相关系数的计算
相关系数的计算范文
相关系数的计算范文相关系数是用来衡量两个变量之间关系的统计量。
它的值介于-1和1之间。
当相关系数为1时表示两个变量之间存在完全的正线性关系，当相关系数为-1时表示两个变量之间存在完全的负线性关系，当相关系数为0时表示两个变量之间不存在线性关系。
可以用下面的公式来计算相关系数：r = (nΣXY - ΣXΣY) / sqrt((nΣX^2 - (ΣX)^2)(nΣY^2 - (ΣY)^2))其中，r是相关系数，n是样本数量，Σ表示求和，XY是X和Y的乘积，X和Y分别是两个变量的观测值。
下面我们将用一个例子来演示如何计算相关系数。
假设我们有以下两个变量的观测值：X：1,2,3,4,5Y：2,4,6,8,10首先，我们计算ΣXY，ΣX，ΣY，ΣX^2和ΣY^2的值：ΣXY=(1*2)+(2*4)+(3*6)+(4*8)+(5*10)=110ΣX=1+2+3+4+5=15ΣY=2+4+6+8+10=30ΣX^2=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55ΣY^2=2^2+4^2+6^2+8^2+10^2=220然后我们计算相关系数r：r = (5*110 - (15*30)) / sqrt((5*55 - (15^2))*(5*220 -(30^2)))= (550 - 450) / sqrt((275 - 225)*(1100 - 900))= 100 / sqrt(50*200)=100/100=1因此，这两个变量之间的相关系数是1，表示它们之间存在完全的正线性关系。
相关系数可以帮助我们了解两个变量之间是否存在关联，以及关联的强度。
当相关系数接近于1或-1时，表示两个变量之间关联较强；当相关系数接近于0时，表示两个变量之间关联较弱。
相关系数还可以用来判断一个变量对另一个变量的预测能力，或者用来寻找两个变量之间的最佳拟合线。
相关系数r计算
相关系数r计算
相关系数r是用于衡量两个变量之间线性相关程度的指标。
计算相关系数r需要使用两个变量的一组数据，以下是计算r的公式：
r = nΣXY - ΣXΣY / [(nΣX^2 - (ΣX)^2)(nΣY^2 - (ΣY)^2)]^(1/2)
其中，n为数据组数，Σ为求和符号，X和Y分别表示两个变量的数据。
计算r的步骤如下：
1. 计算X和Y的平均数，分别表示为X和Y。
2. 计算每组数据的(X - X)和(Y - Y)的乘积，分别表示为XY。
3. 分别求出ΣX、ΣY、ΣXY、ΣX^2和ΣY^2。
4. 带入公式计算r的值，得到一个介于-1和1之间的数值，越接近1或-1表示两个变量线性相关程度越高，越接近0表示两个变量线性相关程度越低。
需要注意的是，相关系数r只能反映两个变量之间的线性关系，不能反映其他类型的关系。
同时，如果两个变量之间没有线性关系，计算出来的r也会接近0，但不能说明两个变量没有其他类型的关系。
- 1 -。
数据分析中的相关系数计算方法
数据分析中的相关系数计算方法数据分析是一种重要的工具，可以帮助我们理解数据之间的关系。
而相关系数是衡量两个变量之间相关性强弱的指标之一。
在数据分析中，计算相关系数是一个常见的任务。
本文将介绍一些常用的相关系数计算方法。
一、皮尔逊相关系数（Pearson correlation coefficient）皮尔逊相关系数是最常见的相关系数计算方法之一。
它衡量的是两个变量之间的线性相关性。
皮尔逊相关系数的取值范围是-1到1，其中-1表示完全负相关，1表示完全正相关，0表示无相关。
计算皮尔逊相关系数的公式如下：r = cov(X, Y) / (σX * σY)其中，cov(X, Y)表示X和Y的协方差，σX和σY分别表示X和Y的标准差。
二、斯皮尔曼相关系数（Spearman correlation coefficient）斯皮尔曼相关系数是一种非参数的相关系数计算方法，它衡量的是两个变量之间的单调关系，不仅仅局限于线性关系。
斯皮尔曼相关系数的取值范围也是-1到1，具有和皮尔逊相关系数相似的解释。
计算斯皮尔曼相关系数的公式如下：ρ = 1 - (6 * Σd^2) / (n * (n^2 - 1))其中，d表示X和Y的等级差，n表示样本数量。
三、切比雪夫相关系数（Chebyshev correlation coefficient）切比雪夫相关系数是一种衡量两个变量之间的最大差异的相关系数计算方法。
它不仅考虑了线性关系，还考虑了非线性关系。
切比雪夫相关系数的取值范围是0到1，其中0表示无相关，1表示完全相关。
计算切比雪夫相关系数的公式如下：r = max(|Xi - Yi|) / max(|Xi - Xj|)其中，Xi和Yi表示X和Y的观测值，Xj表示X的观测值。
四、肯德尔相关系数（Kendall correlation coefficient）肯德尔相关系数是一种衡量两个变量之间的等级关系的相关系数计算方法。
三种常用的不同变量之间相关系数的计算方法
三种常用的不同变量之间相关系数的计算方法1．定类变量之间的相关系数．定类变量之间的相关系数，只能以变量值的次数来计算，常用λ系数法，其计算公式为：(3.2.12)式中，为每一类x中y分布的众数次数；为变量y各分类次数的众数次数；n为总次数。
一般来说，λ系数在0～1之间取值，值越大表明相关程度越高。
例如，性别与对吸烟的态度资料见表3—2。
表3—2 性别与对吸烟态度态度y性别x男女合计（Fy）容忍反对37158424557合计（Fx）52 50 102从y的分布来看，对吸烟的态度众数是“反对”，众数次数为57,即＝57。
再从x的每一个分组(男、女)中y的次数分布来看，男性中y的分布众数是“容忍”，次数为37(f1m)；女性中y的分布众数是“反对”，次数为42(f2m)；总次数为102(n)。
于是，从计算结果可知，性别与对吸烟态度的相关程度为0.49，属于中等相关。
2．定序变量之间的相关系数定序变量之间的相关测量常用Gamma系数法和Spearman系数法。
Gamma系数法计算公式为：(3.2.13)式中，G为系数；Ns为同序对数目；Nd为异序对数目。
所谓序对是指表明高低位次的两两配对，如果一对个案在变量x，y的分类表现位次一致，则为同序对；如果位次相反，则为异序对。
G系数取值在—1--十1之间。
G=1，表示完全正相关；G=-1，表示完全负相关；G=0,表示完全不相关；－1<G<0,表示负相关；0<G<1,表示正相关。
Spearman系数法计算公式为：(3.2.14)式中，P为系数；D为所测定的两个数列中每对项目之间的登记差，这个差的正值之和等于负值之和；N为项数。
系数p主要代表两个定序变量的等级相关程度，其取值范围和相关程度含义与G系数相同。
3.定距变量之间的相关系数定距变量之间的相关测量常用Pearson系数法。
对于未分组资料，Pearson系数法计算公式为：对于已分组资料，Pearson系数法计算公式为r系数取值范围和相关程度的含义与G系数相同。
相关系数的三种计算公式
相关系数的三种计算公式
相关系数r的计算公式是ρXY=Cov(X,Y)/√[D(X)]√[D(Y)]。
公式描述：公式中Cov(X，Y)为X，Y的协方差，D(X)、D(Y)分别为X、Y的方差。
若Y=a+bX，则有：
令E(X) =μ，D(X) =σ。
则E(Y) = bμ＋a，D(Y) = bσ。
E(XY) = E(aX + bX) = aμ＋b(σ＋μ）。
Cov(X，Y) = E(XY)E(X)E(Y) = bσ。
缺点
需要指出的是，相关系数有一个明显的缺点，即它接近于1的程度与数据组数n相关，这容易给人一种假象。
因为，当n较小时，相关系数的波动较大，对有些样本相关系数的绝对值易接近于1。
三个相关性系数（pearson, spearman, kendall）反应的都是两个变量之间变化趋势的方向以及程度，其值范围为-1到+1，0表示两个变量不相关，正值表示正相关，负值表示负相关，值越大表示相关性越强。
相关系数是最早由统计学家卡尔·皮尔逊设计的统计指标，是研究变量之间线性相关程度的量，一般用字母r表示。
由于研究对象的不同，相关系数有多种定义方式，较为常用的是皮尔逊相关系数。
相关系数的绝对值越大，相关性越强：相关系数越接近于1或-1，相关度越强，相关系数越接近于0，相关度越弱
相关系数0.8-1.0 极强相关
0.6-0.8 强相关
0.4-0.6 中等程度相关
0.2-0.4 弱相关
0.0-0.2 极弱相关或无相关
对于x,y之间的相关系数r ：
当r大于0小于1时表示x和y正相关关系当r大于-1小于0时表示x和y负相关关系。
相关系数计算方法
相关系数计算方法
相关系数是一种用于衡量两个变量之间线性关系强度的统计量，其取值范围在-1到1之间。
当相关系数为正时，两个变量呈正相关，即随着一个变量的增加，另一个变量也会增加；当相关系数为负时，两个变量呈负相关，即随着一个变量的增加，另一个变量会减少；当相关系数为0时，两个变量之间没有线性关系。
相关系数的计算方法有多种，以下介绍几种常见的方法。
1.皮尔逊相关系数法：皮尔逊相关系数是最常用的相关系数计算方法之一，它反映的是两个变量之间的线性关系程度。
计算公式为：r = cov(X,Y) / (σX * σY)，其中，cov(X,Y)表示X和Y的协方差，σX和σY表示X和Y的标准差。
2.斯皮尔曼等级相关系数法：斯皮尔曼等级相关系数是一种非参数统计方法，它适用于数据不满足正态分布的情况。
计算公式为：ρ= 1 - [6Σd^2 / (n*(n^2-1))]，其中，d表示两个变量在等级上的差异，n表示样本个数。
3.切比雪夫相关系数法：切比雪夫相关系数是一种测量两个变量之间相关性的方法，它不受数据分布的影响。
计算公式为：r = Σ(Xi - Xmean) * (Yi - Ymean) / (n * sX * sY)，其中，Xi和Yi分别表示第i个样本的数值，Xmean和Ymean分别表示X和Y的平均值，sX和sY分别表示X和Y的标准差。
以上三种方法是常见的相关系数计算方法，每种方法都有其适用范围和限制条件，需要根据具体情况选择合适的方法进行计算。
在实
际应用中，相关系数常用于分析两个变量之间的关系，例如研究气温与降雨量之间的关系、销售额与广告投入之间的关系等。
相关系数r的计算公式 方差
相关系数r的计算公式方差相关系数r是用来衡量两个变量之间的线性相关程度的统计量，其取值范围在-1和1之间。
相关系数趋近于1表示两个变量之间存在强正相关关系，趋近于-1表示存在强负相关关系，而趋近于0则表示两个变量之间关系较弱或无相关关系。
相关系数r的计算公式如下：r = cov(X, Y) / (σX * σY)其中，cov表示X和Y的协方差，σX表示X的标准差，σY表示Y的标准差。
具体计算步骤如下：1. 计算X和Y的平均值，分别表示为X与Y的平均值，记作μX和μY。
2. 计算X与Y的离差平方和，记作∑(X-μX)^2和∑(Y-μY)^2。
3. 计算X与Y的离差乘积和，记作∑(X-μX)(Y-μY)。
4. 计算X和Y的标准差，表示为σX和σY。
5. 计算相关系数r，其中cov(X, Y)表示X和Y的协方差。
方差是统计学中常用的一种衡量数据分散程度的指标。
它表示各个数据与其平均值之间的差异程度，越大则数据分散程度越大，反之越小。
方差的计算公式如下：Var(X) = ∑(X-μ)² / N其中，Var(X)表示X的方差，∑(X-μ)²表示X与其平均值的离差平方和，N表示样本大小。
方差的计算步骤如下：1. 计算X的平均值，表示为μ。
2. 计算X与其平均值的离差平方和，表示为∑(X-μ)²。
3. 计算X的方差，表示为Var(X)。
方差可以帮助我们判断数据的分散程度，进而对不同数据集之间的差异进行比较和分析。
在统计分析和建模中，方差是一个重要的指标，常用于描述数据的离散分布程度，并可以作为其他统计量的基础。
参考内容：1. 《数理统计学教程（第四版）》（吴喜之、韩有志、王稼琦著）2. 《统计学（第八版）》（罗伯特·尼尔·奇兹、哈维·戴维勒维著）3. 《经济统计学（第九版）》（曹宗晟、袁春生著）。
相关系数r的计算公式化简
相关系数r的计算公式化简相关系数是用来衡量两个变量之间相关程度的统计量。
它可以帮助我们了解变量之间的关系以及预测未来的趋势。
相关系数的计算公式可以通过以下方式进行简化。
相关系数的计算公式如下：r = Σ((Xi - X) * (Yi - Ȳ)) / √(Σ(Xi - X)² * Σ(Yi - Ȳ)²)其中，r代表相关系数，Xi和Yi分别代表两个变量的观测值，X和Ȳ分别代表两个变量的平均值。
为了简化该公式，我们可以将其分为三个部分进行计算。
我们计算两个变量的差值。
对于每个观测值，我们减去其对应的平均值。
这样可以得到每个观测值与平均值的差值。
然后，我们计算差值的乘积。
将上一步得到的差值相乘，得到每个观测值差值的乘积。
我们将差值乘积的总和除以各自差值的平方和的平方根。
这样可以得到相关系数的值。
通过以上步骤，我们可以简化相关系数的计算公式，使其更易于理解和计算。
相关系数可以取值范围为-1到1之间。
当相关系数为-1时，表示两个变量呈完全负相关；当相关系数为1时，表示两个变量呈完全正相关；当相关系数为0时，表示两个变量之间没有线性关系。
相关系数的值越接近于-1或1，表示两个变量之间的关系越强；相关系数的值越接近于0，表示两个变量之间的关系越弱。
相关系数的计算可以帮助我们分析数据，找出变量之间的关联性，并做出相应的决策。
例如，在金融领域，相关系数可以用来分析股票之间的关系，帮助投资者进行投资决策；在市场调研中，相关系数可以用来分析消费者行为与市场变化之间的关系，帮助企业制定营销策略。
相关系数是一个有用的统计量，可以帮助我们理解变量之间的关系。
通过简化相关系数的计算公式，我们可以更好地理解和应用相关系数，从而做出更准确的预测和决策。
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β ，β到底是多少？
目前公开渠道查找β包括：
yahoo! CNN Money Wall Street Research Net()。
通过对比贝塔值发现：
亚马逊公司，在线报告的β值是3.32，价值线估
计值1.95。 雅虎，在线报告为3.78，价值线为2.05。 可口可乐， 在线报告0.033，价值线为0.3 。
是与另一种证券报酬率的增长成比例，反之亦然。 多数证券之间的相关系数多为小于1的正值。
7
（5）多个证券组合的协方差矩阵
当m为3时，即多种证券组合时，其可能的配对组合的协方 差矩阵如下所示
1,1
1, 2
1,3
2,1
2,2
2,3
3,13,2源自3,3左上角的组合（1，1）是 1与 1之积，即标准差的平方，
14
度量一项资产风险的指标是贝他系数，用希腊
字母 表示。
股票β系数的大小取决于： 该股票与整个股票市场的相关性； 它自身的标准差； 整个市场的标准差。
称为方差，此时，j=k。从左上角到右下角，共有三种j=k 的组合，在这三种情况下，影响投资组合标准差的是三种
证为是各券j证的2。券方对自差于身。矩的当阵方j对=差k角。时线，位相置关上系的数投是资1组，合并，且其 协j 方差k 就变
8
协方差比方差更重要
影响证券组合的标准差不仅取决于单个证券 的标准差，而且还取决于证券之间的协方差。
概率后的 离差乘积
-0.00134
衰退 0.20 -0.085 0.14 -0.0119 -0.00238
正常 0.50 0.015 -0.08 -0.0012 -0.0006
繁荣 0.20 0.215 0.04 0.0086 0.00172
合计 1
协方差 i, j -0.0026
5
两个公司的协方差与相关系数计算
协方差 Covi,j i,j E(ri ri )(rj rj)
=-0.0026
相关系数
i, j
i,j i j
0.0026 0.1484 0.0872
=-0.2010
6
（4）协方差与相关系数的关系
i, j i, j i j
相关系数在-1至+1间取值。 当相关系数为1时，表示一种证券报酬率的增长总
10
情况2：如果两种证券的预期相关系数是0.2，两者的协方差为 0.0048，组合的标准差会小于加权平均的标准差，其方差为：
p
Var(组合)
Qi2
2 i
2QiQ jij
Q2j
2 j
（0.5×0.50×0.122 + 2×0.5×0.5×0.0048 + 0.5×0.5×0.22 ）
10%
20%
正常
0.50
20%
-2%
繁荣
0.20
40%
10%
合计
1.00
期望收益 0.185 期望收益0.06
标准差 i0.1484 标准差 j 0.0872
4
两公司收益率离差计算表
经济状 发生概
况
率
萧条 0.10
I公司收益 J公司收益 收益率离 率离差 率离差 差的乘积
-0.335 0.04 -0.0134
E(r) rf (E(rm ) rf )
资本资产定价模型的假设条件
• 所有投资者均追求单期财富的期望效用最大化，并以各备选组合的期 望收益和标准差为基础进行组合选择。
• 所有投资者均可以无风险利率无限制的借入或贷出资金。 • 所有投资者拥有同样预期，即对所有资产收益的均值、方差和协方差
该组合的预期报酬率为： 10%×0.50＋18%×0.50=14%
情况1：如果两种证券的相关系数等于1，没有任何抵消作 用，两者的协方差为0.024，则该组合的方差为：
（0.5×0.50×0.122 + 2×0.5×0.5×0.024 + 0.5×0.5×0.22 ） =0.0256
该组合的标准差为0.16。 等于两证券的加权平均数0.32/2=16
等，投资者均有完全相同的主观估计。 • 所有的资产均可被完全细分，拥有充分的流动性且没有交易成本。 • 没有税金。 • 所有投资者均为价格接受者。即任何一个投资者的买卖行为都不会对
股标价格产生影响。
12
课堂问题
问题四： 贝塔系数用来某种股票的风险，我们是否
可以根据股票的贝塔系数来判断风险，并 进行投资呢？
=0.016
组合的标准差为0.126。小于两证券加权平均的标准差0.16。
本例启示：只要两种证券之间的相关系数小于1，证券组合 报酬率的标准差就小于各种证券报酬率标准差的加权平均 数。
11
3 CAPM法中的贝塔系数求解
资产定价模型认为一个公司普通股期望的收益率
E(r)与其市场风险β之间的关系为：
协方差与相关性：先计算协方差，再求相关系数
协方差公式：
Covi,j i,j E(ri ri )(rj rj)
相关系数公式：
i, j
i,j i j
3
课堂例题
例3：I,J公司各种情况下的收益预测及其概率
经济状况 发生概率 ri
rj
萧条
0.10
-15%
10%
衰退
0.20
课堂问题
各种股票之间不可能完全正相关，也不可能完全 负相关，所以不同股票的投资组合可以降低风险， 但又不能完全消除风险。股票的种类越多，风险 越小。
问题二： 在投资组合中，增加股票的种类，会降低风险，
但是同时会增加成本并降低收益，你怎么认为？ 问题三： 目前我国的基金大多使用投资组合，但是基金却
往往跑输大盘，你怎么看这件事情？
1
（3）证券相关系数的计算
两种证券组合报酬率概率分布的标准差是：
p
Var(组合)
Qi2 i2
2QiQ jij
Q2j
2 j
Qj是第j 种证券在投资总额中的比例；
Qi是第i种证券在投资总额中的比例；
ij是第j 种证券与第i种证券报酬率的协方差。
2
随着证券组合中证券个数的增加，协方差项 比方差项更重要。
随着组合中证券个数的增加，证券的斜方差 数量增长的很快，对投资组合风险的影响会 更大。
9
课堂例题
例4：假设A证券的预期报酬率为10%，标准差是12%。B证 券的预期报酬率为18%，标准差是20%。现等比例投资于两 种证券，即各占50%。