与名师对话(高考理科二轮书)专题强化训练1 (8)

专题强化训练(八)一、选择题1．(2020·河北邯郸二模)在⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x 3的系数为( )A ．15B ．45C ．135D ．405[解析] 在⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 中，令x 为1，得各项系数和为4n ，又展开式的二项式系数和为2n ，各项系数的和与二项式系数的和之比为64，∴4n 2n ＝64，解得n ＝6，∴二项式的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6·3r ·x 6－32r ，令6－32r ＝3，得r ＝2，故展开式中x 3的系数为C 26·32＝135，故选C.[答案] C2．(2020·安徽蚌埠二模)设a ∈R ，若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 9与⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x 29的二项展开式中的常数项相等，则a ＝( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2[解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 9的展开式的通项为T k ＋1＝C k 9(x 2)9－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x k ＝C k 9x 18－2k ·2k x －k ＝C k 9·2k x 18－3k ，由18－3k ＝0得k ＝6，即常数项为T 6＋1＝C 69·26＝84×64.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x 29的展开式的通项为T r ＋1＝C r 9x 9－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 2r ＝C r 9x 9－r ·a r x －2r ＝C r 9·a r x 9－3r ，由9－3r ＝0得r ＝3，即常数项为T 3＋1＝C 39·a 3＝84a 3.∵两个二项展开式中的常数项相等，∴84a 3＝84×64，∴a 3＝64，即a ＝4，故选A.[答案] A3．(2020·江西上饶二模)多项式⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中x 3的系数是( )A ．－184B ．－84C ．－40D ．320[解析] 令x ＝1，可得多项式⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6的展开式中各项系数的和为(a ＋1)×1＝3，∴a ＝2，∴多项式为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 3·(x 6－12x 4＋60x 2－160＋240x －2－192x －4＋64x －6)，故它的展开式中x 3的系数为2×(－12)＋(－160)＝－184，故选A.[答案] A4．(2020·山东烟台模拟)设(x ＋2)x 9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 10(x ＋1)10，则a 1＋a 2＋…＋a 10的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．2[解析] 根据(x ＋2)x 9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 10(x ＋1)10，令x ＝－1，可得a 0＝－1.故有(x ＋2)x 9＝－1＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 10(x ＋1)10，再令x ＝0，可得0＝－1＋a 1＋a 2＋…＋a 10，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝1.[答案] A5．(2020·南京高三调考)某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有( )A ．120种B ．156种C ．188种D ．240种[解析] 解法一：记演出顺序为1～6号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占1和2号，2和3号，3和4号，4和5号，5和6号，其排法种类分别为A 22A 33，A 22A 33，C 12A 22A 33，C 13A 22A 33，C 13A 22A 33故总编排方案有A22A33＋A22A33＋C12A22A33＋C13A22A33＋C13A22A33＝120(种)．故选A.解法二：记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则编排方案有C14A22A33＝48(种)；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，编排方案共有C13A22A33＝36(种)；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，编排方案共有C13A22A33＝36(种)．所以编排方案共有48＋36＋36＝120(种)．故选A.[答案] A6．(2020·陕西西安二检)将“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为()A．72 B．120 C．192 D．240[解析]若将“124467”重新排列后所得数为偶数，则末位数字应为偶数，(1)若末位数字为2，因为含有2个4，所以偶数有5×4×3×2×1＝60(个)；(2)若末位数字为6，同理偶数有25×4×3×2×1＝60(个)；(3)若末位数字为4，因为有两个相同数字4，2所以偶数有5×4×3×2×1＝120(个)．综上可知，不同的偶数共有60＋60＋120＝240(个)．故选D.[答案] D7．(2020·豫南九校联考)将5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有()A．150种B．180种C ．240种D ．540种[解析] 先将5人分成三组，3,1,1或2,2,1，共有C 35＋C 15×C 24×C 22A 22＝25(种)分法；再将三组学生分到3所学校有A 33＝6(种)分法，故共有25×6＝150(种)不同的保送方法．故选A.[答案] A8. (2020·郑州二模)如图，某个地区分为5个行政区域，现给该地区的地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现在有4种颜色可供选择，则不同的着色方法种数为( )A ．48B ．24C ．72D ．96[解析] 解法一(以位置为主考虑)：第一步涂①，有4种着色方法．第二步涂②，有3种着色方法．第三步涂③，有2种着色方法．第四步涂④时分两类，第一类用余下的颜色，有1种着色方法．第五步涂⑤，有1种着色方法；第二类④与②同色，有1种着色方法，第五步涂⑤，有2种着色方法．所以不同的着色方法共有4×3×2×(1×1＋1×2)＝72(种)． 解法二(以颜色为主考虑)：分两类．(1)取4色：着色方法有2A44＝48(种)．(2)取3色：着色方法有A34＝24(种)．所以共有着色方法48＋24＝72(种)．[答案] C9．(2020·合肥一模)将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为()A．15 B．20 C．30 D．42[解析]四个篮球中两个分到一组有C24种分法，三组篮球进行全排列有A33种分法，其中标号1,2的两个篮球分给同一个小朋友有A33种分法，所以共有分法C24A33－A33＝30(种)．故选C.[答案] C10．(2020·衡水二中一模)已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数为()A．24 B．28 C．36 D．48[解析]按红红之间有蓝、无蓝这两类来分情况研究．①当红红之间有蓝时，则有A22A24＝24种情况；②当红红之间无蓝时，则有C12A22 C12C13＝24种情况．因此这五个人排成一行，穿相同颜色衣服的人不能相邻，共有24＋24＝48种排法．故选D.[答案] D11．(2020·湖北宜昌模拟)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为() A．232 B．252C．472 D．484[解析]由题意，不考虑特殊情况，共有C316种取法，其中同一种颜色的卡片取3张，有4C34种取法，3张卡片中红色卡片取2张有C24·C112种取法，故所求的取法共有C316－4C34－C24·C112＝560－16－72＝472种，选C.[答案] C12．(2020·山东济南一模)某小学6名教职工的私家车中有3辆为黑色，2辆为白色，1辆为红色，学校刚好备有6个并排的停车位，上班期间这6辆私家车每天都停在这6个车位上，则红色私家车不停在两端、3辆黑色私家车只有2辆相邻的停车种数为()A．144 B．288C．432 D．720[解析]解法一：①当白色私家车停在两端、3辆黑色私家车只有2辆相邻时，先排3辆黑色私家车，有A33种情况，再将1辆红色私家车插入黑色私家车中间的2个空位中的任1个，有C12种情况，最后将2辆白色私家车停在两端，有A22种情况，此时不同的停车种数共有A33C12A22＝24(种)；②当黑色私家车停在两端、3辆黑色私家车只有2辆相邻时，先排3辆黑色私家车，有A33种情况，再将剩下的3辆车作为整体插入黑色私家车中间的2个空位中的任1个，有C12A33种情况，此时不同的停车种数共有A33C12A33＝72(种)；③当车位两端一端停白色私家车、一端停黑色私家车时，先排3辆黑色私家车，有A33种情况．(ⅰ)当红色私家车排在黑色私家车两边时，有C12C12A22种情况，(ⅱ)当红色私家车排在黑色私家车中间时，有C12(C12A22＋C12C12A22)种情况，此时不同的停车种数有A33[C12C12A22＋C12(C12A22＋C12C12A22)]＝192(种)．综上，不同的停车种数共有24＋72＋192＝288(种)．故选B.解法二：不考虑红色私家车的停靠位置，则3辆黑色私家车只有2辆相邻时，考虑从3辆黑色私家车中选出2辆捆在一起当作一个元素，与另一辆黑色私家车插入由2辆白色私家车、1辆红色私家车的全排列形成的4个空位中，停车种数有C 23A 22A 33A 24＝432(种)，而两端停靠红色私家车的种数有C 23A 22C 12A 22A 23＝144(种)，所以红色私家车不停在两端、3辆黑色私家车只有2辆相邻的停车种数有432－144 ＝288(种)，故选B.[答案] B二、填空题13．(2020·河北邯郸二模)若⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋ax 2＋15的展开式中的常数项为11，则a ＝________.[解析] 已知多项式的展开式的常数项为C 55·15＋C 45·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4·ax 2＝1＋5a ＝11，所以a ＝2.[答案] 214．(2020·湖南长沙调研)甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，且甲同学不与老师相邻，则不同的站法种数为________．[解析] 特殊元素优先安排，先让老师站在正中间，甲同学从两端中任选一个位置，有N 1＝C 11·C 12＝2种站法，其余三名学生任意排列有N 2＝A 33＝6种排法，则不同站法共有N ＝N 1×N 2＝2×6＝12(种)．[答案] 1215．(2020·吉林长春调研)桌面上有形状、大小相同的白球、红球、黄球各3个，相同颜色的球不加以区分，将这9个球排成一排，共有________种不同的排法．(用数字作答)[解析]满足题意的排法共有A99A33A33A33＝1680种．[答案]168016．(2020·安徽合肥二模)某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E，任务B、任务C不能相邻，则不同的执行方案共有________种．(用数字作答)[解析]由题意知任务A，E必须相邻，且E只能安排在A后面．分三类：①当A，E分别排在第一、第二个位置时，执行方案有A22A23＝12(种)；②当A，E分别排在第二、第三个位置时，执行方案有C12A33＋C12A22＝12＋4＝16(种)；③当A，E分别排在第三、第四个位置时，执行方案有C12C12A22A22＝16(种)．根据分类加法计数原理得不同的执行方案有12 ＋16＋16 ＝44(种)．[答案]44。