高三数学复习之三角函数专题
三角函数的图象与性质(高三一轮复习)
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
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(4)三角函数型函数奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性 质，如在y＝Asin(ωx＋φ)中代入x＝0，若y＝0，则为奇函数，若y为最大或最小值， 则为偶函数．若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函 数，则φ＝2π＋kπ(k∈Z)．
A．y＝fx－π4为奇函数 B．y＝fx－4π为偶函数 C．y＝fx＋4π－1为奇函数 D．y＝fx＋π4－1为偶函数
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(2)(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin
ωx＋π4
＋b(ω>0)的最小正周期为T.若
2π 3
<T<π，且y＝f(x)的图象关于点32π，2中心对称，则fπ2＝( A )
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2．(易错题)(2023·宜昌检测)下列函数中，在其定义域上是偶函数的是( B )
A．y＝sin x
B．y＝sin x
C．y＝tan x
D．y＝cosx－π2
解析 对于A，∵y＝sin x的定义域为R，sin(－x)＝－sin x，∴y＝sin x为奇函
数，A错误；对于B，∵y＝
sin
x
的定义域为R，
sin－x
＝
－sin
x
＝
sin
x
，∴y＝
sin x为偶函数，B正确；对于C，∵y＝tan x的定义域为kπ－π2，kπ＋2π(k∈Z)，即定 义域关于原点对称，tan(－x)＝－tan x，∴y＝tan x为奇函数，C错误；对于D，∵y＝
【高三数学专题复习】三角函数图像性质(含解析)
专题2 三角函数的图象和性质【老师预测】（1） 三角函数的图象和性质是历年高考中的必考知识点，在高考中，客观题和解答题均会出现，大多以中、低档题为主，主要集中考查三角函数的周期、图象、单调性、值域或最值几个方面，解决此类问题，要求学生熟练地掌握三角函数的图象及其性质，避免失分。
（2）函数sin()y A x ωϕ=+的图象和性质是高考中的必考知识点，在高考中，主要集中考查图象之间的平移伸缩变换、由图象求函数解析式以及利用正余弦型函数解决实际问题为主，常与三角函数的性质、三角恒等变换、向量结合起来综合考查，需多加强数形结合思想的应用意识。
【知识精讲】一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)． 余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 二、正弦函数sin y x =,余弦函数cos y x =,正切函数tan y x =的图象与性质三、函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质 1．函数sin()y A x ωϕ=+的图象的画法与变换 （1）变换作图法由函数sin y x =的图象通过变换得到sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.（2）五点作图法找五个关键点，分别为使y 取得最小值、最大值的点和曲线与x 轴的交点.其步骤为： ①先确定最小正周期T =2ωπ,在一个周期内作出图象；②令=X x ωϕ+,令X 分别取0，2π,π,322ππ,,求出对应的x 值，列表如下：由此可得五个关键点；③描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到sin()y A x ωϕ=+的简图. 2．函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的性质（1）奇偶性：=k ϕπ时，函数sin()y A x ωϕ=+为奇函数；=2k ϕππ+时，函数sin()y A x ωϕ=+为偶函数.（2）周期性：sin()y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =2ωπ.（3）单调性：根据y =sin t 和t =x ωϕ+的单调性来研究，由+22,22k x k k ωϕππ-π≤+≤+π∈Z 得单调增区间；由+22,22k x k k ωϕπ3ππ≤+≤+π∈Z 得单调减区间. （4）对称性：利用y =sin x 的对称中心为(,0)()k k π∈Z 求解，令x k k ωϕ+=π(∈)Ζ，求得x .利用y =sin x 的对称轴为()2x k k π=π+∈Z 求解，令+2x k k ωϕπ+=π(∈)Ζ，得其对称轴. 3．函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的物理意义当函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0,[0,)x ∈+∞）表示一个简谐振动量时，则A 叫做振幅，T =2ωπ叫做周期，f =12πT ω=叫做频率,x ωϕ+叫做相位，x =0时的相位ϕ叫做初相. 【典例精练】考点一 三角函数的定义域例1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的定义域为________________． 【解析】由2x －π4≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋3π8，k ∈Z ，故所求定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π2＋3π8，k ∈Z . 故答案为：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π2＋3π8，k ∈Z 例2．求函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＞0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π＜x ＜k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x ＜－π2或0＜x ＜π2.∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2. 【方法点睛】(1)应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域，要注意本身的要求； (2)求复杂函数的定义域时转化为求解简单的三角不等式． 考点二 三角函数的值域或最值例3．．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．【解析】由x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6. ∵x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，所以π3≤a ≤π.故答案为：⎣⎡⎦⎤π3，π例4．求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值．【解析】令t ＝sin x . ∵|x |≤π4∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22. 【方法点睛】三角函数值域或最值的3种求法 (1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解；(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域； (3)换元法：把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数来求． 考点三 三角函数的图象与性质例5．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ－3cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ⎝⎛⎭⎫|θ|＜π2的图象关于原点对称，则角θ＝________. 【解析】∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ－π3，且f (x )的图象关于原点对称 ∴f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝0 ∴θ－π3＝k π(k ∈Z)，即θ＝π3＋k π(k ∈Z)．又|θ|＜π2∴θ＝π3.故答案为：π3例6．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈[0，π]，则f (x )的单调递增区间为________． 【解析】由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π，k ∈Z.又∵x ∈[0，π]∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π4. 故答案为：⎣⎡⎦⎤0，π4 例7．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________. 【解析】∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3. ∴ω＝32.故答案为：32【方法点睛】1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．2．求三角函数单调区间的2种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间． 考点四 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与变换例8．将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象沿x 轴向左平移π8个单位长度，得到函数y ＝f (x )的图象，若函数y ＝f (x )的图象过原点，则φ＝________.【解析】由题意可得f (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ，因为函数y ＝f (x )的图象过原点，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝0，所以π4＋φ＝k π(k ∈Z)，即φ＝k π－π4(k ∈Z)，又因为0＜φ＜π，所以φ＝3π4. 故答案为：3π4.例9．将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位长度后，所得函数为偶函数，则φ＝________.【解析】将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移φ个单位长度后，所得函数为 3sin 2()3y x πϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦ 3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－2φ. ∵所得的函数为偶函数∴π3－2φ＝k π＋π2(k ∈Z)，解得φ＝－k π2－π12(k ∈Z) ∵0＜φ＜π2∴k ＝－1，得φ＝5π12.故答案为：5π12.【方法点睛】函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的两种作法【注】 平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 考点五 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例10．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π2＝________.【解析】由题图知A ＝1，T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，所以T ＝π＝2πω，得ω＝2，又f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，所以φ＝－2π3＋2k π(k ∈Z)或φ＝π3＋2k π(k ∈Z)(舍去，因为f (0)＜0)，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，故f ⎝⎛⎭⎫π2＝sin ⎝⎛⎭⎫π－2π3＝32. 故答案为：32. 例11．设函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(0＜x ＜π)，当且仅当x ＝π12时，y 取得最大值，则正数ω的值为______． 【解析】∵0＜x ＜π，ω＞0 ∴ωx ＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，ωπ＋π3， 又∵函数当且仅当x ＝π12时取得最大值∴⎩⎨⎧ωπ＋π3≤5π2，πω12＋π3＝π2，解得ω＝2.故答案为：2.【方法点睛】确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)中参数的方法（1）求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2；（2）求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ；（3）求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：作业：【名校新题】一、填空题1．（2019·常州第一中学高三月考）将函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后，得到函数()f x 的图像，若函数()f x 是偶函数，则ϕ的值为____． 【解析】由题意，将函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后，得到函数()()sin 2sin 2266f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象，若函数()f x 是偶函数，则262k ππϕπ-+=+，即26k ππϕ=--，k Z ∈，所以3πϕ=， 故答案为：3π．2．（2019·南京二模）若函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象经过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭，且相邻两条对称轴间的距离为2π，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为______. 【解析】因为相邻两条对称轴间的距离为2π，所以2==2.ππωω∴，所以()()2sin 2f x x ϕ=+. 因为函数的图象经过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭，所以sin(=10,36ππϕϕπϕ+<<∴=Q ），.所以()f x =2sin(2)6x π+，所以()2sin()426f πππ=+=3．（2019·高邮期初模拟）函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．【解析】0x πQ ≤≤193666x πππ∴≤+≤由题可知3336262x x ，ππππ+=+=，或5362x ππ+=解得4x ,99ππ=,或79π故有3个零点. 故答案为：3.4．（2018·江苏高考真题）已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是________．【解析】由题意可得2sin π13ϕ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，所以2πππππ()326k k k Z ϕϕ+=+=-+∈，，因为ππ22ϕ-<<，所以π0,.6k ϕ==- 故答案为：6π-. 5．（2019·启东中学开学考试）已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-，则ω的最小值等于____.【解析】函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-，而x ω的取值范围是[]34ωπωπ-，，当22x k πωπ=-+，k Z ∈时，函数有最小值2-，∴232k ωπππ-≤-+，且 242k ωπππ≥-+，k Z ∈， ∴362k ω-≤，82k ω≥-，k Z ∈， ∵0>ω， ∴ω的最小值等于32， 故答案为：32． 6．（2019·高邮开学考试）设*N ω∈且10ω≤则使函数sin y x ω=在区间,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调的ω的个数是______.【解析】由于函数在区间,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，故在区间(,)43ππ上有对称轴，由sin y x ω=，有πππ2π,(),()2k x k k Z x k Z ωω+=+∈=∈，故ππππ2,()43k k Z ω+<<∈，由于0>ω，故有42,()332k k Z k ωω<+⎧⎪∈⎨>+⎪⎩，即3342,()0102k k k Z ωω+<<+∈<≤∴Q 1,2k =，求得5,8,9ω=. 故答案为：3.7．（2019·苏锡常第二次调研）函数()cos()(0)3f x x πωω=->的图像关于直线2x π=对称，则ω的最小值为_______．【解析】因为函数()cos (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图像关于直线2x π=对称， 所以cos 123ππω⎛⎫⨯-=± ⎪⎝⎭，所以()23k k Z ππωπ⨯-=∈. 解得：()223k k Z ω=+∈，又0>ω， 所以当0k =时，ω最小且为23.故答案为：23.8．（2019·常州期末）已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,φ∈R)是偶函数，点(1,0)是函数y =f(x)图象的对称中心，则ω最小值为________.【解析】∵函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，φ∈R ）是偶函数， ∴φ＝k 1π+π2,k 1∈Z ,∵点（1，0）是函数y ＝f （x ）图象的对称中心 ∴sin （ω+φ）＝0，可得ω+φ＝k 2π，k 2∈Z ， ∴ω＝k 2π﹣φ＝（k 2﹣k 1）π﹣π2．又ω＞0，所以当k 2﹣k 1＝1时，ω的最小值为π2． 故答案为：π2．9．（2019·镇江考前模拟）若函数()2sin()f x x ωϕ=+ （01ω<<，02πϕ<<）的图像过点，且关于点(2,0)-对称，则(1)f -=_______.【解析】函数()()2sin f x x ωϕ=+的图像过点( 2sin ϕ∴=sin ϕ=02πϕ<<Q 3πϕ∴=又函数图象关于点()2,0-对称 2sin 203πω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，即：23k πωπ-+=，k Z ∈ 126k πωπ∴=-+，k Z ∈01ω<<Q 6πω∴=()2sin 63f x x ππ⎛⎫∴=+⎪⎝⎭，()12sin 2sin 1636f πππ⎛⎫∴-=-+== ⎪⎝⎭故答案为：1.10．（2019·南通3月联考）已知角ϕ的终边经过点(12)P -，，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，则()π12f 的值为____．【解析】角ϕ终边经过点()1,2P -，则sin5ϕ==-，cos 5ϕ==∵()f x 两条相邻对称轴之间距离为3π∴23T π=，即223T ππω== ∴3ω=，即()()sin 3f x x ϕ=+sin sin cos cos sin 12444f ππππϕϕϕ⎛⎛⎫⎛⎫∴=+=+== ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：. 11．（2019·南京一模）设函数π()sin()3f x x ω=+，其中0>ω．若函数()f x 在[]0,2π上恰有2个零点，则ω的取值范围是________．【解析】()f x 取零点时x 满足条件()3k x k Z ππωω=-+∈，当0x >时的零点从小到大依次为 123258,,333x x x πππωωω===，所以满足523823ππωππω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩ ，解得：54,63ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ 故答案为：54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 12．（2018·无锡期中）已知定义在区间[,]44ππ-上的函数()2sin cos (0)f x a x x b a =+<的最大值为4，最小值为52，则________.a b ⋅= 【解析】因为()()2sin cos sin2f x a x x bf x a x b =+=+，x ,44ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦, 所以2x ,22ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()[],f x a b a b ∈+-+, 从而35394.2131644a a b ab a b b ⎧=-⎧⎪+=⎪⎪∴=-⎨⎨⎪⎪-+==⎩⎪⎩， 故答案为：3916-. 13．（2019·盐城期中）若函数()sin3(01)f x x m m =-<<的所有正零点构成公差为d (d ＞0)的等差数列，则d ＝_______．【解析】设第一个正零点为0x ，则第三个正零点为02x d +，由题意得00π3(2)3π.6x d x d +-=∴= 故答案为：6π.14．（2019·徐州期中）已知函数()sin()f x x π=-223，若12()()4f x f x ⋅=-，且[]12,,x x ππ∈-，则12x x -的最大值为______．【解析】1212()()2sin(2)2sin(2)433f x f x x x ππ⋅=-⨯-=-，12sin(2)sin(2)133x x ππ-⨯-=-令1sin(2)3x π-＝1，2sin(2)13x π-=-，则11(2)223x k πππ=++，21(2)223x n πππ=-+.∴12x x -＝1(22)2k n πππ-+＝1[2()]2k n ππ-+＝1(2)2m ππ+，m ，n ，k 都是整数∵[]12,,x x ππ∈- ∴[]122,2x x ππ-∈-， ∴12x x -的最大值为13(2)22πππ+=. 故答案为：32π. 15．（2019·苏北四市期末）将函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0>ω）的图象向左平移π3个单位长度后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为______.【解析】将函数f （x ）＝sin （ωx 6π-）（ω＞0）的图象向左平移3π个单位后，可得函数y ＝sin （ωx 36πωπ+-）的图象，再根据所得图象关于直线x ＝π对称，可得ωπ36πωπ+-=k π2π+，k ∈Z ， ∴当k ＝0时，ω取得最小值为12，故答案为：12．16．（2019·海门第二次调研）将函数f(x)=sin2x 的图像向右平移π6个单位，得到函数g(x)的图像，则函数g(x)在区间[0，π2]上的值域为_____________. 【解析】由题得y=g （x ）=sin2(x −π6)=sin(2x −π3), 因为0≤x ≤π2,∴0≤2x ≤π,∴−π3≤2x −π3≤2π3，所以−√32≤sin(2x −π3)≤1.所以函数y=g(x)的值域为[−√32,1].故答案为：[−√32,1].17．（2018·江苏泰州中学高三月考）将sin 2y x =的图像向右平移ϕ单位（0ϕ>），使得平移后的图像仍过点(3π，则ϕ的最小值为__________．【解析】将sin 2y x =的图像向右平移ϕ单位（0ϕ>）得到sin 2()y x ϕ=-，代入点(3π得：2sin(2)23πϕ=- ，因为0ϕ>，所以当22=33ππϕ-时，第一个正弦值为2的角，此时6π=ϕ. 故答案为：6π. 18．（2019·常州期中）将函数f(x)=sin2x 的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足|f(x 1)−g(x 2)|=2的x 1、x 2有|x 1−x 2|min =π3，则φ=______． 【解析】因为函数f(x)=sin2x 的周期为π，函数f(x)=sin2x 的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位后, 得到函数g(x)sin(2x −2φ)的图象．满足|f(x 1)−g(x 2)|=2的可知，f (x 1)、g(x 2)一个取最大值一个取最小值 因为x 1−x 2|min =π3， 若x 1=π4，x 2=7π12，f(x)在x 1=π4取最大值，g(x)在x 2=7π12取得最小值，sin(2×7π12−2φ)=−1， 此时φ=−π6，不合题意， x 1=3π4，x 2=5π12， f(x)在x 1=3π4取最小值，g(x)在x 2=5π12，取得最大值，sin(2×5π12−2φ)=1，此时φ=π6，满足题意．故答案为：π6．二、解答题19．（2019·扬州调研）已知函数f (x )＝1＋3cos 2x －2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x . （1）求f (x )的最小正周期和单调递减区间；（2）若方程f (x )－m ＝0在区间⎣⎡⎦⎤π4，π上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．【解析】（1）∵f (x )＝1＋3cos 2x －2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝3cos 2x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z. ∴f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z)． （2）由题意知，函数y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，π上的图象与直线y ＝m 有两个不同的交点． 由（1）知，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，7π12上单调递减，在⎣⎡⎦⎤7π12，π上单调递增， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫7π12＝－2， 又f ⎝⎛⎭⎫π4＝1，f (π)＝3，∴当－2＜m ≤1时，函数y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，π上的图象与直线y ＝m 有两个不同的交点，即方程f (x )－m ＝0在区间⎣⎡⎦⎤π4，π上有两个不同的实数解． ∴实数m 的取值范围为(－2,1]．20．（2019·连云港调研）函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，点P ⎝⎛⎭⎫π6，2为其图象上一个最高点． （1）求f (x )的解析式；（2）将函数f (x )图象上所有点都向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，求g (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上的值域．【解析】（1）∵函数f (x )的最小正周期为π. ∴2πω＝π，解得ω＝2. 又点P ⎝⎛⎭⎫π6，2为其图象上一个最高点， ∴A ＝2，sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1， 又－π2＜φ＜π2，所以φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. （2）由题意得g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6，当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，2x ＋5π6∈⎝⎛⎭⎫11π6，17π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6∈⎝⎛⎦⎤－12，1，2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6∈(－1,2]， 故g (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上的值域为(－1,2]．。
三角函数专题复习-三角恒等变换导学案-2023届高三数学二轮专题复习
三角函数第1课时 任意角和弧度制、三角函数的概念【学习目标】1.了解任意角的概念会用公式求扇形弧长、面积；2.会用三角函数定义求值，能判断三角函数在各象限的符号. 【教学过程】 一、基础自测1.下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A.2k π＋45°(k ∈Z )B.k ·360°＋9π4(k ∈Z )C.k ·360°－315°(k ∈Z )D.k π＋5π4(k ∈Z )2.一扇形的圆心角α＝︒60，半径R ＝10 cm ，该扇形的面积为 .3.若角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (－1,2)，则sin α－cos α＋tan α＝________.4.已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[必备知识] 1.角的概念(1)定义： .(2)分类： (3)终边相同的角： . 2.弧度制的定义和公式(1)定义： .(2)公式： . 3.设角α终边上异于原点的任意一点P (x ，y )，r ＝x 2＋y 2.三角函数 定义 定义域第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号sin αcos αtan α角度 ︒0 ︒30 ︒45 ︒60 ︒90 ︒120 ︒135 ︒150 ︒180弧度 sin αcos α tan α二、典例精讲例1（1）已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m4，则cos α＝________，tan α＝________. （2）若α为第二象限角，则cos 2α，cos α2，1sin 2α中，其值必为正的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个归纳：巩固练习1:（1）已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A.－12B.－32C.12D.32（2）设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角例2.扇形周长为20 cm ，这个扇形的面积最大时，扇形的圆心角α为 弧度归纳：巩固练习2（多选）已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，下列选项可能正确的有( ) A.圆的半径为2 B.圆的半径为1 C.圆心角的弧度数是1 D.圆心角的弧度数是2三、达标检测1.若扇形的面积为3π8、半径为1，则扇形的圆心角为( )A.3π2B.3π4C.3π8D.3π162.已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α等于( )A.－15B.3715C.3720D.13153.(多选)角α的终边在第一象限，则sinα2⎪⎪⎪⎪sin α2＋cos α2⎪⎪⎪⎪cos α2＋tan α2⎪⎪⎪⎪tan α2的值为( )A.－1B.1C.－3D.34.若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________.5.已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义. (1)试判断角α所在的象限； (2)若角α的终边上一点M ),53(m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值.思维导图 三角 函数任意角与弧度制任意角的三角函数角定义弧度制符号角度与弧度互化 特殊角弧度数 扇形弧长、面积三角函数第2课时同角三角函数基本关系与诱导公式【学习目标】1.会用同角基本关系式解决给值求值问题；2.熟记诱导公式并会用诱导公式化简求值. 【教学过程】 二、基础自测1.若sin α＝55，π2<α<π，则αcos = tan α=2.若sin(π＋α)＝12，α∈02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则tan(π－α)等于( ) A ．－12B 3C 3D 33．已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则()tan α-=（ ）A ．–2B ．2C ．13- D ．134．sin 1 050°等于( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 [必备知识]1.同角三角函数的基本关系平方关系： 商数关系： 2.公式 角 正弦 余弦 正切 口诀① 2k π＋α(k ∈Z )奇变偶不变，符号看象限② －α ③ π－α ④ π＋α⑤ π2－α⑥ π2＋α⑦ 32π＋α⑧ 32π－α三、典例精讲例1（1）已知tan α＝2，则3sin α－cos αsin α＋2cos α等于( )A.54 B ．－54 C.53 D ．－53（2）已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈)4,0(π，则sin θ－cos θ的值为 ．归纳：巩固练习1:（1）已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为 ．（2）已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则sin θ－cos θ= ，tan θ＝ . 例2.（1）在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点P (3,4)，则sin )22021(πα-等于( ) A ．－45 B ．－35 C.35 D.45（2）已知sin )3(απ+＝1213，则cos )6(απ-等于( )A.513B.1213 C ．－513 D ．－1213 归纳：巩固练习2：（1）已知α∈(0，π)，且cos α＝－1517，则sin )2(απ+·tan(π＋α)等于( )A ．－1517 B.1517 C ．－817 D.817（2）sin )12(πα-＝13，则cos )1271(πα+＝ .四、达标检测1.已知α是第四象限角，tan α＝－815，则sin α等于( )A.1517 B ．－1517 C.817 D ．－8172.已知(0,)απ∈，若2cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭5sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．14B 2C ．2D 143.(多选)在△ABC 中，下列结论正确的是( )A ．sin(A ＋B )＝sinC B ．sin B ＋C 2＝cos A2 C ．tan(A ＋B )＝－tan C )2(π≠C D ．cos(A ＋B )＝cos C4.sin 4π3·cos 5π6·tan )34(π-的值是 ．5.已知－π2<α<0，且函数f (α)＝cos )23(απ+－sin α·1＋cos α1－cos α－1.(1)化简f (α)； (2)若f (α)＝15，求sin αcos α和sin α－cos α的值．思维导图三角函数第3课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式【学习目标】1.会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式化简求值；2.会用辅助角公式化简求值. 【教学过程】 三、基础自测1.(多选)下面各式中，正确的是( )A.cos π12＝cos π3－cos π4B.cos 5π12＝22sin π3－cos π4cos π3C.cos )12(π-＝cos π4cos π3＋64 D.3sin α＋cos α＝2sin )3(πα+2.已知tan θ＝2，则tan )4(πθ-＝ .3.cos 17°cos 77°＋cos 73°cos 13°＝4.tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝ . [必备知识]两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C α－β：cos(α－β)＝ ；(2)公式C α＋β：cos(α＋β)＝ ； (3)公式S α＋β：sin(α＋β)＝ ；(4)公式S α－β：sin(α－β)＝ ； (5)公式T α＋β：tan(α＋β)＝ ；(6)公式T α－β：tan(α－β)＝ . (7)(辅助角公式)a sin α＋b cos α＝ .五、典例精讲例1（1）若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin )4(πα+等于( )A.－210B.210C.－7210D.7210（2）已知534cos 23sin 23=+αα，则4sin 3απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．23B 23C ．45-D ．45归纳：巩固练习1:（1）已知sin α＝35，α∈),2(ππ，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( )A.－211B.211C.112D.－112（2）若3sin s 2a a +=，则tan()πα+=（ ）A 3B 2C 2D 3例2.已知sin α＝255，sin(β－α)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6归纳：巩固练习2：已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β＝ ..六、达标检测1.－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°等于( ) A.12 B.33 C.22 D.322.已知α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，tan α，tan β是方程x 2＋12x ＋10＝0的两根，则tan(α＋β)等于( ) A.43 B.－2或12 C.12D.－2 3.（多选）已知3cos α－3sin α＝23cos(α＋φ)，则φ的值可能为（ ）A.π6 B.613π C. 6π- D.611π 4.已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝3cos α，tan β＝33，则tan(α＋β)＝ . 5.已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值.思维导图 辅助角公式 a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝aa 2＋b 2三角函数第4课时 三角恒等变换【学习目标】1.熟记正弦、余弦、正切倍角公式；2.会用正弦、余弦、正切倍角公式、半角公式化简求值. 【教学过程】 四、基础自测1.sin 15°cos 15°等于( )A.－14B.14C.－12D.122.已知α，β为锐角，tan α＝43，则cos 2α等于( )A.725B.－725C.2425D.－24253.计算：4tanπ123tan 2π12－3等于( )A.233B.－233C.239D.－239[必备知识]二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S 2α：sin 2α＝ .(2)公式C 2α：cos 2α＝ ＝ ＝ . (3)公式T 2α：tan 2α＝ .(4)(降幂公式)sin 2α＝ ，cos 2α＝ . (5)(半角公式)=2sinα，=2cosα.七、典例精讲例1（1）(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于( )A.53B.23C.13D.59正用、逆用公式变形正弦：正余余正符号同余弦：余余正正符号异（2）已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ .归纳：巩固练习1:（1）(2019·全国Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于( ) A.15 B.55 C.33 D.255（2）已知()5sin 26cos 0απα+-=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2cos 24απ⎛⎫ +⎪⎝⎭=（ ）A ．15-B ．15C ．35D ．45例2.若sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α 等于 . 归纳：巩固练习2：若1010)6cos(=+πθ，则)322cos(πθ- 等于 . 八、达标检测1.已知sin α－cos α＝43，则sin 2α等于( )A.－79B.－29C.29D.792.计算：1－cos 210°cos 80°1－cos 20°等于( )A.22B.12C.32D.－223.(多选)已知函数f (x )＝sin x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－14，则f (x )的值不可能是( ) A.－12 B.12C.－2D.24.若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝31010，则tan 2α＝ . 5.已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝210，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π.求： (1)cos α的值；(2)sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4的值思维导图。
三角函数的综合应用+课件-2025届高三数学一轮复习
(2)由题意，得 f(A)＝2sin 2A－π3－ 3＝0，即 sin 2A－π3＝ 23，
∵A∈0，π2， 则 2A－π3∈－π3，23π， ∴2A－π3＝π3，∴A＝π3.
在△ABC 中， 由 a2＝b2＋c2－2bc cos A＝42＋32－2×4×3×12＝13， 可得 a＝ 13， 又∵12bc sin A＝12AD×a，即12×4×3× 23＝21AD× 13， ∴AD＝61339，故 BC 边上的高 AD 的长为61339.
(2)根据正弦定理得sina A＝sinc C＝sinb
B＝
4 ＝8 3
3
3，
2
所以
a＝8
3
3 sin
A，c＝8
3
3 sin
C.
所以
a＋c＝8
3
3 (sin
A＋sin
C).
因为 A＋B＋C＝π，B＝π3，所以 A＋C＝23π，
所以 a＋c＝8
3
3 sin
A＋sin
23π－A＝8
3
33 2sin
A＋
23cos
A
＝8sin A＋π6.
因为 0＜A＜23π，
所以 A＋π6∈π6，56π，所以 sin A＋π6∈12，1，则 a＋c∈(4，8].
所以 a＋c 的取值范围是(4，8].
【反思感悟】已知三角形一边及其对角，求取值范围的问题 的解法
(1)(不妨设已知 a 与 sin A 的值)根据 2R＝sina A求出三角形外接
∴a2＋c2 b2＝sin2Asi＋n2Csin2B＝cos22sCin＋2Ccos2C ＝(1－2sin2Cs)in2＋2C(1－sin2C)＝2＋4sins4iCn2－C 5sin2C
专题五+5.3三角函数的图像与性质课件——2023届高三数学一轮复习
标):ωx+φ=π+2kπ.(以上k∈Z)
例1
(2022重庆十一中月考,5)函数f(x)=Asin(ωx+φ)
A
0,
ω
0,
0
φ
2
的部分图象如图所示,将其向右平移 3 个单位长度后得到图象对应的函
数解析式为 ( )
A.y= 2 sin 2x
B.y=
2
sin
2x
3
C.y=
2
sin
2x
3
D.y=
5 3
, 13 6
⫋
3 2
, 5 2
,易知函数y=sin
x在
3 2
,
5 2
上单调递增,则函数f(x)=sin
2
x
3
在区间
,
5 4
上单调递增,故
D正确.故选BD.
答案 BD
考法三 三角函数的最值 求三角函数最值常见的函数形式
1.y=asin x+bcos x= a2 b2 sin(x+φ),其中cos φ= a ,sin φ= b .
2
,
0
,(π,-1),
3 2
,
0
,(2π,1).
2.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)在一个周期内的简图 用五点法画y=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)在一个周期内的简图时,一般先列表,后 描点,连线,其中所列表如下:
ωx+φ
x
y=A· sin(ωx+φ)
0
π
2
-
π - + 2
左平移 个单位长度,得到曲线C2
12
高考数学之三角函数知识点总结
高考数学之三角函数知识点总结高考数学中，三角函数是一个重要的知识点。
它在解三角形、解三角方程和求极限等方面都有广泛应用。
下面是对高考数学中三角函数的知识点进行总结：一、基本概念和性质：1.三角函数的定义：正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数的定义。
2.三角函数的周期性：正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数的周期性。
3.三角函数的奇偶性：正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数的奇偶性。
4.三角函数的范围：正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数的范围。
二、基本公式和恒等变换：1.三角函数的和差化积公式。
2.三角函数的倍角公式。
3.三角函数的半角公式。
4.三角函数的和差化积公式的逆运算。
三、极坐标与三角函数：1.极坐标下的坐标转换。
2.极坐标下的两点间距离公式。
四、三角函数的解析式：1.任意角的解析式。
2.一些特殊角的解析式。
五、三角函数的图像与性质：1.正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数的图像和性质。
2.三角函数图像的平移、伸缩和翻转。
3.三角函数的性态。
六、三角函数的应用：1.三角函数在测量中的应用：测量高度、测量角度、计算地理位置等。
2.三角函数在力学中的应用：力的合成、平衡条件等。
3.三角函数在电路中的应用：交流电的正弦表达式等。
4.三角函数在几何中的应用：解三角形、求面积等。
5.三角函数在物理中的应用：波动现象、振动现象等。
以上是高考数学中三角函数的主要知识点总结。
掌握这些知识点，对于解答相关题目、理解相关概念都有很大帮助。
在备考高考数学时，应不断强化基础知识，多进行题目练习和真题训练，同时注重理解和巩固基本概念和性质，提高解题的能力和技巧。
高三复习：三角函数-知识点、题型方法归纳
高三复习：三角函数-知识点、题型方法
归纳
一、知识点概述
1. 三角函数的定义和性质
- 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义及其在数轴上的周期性；
- 三角函数的基本性质和关系：正弦函数与余弦函数的关系，正切函数与正弦函数、余弦函数的关系。
2. 三角函数的图像与性质
- 正弦函数、余弦函数的图像、特征和性质；
- 正切函数的图像、特征和性质。
3. 三角函数的基本变换
- 函数y = A · sin(Bx + C) + D的图像、特征和性质；
- 函数y = A · cos(Bx + C) + D的图像、特征和性质；
- 函数y = A · tan(Bx + C) + D的图像、特征和性质。
二、题型方法归纳
1. 计算题
- 利用三角函数的定义和性质，求解给定角的正弦、余弦、正切值；
- 利用三角函数的图像和性质，求解特定函数值。
2. 解方程和不等式
- 利用三角函数的定义和性质，解三角方程和三角不等式。
3. 图像分析题
- 分析三角函数的图像特征，如振幅、周期、对称轴等；
- 利用函数的基本变换，画出特定三角函数图像。
4. 证明题
- 利用三角函数的基本性质和关系，进行数学推导和证明。
三、总结
三角函数是高中数学的重要内容，通过复和掌握三角函数的知识点和题型方法，可以帮助学生提高解题能力和应用能力。
在复过程中，建议注重基本概念的理解、公式的记忆和方法的灵活运用，以及多做相关题目进行巩固和实践。
以上是三角函数复习的知识点和题型方法归纳，希望对你的高三复习有所帮助。
祝你学业进步，取得好成绩！。
高三数学复习三角函数知识点总结
高三数学复习三角函数知识点总结
考试内容：
角的概念的推广.弧度制.
任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.同角三角函数的根本关系式.正弦、余弦的诱导公式.
两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.
正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数y=Asin(x+)的图像.正切函数的图像和性质.三角函数值求角.
正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.
考试要求：
(1)理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进展弧度与角度的换算.
(2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义;了解余切、正割、余割的定义;掌握同角三角函数的根本关系式;掌握正弦、余弦的诱导公式;了解周期函数与最小正周期的意义.
(3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.
(4)能正确运用三角公式，进展简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.
(5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用五点法画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(x+)的简图，理解A.、的物理意义.
(6)会由三角函数值求角，并会用符号arcsinxarc-cosxarctanx表示.
(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形.
(8)同角三角函数根本关系式：sin2+cos2=1，
sin/cos=tan,tancos=1.
高三数学复习三角函数知识点就为大家介绍到这里，希望对你有所帮助。
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三角部分复习
制作人：焦子奇
一、知识框架
图一：三角函数
图二：解三角形
二、题型梳理
1.三角函数的图像与性质
题型一：图像变换（带“*”号为解答题）
（2017全国1，理9）
已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是（）
A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2
B ．把
C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2
C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的
12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2
D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的
12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12
个单位长度，得到曲线C 2x
y sin =()ϕω+=x A y sin t
A y x t sin =⇒+=ϕω图像、性质
化简对称、周期单调、值域图象变换复合函数
设函数()sin()sin(62f x x x ππωω=-
+-，其中03ω<<.已知()06f π=.（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,44
ππ-上的最小值.（2016四川，理3）为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（
）（A ）向左平行移动π3个单位长度（B ）向右平行移动
π3个单位长度（C ）向左平行移动π6个单位长度（D ）向右平行移动π6个单位长度（2016北京，理7）将函数sin(23y x π=-图象上的点(,)4
P t π向左平移s （0s >）个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（
）
A.12t =，s 的最小值为6
π B.2t =，s 的最小值为6π
C.12t =，s 的最小值为3π
D.2t =
，s 的最小值为3π
为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（
）A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12
个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度
（2014浙江，理4）
为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象，可以将函数x y 3sin 2=的图象（）
A.向右平移12π个单位长
B.向右平移
4π个单位长C.向左平移12π个单位长 D.向左平移4π个单位长（2014辽宁，理9）将函数3sin(23y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（）A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,63ππ-上单调递减D ．在区间[,63ππ-上单调递增。