综合应用,主要应用于两个方面:一是化简函数与三角函数的性质相结合;二是解三角形与正弦定理和余弦定理结合在平面几何图形中求解相关的几何量,解三角形就是有条件的恒等变换.(二)“三角函数”专题中研究的核心问题 1、问题类型①三角函数的图像和性质综合问题,常涉及三角恒等变换、图像变换、周期性、单调性、对称性和最值等;②解三角形问题,只要涉及两角和与差的正、余弦公式、二倍角公式、正弦定理和余弦定理等; ③三角函数性质与解三角形的综合问题,其本质是解决有条件的三角恒等变换问题,因此注意角的范围对变形过程的影响. 2、问题研究与解决①三角函数求值与化简的常用方法:弦切互化:包括“切割化弦”、“齐次式化切”等; 和积互化:包括“平方关系”、“降幂公式”和利用()2sin cos 12sin cos x x x x ±=± 进行变形转化;巧用“1”的变换:22221sin cos sec tan tan (4)πθθθθ=+=-==②转化为与三角函数有关的基本类型:sin y a x b =+ 设sin t x =,[]1,1t ∈- 转化为一次函数;sin cos y a x b x c =++ 借助辅助角公式转化为)y x c ϕ=++; 2sin sin y a x b x c =++ 设sin t x =,[]1,1t ∈- 转化为二次函数(闭区间内);sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+ 设sin cos t x x =±,t ⎡∈⎣则21sin cos =2t x x -±,转化为二次函数;tan cot y a x b x =+,设tan t x =,当0a b >时可用均值定理;③函数()()sin f x A x ωϕ=+的奇偶性、对称性及图像变换对称轴一定经过图像的最高点或最低点,对称中心一定与函数零点有关;由()sin f x x =的图像通过变换得到()()sin f x A x ωϕ=+的图像有两种途径:“先平移后伸缩”或“先伸缩后平移”,可用“五点法”作为突破口.④通过三角恒等变换解决三角求值问题,做到三变:“变角——变名——变式” 给角求值:关键是转化成特殊角或消去非特殊角; 给值求值:现变同角再求值;给值求角:转化为“给值求值”,注意角的范围. ⑤利用正、余弦定理解三角形的两种途径:“化边为角”通过三角恒等变换得出三角形内角之间的关系; “化角为边”通过解方程求边;都要注意三角函数值的符号与角的范围,防止出现增解、漏解.(三)“三角函数”专题蕴含的核心观点、思想和方法 1、学生学习三角函数的主要困难 2、三角函数知识的核心观点张景中院士认为,在数学课程中三角函数至关重要,它是几何与代数的一座桥梁,沟通初等数学与高等数学的一条通道,函数、向量、坐标、复数等许多重要数学知识与三角有关,大量实际问题的解决要用到三角知识.① 强调三角函数中的函数思想,三角函数已经不仅仅是解三角形的工具,而是一个重要的函数模型; ② 数形结合解决三角函数的图形变换;③ 加强三角函数的应用意识,特别是用于解三角形问题. 3、核心思想方法与核心技能“三种思想”+“三个技能”:函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合思想;运算技能:对三角函数解析式的恒等变形以及转化为sin()y A x ωϕ=+型函数的运算,正余弦定理公式的合理选择和化简运算等;作图技能:根据任务需求绘制相应要求精度的三角函数图象,五点法画图等;推理技能:依据三角函数解析式的结构进行推理判断运算方向,以及对三角形形状的判断.二、“三角函数”高考的典型考题结构(一)近年北京高考题中三角函数考查的内容试题特点:试题总体比较平稳,不管是位置还是考查的知识点和难度都是比较稳定的,高考降低了复杂的三角恒等变形公式的考查,回归到双基和通性通法的考查上,文科基本小题考解三角形,大题就是用三角公式变形为正弦型函数,再讨论它的性质(特殊值、周期、值域)。
上海市13区2019届高三上学期期末(一模)考试数学试题分类汇编:三角函数

上海市13区2019届高三上期末(一模)考试数学试题分类汇编三角函数一、填空、选择题1、(宝山区2019届高三)函数()sin(2)f x x =-的最小正周期为2、(崇明区2019届高三)角θ的终边经过点(4,)P y ,且3sin 5θ=-,则tan θ= 3、(奉贤区2019届高三)在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,面积为S ,若222()3a b c S ++=,则角B 的值为 (用反正切表示)4、(宝山区2019届高三)张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清,只能看到:在ABC ∆中,,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,已知22,45b A =∠=,求边c 。
显然缺少条件,若他打算补充a的大小,并使得c 只有一解.那么,a 的可能取值是 .(只需填写一个适合的答案) 5、(奉贤区2019届高三)下列以行列式表达的结果中,与sin()αβ-相等的是( ) A.sin sin cos cos αβαβ- B.cos sin sin cos βαβα C. sin sin cos cos αβαβ D. cos sin sin cos ααββ-6、(浦东新区2019届高三)在ABC △中,角A 、B 、C 对边是a 、b 、c . 若22(23)a b =+⋅,b c =,则A =7、(普陀区2019届高三)若1sin 3α=,则cos()2πα+= 8、(青浦区2019届高三)设函数()sin f x x ω=(02ω<<),将()f x 图像向左平移23π单位后所得函数图像与原函数图像的对称轴重合,则ω=9、(松江区2019届高三)在△ABC 中,内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ,若22()6c a b =-+,3C π=,则△ABC 的面积=10、(徐汇区2019届高三)已知函数sin y x =的定义域是[],a b ,值域是12⎡⎤⎢⎥⎣⎦-1,,则b a -的最大值是___________.11、(杨浦区2019届高三)已知复数1cos 2()i z x f x =+,2(3sin cos )i z x x =++(x ∈R ,i 为虚数单位),在复平面上,设复数1z 、2z 对应的点分别为1Z 、2Z ,若1290Z OZ ︒∠=,其中O 是坐标原点,则函数()f x 的最小正周期为12、(长宁区2019届高三)已知(,)2a ππ∈,且tan 2a =-,则sin()a π-=13、(闵行区2019届高三) 在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,面积为S ,且224()S a b c =+-,则cos C = 14、(普陀区2019届高三)函数2cos(2)4y x π=+的图像( )A. 关于原点对称B. 关于点3(,0)8π-C. 关于y 轴对称D. 关于直线4x π=轴对称15、(松江区2019届高三)将函数()2sin(3)4f x x π=+的图像向下平移1个单位,得到()g x 的图像,若12()()9g x g x ⋅=,其中12,[0,4]x x π∈,则12x x 的最大值为( ) A. 9 B. 375C. 3D. 1参考答案一、填空、选择题 1、π 2、34-3、43arctan 34、222a a =≥或5、C6、56π7、13- 8、329、332 10、43π 11、π 12、55213、0 14、B 15、A二、解答题1、(宝山区2019届高三)已知函数()3sin 211cos 22001x f x x -=,将()f x 的图像向左移()0αα>个单位得函数()y g x =的图像.(1)若4πα=,求()y g x =的单调递增区间;(2)若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()y g x =的一条对称轴为12x π=,求()y g x =,0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域.2、(崇明区2019届高三)已知函数23()cos sin 3cos 2f x x x x =⋅+-. (1)求函数()f x 的单调递增区间;(2)在锐角△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若1()2f A =,3a =,4b =, 求△ABC 的面积.3、(奉贤区2019届高三)函数()sin()f x A x ωϕ=+(0ω>,0πϕ-<<)在一个周期内的图像经过(,0)6B π,2(,0)3C π,(,1)4D π三点,求()sin()f x A x ωϕ=+的表达式.4、(虹口区2019届高三)某城市的棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示,经过调研、规划确定,棚改规划用地区域近似为圆面,该圆的内接四边形ABCD 区域是原棚户区建筑用地,测量可知边界2()AB AD km ==,3()BC km =,1()CD km =.(1)求的AC 长度及原棚户区建筑用地ABCD 的面积;(2)因地理条件限制,边界AD 、DC 不能变更,而边界AB 、BC 可以调整,为了增加 棚户区建筑用地面积,请在弧ABC 上设计一点P ,使得棚户区改造后的新建筑用地(四边 形APCD )的面积最大,并求出这个面积的最大值.5、(金山区2019届高三)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x 轴的正半轴重合,终边经过点(3,3)P -.(1)求行列式sin 1tan cos ααα的值;(2)若函数()cos()cos sin()sin f x x x αααα=+++()x ∈R ,求函数23(2)2()2y f x f x π=-+的最大值,并指出取得最大值时x 的值.6、(浦东新区2019届高三)已知函数2()23sin cos 2sin f x x x x =-. (1)若角α的终边与单位圆交于点34(,)55P ,求()f α的值; (2)当[,]63x ππ∈-时,求()f x 的单调递增区间和值域.7、(普陀区2019届高三)在△ABC 中,三个内角A 、B 、C 所对的边依次为a 、b 、c ,且1c o s 4C =. (1)求22cos 2sin 22A BC ++的值; (2)设2c =,求a b +的取值范围.8、(青浦区2019届高三)如图,某广场有一块边长为1()hm 的正方形区域ABCD ,在点A 处装有一个可转动的摄像头,其能够捕捉到图像的角PAQ ∠始终为45°(其中点P 、Q 分别在边BC 、CD 上),设PAB θ∠=,记tan t θ=.(1)用t 表示PQ 的长度,并研究△CPQ 的周长l 是否为定值?(2)问摄像头能捕捉到正方形ABCD 内部区域的面积S 至多为多少2hm ?9、(徐汇区2019届高三)我国的“洋垃圾禁止入境”政策已实施一年多. 某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB ,对应的圆心角3AOB π∠=. 该地区为打击洋垃圾走私,在海岸线外侧20海里内的海域ABCD 对不明船只进行识别查证(如图:其中海域与陆地近似看作在同一平面内).在圆弧的两端点,A B 分别建有监测站,A 与B 之间的直线距离为100海里. (1)求海域ABCD 的面积;(2) 现海上P 点处有一艘不明船只,在A 点测得其距A 点40海里,在B 点测得其距B 点2019海里. 判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD ?请说明理由.陆地海域BCOD A10、(杨浦区2019届高三)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且5cos 13B =. (1)若4sin 5A =,求cos C ; (2)已知4b =,证明:5AB BC ⋅≥-.11、(长宁区2019届高三)已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ,复数1i z a b =+,2cos icos z A B =+,(其中i 是虚数单位),且123i z z ⋅=.(1)求证:cos cos a B b A c +=,并求边长c 的值;(2)判断△ABC 的形状,并求当3b =时,角A 的大小.参考答案二、解答题1、解:(1)()3cos 2sin 22sin(2)3f x x x x π=-=--……………………………3分()()2sin(22)3g x f x x παα=+=-+-4πα=,()2sin(2)6g x x π∴=-+,…………………………………5分令()322,2622x k k k Z πππππ⎡⎤+∈++∈⎢⎥⎣⎦,……………………………6分 解得()2,63x k k k Z ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦, 所以()y g x =的单调递增区间是()2,63x k k k Z ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦。
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上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练三角函数一、选择、填空题1、(2017上海高考)设1a 、2a ∈R ,且121122sin 2sin(2)αα+=++,则12|10|παα--的最小值等于2、(2016上海高考)方程3sin 1cos 2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________3、(浦东新区2018高三二模)函数23()cos sin 22f x x x =+,x ∈R 的单调递增区间为 4、(宝山区2018高三上期末)函数y cos x 22(3)1π=-的最小正周期为 . 5、(崇明区2018高三上期末(一模))若函数y=2sin (ωx ﹣)+1(ω>0)的最小正周期是π,则ω= .6、(奉贤区2018高三上期末)已知tan 2θ=-,且⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ,2,则cos θ=________. 7、(虹口区2018高三二模)已知(0,)απ∈,3cos 5α=-,则tan()4πα+= . 8、(黄浦区2018高三二模)已知ABC ∆的三内角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、,若2222sin a b c bc A=+-,则内角A 的大小是 . 9、(静安区2018高三二模)方程3cos22x =-的解集为 10、(普陀区2018高三二模)在锐角三角形ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若222()tan b c a A bc +-=,则角A 的大小为________.11、(青浦区2018高三二模)若1sin 3α=,则cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______________. 12、(青浦区2018高三上期末)函数()23sin cos cos f x x x x =+的最大值为 .13、(松江区2018高三上期末)已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点01(,)2P y ,则cos 2α=▲ .14、(松江区2018高三上期末)函数sin 2y x =的图像与cos y x =的图像在区间[]0,2π上交点的个数是 ▲ .15、(杨浦区2018高三上期末)已知3cos 5θ=-,则sin()2πθ+=16、(长宁、嘉定区2018高三上期末)已知54sin =α,则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2cos πα__________. 17、(2016上海高考)已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于_________ 18、(静安区2018高三二模)函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的部分 图像如图所示,则()3f π的值为( ) A.22 B. 32 C. 62D. 019、(虹口区2017届高三一模)设函数()sin cos f x x x =-,且()1f α=,则s i n 2α= .20、(黄浦区2017届高三上学期期终调研)已知π1sin()23α+=,π(,0)2α∈-,则tan α的值为 .二、解答题1、(2018上海高考)设常数a R ∈,函数f x ()22?asin x cos x =+ (1)若f x ()为偶函数,求a 的值; (2)若4f π〔〕31=+,求方程12f x =-()在区间ππ-[,]上的解。
2、(2017上海高考)已知函数221()cos sin 2f x x x =-+,(0,)x π∈. (1)求()f x 的单调递增区间;(2)设△ABC 为锐角三角形,角A 所对边19a =,角B 所对边5b =,若()0f A =,求△ABC 的面积.3、(浦东新区2018高三二模)在ABC ∆中,边a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对应的边.(1)若2(2)sin 0(2)sin 1sin (2)sin c a b A b a BC a b A-=-+-,求角C 的大小;c a b 2114111---=- (2)若4sin 5A =,23C π=,3c =,求ABC ∆的面积.4、(宝山区2018高三上期末)已知函数xf x sin 2()122=-. (1)求f x ()在322ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上的单调递减区间; (2)设ΔABC 的内角A B C ,,所对应的边依次为a b c ,,,若且f C 1()2=,求ΔABC 面积的最大值,并指出此时ΔABC 为何种类型的三角形. 5、(崇明区2018高三上期末(一模))已知f (x )=2sinxcosx +2cos 2x ﹣1.(1)求f (x )的最大值及该函数取得最大值时x 的值; (2)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角 A ,B ,C 所对的边,若a=,b=,且f ()=,求边c 的值.6、(奉贤区2018高三上期末)如图,某公园有三条观光大道AC BC AB ,,围成直角三角形,其中直角边m BC 200=,斜边m AB 400=.(1)若甲乙都以每分钟m 100的速度从点B 出发,甲沿BA 运动,乙沿BC 运动, 乙比甲迟2分钟出发,求乙出发后的第1分钟末甲乙之间的距离;(2)现有甲、乙、丙三位小朋友分别在点F E D ,,.设θ=∠CEF ,乙丙之间的距离EF 是甲乙之间距离DE 的2倍,且3π=∠DEF ,请将甲乙之间的距离DE y =表示为θ的函数,并求甲乙之间的最小距离.7、(虹口区2018高三二模)已知ABC ∆中,角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ,cos sin z A i A =+⋅(i 是虚数单位)是方程210z z -+=的根,3a =.(1)若4B π=,求边长c 的值;(2)求ABC ∆面积的最大值.8、(普陀区2018高三二模) 已知函数2(=sin cos sin f x x x x -),R x ∈. (1)若函数()f x 在区间[,]16a π上递增,求实数a 的取值范围;(2)若函数()f x 的图像关于点11(,)Q x y 对称,且1[,]44x ππ∈-,求点Q 的坐标.9、(青浦区2018高三二模)已知向量(cos,1)2x m =-,2(3sin ,cos )22x xn =,设函数()1f x m n =⋅+.(1)若[0,]2x π∈,11()10f x =,求x 的值; (2)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是c b a ,,且满足2cos 23,b A c a ≤-求()f B 的取值范围.10、(松江、闵行区2018高三二模)已知函数()3sin cos f x x x ωω=+,(1)当03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且1ω<时,求ω的值; (2)在ABC △中,a b c 、、分别是角A B C 、、的对边,3a =,3b c +=, 当2ω=,()1f A =时,求bc 的值.11、(松江区2018高三上期末)在ABC ∆中,6,32AB AC ==,18AB AC ⋅=-. (1)求BC 边的长; (2)求ABC ∆的面积.12、(长宁、嘉定区2018高三上期末)一根长为L 的铁棒AB 欲通过如图所示的直角走廊,已知走廊的宽2==BD AC m .(1)设θ=∠BOD ,试将L 表示为θ的函数; (2)求L 的最小值,并说明此最小值的实际意义.13、(松江区2017届高三上学期期末质量监控)上海市松江区天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔” .兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高:如图,记O 点为塔基、P 点为塔尖、点P 在地面上的射影为点H .在塔身OP 射影所在直线上选点A ,使仰角45HAP ︒∠=,过O 点与OA 成120︒的地面上选B 点,使仰角45HBP ︒∠=(点A 、B 、O 都在同一水平面上),此时测得27OAB ∠=,A 与B 之间距离为33.6米.试求: (1)塔高(即线段PH 的长,精确到0.1米);(2)塔身的倾斜度(即PO 与PH 的夹角,精确到0.1).14、(徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断)已知函数23cos sin ()cos 1xxf x x-=. (1)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求()f x 的值域; (2)已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若()3,4,52Af a b c ==+=, 求ABC ∆的面积.15、(长宁、嘉定区2017届高三上学期期末质量调研)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,θO ACBDEθC 的对边,且72cos 22sin 82=-+A CB . (1)求角A 的大小; (2)若3=a ,3=+c b ,求b 和c 的值.参考答案:一、选择、填空题 1、【解析】111[,1]2sin 3α∈+,211[,1]2sin(2)3α∈+,∴121112sin 2sin(2)αα==++,即12sin sin(2)1αα==-,∴122k παπ=-+,24k παπ=-+,12min |10|4ππαα--=2、566ππ或 3、【解析】1()sin(2)62f x x π=++,∴单调递增区间为[,]36x k k ππππ∈-+,k ∈Z 4、135、26、55-7、17- 8、4π9、5{|,}12x x k k ππ=±∈Z 10、6π 11、1312、3213、-12 14、4 15、35-16、54-17、73318、C 19、0 20、22- 二、解答题1、2、【解析】(1)1()cos 22f x x =+,(0,)x π∈,单调递增区间为[,)2ππ (2)1cos223A A π=-⇒=,∴225191cos 2252c A c c +-==⇒=⋅⋅或3c =, 根据锐角三角形,cos 0B >,∴3c =,115sin 324S bc A ==3、【解析】(1)由题意,()()2sin 2sin 2sin c C a b A b a B =-+-;……………2分 由正弦定理得()()2222c a b a b a b =-+-,∴222c a b ab =+-,……………2分∴2221cos 22a b c C ab +-==,∴3C π=;……………2分 (2)由4sin 5A =,3c =,且sin sin a c A C =,∴85a =;…………2分由23a c A C π<⇒<=,∴3cos 5A =,…………2分∴()334sin sin sin cos cos sin 10B AC A C A C -=+=+=;…………2分∴11883sin 225ABC S ca B ∆-==…………2分4、解:(1)由题意可得f x cosx ()=,故f x ()在322ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上的单调递减区间为2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,. (2)由已知可得a b 4+=,Q f C 1()2=,∴cosC 12=,又C (0)π∈,,∴C 3π=.故ΔABC S a b s i n C 12=a b 34=a b 23()42+≤⋅3=,当a b 2==时取等号,即ΔABC 面积的最大值为3,此时ΔABC 是边长为2的正三角形.5、解:f (x )=2sinxcosx +2cos 2x ﹣1=sin2x +cos2x=2sin (2x +)(1)当2x +=时,即x=(k ∈Z ),f (x )取得最大值为2;(2)由f ()=,即2sin (A +)=可得sin (A +)=∵0<A <π ∴<A<∴A =或∴A=或当A=时,cosA==∵a=,b=,解得:c=4 当A=时,cosA==0∵a=,b=,解得:c=2.6、(1)可用余弦定理求得3B π∠=2分300,100D E BD BE ==设甲在处,乙在处, 2分2222cos 7007DE BD BE BDBE B DE =+-=所以=100 3分(2),3DEB B BDE πθ∠=∠=三角形中, 1分2002cos BE BC CE y θ=-=- 1分1003,[0,]sin sin 2sin 3cos DE BE y B DEB πθθθ==∈∠∠+由得 1分 (式子出来3分)1003,[0,]22sin 3y πθπθ=∈⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 1分5036y πθ=时,取最小值 2分答:5036y πθ=时,取最小值 1分7、解:(1)210z z -+=的两个根为1322z i =±.…………2分1cos 2A ∴=,3sin 2A = ,3A π= .…………4分 ∴ 562sin sin124C π+==,sin sin c a C A = ,得3262c +=……………7分 (2)2222cos a b c bc A =+-.∴2292b c bc bc bc bc =+-≥-=,从而9bc ≤,等号当b c =时成立,此时max 193sin 24S bc A ==.∴ABC ∆的面积的最大值等于934.……………14分 8、(1)21cos 21(=sin cos sin sin 222x f x x x x x --=+),…………………………2分 21sin(2)242x π=+-,…………………………4分 当16x π=时,则322416482x πππππ+=⨯+=<, 又函数()f x 在[,]16a π上递增,则242a ππ+≥-,即38a π≥-,………………………7分 则实数a 的取值范围为3[,)816a ππ∈-. …………………………………………………8分 (2)若函数()f x 的图像关于点11(,)Q x y 对称,则1sin(2)04x π+=, ………………2分即124x k ππ+=(Z k ∈),则128k x ππ=-[,]44ππ∈-,………………………………4分由Z k ∈得0k =,则点Q 的坐标为1(,)82π--. …………………………………………6分 9、解:(1)231cos ()3sincos cos 1sin 122222x x x xf x x +=-+=-+ 3111s i n c o s s i n ()22262x x x π=-+=-+ ∵113() sin(); [0,]10652f x x x ππ=∴-=∈又∴33arcsin arcsin 6565x x ππ-=⇒=+(2)由A C A B a c A b sin 3sin 2cos sin 232cos 2-≤-≤得2sin cos 2sin()3sin B A A B A ⇒≤+-2sin cos 2[sin cos cos sin )3sin B A A B A B A ⇒≤+-32sin cos 3sin cos (0,]26A B A B B π⇒≥⇒≥⇒∈ ∴111sin()(,0],()sin()()(0,]62622B f B B f B ππ-∈-=-+⇒∈即 10、(1)()3sin cos =2sin 6f x x x x ωωωπ⎛⎫=++⎪⎝⎭由已知,得2sin 036ωππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭, ………………2分 所以36k ωππ-=π-()k ∈Z , ………………4分即132k ω=-+,又1ω<,所以12ω=. ………………6分(2)因为2ω=,所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭, 又因为()1f A =,所以1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ………………8分 而22666A πππ<+<π+,故266A π5π+=,所以3A π= ………………10分 由余弦定理得2221cos 22b c a A bc+-==,即223b c bc +-=,…………12分又3b c +=,解得2bc =. ………………14分11、 解:(1)由cos 18AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅=-,且6,32AB AC ==, ………2分222226(32)2(18)310BC AB AC AB AC cosA =+-⋅⋅=+-⋅-=………6分(2)在ABC ∆中,6,32AB AC ==,310BC =,2222226(32)(310)2cos 222632AB AC BC A AB AC +-+-===-⋅⋅⋅⋅ ………10分 22sin 1cos 2A A =-=, ……… ……… ……… ………12分所以112sin 6329222ABC S AB AC A ∆=⋅⋅=⋅⋅⋅=……… ……… ………14分12、(1)θcos 2=AO , θsin 2=BO . ………………………………(2分) θθθθθθcos sin )cos (sin 2sin 2cos 2+=+=+=BO AO L ,⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ. …………(6分) (2)设⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=4sin 2cos sin πθθθx ,⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ,则]2,1(∈x ,……(2分) 所以,21cos sin 2-=x θθ,此时14)(2-=x x x L . ………………………………(4分) 任取1x 、]2,1(2∈x ,且21x x <,)1)(1()1(41414)()(2221212122221121--+=---=-x x x x x x x x x x x L x L , 因为1x 、]2,1(2∈x ,且21x x <,所以0)1)(1(2221>--x x ,0)1(42121>+x x x x , 故0)()(21>-x L x L ,即)(x L 在]2,1(∈x 时是减函数,所以24min =L .……(7分) L 最小值的实际意义是:在拐弯时,铁棒的长度不能超过24m ,否则,铁棒无法通过.也就说,能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为24m . …………………………(8分)13、 解:(1)设塔高,PH x =由题意知,45,45HAP HBP ∠=∠=,所以,PAH PBH ∆∆均为等腰直角三角形∴AH BH x == ……………2分在AHB ∆中,AH BH x == ,27HAB ∠= ,36.6AB = ∴16.8218.86cos cos 27ABx HAB ===∠︒……………6分 (2)在BOH ∆中,120BOH ∠= , 180120227O B H ∠=︒--⨯︒=︒,18.86BH = , 由sin sin OH BH OBH BOH=∠∠ , 得18.86sin 6 2.28sin120OH ⨯︒==︒……………10分 ∴ 2.28arctan arctan 6.8918.86OH OPH PH ∠===︒ ……………13分所以塔高18.9米,塔的倾斜度为 6.9。