2017建平中学自招数学答案
2016-2017学年上海市浦东新区建平中学高一(上)期末数学试卷含答案
2016-2017学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期末数学试卷一、填空题：（每小题3分，共36分）1．（3分）集合A={﹣1，a}，B={4，a2}，若 A U B={0，﹣1，4}，则 a 的值为．2．（3分）函数f （x ）=，g （x ）=，则f （x）⋅g （x ）=．3．（3分）全集U=R，且A={x|﹣x2+x+6≥0}，B={x||x﹣3|﹣4＞0}，则∁U（A∩B）=．4．（3分）函数g （x）=1﹣2x，f[g（x）]=则，f （）=．5．（3分）不等式x﹣1＞x4的解集是．6．（3分）命题“若一个函数定义域不对称，则该函数不是偶函数．”的逆否命题是．7．（3分）函数y=x2+3（x≤0）的反函数是．8．（3分）若f （x）=（m﹣1）x2﹣mx+3（x∈R）是偶函数，则函数g （x ）=的零点是．9．（3分）函数y=的值域是．10．（3分）函数y=|（log2|x﹣1|）|（x＜1）的单调递增区间是．11．（3分）已知关于x 的不等式在[2，5]有实数解，则实数a的取值范围为．12．（3分）把指数函数y=2x图像向下平移1个单位得到函数y=h （x）的图像，函数+a（m＞0，m≠1）满足g （7）﹣g （1）=若函数f （x ）=在（﹣∞，+∞）上是减函数，则实数a 的取值范围是．二、选择题：（每小题3分，共12分）13．（3分）如果x＜0＜y，则下列各式中成立的是（）14．（3分）设p，q 是两个命题：p：log（|x|﹣1）＞0，q：22+x﹣22﹣x≤15，则p 是q 的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件15．（3分）设函数f （x ）=，g （x）=ax2+bx （a，b∈R，a≠0），若y=f （x）的图象与y=g （x）图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B （x2，y2），则下列判断正确的是（）A．当a＜0 时，x1+x2＜0，y1+y2＞0B．当a＜0 时，x1+x2＜0，y1+y2＜0C．当a＞0 时，x1+x2＜0，y1+y2＞0D．当a＞0 时，x1+x2＞0，y11+y2＞016．（3分）学生李明用手机加了一个有关高中数学学习的微信群，群里面许多数学爱好者经常发一些有关高中数学学习的心得和经验，但是，这些心得和经验的正确性无法保证，下面是李明搜集到的有关函数的一些结论：（1）若函数y=f （﹣x）有反函数，则其反函数可表示为y=f﹣1（﹣x）；（2）函数y=f （x ）在其定义域内的最大值为M，最小值为m，则其值域为[m，M]；（3）定义在R 上的函数y=f （x），若对任意的实数x，y 等式 f （x）﹣f （y）=均成立，则函数y=f （x）一定是奇函数；（4）定义在R 上的函数y=f （x），若对任意的实数x 都有 f （x）﹣f （|x|）=0，则函数y=f （x）一定没有反函数．李明的同学们对以上四个结论有以下不同判断，其中判断正确的是（）A．都是错误的B．只有一个是正确的C．两对两错D．只有一个是错误的三、解答题（10+10+10+12，共52分）17．（10分）解下列不等式或方程（1）18．（10分）已知m 为实常数，求函数y=log22x﹣2m log2x﹣3的最小值．19．（10分）已知函数y=．（1）判断该函数奇偶性并证明；（2）利用函数单调性定义证明该函数在（﹣∞，+∞）上为增函数．20．（10分）已知某市最低工资标准为每月1800 元，为了解决该市房价过高的问题，政府计划对低收入的本市户籍居民购买第一套住房的，每月提供一定金额的贷款补贴，补贴规则：个人每月收入不高于6000 元的，对贷款进行补贴，补贴标准为：贷款月还款额×，其中k 是一个与月工资收入有关的常数，且贷款月还款额不得高于5000 元，贷款月还款额高于5000 元的，只对5000 元部分进行补贴．高于5000 元部分不予补贴，已知月工资收入不高于3000 元时k=1000．（1）若某人工资为2000 元，贷款月还款额为5000 元，则他每月获得的贷款补贴是多少元？（2）对于月工资收入不高于3000 元的贷款买房的居民中．若贷款月还款额均为5000 元，则实际月收入最高为多少元？（结果均保留整数位，均不考虑扣税问题）21．（12分）对于函数y=f （x）和y=g （x ），若存在区间A，使|f（x）﹣g（x）|≤1 在区间 A 上恒成立，则称区间 A 是函数y=f （x）和y=g （x ）的“公共邻域”．设函数f （x）=a x+3a （a＞0，a≠1）的反函数为y=f﹣1（x），函数y=g （x ）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象关于点（a，0）对称．（1）求函数y=f﹣1（x）和y=g （x ）的解析式；（2）若a=2，求函数y=g （﹣x）+f﹣1（x）的定义域；（3）是否存在实数a，使得区间[a+2，a+3]是y=f﹣1（x）和y=g （﹣x）的“公共邻域”，若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．2016-2017学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每小题3分，共36分）1．（3分）集合A={﹣1，a}，B={4，a2}，若A U B={0，﹣1，4}，则a 的值为0．【解答】解：集合A={﹣1，a}，B={4，a2}，若AUB={0，﹣1，4}，则a=a2=0，∴a的值为0．故答案为：0．2．（3分）函数f （x ）=，g （x ）=，则f （x）⋅g （x ）= 2（x﹣1）（x≠﹣3，x≠0）．【解答】解：f （x ）=，g （x ）=，∴f （x）⋅g （x ）=•=2（x﹣1），故答案为：2（x﹣1）．，（x≠﹣3，x≠0）．3．（3分）全集U=R，且A={x|﹣x2+x+6≥0}，B={x||x﹣3|﹣4＞0}，则∁U（A∩B）={x|x＜﹣2或x≥﹣1} ．【解答】解：全集U=R，A={x|﹣x2+x+6≥0}={x|x2﹣x﹣6≤0}={x|﹣2≤x≤3}，B={x||x﹣3|﹣4＞0}={x||x﹣3|＞4}={x|x＞7或x＜﹣1}，A∩B={x|﹣2≤x＜﹣1}，∴∁U（A∩B）={x|x＜﹣2或x≥﹣1}．故答案为：{x|x＜﹣2或x≥﹣1}．【解答】解：∵函数g （x）=1﹣2x，f[g（x）]=，∴f （）=f[g（）]==﹣1．故答案为：﹣1．5．（3分）不等式x﹣1＞x4的解集是∅．【解答】解：根据题意，令g（x）=x4﹣x+1，x﹣1＞x4⇒x4﹣x+1＜0⇒g（x）＜0，则g（x）的导数为g′（x）=4x3﹣1，令g′（x）=4x3﹣1=0，解可得x=，分析可得：当x＜，有g′（x）=4x3﹣1＜0，即函数g（x）在（﹣∞，）为减函数，当x＞，有g′（x）=4x3﹣1＞0，即函数g（x）在（，+∞）为增函数，则函数g（x）在最小值为g（）=﹣+1＞1，则有g（x）＞0恒成立，不等式x﹣1＞x4的解集为∅；故答案为：∅6．（3分）命题“若一个函数定义域不对称，则该函数不是偶函数．”的逆否命题是若一个函数是偶函数，则该函数的定义域对称．．【解答】解：命题的逆否命题为：若一个函数是偶函数，则该函数的定义域对称．故答案为：若一个函数是偶函数，则该函数的定义域对称．7．（3分）函数y=x2+3（x≤0）的反函数是y=﹣（x≥3）．【解答】解：∵y=x2+3（x≤0），∴x=﹣，y≥3，故反函数为y=﹣（x≥3），8．（3分）若f （x）=（m﹣1）x2﹣mx+3（x∈R）是偶函数，则函数g （x ）=的零点是﹣1．【解答】解：若函数f（x）是偶函数，则f（﹣x）=f（x），即（m﹣1）x2+mx+3=（m﹣1）x2﹣mx+3，则mx=﹣mx，即m=﹣m，得m=0，则g（x）==x+1，（x≠1），由g（x）=0得x=﹣1，则为函数g（x）的零点是﹣1，故答案为：﹣19．（3分）函数y=的值域是（0，1] ．【解答】解：由f（x）=x2+2x+2=（x+1）2+1，可得f（x）的最小值为1，∴y=的值域为（0，1]．故答案为：（0，1]．10．（3分）函数y=|（log2|x﹣1|）|（x＜1）的单调递增区间是（0，1）．【解答】解：函数y=|（log2|x﹣1|）|（x＜1）=|log2（1﹣x）|，令t=log2（1﹣x），则y=|t|，t＜0，解得0＜x＜1，由t在（0，1）递减，y在（﹣∞，0）递减，由复合函数的单调性：同增异减，可得所求增区间为（0，1）．故答案为：（0，1）．11．（3分）已知关于x 的不等式在[2，5]有实数解，则实数a的取值【解答】解：根据题意，⇒＞0⇒[（a﹣1）x﹣（a+1）]（x+1）＞0，分5种情况讨论：①，当a=1时，不等式可以变形为x+1＜0，即x＜﹣1，在[2，5]无解，不合题意，②，当a＞1或时，不等式变形为（x﹣）（x+1）＞0，其解集为{x|x＜﹣1或x＞}，若不等式即（x﹣）（x+1）＞0在[2，5]有实数解，则有＜5，解可得：a＞，③，当0＜a＜1时，有不等式变形为（x﹣）（x+1）＜0，其解集为{x|x＜或x＞﹣1}，不等式即（x﹣）（x+1）＞0在[2，5]有实数解，④，当a=0时，不等式可以变形为0＞1，无解，不符合题意；⑤，当a＜0时，不等式变形为（x﹣）（x+1）＜0，其解集为{x|x＜﹣1或x ＞}，若不等式即（x﹣）（x+1）＞0在[2，5]有实数解，则有＜5，解可得：a＞，又由a＜0，则a存在，综合可得：a的取值范围是{a|a＞或0＜a＜1}．12．（3分）把指数函数y=2x图像向下平移1个单位得到函数y=h （x）的图像，函数+a（m＞0，m≠1）满足g （7）﹣g （1）=若函数f （x ）=在（﹣∞，+∞）上是减函数，则实数a由+a，且g （7）﹣g （1）=，得=，∴m=．则g（x）=．由f （x ）=在（﹣∞，+∞）上是减函数，得f （x ）=在（﹣∞，+∞）上是减函数，∴，解得a≤0．∴实数 a 的取值范围是（﹣∞，0]．故答案为：（﹣∞，0]．二、选择题：（每小题3分，共12分）13．（3分）如果x＜0＜y，则下列各式中成立的是（）A．|x|＜|y|B．|x\＞|y|C．|x|=|y| D．以上都有可能【解答】解：由x＜0＜y，可得：|x|＜|y|，|x|＞|y|，|x|=|y|，因此以上都有可能．故选：D．14．（3分）设p，q 是两个命题：p：log（|x|﹣1）＞0，q：22+x﹣22﹣x≤15，则p 是q 的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由log（|x|﹣1）＞0得0＜|x|﹣1＜1，即1＜|x|＜2，得1＜x ＜2或﹣2＜x＜﹣1，由22+x﹣22﹣x≤15得4•2x﹣≤15，即4（2x）2﹣15•2x﹣4≤0，即（2x﹣4）（4•2x+1）≤0，得2x≤4，则x≤2，则p 是q 的充分不必要条件，15．（3分）设函数f （x ）=，g （x）=ax2+bx （a，b∈R，a≠0），若y=f （x）的图象与y=g （x）图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B （x2，y2），则下列判断正确的是（）A．当a＜0 时，x1+x2＜0，y1+y2＞0B．当a＜0 时，x1+x2＜0，y1+y2＜0C．当a＞0 时，x1+x2＜0，y1+y2＞0D．当a＞0 时，x1+x2＞0，y11+y2＞0【解答】解：当a＜0时，作出两个函数的图象，若y=f（x）的图象与y=g（x）图象有且仅有两个不同的公共点，必然是如图的情况，因为函数f（x）=是奇函数，所以A与A′关于原点对称，显然x2＞﹣x1＞0，即x1+x2＞0，﹣y1＞y2，即y1+y2＜0，同理，当a＞0时，有x1+x2＜0，y1+y2＞0故选：C．16．（3分）学生李明用手机加了一个有关高中数学学习的微信群，群里面许多数学爱好者经常发一些有关高中数学学习的心得和经验，但是，这些心得和经验的正确性无法保证，下面是李明搜集到的有关函数的一些结论：（1）若函数y=f （﹣x）有反函数，则其反函数可表示为y=f﹣1（﹣x）；（2）函数y=f （x ）在其定义域内的最大值为M，最小值为m，则其值域（3）定义在R 上的函数y=f （x），若对任意的实数x，y 等式 f （x）﹣f （y）=均成立，则函数y=f （x）一定是奇函数；（4）定义在R 上的函数y=f （x），若对任意的实数x 都有 f （x）﹣f （|x|）=0，则函数y=f （x）一定没有反函数．李明的同学们对以上四个结论有以下不同判断，其中判断正确的是（）A．都是错误的B．只有一个是正确的C．两对两错D．只有一个是错误的【解答】解：对于（1），设（x，y）是f（﹣x）的任意一点，则y=f（﹣x），∴﹣x=f﹣1（y），即x=﹣f﹣1（y），∴y=f（﹣x）的反函数为y=﹣f﹣1（x）．故（1）错误．对于（2），若f（x）在定义域上不连续，则结论不成立，故（2）错误．对于（3），令y=x，可得f （x）﹣f （x）==0，∴f（0）=0，再令x=0可得：0﹣f（y）=，即f（﹣y）=﹣f（y）恒成立，∴f（x）是奇函数，故（3）正确．对于（4），若f （x）﹣f （|x|）=0，即f（|x|）=f（x），∴f（x）是偶函数，∴f（x）没有反函数，故（4）正确．故选：C．三、解答题（10+10+10+12，共52分）17．（10分）解下列不等式或方程（1）（2）．【解答】解：（1）可化为，整理可得，即（x﹣1）（x﹣2）＜0，解得1＜x＜2，不等式解集为{x|1＜x＜2}；∴x2﹣3x﹣6=4，解得x=5或x=﹣2．18．（10分）已知m 为实常数，求函数y=log22x﹣2m log2x﹣3的最小值．【解答】解：令t=log2x，由，知t≥﹣1．∴y=log22x﹣2m log2x﹣3化为y=t2﹣2m t﹣3，其对称轴方程为t=＞0．∴当t=2m﹣1时，y有最小值为（2m﹣1）2﹣2m•2m﹣1﹣3=﹣22m﹣2﹣3．19．（10分）已知函数y=．（1）判断该函数奇偶性并证明；（2）利用函数单调性定义证明该函数在（﹣∞，+∞）上为增函数．【解答】解：函数的定义域是R，令y=f（x），（1）f（﹣x）==﹣=﹣f（x），故函数y=f（x）是奇函数；（2）设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，x2﹣x1＞0，∴＜a0=1，＞a0=1，故﹣＜0，故f（x1）﹣f（x2）＜0，故f（x）在R递增．20．（10分）已知某市最低工资标准为每月1800 元，为了解决该市房价过高的问题，政府计划对低收入的本市户籍居民购买第一套住房的，每月提供一定金额的贷款补贴，补贴规则：个人每月收入不高于6000 元的，对贷款进行补贴，补贴标准为：贷款月还款额×，其中k 是一个与月工资收入有关的常数，且贷款月还款额不得高于5000 元，贷款月还款额高于5000 元的，只对5000 元部分进行补贴．高于5000 元部分不予补贴，已知月工资收入不高于3000 元时k=1000．（1）若某人工资为2000 元，贷款月还款额为5000 元，则他每月获得的贷款补贴是多少元？（2）对于月工资收入不高于3000 元的贷款买房的居民中．若贷款月还款额均为5000 元，则实际月收入最高为多少元？（结果均保留整数位，均不考虑扣税问题）【解答】解：（1）∵个人每月收入不高于6000 元的，对贷款进行补贴，补贴标准为：贷款月还款额×，其中k 是一个与月工资收入有关的常数，且贷款月还款额不得高于5000 元，贷款月还款额高于5000 元的，只对5000 元部分进行补贴．高于5000 元部分不予补贴，月工资收入不高于3000 元时k=1000．某人工资为2000 元，贷款月还款额为5000 元，∴他每月获得的贷款补贴是：5000×=2500．（2）设月工资收入为x元，（1800≤x≤3000），则实际月收入：y=x+5000×≥2=4472元，当且仅当x=2236元时等号成立，∴当x=3000时，实际月收入最高为4667元．21．（12分）对于函数y=f （x）和y=g （x ），若存在区间A，使|f（x）﹣g（x）|≤1 在区间 A 上恒成立，则称区间 A 是函数y=f （x）和y=g （x ）的“公共邻域”．设函数f （x）=a x+3a （a＞0，a≠1）的反函数为y=f﹣1（x），函数y=g （x ）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象关于点（a，0）对称．（1）求函数y=f﹣1（x）和y=g （x ）的解析式；（2）若a=2，求函数y=g （﹣x）+f﹣1（x）的定义域；（3）是否存在实数a，使得区间[a+2，a+3]是y=f﹣1（x）和y=g （﹣x）的“公共邻域”，若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设y=a x+3a，则a x=y﹣3a，两边取对数得：x=log a（y﹣3a），所以f﹣1（x）=log a（x﹣3a）；由函数y=g （x ）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象关于点（a，0）对称，可得g（x）=﹣log a（2a﹣x﹣3a），即为g（x）=﹣log a（﹣x﹣a）；（2）a=2，函数y=g （﹣x）+f﹣1（x）=﹣log2（x﹣2）+log2（x﹣6），由x﹣2＞0，且x﹣6＞0，可得x＞6，则函数的定义域为（6，+∞）；（3）假设存在实数a，使得区间[a+2，a+3]是y=f﹣1（x）和y=g （﹣x）的“公共邻域”，因为x∈[a+2，a+3]时，函数有意义，所以（a+2）﹣3a=2﹣2a＞0，所以0＜a＜1，由区间[a+2，a+3]是y=f﹣1（x）和y=g （﹣x）的“公共邻域”，可得|log a（x﹣3a）+log a（x﹣a）|≤1，设h（x）=log a（x﹣3a）+log a（x﹣a）=log a（x2﹣4ax+3a2），二次函数u=x2﹣4ax+3a2的对称轴为x=2a＜2，所以u=x2﹣4ax+3a2在x∈[a+2，a+3]上为增函数，当x=a+2时，取得最小值4（1﹣a），当x=a+3时取得最大值3（3﹣2a），从而可得y=h（x）在闭区间[a+2，a+3]上的最小值与最大值分别为：log a3（3﹣2a），log a4（1﹣a），当x∈[a+2，a+3]时，恒有|log a（x﹣3a）+log a（x﹣a）|≤1成立的充要条件为：，即为，解得0＜a≤．则存在实数a，且0＜a≤，使得区间[a+2，a+3]是y=f﹣1（x）和y=g （﹣x）的“公共邻域”．。
建平中学自招真题解析
同理可得高一（2） （2）共 69 人，高一（1） （3）共 65 人．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 4,0 ，以 OA 为直径在 第一象限作半圆 C ， 点 B 是该半圆周上一动点， 连结 OB 、
上
因此高一（1） ， （2） ， （3）班各有 30,34,35 人．
海
昂
x y 64 x 30 因此设高一（1） ， （2） ， （3）班各有 x, y, z 人可列方程组 y z 69 ，解得 y 34 ． z x 65 z 35
2
分别对应 a 0, a 3, 0 a 3 的情况． 若 x 0 时取最小值，则 a 2 符合条件； 若 x 3 时取最小值，则 a 2.2 不符合条件． ； 若 x a 时取最小值，则 a a 2 2 ，解得 a 2, 1 ，其中 a 2 符合条件． 因此 a 2 或 2 ．
sin DAE
DP AP
DP AD 2 DP 2
5 2 5 52 2
2
C
5 ， 5
所以 DE 2
11. 如图，在梯型 ABCD 中， AB // CD ， AC 、 BD 相交于点 O ，若 AC 6 ， BD 8 ，中
内
【答案】 2 6 ． 【解析】因为 AB // CD ， 所以
【解析】原式
2 3 2
3
7 13 7
13
2 3 2 3
2 3
3 2 2 6 5．
5.
建平中学社团活动丰富多彩，有 JTV 社（金苹果电视台） 、04 辩论社、智能机器人社、 健美操社……，在一次社团文化节上，中国象棋社开展了社员 PK 活动，每个选手和其 他选手比赛一局，每局赢者得 2 分，输者得 0 分，平各记 1 分，现有四位同学统计了比 学只有一位同学统计正确，则这次比赛中有 名选手参加比赛． 赛中全部选手得分总数，总分分别是 1054、1056、1060、1066，经核实，上述四位同
建平中学自招真题含解析
y
y
y
y 99
y 99
所以 x 1 10x 1 2019 10 2009 ．
y
y 99 99 99
4. 计算： 14 26 21 39
．
14 26 21 39
【答案】 2 6 5 ．
2 3 【解析】原式
7 13
2 3
2 3
3 2 2 65．
2 3 7 13 2 3
将120 从十进制转换为15 进制可得结果为80 ．
2. 如果 x 1 x4 1成立，那么满足它的所有整数 x 的值是
．
【答案】 2, 4 ．
【解析】若 x 1x4 1，则 x 1 1或 x 4 0 且 x 1 0 ． 因此 x 2 或 x 4 ．
3. 设实数 x 、 y 分别满足 99x2 2019x 1 0 、 y2 2019 y 99 0 ，并且 xy 1 ，则
5. 建平中学社团活动丰富多彩，有 JTV 社（金苹果电视台）、04 辩论社、智能机器人社、
健美操社……，在一次社团文化节上，中国象棋社开展了社员 PK 活动，每个选手和其
他选手比赛一局，每局赢者得 2 分，输者得 0 分，平各记 1 分，现有四位同学统计了比
赛中全部选手得分总数，总分分别是 1054、1056、1060、1066，经核实，上述四位同
验证可知只有 x x 1 1056 有整数解 x 33 ，因此共有 33 名选手参赛．
6. 二次函数 y x2 2ax a 在 0 x 3 上有最小值 2 ，则 a 的值为
．
【答案】 2 或 2 ．
【解析】二次函数 y x2 2ax a 在 0 x 3 上的最小值在 x 0 或 x 3 或 x a 时取到，
上海市建平中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案
2017 学年建平中学高二年级期中试卷2017.11 一、填空题⎛1 3⎫ ⎛5 7⎫1.矩阵A = ⎪,矩阵B = ⎪，则AB = .⎝2 4⎭ ⎝6 8⎭2 2.直线-1y= 3 的倾斜角是. x3.直线l1: ax + 2 y - 6 = 0 和l2 : x +(a+1)y +(a+ 5)= 0 平行，a = .4.直线x +2y - 3 = 0 与直线2x +y + 7 = 0 的夹角大小为（结果用反三角表示）.5.向 a =(2, -1),b =(-1, m ),c =(-3,1)，若(a-b)⊥c ，则m = .6.已知点A (-1,1),B (1, 2),C (-2, -1),D (3, 4),则向AB 在CD 上的投影为.a b c7.行列式d e fg h i中元素f 的代数余子式是.8. ∆ABC 的顶点A (-3, -1),B (-2, 2),C (5, 3),则角A 平分线的斜率是.9.过点M (1, -2)且与点A (-1, 2),B (3, 0)等距离的直线的方程是.⎛n2 10.已知limn→∞⎝n +4-an⎪=b ，则常数a, b 构成的点(a, b )与直线x -2y - 4 = 0 的距离为.⎭11.在向 a =(x, y )的右边乘以一个矩阵A2⨯2,按向的乘法规则相乘以后得到一个新的向a0 ，我们把这个运算过程称为对向 a 实施了一个右矩阵变换.直线l1: y =ax + 2 上任意一点P (x, y )确定向OP （O 为坐标原点），通过⎛0 1⎫矩阵 ⎪对向OP 实施右矩阵变换后得到向OP1 , 点P1的坐标(x0 , y0 )满足y0 = 3x0 -b ，若直线⎝1 0⎭l 2 : a1x +b1y + 1 = 0 和l3: a2x +b2y + 1 = 0 相交于点T (3a, b)，则过点E (a1 , b1 ),F (a2 , b2 )的直线l4 的方程是.12.如图∆ABC 中，BC = 1, D 为BC 中点，AD =1, O1 为AD 中点，取线段DO1中点O2,线段DO2中点O3,线段DO3中点O4 , ,线段DOn-1中点On， （n 为大于1 的自然数），令t=O )，数列{t }的各项和等于.二、选择题13.下列结论中正确的是（）n n n⎛2 -4⎫⎛1-2⎫ A. ⎪=2 ⎪ ⎝3 1 ⎭⎝3 1 ⎭⎨ ⎨ ⎩ B . 起点不同，但方向相同且模相等的几个向 是相等的向 .C . 若 a ⎧ 1 = ⎪ 1 n n ≤ 100, n ∈ N *，则 lim a = ⎧1 n ≤ 100 , n ∈ N * . n ⎨⎛ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩⎝ 2 ⎭n ≥ 101n →∞ n ⎩0 n ≥ 101x - my - n D . 若直线 l 的一个方向向 d = ( a , b ) 且过点 (m , n ) ，则其点方向式方程为=.ab14.在 ∆ABC 中， ∠C = 90︒, AB = ( k ,1) , AC = ( 2, 3) ,则k 的值是（ ）A . 5B . -5C . 32D . - 3215.已知直线 l 过点 P (-1, 2) 且与线段 AB 的延长线有公共点，若 A (-2, -3) , B (3, 0) ，则直线 l 的斜率的取值范围是（）A . ⎡- 1 , 5⎤B . ⎛ - 1 , 3 ⎤C . ⎛ - 1 , 3 ⎫D . ⎛-∞, - 1 ⎤ [5, +∞ ) ⎢ 2 ⎥2 5 ⎥ 2 5 ⎪2 ⎥ ⎣ ⎦⎝ ⎦⎝ ⎭⎝⎦⎧3x - y - 6 ≤ 016.设 x , y 满足约束条件 ⎪ x - y + 2 ≥ 0 ，若目标函数 z = ax + by ( a > 0, b > 0) 的最大值为12 ，则 2 + 3的最小值为⎪ x ≥ 0, y ≥ 0 a b（）A . 25 6三、解答题B . 83C . 113D . 417.如图所示.正方形 OABC 的顶点 A ( 2, 3) .（1）求边 AB 所在直线的点法向式方程；（2）写出点 C 的坐标，并写出边 BC 所在直线的点方向式方程.18.直线 l 1 : mx + y - 1 - m = 0, l 2 : x + my - 2m = 0 试运用行列式的知识讨论当 m 取何值时，直线 l 1 与 l 2 （1）相交；（2）平行；（3）重合.π19.已知 a = 2, b = 1, a 与 b 的夹角为 ，设m = 2t a + 7b , n = a + tb . 3（1）求a ⋅b 的值；（2）若m 与n 的夹角是钝角，求实数t 的取值范围.20.已知点M (3, 5)，在直线l : x -2y + 2 =0 上找一点P ，在y 轴上找一点Q ,使∆MPQ 的周长最小，试求出∆MPQ 周长的最小值，并求出当∆MPQ 周长最小时点P 和点Q 的坐标.21.如图，在平行四边形ABCD 中，点A (,B (-1, 0),C (1, 0)，对角线AC ,BD 交于点P .（1）求直线CD 的方程；（2）若点E, F 分别在平行四边形ABCD 的边BC 和CD 上运动，且EF BD ,求AE ⋅AF 的取值范围；（3）试写出三角形PCD 区域（包括边界）所满足的线性约束条件，若在该区域上任取一点M ，使AM =λAB +μAD , 试求λ+μ的取值范围.参考答案一、填空题⎛ 23 31 ⎫ 1. ⎪ ⎝ 34 46 ⎭2. π - arctan 23.14. arccos455. -106.27. bg - ah二、选择题8.+ 1 79. x + 2 y + 3 = 0 或 x = 111. x + 6 y + 1 = 012. 3213. B 14. A15. C 16. A三、解答题17.（1） 2 ( x - 2) + 3 ( y - 3) = 0 （2）x + 3 = y - 22 318. m ≠ ±1相交；m = 1 重合； m = -1 平行⎛ 19.（1）1 （2） -7, - ⎫ ⎛ - , - 1 ⎫ ⎪ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 2 ⎭⎛ 5 9 ⎫ ⎛ 7 ⎫20. (C ∆MPQ ) = P , ⎪ , Q 0, ⎪min⎝ 2 4 ⎭ ⎝ 2 ⎭21.（1） y -3 （2）[-2,1] （3）[1, 2]。
【真题】17年上海市浦东新区建平中学高三(上)数学期中试卷含答案
2016-2017学年上海市浦东新区建平中学高三（上）期中数学试卷一.填空题1．（3分）已知R为实数集，M={x|x2﹣2x＜0}，N={x|x≥1}，则M∩（∁R N）=．2．（3分）函数y=+log3（1+x）的定义域为．3．（3分）不等式的解集是．4．（3分）已知θ是第三象限角，若sinθ=﹣，则tan的值为．5．（3分）已知log a b=﹣1，则a+4b的最小值为．6．（3分）函数y=f（x）是奇函数且周期为3，f（﹣1）=1，则f（2017）=．7．（3分）函数cos（﹣x）=，那么sin2x=．8．（3分）函数f（x）=log2（2﹣）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=．9．（3分）若2arcsin（5x﹣2）=，则x=．10．（3分）已知直线x=，x=都是函数y=f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ≤π）的对称轴，且函数f（x）在区间[，}上单调递减，则φ=．11．（3分）已知函数f（x）=x++3，x∈N*，在x=5时取到最小值，则实数a的所有取值的集合为．12．（3分）函数f（x）=cos x，对任意的实数t，记f（x）在[t，t+1]上的最大值为M（t），最小值为m（t），则函数h（t）=M（t）﹣m（t）的值域为．13．（3分）已知函数y=f（x），y=g（x）的值域均为R，有以下命题：①若对于任意x∈R都有f[f（x）]=f（x）成立，则f（x）=x．②若对于任意x∈R都有f[f（x）]=x成立，则f（x）=x．③若存在唯一的实数a，使得f[g（a）]=a成立，且对于任意x∈R都有g[f（x）]=x2﹣x+1成立，则存在唯一实数x0，使得g（ax0）=1，f（x0）=a．④若存在实数x0，y0，f[g（x0）]=x0，且g（x0）=g（y0），则x0=y0．其中是真命题的序号是．（写出所有满足条件的命题序号）14．（3分）关于x的方程（2017﹣x）（1999+x）=2016恰有两个根为x1、x2，且x1、x2分别满足3x1=a﹣3x1和log3（x2﹣1）3=a﹣3x2，则x1+x2+a=．二.选择题15．（3分）“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要16．（3分）已知集合M={x|9x﹣4•3x+1+27=0}，N={x|log2（x+1）+log2x=log26}，则M、N的关系是（）A．M⊊N B．N⊊M C．M=N D．不确定17．（3分）若y=f（x）是R上的偶函数，y=g（x）是R上的奇函数，它们都是周期函数，则下列一定正确的是（）A．函数y=g[g（x）]是偶函数，函数y=f（x）g（x）是周期函数B．函数y=g[g（x）]是奇函数，函数y=f[g（x）]不一定是周期函数C．函数y=g[g（x）]是偶函数，函数y=f[g（x）]是周期函数D．函数y=g[g（x）]是奇函数，函数y=f（x）g（x）是周期函数18．（3分）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．三.解答题19．（8分）已知函数f（x）=|2x﹣a|+2；（1）若不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3），求a的值；（2）在（1）的条件下，对任意的x∈R，都有f（x）＞t﹣f（﹣x），求t的取值范围．20．（8分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos．（1）若a=3，b=，求c的值；（2）若f（A）=sinA（cosA﹣sinA），求f（A）的取值范围．21．（10分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本C（x）（万元），若年产量不足80千件，C（x）的图象是如图的抛物线，此时C（x）＜0的解集为（﹣30，0），且C（x）的最小值是﹣75，若年产量不小于80千件，C（x）=51x+﹣1450，每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完；（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？22．（10分）已知函数f（x）=x|x﹣a|的定义域为D，其中a为常数；（1）若D=R，且f（x）是奇函数，求a的值；（2）若a≤﹣1，D=[﹣1，0]，函数f（x）的最小值是g（a），求g（a）的最大值；（3）若a＞0，在[0，3]上存在n个点x i（i=1，2，…，n，n≥3），满足x1=0，x n=3，x1＜x2＜…＜x n，使|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|=，求实数a的取值．23．（10分）已知函数f（x）=其中P，M是非空数集，且P∩M=∅，设f（P）={y|y=f（x），x∈P}，f（M）={y|y=f（x），x∈M}．（I）若P=（﹣∞，0），M=[0，4]，求f（P）∪f（M）；（II）是否存在实数a＞﹣3，使得P∪M=[﹣3，a]，且f（P）∪f（M）=[﹣3，2a﹣3]？若存在，请求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由；（III）若P∪M=R，且0∈M，I∈P，f（x）是单调递增函数，求集合P，M．2016-2017学年上海市浦东新区建平中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）已知R为实数集，M={x|x2﹣2x＜0}，N={x|x≥1}，则M∩（∁R N）=（0，1）．【解答】解：∵x2﹣2x＜0⇒0＜x＜2；∴M={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}；N={x|x≥1}⇒C R N={x|x＜1}．所以：M∩（C R N）=（0，1）故答案为：（0，1）．2．（3分）函数y=+log3（1+x）的定义域为（﹣1，2] ．【解答】解：，解得：x∈（﹣1，2]故答案为：（﹣1，2]3．（3分）不等式的解集是[1，3﹚．【解答】解：不等式等价于解得x∈[1，3）故答案为：[1，3﹚4．（3分）已知θ是第三象限角，若sinθ=﹣，则tan的值为﹣3．【解答】解：∵θ是第三象限角，若sinθ=﹣，∴cosθ=﹣，∴tan===﹣3．故答案是：﹣3．5．（3分）已知log a b=﹣1，则a+4b的最小值为4．【解答】解：log a b=﹣1，可得ab=1．a，b＞0．a+4b≥2=4．当且仅当a=4b=2时取等号．表达式的最小值为：4．故答案为：4．6．（3分）函数y=f（x）是奇函数且周期为3，f（﹣1）=1，则f（2017）=﹣1．【解答】解：y=f（x）是奇函数，即f（﹣x）=﹣f（x），∴f（1）=﹣f（﹣1）=﹣1，由y=f（x）周期为3，f（2017）=f（672×3+1）=f（1）=﹣1，故答案为：﹣1．7．（3分）函数cos（﹣x）=，那么sin2x=．【解答】解：∵cos（﹣x）=cosx+sinx=，∴可得：sinx+cosx=，∴两边平方可得：1+sin2x=，解得：sin2x=．故答案为：．8．（3分）函数f（x）=log2（2﹣）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（x＜1）．【解答】解：由y=log2（2﹣）（x＞0），解得x=（y＜1），把x与y互换可得：y=（x＜1）．∴原函数的反函数为：（x＜1）．故答案为：（x＜1）．9．（3分）若2arcsin（5x﹣2）=，则x=．【解答】解：因为2arcsin（5x﹣2）=，所以sin[arcsin（5x﹣2）]=，即5x﹣2=，所以x=．故答案为．10．（3分）已知直线x=，x=都是函数y=f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ≤π）的对称轴，且函数f（x）在区间[，}上单调递减，则φ=．【解答】解：直线x=，x=都是函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，﹣π＜ϕ≤π）的对称轴，且函数f（x）在区间[，]上单调递减，所以T=2×（﹣）=；所以ω==6，并且1=sin（6×+ϕ），﹣π＜ϕ≤π，所以，ϕ=；故答案为：．11．（3分）已知函数f（x）=x++3，x∈N*，在x=5时取到最小值，则实数a的所有取值的集合为[20，30] ．【解答】解：∵f（x）=x++3，x∈N*，∴f′（x）=1﹣=，当a≤0时，f′（x）≥0，函数f（x）为增函数，最小值为f（x）min=f（1）=4+a，不满足题意，当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=，当0＜x＜时，即f′（x）＜0，函数单调递减，当x＞时，即f′（x）＞0，函数单调递增，∴当x=时取最小值，∵x∈N*，∴x取离最近的正整数使f（x）达到最小，∵x=5时取到最小值，∴5＜＜6，或4＜≤5∴f（5）≤f（6）且f（4）≥f（5），∴4++3≥5++3且5++3≤6++3解得20≤a≤30故答案为：[20，30]12．（3分）函数f（x）=cos x，对任意的实数t，记f（x）在[t，t+1]上的最大值为M（t），最小值为m（t），则函数h（t）=M（t）﹣m（t）的值域为．【解答】解：解：函数f（x）=cos x的周期为T==4，（1）当4n﹣1≤t≤4n，n∈Z，区间[t，t+1]为增区间，则有m（t）=cos，M（t）=cos=sin，（2）当4n＜t＜4n+1，n∈Z，①若4n＜t≤4n+，则M（t）=1，m（t）=sin，②若4n+＜t＜4n+1，则M（t）=1，m（t）=sin，（3）当4n+1≤t≤4n+2，则区间[t，t+1]为减区间，则有M（t）=cos，m（t）=sin；（4）当4n+2＜t＜4n+3，则m（t）=﹣1，①当4n+2＜t≤4n+时，M（t）=cos，②当4n+＜t＜4n+3时，M（t）=sin；则有h（t）=M（t）﹣m（t）=当4n﹣1≤t≤4n，h（t）的值域为[1，]，当4n＜t≤4n+，h（t）的值域为[1﹣，1），当4n+＜t＜4n+1，h（t）的值域为（1﹣，1），当4n+1≤t≤4n+2，h（t）的值域为[1，]，当4n+2＜t≤4n+时，h（t）的值域为[1﹣，1），当4n+＜t＜4n+3时，h（t）的值域为[1﹣，1）．综上，h（t）=M（t）﹣m（t）的值域为．故答案是：．13．（3分）已知函数y=f（x），y=g（x）的值域均为R，有以下命题：①若对于任意x∈R都有f[f（x）]=f（x）成立，则f（x）=x．②若对于任意x∈R都有f[f（x）]=x成立，则f（x）=x．③若存在唯一的实数a，使得f[g（a）]=a成立，且对于任意x∈R都有g[f（x）]=x2﹣x+1成立，则存在唯一实数x0，使得g（ax0）=1，f（x0）=a．④若存在实数x0，y0，f[g（x0）]=x0，且g（x0）=g（y0），则x0=y0．其中是真命题的序号是①③④．（写出所有满足条件的命题序号）【解答】解：①令t=f（x），则对于任意x∈R都有f[f（x）]=f（x）成立可化为：f（t）=t，即f（x）=x，故①为真命题；②令，显然能满足题设条件，当x≠0，有f（x）=，不满足结论；故②为假命题；③假设存在实数x0，∵f（x0）=a，f（g（a））=a；∴g（a）=x0；g（f（x0））=﹣x0+1；=[g（a）]2﹣g（a）+1；而f（g（a））=a，∴命题成立；故③正确；④∵，g（x0）=g（y0）；∴x0=y0；故④正确；故答案为：①③④14．（3分）关于x的方程（2017﹣x）（1999+x）=2016恰有两个根为x1、x2，且x1、x2分别满足3x1=a﹣3x1和log3（x2﹣1）3=a﹣3x2，则x1+x2+a=61．【解答】解：方程（2017﹣x）（1999+x）=2016可化为﹣x2+16x+2017×1999﹣2016=0，∴x1+x2=16．∵x1满足3x1=a﹣3x1，x2满足log3（x2﹣1）3=a﹣3x2，∴=﹣1﹣（x1﹣1），log3（x2﹣1）=﹣1﹣（x2﹣1）．∴x1﹣1+x2﹣1=﹣1，∴a=45，∴x1+x2+a=16+45=61．故答案为61．二.选择题15．（3分）“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：由“2a＞2b”得a＞b，由“log2a＞log2b”得a＞b＞0，则“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的必要不充分条件，故选：B．16．（3分）已知集合M={x|9x﹣4•3x+1+27=0}，N={x|log2（x+1）+log2x=log26}，则M、N的关系是（）A．M⊊N B．N⊊M C．M=N D．不确定【解答】解：集合M={x|9x﹣4•3x+1+27=0}，可得9x﹣4•3x+1+27=0，即（3x）2﹣12•3x+27=0，解得3x=3，3x=9，解得x=1，x=2．M={1，2}．N={x|log2（x+1）+log2x=log26}，log2（x+1）+log2x=log26，可得x（x+1）=6，x＞0．解得x=2．N={2}．∴N⊊M．故选：B．17．（3分）若y=f（x）是R上的偶函数，y=g（x）是R上的奇函数，它们都是周期函数，则下列一定正确的是（）A．函数y=g[g（x）]是偶函数，函数y=f（x）g（x）是周期函数B．函数y=g[g（x）]是奇函数，函数y=f[g（x）]不一定是周期函数C．函数y=g[g（x）]是偶函数，函数y=f[g（x）]是周期函数D．函数y=g[g（x）]是奇函数，函数y=f（x）g（x）是周期函数【解答】解：∵y=f（x）是R上的偶函数，y=g（x）是R上的奇函数，故有g（﹣x）=﹣g（x），且f（﹣x）=f（x）．令m（x）=g[g（x）]，n（x）=f（x）g（x），则m（﹣x）=g[g（﹣x）]=g[﹣g（x）]﹣g[g（x）]=﹣m（x），故m（x）为奇函数，故排除A、C；∵f（x）和g（x）都是周期函数，设他们的周期的最小公倍数为t，即f（x+t）=f（x），g（x+t）=g（x），n（x+t）=f（x+t）g（x+t）=f（x）g（x）=n（x），故n（x）=f（x）g（x）一定为周期函数，故排除B，故选：D．18．（3分）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：当x=0时，y=EB+BC+CD=BC=；当x=π时，此时y=AB+BC+CA=3×=2；当x=时，∠FOG=，三角形OFG为正三角形，此时AM=OH=，在正△AED中，AE=ED=DA=1，∴y=EB+BC+CD=AB+BC+CA﹣（AE+AD）=3×﹣2×1=2﹣2．如图．又当x=时，图中y0=+（2﹣）=＞2﹣2．故当x=时，对应的点（x，y）在图中红色连线段的下方，对照选项，D正确．故选：D．三.解答题19．（8分）已知函数f（x）=|2x﹣a|+2；（1）若不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3），求a的值；（2）在（1）的条件下，对任意的x∈R，都有f（x）＞t﹣f（﹣x），求t的取值范围．【解答】解：（1）f（x）＜6，即|2x﹣a|＜4，∵不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3），∴，∴a=2；（2）∵f（x）＞t﹣f（﹣x），∴t＜f（x）+f（﹣x），∴t＜|2x﹣2|+|﹣2x﹣2|+4，∵|2x﹣2|+|﹣2x﹣2|+4≥4+4=8，∴t＜8．20．（8分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos．（1）若a=3，b=，求c的值；（2）若f（A）=sinA（cosA﹣sinA），求f（A）的取值范围．【解答】解：（1）在△ABC中，A+B+C=π，∴cos=cos=sin=，∴=，即B=，∵a=3，b=，cosB=，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，即7=9+c2﹣3c，整理得：c2﹣3c+2=0，解得：c=1或c=2；（2）f（A）=sinA（cosA﹣sinA）=sin2A﹣=sin（2A+）﹣，由（1）得B=，∴A+C=，即A∈（0，），∴2A+∈（，），∴sin（2A+）∈（﹣1，1]，∴f（A）∈（﹣，]，∴f（A）的取值范围是（﹣，]．21．（10分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本C（x）（万元），若年产量不足80千件，C（x）的图象是如图的抛物线，此时C（x）＜0的解集为（﹣30，0），且C（x）的最小值是﹣75，若年产量不小于80千件，C（x）=51x+﹣1450，每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完；（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【解答】解：（1）∵每件商品售价为0.005万元，∴x千件商品销售额为0.005×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣x2﹣10x﹣250=﹣x2+40x﹣250；②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）．综合①②可得，；（2）由（1）可知，；①当0＜x＜80时，L（x）=﹣x2+40x﹣250=﹣（x﹣60）2+950∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；②当x≥80时，L（x）=1200﹣（x+）≤1200﹣2=1200﹣200=1000，当且仅当，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000万元．综合①②，由于950＜1000，∴当产量为10万件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．22．（10分）已知函数f（x）=x|x﹣a|的定义域为D，其中a为常数；（1）若D=R，且f（x）是奇函数，求a的值；（2）若a≤﹣1，D=[﹣1，0]，函数f（x）的最小值是g（a），求g（a）的最大值；（3）若a＞0，在[0，3]上存在n个点x i（i=1，2，…，n，n≥3），满足x1=0，x n=3，x1＜x2＜…＜x n，使|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|=，求实数a的取值．【解答】解：（1）∵f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣1）+f（1）=﹣|﹣1﹣a|+|1﹣a|=0，∴|a﹣1|=|a+1|，解得a=0．∴f（x）=x|x|，经过验证满足题意；（2）a≤﹣1，D=[﹣1，0]，函数f（x）=x（x﹣a）=﹣，①a≤﹣2时，对称轴x=≤﹣1，函数f（x）在D上单调递增，∴f（x）的最小值是f（﹣1）=﹣（﹣1﹣a）=a+1，则g（a）≤﹣2+1=﹣1，故g（a）的最大值为﹣1；②﹣2＜a≤﹣1时，对称轴x=∈，函数f（x）在（，﹣）上单调递增，在[﹣1，]单调递减；∴f（x）的最小值是f（）=﹣，则g（a）≤﹣，故g（a）的最大值为﹣；（3）a＞0，函数f（x）=x|x﹣a|的图象可由f（x）=x|x|的图象右移a个单位得到．而f（x）=x|x|=，x＞0时递增，x＜0时递增，且f（x）的图象连续，则函数f（x）=x|x﹣a|在[0，3]递增，即有|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n）﹣f（x n）|=，﹣1）﹣f（x n））=，化为﹣（f（x1）﹣f（x2）+f（x2）﹣f（x3）+…+f（x n﹣1即﹣（f（0）﹣f（3））=，则3|3﹣a|﹣0=，解得a=或．则实数a的取值为{，}．23．（10分）已知函数f（x）=其中P，M是非空数集，且P∩M=∅，设f（P）={y|y=f（x），x∈P}，f（M）={y|y=f（x），x∈M}．（I）若P=（﹣∞，0），M=[0，4]，求f（P）∪f（M）；（II）是否存在实数a＞﹣3，使得P∪M=[﹣3，a]，且f（P）∪f（M）=[﹣3，2a﹣3]？若存在，请求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由；（III）若P∪M=R，且0∈M，I∈P，f（x）是单调递增函数，求集合P，M．【解答】解：（I）∵P=（﹣∞，0），∴f（P）={y|y=|x|，x∈（﹣∞，0）}=（0，+∞），∵M=[0，4]，∴f（M）={y|y=﹣x2+2x，x∈[0，4]}=[﹣8，1]．∴f（P）∪f（M）=[﹣8，+∞）（II）若﹣3∈M，则f（﹣3）=﹣15∉[﹣3，2a﹣3]，不符合要求∴﹣3∈P，从而f（﹣3）=3∵f（﹣3）=3∈[﹣3，2a﹣3]∴2a﹣3≥3，得a≥3若a＞3，则2a﹣3＞3＞﹣（x﹣1）2+1=﹣x2+2x∵P∩M=∅，∴2a﹣3的原象x0∈P且3＜x0≤a∴x0=2a﹣3≤a，得a≤3，与前提矛盾∴a=3此时可取P=[﹣3，﹣1）∪[0，3]，M=[﹣1，0），满足题意（III）∵f（x）是单调递增函数，∴对任意x＜0，有f（x）＜f（0）=0，∴x∈M ∴（﹣∞，0）⊆M，同理可证：（1，+∞）⊆P若存在0＜x0＜1，使得x0∈M，则1＞f（x0）=﹣+2x0＞x0，于是[x0，﹣+2x0]⊆M记x1=﹣+2x0∈（0，1），x2=﹣+2x1，…∴[x0，x1]∈M，同理可知[x1，x2]∈M，…=﹣+2x n，得1﹣x n+1=1+﹣2x n=（1﹣）2；由x n+1∴1﹣x n=（1﹣）2=（1﹣x n﹣2）22=…=（1﹣x0）2n对于任意x∈[x0，1]，取[log2log（1﹣x0）（1﹣x）﹣1，log2log（1﹣x0）（1﹣x）]中的自然数n x，则x∈[xn x，xn x+1]⊆M∴[x0，1）⊆M综上所述，满足要求的P，M必有如下表示：P=（0，t）∪[1，+∞），M=（﹣∞，0]∪[t，1），其中0＜t＜1或者P=（0，t]∪[1，+∞），M=（﹣∞，0]∪（t，1），其中0＜t＜1或者P=[1，+∞），M=（﹣∞，1]或者P=（0，+∞），M=（﹣∞，0]赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
2017年重点中学自主招生适应性考试数学试卷及答案(2)
2017年重点中学自主招生适应性考试数学试卷满分：120分 时间：90分钟 2017.3一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分） （1）如果一元一次不等式组⎩⎨⎧>>a x x 3的解集为x ＞3，则a 的取值范围是 A ．a ＞3 B ．a ≥3 C ．a ＜3 D ．a ≤3 （2）若实数x 满足12223-=++x x x ，则9932x x x x ++++ =A ．1-B ．0C ．1D ．99（3）如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线, 称得它的质量为a 克，再称得剩余电线的质量为b 克，那么原来这卷电线的总长度是A ．a b 1+米B ．（a b +1）米C ．（a+b a +1）米D ．（b a +1）米（4）若实数n 满足2)45()46(22=-+-n n ，则代数式)45)(46(n n --的值是A ．1-B ．21-C ．21D ．1（5）已知方程2(21)10x k x k +++-=的两个实数根12,x x 满足1241x x k -=-，则实数k的值为 A ．—3，0 B ．1，43-C ．1，13- D ．1，0 （6）如图，矩形AOBC 的面积为16，反比例函数xky =的图象经过矩形的对角线的交点P ，则反比例函数的解析式是A ．x y 1= B ．x y 2=C ．x y 4=D ．x y 8= （7）设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式3311ba +的值为A ．24-B ．18-C ．18D ．24 （8）当x 分别取值201，191，181，…31，21，1，2，3，…，18，19，20时，计算代数式2211x x +-的值，将所得的结果相加，其和等于 A ．－20 B ．0 C ．1 D ．20（9）如图，∠ACB ＝60○，半径为2的⊙O 切BC 于点C ，若将⊙O 在CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离为A ．32B ．4C ．πD ．2π（10）方程813222=++y xy x 的整数解(,)x y 的组数为A ．7B ． 6C ．5D ．4二、填空（本题有7个小题，其中11题6分，其余每小题4分，共30分） （11）直接写出下列关于x 的方程的根：①015722=-+x x ； ②24)3)(2)(1(=+++x x x x ； ③41122=+++x x xx ；④01)2(2=+--+a x a x ； （12）已知三个数a 、b 、c 的积为负数，和为正数，且x =aa ＋bb ＋cc ＋abab ＋acac ＋cb bc，则ax 3＋bx 2＋cx ＋1=_________.（13）若化简16812+---x x x 的结果为52-x ，则x 的取值范围是 . （14）如图，DE 是△ABC 的中位线，点P 是DE 的中点，CP 的延长线交AB 于点Q ，那么:DPQ ABC S S ∆∆=______________. （15）若实数a 、b 满足b ＞a ＞0，且ab b a 422=+，则ba b a +-= . （16）若实数b a ,满足0111=+--ba b a ，则=+ab b a 22. （17）桌面上有三颗球，相互靠在一起。
2017-2018年上海市建平中学高一(上)期中数学试卷及参考答案
2017-2018学年上海市建平中学高一（上）期中数学试卷一、填空题1．（5分）已知集合A={x|﹣2＜x≤1}，B={﹣2，﹣1，0，1}，则A∩B=．2．（5分）设集合A={1，a}，B={﹣1，a2}，若A=B，则实数a=．3．（5分）不等式﹣1≤0的解集是．4．（5分）已知x∈R，命题“若2＜x＜5，则x2﹣7x+10＜0”的否命题是．5．（5分）如果全集U={1，2，3，4，5，6}，A∩B={2}，∁U A∩∁U B={1}，（∁U A）∩B={4，6}，A∩（∁U B）=．6．（5分）已知a，b，c∈R+，则++的最小值为．7．（5分）关于x的不等式＞1的解集是M，若2∉M，则常数a的取值范围是．8．（5分）已知非空集合A={x|m+1≤x≤2m﹣1}，集合B={x|10+3x﹣x2≥0}，若A∩B=∅，则实数m的取值范围为．9．（5分）若关于x的不等式mx2+6mx+m+8≤0的解集为空集，则实数m的取值范围是．10．（5分）在1×（）+4（）=30的两个（）中，分别填入两个正整数，使他们的倒数和最小，则这两个数的和为．11．（5分）若不等式0＜ax2+bx+c＜1的解集为（0，1），则实数a的取值范围是．12．（5分）已知△ABC的三条边长分别为a，b，c，其中边c为最长边（即a≤c，b≤c），且+=1，则c的取值范围是．二、选择题.13．（5分）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（）”的几何解释．A．如果a＞b，b＞c，那么a＞cB．如果a＞b＞0，那么a2＞b2C．对任意实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立D．如果a＞b，c＞0那么ac＞bc14．（5分）如果命题“若α，则β”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则α是β的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也必要条件15．（5分）下列四个命题中，为真命题的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＞d则a﹣c＞b﹣dC．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a＞b，则＜16．（5分）已知a，b∈R+，则下列不等式一定成立的有（）（1）a2+b2≥2ab（2）≥2b﹣a（3）+≥a+b（4）+≥+．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个三、解答题17．解不等式组．18．某栋高层的东面正在维修一条南北方向的公路，在距离这栋高层的北偏东30°的500米处，一辆压路机正在工作，已知压路机以每分钟20米的速度缓慢的向正南方向行驶，距高层300米以内，居民都会受到噪音的影响，问从现在起多少分钟后，该高层居民将受压路机的噪音影响，影响的时间大约多久？（四舍五入精确到1分钟）．19．已知关于x的不等式|x﹣3|＜的解集为A．（1）若a=1，试求不等式的解集A；（2）是否存在实数a，使得A∩Z={3，4}，若存在求出a的取值范围；若不存在，则说明理由．20．已知关于x的不等式（kx﹣k2﹣6）（x﹣4）＞0，其中k∈R．（1）若k＞0，试求不等式的解集A；（2）对于不等式的解集A，记B=A∩Z（其中Z为整数集），若要使集合B中元素个数最少，求实数k的取值范围．21．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若＞，那么称点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，同时点（c，d）是点（a，b）的“下位点”．（1）试写出点（3，5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；（2）已知点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，判断是否一定存在点P满足是点（c，d）的“上位点”，又是点（a，b）的“下位点”，若存在，写出一个点P坐标，并证明；若不存在，则说明理由；（3）设正整数n满足以下条件，对集合m∈{t|0＜t＜2017，t∈Z}，总存在k∈N*，使得点（n，k）既是点（100，m）的“下位点”，又是点（101，m+1）的“上位点”，求正整数n的最小值．2017-2018学年上海市建平中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（5分）已知集合A={x|﹣2＜x≤1}，B={﹣2，﹣1，0，1}，则A∩B={﹣1，0，1} ．【解答】解：集合A={x|﹣2＜x≤1}，B={﹣2，﹣1，0，1}，则A∩B={﹣1，0，1}．故答案为：{﹣1，0，1}．2．（5分）设集合A={1，a}，B={﹣1，a2}，若A=B，则实数a=﹣1．【解答】解：∵集合A={1，a}，B={﹣1，a2}，A=B，∴a=﹣1且a2=1，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．3．（5分）不等式﹣1≤0的解集是{x|x＜0或x≥1} ．【解答】解：由﹣1≤0得≤0，即x（x﹣1）≥0且，x≠0，解得x＜0或x≥1，故不等式的解集为{x|x＜0或x≥1}，故答案为：{x|x＜0或x≥1}．4．（5分）已知x∈R，命题“若2＜x＜5，则x2﹣7x+10＜0”的否命题是若x≤2或x≥5，则x2﹣7x+10≥0．【解答】解：原命题为：“若2＜x＜5，则x2﹣7x+10＜0”，否定它的条件和结论，得：否命题为：“若x≤2或x≥5，则x2﹣7x+10≥0”，故答案为：若x≤2或x≥5，则x2﹣7x+10≥0．5．（5分）如果全集U={1，2，3，4，5，6}，A∩B={2}，∁U A∩∁U B={1}，（∁U A）∩B={4，6}，A∩（∁U B）={3，5} ．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6}，A∩B={2}，∁U A∩∁U B={1}，（∁U A）∩B={4，6}，∴A={2，3，5}，B={2，4，6}，∴∁U B={1，3，5}，∴A∩（∁U B）={3，5}，故答案为：{3，5}6．（5分）已知a，b，c∈R+，则++的最小值为6．【解答】解：∵a，b，c∈R+，∴++=（+）+（+）+（+）≥2+2+2=6，当且仅当=且=且=即a=b=c时取等号，故答案为：6．7．（5分）关于x的不等式＞1的解集是M，若2∉M，则常数a的取值范围是[﹣2，1] ．【解答】解：由题意，2∉M，必然有，可得等价于（a﹣1）（a+2）≤0，且a≠﹣2解得：﹣2＜a≤1．当a=﹣2时，可得，解得：1＜x＜2，满足题意．∴a的取值范围是[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．8．（5分）已知非空集合A={x|m+1≤x≤2m﹣1}，集合B={x|10+3x﹣x2≥0}，若A∩B=∅，则实数m的取值范围为（4，+∞）．【解答】解：∵非空集合A={x|m+1≤x≤2m﹣1}，集合B={x|10+3x﹣x2≥0}={x|﹣2≤x≤5}，A∩B=∅，∴或，解得m＞4．∴实数m的取值范围为（4，+∞）．故答案为：（4，+∞）．9．（5分）若关于x的不等式mx2+6mx+m+8≤0的解集为空集，则实数m的取值范围是[0，1）．【解答】解：∵关于x的不等式mx2+6mx+m+8≤0的解集为空集，∴mx2+6mx+m+8＞0恒成立，当m=0时，有8＞0，恒成立；当m≠0时，有，解得0＜m＜1，综上所述，实数k的取值范围是0≤m＜1．故答案为：[0，1）．10．（5分）在1×（）+4（）=30的两个（）中，分别填入两个正整数，使他们的倒数和最小，则这两个数的和为15．【解答】解：令x+4y=30，①当y=1时，解得x=26．②当y=2时，解得x=22．③当y=3时，解得x=18．④当y=4时，解得：x=14．⑤当y=5时，解得x=10．⑥当y=6时，解得x=6．⑦当y=7时，解得x=2．故：当的和最小时，解得x=10，y=5．故答案为：15．11．（5分）若不等式0＜ax2+bx+c＜1的解集为（0，1），则实数a的取值范围是（﹣4，4）．【解答】解：由题意可得，在不等式成立的情况下只有这几种情况．当a=0时，b≠0，不等式的解集（0，1），适当选取b，c可以满足题意．当a＞0时，不等式0＜ax2+bx+c＜1对应的二次函数的对称轴为x=，开口向上，所以x=0时，ax2+bx+c=c=1，x=1时，a+b+c=1，最小值为x=时，＞0，联立解这个不等式组得：a＜4，在a＜0时，不等式0＜ax2+bx+c＜1对应的二次函数的对称轴为x=，开口向下．所以x=0时，ax2+bx+c=c=0，且x=1时，ax2+bx+c=a+b=0最大值为x=时，，联立解这个不等式组得：a＞﹣4．综上a的范围是：（﹣4，4）．12．（5分）已知△ABC的三条边长分别为a，b，c，其中边c为最长边（即a≤c，b≤c），且+=1，则c的取值范围是（0，16]．．【解答】解：边c为最长边，且+=1，那么：a+b=+（a+b）=10+≥10+2=16，当且仅当b=3a=12时取等号，△ABC的三条边长分别为a，b，c，要使a+b≥c成立，则c的取值范围是（0，16]．故答案为：（0，16]．二、选择题.13．（5分）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（）”的几何解释．A．如果a＞b，b＞c，那么a＞cB．如果a＞b＞0，那么a2＞b2C．对任意实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立D．如果a＞b，c＞0那么ac＞bc【解答】解：可将直角三角形的两直角边长度取作a，b，斜边为c（c2=a2+b2），则外围的正方形的面积为c2，也就是a2+b2，四个阴影面积之和刚好为2ab，对任意正实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立．故选：C．14．（5分）如果命题“若α，则β”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则α是β的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也必要条件【解答】解：若α，则β”的否命题是真命题，则根据逆否命题的等价性可知逆命题为真命题，即β⇒α成立，因为“若α，则β”的逆否命题是假命题，则原命题为假命题，即α⇒β不成立，即充分性不成立，故α是β的必要不充分条件，故选：B．15．（5分）下列四个命题中，为真命题的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＞d则a﹣c＞b﹣dC．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a＞b，则＜【解答】解：A，若a＞b，当c=0时，ac2=bc2，A错误；B，若a=3，b=2，c=2，d=0，满足a＞b，c＞d，但a﹣c=1＜b﹣d=2，故B错误；C，若a＞|b|，则a2＞|b|2=b2，正确；D，若a=2＞﹣1=b，则＞﹣1，故＜错误．故选：C．16．（5分）已知a，b∈R+，则下列不等式一定成立的有（）（1）a2+b2≥2ab（2）≥2b﹣a（3）+≥a+b（4）+≥+．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：对于A，显然成立，对于B，得b2≥2ab﹣a2，得a2+b2≥2ab，成立，对于C，得：（a+b）（a2﹣ab+b2）≥ab（a+b），得：a2﹣ab+b2≥ab，显然成立，对于D，得b3+a3≥ab2+a2b，得（a+b）（a2﹣ab+b2）≥ab（a+b），由C判断，显然成立，故正确的是4个，故选：D．三、解答题17．解不等式组．【解答】解：不等式组．由|2x﹣1|≥x+1，可得：2x﹣1≥x+1或2x﹣1≤﹣x﹣1解得：x≥2或x≤0．由x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2，∴原不等式的解集为（﹣1，0）．18．某栋高层的东面正在维修一条南北方向的公路，在距离这栋高层的北偏东30°的500米处，一辆压路机正在工作，已知压路机以每分钟20米的速度缓慢的向正南方向行驶，距高层300米以内，居民都会受到噪音的影响，问从现在起多少分钟后，该高层居民将受压路机的噪音影响，影响的时间大约多久？（四舍五入精确到1分钟）．【解答】解：设高层居民楼为A，压路机开始工作地点为N，运动到B处时居民开始受到噪音影响，运动到C处噪音影响消失，则在△ABN中，∠ANB=30°，AN=500，AB=300，由余弦定理可得：90000=250000+BN2﹣2×500×BN×cos30°，解得BN=250﹣50或BN=250+50，∴BN=250﹣50，CN=250+50，≈13，∴大约13分钟后开始受到噪音影响．BC=CN﹣BN=100，≈17．∴影响的时间大约为17分钟．19．已知关于x的不等式|x﹣3|＜的解集为A．（1）若a=1，试求不等式的解集A；（2）是否存在实数a，使得A∩Z={3，4}，若存在求出a的取值范围；若不存在，则说明理由．【解答】解：（1）a=1时，|x﹣3|＜，故x≥3时，x﹣3＜，解得：x＜7，∴3≤x＜7，x＜3时，3﹣x＜，解得：x＞，∴＜x＜3综上可得：不等式的解集是A=（，7）；（2）故x≥3时，x﹣3＜，解得：x＜a+6，x＜3时，3﹣x＜，解得：x＞，当a≤﹣3时，不等式的解集是A=∅，满足题意；当a＞﹣3时，不等式的解集是A=（，a+6），若A∩Z={3，4}，则解得：﹣2＜a≤﹣1．20．已知关于x的不等式（kx﹣k2﹣6）（x﹣4）＞0，其中k∈R．（1）若k＞0，试求不等式的解集A；（2）对于不等式的解集A，记B=A∩Z（其中Z为整数集），若要使集合B中元素个数最少，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）设原不等式的解集为A，当k=0时，不等式化为x﹣4＜0，解得x＜4；∴A=（﹣∞，4）；当k＞0时，原不等式化为[x﹣（k+）]（x﹣4）＞0，∵k+≥2＞4，∴解不等式得x＜4或x＞k+；∴A=（﹣∞，4）∪（k+，+∞）；（2）由（1）知：当k≥0时，A中整数的个数为无限个；当k＜0时，原不等式化为[x﹣（k+）]（x﹣4）＜0，解得k+＜x＜4，∴A=（k+，4）；此时A中整数的个数为有限个，因为k+≤﹣2，当且仅当k=，即k=﹣（k=舍去）时取等号；又﹣2=﹣＞﹣5，∴k+≤﹣5，即k2+5k+6≤0，解得﹣3≤k≤﹣2，∴A中整数的个数最少时，k的取值范围是[﹣3，﹣2]．21．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若＞，那么称点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，同时点（c，d）是点（a，b）的“下位点”．（1）试写出点（3，5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；（2）已知点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，判断是否一定存在点P满足是点（c，d）的“上位点”，又是点（a，b）的“下位点”，若存在，写出一个点P坐标，并证明；若不存在，则说明理由；（3）设正整数n满足以下条件，对集合m∈{t|0＜t＜2017，t∈Z}，总存在k∈N*，使得点（n，k）既是点（100，m）的“下位点”，又是点（101，m+1）的“上位点”，求正整数n的最小值．【解答】解：（1）∵对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若＞，那么称点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，同时点（c，d）是点（a，b）的“下位点”．∴点（3，5）的一个“上位点”坐标是（3，4），一个“下位点”坐标是（3，6）．（2）∵点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，∴一定存在点P（a+c，b+d）满足是点（c，d）的“上位点”，又是点（a，b）的“下位点”．证明如下：∵点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，∴＞，即ad＞bc，∴﹣==＞0，即＞，即点P（a+c，b+d）是点（c，d）的“上位点”，﹣==＜0，即＞，即点P（a+c，b+d）是点（a，b）的“下位点”．综上可得：点P（a+c，b+d）满足是点（c，d）的“上位点”，又是点（a，b）的“下位点”．（3）若正整数n满足条件，则，在m∈{t|0＜t＜2017，t∈Z}时恒成立，由（2）中结论可得：k=2m+1，n=201时，满足条件，若n≤200，则不成立，故n的最小值为201，。
建平中学2016-2017学年高二下学期期中数学试卷 含解析
2016-2017学年上海市建平中学高二（下）期中数学试卷一。
填空题1．设复数z=3+4i(i是虚数单位），则•z=．2．已知复数为纯虚数(i是虚数单位），则实数a= ．3．已知点A、B到平面α的距离分别是4、6，则线段AB的中点M 到平面的距离α是．4．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于．5．二面角α﹣l﹣β为60°,异面直线a、b分别垂直于α、β，则a与b所成角的大小是．6．已知A是△BCD所在平面外一点，E、F分别是BC和AD的中点，若BD⊥AC，BD=AC,则EF与BD所成角的大小是．7．双曲线3y2﹣x2=1的两条渐近线的夹角是．8．已知椭圆C：,点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A,B，线段MN的中点在C上，则｜AN｜+|BN｜= ．9．已知复数z满足|z+2﹣i|=1,则｜2z﹣1｜的取值范围是．10．设实系数一元二次ax2+bx+c=0的两根是x1、x2，下列命题中，假命题的序号是（1）方程可能有两个相等的虚根(2）ax2+bx+c=(x﹣x1）（x﹣x2）（3）（4）若b2﹣4ac＜0，则x1﹣x2一定是纯虚数．11．定长是3的线段AB的两端点在抛物线y2=x上移动,M是线段AB的中点，则M到y轴距离的最小值是．12．斜率是1的直线与椭圆交于A、B两点，P为线段AB上的点，且AP=2PB，则点P的轨迹方程是．二.选择题13．下列几何体中，多面体是（）A．B．C．D．14．一条直线和该直线外不共线的三点最多可以确定平面的个数为（）A．1个B．3个 C．4个 D．6个15．下列命题中,假命题的个数是（）(1)若直线a在平面α上,直线b不在平面α上，则a、b是异面直线（2）若a、b是异面直线，则与a、b都垂直的直线有且只有一条（3)若a、b是异面直线，则与c、d与直线a、b都相交，则c、d 也是异面直线(4)设a、b是两条直线，若a∥平面α，a∥b，则b∥平面αA．1个B．2个 C．3个 D．4个16．已知圆F的方程是x2+y2﹣2y=0,抛物线的顶点在原点，焦点是圆心F,过F引倾斜角为α的直线l，l与抛物线和圆依次交于A、B、C、D四点（在直线l上，这四个点从左至右依次为A、B、C、D），若|AB｜，|BC|，|CD｜成等差数列，则α的值为( )A．±arctan B ．C．arctan D．arctan或π﹣arctan三.简答题17．实数x取什么值时，复数z=（x2﹣2x﹣3）+（x2+3x+2）i(i为虚数单位）；(1）是实数？（2）对应的点位于复平面的第二象限?18．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=2，AB=4；(1）求证：AD1⊥平面A1B1D；（2）求BD与平面ACC1A1所成角的大小．19．某乳业公司生产甲、乙两种产品，需要A、B、C三种苜蓿草饲料，生产1个单位甲种产品和生产1个单位乙种产品所需三种苜蓿草饲料的吨数如表所示:产品苜蓿草A B C饲料甲483乙5510现有A种饲料200吨,B种饲料360吨，C种饲料300吨,在此基础上生产甲乙两种产品，已知生产1个单位甲产品，产生的利润为2万元，生产1个单位乙产品，产生的利润为3万元，分别用x、y表示生产甲、乙两种产品的数量；（1）用x、y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问分别生产甲乙两种产品多少时，能够产出最大的利润?并求出此最大利润．20．已知下列两个命题：命题p：实系数一元二次方程x2+mx+2=0有虚根；命题q：关于x的方程：2x2﹣4（m﹣1）x+m2+7=0（m∈R)的两个虚根的模的和不大于,若p、q均为真命题，求实数m的取值范围．21．已知椭圆左、右焦点分别为F1、F2，点p为直线l：x+y=2上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D,O为坐标原点；（1）求△ABF2的周长；（2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：；（3）问直线l是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率k OA、k OB、k OC、k OD满足k OA+k OB+k OC+k OD=0?若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在,说明理由．2016—2017学年上海市建平中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．设复数z=3+4i（i是虚数单位），则•z=25 ．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：•z=（3+4i）•（3﹣4i）=32+42=25．故答案为：25．2．已知复数为纯虚数（i是虚数单位)，则实数a= 4 ．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解:复数==+i为纯虚数，∴=0，≠0，解得a=4．故答案为：4．3．已知点A、B到平面α的距离分别是4、6，则线段AB的中点M 到平面的距离α是5或1 ．【考点】MK:点、线、面间的距离计算．【分析】由于A，B的位置可在同侧与异侧，故需要讨论．考虑两种情况：当A、B两点有平面α的同侧时,当A、B两点有平面α的异侧时,分别利用平面几何的知识求得M到平面α的距离即可．【解答】解：考虑两种情况:当A、B两点有平面α的同侧时，如图,分别过A、B、M作α的垂线，可得直角梯形，则AB中点M到平面α的距离为5；当A、B两点有平面α的异侧时，如图，分别过A、B、M作α的垂线,则，∴,则点M到平面α的距离为1．综上，点M到平面α的距离为5或1．故答案为：5或1．4．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于．【考点】LT：直线与平面平行的性质．【分析】根据已知EF∥平面AB1C和线面平行的性质定理，证明EF∥AC，又点E为AD的中点，点F在CD上，以及三角形中位线定理可知点F是CD的中点，从而求得线段EF的长度．【解答】解：∵EF∥平面AB1C，EF⊆平面AC，平面AB1C∩平面AC=AC，∴EF∥AC,又点E为AD的中点，点F在CD上，∴点F是CD的中点，∴EF=．故答案为．5．二面角α﹣l﹣β为60°，异面直线a、b分别垂直于α、β，则a 与b所成角的大小是60°．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】根据二面角的定义，及线面垂直的性质，我们可得若两条直线a，b分别垂直于两个平面，则两条直线的夹角与二面角相等或互补,由于已知的二面角α﹣l﹣β的平面角为60°，故异面直线所成角与二面角相等，即可得到答案．【解答】解：根据二面角的定义则线面垂直的性质，∵二面角α﹣l﹣β的平面角为60°，有两条异面直线a，b分别垂直于平面，设异面直线a，b的夹角为θ则θ=60°．故答案为：60°．6．已知A是△BCD所在平面外一点，E、F分别是BC和AD的中点,若BD⊥AC，BD=AC，则EF与BD所成角的大小是45°．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】取CD的中点G，利用三角形中位线的性质找出异面直线成的角∠FEG，把此角放在一个三角形中,解此三角形，求出此角的大小．【解答】解：取CD的中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的锐角或直角即为异面直线EF与BD 所成的角．在Rt△EGF中，求得∠FEG=45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°．7．双曲线3y2﹣x2=1的两条渐近线的夹角是．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程计算可得其渐近线方程，由渐近线方程得到渐近线的倾斜角，即可得到结论【解答】解:根据题意，双曲线的方程为:3y2﹣x2=1，其渐近线方程为y=±x，直线y=x的倾斜角为，直线y=﹣x的倾斜角为，则直线y=x与y=﹣x的夹角为，故答案为：．8．已知椭圆C:，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN｜= 20 ．【考点】K4:椭圆的简单性质．【分析】由题意作出图象，设线段MN的中点为D，连结DF1，DF2，用椭圆的定义解答即可．【解答】解:如图，设线段MN的中点为D，连结DF1,DF2，则DF1，DF2,分别是△AMN，△BMN的中位线，则|AN｜+｜BN｜=2｜DF1｜+2|DF2|=2（｜DF1｜+|DF2｜）=2×2a=4×5=20．故答案为:209．已知复数z满足|z+2﹣i|=1，则|2z﹣1｜的取值范围是．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】复数z满足｜z+2﹣i｜=1，表示以C（﹣2，1）为圆心,1为半径的圆．可得｜2z﹣1|=2|z﹣｜表示圆上的点到P的距离的2倍．圆心C到点P的距离d．即可得出．【解答】解:复数z满足｜z+2﹣i｜=1，表示以C(﹣2，1)为圆心，1为半径的圆．则｜2z﹣1|=2|z﹣｜表示圆上的点到P的距离的2倍．圆心C到点P的距离d==．∴|2z﹣1｜的取值最值分别为：2=±2．∴取值范围是：．故答案为：．10．设实系数一元二次ax2+bx+c=0的两根是x1、x2，下列命题中，假命题的序号是（1）（2）（1）方程可能有两个相等的虚根（2)ax2+bx+c=(x﹣x1）（x﹣x2）（3)（4）若b2﹣4ac＜0,则x1﹣x2一定是纯虚数．【考点】A7:复数代数形式的混合运算．【分析】（1）实系数一元二次ax2+bx+c=0的两根是x1、x2，方程可能有两个共轭虚根，即可判断出真假．(2）由ax2+bx+c=a(x﹣x1）（x﹣x2），即可判断出真假．(3)x1+x2=﹣，x1x2=,可得+=（x1+x2）•x1x2，即可得出．(4）由b2﹣4ac＜0,则x1﹣x2一定是纯虚数．即可得出．【解答】解:(1）实系数一元二次ax2+bx+c=0的两根是x1、x2，方程可能有两个共轭虚根，因此是假命题．（2)由于ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2），因此（2)是假命题．（3)∵x1+x2=﹣，x1x2=，∴+=（x1+x2）•x1x2=﹣•=，是真命题．（4）若b2﹣4ac＜0，则x1﹣x2一定是纯虚数．因此是真命题．综上可得：假命题的序号是（1）（2）．故答案为:（1）（2）．11．定长是3的线段AB的两端点在抛物线y2=x上移动，M是线段AB的中点，则M到y轴距离的最小值是．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】先设出A，B的坐标，根据抛物线方程可求得其准线方程，进而可表示出M到y轴距离，根据抛物线的定义，以及利用两边之和大于第三边且A,B，F三点共线时取等号判断出﹣≥﹣=﹣=,进而求得其最小值．【解答】解:设A(x1，y1) B(x2，y2），焦点为F（，0）抛物线准线x=﹣所求的距离为S=｜|=﹣=﹣，[两边之和大于第三边且A,B，F三点共线时取等号]∴﹣≥﹣=﹣=，故答案为：．12．斜率是1的直线与椭圆交于A、B两点，P为线段AB上的点,且AP=2PB,则点P的轨迹方程是148x2+13y2+64xy﹣20=0（在椭圆内）．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设直线l的方程，代入椭圆方程，由x1，x2是方的两个根，分别求得x1，x2,由AP=2PB，求得x′=,代入即可即可求得P 的轨迹方程．【解答】解：设动点为P（x′，y′）,则过y=x+(y′﹣x′），整理得:5x2+2（y′﹣x′)x+(y′﹣x′)2﹣4=0，（※）若直线l椭圆交于A(x1,y1），B(x2,y2）,x1＜x2，则x1，x2是方程（※）的两个根,且x1=,①x2=,②由AP=2PB,x1＜x2，则x′=，代入整理得：4x′+y′=,丨y′﹣x′丨＜，两边同时平方：148x′2+13y′2+64x′y′﹣20=0，∴点P的轨迹方程148x2+13y2+64xy﹣20=0(在椭圆内）．故答案为:148x2+13y2+64xy﹣20=0（在椭圆内)．二。
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b a 90 ） 2 ________ .（答案： 2 a b 49
2016 2
ab2 b2 1 （2016·曹二）若 a 2a 1 0 ， b 2b 1 0 ，且 1 ab 0 ，求 a
（答案：1）
13 ） 3
（2015 上中） 已知 x 、 且x yz 5， （答案： y、 z 为实数， xy yz zx 3 则 z 的取值范围为__________. 1 z
【教辅同类题型原题对比】 《市北初级中学资优生培养教材》八年级（非练习册）P27 练习 19.6 第 2 题原题为： 已知 3m 2m 5 0,5n 2n 3 0 ，期中 m、n 是实数，求 m 【原题难度】★★☆ 【原题一流初中常见性】★★★★☆ 【自招重要性】★★★★★ 【点评】作为中考不作要求，许多“普通”初中不讲，高中一般也不讲却常用的最重要知识点之一，“韦达定 理”是自招最重要考点，没有“之一”。 【补充延伸】原题和补充类比真题里 1、2、3 题几乎是一模一样，然而此处我想延伸一下 2015 上中的解法， 此题考察根的判别式。思路如下：由式消去 x 代入得， 5 - z - y y yz z 5 - z - y 3 ,整 理得 y z 5y z 5 z 3 0 ， 要是关于 y 的方程存在解， 则 z 5 4 z 5 z 3 0
【课本链接】八年级上第十七章一元二次方程。拓展Ⅱ课本第一章第一小节。各初中学到八年级上本章节时， 韦达定理的讲与不讲，练与不练甚至考察的难度通常能看出学校对学生数学学科上的拓展要求。 【解法分析】结合条件及所求来分析，显然 y 0 ，可将含 y 的方程两边同时除以 y 得到
2
99 2019 1 0 . y y2 1 2019 、 y 99
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - ， - ， - ， ……，根据 1 4 3 4 4 7 3 4 7 7 10 3 7 10
（ n 为正整数）；（答案：
观察计算：
1 1 1 1 3n 2 3n 1 1 4 4 7 7 10
因 此 x、 是 方 程 99 t 2019t 1 0 的 根 ，又 xy 1 ， 则 为不 同 根 。 由韦 达 定 理可 得 ： x
1 y
2
x
1 1 xy 10 x 1 1 10 x 2019 10 2009 ，则 。 x y 99 y y y 99 99 99
个实数 x ，可以使得 120
（2014 上中）有
x 为整数。 （答案：11）
【教辅同类题型原题对比】《奥数精讲与测试》八年级 P33，二次根式及其运算练习部分 B 卷第 6 题原题为：
2 3 10 14 15 21
【原题难度】★★★
____________（答案：
7 5 ） 2
14 26 21 39 14 26 21 39
7 13 7
13
2 3 2
3
2 3 2
5 2 3
6
【自招真题类比】（2013 上中）计算：
1 1 1 _________。 1 2 2 3 2012 2013
1 1
（答案：2）
1 5 1 2 1 2 （2014 复附）方程 x x 1 的解为________.（答案： ） x x 2
（2016 七宝）方程： 3x 4 x 5x 6 x 的解有__________ 个
x y x y x y （2011 华二）关于 x 、 y 的方程组 有______组解. y x 1
【教辅同类题型原题对比】《辅导与训练》七年级第一学期 P78（17 年下半年此书将全套改版，此页码依据此 之前版本），拓展训练最后一题原题为： x 2 【原题难度】★★ 【原题一流初中常见性】★★★☆ 【自招重要性】★★★☆ 【点评】解方程作为数学的重要模块，一定是自招的重点，本题结合的幂为 1 的运算常考不过难度不大，但自 招出现的其他方程及方程组问题通常难度不小。 【补充延伸】自招题的方程和方程组中除了解法分析中总结还需要注意的要点有：“数形结合思想”、“轮换 对称式”、“因式分解及乘法公式的拓展（尤其立方和立方差）”、“幂的单调性”
n ） 3n 1
【教辅同类题型原题对比】《奥数精讲与测试》七年级 P58，整式的运算练习部分 B 卷第 2 题原题为：将十进 制下的四位数 abcd 写成按 10 的降幂排列的形式为 【原题难度】★★ 【原题一流初中常见性】★★☆ 【自招重要性】★★★ 【点评】此题不涉及初中知识点，放在四五年级奥数考察亦可。主要看学生的积累和应变能力。 【补充延伸】定义新运算本质就是考察学生“具体→到抽象→再回到具体”的能力。自招中此类题型较为常见， 但考察的知识点各有不同，较为常见的是“进制换算”和“高斯函数”。尤其高斯函数、高斯方程也是自招考 常见重点。 （答案： a 10 b 10 c 10 d ）
2 2 2 2 2 2
1 8 。（答案：0 或 ） n 3
解之得： 1 z
13 . 3
3 尹 充
4. 计算：
14 26 21 39 14 26 21 39
______________
【考点梳理】因式分解、分母有理化。 【课本链接】此类题型常会在七年级下第十二章--实数、八年级上第十六章--二次根式进行拓展。“普通”初 中平时讲解与测试大多不会涉及。据参与了十年中考命题的某老师说，后期初中课改中可能会将“二次根式” 章节删除，与实数合并为一个章节，淡化在根式运算中字母的相关运算。自招中的根式也以数的运算为主。 【解法分析】首先观察分子分母第一、三项可以提出 7 ，第二、四项可以提出 13 ，则
4 尹 充
5. 建平中学社团活动丰富多彩，有 JTV 社（金苹果电视台）、04 辩论社、智能机器人社、健美操社……，在一次 社团文化节上，中国象棋社开展了社员 PK 活动，每个选手和其他选手比赛一局，每局赢者得 2 分，输者得 0 分，平各记 1 分，现有四位同学统计了比赛中全部选手得分总数，总分分别是 1054、1056、1060、1066.经核 实，上述四位同学只有一位同学统计正确，则这次比赛中有____________名选手参加比赛。 【考点梳理】估算，一元二次方程的整数解、素因数分解。 【课本链接】此类题型初中会有两次机会遇到，一次是六上第一章数的整除，一次是初二上第十七章学习一元 二次方程的应用。但实际上此类题型适合的年龄段非常广，四五年级奥数可以从奇偶性、相邻两自然数相乘的 个位数、素因数分解等去考察，初中可以作为常规题型从素因数分解和一元二次方程的整数解来考察。但实际 上，本题在不同考试中也极为常见，如早年的全国数学联赛、08 年“国际数学邀请赛”新加坡初赛，公务员考 试等。 【解法分析】解法一：设有 n 名选手，则有 为
x 1
1 ，求整数 x 的值。（答案：x=3 或 1）
2 尹 充
3. 设实数 x, y 分别满足 99 x 2019 x 1 0; y 2019 y 99 0 ，并且 xy 1 ，则 【考点梳理】一元二次方程、根与系数的关系（以下简称“韦达定理”）。
2
2
xy 10 x 1 ___________ y
15 进制 10 进制
0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
A
B
C
D
E
10 11 12 13 14
例如，用十五进制表示：5+9=E，3+D=11，E+D=1C，则 A C _______________ 【考点梳理】定义新运算，一般辅导书里“2 进制”较为常见，此处考“15 进制”是考察学生“举一反三、现 学现用”的能力。 【课本链接】暂无。但“定义新运算”是小学奥数的重要专题。 【解法分析】 “10 进制” 里 9+1=10， “2 进制” 里， 1+1=10， “15 进制” 里 14+1=10.10 12=120,120 15 10=80. 【自招真题类比】（2012 进才）电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表所示：
【原题一流初中常见性】★★★★ 【自招重要性】★★★☆ 【点评】根式的内容几乎是自招卷必考的，拓展考点及题型也较多。常考的有：（1）重根式化简；（2）分母 有理化；（3）与绝对值及平方结合的非负性。14 年交附考察证明 2 不是有理数算是较为创新冷门的考法，但 出过一次后近年应该不会再出。 【补充延伸】重根式的化简一定要掌握，要点是待定系数法。
【自招真题类比】 （2016 复旦附中） 已知实数 m， （其中 m· n n≠1） 分别满足 19 ＋99m＋1 0，n ＋99n＋19 0，
2 2
则
mn＋4m＋1 __________ . （答案： 5 ） n
2 2
（2014 复附）已知 a 7 3a, b 7 3b, 且a b, 则
2017 建平中学自招数学真题剖析
代数部分：1-7 题 几何部分 8-12 题 解答题 13-14 题
1. 进制是人们规定的一种进位方法。计算机中常用十六进制是逢 16 进 1 的计数制，而十五进制是 15 为基数进位 的计数制，该数制很少使用，但在度量衡中，我国的旧面积单位却与国际公制面积单位存在着十五进制关系， 现采用数字 0～9 和字母 A～E 共 15 个计数符号，这些符号与十进制的数对应关系如下表：
n n
为偶数）；（3） a 1a 0
0
【自招真题类比】（2013 进才） n 2n 1 （答案：8） （2015 复附） x 3