画法几何题库之换面法
画法几何换面法、综合问题大理
回
称之为满足该条件的轨迹），多个条件则形成多个轨迹，这些轨迹的 退
交集即为所求，再弄清该集合是什么形状，在投影图上如何实现。
出
解题中的常见轨迹 综合性问题解法举例（一） 距离和角度的度量
综合性问题解法举例（二）
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(4)把一般位置平面变为投影面平行面
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§6-5 综合性问题解法举例
工程实际抽象出来的几何问题，如距离、角度的度量；点、线、
面的定位等，并不是单纯的平行、相交、垂直问题，而多是较复杂的
综合问题，其突出特点是要受若干条件的限制，求解时往往要同时满 上
足Hale Waihona Puke 个条件。一节解决此类问题的方法通常是：分析、确定解题方案及投影图上实
画法几何换面法、综合问题大理
§6-2 换面法
一、换面法的基本概念 二、点的投影变换规律
1、点的一次变换
点在V1/H 体系中的投影 点在V/H1体系中的投影
上一
2、点的两次变换
节
3、四个基本问题
下一
(1)把一般位置直线变为投影面平行线
节
(2)把一般位置直线变为投影面垂直线
返
(3)把一般位置平面变为投影面垂直面
现。分析时，首先根据给出已知条件和求解要求，想出已知空间几何 模型，然后进行空间思维，想象出最终结果的空间几何模型，最后确
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定从已知几何模型到最终结果几何模型的空间解题步骤。 返
如果最终结果的几何模型难以直接确定，则常采用“轨迹法”， 即逐个满足限制条件，找出满足每一个条件的无数解答的集合（通常
4换面法
a'
x
O x1
四、换面法的应用——举例
[例题2] 已知C与直线AB的投影，求点C到AB直线间的距离。
a1
a' k1 b1 k' c' H X V b' a k c b'2 a'2 k'2 c'2 c1
距离
b
空间分析
四、换面法的应用——举例
[例题3] 求交叉两直线AB和CD间的最短距离EF ，如图所示。
2．投影面保持不动，使空间几何要素绕某一轴线旋转到 平行或垂直于投影面的特殊位置，然后找出其旋转后的新投 影。这种方法称为——旋转法。
这里仅讲换面法
二、点的换面规律
V c' C b1' A X1 bB c a' b' X
c1 ' V1 a1'
a H
V/H 体系变为V1/H 体系
新投影面必须满足下列两条原则：
b a
H
a
作图特点：
① 新的投影轴必须平行于直线的一个投影，且可求出直线的实长和倾角 ②求直线对某投影面的倾角，新投影轴必须平行于该投影面直线的投影
三、换面法的基本作图
将一般位置直线变换成投影面平行线，并求出角？ a'
b' V X H a b
a1
b1
三、换面法的基本作图
2、将平行线变换成垂直线 V a H1 a1 b1 V X H b
3、将一般位置平面变换成垂直面
V
a
b d c A b a d C c B D b1 d1 c1 H1 a b
a1
X
c b d
V X H a
H
c
第7讲换面法
第七讲
一、问题的提出
投影变换
★ 如何求一般位置直线的实长？ ★ 如何求一般位置平面的真实大小？ 解决方法：更换投影面。 换 面 法： 物体本身在空间的位置不动，而用某 一新投影面（辅助投影面）代替原有投影 面，使物体相对新的投影面处于解题所需 要的有利位置，然后将物体向新投影面进 行投射。
换面法的四个基本问题：
1. 把一般位置直线变成投影面平行线 变换一次投影面 2. 把一般位置直线变成投影面垂直线 变换两次投影面 3. 把一般位置平面变成投影面垂直面 变换一次投影面 需先在面内作一条投影面平行线
4. 把一般位置平面变成投影面平行面 变换两次投影面
四、解题时一般要注意下面几个问题： ⒈ 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中 物体与原投影面的相对位置，并把这些条件 抽象成几何元素（点、线、面等）。 ⒉ 根据要求得到的结果，确定出有关几何元 素对新投影面应处于什么样的特殊位置（垂 直或平行），据此选择正确的解题思路与方 法。 ⒊ 在具体作图过程中，要注意新投影与原投影 在变换前后的关系， 既要在新投影体系中正 确无误地求得结果，又能将结果返回到原投 影体系中去。
V X
ax
.
a1'
H
ax1
P1 H X1
ax
X
ax1 a
H X1
a
a1ax1 = aax 一般规律： 点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直 于新投影轴。 点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影 到原投影轴的距离。
换面法
解题步骤： 1.将两已知平行 直线构成的平面 经两次变换，变 变换，变成投影 面平行面 2.求作EF 的实长
实长
例: 平行四边形ABCD 给定一平面，试求点S 至该平面的距离 空间分析：
. 距离
解题步骤：
1.将平面ABCD 变换为新投 影面的垂直面 2.点S 随之变换 3.过S 作ABCD 的垂线,s1’k1’ 即为所求
解题步骤：
1.将直线EF 变换 为新投影面的 平行线 2.点A 随之变换 3.过a1’作e1’f1’的 垂线,得k1’ 4.将k1’a1’返回原 体系
例：试求某炼油厂的球罐A到输油管BC的最短净距离（5-9）
a2
b’
b’ c’
L
c2 (b2)
a’
X
b a
V O H
a’ c’ a1’ b a
b1 ’
保留投影面
保留投影
.
v1
新投影
作图步骤： 1)画X1 轴； 2)过a’ 作X1 轴的垂线； 3)在垂线上截取 新投影面
a1aX1 = aaX 。
2）点在V/H1体系中的投影 （用Ｈ1面代替Ｈ面，求点的新投影）
H1ห้องสมุดไป่ตู้
保留投影 新投影
旧投影
新投影面的设立原则：
１．新投影面必须设立在使空间元素处在有利于解题的位置 ． ２．新投影面必须垂直于原有投影面体系中的一个投影面．
∥
∥
∧
二、例题
例：求图中所示下料漏斗两相邻斗壁的夹角θ（例5-8）
(a’) f’ (d’)
(b’) (c’) e’
a b e f d
d1 a1 f1 c1 e1 b1 d’2 (c’2 ) θ a’2
画法几何及工程制图习题答案
e1’
5
b1’
11-2 直线DE与三角形ABC平行，距离为15。求作DE的投影。
b’ e’
a’
c’
b
m’
e‘ d‘
a
e
15
e
m
d
c
11-3 过点S作平面既垂直于平面CDE，又垂直于直线AB。并求ab.
s1
b1
b’ c’
a1
11 1’
a’
s’
b 1s
a
c
a‘1
b’1
s’1
c1’d1’
H e1’ V1 X1
e’
a1b1
m’
g’ b’
11
n’
c1
a’
d’ f’ f
1’
c’
1 a
b
n
m g
c
a1’ 11’
d2e2 11’
11-10 作直线MN与DE、FG相交，与三角形ABC垂直。
e’
1’ g’ b’
k’
a’
2’ f’
d’
c’
f
a
b
1
d
k
2
g
c
11-11 正方形ABCD与H面的夹角α=30，AD边在AE上，B点到MN等距。
c’
a’ d’
d a
c
a2
d2 60
b’
c2
b2
a1’ b1’
d1
b
c1’
11-6求两平面的夹角。
a’
d’ c’
b’ c
a c1
c2
a1b1
a1
θ
d2
d
b b1 d1
11-7过A作直线与AB、CD均相交
画法几何题库之换面法
画法几何题库之换面法1.换面法求点D 到AB 直线的距离。
2.已知△ABC与△ABD的夹角为90°,其交线为AB,求△ABD的水平投影。
3.∠ABC＝30°,求AB的正面投影。
4.已知等边△ABC的一边BC在直线MN上，高AD=30mm,求作△ABC的两面投影。
(△ABC的a角等于60°)5 过点A作一正方形ABCD,其边BC在直线MN上，求作正方形的两面投影。
6求交叉二直线AB和CD的公垂线及实长。
7.求△ABC绕AB轴转90°后的新投影,并分析有几解？8直线AB 上一点C距点A为30mm，过点C作直线AB的垂线，且与直线EF相交，求作该直线的两面投影。
9.已知等边三角形ABC的C点在V面内，求作此三角形的两面投影，问有几个答案？若ab按箭头方向平移，移至何处时，只有一个答案，再移动时，情况如何？10在ABC内作直线DE，使它平行于BC边，且相距15mm。
11已知平面四边形ABCD的点A在V面内，距H面为25mm，试完成平面四边形的投影，若点A到H面的距离不限，则点A应在什么地方？12求与二直线AB，AC等距的点的轨迹。
13求直线AB与平面的交点K,并判断可见性。
(1)(2)14已知BD为菱形的一对角线，顶点A在直线EF上，求菱形ABCD的投影。
15作一次换面，使交叉两直线AB及CD的投影面上的投影相互平行。
16求直线AB与△CDE的夹角17在直线AB上找一点K，使它与△ MNC及△MND等距。
18求直线AB与月BC的夹角19 202122.2324 2526（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
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画法几何试题
二、点、直线和平面
2-1 根据点的空间位置，画出点的投影图。
班级
姓名
学号
u 1
2-2 根据点的投影图，画出点的空间位置。
班级
姓名
学号
2-3 根据点到投影面的距离，画出点的三面投影。
点 到H面为 到V面为 到W面为
2
2-4 根据点的坐标，画出点的投影图和空间位置。 (1) A(30、20、15），B（20、25、0），C（10、0、0）
d
4-12 用换面法作一等边三角形ABC，使其与V面的倾角为30度。
c' a' X2
X
10
a
10
b' c1
b a1( b 1 )
c
28
4-13 用换面法求两面夹角的实际大小。
b'
a' X
a
c' d'
c
b d
4-14 已知点A到平面BCD的距离为15，用换面法求a。
b' X
b
d' a' c'
d ac
5-15 补全三棱锥截切后的水平投影和侧面投影。
5-16 补全三棱锥穿孔后的水平投影和侧面投影。
36
5-17 求作直线AB与三棱柱的贯穿点，并求其侧面投影。
5-18 求作直线AB与三棱锥的贯穿点，并求其侧面投影。
5-19 求作直线AB、CD与三棱柱的表面交点。
5-20 求直线AB与该平面体的表面交点，并求其侧面投影。
b 26
X
4-9 用换面法求平面四边形ABCD的实形。 a'
d'
b' X
c'
c
d
画法几何 投影变换法换面
四、解题时一般要注意下面几个问题：
⒈ 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物体 与原投影面的相对位置，并把这些条件抽象成几 何元素（点、线、面等）。
⒉ 根据要求得到的结果，确定出有关几何元素对新 投影面应处于什么样的特殊位置（垂直或平行）， 据此选择正确的解题思路与方法。
⒊ 在具体作图过程中，要注意新投影与原投影在变 换前后的关系， 既要在新投影体系中正确无误地 求得结果，又能将结果返回到原投影体系中去。
垂直面。
思考：
X
若变换H面，需在面
内取什么位置直线？
正平线！
d b
A
a
c
D B
d b H
P1 C c1
a1 d1
c
b1
X1
例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。
b
a
d
作 图 过 程：
★ 在平面内取一条水平
c
XV H
线AD。
a
b
★ 将AD变换成新投影
d.
面的垂直线。
c
H
●α
●
●
反映平面对哪
X1 P1 c1 a1 d1 b1 个投影面的夹角？
15 b2
a2 e2
e1
d2
c2
e d
ed
小结
本章主要介绍了投影变换的一种常用方法 ——换面法。
一、 换面法就是改变投影面的位置，使它与所给物 体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。
二、 换面法的关键是要注意新投影面的选择条件， 即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系， 同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规 律继续有效。
换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面 来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利 解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。
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画法几何题库之换面法
1.换面法求点D 到AB 直线的距离。
2.已知△ABC与△
ABD的夹角为90°,其交线
为AB,求△ABD的水平投影。
3.∠ABC＝30°,求AB的正面投影。
4.已知等边△ABC的一边BC在直线MN上，
高AD=30mm,
求作△ABC的两面投影。
(△ABC的a角
等于60°)
5 过点A作一正方形ABCD,其边BC在直线MN
上，求作正方形的两面投影。
6求交叉二直线AB和CD的公垂线及实长。
7.求△ABC绕AB轴转90°后的新投影,并分
析有几解
8直线AB
上一点C距点A为30mm，过点C作直
线AB的垂线，且与直线EF相交，求作该直线的两
面投影。
9.已知等边三角形ABC的C点在V面内，求
作此三角形的两面投影，问有几个答案若ab按箭头
方向平移，移至何处时，只有一个答案，再移动
时，情况如何
10在ABC内作直线DE，使它平行于BC边，且
相距15mm。
11已知平面四边形ABCD的点A在V面内，距H
面为25mm，试完成平面四边形的投影，若点A到H
面的距离不限，则点A应在什么地方
12求与二直线AB，AC等距的点的轨迹。
13求直线AB与平面的交点K,并判断可见性。
(1)
(2)
14已知BD为菱形的一对角线，顶点A在直线EF上，求菱形ABCD的投影。
15作一次换面，使交叉两直线AB及CD的投影面上的投影相互平行。
16求直线AB与△CDE的夹角
17在直线AB上找一点K，使它与△ MNC及△MND等距。
18求直线AB与月BC的夹角
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