圆的切线之经典练习题
圆的切线练习题
圆的切线练习题连接BD，过点B作BE⊥AC交BD于点E，交⊙O于点F．1）求证：EF是⊙O的切线；2）若BC=4，AD=6，求⊙O的半径及BE的长．例1：已知直线CD与AB的延长线交于点E，且CD⊥AD，垂足为D，XXX于点C。
证明直线CD为⊙O的切线。
对应练：在△DAB中，AB经过圆心O，∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，且∠DAB＝60°，AB=10.求BD与CD的长。
例2：已知△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F。
证明直线EF是⊙O的切线，当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径。
对应练：在Rt△ABC中，∠C=90°，O、D分别为AB、BC上的点，经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F，且D为弧EF的中点。
求证：BC与⊙O相切，当AD=23；∠CAD=30°时，求弧AD的长。
3.已知AB是半圆O的直径，点C是⊙O上一点（不与A，B重合），连接AC，BC，过点O作OD∥AC交BC于点D，在OD的延长线上取一点E，连接EB，使∠XXX∠ABC。
⑴证明：BE是⊙O的切线；⑵若OA=10，BC=16，求BE的长。
4.已知⊙O经过点B、D、E，BD是⊙O的直径，∠C＝90°，BE平分∠ABC。
试说明直线AC是⊙O的切线；当AE＝4，AD＝2时，求⊙O的半径及BC的长。
5.在⊙O中，AB为直径，AC为弦，过点C作CD⊥XXX与点D，E将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处，AE交⊙O于点F，连接OC、FC。
⑴证明：CE是⊙O的切线；⑵若FC∥AB，证明四边形AOCF是菱形。
6.已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，延长AB交CD于点E。
连接AC，作∠DAC＝∠ACD，作AF⊥ED于点F，交⊙O于点G。
⑴证明：AD是⊙O的切线；(2)如果⊙O的半径是6cm，EC=8cm，求GF的长。
圆的切线综合练习题与答案(2018)
切线的判定与性质练习题一、选择题（答案唯一，每小题3分）1．下列说法中，正确的是()A．与圆有公共点的直线是圆的切线B．经过半径外端的直线是圆的切线C．经过切点的直线是圆的切线D．圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线2.如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为()A．70°B．35°C．20°D．40°第2题第3题第4题第5题3.如图，线段AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线A．204.AB5.A67.8.CD9.10.OC，BE.若AE1112.第12题第13题第14题13.（7分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.求证：∠BDC＝∠A.14.（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，求证：AC与⊙D相切．15.（10分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠CAD.(1)求∠D的度数；(2)若CD＝2，求BD的长．第15题第16题16．（12分）已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.(1)如图①，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(至少说出两种)：__________________________或者_______________________；(2)如图②，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE＝∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．17.（12分）如图，已知直线PA交⊙O于A，B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若DC＋DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长．答案：DDADC6.相切7.∠ABC＝90°不排除等效答案8.69.4510.411.6012.解：连接OD，∵BD为∠ABC平分线，∴∠OBD＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠CBD＝∠ODB，∴OD ∥BC，∵∠C＝90°，∴∠ODA＝90°，则AC为⊙O的切线13.解：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，∴∠ODB＋∠BDC＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝9014.15.OCD＝90°，∴∠D＝2－2 16.(1)B＋∠CAM ＝9017.(2)过O AF＝5－x，在Rt△，故x＝2，从而AD。
关于圆的切线的练习题
关于圆切线的证明题
切线的判定定理
例1、已知如图所示，AB 为⊙O 的直径，C 、D 是直径AB 同侧圆周上两点，且，过
D 作D
E ⊥AC 于点E ，求证：DE 是⊙O 的切线.
切线的性质及其推论
例3如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，CD 切⊙O 于点C ，交AB •的延长线于点D ， ∠ACD=120°，BD=10．（1）求证：CA=CD ； （2）求⊙O 的半径．
例7如图，AB 是半圆O 的直径，AD 为弦，∠DBC=∠A ． （1）求证：BC 是半圆O 的切线；
（2）若OC ∥AD ，OC 交BD 于E ，BD=6，CE=4，求AD 的长．
例9如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于P ，CE=BE ，E 在BC 上. 求证：PE 是⊙O 的切线．
B
例10、已知:如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D,过点D 作⊙O 的切线DE 交BC 于点E.求证:BE=CE.
例11如图，P 为⊙O 外一点，PO 交⊙O 于C ，过⊙O 上一点A 作弦AB ⊥PO 于E ， 若∠EAC=∠CAP ，求证：PA 是⊙O 的切线．
例14已知：AD 是∠BAC 的平分线，BDC 是切线，求证：EF ∥BC
例15、如图1，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，B 为切点，OC 平行于弦AD ，连接CD 。
求证：DC 是⊙O 的切线。
3.7 切线长定理(练习)(解析版)
第三章 圆第七节 切线长定理精选练习一、单选题1．（2021·北京九年级专题练习）如图，PA ，PB 为⊙O 的两条切线，点A ，B 是切点，OP 交⊙O 于点C ，交弦AB 于点D ．下列结论中错误的是（ ）A ．PA ＝PBB ．AD ＝BDC ．OP ⊥ABD ．∠PAB ＝∠APB【答案】D【分析】利用切线长定理、等腰三角形的性质即可得出答案．【详解】解：由切线长定理可得：∠APO =∠BPO ，PA =PB ，从而AB ⊥OP ，AD =BD ．因此A ．B ．C 都正确．无法得出∠PAB =∠APB ，可知：D 是错误的．综上可知：只有D 是错误的．故选：D ．【点睛】本题考查了切线长定理、等腰三角形的性质，关键是利用切线长定理、等腰三角形的性质解答．2．（2021·全国九年级课时练习）如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PA ＝AO ，PD 与⊙O 相切于点D ，BC ⊥AB 交PD 的延长线于点C ，若⊙O 的半径为1，则BC的长是（ ）A ．1.5B ．2CD 【答案】D【分析】连接OD ，根据切线的性质求出∠ODP ＝90°，根据勾股定理求出PD ，证明BC 是⊙O 的切线，根据切线长定理得出C D ＝BC ，再根据勾股定理求出BC 即可．【详解】连接OD ，如图所示∵PC 切⊙O 于D ∴∠ODP ＝90°∵⊙O 的半径为1，PA ＝AO ，AB 是⊙O 的直径 ∴PO ＝1+1＝2，PB ＝1+1+1＝3，OD ＝1∴由勾股定理得：PD ==∵BC ⊥AB ，AB 过O ∴BC 切⊙O 于B ∵PC 切⊙O 于D ∴CD ＝BC设CD ＝CB ＝x 在Rt △PBC 中，由勾股定理得：PC 2＝PB 2+BC 2即222)3x x +=+ 解得：x 即BC故选：D【点睛】本题考查了切线的性质和判定，及切线长定理，切线的性质定理为：圆的切线垂直于过切点的半径，切线长定理为：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．同时考查了利用勾股定理解直角三角形．3．（2021·湖北武汉市·九年级一模）如图，经过A 、C 两点的⊙O 与△ABC 的边BC 相切，与边AB 交于点D ，若∠AD C ＝105°，BC ＝CD ＝3，则AD 的值为（ ）A ．B ．CD 【答案】A【分析】连接OC 、OD ，作OE AB ^于点E ．易求出75CBD CDB Ð=Ð=°，30BCD Ð=°．再由切线的性质，即可求出60OCD Ð=°，即三角形OCD 为等边三角形．得出结论60ODC Ð=°，3OC OD CD ===．从而即可求出45ADO Ð=°，即三角形OED 为等腰直角三角形，由此即可求出DE 的长，最后根据垂径定理即可求出AD 的长．【详解】如图，连接OC 、OD ，作OE AB ^于点E ．∵BC CD =，∴CBD CDB Ð=Ð，∵105ADC Ð=°，∴75CBD CDB Ð=Ð=°，∴18027530BCD Ð=°-´°=°．由题意可知OC BC ^，即90OCB Ð=°，∴903060OCD OCB BCD Ð=Ð-Ð=°-°=°，∵OD =OC ，∴三角形OCD 为等边三角形．∴60ODC Ð=°，3OC OD CD ===．∴1056045ADO ADC ODC Ð=Ð-Ð=°-°=°，∴三角形OED 为等腰直角三角形，∴3DE ===∴22AD DE ===故选：A ．本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形与等边三角形的判定和性质以及垂径定理，综合性强．正确的连接辅助线是解答本题的关键．4．如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB//CD，若OB=3cm，OC=4cm，则四边形EBCG的周长等于（ ）A．5cm B．10cm C．745cm D．625cm【答案】C【分析】连接OF，利用切线性质和切线长定理可证明BE=BF，CG=CF，∠OBE=∠OBF，∠OCG=∠OCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质证得∠BOC=90°，进而由勾股定理求得BC长，根据三角形的面积公式求得OF，进而可求得四边形的周长．【详解】解：连接OF，∵直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，∴BE=BF，CG=CF，∠OBE=∠OBF，∠OCG=∠OCF，OF⊥BC，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°，∴∠OBF+∠OCF=90°，即∠BOC=90°，∴在Rt△BOC中，OB=3cm，OC=4cm，由勾股定理得：BC==，由1122OB OC BC OF××=××得：OF=341255´=cm，∴OE=OG=OF= 125cm，∴四边形EBCG的周长为BE+BC+CG+EG=2OE+2BC=2×125+2×5=745cm，【点睛】本题考查切线的性质、切线长定理、平行线的性质、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握切线长定理的运用，证得∠BOC =90°和利用等面积法求出OF 是解答的关键．5．（2021·山西吕梁市·九年级月考）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝BC ．AT 是⊙O 的切线，∠BAT ＝55°，则∠D 等于（ ）A ．110°B ．115°C ．120°D ．125°【答案】A【分析】连接AC ，OA ，OB ，先结合切线的性质以及圆的性质求得ACB BAT Ð=Ð，再结合等腰三角形的性质以及圆的内接四边形的性质求得2D ACB Ð=Ð即可．【详解】如图所示，连接AC ，OA ，OB ，则()11802AOB OBA OAB =°-ÐÐÐ=，∵2AOB ACB Ð=Ð，∴90ACB OAB =°-ÐÐ，∴90ACB OAB Ð=°-Ð，∵AT 是⊙O 的切线，∴90BAT OAB Ð=°-Ð，∴55ACB BAT Ð=Ð=°，∵AB BC =，∴1802ABC ACB Ð=°-Ð，根据圆的内接四边形可得：180D ABC Ð=°-Ð，∴2110D ACB Ð=Ð=°，故选：A ．【点睛】本题考查圆的综合问题，理解圆的切线的性质以及内接四边形的性质是解题关键．6．（2021·浙江九年级专题练习）如图，⊙O 的弦AB ＝8，M 是弦AB 上的动点，若OM 的最小值是3，则⊙O 的半径是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】过O 点作OH ⊥AB 于H ，连接OA ，如图，根据垂径定理得到AH ＝BH ＝4，利用垂线段最短得到OH ＝3，然后利用勾股定理计算出OA 即可．【详解】解：过O 点作OH ⊥AB 于H ，连接OA ，如图，∵OH ⊥AB ，∴AH ＝BH ＝12AB ＝12×8＝4，∵OM 的最小值是3，∴OH ＝3，在Rt △OAH 中，OA ＝5，即⊙O 的半径是5．故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．7．（2020·聊城市茌平区实验中学九年级月考）如图，P 为O 外一点，PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，CD 切O 于点E 且分别交PA 、PB 于点C ，D ，若PA =4，则△PCD 的周长为( )A ．5B ．7C ．8D ．10【答案】C【分析】根据切线长定理求解即可【详解】解：∵PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，CD 切O 于点E ，PA=4，∴PA=PB=4，AC=CE ，BD=DE ，∴△PCD 的周长为PC+CE+DE+PD=PC+AC+BD+PD=PA+PB=4+4=8，故选：C ．【点睛】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理及其应用是解答的关键．8．（2021·北京九年级专题练习）如图，ABC D 的内切圆O e 与A B ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且2AD =，ABC D 的周长为14，则BC 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【分析】根据切线长定理得到AF =AD =2，BD =BE ，CE =CF ，由△ABC 的周长为14，可求BC 的长．【详解】解：O Qe 与A B ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F2AF AD \==，BD BE =，CE CF =，ABC D Q 的周长为14，14AD AF BE BD CE CF \+++++=2()10BE CE \+=5BC \=故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．二、填空题9．如图，PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，A 、B 、E 是切点，CD 分别交PA 、PB 于C 、D 两点，若∠COD =70°，则∠AP B =_______.【答案】40°【分析】先利用切线长定理，得出∠BDO =∠CDO ，∠ACO =∠DCO ，再利用三角形内角和求出∠CDO +∠DCO 后得到∠BDC+∠A CD 的值，最后利用三角形外角的性质得到关于∠P 的方程，解方程即可得出答案．【详解】解：∵PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，∴∠BDO =∠CDO ，∠ACO =∠DCO ，∵∠COD =70°，∴∠CDO +∠DCO =180°－70°=110°，∴∠BDC +∠ACD =2（∠CDO +∠DCO ）=2 ×110°=220°，∵∠BDC =∠DCP +∠P ，∠ACD =∠CDP +∠P ，∴∠DCP +∠P +∠CDP +∠P =220°，即180°+∠P =220°，∴∠P =40°，即∠APB =40°，故答案为：40°．【点睛】本题综合考查了圆的切线长定理、三角形的内角和定理、三角形外角的性质等，解决本题的关键是要牢记各定理与性质的内容，能灵活运用它们进行不同的角之间的转化，考查了学生推理分析的能力．10．（2021·浙江九年级其他模拟）如图，已知AD 是BAC Ð的平分线，以线段AB 为直径作圆，交BAC Ð和角平分线于C ，D 两点．过D 向AC 作垂线DE 垂足为点E ．若24DE CE ==，则直径AB =_______．【答案】10【分析】连接CD 、OD 、OC 、BD ，运用勾股定理求得CD 的长,再证明DE 是圆O 的切线，运用全等三角形的判定与性质以及余角的性质得出∠CDE =∠BAD ,易得BD =CD ，然后再根据正切函数求得AD ，最后根据勾股定理解答即可．【详解】解：如图：连接CD 、OD 、OC 、BD∵AE ⊥DE , 24DE CE ==∴CD =∵OA =OD∴∠OAD =∠ODA∴∠BOD =∠OAD +∠ODA = 2∠OAD∵∠ODA =∠OAD∴∠EAD =∠ODA∴OD //AE∴OD ⊥DE ，即DE 是圆O 的切线∴∠CDE +∠ODC =90°∵AB是直径∴∠BAD+∠B=90°在△BOD和△DOC中OC=OB,DO=DO,BD=CD ∴△BOD≌△DOC∴∠ODC=∠OBD∴∠CDE=∠BAD∵∠BAD=∠DAC∴∠COD=∠BOD∴BD=CD=∵tan∠BAD=BDAD= tan∠CDE=12CEDE=,∴AD=∴AB10=．故填10．【点睛】本题主要考查了三角形的性质、圆的切线的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．11．（2020·湖北孝感市·九年级月考）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝108°，则∠B+∠D＝_____．【答案】216°【分析】连接AB，根据切线得出PA＝PB，求出∠PBA＝∠PAB＝36°，根据圆内接四边形的对角互补得出∠D+∠CBA＝180°，再求出答案即可．【详解】解：连接AB，∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∵∠APB＝108°，∴∠PBA＝∠PAB＝12×（180°﹣∠APB）＝36°，∵A、D、C、B四点共圆，∴∠D+∠CBA＝180°，∴∠PBC+∠D＝∠PBA+∠CBA+∠D＝36°+180°＝216°，故答案为：216°．【点睛】本题考查了切线长定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆内接四边形等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．12．（2021·河北石家庄市·石家庄外国语学校九年级月考）已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若B C＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于_____．-【答案】2【分析】连接IA，IA与⊙I半径的差即为点A到圆上的最近距离，只需求出IA和⊙I半径即可得答案．【详解】解：连接IA，设AC、BC分别切⊙I于E、D，连接IE、ID，如图：∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，∴BC2+AC2＝AB2∴∠C＝90°∵⊙I为△ABC的内切圆，∴∠IEC＝∠IDC＝90°，IE＝ID，∴四边形IDCE是正方形，设它的边长是x，则IE＝EC＝CD＝ID＝IH＝x，∴AE＝8﹣x，BD＝6﹣x，由切线长定理可得：AH＝8﹣x，BH＝6﹣x，而AH+BH＝10，∴8﹣x+6﹣x＝10，解得x＝2，∴AH＝6，IH＝2，∴IA，∴点A到圆上的最近距离为﹣2，故答案为：﹣2．【点睛】本题考查勾股定理、切线长定理、三角形的内切圆等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．三、解答题13．（2021·浙江温州市·九年级一模）如图，点C ，D 在以AB 为直径的半圆O 上， AD BC=，切线DE 交AC 的延长线于点E ，连接OC ．（1）求证：∠ACO ＝∠ECD ．（2）若∠CDE ＝45°，DE ＝4，求直径AB 的长．【答案】（1）证明见详解；（2）【分析】（1）由 AD BC=，可得∠A ＝∠B ，内接四边形可得出∠ECD=∠B ，进而得出∠ACO ＝∠ECD ；（2））连接OD ，由切线的性质可得出∠ODE ＝90°，进而得出∠CDO ＝∠DCO=45°，再根据已知条件计算出∠E=∠ECD ，得到CD=DE ＝4，再利用勾股定理求出半径，进而得出答案；【详解】（1）证明：∵ AD BC=，∴∠A ＝∠B ；∵ABDC 是内接四边形∴∠ECD=∠B∴∠ECD=∠A∵AO ＝CO ；∴∠ACO ＝∠A∴∠ACO ＝∠ECD（2）连接OD∵DE 是圆的切线∴∠ODE ＝90°，∵∠CDE ＝45°，OC=OD∴∠CDO ＝∠DCO =45°，∴∠COD ＝90°，∵ AD BC=，∴ AC DC=，∴∠AOC ＝∠DOB=45°，∴AO ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A=1804567.52°-°=° ；∵∠DCO =45°，∴∠ECD =180°-45°-67.5°=67.5°，∵∠E=180°-∠CDE -∠ECD =180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠E=∠ECD∴CD=DE ＝4，∵∠COD ＝90°，∴222CD OC OD =+∴2216OC OD +=，即28OC =∴OC= 故⊙O 的半径为∴直径AB 的长，【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，内接四边形，切线性质定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．14．（2021·江苏无锡市·九年级期中）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，与BA 的延长线交于点D ，DE ⊥P O 交PO 延长线于点E ，连接PB ，∠EDB ＝∠EPB ．（1）求证：PB 是⊙O 的切线．（2）若PB ＝3，tan ∠PDB ＝34，求⊙O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）32【分析】（1）根据三角形的内角和定理可证E PBO Ð=Ð，然后根据垂直定义可得90E Ð=°，从而得出半径CB PB ^，根据切线的判定定理即可证出结论；（2）连接OC ，根据题意求出45BD PD ==，，再结合切线长定理得到3PC =，2CD =，从而设O e 的半径是r ，利用勾股定理求解即可．【详解】（1）,EDB EPB DOE POB Ð=ÐÐ=ÐQ ，E PBO \Ð=Ð，DE PO ^Q ，90E \Ð=°，90PBO \Ð=°，\半径CB PB ^，PB \是O e 的切线．（2）如图，连接OC ，33tan 904PB PDB PBD =Ð=Ð=°Q ，，tan 45BD PB PDB PD \=Ð===g ，．PB Q 和PC 是O e 的切线，3PC PB \==，2CD PD PC \=-=，设O e 的半径是r ，则4OD DB OB r =-=-，PD Q 切O e 于点C ，OC PD \^，222CD OC OD \+=，()22224r r \+=-，32r \=．【点睛】本题考查圆的综合问题，理解切线的判定与性质定理以及正切函数的定义是解题关键．15．（2021·天津九年级学业考试）已知AB 为O e 的直径，点C ，D 为O e 上的两点，AD 的延长线于BC 的延长线交于点P ，连接CD ，30CAB Ð=°．（Ⅰ）如图①，若 2=CBCD ，4AB =，求AD 的长；（Ⅱ）如图②，过点C 作O e 的切线交AP 于点M ，若6CD AD ==，求CM 的长．【答案】（1）AD =；（2）CM = ．【分析】（1）根据弧、圆周角之间的关系可求得∠BAD =45°，连接BD ，可得△ABD 为等腰直角三角形，求解即可；（2）根据弦、圆心角之间关系、等边对等角以及三角形外角的性质可求得∠PDM =60°，OC //AP ，再根据切线的性质定理易得△CDM 为直角三角形，解直角三角形即可．【详解】解：（1）∵ 2=CBCD ，30CAB Ð=°，∴1152CAD CAB Ð=Ð=°,∴∠BAD =45°，连接BD ，∵AB 为直径，∴∠BDA =90°，∴cos45AD AB =×°=（2）连接OD 、OC ，∵30CAB Ð=°，∴∠COB =60°，∠AOC =120°，∵6CD AD ==，∴∠AOD =∠COD =60°，∴∠ACD =∠CAD =30°，∠BAP =∠CAD +∠CAB =60°=∠COB ，∴OC //AP ，∠CDP =∠ACD +∠CAD =60°，∵CM 为O e 的切线，∴∠OCM =90°，∴∠AMC =180°-∠OCM =90°，在Rt △CDM 中，sin 60CM CD =×°=．【点睛】本题考查切线的性质定理，等腰三角形等边对等角，弧、圆心角、圆周角、弦之间的关系，解直角三角形．正确作出辅助线是解题关键．。
圆的切线综合练习题与答案完整版
圆的切线综合练习题与答案HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】切线的判定与性质练习题一、选择题（答案唯一，每小题3分）1．下列说法中，正确的是( )A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．经过半径外端的直线是圆的切线C．经过切点的直线是圆的切线 D．圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线2. 如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为( )A．70° B．35° C．20° D．40°第2题第3题第4题第5题3. 如图，线段AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠E＝50°，则∠CDB等于( )A．20° B．25° C．30° D．40°4.如图，等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝8，O为BC的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径为( )A．8 B．6 C．5 D．45.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是( )A．AG＝BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC＝∠ADC二．填空题（每小题3分）6．如图，在⊙O中，弦AB＝OA，P是半径OB的延长线上一点，且PB＝OB，则PA与⊙O的位置关系是_________．第6题第7题第8题7.如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为________________．8.如图，AB是⊙O的直径，O是圆心，BC与⊙O切于点B，CO交⊙O于点D，且BC＝8，CD＝4，那么⊙O的半径是______．9. 如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C＝_______度．第9题第10题第11题10. 如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC，BE.若AE＝6，OA＝5，则线段DC的长为______．11．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB＝30°，则∠B＝________度．三、解答题（写出详细解答或论证过程）12.（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E.求证：AC是⊙O的切线．第12题第13题第14题13.（7分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.求证：∠BDC＝∠A.14.（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，求证：AC与⊙D相切．15.（10分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠CAD.(1)求∠D的度数；(2)若CD＝2，求BD的长．第15题第16题16．（12分）已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.(1)如图①，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(至少说出两种)：__________________________或者_______________________；(2)如图②，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE＝∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．17.（12分）如图，已知直线PA交⊙O于A，B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若DC＋DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长．答案：DDADC 6. 相切 7. ∠ABC＝90°不排除等效答案 8. 6 9. 45 10. 4 11. 6012. 解：连接OD，∵BD为∠ABC平分线，∴∠OBD＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠CBD＝∠ODB，∴OD∥BC，∵∠C＝90°，∴∠ODA＝90°，则AC为⊙O的切线13. 解：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，∴∠ODB＋∠BDC＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODB＋∠ADO＝90°，∴∠BDC＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A14. 解：过D作DH⊥AC于H，由角平分线的性质可证DB＝DH，∴AC与⊙D相切15. 解：(1)∵∠COD＝2∠CAD，∠D＝2∠CAD，∴∠D＝∠COD.∵PD与⊙O相切于点C，∴OC⊥PD，即∠OCD＝90°，∴∠D＝45°(2)由(1)可知△OCD是等腰直角三角形，∴OC＝CD＝2，由勾股定理，得OD＝22＋22＝22，∴BD＝OD－OB＝22－216. (1) ∠BAE＝90°∠EAC＝∠ABC(2) (2)EF是⊙O的切线．证明：作直径AM，连接CM，则∠ACM＝90°，∠M＝∠B，∴∠M＋∠CAM＝∠B＋∠CAM＝90°，∵∠CAE＝∠B，∴∠CAM＋∠CAE＝90°，∴AE⊥AM，∵AM为直径，∴EF是⊙O的切线17. 解：(1)连接OC，证∠DAC＝∠CAO＝∠ACO，∴PA∥CO，又∵CD⊥PA，∴CO⊥CD，∴CD为⊙O 的切线(2)过O作OF⊥AB，垂足为F，∴四边形OCDF为矩形．∵DC＋DA＝6，设AD＝x，则OF＝CD＝6－x，AF＝5－x，在Rt△AOF中，有AF2＋OF2＝OA2，即(5－x)2＋(6－x)2＝25，解得x1＝2，x2＝9，由AD＜DF知0＜x＜5，故x＝2，从而AD＝2，AF＝5－2＝3，由垂径定理得AB＝2AF＝6。
专题18圆的切线的性质与判定(原卷版)
专题18 圆的切线的性质与判定（原卷版）类型一利用圆的切线的性质求角度1．（2023•鼓楼区三模）如图，P A、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠A+∠C＝220°，则∠P的度数°．2．（2023秋•沙坪坝区校级月考）如图，已知AB与⊙O相切于点A，AC是⊙O的直径，连接BC交⊙O于点D，E为⊙O上一点，当∠CED＝58°时，∠B的度数是（）A．32°B．64°C．29°D．58°3．（2022秋•金华期末）AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，∠P＝40°，D为圆上一点，则∠D的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°类型二利用圆的切线的性质求长度4．（2023•九龙坡区模拟）如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线P A交OC 延长线于点P，则P A的长为．5．（2022秋•梁溪区校级期中）如图，在四边形材料ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，AD ＝9cm ，AB ＝20cm ，BC ＝24cm ．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是 ．类型三 圆的切线的判定6．（2022•孝南区一模）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，以CD 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点E ，F 两点，过点F 作FG ⊥AB 于点G ．试判断FG 与⊙O 的位置关系，并说明理由．7．（2021•福州模拟）如图，已知△AOB 中，OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，以O 为圆心，12OA 长为半径作圆分别交OA ，OB 于点C ，D ，弦MN ∥AB ．（1）判断直线AB 与⊙O 的位置关系并说明理由；（2）求证：MĈ=ND ̂．类型四圆的切线的判定与性质的综合运用8．（2022•郴州）如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．（1）求证：直线PE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，∠P＝30°，求CE的长．9．（2023春•邗江区月考）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD．（1）如图1，E为OA上一点，若CE⊥AB，且∠ACD＝∠ACE，求证：DC与⊙O相切；（2）如图2，CD与⊙O相交于点F，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD、DF、弧AF围成的图形的面积．10．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点P为AB延长线上一点，连接CP，∠BCP＝∠BAC，∠ACB的平分线与直径AB交于点E，交⊙O于点D．（1）求证：CP是⊙O的切线；（2）求证：PE＝PC；（3）探究AC+BC与CD之间的数量关系，并说明理由．11．（2023•湖州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的半圆与斜边AB相切于点D，交OA于点E，连结OB．（1）求证：BD＝BC．（2）已知OC＝1，∠A＝30°，求AB的长．12．（2023秋•建邺区校级月考）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AC的垂直平分线交边BC于点E，交⊙O 于F，垂足为D，连接AF并延长交BC的延长线于点P．（1）求证：∠CAP=12∠B；（2）若EB＝CP，求∠BAC的度数．13．（2023•盐城）如图，在△ABC中，O是AC上（异于点A，C）的一点，⊙O恰好经过点A，B，AD⊥CB于点D，且AB平分∠CAD．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AC＝10，DC＝8，求⊙O的半径长．14．（2023秋•台江区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，P A为⊙O的切线，弦AC⊥PO，垂足为M，连接PC．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若P A＝AB，连接BM，求证：BM=√2CM．15．（2023•婺城区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，⊙O的切线DE交AC于点E．（1）求证：E是AC中点；（2）若AB＝10，BC＝6，连接CD，OE，交点为F，求OF的长．16．（2022秋•丰润区期末）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE．（1）直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长．。
初中圆切线试题及答案
初中圆切线试题及答案一、选择题1. 圆的切线与过切点的半径垂直，这是圆的切线性质中的哪一条？A. 切线与半径垂直B. 切线与直径垂直C. 切线与切点垂直D. 切线与圆心垂直答案：A2. 已知圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，则直线与圆的位置关系是：A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定答案：C3. 圆的切线与圆的交点个数是：A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案：B二、填空题4. 圆的切线与过切点的半径垂直，因此圆的切线与_________垂直。
答案：过切点的半径5. 如果圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，那么直线与圆相切的条件是_________。
答案：d = r三、解答题6. 已知圆O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，求证：直线l是圆O的切线。
证明：由题意知，圆心O到直线l的距离d=3，圆的半径r=4。
因为d=r，所以直线l与圆O相切。
7. 已知圆的半径为6，圆心到直线的距离为5，求圆与直线的交点个数。
解：由于圆心到直线的距离d=5小于圆的半径r=6，所以直线与圆相交，交点个数为2个。
四、计算题8. 已知圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25，直线方程为3x + 4y - 15 = 0，求直线与圆的切线方程。
解：首先求圆心坐标，圆心为(2, 3)。
计算圆心到直线的距离d，利用点到直线距离公式：\[ d = \frac{|3*2 + 4*3 - 15|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|6 + 12 - 15|}{5} = 1 \]由于d=1，直线与圆相切。
设切线方程为3x + 4y + c = 0，将圆心坐标代入得：\[ 3*2 + 4*3 + c = 0 \]\[ 6 + 12 + c = 0 \]\[ c = -18 \]所以切线方程为3x + 4y - 18 = 0。
圆的切线练习题
圆的切线练习题例1、如图，已知AB是⊙O的直径，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E．求证：直线CD为⊙O的切线；对应练: 如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，∠DAB＝∠B＝30°.(1)直线BD是否与⊙O相切？为什么？(2)连接CD，若CD＝5，求AB的长.例2、已知：△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F.（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径.对应练：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O、D分别为AB、BC上的点．经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F，且D为弧EF的中点．（1）求证：BC与⊙O相切；（2）当AD=23；∠CAD=30°时．求弧AD的长.3.如图，AB 是半圆O 的直径，点C 是⊙O 上一点（不与A ，B 重合），连接AC ，BC ，过点O 作OD ∥AC 交BC 于点D ，在OD 的延长线上取一点E ，连接EB ，使∠OEB=∠ABC ． ⑴求证：BE 是⊙O 的切线；⑵若OA=10，BC=16，求BE 的长．4.如图，⊙ O 经过点B 、D 、E ，BD 是⊙ O 的直径，∠C ＝90°，BE平分∠ABC. (1)试说明直线AC 是⊙ O 的切线；(2)当AE ＝4，AD ＝2时，求⊙ O 的半径及BC 的长．5、如图，在⊙O 中，AB 为直径，AC 为弦，过点C 作CD⊥AB 与点D ，将△ACD 沿AC 翻折，点D 落在点E 处，AE 交⊙O 于点F ,连接OC 、FC. (1）求证：CE 是⊙O 的切线。
（2）若FC∥AB，求证：四边形 AOCF 是菱形。
CF O E A BD E O C D B A6、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C．延长AB交CD于点E．连接AC，作∠DAC＝∠ACD，作AF⊥ED于点F，交⊙O于点G．（1）求证：AD是⊙O的切线；(2)如果⊙O的半径是6cm，EC=8cm，求GF的长．7、如图，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D．（1）判断CD与⊙O的位置关系并说明理由；（2）若∠ACB=120°，OA=2．求CD的长．8、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．（1）求证：直线BD与⊙O相切；（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直径．9、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果BC=8，AB=5，求CE的长10、在△ABC中，AB=AC，点O是△ABC的外心，连接AO并延长交BC于D，交△ABC的外接圆于E，过点B作⊙O的切线交AO的延长线于Q，设OQ=92，BQ=32．（1）求⊙O的半径；（2）若DE=35，求四边形ACEB的周长11、如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径．点C为⊙O上一点，且AC 平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D。
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圆的切线之----- A 班经典练习题
班级 姓名
一、选择题：
1、“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（ ）
A 、经过半径外端点的直线是圆的切线；
B 、垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线；
C 、垂直于半径的直线是圆的切线；
D 、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2、如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝900，点O 在BC 上，以O 为圆心的⊙O 分别与AB 、AC 相切于E 、F ， 若AB ＝a ，AC ＝b ，则⊙O 的半径为（ ） A 、ab B 、
ab b a + C 、b a ab + D 、2
b
a + 3、如图，正方形ABCD 中，AE 切以BC 为直径的半圆于E ，交CD 于F ，则CF ∶FD ＝（ ） A 、1∶2 B 、1∶3 C 、1∶4 D 、2∶5
4、如图，过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，连结AB ，在AB 、PB 、PA 上分别取一点D 、E 、F ，使AD ＝BE ，BD ＝AF ，连结DE 、DF 、EF ，则∠EDF ＝（ ） A 、900－∠P B 、900－
21∠P C 、1800－∠P D 、450－2
1
∠P
∙
第3题图
O
F
E
D
C B
A
∙
第4题图
P
O F
E D
B
A
∙第6题图
C O
E
D
B A
二、填空题：
5、已知PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 是切点，∠APB ＝780，点C 是⊙O 上异于A 、B 的任一点，则∠ACB ＝ 。
6、如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，BC 与以AD 为直径的⊙O 相切于点E ，AB ＝9，CD ＝4，则四边形ABCD 的面积为 。
7、如图，⊙O 为Rt △ABC 的内切圆，点D 、E 、F 为切点，若AD ＝6，BD ＝4，则△ABC 的面积为 。
8、如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是和⊙O 相切于点B 的切线，过⊙O 上A 点的直线AD ∥OC ， 若OA ＝2，且AD ＋OC ＝6，则CD ＝。
∙第7题图
F C
O
E D
B
A
∙
第8题图
C
O
D
B
A
∙
第9题图
C
O
D
B A
9、如图，已知⊙O 的直径为AB ，BD ＝OB ，∠CAB ＝300，请根据已知条件和所给图形写出4个正确的 结论（除OA ＝OB ＝BD 外）：① ；② ；③ ；④ 。
10、若圆外切等腰梯形ABCD 的面积为20，AD 与BC 之和为10，则圆的半径为 。
三、计算或证明题：
11、如图，AB 是半⊙O 的直径，点M 是半径OA 的中点，点P 在线段AM 上运动（不与点M 重合），点Q 在半⊙O 上运动，且总保持PQ ＝PO ，过点Q 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点C 。
（1）当∠QPA ＝600时，请你对△QCP 的形状做出猜想，并给予证明；
（2）当QP ⊥AB 时，△QCP 的形状是 三角形； （3）则（1）（2）得出的结论，请进一步猜想，当点P 在线段AM 上运动到任何位置时，△QCP 一定是 三角形。
12、如图，AB 是半圆（圆心为O ）直径，OD 是半径，BM 切半圆于B ，OC 与弦AD 平行且交BM 于C 。
（1）求证：CD 是半圆的切线；
（2）若AB 长为4，点D 在半圆上运动，设AD 长为x ，点A 到直线CD 的 距离为y ，试求出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。
第11题图
C O
B
第14题图
M O D
C
B
A
13、如图，割线ABC 与⊙O 相交于B 、C 两点，D 为⊙O 上一点，E 为⋂
BC 的中点，OE 交BC 于F ， DE 交AC 于G ，∠ADG ＝∠AGD 。
（1）求证：AD 是⊙O 的切线；
（2）如果AB ＝2，AD ＝4，EG ＝2，求⊙O 的半径。
14、如图，在△ABC 中，∠ABC ＝900，O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ，AD ＝2，AE ＝1，求BCD S ∆。
∙
第12题图
D
E
F G C
B A
13题图
C
B
15、如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 的半径AO 上运动， PC ⊥AB 交⊙O 于E ，PT 切⊙O 于T ， PC ＝2.5。
（1）当CE 正好是⊙O 的半径时，PT ＝2，求⊙O 的半径；
（2）设y PT =2，x AC =，求出y 与x 之间的函数关系式；
（3）△PTC 能不能变为以PC 为斜边的等腰直角三角形？若能，请求出△PTC 的面积；若不能，请说明理由。
∙
第15题图
T
E
P
O
C
B
A。