江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试卷(原卷版)
江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高三一模适应性考试数学试题
一、单选题二、多选题1. 北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙､邓清明､张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，已知声音的声强级（单位：）与声强（单位：）满足关系式：.若某人交谈时的声强级约为，且火箭发射时的声强与此人交谈时的声强的比值约为，则火箭发射时的声强级约为（ ）A．B．C．D．2. 若－<α<0，则点P(tanα，cosα)位于 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 若函数（）的图象过点，则（ ）A ．函数的值域是B ．点是的一个对称中心C ．函数的最小正周期是D ．直线是的一条对称轴4.若（其中，）的图象如图，为了得的图象，则需将的图象（）A ．向右平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向左平移个单位5. 已知向量满足，且，则、、中最小的值是（ ）A．B．C．D ．不能确定的6. 下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）A．B．C．D．7. 已知，则下列不等式正确的是（ ）A．B．C．D．8. 已知，，，则的大小关系为A．B．C．D．9. 记数列的前项和为，数列为，….其构造方法是:首先给出，接着复制该项后，再添加其后继数，于是，得;然后再复制前面所有的项，再添加的后继数于是，得;接下来再复制前面所有的项，再添加的后继数于是，得前项为.如此继续下去，则使不等式成立的的值不可能为（ ）A．B．C．D．10. 若，为正整数且，则（ ）A．B．江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高三一模适应性考试数学试题江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高三一模适应性考试数学试题三、填空题四、解答题C．D．11. 下列说法正确的是（ ）A ．某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为，，则游戏者闯关成功的概率为B ．从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为C ．已知随机变量X的分布列为，则D ．若随机变量，且.则，12. 若，其中为虚数单位，则下列关于复数的说法正确的是（ ）A．B ．的虚部为C．D ．在复平面内对应的点位于第四象限13. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交双曲线于两点，线段与双曲线的另一交点为，若，则双曲线的离心率为________．14. 已知函数在区间上单调，且满足．有下列结论：①；②若，则函数的最小正周期为；③关于的方程在区间上最多有个不相等的实数解；④若函数在区间上恰有个零点，则的取值范围为．其中所有正确结论的编号为________．15. 现有含甲在内的6名志愿者到，3个村庄开展防电信诈骗宣传活动，向村民普及防诈骗、反诈骗的知识. 要求每名志愿者只能选择一个村庄，且每个村庄均有人选择，若甲不单独选择一个村庄，则不同选择方案的种数为__________.（用数字作答）16. 如图，椭圆的离心率为，其左顶点在圆上.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆的另一个交点为，与圆的另一个交点为.（ⅰ）当时，求直线的斜率；（ⅱ）是否存在直线，使？若存在，求出直线的斜率；若不存在，说明理由.17.已知函数.（1）若，讨论的单调性；（2）若，是的极大值点，且存在实数使得，求的取值范围.18. 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C ，已知．（1）求角C；（2）若CD是角C的平分线，，，求CD的长．19. 已知椭圆：()的左､右焦点分别为，，离心率为，点是椭圆上一点，的周长为.（1）求椭圆的方程；（2）直线：与椭圆交于，两点，且四边形为平行四边形，求证：的面积为定值.20. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为中点且．(1)求证：；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．21. 已知函数和有相同的最大值.(1)求实数；(2)设直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为，证明：.。
南京市南师附中2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试题(含答案)
z南京师大附中2022-2023学年度第1学期高三年级阶段考试数学试卷一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则 A. B. C. D.2. 已知复数z 的共轭复数，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限3. 已知函数值域为，则a 的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 44. 函数的部分图象如图所示，则图象的一个对称中心是（ ）A. B. C. D. 5. 已知过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于不同的两点，，与轴交于点，点，是线段的三等分点，则该椭圆的标准方程是（ ）A.B.C.D.2{|230}A x x x =--<2{|log 2}B x x =<A B Ç=(1,4)-(1,3)-(0,3)(0,4)2i3iz +=-()222,0,0x x x f x x a x ì-+>=í-+£î的[)1,+¥()()cos 0,2f x x p w j w j æö=+><ç÷èø()fx ,03p æöç÷èø,03p æ-öç÷èø5,06p æöç÷èø5,06p æö-ç÷èø()222210x y a b a b+=>>()1,0F -A B y C C F AB 22165x y +=22154x y +=22132x y +=22143x y +=z6. 如图，已知正四棱锥的底面边长和高的比值为，若点是棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）A.B.C.D.7. 已知函数，，若直线与曲线，都相切，则实数的值为（ ） A.B.C.D.8. 已知双曲线：的右焦点为，直线与交于，两点（点在第一象限），线段的中点为，为坐标原点．若，，则的两条渐近线的斜率之积为（ ） A.B.C.D.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的.每题全选对者得5分，部分选对者得2分，其他情况不得分.9. 教育统计学中，为了解某考生的成绩在全体考生成绩中的位置，通常将考生的原始分数转化为标准分数．定义标准分数，其中为原始分数，为原始分数的平均数，为原始分数的标准差．已知某校的一次数学考试，全体考生的平均成绩，标准差，转化为标准分数后，记平均成绩为，标准差为，则( ) A.B.C.D.10. 已知动点M 到点的距离M 的运动轨迹为，则（ ）P ABCD -t E PD PB CE ()()ln e f x x x =+()()2131a g x x -=--2y xb =+()y f x =()y g x =a 54171617817e8G ()222210,0x y a b a b-=>>F y kx =G A B A AF P O OA OF=2OP =G 4--3--3-4-+()()11,2,,i i z x x i n s=-=L i x x s 115x =10.8s =m s 115m =0m =10.8s =1s =(2,1)N k k -GA. 直线把分成面积相等的两部分B. 直线与没有公共点C. 对任意的，直线被截得的弦长都相等D. 存在，使得与x 轴和y 轴均相切 11. 已知等比数列满足，公比，且，则（ ）A.B. 当时，最小C. 当时，最小D. 存在，使得 12 已知函数，则（ ）A. 曲线在点处的切线方程为B. 曲线的极小值为C. 当时，仅有一个整数解 D 当时，仅有一个整数解三､填空题：本大题个共4小题5个空，每题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13. 若，则______． 14. 某学校团委周末安排甲、乙、丙三名志愿者到市图书馆和科技馆服务，每个人只能去一个地方，每个地方都必须有人去，则图书馆恰好只有丙去的概率为______．15. 若对任意的，都有，则实数的取值范围为___________.16. 有一张面积为矩形纸片，其中为的中点，为的中点，将矩形绕旋转得到圆柱，如图所示，若点为的中点，直线与底面圆所成角的正切值为，为圆柱的一条母线（与，不重合），则当三棱锥的体积取最大值时，三棱锥外12xy =-G 230x y -+=G k ÎR 2xy =G k ÎR G {}n a 10a >1q >1220211220221,1a a a a a a <>!!20221a >2021n =12n a a a !1011n =12n a a a !1011n <12n n n a a a ++=()e xf x x =()y f x =()0,0y x =()y f x =e -2213e 2ea £<()()1f x a x <-223e 2e 2a £<()()1f x a x <-π0,2a æöÎç÷èøsin 1a a -=cos 2=a []1,4x Î234x x a x x ->-+a ABCD O AB 1O CD ABCD 1OO 1OO M BC AM O 4EF AD BC A EFM -A EFM -z接球的表面积为___________.四､解答题：本题共6个小题，共70分.请在答案卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在.中，角，，的对边分别为，，，已知，. （1）求角；（2）若点在边上，且，求面积的最大值.18. 已知数列的前n 项和.（1）求的通项公式；（2）若数列满足对任意的正整数n ，恒成立，求证：. 19. 随着生活节奏加快､生活质量的提升，越来越多的居民倾向于生活用品的方便智能.如图是根据2016—2020年全国居民每百户家用汽车拥有量（单位：辆）与全国居民人均可支配收入（单位：万元）绘制的散点图.（1）由图可知，可以用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；（过程和结果保留两位小数）（2）已知2020年全国居民人均可支配收入为32189元，若从2020年开始，以后每年全国居民人均可支配收入均以6%的速度增长，预计哪一年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆.ABC !A B C a b c 2cos cos b c Ca A-=3a =A D AC 1233BD BA BC =+"""BCD △{}n a 22n n nS +={}n a {}n b 2312123(1)n nb b b b n a a a a ××××××××=+4n b ³的yx y x y xz参考数据：，，.参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.20. 如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使得点到点的位置，如图2，设经过直线且与直线平行的平面为，平面平面为，平面平面为.（1）证明：； （2）若求二面角的正弦值.21. 已知椭圆的离心率为，且点在C 上. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设，为椭圆C 的左，右焦点，过右焦点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若内切圆的半径求直线l 的方程. 22. 已知函数． （1）证明：当时，；（2）记函数，判断在区间上零点的个数．()510.06 1.34+»()610.06 1.42+»()710.06 1.50+»!!y abx =+!()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-åå!a y bx =-$$ABCD ,1,2AB AC AB BC ^==ACD △AC D P PB AC a a !PAC m =a !ABC n =//m n PB =A PBC --()2222:10x y C a b a b +=>>22P æççèø1F 2F 2F 1ABF !()sin cos f x x x x =-()0,x p Î()0f x >()()g x f x x =-()g x ()2,2p p -南京师大附中2022-2023学年度第1学期高三年级阶段考试数学试卷一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】B二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的.每题全选对者得5分，部分选对者得2分，其他情况不得分.【9题答案】【答案】BD【10题答案】【答案】ABC【11题答案】【答案】AC【12题答案】【答案】AC三､填空题：本大题个共4小题5个空，每题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.【13题答案】 【答案】【14题答案】 【答案】【15题答案】【答案】 【16题答案】 【答案】四､解答题：本题共6个小题，共70分.请在答案卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【17题答案】 【答案】（1）（2【18题答案】【答案】（1） （2）证明见解析 【19题答案】【答案】（1）；（2）预计2026年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆. 【20题答案】【答案】（1）证明见解析 （2）【21题答案】7916()(),16,-¥-È+¥412p 3pn a n =11.460.24y x =+$5【答案】（1）（2）或. 【22题答案】【答案】（1）证明见解析 （2）个零点2212x y +=10x +-=10x -=5。
江苏省南京师范大学附属中学2021-2022学年高一上学期10月月考数学试题
于是得 a 1 b 1 ( a 1 b 1)2 (a 1) (b 1) 2 (a 1)(b 1) 4 ，
所以 a 1 b 1 的最大值为 4.
故答案为：4
13．（1）1；（2）证明见解析.
【分析】(1)利用均值不等式直接变形计算即可得解；
(2)利用均值不等式求出 ab 的最大值，再对所证不等式左边变形即可得解.
【详解】因 x 1，则 3 x 1 4 (x 1) 1 4 2 (x 1) 1 6 ，当且仅当
x 1
x 1
x 1
x 1 1 ，即 x 2 时取“=”， x 1
答案第 3 页，共 6 页
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.
四、解答题 13．已知 a，b 均为正实数，且 a b 4 . （1）求 (a 1)(b 1) 的最大值； （2）求证： b a 4 3 .
a b ab
14．已知 m 为实数，设集合 A x x2 x 2 0 , B x 2m x 1 .
（1）若“ x A ”是“ x B ”成立的必要条件，求 m 的取值范围；
【详解】（1）因 a b 4 ，则 (a 1)(b 1) (a 1)2 (b 1)2 [(a 1) (b 1)]2 2(a 1)(b 1)
dc
dc
dc
正确.
故选：D
答案第 1 页，共 6 页
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5．B 【分析】利用“1”代换求解即可. 【详解】因为 x 0 ， y 0 ，且 x 9 y 1，
所以
1 x
2023-2024学年江苏省南京市高三(上)月考数学试卷(10月份)(一)(含解析)
2023-2024学年江苏省南京市高三（上）月考数学试卷(10月份）（一）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）l ．在下列选项中，能正确表示集合A={-2,0,2}和B= {xlx 2 + 2x= 0}关系的是（） A.A=B B.A ;;:i 8 C.A� B D.An 8 = 02若复数z = (x 2一1)+ (x -l )i 为纯虚数，则实数x 的值为（）A.-1B.0C.1D.-1或13.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有()A.120种B.90种C. 60种D. 30种4．设点M 是线段BC 的中点，点A在直线BC 外，若IBCI= 2, I 百＋亢I=I 菇－亢I ，则闷珩＝（） 1-2A B.1C.2D.45.已知正实数a,b, c 满足a 2-2ab + 9b 2 -c = 0,则当竺取得最大值时，3+！一旦的最大值为（） a · b c A.39-4BC.1D.6.将函数f(x) = sin(x +吩＋Dcos(x +<p),＂<<p ＜1[的图象向右平移－个单位长度，平移后的图象关于6碍，0）对称，则函数g(x)= cos(x +<p)在［－叶］上的最小值是（） 1-2AB罕1-2c D罕7已知函数f(x)= L o n a (.fx2+I +x)＋忒了弓(a>O,a * 1)，如果f(log3b ) = S(b > 0, b -:;:. 1)，那么f(l o 91b)的值是（） A.-3B. 3C. 5D不能确定8已知函数f(x)=l og3x 的图象与函数9(x)的图象关千直线y=x 对称，函数h(x)是最小正周期为2的偶函数，且当XE (0,1]时，h(x)= 9(x) -1,若函数y = k · f (x) + h(x)有3个零点，则实数K 的取值范围是（）A.(1,210973)B.(-2,-210953)C. (-210953,-1)D. (-log 戎，令二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
江苏省南京师大附中2021届高三第一学期10月月考数学试卷(PDF版)
B. 若
，则
的最小值为
C. 在
上单调递增
D.
的图象向右平移 个单位长度得到函数
的图象
10. 年初，突如其来的疫情改变了人们的消费方式，在目前疫情防控常态化背景下，某超市为了解人
们以后消费方式的变化情况，更好地提高服务质量，收集并整理了该超市 年 月份到 月份线上收
入和线下收入法人数据，并绘制如下的折线图.根据折线图，下列结论正确的有
判断能否有 90%的把握认为选择物理还是历史与性别有关？
附：
临界值表：
(2)在样本里选历史的中任选 4 人，记选出 4 人中男生有 人，女生有 人，求随机变量
的
分布列和数学期望.
21. (12 分) 在平面直角坐标系 中，已知椭圆
的离心率为 ，一条准线
方程为
.
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 与圆
相切，与椭圆 相交于 两点，求证：
为定值.
高三数学试卷
第5页
22. (12 分) 已知函数
(1)求实数 的值；
(2)求 的单调区间；
(3)若
，
且
，方程
有惟一实根.
，求证：
.
高三数学试卷
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注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19. (12 分)如图，在多面体
，
(1)若
，证明：平面
中，四边形 .
平面 ；
为正方形，平面
(1)若二面角
的余弦值为
，求 的长.
平面
，
，
高三数学试卷
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20. (12 分)去年 4 月 23 日一些省市正式宣布实施“3＋1＋2”的高考新方案，“3”是指必考的语文、数 学、外语三门学科，“1”是指在物理和历史中必选一科，“2”是指在化学、生物、政治、地理四科中任 选两科.某校为了解高一学生在物理和历史中的选科意愿情况，进行了一次模拟选科.已知某校高一参与 物理和历史选科的有 1800 名学生，其中男生 1000 人，女生 800 人.按分层抽样的方法从中抽取了 36 个 样本.统计知其中有 17 个男生选物理，6 个女生选历史. (1)根据抽取得样本数据，在答题卡上画出并填写右图中的列联表.并根据统计量
江苏省南京市第一中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题
江苏省南京市第一中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．1725-B ．42125-C ．35-6．函数21()sin 2f x x x x =-的大致图象可能是()．．C ．D ．．已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，212PF F F ⊥，12F PF ∠的平分线与x 轴交于点Q ，1253PF QPF QS S =△△，则双曲线）2B ．2C ．52D ．11D 中，点E 为棱11C D 得最小值为（）．22C ．二、多选题9．某校组织了300名学生参与测试，随机抽取了40名学生的考试成绩(单位：分)，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A ．图中a 的值为0.015B ．估计这40名学生考试成绩的众数为75C ．估计这40名学生考试成绩的中位数为82三、填空题四、解答题(1)求B ；(2)已知23BC =，D 为边18．数列{}n a 满足11a =(1)设27n nn nb a -=，求{(2)求数列{}n a 的前n 项和19．如图．在直三棱柱(1)求点A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1AC 的中点，求平面20．科学家为研究对某病毒有效的疫苗，通过小鼠进行毒性和药效预实验鼠中有1只患有这种病毒引起的疾病，需要通过化验血液来确定患病的小鼠结果呈阳性的即为患病小鼠，呈阴性即没患病方案甲：逐个化验，直到能确定患病小鼠为止方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病小鼠为止；若结果呈阴性则在另外中任取1只化验.（1）求方案甲化验次数（2）判断哪一个方案的效率更高，并说明理由21．已知椭圆2222:x y C a b+轴正半轴上的一点，过椭圆(1)求椭圆C 的标准方程；。
江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试卷及答案
南京师大附中2022—2023学年度高三第一学期10月检测数 2022.10一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M ＝{x |x ≤－1或x ≥1}，N ＝{x |－3＜x ＜1}，则M ∩N ＝( )A ．{x |－3＜x ≤－1}B ．{x |－3＜x ＜－1}C ．RD ．{x |－3≤x ≤1} 2．若(z －1)i ＝i －2，则z ＝( )A ．2－2iB ．2＋2iC ．2iD ．－2i3．顶角为36°的等腰三角形被称为最美三角形，已知其顶角的余弦值为5＋14，则最美三角形底角的余弦值为( )A ．5－14 B ．5－12 C ．5＋14 D ．5＋124．在△ABC 中，→AB ·→AC ＝9，AB ＝3，点E 满足→AE ＝2→EC ，则→AB ·→BE ＝( )A ．－6B ．－3C ．3D ．65．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，点E 为线段DC 上一动点．现将△ADE 沿AE 折起，使点D 在平面ABC 内的射影K 在直线AE 上．当点E 从D 运动到C 时，则点K 所形成轨迹的长度为( )A ．233B ．32C ．π2D ．π36．已知椭圆长轴AB 的长为4，N 为椭圆点，满足|NA |＝1，∠NAB ＝60°，则椭圆的离心率学为( )A ．55 B ．255 C ．277 D ．3777．第十三届冬残奥会于2022年3月4日至3月13日在北京举行．现从4名男生，2名女生中选3人分别担任冬季两项、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且至多有1名女生被选中，则不同的选择方案有( )A ．72种B ．84种C ．96种D ．124种 8．若a ＝sin1＋tan1，b ＝2，c ＝ln4＋12，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．a ＜b ＜cD ．b ＜c ＜a 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
南京师范大学附属中学树人学校2023-2024学年上学期第一次月考数学试题含答案
南京师范大学附属中学树人学校2023-2024学年上学期第一次月考数学试题注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．相应位置．．．．上） 1．将一元二次方程2x 2＋7＝9x 化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为A ．2，9B ．2，7C ．2，－9D ．2x 2，－9x2．下列说法：①三点确定一个圆；②等腰三角形的外心一定在三角形内；③长度相等的弧是等弧；④圆的切线垂直于半径．其中正确的有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．如图，数轴上点A 、B 表示方程(3x －9)2－37＝0的两个根a 、b （a ＞b ），它们在数轴上的对应点的位置可以是 A ． B ．C ．D ．4．若自行车的车轮形如正方形，使车轮能平稳行驶，则地面形状大致为A ．B ．C ．D ．AB 0A B0 AB 0A B5．如图，PA 、PB 分别为⊙O 1、⊙O 2的切线，切点为A 、B ，连接AB 交⊙O 1、⊙O 2于C 、D ．若∠AO 1C ＝60°，∠BO 2D ＝40°，则∠P 的度数为A ．128°B ．129°C ．130°D ．131°6．如图，7×5的网格中的小正方形的边长都相等，小正方形的顶点叫格点，△ABC 的三个顶点都在格点上，过点C 作△ABC 外接圆的切线，则该切线经过的格点个数是 A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相．．．．应位置．．．上） 7．某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额共282万元．设二、三月份每月的平均增长率为x ，则根据题意列出的方程是 ▲ ．8．设x 1、x 2是方程x 2－5x ＋m ＝0的两个根．若x 1＋x 2－x 1x 2＝2，则m ＝ ▲ ． 9．已知⊙O 的半径是3．若OP ＝3，过点P 的直线记为l ，则圆心O 到直线l 的距离d 的取值范围是 ▲ ．10．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上．若∠A ＝24°，则∠O ＝ ▲ °．11．如图，⊙O 的弦AB 、半径OC 延长线交于点D ，且BD ＝OA ．若∠AOC ＝105°，则∠D ＝ ▲ °．（第5题） （第6题）O 1PABO 2C D A CBAOBCODABC（第10题）（第11题）12．下表是某同学求代数式ax 2＋bx （a ，b 为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知方程ax 2＋bx ＝6的根是 ▲ ．x －2 －1 0 1 2 3 … ax 2＋bx6226…13．如图，在⊙O 中，P 为弦AB 与弦CD 的交点．若∠APC ＝84°，⌒AC的度数为74°，则⌒BD 的度数为 ▲ °．14．如图，点C 是AE 的中点，在AE 同侧分别以AC 、CE 为直径作半⊙B 、半⊙D ． 直线l ∥AE ，与两个半圆依次相交于F 、M 、N 、G 不同的四点．若AE ＝10，FG ＝x ，MN ＝y ，则y 与x 之间的函数表达式为 ▲ ．15．如图，在正方形ABCD 中，点P 、Q 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上两点，过P 、Q 向CD 作垂线，垂足分别为E 、F ，向CB 作垂线，垂足分别为M 、N ，PM 、QF 交于点H ．若四边形EPHF ，HFCM ，HMNQ 均是边长为3的正方形，则AB ＝ ▲ ．16．如图，已知⊙O 和射线AB ，∠OAB ＝90°，动点P 在⊙O 上，动点Q 在射线AB 上，PQ ＝32 cm ．若AQ 的最小值为20 cm ，最大值为36 cm ，则⊙O 的半径为 ▲ cm ．ABCDOPACEG N M F lBD（第14题）（第13题） （第16题）（第15题）ABCDPQ NMFE H ABQOP三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）解方程：（1）x 2－6x ＋3＝0；（2）x (x －2)＝x －2．18．（7分）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，延长AD 、BC 交于点E ，∠DCB ＝100°，∠B ＝50°． 求证：△CDE 是等腰三角形．19．（7分）如图，四边形ABCD 是平行四边形，⊙O 是△ACD 的外接圆，∠CAP＝∠B ．求证：直线AP 与⊙O 相切．20．（7分）等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝8 cm ，动点P 从A 点出发，沿AB 向B移动．过点P 作平行于BC ，AC 的直线与AC ，BC 分别交于R 、Q ．当□PQCR 的面积等于16 cm 2时，求AP 的长．21．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋n ＋1＝0的一根为2． （1）用m 的代数式表示n ；（2）求证：关于y 的一元二次方程y 2＋my ＋n ＝0总有两个不相等的实数根．A BCDEO（第18题） BCDAOP（第19题）RQPC B A （第20题）22．（8分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在圆上，D 是CA 延长线上一点，∠BAD的平分线交⊙O 于点E ．不使用圆规，请你仅用．．一把不带刻度的直尺作出∠BAC 的平分线，并说明理由．23．（8分）如图，在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 、AC 切小圆于点M 、N ． （1）求证AB ＝AC ；（2）若两圆半径分别为3和5，则BC ＝ ▲ ．24．（9分）如图，AB 是⊙O 的弦，半径OD ⊥AB ，垂足为H ，BC ⊥AB ，交AD 延长线于点C ．（1）求证：D 是AC 的中点；（2）若AB ＝6，AC ＝213，求⊙O 的半径．25．（8分）第19届亚运会于9月23日在杭州盛大开幕，亚运会吉祥物“江南忆”由三只灵动的机器人组成．某电商在对一款成本价为40元的亚运会吉祥物进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件售价每降低5元，日销售量增加10件．如果日利润保持不变，商家想尽快销售完该款亚运会吉祥物造型商品，每件售价应定为多少元？ABCDEO （第22题）OABCMN（第23题） OAB CDH（第24题）26．（9分）如图，一个边长为8 m 的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形ABCD 中，点G ，E ，F 分别在CD ，AD ，AB 上，且DG ＝1 m ，AE ＝AF ＝x ，在△AEF ，△DEG ，五边形EFBCG 三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元．（1）五边形EFBCG 的面积为 ▲ ．（结果用含有x 的代数式表示） （2）当x 为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？27．（9分）（1）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，O 是AB 上一点．求作⊙O ，使得⊙O 过点A ，且与BC 相切．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． （2）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CBA ＝30°，AC ＝1，D 是边AB 上一点（点D 与点A 不重合）．若在Rt △ABC 的直角边上存在不同的点分别和点A 、D 构成直角三角形，直接写出不同的点的个数及对应的AD 的长的取值范围．ABFG D CE （第26题）A CB AC B AC B（第27题） （备用图1） （备用图2）参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）题号 1 2 3 4 5 6答案 C A D C C C二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．200(1＋x)2＝282 8．3 9．0≤d≤3 10．48 11．2512．x1＝－2，x2＝3 13．94 14．y＝10－x15．15 16．7三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．（本题8分）解：（1）移项，得x2－6x＝－3．配方，得x2－6x＋9＝－3＋9，(x－3)2＝6．··········································································· 2分由此可得x－3＝±6，∴x1＝3＋6，x2＝3－6．····································································· 4分（2）x(x－2)－(x－2)＝0，(x－2) (x－1)＝0．···················································································· 6分x－2＝0或x－1＝0，∴x1＝2，x2＝1．·················································································· 8分18．（本题7分）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CDA＋∠B＝180°．∵∠B＝50°，∴∠CDA＝180°－50°＝130°．································································· 2分∴∠CDE＝180°－∠CDA＝180°－130°＝50°． ············································ 3分∵∠DCB＝100°，∴∠CDE＋∠E＝100°．∴∠E＝50°．······················································································· 6分∴∠E＝∠CDE．∴CD＝CE．∴△CDE是等腰三角形．······································································· 7分19．（本题7分）证明：连接AO 并延长交⊙O 于E ，连接CE ．∴ ∠ACE ＝90°．∴ ∠E ＋∠EAC ＝90°． ··········································································· 2分 ∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ ∠B ＝∠D ． ∵ ⌒AC＝ ⌒AC ， ∴ ∠E ＝∠D ． ∵ ∠CAP ＝∠B ，∴ ∠CAP ＝∠E ． ·················································································· 4分 ∵ ∠E ＋∠EAC ＝90°， ∴ ∠CAP ＋∠EAC ＝90°．∴ ∠OAP ＝90°． ··················································································· 6分 ∴ OA ⊥OP ． ∵ 点A 在⊙O 上，∴ PC 是⊙O 的切线． ············································································ 7分20．（本题7分）解：设动点P 从A 点出发移动x cm 时，□PQCR 的面积等于16 cm 2．根据题意，得x (8－x )＝16． ······································································· 4分 解这个方程，得x 1＝x 2＝4．答：当□PQCR 的面积等于16 cm 2时，AP 的长为4 cm ． ································ 7分21．（本题8分）解：（1）∵ 2为一元二次方程x 2＋mx ＋n ＋1＝0的一根，∴ 4＋2m ＋n ＋1＝0． ············································································· 1分 ∴ n ＝－2m －5． ··················································································· 3分 （2）∵ b 2－4ac ＝m 2－4n ＝m 2－4(－2m －5)＝m 2＋8m ＋20 ······························· 5分＝(m ＋4)2＋4＞0． ······························································ 7分∴ 关于y 的一元二次方程y 2＋my ＋n ＝0总有两个不相等的实数根． ················ 8分22．（本题8分）作法：1．作直径EF 交⊙O 于F ； ···································································· 2分 2．连接AF ，则AF 是∠BAC 的平分线． ······················································ 3分 理由是：∵ EF 是⊙O 的直径，∴ ∠EAF ＝90°．BC D AOPEA B C DEOF即 ∠EAO ＋∠OAF ＝90°． ∵ AE 平分∠BAD ， ∴ ∠DAE ＝∠EAO ． ∴ ∠CAF ＝∠OAF ．∴ AF 是∠BAC 的平分线． ······································································ 8分23．（本题8分）解：（1）连接OM 、ON 、OA ． ····································································· 1分∵ 大圆的弦AB 、AC 分别切小圆于点M 、N ， ∴ OM ⊥AB ，ON ⊥AB ，OM ＝ON ．∴ ∠AMO ＝∠ANO ＝90°，AM ＝12AB ，AN ＝12AC ．∵ OA ＝OA ， ∴ △AMO ≌△ANO ． ∴ AM ＝AN ．∴ AB ＝AC ． ···················································································· 6分 （2）9.6． ··························································································· 8分 （直接用切线长定理不扣分）24．（本题9分）证明：如图，连接BD ．∵ AB 是⊙O 的弦，半径OD ⊥AB ， ∴ D 是 ⌒AB 的中点． ∴ ⌒AD＝ ⌒BD ． ∴ AD ＝BD ． ························································································ 2分∴ ∠BAD ＝∠ABD ． ∵ BC ⊥AB ， ∴ ∠ABC ＝90°．∴ ∠BAD ＋∠C ＝90°，∠ABD ＋∠DBC ＝90°． ∴ ∠C ＝∠DBC ． ∴ BD ＝CD ． ∴ AD ＝CD ．即D 为AC 的中点． ················································································· 5分 （2）如图，连接OA ．∵ 半径OD ⊥AB ，垂足为H ，AB ＝6， ∴ AH ＝3．∵ D 是AC 的中点，AC ＝213， ∴ AD ＝13．OA BCM NO AB CD H∴ DH ＝2． ·························································································· 6分 在Rt △OAF 中，OH 2＋AH 2＝OA 2． 设OD ＝OA ＝r ，则OH ＝r －2，∴ (r －2)2＋32＝r 2． ··············································································· 8分 ∴ r ＝134．即⊙O 的半径为134． ················································································· 9分25．（本题8分）解：设每件售价应定为x 元，根据题意，得(x －40)(140－2x )＝(60－40)×20． ············································· 4分 整理，得x 2－110x ＋3000＝0，解这个方程，得x 1＝50，x 2＝60． ······························································· 7分 ∵ 商家想尽快销售完该款亚运会吉祥物造型商品， ∴ x 2＝60不合题意，舍去．答：每件售价应定为50元． ······································································ 8分26．（本题9分）解：（1）－12x 2＋12x ＋14． ················································································ 2分（2）根据题意，得4×[20×12x 2＋20×(2－12x )＋10×(－12x 2＋12x ＋14)]＝715． ········ 6分整理，得4x 2－4x ＋1＝0．解这个方程，得x 1＝x 2＝12． ······································································· 8分答：当AE ＝AF ＝12米时，正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元．27．（本题9分）解：（1）作△BAC 的角平分线AM ； ·································································· 2分过点M 作MO ⊥BC ，MO 与AB 交于点O ； ··················································· 4分 以O 为圆心，OA 为半径作圆，则⊙O 为所求作圆． ······································· 5分 （2）当存在2个点时，0＜AD ＜43；当存在3个点时， AD ＝43； 当存在4个点时，43＜AD ＜2； 当存在1个点时，AD ＝2． ········································································ 9分。
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高三数学试卷
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南京师大附中2022—2023学年度高三第一学期10月检测
数 学 2022.10
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M ＝{x |x ≤－1或x ≥1}，N ＝{x |－3＜x ＜1}，则M ∩N ＝( )
A ．{x |－3＜x ≤－1}
B ．{x |－3＜x ＜－1}
C ．R
D ．{x |－3≤x ≤1} 2．若(z －1)i ＝i －2，则z ＝( )
A ．2－2i
B ．2＋2i
C ．2i
D ．－2i
3．顶角为36°的等腰三角形被称为最美三角形，已知其顶角的余弦值为5＋1
4
，则最美三角形底角的余弦值为( )
A ．
5－14 B ．5－12 C ．5＋14 D ．5＋1
2
4．在△ABC 中，→
AB ·→
AC ＝9，AB ＝3，点E 满足→
AE ＝2→
EC ，则→
AB ·→
BE ＝( )
A ．－6
B ．－3
C ．3
D ．6
5．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，点E 为线段DC 上一动点．现将△ADE 沿AE 折起，使点D 在平面ABC 内的射影K 在直线AE 上．当点E 从D 运动到C 时，则点K 所形成轨迹的长度为( )
A ．233
B ．32
C ．π2 D
．π3
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6．已知椭圆长轴AB 的长为4，N 为椭圆点，满足|NA |＝1，∠NAB ＝60°，则椭圆的离心率为( )
A ．
55 B ．255 C ．277 D ．377
7．第十三届冬残奥会于2022年3月4日至3月13日在北京举行．现从4名男生，2名女生中选3人分别担任冬季两项、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且至多有1名女生被选中，则不同的选择方案有( )
A ．72种
B ．84种
C ．96种
D ．124种 8．若a ＝sin1＋tan1，b ＝2，c ＝ln4＋1
2
，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．c ＜b ＜a
B ．c ＜a ＜b
C ．a ＜b ＜c
D ．b ＜c ＜a 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下面关于复数的四个命题正确的有( )
A ．若复数z ∈R ，则―
z ∈R B ．若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R C ．若复数z 满1z ∈R ，则z ∈R D ．若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝―
z 2
10．已知随机事件A ，B 发生的概率分别为P (A )＝0.3，P (B )＝0.6，下列说法正确的有( )
A ．若P (A
B )＝0.18，则A ，B 相互独立 B ．若A ，B 相互独立，则P (B |A )＝0.6
C ．若P (B |A )＝0.4，则P (AB )＝0.12
D ．若A ⊆B ，则P (A |B )＝0.3
11．已知椭圆C ：x 24＋y 2
2＝1上有一点P ，F 1，F 2分别为其左、右焦点，∠F 1PF 2＝θ，△F 1PF 2
的面积为S ，则下列说法正确的有( )
A ．△F 1PF 2的周长为4＋2 2
B ．角θ的最大值为90°
C ．若S ＝2，则相应的点P 共有2个
高三数学试卷
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D ．若△F 1PF 2是钝角三角形，则S 的取值范围(0，2)
12．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为棱BB 1的中点，Q 为正方形BB 1C 1C 内一动点含边界)，则下列说法中正确的是( )
A ．若D 1Q ∥平面A 1PD ，则动点Q 的轨迹是一条线段
B ．存在点Q ，使得D 1Q ⊥平面A 1PD
C ．当且仅当点Q 落在棱CC 1上某点处时，三棱锥Q －A 1P
D 的体积最大
D ．若D 1Q ＝
62，则点Q 的轨迹长度为2π
4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．有一组样本数据x 1，x 2，x 3，x 4，该样本的平均数和方差均为m ．在该组数据中加入一
个数m ，得到新的样本数据，则新样本数据的方差为 ．
14．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，在C 上有一点P ，|PF |＝8，则点P 到x 轴的距离
为 ．
15．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c ＝3，3tan A tan B
＝3＋tan A ＋tan B ，则a 2＋b 2的取值范围为 ．
16．已知f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1
e x ，x ≥1
，若存在x 2＞x 1＞0，使得f (x 2)＝e g (x 1)，则x 1⋅f (x 2)的取值范围
为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分
10分)
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设数列{a n }的前项和为S n ，已知a 1＋a 3＝6，a 2＋a 4＝10，各项均为正数的等比数列{b n }满足b 1＋b 3＝34，b 2b 4＝1
16．
(1)求S n ；
(2)设T n ＝
∑
=n
i i S 1
⋅b i ，求证：T n ＜4．
18．(本小题满分12分)
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3a cos C －a sin C ＝3b ． (1)求角A 的大小；
(2)若a ＝2，求BC 边上的中线AD 长度的最小值．
19．(本小题满分12分)
某研究性学习小组对某植物种子的发芽率y 与环境平均温度x (°C)之间的关系进行研究，他们经过5次独立实验，得到如下统计数据：
第n 次 1 2 3 4 5 环境平均温度x /°C 18 19 20 21 22 种子发芽率y
62%
69%
71%
72%
76%
(1)若从这5次实验中任意抽取2次，设种子发芽率超过70%的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望；
(2)根据散点图可以发现，变量y与x之间呈线性相关关系．如果在第6次实验时将环境平均温度仍然控制在21°C，根据回归方程估计这次实验中该植物种子的发芽率．
20．(本小题满分12分)
如图，四棱锥P－ABCD的底面为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，△PCD是边长为2等边三角形，BC＝2，点E为CD的中点，点M为PE上一点(与点P，E不重合)．
(1)证明：AM⊥BD；
(2)当AM为何值时，直线AM与平面BDM所成的角最大？
21．(本小题满分12分)
高三数学试卷第5页(共6页)
高三数学试卷
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已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，C 的右焦点F 与点M (0，2)的连
线与C 的一条渐近线垂直． (1)求双曲线C 的标准方程：
(2)经过点M 且斜率不为零的直线l 与C 的两支分别交于点A ，B ， ①若O 为坐标原点，求→
OA ·→
OB 的取值范围：
②若点D 是点B 关于y 轴的对称点，证明：直线AD 过定点．
22．(本小题满分12分)
已知函数f (x )＝a e x －ln(x ＋1)－ln a ． (1)当a ＝1时，讨论f (x )的单调性： (2)证明：f (x )有唯一极值点t ，且f (x )≥1．。