二次函数根的分布专题

一元二次方程根的分布专题
一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。

这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。

下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。

一．一元二次方程根的基本分布——零分布
所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。

比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个不等实根为1x ，2x
①方程有两个不等正根 ⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
>=>-=+>-=∆>>00040,0212
1221a c x x a b x x ac b x x ②方程两根一正一负 ：0021<<<a
c
x x ，则
③方程有两个不等负根：⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
>=<-=+>-=∆<<00040,02121221a c x x a b x x ac b x x
即时应用：
(1)若一元二次方程
0)1(2)1(2
=-++-m x m x m 有两个不等正根，求m 的取值范围。

(2)k 在何范围内取值，一元二次方程0332
=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？
二、一元二次方程的非零分布——k分布
设一元二次方程20(0)
ax bx c a
++=>的两不等实根为1x，2x，k为常数。

则一元二次方
程根的k分布（即1x，2x相对于k的位置）如下表所示：
根
的
分
布
①
12
x x k②
12
k x x③
12
x k x
图
象
充
要
条
件
2
b
k
a
f k
2
b
k
a
f k
f k
根
的
分
布
④
1122
k x x k⑤
11223
k x k x k⑥两根有且仅有一根在
12
,k k内
图
象
充
要
条
件
1
2
12
2
f k
f k
b
k k
a
1
2
3
()0
()0
()0
f k
f k
f k
12
f k f k
或
1
12
1
()0
22
f k
k k
b
k
a
或
2
12
2
()0
22
f k
k k b
k
a
k
k
k
2
k
1
k
2
k
1
k
3
k
2
k
1
k
即时应用：
(1) 若方程42x +(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则求m 的取值范围.
(2) 方程x 2+2px+1=0有一个根大于1，一个根小于1，求p 的取值范围.
二、典型例题
例1 若一元二次方程03)12(2
=-+-+k x k kx 有一根为零，则另一根是正根还是负根？
例2若方程2(2)40x k x -++=有两负根，求k 的取值范围.
例3..若关于x 的方程2(2)210x k x k +-+-=的两实根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围
例4.已知关于x 的方程223230x x m -+-=的两根都在［－1，1］上.求实数m 的取值范围.
例5.方程mx 2+2(m+1)x+m+3=0仅有一个负根，求m 的取值范围
拓展提升：
已知集合}{
2(2)10A x x a x =+-+=，若{}0A x R x ⊆∈>，求a 的取值范围
一元二次方程根的分布巩固作业
1．对于二次函数x x y 822
+-=，下列结论正确的是（ ）
Ａ．当2=x 时，y 有最大值8 Ｂ．当2-=x 时，y 有最大值8 Ｃ．当2=x 时，y 有最小值8 Ｄ．当2-=x 时，y 有最小值8-
2．二次函数12
--=ax x y 在区间[0，3]上有最小值－2，则实数a 的值为（ ）
A ．－2
B ．4
C ．3
10-
D ．2
3．设函数∈++=a x a ax x x f ,(232)(2R ）的最小值为m （a ），当m （a ）有最大值时a 的值为（ ）
A ．
3
4 B ．
4
3 C ．
9
8 D ．
8
9 4．函数1)3(2)(2+-+=x a ax x f 在区间[)+∞-,2上递减，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[－3，0]
B ．(]3,-∞-
C ．[)0,3-
D ．[－2，0]
5．设二次函数)1(,0)(,)(2
+<-+-=m f m f a x x x f 则若的值为（ ） A ．正数 B ．负数 C ．正、负不定，与m 有关 D ．正、负不定，与a 有关
6．已知0)53()2(,2
2
21=+++--k k x k x x x 是方程（k 为实数）的两实数根，则2
221x x +的最大值为（ ）
A ．19
B ．18
C ．9
55
D ．不存在
7．设函数)0()(2
≠++=a c bx ax x f ，对任意实数t 都有)2()2(t f t f -=+成立，则函数值
)5(),2(),1(),1(f f f f -中，最小的一个不可能是（ ）
A ．f (－1)
B ．f (1)
C ．f (2)
D ．f (5)
8．一元二次方程0)2()1(2
2=-+-+a x a x 的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是
9．函数1)(2
-+=ax ax x f ，若0)(<x f 在R 上恒成立，则a 的取值范围是 10．函数()()2220f x ax ax b a =-++≠在[]2,3上有最大值5和最小值2，求,a b 的值。

11．(1)方程2
240x
ax 的两根均大于1，求实数a 的范围．
(2)方程2
240x ax 的两根一者大于1，一者小于1求实数a 的范围．
(3)方程2
24
0x ax
的两根一者在(0,1)内，一者在（6，8）内，求实数a 的范围．
探究创新：
已知}{
2220A x x x p =++-=，且{}0A x R x ∈>=∅，求p 的取值范围。