图--拓扑排序
拓扑排序技术介绍
05
拓扑排序技术的挑战和未来发展方向
复杂度分析和算法优化
复杂度分析
拓扑排序算法的复杂度主要取决于输入 图的大小和结构。对于大规模图，现有 的拓扑排序算法可能面临性能瓶颈。因 此，需要深入研究算法的时间复杂度和 空间复杂度，以便更好地优化算法。
VS
算法优化
为了提高拓扑排序算法的效率，可以采用 多种优化策略，如并行计算、动态规划、 贪心算法等。通过优化算法，可以减少计 算时间和内存消耗，提高排序速度。
02 03
并行策略
在并行化实现中，需要选择合适的并行策略。例如，可以 采用MapReduce模型将任务分解成多个子任务，并在不 同的节点上同时处理这些子任务。同时，需要考虑如何处 理节点之间的通信和数据传输，以保证整体性能和效率。
并行算法
针对不同的情况和需求，可以采用不同的并行拓扑排序算法。 例如，可以采用基于BFS（广度优先搜索）的并行拓扑排序 算法，以处理大规模稀疏图；也可以采用基于DFS（深度优 先搜索）的并行拓扑排序算法，以处理有环图等特殊情况。
学术论文引用
其他领域
在学术论文写作中，拓扑排序可以用于确 定参考文献的引用顺序，确保引用的文献 在文中被正确提及。
除了上述应用场景，拓扑排序还广泛应用 于诸如软件工程、网络流量分析、生物信 息学等领域。
02
拓扑排序的基本原理
有向无环图（DAG）
有向无环图（Directed Acyclic Graph，简称DAG）是一种特 殊的有向图，它不包含任何环路。在DAG中，从一个顶点出发 沿着有向边可以到达任何一个顶点，但不会回到起始顶点。
拓扑排序算法是一种用于计算DAG的拓扑 序列的算法。该算法的基本思想是从DAG
的起始顶点开始，按照一定的顺序访问 DAG中的所有顶点，并记录下访问的顺序 。在访问过程中，如果遇到一个顶点没有被 访问过，就将其加入到已访问顶点的集合中 ，并将其出度减1。重复这个过程直到所有 顶点都被访问过，或者没有未访问的顶点出
拓扑排序——判断有向图中是否存在环
拓扑排序——判断有向图中是否存在环 1// 将先修关系构成⼀张图，由每个数对的第⼆个数字向第⼀个数字连边。
2// ⾸先将所有⼊度为0的点进队，准备拓扑排序。
3// 宽搜过程中，将当前结点所关联的结点的⼊度减1；若发现新的⼊度为0的结点，则将其进队。
4// 最后如果遍历了所有结点，则说明可以满⾜要求；否则，先修关系存在环。
56//查找是否有环7class Solution8 {9public:10bool canFinish(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites)11 {12 vector<vector<int>> graph(numCourses);13 vector<int> in_degree(numCourses, 0);14for (int i = 0; i < prerequisites.size(); i++)15 {16 in_degree[prerequisites[i][0]]++;17 graph[prerequisites[i][1]].push_back(prerequisites[i][0]);18 }1920 queue<int> q;21 vector<bool> vis(numCourses, false);2223for (int i = 0; i < numCourses; i++)24if (in_degree[i] == 0)25 q.push(i);26while (!q.empty())27 {28int sta = q.front();29 q.pop();30 vis[sta] = true;31//有哪些邻边32for (int i = 0; i < graph[sta].size(); i++)33 {34 in_degree[graph[sta][i]]--;// ⼊度-135if (in_degree[graph[sta][i]] == 0) //⼊度如果为0，加⼊队列36 q.push(graph[sta][i]);37 }38 }3940//0->1->241for (int i = 0; i < numCourses; i++)42if (vis[i] == false)43return false;//有环44return true;//⽆环45 }46 };。
图基本算法拓扑排序（基于dfs）
图基本算法拓扑排序（基于dfs） 拓扑排序，是对有向⽆回路图进⾏排序，以期找到⼀个线性序列，这个线性序列在⽣活正可以表⽰某些事情完成的相应顺序。
如果说所求的图有回路的话，则不可能找到这个序列。
在⼤学数据结构课上，我们知道求拓扑排序的⼀种⽅法。
⾸先⽤⼀个⼊度数组保存每个顶点的⼊度。
在进⾏拓扑排序时，我们需要找到⼊度为0的点，将其存⼊线性序列中，再将其从图中删除（与它相关的边都删除，相邻的顶点的⼊度均减1），再重复上⾯的操作，直⾄所有的顶点都被找到为⽌。
如果不对每次找⼊度为0的顶点的⽅法进⾏处理，⽽直接去遍历⼊度数组，则该算法的时间复杂度为O(|V|2)，如果使⽤⼀个队列来保存⼊度为0的顶点，则可以将这个算法的复杂度降为O(V+E)。
今天在算法导论上看了⽤dfs来求拓扑排序的算法，才发现其⾼深之处，膜拜之Orz…下⾯是算法导论的叙述： 本节说明了如何运⽤深度优先搜索，对⼀个有向⽆回路图（dag）进⾏拓扑排序。
对有向⽆回路图G=(V,E)进⾏拓扑排序后，结果为该图顶点的⼀个线性序列，满⾜如果G包含边（u, v），则在该序列中，u就出现在v的前⾯（如果图是有回路的，就不可能存在这样的线性序列）。
⼀个图的拓扑排序可以看成是图中所有顶点沿⽔平线排列⽽成的⼀个序列。
使得所有的有向边均从左指向右。
因此，拓扑排序不同于通常意义上的排序。
在很多应⽤中，有向⽆回路图⽤于说明时间发⽣的先后次序，下图1即给出⼀个实例，说明Bumstead教授早晨穿⾐的过程。
他必须先穿好某些⾐服，才能再穿其他⾐服（如先穿袜⼦后穿鞋），其他⼀些⾐服则可以按任意次序穿戴（如袜⼦和裤⼦），在图1中，有向边<u，v>表⽰⾐服u必须先于⾐服v穿戴。
因此，该图的拓扑排序给出了⼀个穿⾐的顺序。
图2说明了对该图进⾏拓扑排序后，将沿⽔平线⽅向形成⼀个顶点序列，使得图中所有有向边均从左指向右。
拓扑排序算法具体步骤如下：1、调⽤dfs_travel()；2、在dfs_travel()每次调⽤dfs()的过程中，都记录了顶点s的完成时间，将顶点s按完成顺序保存在存放拓扑排序顺序的数组topoSort[]中。
数据结构之拓扑排序算法详解
数据结构之拓扑排序算法详解拓扑排序算法是一种常用于有向无环图（DAG）的排序算法，它可以将图中的顶点按照一定的顺序进行排序，使得图中任意一条有向边的起点在排序结果中都排在终点的前面。
在实际应用中，拓扑排序算法常用于解决任务调度、依赖关系分析等问题。
本文将详细介绍拓扑排序算法的原理、实现方法以及应用场景。
### 一、拓扑排序算法原理拓扑排序算法的原理比较简单，主要包括以下几个步骤：1. 从DAG图中选择一个入度为0的顶点并输出。
2. 从图中删除该顶点以及以该顶点为起点的所有有向边。
3. 重复步骤1和步骤2，直到图中所有顶点都被输出。
### 二、拓扑排序算法实现下面以Python语言为例，给出拓扑排序算法的实现代码：```pythondef topological_sort(graph):in_degree = {v: 0 for v in graph}for u in graph:for v in graph[u]:in_degree[v] += 1queue = [v for v in graph if in_degree[v] == 0] result = []while queue:u = queue.pop(0)result.append(u)for v in graph[u]:in_degree[v] -= 1if in_degree[v] == 0:queue.append(v)if len(result) == len(graph):return resultelse:return []# 测试代码graph = {'A': ['B', 'C'],'B': ['D'],'C': ['D'],'D': []}print(topological_sort(graph))```### 三、拓扑排序算法应用场景拓扑排序算法在实际应用中有着广泛的应用场景，其中包括但不限于以下几个方面：1. 任务调度：在一个任务依赖关系图中，拓扑排序可以确定任务的执行顺序，保证所有任务按照依赖关系正确执行。
拓扑排序
在现代化管理中，人们常用有向图来描述和分析一项工程的计划和实施过程，一个工程常被分为多个小的子工程，这些子工程被称为活动（Activity)，在有向图中若以顶点表示活动，有向边表示活动之间的先后关系，这样的图简称为AOV网。
如下图是计算机专业课程之间的先后关系：3. 2 拓扑排序在AOV网中为了更好地完成工程，必须满足活动之间先后关系，需要将各活动排一个先后次序即为拓扑排序。
如上图的拓扑排序:基础知识；Pascal；数据结构；离散数学。
或基础知识；离散数学Pascal；数据结构。
拓扑排序的方法和步骤：（1）在图中选一个没有前趋的顶点并输出之（2）删除该顶点及由它发出的各边，直到图中不存在没有前趋的顶点为止。
若输出的顶点数小于AOV网中的顶点数，则图中存在回路，拓扑排序无法进行，否则输出的顶点系列就是一种拓扑系列。
以下是将一AOV网进行拓扑排序的算法：网采用邻接矩阵A表示,若a[i，j]=1，表示活动i先于j，a[i，j]=0，表示活动i与j不存在先后关系。
（1）计算各顶点的入度；（2）找入度为零的点输出之，删除该点及以该点为起点的所有关联边，同时与该点关联各点的入度减1；（3）若所有顶点都输出完毕；若输出的顶点数小于AOV网中的顶点数，输出“存在回路”。
程序如下：program tppv;const maxn=100;varmap:array[1..maxn,1..maxn] of byte;into:array[1..maxn] of byte;n,i,j,k:byte;procedure init;vari,j:integer;beginread(n);for i:=1 to n dofor j:=1 to n doread(map[i,j]);inc(into[j]);end;end;begininit;for i:=1 to n dobeginj:=1;while (j<=n)and(into[j]<>0) do inc(j);write(j,' ');into[j]:=255;for k:=1 to n doif map[j,k]=1 then dec(into[k]);end;end.3.３应用举例与练习例：士兵排队问题：有N个士兵（1<=N<=100),编号依次为1,2,...,N.队列训练时，指挥官要把士兵从高到矮排成一行，但指挥官只知道“1 比2 高，7 比 5高”这样的比较结果。
图_拓扑排序关键路径最短路径
6 a 5 d 4
b
1 1 e
8 7
g 4 h
2 k
c 2 4 f
a b c d e f g h k ve vl
0 0 0 0 0 0 15 14 18 6 4 5 5 7 0 11 0 7 0 18 18 18 18 18 18 18 18 18 0 6 6 8 8 10 16 14 7
事件发生时间的计算公式： 事件发生时间的计算公式： ve(源点 = 0； 源点) 源点 ； ve(j) = Max{ve(i) + dut(<i, j>)} <i,j>表示以 为弧头的弧 表示以j为弧头的弧 表示以 vl(汇点 = ve(汇点 ； 汇点) 汇点)； 汇点 汇点 vl(i) = Min{vl(j) – dut(<i, k>)} <i,j>表示以 为弧尾的弧 表示以i为弧尾的弧 表示以
（２）弗洛伊德算法的基本思想是：
的所有可能存在的路径中， 从 vi 到 vj 的所有可能存在的路径中，选出一条长 度最短的路径。
可以用如下递推公式描述： 可以用如下递推公式描述： D-1[i][j]=cost[i][j] Dk [i][j]=min{Dk-1[i][j],Dk-1[i][k]+Dk-1[k][j]}(0≤k≤n-1) 其中， 中存放着序号为i的结点到序号为 其中，cost[i][j]中存放着序号为 的结点到序号为 的结点之 中存放着序号为 的结点到序号为j的结点之 表示从结点vi到结点 到结点vj的路径 间的权值 ； Dk[i][j](0≤k≤n-1) 表示从结点 到结点 的路径 上所经过的结点序号不大于k的最短路径长度 的最短路径长度。 上所经过的结点序号不大于 的最短路径长度。
拓扑排序求最长路径
拓扑排序求最长路径1. 什么是拓扑排序？拓扑排序是对有向无环图（DAG）进行排序的一种算法。
在有向图中，如果存在一条从节点A到节点B的有向边，那么节点A就必须在节点B之前进行排序。
拓扑排序通过将图中的节点按照一定的顺序进行排列，使得任意两个节点之间不存在环。
拓扑排序可以应用于许多问题，比如任务调度、依赖关系分析等。
2. 拓扑排序算法2.1. 算法原理拓扑排序算法基于深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）实现。
其基本思想是通过遍历图中的所有节点，并记录每个节点的入度（即指向该节点的边数）。
然后从入度为0的节点开始遍历，并将其加入结果列表中。
然后将与该节点相邻的节点的入度减1，并将新入度为0的节点加入结果列表。
重复此过程直到所有节点都被加入结果列表。
2.2. 算法步骤以下是拓扑排序算法的详细步骤：1.初始化一个空结果列表result和一个空队列queue。
2.遍历图中所有节点，并统计每个节点的入度。
3.将入度为0的节点加入队列queue。
4.当队列queue不为空时，执行以下步骤：–从队列queue中取出一个节点node，并将其加入结果列表result。
–遍历与节点node相邻的所有节点，并将它们的入度减1。
–如果某个节点的入度减为0，则将其加入队列queue。
5.如果结果列表result的长度等于图中的节点数，则说明拓扑排序成功；否则，说明图中存在环。
以下是使用Python语言实现拓扑排序算法的示例代码：from collections import defaultdict, dequedef topological_sort(graph):# 统计每个节点的入度in_degree = defaultdict(int)for node in graph:for neighbor in graph[node]:in_degree[neighbor] += 1# 初始化结果列表和队列result = []queue = deque()# 将入度为0的节点加入队列for node in graph:if in_degree[node] == 0:queue.append(node)# 拓扑排序while queue:node = queue.popleft()result.append(node)for neighbor in graph[node]:in_degree[neighbor] -= 1if in_degree[neighbor] == 0:queue.append(neighbor)if len(result) == len(graph):return resultelse:return None3. 拓扑排序求最长路径在有向无环图中，求最长路径可以通过拓扑排序算法来实现。
拓扑排序
感谢观看
图3-5这种先后关系的AOV网例如，假定一个计算机专业的学生必须完成图3-4所列出的全部课程。在这里， 课程代表活动，学习一门课程就表示进行一项活动，学习每门课程的先决条件是学完它的全部先修课程。如学习 《数据结构》课程就必须安排在学完它的两门先修课程《离散数学》和《算法语言》之后。学习《高等数学》课 程则可以随时安排，因为它是基础课程，没有先修课。若用AOV网来表示这种课程安排的先后关系，则如图3-5所 示。图中的每个顶点代表一门课程，每条有向边代表起点对应的课程是终点对应课程的先修课。从图中可以清楚 地看出各课程之间的先修和后续的关系。如课程C5的先修课为C2，后续课程为C4和C6。
应用
拓扑序列 Pascal代码（无优化） 拓扑序列 C++（STL）核心代码 这里的代码可以参考这本书 ，这里用了容器，感觉能看明白点。 拓扑序列 Pascal代码（邻接表+队列优化） 这里主要是将入度为零的点加入队列stack，直接在队列内扩展即可，效率为O(n+m)
拓扑学
拓扑学是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。中文名称起源于希腊语Τοπολογία的音 译。Topology原意为地貌，于19世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几 何问题。发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。
非计算机应用
拓扑排序常用来确定一个依赖关系集中，事物发生的顺序。例如，在日常工作中，可能会将项目拆分成A、B、 C、D四个子部分来完成，但A依赖于B和D，C依赖于D。为了计算这个项目进行的顺序，可对这个关系集进行拓扑 排序，得出一个线性的序列，则排在前面的任务就是需要先完成的任务。
注意：这里得到的排序并不是唯一的！就好像你早上穿衣服可以先穿上衣也可以先穿裤子，只要里面的衣服 在外面的衣服之前穿就行。
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•对于某个AOV网， 如果它的拓扑有序序列被构 造成功，则该网中不存在有向回路，其各子工程 可按拓扑有序序列的次序进行安排。
6.6.2 拓扑排序
【例如】：对于下列有向图 B A C D A C
B
D
可求得拓扑有序序列： 不能求得它的拓扑有序序列。
ABCD
或 ACBD
因为图中存在一个回路 {B, C, D}
V2
V5
V3
V4
能否给出一个活动之间的优先关系的有序序列？
6.6.2 拓扑排序
V0 V0
V2
V5
•拓扑排序：构造拓扑有序序列的过程。 V1 V1 V3 何谓“拓扑有序序列”？
V4
它是由AOV网中的所有顶点构成的一个线性序列， 在这个序列中体现了所有顶点间的优先关系。 •一个AOV网的拓扑有序序列并不是惟一的。
6.6.2 拓拓扑排序？ [拓扑排序的步骤] V1 V1 V3
V4
1）从有向图中选取一个没有前驱的顶点，并输出之; 2）从有向图中删去此顶点以及所有以它为尾的弧; 重复上述两步，直至图空，或者图不空但找不到 无前驱的顶点为止。
【注意】 这样操作后的结果有两种:
一种是网中全部顶点均被输出，说明网中不存在有向回 路; 另一种是网中顶点未被全部输出，剩余的顶点均有前 驱顶点，说明网中存在有向回路。
6
1
3
5
网中的顶点表 示各门课程的教学 活动，有向边表示 各门课程的制约关 系。
6.6 拓扑排序
6.6.1 AOV网
在有向图中若以顶点表示活动，用有向边表示 活动之间的优先关系，则这样的有向图称为以顶点 表示活动的网（Activity On Vertex Network）， 简称AOV网。 应用： 工程流程、生产过程中各道工序的流 程、程序流程、课程的流程
【实例】－－写出下图的拓扑排序序列
c
a
g
d
e
b
h
f
序列:
a
b h c d g f
e
【练习】 写出表示课程以及 课程的制约关系的 AOV网的一个拓扑有 序序列。
课程代号 课程名称 先修课程 0 高等数学 无 1 程序设计基础 无 2 C程序设计 0，1 3 离散数学 0 4 数据结构 1，2，3 5 编译方法 3，4 6 操作系统 4
6.6.1 AOV网
例如:某工程可分为V0、V1、V2、V3、V4、V5、V6,7 个子工程，工程流程可用如下AOV网表示。其中顶点：表 示子工程（也称活动），有向边：表示子工程间的顺序关 系。
V2
V0 V1 V3 V5
V4
V6
6.6 拓扑排序
对工程，人们关心的问题： 工程能否顺序进行，即工程流程是否“合理” ？ 假设下图表示一个工程的施工图，判断该工程是 否合理？ V0 V0 V1 V1
0
1
2
3
4
6
5
【练习】 写出下图所示网所有可能的拓扑有序序列。
【练习答案】 写出下图所示网所有可能的拓扑有序序列。
可能的拓扑有序序列有： v1，v2，v3 ，v4，v5 ，v6 ; v1，v2，v3 ，v5，v4 ，v6 ; v1，v2，v4，v3 ，v5 ，v6 ; v2，v1，v4，v3 ，v5 ，v6 ; v2，v1，v3，v4 ，v5 ，v6 ; v2，v1，v3，v5 ，v4 ，v6 ; v2，v4，v1，v3 ，v5 ，v6 ;
第6章
6.1 图的基本术语 6.2 图的存储结构 6.3 图的遍历 6.4 最小生成树 6.5 最短路径 6.6 拓扑排序 6.7 关键路径
图
6.6 拓扑排序
• AOV网 • 拓扑排序 • AOE网
• 关键路径
6.6 拓扑排序
0
2
4
课程代号 课程名称 先修课程 0 高等数学 无 1 程序设计基础 无 2 C程序设计 0，1 3 离散数学 0 4 数据结构 1，2，3 5 编译方法 3，4 6 操作系统 4