矩阵分析课后习题解答版
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第一章 线性空间与线性变换
(以下题目序号与课后习题序号不一定对应,但题目顺序是一致的,答案为个人整理,不一定正确,仅供参考,另外,此答案未经允许不得擅自上传)
(此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别)
1.9.利用子空间定义,)(A R 是m C 的非空子集,即验证)(A R 对m C 满足加法和数乘的封闭性。 1.10.证明同1.9。
1.11.rankA n A N rankA A R -==)(dim ,)(dim (解空间的维数)
1.13.提示:设),)(-
⨯==n j i a A n
n ij (,分别令T
i X X ),0,0,1,0,0( ==(其中1位于i X 的第i 行),代入0=AX X T ,得0=ii a ;令T ij X X )0,0,10,0,1,0,0( ==(其中1位于ij X 的第i 行和第j 行)
,代入0=AX X T ,得0=+++jj ji ij ii a a a a ,由于0==jj ii a a ,则0=+ji ij a a ,故
A A T -=,即A 为反对称阵。若X 是n 维复列向量,同样有0=ii a ,
0=+ji ij a a ,
再令T ij i X X ),0,1,0,0,,0,0( ='=(其中i 位于ij X 的第i 行,1位于ij X 的第j 行),代入0=AX X H ,得0)(=-++ij ji jj ii a a i a a ,由于
0==jj ii a a ,ij ji a a -=,则0==ji ij a a ,故0=A
1.14.AB 是Hermite 矩阵,则AB BA A B AB H H H ===)(
1.15.存在性:令2
,2H
H A A C A A B -=+=,C B A +=,其中A 为任意复矩阵,可验证C C B B H H -==,
唯一性:假设11C B A +=,1111,C C B B H H -==,且C C B B ≠≠11,,由
111
1C B C B A H
H H -=+=,得C A A C B A A B H
H =-==+=
2
,211(矛盾) 第二章 酉空间和酉变换
(注意实空间与复空间部分性质的区别)
2.8 法二:设~
2121),,()0,0,1,0,0)(,,(X e e e e e e e n T
n i ==(1在第i 行);
~
2121),,()0,0,1,0,0)(,,(Y e e e e e e e n T
n j ==(1在第j 行)
根据此题内积定义⎩
⎨
⎧≠===j i j
i X Y e e H j i 01),~
~( 故n e e e ,,21是V 的一个标准正交基。
(注意,在无特别定义的情况下,内积的定义默认为X Y Y X H =),() 2.15 先求得C 使Λ=AC C H ,假设CB P =,使I AP P H =,则有Λ=-1)(H BB ,依次式求得B ,进而求得P 。(此方法不一定正确)
2.16 将),,(321ααα进行列变换化为阶梯型知可取21αα,为其中两个
基,另两个基可取T T
)1,0,0,0(,0,1,0,043==
αα)(,化标准正交基略。 2.17 略
第二章 矩阵的分解
注:例2.9(1)中的Jordan 标准型有误,⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣
⎡=111
1
J ,Jordan 标准型不唯一,各Jordan 块之间可以互换,互换的原则是:同一特征值对应的Jordan 块之间可以互换;不同特征值对应的Jordan 块整体可以互换。 3.7、3.8同3.1 3.11 方法同上
3.12 由O A k =知A 的特征值全为0(x x A x Ax x k k λλ=⇒=≠∀,0),则I A +的特征值全为1,根据行列式与特征值的关系,则1=+I A 3.27 略
3.29 见课本P67例3.17 3.30 见课本P69例3.19
第三章 范数及其应用
4.12 (1)22
A A A m F ≥=,{}22222,min
B A B A B A AB F F ≤≤
(2)22
221
)()(m ax A A n
A A A tr A A n A n F F H H i ≤⇒
=≥=λ ∞
≤≤≤m m F A n A A A 1
2易证。
第七章 广义逆矩阵