约束条件下多变量函数的寻优方法
多元函数极值与约束条件优化问题研究
多元函数极值与约束条件优化问题研究在数学中，多元函数极值与约束条件优化问题是研究最大化或最小化多元函数在给定约束条件下的极值问题。
它在应用数学、经济学、工程学和物理学等领域中具有重要的意义。
多元函数极值问题的目标是找到函数的极值点，即达到最大或最小值的点。
这些极值点可能是在给定约束条件下的局部最大值或最小值。
解决这类问题的关键是确定所谓的临界点，即函数的导数为零或不存在的点。
在这些临界点中找出真正的极值点是需要进行进一步分析和计算的过程。
通过对函数的导数进行求导和二次导数的分析，可以判断极值点的性质，从而确定最终的极值解。
当涉及到约束条件时，问题更复杂。
约束条件可以是函数的等式或不等式形式，如线性等式、非线性等式或不等式。
优化问题就是在给定这些约束条件下求解多元函数的最优解。
这类问题在实际应用中非常常见，例如在工程项目中要在给定预算下获得最佳设计，或者在生产过程中要满足一定的约束条件以最大化利润。
为了求解这些问题，需要使用特定的优化算法和技术。
在解决多元函数极值与约束条件优化问题时，有一些常用的方法和技术。
其中一个重要的工具是拉格朗日乘数法，它是处理约束条件的一种常用方法。
拉格朗日乘数法将约束条件转化为一个等式，通过引入拉格朗日乘数来求解。
这个方法能够将多元函数极值与约束条件优化的问题转化为无约束极值问题，从而简化了计算过程。
另一个常用的方法是KKT条件（Karush-Kuhn-Tucker条件），它是非线性规划问题最优解的必要条件。
这个条件结合了函数极值条件和约束条件，通过确定拉格朗日函数的最优解，找到多元函数的约束极值点。
在实际问题中，选择适合的优化算法和技术是非常重要的。
常用的优化算法包括梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法和遗传算法等。
这些算法都有各自的特点和适用范围，根据具体问题的特点选择合适的算法可以提高求解效率和精度。
总的来说，多元函数极值与约束条件优化问题是数学中的一个重要研究领域。
它涉及到多元函数的极值性质和约束条件下的最优解。
约束条件下多变量函数的寻优方法
第十章约束条件下多变量函数的寻优方法●将非线性规划→线性规划●将约束问题→无约束问题●将复杂问题→较简单问题10．1约束极值问题的最优性条件非线性规划：min f(X)h i(X)=0 (i=1,2,…,m) (10.1.1)g j(X)≥0 (j=1,2,…,l)一、基本概念1．起作用约束设X(1)是问题(10.1.1)的可行点。
对某g j(X)≥0而言：或g j(X(1))=0：X(1)在该约束形成的可行域边界上。
该约束称为X(1)点的起作用约束。
或g j(X(1))＞0：X(1)不在该约束形成的可行域边界上。
该约束称为X(1)点的不起作用约束。
X(1)点的起作用约束对X(1)点的微小摄动有某种限制作用。
等式约束对所有可行点都是起作用约束。
()θcos ab b a =⋅ 2．正则点对问题(10.1.1)，若可行点X (1)处，各起作用约束的梯度线性无关，则X (1)是约束条件的一个正则点。
3．可行方向（对约束函数而言）用R 表示问题(10.1.1)的可行域。
设X (1)是一个可行点。
对某方向D 来说，若存在实数λ1>0，使对于任意λ(0<λ<λ1)均有X (1)+λD ∈R ，则称D 是点X (1)处的一个可行方向。
经推导可知，只要方向D 满足：▽g j (X (1))T D>0 (j ∈J ) (10.1.3)即可保证它是点X (1)的可行方向。
J 是X (1)点起作用约束下标的集合。
在X (1)点，可行方向D 与各起作用约束的梯度方向的夹角为锐角 。
4．下降方向（对目标函数而言）设X (1)是问题(10.1.1)的一个可行点。
对X (1)的任一方向D 来说，若存在实数λ1>0，使对于任意λ(0<λ<λ1)均有f(X (1)+λD)<f(X (1))，就称D 为X (1)点的一个下降方向。
经推导可知，只要方向D 满足：▽f(X (1))T D<0 (10.1.5)即可保证它为X (1)点的下降方向。
多变量约束优化方法
多变量约束优化方法多变量约束优化问题是指在给定一组目标函数和一组约束条件下，通过调整多个自变量的取值，找到使目标函数最优化且满足约束条件的解。
这类问题在实际应用中非常常见，如工程设计、金融管理、运筹学、物流和供应链管理等领域。
传统的优化方法对于多变量约束优化问题求解存在一些问题，如计算复杂度高、易陷入局部最优解等。
因此，为了有效解决这类问题，研究者们提出了多种多变量约束优化方法，下面将介绍其中几种主流的方法。
一、线性规划方法（Linear Programming, LP）线性规划是最简单且常用的多变量约束优化方法之一、它的目标函数和约束条件都是线性的。
线性规划问题可以通过单纯形法（Simplex Method）或内点法（Interior Point Method）求解。
虽然线性规划方法的计算复杂度比较低，但它只适用于线性目标函数和线性约束条件的情况。
二、非线性规划方法（Nonlinear Programming, NLP）非线性规划方法可以处理目标函数和约束条件是非线性的情况。
常用的非线性规划方法有梯度法、牛顿法和拟牛顿法等。
这些方法通过迭代的方式，在每一步计算目标函数在当前点的梯度，并根据梯度的信息调整自变量的取值，以逐步逼近最优解。
非线性规划方法的计算复杂度较高，但是可以处理复杂的实际问题。
三、遗传算法（Genetic Algorithm, GA）遗传算法是一种通过模拟生物进化过程的优化方法。
它通过模拟自然选择、交叉和变异等过程，逐步解空间中的最优解。
遗传算法具有全局收敛性和并行计算的特点，对于复杂的多变量约束优化问题有较好的适应性。
四、粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization, PSO）粒子群优化算法是一种通过模拟鸟群或鱼群的行为进行优化的方法。
在粒子群优化算法中，每个个体（粒子）的位置代表潜在解，速度代表解的方向。
粒子的位置和速度通过迭代的方式进行更新，直到找到最优解。
约束条件下的最优化问题
在约束条件下的最优化问题是指在一定的限制条件下，寻找使目标函数达到最大或最小值的最优解。
这类问题可以通过数学建模和优化算法来解决。
常见的约束条件包括等式约束和不等式约束。
等式约束要求某些变量之间的关系满足特定的等式关系，而不等式约束则要求某些变量之间的关系满足特定的不等式关系。
数学上，约束条件可以表示为：
1. 等式约束：g(x) = 0，其中g(x)是一个关于变量x的函数。
2. 不等式约束：h(x) ≤0，其中h(x)是一个关于变量x的函数。
最优化问题的目标函数可以是线性的、非线性的，甚至是在某些特殊情况下可能是非凸的。
根据问题的具体形式，可以选择适合的优化算法进行求解，如线性规划、非线性规划、整数规划等。
常见的优化算法包括：
1. 梯度下降法：用于求解无约束或有约束的凸优化问题，在连续可导的情况下通过迭代调整参数来逐步接近最优解。
2. KKT条件法：用于求解有约束的凸优化问题，通过构建拉格朗日函数和KKT条件来确定最优解。
3. 内点法：用于求解线性规划和凸优化问题，通过在可行域内寻找目标函数的最优解。
4. 遗传算法：用于求解复杂的非线性优化问题，通过模拟自然进化过程中的选择、交叉和变异操作来搜索最优解。
5. 模拟退火算法：用于求解非线性优化问题，通过模拟固体退火的过程来逐步降低温度并接近最优解。
在实际应用中，约束条件下的最优化问题广泛应用于工程、经济、运筹学、物流等领域。
通过合理地建立数学模型，并选择合适的优化算法，可以有效地解决这类问题，并得到最优解或接近最优解的结果。
多变量约束优化方法
第7章 多维约束优化方法Chapter 7 Constrained Several Variables Technique7-1 概述 Summarize工程中的优化设计问题绝大多数是约束优化问题，即nR X X f ∈)(m innp v X h m u X g t s v u <===≥,,2,10)(,,2,10)(..约束最优点不仅与目标函数的性质有关，也与约束函数的性质有关。
因此，约束优化问题比无约束优化问题情况更复杂，求解困难也更大。
根据对约束条件处理方法的不同，解决约束优化问题的方法分成二类: 1) 直接法 Direct Method寻优过程直接在设计空间的可行域D 内进行，但对每一个迭代点)(k X 必须进行可行性()(()01,2,,)k u g X u m ≤= 和下降性))()(()1()(+>k k X f X f 检查。
直接算法简单，直观性强，对目标函数和约束函数的函数性态没有特殊的要求。
但是它的计算量大、收敛速度慢，因此效率低，比较适用于解决低维数的、具有不等式约束的优化问题。
这类算法包括随机方向法、复合形法等。
2) 间接法 Indirect Method间接法的主要思路是，首先将约束优化问题转化为无约束优化问题，然后再用无约束 优化方法来进行求解。
间接解法分很多类，其中比较有代表性的、用的比较广泛的是惩罚函数法。
7-2 惩罚函数法 Penalty Method在将约束优化问题转换成无约束优化问题时,惩罚函数法的处理思路与拉格朗日法很相似, 都是把目标函数与约束条件合并形成新的函数,而后求其最优解。
但惩罚函数法得到的新函数不是一个而是一个系列。
因此，用无约束优化算法求解得的最优解也是一个系列，即**2*1,,kX X X ，当k →∞时，**k X X →。
因此，惩罚函数法又称序列无约束最小化技术Sequential Unconstrained Minimization Technique ， 即SUMT 法。
约束问题的最优化方法
m
⑤ .Φ ( x, r ) = f ( x) − r ∑ ln[− g u ( x)]
(k )
其中：惩罚（加权）因子 降低系数 c：
r ( 0 ) > r (1) > ....r ( k )
0< c <1
r ( k −1) ⋅ c = r ( k )
xk * → x *
当lim r ( k ) → 0
x ∈ D ⊂ Rn s.t. g u ( x ) ≥ 0, u = 1,2,..., p hv ( x ) = 0, v = 1,2,..., q min F ( x )
一. 约束优化问题解法分类： 约束优化方法按求解原理的不同可以分为直接法和间接法两类。
直接解法：随机方向搜索法、复合形法、可行方向法
其中：g u ( x) ≥ 0, u = 1,2,...m
③ .Φ ( x, r ) = f ( x) − ∑ ru ( k )
(k ) u =1
m
1 g u ( x)
④ .Φ ( x, r ) = f ( x) + r
(k )
(k )
(k )
1 ∑ 2 u =1 [ g u ( x )]
m u =1
k →∞
则Φ ( x, r ( k ) ) → f ( x) ,
) x12 + x22 例： 用内点法求 min f ( x=
s.t. g ( x ) = 1 − x1 ≤ 0
的约束最优解。
2 解: 首先构造内点惩罚函数:φ ( x , r ) = x12 + x2 − r k ln( x1 − 1)
(k ) u =1 m
lim r2 H [hv ( x ( k ) )] = 0
约束最优化方法
约束最优化方法
约束最优化方法是指通过给定约束条件，寻找目标函数的最优解。
以下是一些常用的约束最优化方法：
1. 拉格朗日乘子法：将约束最优化问题转化为无约束最优化问题，通过求解无约束最优化问题得到原问题的最优解。
2. 罚函数法：将约束条件转化为罚函数项，通过不断增加罚函数的权重，使目标函数逐渐逼近最优解。
3. 梯度下降法：通过迭代计算目标函数的梯度，沿着梯度的负方向搜索目标函数的最优解。
4. 牛顿法：通过迭代计算目标函数的Hessian矩阵，使用Hessian矩阵的逆矩阵乘以梯度向量来逼近最优解。
5. 遗传算法：模拟自然界的遗传机制，通过种群迭代的方式搜索最优解。
6. 模拟退火算法：模拟物理退火过程，通过随机搜索的方式搜索最优解。
7. 蚁群算法：模拟蚂蚁觅食行为，通过模拟蚂蚁的信息素传递过程来搜索最优解。
8. 粒子群算法：模拟鸟群、鱼群等群集行为，通过模拟粒子间的相互作用来搜索最优解。
这些方法各有优缺点，应根据具体问题选择合适的方法进行求解。
多变量非线性约束最优化问题
•这种问题的一般形式为： 这种问题的一般形式为： 这种问题的一般形式为 • 目标函数： 目标函数：
min f ( x)
x
c ( x ) <= 0 •约束条件： ceq 约束条件： 约束条件 ( x ) = 0 A • x <= b Aeq • x = beq lb <= x <= ub
•其中： x 为向量，G（x）为函数向量，F(x)为标量函数， 其中： 为向量， （ ）为函数向量， 为标量函数， 其中 为标量函数 F(x)和G(x)均可以是非线性函数。G(x)可以为等式约束 均可以是非线性函数。 和 均可以是非线性函数 可以为等式约束 也可以为不等式约束。 也可以为不等式约束。 •在matlab中这种一般的约束最优问题的求解要用到的 在 中这种一般的约束最优问题的求解要用到的 命令是： 命令是： FMINCON: •格式:x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
练习
1：目标函数：
•约束方程：
min f ( x) = − x1 x2 x3
− x1 − 2 x 2 − 2 x 3 ≤ 0
x1 + 2 x 2 + 2 x 3 ≤ 72
•2：
min f ( x) = 2 x12 + x2 2 + x3 2 − x1 x2 2 2 x1 + x2 ≤≥ 0 1 2 3
有约束非线性多元函数最优化 问题
考虑如下优化问题： 考虑如下优化问题：
x1 • 目标函数： min f ( x ) = e ( 4 x1 + 2 x 2 + 4 x1 x 2 + 2 x 2 + 1) 目标函数： x 2 2
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第十章约束条件下多变量函数的寻优方法●将非线性规划→线性规划●将约束问题→无约束问题●将复杂问题→较简单问题10．1约束极值问题的最优性条件非线性规划：min f(X)h i(X)=0 (i=1,2,…,m) (10.1.1)g j(X)≥0 (j=1,2,…,l)一、基本概念1．起作用约束设X(1)是问题(10.1.1)的可行点。
对某g j(X)≥0而言：或g j(X(1))=0：X(1)在该约束形成的可行域边界上。
该约束称为X(1)点的起作用约束。
或g j(X(1))＞0：X(1)不在该约束形成的可行域边界上。
该约束称为X(1)点的不起作用约束。
X(1)点的起作用约束对X(1)点的微小摄动有某种限制作用。
等式约束对所有可行点都是起作用约束。
()θcos ab b a =⋅ 2．正则点对问题(10.1.1)，若可行点X (1)处，各起作用约束的梯度线性无关，则X (1)是约束条件的一个正则点。
3．可行方向（对约束函数而言）用R 表示问题(10.1.1)的可行域。
设X (1)是一个可行点。
对某方向D 来说，若存在实数λ1>0，使对于任意λ(0<λ<λ1)均有X (1)+λD ∈R ，则称D 是点X (1)处的一个可行方向。
经推导可知，只要方向D 满足：▽g j (X (1))T D>0 (j ∈J ) (10.1.3)即可保证它是点X (1)的可行方向。
J 是X (1)点起作用约束下标的集合。
在X (1)点，可行方向D 与各起作用约束的梯度方向的夹角为锐角 。
4．下降方向（对目标函数而言）设X (1)是问题(10.1.1)的一个可行点。
对X (1)的任一方向D 来说，若存在实数λ1>0，使对于任意λ(0<λ<λ1)均有f(X (1)+λD)<f(X (1))，就称D 为X (1)点的一个下降方向。
经推导可知，只要方向D 满足：▽f(X (1))T D<0 (10.1.5)即可保证它为X (1)点的下降方向。
在X (1)点，下降方向D 与该点处目标函数的负梯度方向的夹角为锐角。
5．可行下降方向在可行点X(1)处，若方向D同时满足(10.1.3)和(10.1.5)，则它是X(1)点的可行下降方向。
若X(1)点不是极小点，继续搜索的方向应该从该点的可行下降方向中去找。
若某点存在可行下降方向，则它不会是极小点。
若某点是极小点，则该点不存在可行下降方向。
二、库恩—塔克条件（一阶必要条件）●它是非线性规划最重要的理论成果之一。
●只要是最优点（且为正则点）就必然满足它。
●满足它的点不一定是最优点（不是充分条件）。
●对凸规划而言，它是最优点的充要条件。
1．库恩—塔克条件对非线性规划(10.1.1)而言，若X*是局部（或全局）极小点且为上述约束条件的正则点，则一定存在向量∧*=(λ1*,λ2*,…,λm *)T 及Γ*=(γ1*,γ2*,…,γl *)T ，使得下述条件成立：γj*g j (X *)=0 (j=1,2,…,l) (10.1.7) γj *≥0 (j=1,2,…,l) (10.1.8)● 共有n+m+l 个未知量（X ，∧*，Γ*）● 可列n+m+l 个方程（其中有m 个等式约束方程）● 由(10.1.7)知，在X *点不起作用约束g j (X *)>0 ,相应的γj *=0● “正则点”是K-T 条件所必须的,但不是最优点所必须的。
问题(10.1.1)的广义拉格朗日函数：广义拉格朗日乘子：λ1*,λ2*,…,λm *及γ1*,γ2*,…,γl *()()())6.1.10(01**1***=∇-∇-∇∑∑==l j j j m i i i X g X h X f γλ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑∑==l j j j m i i i X g Xh X f 11γλ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21*x x X2．求满足库恩—塔克条件的点（K-T 点）例：求下列非线性规划问题的K-T 点min f(X)=2x 12+2x 1x 2+x 22-10x 1-10x 2g 1(X)=5-x 12-x 22≥0 (1)g 2(X)=6-3x 1-x 2≥0 (2)解：设K-T 点为 ，共有4个未知数x 1，x 2，γ1，γ2由(10.1.6)及(10.1.7)各列出2个方程。
因只有2个不等式约束，可分4种情况讨论：(1) 两约束均不起作用：有γ1=γ2=0(2) 约束(1)起作用，约束(2)不起作用：有γ2=0(3) 约束(1)不起作用，约束(2)起作用：有γ1=0(4) 两约束均起作用：有γ1>0，γ2>0 三、 关于凸规划的全局最优解定理对非线性规划(10.1.1)而言，若f(X)是凸函数，g j (X)（j=1,2,…,l ）是凹函数，h i (X) (i=1,2,…,m)是线性函数，可行域为R ，X *∈R,且在X *处有库恩—塔克条件(10.1.6)、(10.1.7)、(10.1.8)成立，则X *是全局最优解。
● 上述R 是凸集，f(X)是凸函数，故为凸规划问题。
● 对凸规划而言，K-T 条件是局部极小点的充要条件，且局部极小点即全局极小点。
四、 二阶充分条件1．二阶充分条件对非线性规则(10.1.1)而言，若f(X)、g j (X) (j=1,2,…,l)、h i (X)(i=1,2,…,m)二次连续可微，X *是可行点，又存在向量 ∧*=(λ1*,λ2*,…,λm *)T 及Γ*=(γ1*,γ2*,…,γl *)T ，使库恩—塔克条件(10.1.6)、(10.1.7)、(10.1.8)成立，且对满足下述(10.1.9) 、(10.1.10)、 (10.1.11)三条件的任意非零向量Z 有(10.1.12)成立， 则X *是问题(10.1.1)的严格局部极小点。
其中，J 是点X *处起作用的不等式约束的下标j 的集合。
是广义拉格朗日函数在点X *处的海赛矩阵。
令满足(10.1.9) 、(10.1.10) 、(10.1.11)三条件的非零向量Z 构成的子空间为M ，则(10.1.12)式表明，广义拉格朗日函数在点X *处的海赛矩阵在子空间M 上是正定的。
()()()()()()[()()()])12.1.10(011.1.10,,2,1010.1.10009.1.10001*2*1*2**2*****〉∇-∇-∇⎪⎩⎪⎨⎧==∇=∈≥∇>∈=∇∑∑==Z X g X h X f Z m i X h Z J j X g Z J j X g Z l j j j m i i i T i T j j T j j T γλγγ 且且()()()∑∑==∇-∇-∇lj j j m i i i X g X h X f 1*2*1*2**2γλ2．利用K-T条件和二阶充分条件求约束极小(1) 第一种情况若能用其它方法先求出一个点X*，这个点是约束极小的可能性很大。
不妨先假设其为约束极小，再逐一证明之。
①证明X*是可行点②证明X*是正则点③把X*代入K-T条件(10.1.6) 、(10.1.7)、(10.1.8)式中，应能求出符合条件的向量∧*和Γ*。
④证明广义拉格朗日函数在点X*处的海赛矩阵正定（在子空间M上）若能证明上述四点，则X*是一个严格局部极小点。
(2)第二种情况若不能先求出一个可能极小点的具体值，就先求出满足K-T条件的点X*，再证明④，则X*是一个严格局部极小点。
10．2近似规划法近似规划法（MAP ），亦称小步梯度法，它把非线性规划的求解变为一系列近似线性规划的求解。
非线性规则：min f(X)h i (X)=0 (i=1,2 ,…,m) (10.2.1)g j (X)≥0(j=1,2,…,l)其中，R 是可行域，E n 是n 维欧氏空间。
f(X)、 h i (X) (i=1,2,…,m)和g j (X) (j=1,2,…,l)均存在一阶连续偏导数。
一. 基本原理和算法步骤1．给定初始可行点X (1)，初始步长限制δj (1) (j=1,2,…,n)，步长缩小系数β∈(0,1)，允许误差ε1，ε2，令k=1。
2．在点X (K)处，将f(X)、h i (X)、g j (X)按泰勒级数展开并取一阶近似，得到近似线性规划问题：min f(X)≈f(X (k))+▽f(X (k))T (X-X (k))h i (X)≈h i (X (k))+▽h i (X (k))T (X-X (K))=0 (i=1,2,…,m) g j (X)≈g j (X (k))+▽g j (X (K))T (X-X (k))≥0 (j=1,2,…,l)nE R X ⊂∈(k) 3．在上述近似线性规划的基础上，增加一组限制步长的线性约束后，求解之，得到最优解X (K+1)。
由于线性近似通常只在展开点附近近似程度较高，故需限制变量取值范围： |x j -x j (k)|≤δj (k) (j=1,2,…,n)即 -δ1(k)≤x 1-x 1(k)≤δ1(k)-δ2(k)≤x 2-x 2(k)≤δ2(k). . . . . .例如二维问题：已知X (k)=(3,1.5)T ，δ(k)=(2,0.5)T 则所增约束的可行域为矩形ABCD4．检验X (k+1)点对原始约束是否可行？若不可行，则缩小步长限制，令δj (k)=βδj (k) (j=1,2,…,n)， 返回步骤3若可行，则转步骤55．判断精度若|f(X (k+1))-f(X (k))|<ε1，且|| X (k+1) -X (k)||<ε2，或者|δj (k)| <ε2 (j=1,2,…,n)，则X (k+1)为近似最优解；否则，令δj (k)=δj (k) (j=1,2,…,n)，置k=k+1，返回步骤2。
δ(k)的大小对算法影响很大，须根据初始点、函数性态等进行选择。
x 1()()()[]211,∑=+=mi i X h M X f M X p ()[]21∑=m i i X h M 10．4罚函数法● 通过构造罚函数，把约束问题转化为一系列无约束问题去求解。
● 该方法也叫序列无约束最小化方法（SUMT ）● 不必计算导数● 罚函数法分为外点法、内点法、混和法一、 外点法非线性规则：min f(X)h i (X)=0 (i=1,2,…,m) (10.4.1) g j (X)≥0 (j=1,2,…,l)其中，f(X)、h i (X)和g j (X)是E n 上的连续函数，R 是可行域。
1．构造罚函数罚函数由目标函数和约束函数组成，求罚函数极小（无约束寻优）即可。
(1) 对只有等式约束的问题min f(X)h i (X)=0 (i=1,2,…,m)定义罚函数 其中，M 为罚因子（很大的正数）， 为罚项。