上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练：三角函数

上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练三角函数一、选择、填空题1、（2017上海高考）设1a 、2a ∈R ，且121122sin 2sin(2)αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于2、（2016上海高考）方程3sin 1cos 2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________3、（浦东新区2018高三二模）函数23()cos sin 22f x x x =+，x ∈R 的单调递增区间为 4、（宝山区2018高三上期末）函数y cos x 22(3)1π=-的最小正周期为 ． 5、（崇明区2018高三上期末（一模））若函数y=2sin （ωx ﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω= ．6、（奉贤区2018高三上期末）已知tan 2θ=-，且⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ,2，则cos θ=________. 7、（虹口区2018高三二模）已知(0,)απ∈，3cos 5α=-，则tan()4πα+= ． 8、（黄浦区2018高三二模）已知ABC ∆的三内角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，若2222sin a b c bc A=+-，则内角A 的大小是 ． 9、（静安区2018高三二模）方程3cos22x =-的解集为 10、（普陀区2018高三二模）在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222()tan b c a A bc +-=，则角A 的大小为________.11、（青浦区2018高三二模）若1sin 3α=，则cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______________． 12、（青浦区2018高三上期末）函数()23sin cos cos f x x x x =+的最大值为 ．13、（松江区2018高三上期末）已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点01(,)2P y ，则cos 2α=▲ ．14、（松江区2018高三上期末）函数sin 2y x =的图像与cos y x =的图像在区间[]0,2π上交点的个数是 ▲ ．15、（杨浦区2018高三上期末）已知3cos 5θ=-，则sin()2πθ+=16、（长宁、嘉定区2018高三上期末）已知54sin =α，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2cos πα__________. 17、（2016上海高考）已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________ 18、（静安区2018高三二模）函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的部分 图像如图所示，则()3f π的值为（ ） A.22 B. 32 C. 62D. 019、（虹口区2017届高三一模）设函数()sin cos f x x x =-，且()1f α=，则s i n 2α= ．20、（黄浦区2017届高三上学期期终调研）已知π1sin()23α+=，π(,0)2α∈-，则tan α的值为 ．二、解答题1、（2018上海高考）设常数a R ∈，函数f x （）22?asin x cos x =+ （1）若f x （）为偶函数，求a 的值； （2）若4f π〔〕31=+，求方程12f x =-（）在区间ππ-［，］上的解。

2、（2017上海高考）已知函数221()cos sin 2f x x x =-+，(0,)x π∈. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边19a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求△ABC 的面积.3、（浦东新区2018高三二模）在ABC ∆中，边a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对应的边.（1）若2(2)sin 0(2)sin 1sin (2)sin c a b A b a BC a b A-=-+-，求角C 的大小；c a b 2114111---=- （2）若4sin 5A =，23C π=，3c =，求ABC ∆的面积.4、（宝山区2018高三上期末）已知函数xf x sin 2()122=-． （1）求f x ()在322ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的单调递减区间； （2）设ΔABC 的内角A B C ，，所对应的边依次为a b c ，，，若且f C 1()2=，求ΔABC 面积的最大值，并指出此时ΔABC 为何种类型的三角形． 5、（崇明区2018高三上期末（一模））已知f （x ）=2sinxcosx +2cos 2x ﹣1．（1）求f （x ）的最大值及该函数取得最大值时x 的值； （2）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 所对的边，若a=，b=，且f （）=，求边c 的值．6、（奉贤区2018高三上期末）如图，某公园有三条观光大道AC BC AB ,,围成直角三角形，其中直角边m BC 200=，斜边m AB 400=．（1）若甲乙都以每分钟m 100的速度从点B 出发，甲沿BA 运动，乙沿BC 运动， 乙比甲迟2分钟出发，求乙出发后的第1分钟末甲乙之间的距离；（2）现有甲、乙、丙三位小朋友分别在点F E D ,,．设θ=∠CEF ，乙丙之间的距离EF 是甲乙之间距离DE 的2倍，且3π=∠DEF ，请将甲乙之间的距离DE y =表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离．7、（虹口区2018高三二模）已知ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，cos sin z A i A =+⋅（i 是虚数单位）是方程210z z -+=的根，3a =.（1）若4B π=，求边长c 的值；（2）求ABC ∆面积的最大值.8、（普陀区2018高三二模） 已知函数2(=sin cos sin f x x x x -），R x ∈. （1）若函数()f x 在区间[,]16a π上递增，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 的图像关于点11(,)Q x y 对称，且1[,]44x ππ∈-，求点Q 的坐标.9、（青浦区2018高三二模）已知向量(cos,1)2x m =-，2(3sin ,cos )22x xn =，设函数()1f x m n =⋅+．（1）若[0,]2x π∈，11()10f x =，求x 的值； （2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是c b a ,,且满足2cos 23,b A c a ≤-求()f B 的取值范围．10、（松江、闵行区2018高三二模）已知函数()3sin cos f x x x ωω=+，（1）当03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且1ω<时，求ω的值； （2）在ABC △中，a b c 、、分别是角A B C 、、的对边，3a =，3b c +=， 当2ω=，()1f A =时，求bc 的值.11、（松江区2018高三上期末）在ABC ∆中，6,32AB AC ==，18AB AC ⋅=-． （1）求BC 边的长； （2）求ABC ∆的面积．12、（长宁、嘉定区2018高三上期末）一根长为L 的铁棒AB 欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽2==BD AC m ．（1）设θ=∠BOD ，试将L 表示为θ的函数； （2）求L 的最小值，并说明此最小值的实际意义．13、（松江区2017届高三上学期期末质量监控）上海市松江区天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔” ．兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高：如图，记O 点为塔基、P 点为塔尖、点P 在地面上的射影为点H ．在塔身OP 射影所在直线上选点A ，使仰角45HAP ︒∠=，过O 点与OA 成120︒的地面上选B 点，使仰角45HBP ︒∠=（点A 、B 、O 都在同一水平面上），此时测得27OAB ∠=，A 与B 之间距离为33.6米．试求： （1）塔高（即线段PH 的长，精确到0.1米）；（2）塔身的倾斜度（即PO 与PH 的夹角，精确到0.1）.14、（徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断）已知函数23cos sin ()cos 1xxf x x-=． （1）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域； （2）已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()3,4,52Af a b c ==+=， 求ABC ∆的面积．15、（长宁、嘉定区2017届高三上学期期末质量调研）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，θO ACBDEθC 的对边，且72cos 22sin 82=-+A CB ． （1）求角A 的大小； （2）若3=a ，3=+c b ，求b 和c 的值．参考答案：一、选择、填空题 1、【解析】111[,1]2sin 3α∈+，211[,1]2sin(2)3α∈+，∴121112sin 2sin(2)αα==++，即12sin sin(2)1αα==-，∴122k παπ=-+，24k παπ=-+，12min |10|4ππαα--=2、566ππ或 3、【解析】1()sin(2)62f x x π=++，∴单调递增区间为[,]36x k k ππππ∈-+，k ∈Z 4、135、26、55-7、17- 8、4π9、5{|,}12x x k k ππ=±∈Z 10、6π 11、1312、3213、－12 14、4 15、35-16、54-17、73318、C 19、0 20、22- 二、解答题1、2、【解析】（1）1()cos 22f x x =+，(0,)x π∈，单调递增区间为[,)2ππ （2）1cos223A A π=-⇒=，∴225191cos 2252c A c c +-==⇒=⋅⋅或3c =， 根据锐角三角形，cos 0B >，∴3c =，115sin 324S bc A ==3、【解析】（1）由题意，()()2sin 2sin 2sin c C a b A b a B =-+-；……………2分 由正弦定理得()()2222c a b a b a b =-+-，∴222c a b ab =+-，……………2分∴2221cos 22a b c C ab +-==，∴3C π=；……………2分 （2）由4sin 5A =，3c =，且sin sin a c A C =，∴85a =；…………2分由23a c A C π<⇒<=，∴3cos 5A =,…………2分∴()334sin sin sin cos cos sin 10B AC A C A C -=+=+=；…………2分∴11883sin 225ABC S ca B ∆-==…………2分4、解：（1）由题意可得f x cosx ()=，故f x ()在322ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的单调递减区间为2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． （2）由已知可得a b 4+=，Q f C 1()2=，∴cosC 12=，又C (0)π∈，，∴C 3π=．故ΔABC S a b s i n C 12=a b 34=a b 23()42+≤⋅3=，当a b 2==时取等号，即ΔABC 面积的最大值为3，此时ΔABC 是边长为2的正三角形．5、解：f （x ）=2sinxcosx +2cos 2x ﹣1=sin2x +cos2x=2sin （2x +）（1）当2x +=时，即x=（k ∈Z ），f （x ）取得最大值为2；（2）由f （）=，即2sin （A +）=可得sin （A +）=∵0＜A ＜π ∴＜A＜∴A =或∴A=或当A=时，cosA==∵a=，b=，解得：c=4 当A=时，cosA==0∵a=，b=，解得：c=2．6、（1）可用余弦定理求得3B π∠=2分300,100D E BD BE ==设甲在处，乙在处, 2分2222cos 7007DE BD BE BDBE B DE =+-=所以=100 3分（2）,3DEB B BDE πθ∠=∠=三角形中， 1分2002cos BE BC CE y θ=-=- 1分1003,[0,]sin sin 2sin 3cos DE BE y B DEB πθθθ==∈∠∠+由得 1分 （式子出来3分）1003,[0,]22sin 3y πθπθ=∈⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 1分5036y πθ=时，取最小值 2分答：5036y πθ=时，取最小值 1分7、解：（1）210z z -+=的两个根为1322z i =±.…………2分1cos 2A ∴=，3sin 2A = ，3A π= .…………4分 ∴ 562sin sin124C π+==，sin sin c a C A = ，得3262c +=……………7分 （2）2222cos a b c bc A =+-.∴2292b c bc bc bc bc =+-≥-=，从而9bc ≤，等号当b c =时成立，此时max 193sin 24S bc A ==.∴ABC ∆的面积的最大值等于934.……………14分 8、（1）21cos 21(=sin cos sin sin 222x f x x x x x --=+），…………………………2分 21sin(2)242x π=+-，…………………………4分 当16x π=时，则322416482x πππππ+=⨯+=<， 又函数()f x 在[,]16a π上递增，则242a ππ+≥-，即38a π≥-，………………………7分 则实数a 的取值范围为3[,)816a ππ∈-. …………………………………………………8分 （2）若函数()f x 的图像关于点11(,)Q x y 对称，则1sin(2)04x π+=， ………………2分即124x k ππ+=（Z k ∈），则128k x ππ=-[,]44ππ∈-，………………………………4分由Z k ∈得0k =，则点Q 的坐标为1(,)82π--. …………………………………………6分 9、解：（1）231cos ()3sincos cos 1sin 122222x x x xf x x +=-+=-+ 3111s i n c o s s i n ()22262x x x π=-+=-+ ∵113() sin(); [0,]10652f x x x ππ=∴-=∈又∴33arcsin arcsin 6565x x ππ-=⇒=+（2）由A C A B a c A b sin 3sin 2cos sin 232cos 2-≤-≤得2sin cos 2sin()3sin B A A B A ⇒≤+-2sin cos 2[sin cos cos sin )3sin B A A B A B A ⇒≤+-32sin cos 3sin cos (0,]26A B A B B π⇒≥⇒≥⇒∈ ∴111sin()(,0],()sin()()(0,]62622B f B B f B ππ-∈-=-+⇒∈即 10、（1）()3sin cos =2sin 6f x x x x ωωωπ⎛⎫=++⎪⎝⎭由已知，得2sin 036ωππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， ………………2分 所以36k ωππ-=π-()k ∈Z ， ………………4分即132k ω=-+，又1ω<，所以12ω=. ………………6分（2）因为2ω=，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 又因为()1f A =，所以1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ………………8分 而22666A πππ<+<π+，故266A π5π+=，所以3A π= ………………10分 由余弦定理得2221cos 22b c a A bc+-==，即223b c bc +-=，…………12分又3b c +=，解得2bc =. ………………14分11、 解：（1）由cos 18AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅=-，且6,32AB AC ==， ………2分222226(32)2(18)310BC AB AC AB AC cosA =+-⋅⋅=+-⋅-=………6分（2）在ABC ∆中，6,32AB AC ==，310BC =，2222226(32)(310)2cos 222632AB AC BC A AB AC +-+-===-⋅⋅⋅⋅ ………10分 22sin 1cos 2A A =-=， ……… ……… ……… ………12分所以112sin 6329222ABC S AB AC A ∆=⋅⋅=⋅⋅⋅=……… ……… ………14分12、（1）θcos 2=AO ， θsin 2=BO ． ………………………………（２分） θθθθθθcos sin )cos (sin 2sin 2cos 2+=+=+=BO AO L ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ． …………（6分） （2）设⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=4sin 2cos sin πθθθx ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ，则]2,1(∈x ，……（2分） 所以，21cos sin 2-=x θθ，此时14)(2-=x x x L ． ………………………………（4分） 任取1x 、]2,1(2∈x ，且21x x <，)1)(1()1(41414)()(2221212122221121--+=---=-x x x x x x x x x x x L x L ， 因为1x 、]2,1(2∈x ，且21x x <，所以0)1)(1(2221>--x x ，0)1(42121>+x x x x ， 故0)()(21>-x L x L ，即)(x L 在]2,1(∈x 时是减函数，所以24min =L ．……（7分） L 最小值的实际意义是：在拐弯时，铁棒的长度不能超过24m ，否则，铁棒无法通过．也就说，能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为24m ． …………………………（8分）13、 解：(1)设塔高,PH x =由题意知，45,45HAP HBP ∠=∠=,所以,PAH PBH ∆∆均为等腰直角三角形∴AH BH x == ……………2分在AHB ∆中，AH BH x == ，27HAB ∠= ，36.6AB = ∴16.8218.86cos cos 27ABx HAB ===∠︒……………6分 (2)在BOH ∆中，120BOH ∠= ， 180120227O B H ∠=︒--⨯︒=︒，18.86BH = ， 由sin sin OH BH OBH BOH=∠∠ ， 得18.86sin 6 2.28sin120OH ⨯︒==︒……………10分 ∴ 2.28arctan arctan 6.8918.86OH OPH PH ∠===︒ ……………13分所以塔高18.9米，塔的倾斜度为 6.9。