2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心素养测评 六十八
2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心素养测评+二十 任意角和弧度制及任意角的三角函数
核心素养测评二十任意角和弧度制及任意角的三角函数(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.若sin α<0且tan α<0,则α是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】选D.由sin α<0,得α的终边在第三或第四象限或在y轴非正半轴上;由tan α<0,得α在第二或第四象限,所以α是第四象限角.2.sin 2cos 3tan 4的值( )A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在【解析】选A.因为sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0,所以sin 2cos 3tan 4<0.3.若角α=45°+k·180°,k∈Z,则角α的终边落在( )A.第一或第三象限B.第一或第二象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限【解析】选A.当k为偶数时,令k=2n,α=45°+n·360°,此时α为第一象限角,排除C,D;当k为奇数时,令k=2n+1,α=225°+n·360°,此时α是第三象限角,排除B;所以角α的终边落在第一或第三象限.4.已知扇形的半径为12 cm,弧长为18 cm,则扇形圆心角的弧度数是( )A. B. C. D.【解析】选B.l=|α|r,所以|α|===.5.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是( )A.(-2,3]B.(-2,3)C.[-2,3)D.[-2,3]【解析】选A.由cos α≤0,sin α>0可知,角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上,所以解得-2<a≤3.6.已知点P落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为( ) A. B.C. D.【解析】选D.点P,即P,点P落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),所以θ=.7.(2019·石家庄模拟)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°,cos150°),则α=( )A.150°B.135°C.300°D.60°【解析】选C.由sin 150°=>0,cos 150°=-<0,可知角α终边上一点的坐标为,所以该点在第四象限,由三角函数的定义得sin α=-,因为0°≤α<360°,所以角α为300°.二、填空题(每小题5分,共15分)8.将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数是________. 【解析】一个周角是2π,因此分针10分钟转过的角的弧度数为×2π=.答案:9.(2020·扬州模拟)在平面直角坐标系xOy中,60°角终边上一点P 的坐标为(1,m),则实数m的值为________.【解析】因为60°角终边上一点P的坐标为(1,m),所以tan 60°=, 因为tan 60°=,所以m=.答案:10.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为________.【解析】设圆半径为r,则其内接正三角形的边长为r,所以r=αr,所以α=.答案:(15分钟35分)1.(5分)已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为( ) A.2 B.4 C.6 D.8【解析】选C.设扇形的半径为r(r>0),弧长为l,则由扇形面积公式可得2=lr=|α|r2=×4×r2,解得r=1,l=|α|r=4,所以所求扇形的周长为2r+l=6.2.(5分)(2019·南昌模拟)已知角α终边上一点P的坐标是(2sin 2,-2cos 2),则sin α等于( )A.sin 2B.-sin 2C.cos 2D.-cos 2【解析】选D.因为r==2,由任意角的三角函数的定义,sin α==-cos 2.3.(5分)函数y=的定义域为________.【解析】因为2sin x-1≥0,所以sin x≥.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示). 所以x∈(k∈Z).答案:(k∈Z)4.(10分)已知角α的顶点在坐标原点,始边为x轴的非负半轴,终边上有一点P(3a,4a),其中a≠0,求sin α,cosα,tanα.【解析】设r=|OP|==5|a|.①当a>0时,r=5a,所以sin α==,cos α==,tan α==;②当a<0时,r=-5a,所以sin α=-,cos α=-,tan α=.综上,sin α=,cos α=,tan α=,或sin α=-,cos α=-,tan α=.5.(10分)已知角α终边经过点P(x,-)(x≠0),且cos α=x.求sin α+的值.【解析】因为P(x,-)(x≠0),所以点P到原点的距离r=.又cos α=x,所以cos α==x.因为x≠0,所以x=±,r=2.当x=时,P点坐标为(,-),由三角函数的定义,sin α=-,=-,所以sin α+=--=-;当x=-时,同理可得sin α+=.【变式备选】在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点是坐标原点,始边为x轴的非负半轴,终边与单位圆O交于点A(x1,y1),α∈.将角α终边绕原点按逆时针方向旋转,交单位圆于点B(x2,y2).(1)若x1=,求x2.(2)过A,B作x轴的垂线,垂足分别为C,D,记△AOC及△BOD的面积分别为S1,S2,且S1=S2,求tan α的值.【解析】(1)因为x1=,y1>0,所以y1==,sin α=,cos α=,所以x2=cos=cos αcos-sin αsin=-.(2)S1=sin αcos α=sin 2α.因为α∈,所以α+∈,S2=-sin cos=-sin=-cos 2α.因为S1=S2,所以sin 2α=-cos 2α,即tan 2α=-,所以=-,解得tan α=2或tan α=-.因为α∈,所以tan α=2.关闭Word文档返回原板块。
2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心考点·精准研析+10.5 曲线与方程
核心考点·精准研析考点一直接法求轨迹方程【典例】已知△ABC的三个顶点分别为A(-1,0),B(2,3),C(1,2),定点P(1,1).(1)求△ABC外接圆的标准方程;(2)若过定点P的直线与△ABC的外接圆交于E,F两点,求弦EF中点的轨迹方程.【解析】(1)由题意得AC的中点坐标为(0,),AB的中点坐标为,k AC=,k AB=1,故AC中垂线的斜率为-,AB中垂线的斜率为-1,则AC的中垂线的方程为y-=-x,AB的中垂线的方程为y-=-.由得所以△ABC的外接圆圆心为(2,0),半径r=2+1=3,故△ABC外接圆的标准方程为(x-2)2+y2=9.(2)设弦EF的中点为M(x,y),△ABC外接圆的圆心为N,则N(2,0),由MN⊥MP,得·=0,所以(x-2,y)·(x-1,y-1)=0,整理得x2+y2-3x-y+2=0,故弦EF中点的轨迹方程为+=.直接法求轨迹方程的思路直接法求轨迹方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这六个步骤,但最后的证明可以省略,如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步,求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.(1)已知点F(0,1),直线l:y=-1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且·=·,则动点P的轨迹C的方程为( )A.x2=4yB.y2=3xC.x2=2yD.y2=4x(2)在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于-.则动点P的轨迹方程为________.【解析】(1)选A.设点P(x,y),则Q(x,-1).因为·=·,所以(0,y+1)·(-x,2)=(x,y-1)·(x,-2),即2(y+1)=x2-2(y-1),整理得x2=4y,所以动点P的轨迹C的方程为x2=4y.(2)因为点B与点A(-1,1)关于原点O对称,所以点B的坐标为(1,-1).设点P的坐标为(x,y),由题意得·=-,化简得x2+3y2=4(x≠±1).故动点P的轨迹方程为x2+3y2=4(x≠±1).答案:x2+3y2=4(x≠±1)考点二定义法求轨迹方程【典例】1.已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,求动圆圆心M的轨迹方程.2.如图,已知△ABC的两顶点坐标A(-1,0),B(1,0),圆E是△ABC的内切圆,在边AC,BC,AB上的切点分别为P,Q,R,|CP|=1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等),动点C的轨迹为曲线M,求曲线M的方程.【解析】1.如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B,则有|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|.又|MA|=|MB|,所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2,即动点M到两定点C2,C1的距离的差是常数2,且2<|C1C2|=6,|MC2|>|MC1|,故动圆圆心M的轨迹为以定点C2,C1为焦点的双曲线的左支,则2a=2,所以a=1.又c=3,则b2=c2-a2=8.设动圆圆心M的坐标为(x,y),则动圆圆心M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).2.由题知|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=2|CP|+|AB|=4>|AB|,所以曲线M是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点). 设曲线M:+=1(a>b>0,y≠0),则a2=4,b2=a2-=3,所以曲线M的方程为+=1(y≠0).1.定义法的适用范围若动点运动的规律满足某种曲线的定义,则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.此法一般用于求圆锥曲线的方程.2.注意2个易误点(1)因对圆锥曲线定义中的某些特定条件理解不透或忽视某些限制条件而失误.在利用定义法求轨迹方程时一定要正确应用圆锥曲线的定义.(如典例1中,动点M的轨迹是双曲线的一支,故应限制条件x≤-1) (2)不会迁移应用已知条件,而找不到解题思路,而无法解题.(如典例2中,若不能正确转化|CA|+|CB|,则很难求出曲线M的轨迹方程)△ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是________.【解析】如图,令内切圆与三边的切点分别为D,E,F,可知|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=|AE|-|BE|=8-2=6<|AB|=10.根据双曲线定义,所求轨迹是以A,B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,其方程为-=1(x>3).答案:-=1(x>3)考点三相关点法求轨迹方程【典例】如图,已知P是椭圆+y2=1上一点,PM⊥x轴于M.若=λ.(1)求点N的轨迹方程.(2)当点N的轨迹为圆时,求λ的值.【解析】(1)设点P,点N的坐标分别为P(x1,y1),N(x,y),则M的坐标为(x1,0),且x=x1,所以=(x-x1,y-y1)=(0,y-y1),=(x1-x,-y)=(0,-y),由=λ得(0,y-y1)=λ(0,-y).所以y-y1=-λy,即y1=(1+λ)y.因为P(x1,y1)在椭圆+y2=1上,则+=1,所以+(1+λ)2y2=1,故+(1+λ)2y2=1为所求的点N的轨迹方程.(2)要使点N的轨迹为圆,则(1+λ)2=,解得λ=-或λ=-.故当λ=-或λ=-时,N点的轨迹是圆.相关点法求曲线方程的四个步骤:(2020·济南模拟)已知Q为圆x2+y2=1上一动点,Q在x轴,y轴上的射影分别为点A,B,动点P满足=,记动点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程.(2)过点的直线与曲线C交于M,N两点,判断以MN为直径的圆是否过定点?若是,求出定点的坐标;若不是,请说明理由.【解析】(1)设Q(x0,y0),P(x,y),则+=1,由=得代入+=1,得+y2=1,故曲线C的方程为:+y2=1.(2)假设存在满足条件的定点,由对称性可知,该定点在y轴上,设定点为H(0,m),当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx-,由,得(1+4k2)x2-kx-=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-,所以y1+y2=k(x1+x2)-=-,y1y2==k2x1x2-k(x1+x2)+=,因为=(x1,y1-m),=(x2,y2-m),所以·=x1x2+y1y2-m(y1+y2)+m2==0,对任意的k恒成立,所以解得m=1,即定点为H(0,1),当直线l的斜率不存在时,以MN为直径的圆也过定点(0,1), 综上,以MN为直径的圆过定点(0,1).【变式备选】1.已知方程ax2-ay2=b,且ab<0,则它表示的曲线是( )A.焦点在x轴上的双曲线B.焦点在y轴上的双曲线C.圆D.椭圆【解析】选B.当ab<0时,方程ax2-ay2=b化简得y2-x2=-,方程表示双曲线.焦点坐标在y轴上.2.已知曲线:①y2=x;②x2+y2=1;③y=x3;④x2-y2=1.上述四条曲线中,满足“若曲线与直线y=kx+b有且仅有一个公共点,则它们必相切”的曲线的序号是( ) A.① B.② C.③ D.④【解析】选B.①当直线y=kx+b和抛物线y2=x的对称轴平行时,曲线与直线有且仅有一个公共点,但此时直线不是切线,故①错误,②当直线y=kx+b和圆x2+y2=1只有一个公共点时,直线与圆相切,故②正确,③当直线y=kx+b和x轴平行时,直线和y=x3只有一个交点,但此时直线和曲线不相切,故③错误,④当直线y=kx+b和双曲线x2-y2=1的渐近线平行时,直线和双曲线有一个交点,但此时直线y=kx+b和双曲线不相切,故④错误,故正确的只有②.3.如图,△PAB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β互相垂直,且AD⊥α,BC⊥α,|AD|=4,|BC|=8,|AB|=6,若tan∠ADP+2tan∠BCP=10,则点P在平面α内的轨迹是 ( )A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分【解析】选B.由题意知+2×=10,则|PA|+|PB|=40>|AB|=6,又因为P,A,B三点不共线,故点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆的一部分.4.已知直线y=mx+3m和曲线y=有两个不同的交点,则实数m的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选A.因为直线y=mx+3m=m(x+3)经过定点P(-3,0),m为斜率;曲线y=是以原点为圆心,半径r=2的圆的上半圆,所以同一坐标系内作出它们的图象,如图,当直线与半圆切于A点时,它们有唯一公共点,此时,直线的倾斜角α满足sin α=,所以cos α==,可得直线的斜率m=tan α==,当直线y=mx+3m的倾斜角由此位置变小时,两图象有两个不同的交点,直到直线斜率m变成0为止,由此可得当0≤m<时,直线y=mx+3m和曲线y=有两个不同的交点.关闭Word文档返回原板块。
2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习：核心素养测评 七十八
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核心素养测评七十八参数方程(20分钟40分)1.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=m.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程.(2)若曲线C1与曲线C2有公共点,求实数m的取值范围.【解析】(1)由曲线C1的参数方程为(α为参数),可得其直角坐标方程为y=x2(-2≤x≤2),由曲线C2的极坐标方程为ρsin=m,可得其直角坐标方程为x-y+m=0.(2)联立曲线C1与曲线C2的方程,可得x2-x-m=0,所以m=x2-x=-,因为-2≤x≤2,曲线C1与曲线C2有公共点,所以-≤m≤6.2.(10分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(θ为参数,θ∈[0,2π)),曲线C2的参数方程为(t为参数).(1)求曲线C1,C2的普通方程.(2)求曲线C1上一点P到曲线C2的距离的最大值.【解析】(1)由题意知,曲线C1的普通方程为x2+=1,曲线C2的普通方程为x+y+2=0.(2)设点P的坐标为(cos α,3sin α),则点P到直线C2的距离d==,所以当sin=1,即α=时,d max=2,即点P到曲线C2的距离的最大值为2.3.(10分)已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t为参数).(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程.(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且|AB|=,求直线l的倾斜角α的值. 【解析】(1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ.因为x2+y2=ρ2,x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-4x=0,即(x-2)2+y2=4.(2)将代入曲线C的方程得(tcos α-1)2+(tsin α)2=4,化简得t2-2tcos α-3=0.设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则所以|AB|=|t1-t2|===,所以4cos2α=2,cos α=±,α=或.4.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程.(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.【解析】(1)C1的普通方程为+y2=1,C2的直角坐标方程为x+y-4=0.(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cos α,sin α).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,d(α)==.当且仅当α=2kπ+(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.关闭Word文档返回原板块。
2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心素养测评+七十四+二项分布、正态分布及其应用
核心素养测评七十四二项分布、正态分布及其应用(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.袋中有红、黄、绿色球各一个,每次任取一个,有放回地抽取三次,球的颜色全相同的概率是( )A. B. C. D.【解析】选B.三次均为红球的概率为××=,三次均为黄、绿球的概率也为,所以抽取3次颜色相同的概率为++=.2.袋中有大小完全相同的2个白球和3个黄球,逐个不放回地摸出两球,设“第一次摸得白球”为事件A,“摸得的两球同色”为事件B,则P(B)= ( )A. B. C. D.【解析】选C.因为P==,P==,所以P===.3.已知ABCD为正方形,其内切圆I与各边分别切于E,F,G,H,连接EF,FG,GH,HE.现向正方形ABCD内随机抛掷一粒豆子,记事件A:豆子落在圆I内,事件B:豆子落在四边形EFGH外,则P(B|A)= ( )A.1-B.C.1-D.【解析】选C.设正方形ABCD的边长为2,则内切圆的半径为1,正方形EFGH的边长为,所以P==,P=,所以P===1-.4.在如图所示的电路图中,开关a,b,c闭合与断开的概率都是,且是相互独立的,则灯亮的概率是( )A. B. C. D.【解析】选B.设开关a,b,c闭合的事件分别为A,B,C,则灯亮这一事件E=(ABC)∪(AB)∪(A C),且A,B,C相互独立,ABC,AB,A C互斥, 所以P(E)=P(ABC)+P(AB)+P(A C)=P(A)P(B)P(C)+P(A)·P(B)P()+P(A)·P()P(C)=××+××1-+×1-×=.5. 甲射击命中目标的概率是,乙命中目标的概率是,丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标,则目标被击中的概率为( ) A. B. C. D.【解析】选A.设甲命中目标为事件A,乙命中目标为事件B,丙命中目标为事件C,则击中目标表示事件A,B,C中至少有一个发生.又P(··)= P()·P()·P()=[1-P(A)]·[1-P(B)]·[1-P(C)]=1-×1-×1-=.所以击中的概率P=1-P(··)=.6.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次,事件“至少有一次正面向上”的概率为p p≥,则n的最小值为( )A.4B.5C.6D.7【解析】选A.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次,事件“至少有一次正面向上”的概率为p p≥,所以p=1-n≥,所以n≤.所以n的最小值为4.7.已知随机变量X服从二项分布X～B6,,则P(X=2)等于( )A. B. C. D.【解析】选D.因为随机变量X服从二项分布X～B6,,所以P(X=2)=21-4=.二、填空题(每小题5分,共15分)8.甲、乙两人各进行一次射击,假设两人击中目标的概率分别是0.6和0.7,且射击结果相互独立,则甲、乙至多一人击中目标的概率为________.【解析】设甲击中目标记为事件A,乙击中目标记为事件B,则P(A∩)= 0.6×0.3=0.18,P(∩B)=0.4×0.7=0.28,P(∩)=0.4×0.3=0.12,所以甲、乙至多一人击中目标的概率为0.18+0.28+0.12=0.58.答案:0.589.将一枚均匀的硬币抛掷6次,则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________.【解析】正面出现的次数比反面出现的次数多,则正面可以出现4次、5次或6次,所求概率P=6+6+6=.答案:10.甲乙两人进行围棋比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为p p>,且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为.则p的值为__________,设ξ表示比赛停止时已比赛的局数,则随机变量ξ的分布列为__________.【解析】依题意,当甲连胜2局或乙连胜2局时,第二局比赛结束时比赛停止.所以有p2+(1-p)2=.解得p=或p=.因为p>,所以p=.依题意知,ξ的所有可能值为2,4,6.设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为.若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P(ξ=2)=,P(ξ=4)=1-=,P(ξ=6)=1-1-·1=.所以随机变量ξ的分布列为:ξ 2 4 6P答案:ξ 2 4 6P(15分钟35分)1.(5分)质检部门对某工厂甲车间生产的8个零件质量进行检测,零件质量(单位:克)分布的茎叶图如图所示.零件质量不超过20克的为合格.质检部门从中随机抽取4件进行检测,若至少2件合格,检测即可通过,若至少3 件合格,检测即为良好,则甲车间在这次检测通过的条件下,获得检测良好的概率为 ( )A. B. C. D.【解析】选A.设事件A表示“2件合格,2件不合格”;事件B表示“3件合格,1件不合格”;事件C表示“4件全合格”,事件D表示“检测通过”,事件E表示“检测良好”,则P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=++=.所以P(E|D)====.2.(5分)一个盒子里装有大小、形状、质地相同的12个球,其中黄球5个,蓝球4个,绿球3个.现从盒子中随机取出两个球,记事件A为“取出的两个球颜色不同”,事件B为“取出一个黄球,一个绿球”,则P(B|A)= ( )A. B. C. D.【解析】选D. 因为P==,P==,所以P===.【变式备选】袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率是,现在甲、乙两人从袋中轮流摸出1球,甲先取,乙后取,取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止,每个球每一次被取到的机会是等可能的,那么甲取到白球的概率是( ) A. B. C. D.【解析】选 D.设白球有n个,=,n=3,所以P(甲取到白球)=+××+×××=.3.(5分)某射手射击1次,击中目标的概率是0.9.他连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论:①他第3次击中目标的概率是0.9;②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1;③他至少击中目标1次的概率是1-0.14.其中正确结论的序号是________.【解析】因为射击一次击中目标的概率是0.9,所以第3次击中目标的概率是0.9,所以①正确,因为连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响,所以本题是一个独立重复试验,根据独立重复试验的公式得到恰好击中目标3次的概率是×0.93×0.1,所以②不正确,因为至少击中目标1次的概率用对立事件表示是1-0.14.所以③正确. 答案:①③4.(10分)一个通讯小组有两套设备,只要其中有一套设备能正常工作,就能进行通讯.每套设备由3个部件组成,只要其中有一个部件出故障,这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为p,计算在这一时间段内.(1)恰有一套设备能正常工作的概率;(2)能进行通讯的概率.【解析】记“第一套通讯设备能正常工作”为事件A,“第二套通讯设备能正常工作”为事件B.由题意知P(A)=p3,P(B)=p3,P()=1-p3,P()=1-p3.(1)恰有一套设备能正常工作的概率为P(A·+·B)=P(A·)+P(·B) =p3(1-p3)+(1-p3)p3=2p3-2p6.(2)两套设备都不能正常工作的概率为P( ·)=P()·P()=(1-p3)2.至少有一套设备能正常工作的概率,即能进行通讯的概率为1-P(·)=1-P()·P()=1-(1-p3)2=2p3-p6. 【变式备选】甲乙丙丁四个人做传球练习,球首先由甲传出,每个人得到球后都等概率地传给其余三个人之一,设P n表示经过n次传递后球回到甲手中的概率,求:(1)P2的值;(2)P n(用n表示)的值.【解析】(1)经过一次传球后,落在乙丙丁手中的概率分別为,而落在甲手中概率为0,因此P1= 0,两次传球后球落在甲手中的概率为P2= ×+×+×=.(2)要想经过n次传球后球落在甲的手中,那么在n-1次传球后球一定不在甲手中,所以P n=(1-P n-1), n= 2, 3, 4, …,因此P3=(1-P2)=×=,P4=(1-P3)=×=,P5=(1-P4)=×=,P6=(1-P5)=×=,因为P n=(1-P n-1) ,所以P n-=-P n-1- ,P n-=P1-·,所以P n=-·.5.(10分)(2020·太原模拟)十九大以来,某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求,带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈奋力拼搏,新农村建设取得巨大进步,农民年收入也逐年增加.为了更好地制定2020年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划,该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图:(1)根据频率分布直方图,估计50位农民的年平均收入(单位:千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示).(2)由频率分布直方图,可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为年平均收入,σ2近似为样本方差s2,经计算得s2=6.92.利用该正态分布,求:(i)在2020年脱贫攻坚工作中,若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准,则最低年收入大约为多少千元?(ii)为了调研“精准扶贫,不落一人”的政策要求落实情况,扶贫办随机走访了1 000位农民.若每位农民的年收入相互独立,问:这1 000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少?附:参考数据与公式≈2.63,X～N(μ,σ2)则①P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6827;②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 5;③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 3.【解析】(1)=12×0.04+14×0.12+16×0.28+18×0.36+20×0.10+22×0.06+24×0.04=17.40(千元).(2)由题意,X～N(17.40,6.92).(i)因为P(X>μ-σ)=+≈0.841 4,所以μ-σ=17.40-2.63=14.77时,满足题意,即最低年收入大约为14.77千元.(ii)由P(X≥12.14)=P(X≥μ-2σ)=0.5+≈0.977 3,得每位农民的年收入不少于12.14千元的事件概率为0.977 3,记1 000位农民的年收入不少于12.14千元的人数为ξ,则ξ～B(103,p),其中p=0.977 3,于是恰好有k位农民的年收入不少于12.14千元的事件概率是P(ξ=k)=p k(1-p,从而由=>1,得k<1 001p,而1 001p=978.277 3,所以,当0≤k≤978时,P(ξ=k-1)<P(ξ=k) ,当979≤k≤1 000时, P(ξ=k-1)>P(ξ=k),由此可知,在所走访的1 000位农民中,年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978.关闭Word文档返回原板块。
2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心素养测评+六十九 分类加法计数原理与分步乘法计数原理】
核心素养测评六十九分类加法计数原理与分步乘法计数原理(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.如图,从A到O的不同的走法(不重复过一点)有______种( )A.1B.2C.4D.5【解析】选D.分3类:第一类,直接由A到O,有1种走法;第二类,中间过一个点,有A→B→O和A→C→O,有2种不同的走法;第三类,中间过两个点,有A→B→C→O和A→C→B→O,有2种不同的走法.由分类加法计数原理可得共有1+2+2=5(种)不同的走法.2.将3张不同的演唱会门票分给10名同学中的3人,每人1张,则不同分法的种数是 ( )A.2 160B.720C.240D.120【解题指南】按顺序分步骤确定每张门票的分法种数,根据分步乘法计数原理得到结果.【解析】选B.分步来完成此事.第1张有10种分法,第2张有9种分法,第3张有8种分法,共有10×9×8=720(种)分法.3.教学大楼共有五层,每层均有两个楼梯,由一层到五层的走法有( )A.10种B.25种C.52种D.24种【解析】选D.每相邻的两层之间各有2种走法,共分4步.由分步乘法计数原理可知,共有24种不同的走法.4.甲、乙、丙3位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有( )A.36种B.48种C.96种D.192种【解析】选C.设4门课程分别为1,2,3,4,甲选修2门,可有1,2;1,3;1,4;2,3; 2,4;3,4共6种情况,同理乙,丙均可有1,2,3;1,2,4;2,3,4;1,3,4共4种情况,所以不同的选修方案共有6×4×4=96(种).5.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是 ( )A.65B.56C.30D.11【解析】选B.每一位同学有5种不同的选择,则6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是56.6.《九章算术》中记载有“阳马,鳖臑(biēnào)”,阳马是底面为矩形,有一条侧棱与底面垂直的四棱锥,鳖臑是四个面都是直角三角形的四面体.若以正方体的顶点为阳马的顶点,可以得到m个阳马,以正方体的顶点为鳖臑的顶点,可以得到n个鳖臑,则( )A.m=12,n=24B.m=36,n=24C.m=12,n=72D.m=36,n=72【解析】选D.因为以正方体的一个顶点为四棱锥的顶点所得的阳马有3个,而正方体有12个顶点,所以阳马的个数m=36,因为每个阳马可以拆分为2个鳖臑,所以鳖臑的个数n=72.7.某校为了庆祝新中国成立70周年举办文艺汇演,原节目单上有9个节目已经排好顺序,又有3个新节目需要加进去,不改变原来的顺序,则新节目单的排法有______种 ( )A.12B.27C.729D.1 320【解题指南】可以考虑3个新节目逐一加入原来的节目单中去. 【解析】选D.第一步:9个节目空出10个位置,可以加入1个新来的节目,所以加入一个新节目有10种方法,第二步:从排好的10个节目空出的11个位置中,加入第2个新节目,有11种方法,第三步:从排好的11个节目空出的12个位置中,加入第3个新节目,有12种方法,所以由分步乘法计数原理得加入3个新节目后的节目单的排法有10×11×12=1 320(种).二、填空题(每小题5分,共15分)8.小明计划在2019年的暑假从他居住的昆明到北京去游学,他可以坐动车,也可以乘高铁,还可以乘飞机,已知动车每日5班,高铁每日10班,飞机每日2班,则小明在某一天从昆明到北京有________种出行方式.【解析】出行方式分3类,动车有5种方式,高铁有10种方式,飞机有2种方式,这三类的每一种方式都可以达到出行目的,所以由分类加法计数原理得共有5+10+2=17种出行方式.答案:179.甲组有4名男同学、2名女同学;乙组有5名男同学、2名女同学,若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有______种.【解析】分两类:第一类,甲组1男1女,乙组2男0女,再分两个步骤,第一步甲组选1男1女,有4×2=8(种)方法,第二步乙组选2男0女,把5个男同学编号1,2,3,4,5,从中选2人,有12,13,14,15,23,24,25,34,35,45,有10种方法,所以第一类共有8×10=80种方法,第二类,甲组2男0女,乙组1男1女,再分两个步骤,第一步甲组选2男0女,把4个男同学编号1,2,3,4,从中选2人,有12,13,14,23,24,34,共6种方法,第二步乙组选1男1女,有5×2=10(种)方法,所以第二类共有6×10=60种方法,所以选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有80+60=140(种).答案:14010.已知集合M={1,2,3,4},集合A,B为集合M的非空子集,若对∀x∈A,y∈B,x<y恒成立,则称(A,B)为集合M的一个“子集对”,则集合M 的“子集对”共有________个.【解析】当A={1}时,B有23-1种情况;当A={2}时,B有22-1种情况;当A={3}时,B有1种情况;当A={1,2}时,B有22-1种情况;当A={1,3},{2,3},{1,2,3}时,B均有1种情况.所以满足题意的“子集对”共有7+3+1+3+3=17(个).答案:17(15分钟35分)1.(5分)甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )A.6种B.12种C.30种D.36种【解析】选C.考虑问题的反面:甲、乙所选的课程2门都相同,把4门课程编号为1,2,3,4,从中选2门,有12,13,14,23,24,34共6种方法,所以甲、乙的选法都有6种,所以甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6×6-6=30(种).2.(5分)一生产过程有4道工序,每道工序需要安排一人照看.现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看这4道工序,第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人,第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人,则不同的安排方案共有( ) A.24种 B.36种C.48种D.72种【解析】选B.按照甲的情形分类:第一类:甲照看第一道工序,则丙照看第四道工序,余下4人选择2人照看第二、第三道工序,有4×3=12(种)方案,第二类:甲照看第四道工序,则乙照看第一道工序,余下4人选择2人照看第二、第三道工序,有4×3=12(种)方案,第三类:甲不照看第一道工序,也不照看第四道工序,则乙照看第一道工序,丙照看第四道工序,余下4人选择2人照看第二、第三道工序,有4×3=12种方案,所以由分类加法计数原理得不同的安排方案共有12+12+12=36(种).【一题多解】选B.按照4道工序的安排分为两个步骤,第一步安排第一道工序和第四道工序,(1)甲照看第一道工序,丙照看第四道工序,(2)甲照看第四道工序,乙照看第一道工序,(3)乙照看第一道工序,丙照看第四道工序,所以符合条件的方案有3种,第二步安排余下的两道工序,有4×3=12(种)方案,由分步乘法计数原理得不同的安排方案有3×12=36(种).3.(5分)如图所示,用4种不同的颜色涂入图中的矩形A,B,C,D中,要求相邻的矩形涂色不同,则不同的涂法有 ( )A.256种B.128种C.72种D.64种【解析】选C.按要求涂色至少需要3种颜色,故分两类:一是4种颜色都用,这时A有4种涂法,B有3种涂法,C有2种涂法,D有1种涂法,共有4×3×2×1=24(种)涂法;二是用3种颜色,这时A,B,C的涂法有4×3×2=24(种),D只要不与C同色即可,故D有2种涂法,所以不同的涂法共有24+24×2=72(种).4.(10分)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中任意选取3个不同的数字,(1)求这3个数字组成等差数列的个数;(2)求以这3个数字为边长组成的三角形的个数.【解析】(1)按照公差的大小分类:公差为1的数列,有8个(0,1,2;1,2,3;2,3,4;…;7,8,9),公差为2的数列,有6个(0,2,4;1,3,5;2,4,6;…;5,7,9),公差为3的数列,有4个(0,3,6;1,4,7;2,5,8;3,6,9),公差为4的数列,有2个(0,4,8;1,5,9),所以公差为正数的等差数列有8+6+4+2=20(个).由对称性可知公差为负数的等差数列也有20个,所以这3个数字组成等差数列的个数为40.(2)按照边长最大的边分类:最长边为9,有7,8,9;6,8,9;5,8,9;4,8,9;3,8,9;2,8,9;6,7,9;5,7,9;4,7,9;3,7,9;5,6,9;4,6,9,共12个;最长边为8,有6,7,8;5,7,8;4,7,8;3,7,8;2,7,8;5,6,8;4,6,8;3,6,8;4,5,8,共9个;最长边为7,有5,6,7;4,6,7;3,6,7;2,6,7;4,5,7;3,5,7,共6个;最长边为6,有4,5,6,共1个.所以能组成三角形的个数为12+9+6+1=28.5.(10分)现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画.(1)从中任选一幅画布置房间,有几种不同的选法?(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间,有几种不同的选法?(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间,有几种不同的选法? 【解析】(1)分为三类:从国画中选,有5种不同的选法;从油画中选,有2种不同的选法;从水彩画中选,有7种不同的选法.根据分类加法计数原理共有5+2+7=14(种)不同的选法.(2)分为三步:国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法,根据分步乘法计数原理,共有5×2×7=70(种)不同的选法.(3)分为三类:第一类是一幅选自国画,一幅选自油画,由分步乘法计数原理知,有5×2=10(种)不同的选法.第二类是一幅选自国画,一幅选自水彩画,有5×7=35(种)不同的选法. 第三类是一幅选自油画,一幅选自水彩画,有2×7=14(种)不同的选法, 所以有10+35+14=59(种)不同的选法.【拓广探索练】1.(2020·聊城模拟)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”),则首数为2的“六合数”共有( ) A.18 B.15 C.12 D.9【解析】选B.若由3个2,一个0组成六合数,符合题意的有3个;若由2个2,2个1组成六合数,有3个;若由1个2,1个0,1个3,1个1,符合条件的六合数有6个;若由1个2,1个4,2个0组成六合数,共有3个.依分类加法计数原理可知:共有3+3+6+3=15个.2.在平面直角坐标系内,点P(a,b)的坐标满足a≠b,且a,b都是集合{1,2,3,4,5,6}中的元素.又点P到原点的距离|OP|≥5,则这样的点P 的个数为______.【解析】依题意可知:当a=1时,b=5,6,两种情况;当a=2时,b=5,6,两种情况;当a=3时,b=4,5,6,三种情况;当a=4时,b=3,5,6,三种情况;当a=5或6时,b各有五种情况.所以,共有2+2+3+3+5+5=20种情况.答案:20关闭Word文档返回原板块。
2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习：核心素养测评 六
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核心素养测评六函数的奇偶性、对称性与周期性(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列函数中,与函数y=-3|x|的奇偶性相同,且在(-∞,0)上单调性也相同的是( ) A.y=- B.y=log2|x|C.y=1-x2D.y=x3-1【解析】选C.函数y=-3|x|为偶函数,在(-∞,0)上为增函数,选项B的函数是偶函数,但其单调性不符合,只有选项C符合要求.【变式备选】下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)上单调递增的函数是 ( )A.y=B.y=|x|+1C.y=-x2+1D.y=2-|x|【解析】选B.因为y=是奇函数,y=|x|+1,y=-x2+1,y=2-|x|均为偶函数,所以A错误;又因为y=-x2+1,y=2-|x|=在(0,+∞)上均为减函数,只有y=|x|+1在(0,+∞)上为增函数,所以C,D错误.2.已知函数f(x)=的图象关于原点对称,g(x)=ln (e x+1)-bx是偶函数,则log a b= ( )A.1B.-1C.-D.【解析】选B.由题意得f(0)=0,所以a=2.因为g(1)=g(-1),所以ln (e+1)-b=ln +b,所以b=,所以log2=-1.3.x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x-[x]在R上为( )A.奇函数B.偶函数C.增函数D.周期函数【解析】选D.函数f(x)=x-[x]在R上的图象如图:所以f(x)在R上是周期为1的函数.【变式备选】设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是 ( )A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数【解析】选C.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,故f(x)·g(x)为奇函数,|f(x)|g(x)为偶函数,f(x)|g(x)|为奇函数,|f(x)g(x)|为偶函数.4.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)【解析】选C.因为f(x)是奇函数,所以当x<0时,f(x)=-x2+2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示,结合图象可知,f(x)是R上的增函数,由f(2-a2)>f(a),得2-a2>a,解得-2<a<1.5.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且在[0,2)上单调递减,则下列结论正确的是( )A.0<f(1)<f(3)B.f(3)<0<f(1)C.f(1)<0<f(3)D.f(3)<f(1)<0【解析】选C.由函数f(x)是定义在R上的奇函数,得f(0)=0,由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故函数f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(3)=f(-1),又f(x)在 [0,2)上单调递减,所以函数f(x)在(-2,2)上单调递减,所以f(-1)>f(0)>f(1),即f(1)<0<f(3),故选C.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f=ln(-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=________.【解析】令g(x)=ln(-x),则g(-x)=ln(+x)=ln(+x)=ln=-ln(-x)=-g(x),所以g(x)是奇函数,由已知,f(x)=g(x)+1,f(a)=g(a)+1=4,g(a)=3,所以f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=-2.答案:-2【变式备选】函数f(x)在R上为奇函数,且x>0时,f(x)=x2-x,则当x<0时,f(x)=________. 【解析】函数f(x)在R上为奇函数,f(-x)=-f(x);且x>0时,f(x)=x2-x,则当x<0时,f(x)=-f(-x)=-(x2+x)=-x2-x.答案:-x2-x7.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是________.【解析】因为f(2)=0,f(x-1)>0,所以f(x-1)>f(2),又因为f(x)是偶函数,所以f(|x-1|)>f(2),又f(x)在[0,+∞)上单调递减,所以|x-1|<2,所以-2<x-1<2,所以-1<x<3,所以x∈(-1,3).答案:(-1,3)8.定义:函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值之差为函数f(x)的极差.若定义在区间[-2b,3b-1]上的函数f(x)=x3-ax2-(b+2)x是奇函数,则a+b=________,函数f(x)的极差为________.【解析】由f(x)在[-2b,3b-1]上为奇函数,所以区间关于原点对称,故-2b+3b-1=0,解得b=1,又由f(-x)+f(x)=0可求得a=0,所以a+b=1.又f(x)=x3-3x, f'(x)=3x2-3,易知f(x)在(-2,-1),(1,2)上单调递增,f(x)在(-1,1)上单调递减,所以在[-2,2]上的最大值、最小值分别为f(-1)=f(2)=2,f(1)=f(-2)=-2,所以极差为4.答案:1 4三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=是奇函数.(1)求实数m的值.(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.【解析】(1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x).于是x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2.(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,结合f(x)的图象知所以1<a≤3,故实数a的取值范围是(1,3].10.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意实数x都有f=-f成立.(1)证明y=f(x)是周期函数,并指出其周期.(2)若f(1)=2,求f(2)+f(3)的值.(3)若g(x)=x2+ax+3,且y=|f(x)|·g(x)是偶函数,求实数a的值.【解析】(1)由f=-f,且f(-x)=-f(x),知f(3+x)=f=-f=-f(-x)=f(x),所以y=f(x)是周期函数,且T=3是其一个周期.(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,且f(-1)=-f(1)=-2,又T=3是y=f(x)的一个周期,所以f(2)+f(3)=f(-1)+f(0)=-2+0=-2.(3)因为y=|f(x)|·g(x)是偶函数,且|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,所以|f(x)|为偶函数.故g(x)=x2+ax+3为偶函数,即g(-x)=g(x)恒成立,于是(-x)2+a(-x)+3=x2+ax+3恒成立.于是2ax=0恒成立,所以a=0.(15分钟35分)1.(5分)(2020·佛山模拟)若函数f(x)=(a∈R)为偶函数,则下列结论正确的是 ( )A.f(a)>f(2a)>f(0)B.f(a)>f(0)>f(2a)C.f(2a)>f(a)>f(0)D.f(2a)>f(0)>f(a)【解析】选C.因为函数f(x)=(a∈R)为偶函数,所以f(-1)=f(1),解得a=1.又因为函数在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以f(2a)>f(a)>f(0).【变式备选】设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( )A.f(x)+|g(x)|是偶函数B.f(x)-|g(x)|是奇函数C.|f(x)|+g(x)是偶函数D.|f(x)|-g(x)是奇函数【解析】选A.由g(x)是奇函数,可得g(-x)=-g(x),所以|g(x)|=|g(-x)|,即|g(x)|为偶函数,又f(x)为偶函数,所以f(x)+|g(x)|为偶函数.2.(5分)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是( )A.奇函数,且在(0,1)内是增函数B.奇函数,且在(0,1)内是减函数C.偶函数,且在(0,1)内是增函数D.偶函数,且在(0,1)内是减函数【解析】选A.易知f(x)的定义域为(-1,1),且f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),则y=f(x)为奇函数,又y=ln(1+x)与y=-ln(1-x)在(0,1)上是增函数,所以f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)在(0,1)上是增函数.3.(5分)(2020·海口模拟)设函数f(x)=,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是________.【解析】因为f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,且x>0时,f(x)==1-,故f(x)单调递增,又f(0)=0,从而f(x)是R上的增函数,故f(x)>f(2x-1)等价于x>2x-1,解得x<1.答案:(-∞,1)【变式备选】设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)<f(m),则实数m的取值范围是________.【解析】因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x)=f(|x|).所以f(1-m)<f(m)等价于f(|1-m|)<f(|m|).又当x∈[0,2]时,f(x)是减函数,所以解得-1≤m<.答案:4.(10分)已知函数f(x)=2|x-2|+ax(x∈R)有最小值.(1)求实数a的取值范围.(2)设g(x)为定义在R上的奇函数,且当x<0时,g(x)=f(x),求g(x)的解析式. 【解析】(1)f(x)=要使函数f(x)有最小值,需所以-2≤a≤2,故a的取值范围为[-2,2].(2)因为g(x)为定义在R上的奇函数,所以g(0)=0.设x>0,则-x<0.所以g(x)=-g(-x)=(a-2)x-4,所以g(x)=5.(10分)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.(1)求f(π)的值.(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.【解析】(1)由f(x+2)=-f(x)得,f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.(2)由f(x)是奇函数且f(x+2)=-f(x),得f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],即f(1+x)=f(1-x).故知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.又当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示.当-4≤x≤4时,f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则S=4S△OAB=4×=4.【拓广探索练】1.(2020·重庆模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(1-x)=f(1+x),当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),则f(2 019)= ( )A.1B.-1C.0D.log23【解析】选B.因为奇函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x),所以f(x+1)=f(1-x)=-f(x-1),即f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函数f(x)是周期为4的函数,因为当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),所以f(2 019)=f(505×4-1)=f(-1)=-f(1)=-log22=-1.2.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=2x,则有①2是函数f(x)的周期;②函数f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数;③函数f(x)的最大值是1,最小值是0.其中所有正确命题的序号是________.【解析】在f(x+1)=f(x-1)中,令x-1=t,则有f(t+2)=f(t),因此2是函数f(x)的周期,故①正确;当x∈[0,1]时,f(x)=2x是增函数,根据函数的奇偶性知,f(x)在[-1,0]上是减函数,根据函数的周期性知,函数f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数,故②正确;由②知,f(x)在[0,2]上的最大值f(x)max=f(1)=2,f(x)的最小值f(x)min=f(0)=20=1且f(x)是周期为2的周期函数,所以f(x)的最大值是2,最小值是1,故③错误.答案:①②关闭Word文档返回原板块。
2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心素养测评+七+指数与指数函数
核心素养测评七指数与指数函数(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.函数f(x)=的值域是 ( )A.(-2,+∞)B.(-∞,-2)∪(0,+∞)C.(0,+∞)D.(-∞,-2)【解析】选B.令u=2x-1,则u>-1,且u≠0,y=,则y<-2或y>0.2.已知a>b>1,a b=b a,ln a=4ln b,则= ( )A. B. 2 C. D.4【解析】选D.a>b>1,ln a=4ln b⇒ln a=ln b4⇒a=b4,a b=b a⇒b4b=b a⇒4b=a⇒=4.3.(2019·武汉模拟)已知a=0.24,b=0.32,c=0.43,则 ( )A.b<a<cB.a<c<bC.c<a<bD.a<b<c【解析】选B.因为a=0.24=0.001 6,b=0.32=0.09,c=0.43=0.064,所以b>c>a.4.(a2-a+2 021)-x-1<(a2-a+2 021)2x+5的解集为( )A.(-∞,-4)B.(-4,+∞)C.(-∞,-2)D.(-2,+∞)【解析】选D.因为a2-a+2 021>1,所以-x-1<2x+5,所以x>-2.5.(2019·太原模拟)函数f(x)=a x-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( )A.a>1,b<0B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<0【解析】选D.由题干图象知f(x)是减函数,所以0<a<1,又由图象在y轴上的截距小于1可知a-b<1,即-b>0,所以b<0.6.(2020·北京模拟)若e a+πb≥e-b+π-a,则有( )A.a+b≤0B.a-b≥0C.a-b≤0D.a+b≥0【解析】选D.令f(x)=e x-π-x,则f(x)在R上单调递增,又e a+πb≥e-b+π-a,所以e a-π-a≥e-b-πb,即f(a)≥f(-b),所以a≥-b,即a+b≥0.7.定义在[-7,7]上的奇函数f(x),当0<x≤7时,f(x)=2x+x-6,则不等式f(x)>0的解集为 ( )A.(2,7]B.(-2,0)∪(2,7]C.(-2,0)∪(2,+∞)D.[-7,-2)∪(2,7]【解析】选B.当0<x≤7时,f(x)=2x+x-6,所以f(x)在(0,7]上单调递增,因为f(2)=22+2-6=0,所以当0<x≤7时,f(x)>0等价于f(x)>f(2),即2<x≤7,因为f(x)是定义在[-7,7]上的奇函数,所以-7≤x<0时,f(x)在[-7,0)上单调递增,且f(-2)=-f(2)=0,所以f(x)>0等价于f(x)>f(-2),即-2<x<0,所以不等式f(x)>0的解集为(-2,0)∪(2,7].二、填空题(每小题5分,共15分)8.指数函数y=f(x)的图象经过点(m,3),则f(0)+f(-m)=________. 【解析】设f(x)=a x(a>0且a≠1),所以f(0)=a0=1.且f(m)=a m=3.所以f(0)+f(-m)=1+a-m=1+=.答案:9.若f(x)=是R上的奇函数,则实数a的值为________,f(x)的值域为________.【解析】因为函数f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,所以=0,解得a=1,f(x)==1-.因为2x+1>1,所以0<<2,所以-1<1-<1,所以f(x)的值域为(-1,1).答案:1(-1,1)10.给出下列结论:①当a<0时,(a2=a3;②=|a|(n>1,n∈N*,n为偶数);③函数f(x)=(x-2-(3x-7)0的定义域是;④若2x=16,3y=,则x+y=7.其中正确结论的序号有________.【解析】因为a<0时,(a2>0,a3<0,所以①错;②显然正确;解,得x≥2且x≠,所以③正确;因为2x=16,所以x=4,因为3y==3-3,所以y=-3,所以x+y=4+(-3)=1,所以④错.故②③正确.答案:②③(15分钟35分)1.(5分)(2020·太原模拟)已知a=,b=,c=,则下列关系式中正确的是( )A.c<a<bB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c【解析】选B.把b化简为b=,而函数y=在R上为减函数,又>>,所以<<,即b<a<c.2.(5分)已知函数f(x)=|2x-1|,a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是 ( )A.a<0,b<0,c<0B.a<0,b≥0,c>0C.2-a<2cD.2a+2c<2【解析】选D.作出函数f(x)=|2x-1|的图象,如图.因为a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),结合图象知0<f(a)<1,a<0,c>0,b<1, 所以0<2a<1,2-a>1,所以f(a)=|2a-1|=1-2a<1,所以f(c)<1,所以0<c<1,所以1<2c<2,所以f(c)=|2c-1|=2c-1,又因为f(a)>f(c),所以1-2a>2c-1,所以2a+2c<2.【变式备选】(2020·西安模拟)若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是( )A.(-∞,2]B.[2,+∞)C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]【解析】选B.由f(1)=,得a2=,解得a=或a=-(舍去),即f(x)=.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,所以f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.3.(5分)(2020·北京模拟)某种物质在时刻t(min)与浓度M(mg/L)的函数关系为M(t)=ar t+24(a,r为常数).在t=0 min和t=1 min时测得该物质的浓度分别为124 mg/L和64 mg/L,那么在t=4 min时,该物质的浓度为____________mg/L;若该物质的浓度小于24.001 mg/L,则最小的整数的值为________.【解析】根据条件:ar0+24=124,ar+24=64,所以a=100,r=,所以M(t)=100+24;所以M(4)=100+24=26.56;由100+24<24.001得:<(0.1)5;所以lg<lg(0.1)5;所以tlg<-5;所以t[lg2-(1-lg2)]<-5;所以t(2lg 2-1)<-5,代入lg 2≈0.301得:-0.398t<-5;解得t>12.6;所以最小的整数t的值是13.答案:26.56 13【变式备选】已知a-=3(a>0),求a2+a+a-2+a-1的值.【解析】因为a-=3,所以a2+=+2·a·=9+2=11,而=a2++2=13,所以a+=,所以a2+a+a-2+a-1=11+.4.(10分)已知函数y=a+b的图象过原点,且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交.(1)求该函数的解析式,并画出图象.(2)判断该函数的奇偶性和单调性.【解析】(1)因为函数y=a+b的图象过原点,所以0=a+b,即a+b=0,所以b=-a.函数y=a-a=a.又0<≤1,-1<-1≤0.且y=a+b无限接近直线y=2,但又不与该直线相交,所以a<0且0≤a<-a,所以-a=2,函数y=-2+2.用描点法画出函数的图象,如图.(2)显然函数的定义域为R.令y=f(x),则f(-x)=-2+2=-2+2=f(x),所以f(x)为偶函数.当x>0时,y=-2+2=-2+2为单调增函数.当x<0时,y=-2+2=-2+2为单调减函数.所以y=-2+2在(-∞,0)上为减函数,在(0,+∞)上为增函数.5.(10分)已知函数f(x)=.(1)若a=-1,求f(x)的单调区间.(2)若f(x)有最大值3,求a的值.(3)若f(x)的值域是(0,+∞),求a的值.【解析】(1)当a=-1时,f(x)=,令g(x)=-x2-4x+3,由于g(x)在(-∞,-2]上单调递增,在[-2,+∞)上单调递减,而y=在R 上单调递减,所以f(x)在(-∞,-2]上单调递减,在[-2,+∞)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是[-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2]. (2)令g(x)=ax2-4x+3,则f(x)=,由于f(x)有最大值3,所以g(x)应有最小值-1,因此必有解得a=1,即当f(x)有最大值3时,a的值等于1.(3)令g(x)=ax2-4x+3,则f(x)=,由指数函数的性质知要使f(x)=的值域为(0,+∞),应使g(x)=ax2-4x+3的值域为R,因此只能a=0(因为若a≠0,则g(x)为二次函数,其值域不可能为R).故f(x)的值域为(0,+∞)时,a的值为0.关闭Word文档返回原板块。
2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心考点·精准研析+选修4-5+1 绝对值不等式
核心考点·精准研析考点一绝对值不等式的解法1.求不等式|1-2x|<1的解集.2.求不等式|x-5|+|x+3|≥6的解集.3.求不等式x+|2x+3|≥2的解集.【解析】1.因为|1-2x|<1,所以|2x-1|<1,所以-1<2x-1<1,所以0<x<1,所以不等式的解集为{x|0<x<1}.2.因为|x-5|+|x+3|≥|(x-5)-(x+3)|=8>6,所以原不等式的解集为R.3.因为原不等式可化为或解得x≤-5或x≥-.综上,原不等式的解集是.解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义,通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式.(2)当不等式两端均为正号时,可通过两边平方的方法,转化为解不含绝对值符号的普通不等式.(3)利用绝对值的几何意义,数形结合求解.考点二绝对值不等式性质的应用【典例】(2020·重庆模拟)已知函数f(x)=|2x+1|.(1)解不等式f(x)>x+5.(2)若对于任意x,y∈R,有|x-3y-1|<,|2y+1|<,求证f(x)<1.【解题导思】联想解题(1)去绝对值,解不等式(2)利用转化化归思想,用x-3y-1和2y+1表示2x+1【解析】(1)f(x)>x+5⇒|2x+1|>x+5⇒2x+1>x+5或2x+1<-x-5,所以解集为{x|x>4或x<-2}.(2)f(x)=|2x+1|=|2x-6y-2+6y+3|≤2|x-3y-1|+3|2y+1|<+=1.利用不等式|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R)和|a-b|≤|a-c|+|c-b|(a,b∈R),通过确定适当的a,b,利用整体思想或使函数、不等式中不含变量,可以求最值或证明不等式.1.若对于实数x,y有|1-x|≤2,|y+1|≤1,求|2x+3y+1|的最大值.【解析】因为|2x+3y+1|=|2(x-1)+3(y+1)|≤2|x-1|+3|y+1|≤7,所以|2x+3y+1|的最大值为7.2.若a≥2,x∈R,求证:|x-1+a|+|x-a|≥3.【证明】因为|x-1+a|+|x-a|≥|(x-1+a)-(x-a)|=|2a-1|,又a≥2,故|2a-1|≥3,所以|x-1+a|+|x-a|≥3成立.考点三绝对值不等式的综合应用命题精解读考什么:(1)考查解不等式、求参数、图象、恒成立及存在性等问题(2)考查学生的数学运算、逻辑推理、数学抽象等核心素养和数形结合、转化化归、分类讨论等数学【思想方法】怎么考:与函数、方程、图象等结合考查关于绝对值不等式的问题新趋势:以绝对值不等式为载体,与其他知识相结合,考查学生对知识的灵活运用学霸好方法求参数问题的解题思路:(1)参数在绝对值内时,分类讨论,解不等式(2)参数在绝对值外时,结合图象,最值等问题,利用数形结合、分类讨论、恒成立、存在性等方法解决含有参数的绝对值不等式问题【典例】已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集.(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=故不等式f(x)>1的解集为.(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立,等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1,不满足题意;若a>0,则|ax-1|<1的解集为,所以≥1,故0<a≤2.综上,a的取值范围为(0,2].函数图象与绝对值不等式【典例】(2018·全国卷Ⅲ)设函数f=+.(1)画出y=f的图象;(2)当x∈时, f≤ax+b,求a+b的最小值.【解析】(1)f(x)=y=f(x)的图象如图所示.(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a≥3且b≥2时,f(x)≤ax+b在[0,+∞)上成立,因此a+b的最小值为5.恒成立和存在性问题【典例】(2018·全国卷Ⅱ)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集.(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2,所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).关闭Word文档返回原板块。
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核心素养测评六十八变量间的相关关系与统计案例(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.为了判定两个分类变量X和Y是否有关系,应用独立性检验法算得K2的观测值为5,又已知P(K2≥3.841)=0.05,P(K2≥6.635)=0.01,则下列说法正确的是( )A.有95%的把握认为“X和Y有关系”B.有95%的把握认为“X和Y没有关系”C.有99%的把握认为“X和Y有关系”D.有99%的把握认为“X和Y没有关系”【解析】选A.依题意K2的观测值为k=5,且P(K2≥3.841)=0.05因此有95%的把握认为“X和Y有关系”.2.(2020·许昌模拟)“吸烟有害健康,吸烟会对身体造成伤害”.美国癌症协会研究表明,开始吸烟年龄X分别为16岁、18岁、20岁和22岁者,其得肺癌的相对危险度Y依次为15.10,12.81,9.72,3.21;每天吸烟支数U分别为10,20,30者,其得肺癌的相对危险度V分别为7.5,9.5和16.6,用r1表示变量X与Y之间的线性相关系数,用r2表示变量U与V之间的线性相关系数,则下列说法正确的是( )A.r1=r2B.r1>r2>0C.0<r1<r2D.r1<0<r2【解析】选D.由题意可知,开始吸烟年龄递增时,得肺癌的相对危险度呈递减趋势,所以吸烟年龄与得肺癌的危险度呈负相关,所以r1<0,同理可知,得肺癌的危险度与每天吸烟支数呈正相关,所以r2>0.因此可得r1<0<r2.3.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系,统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同),用回归直线=x+近似地刻画其相关关系,根据图形,以下结论最有可能成立的是( )A.线性相关关系较强,的值为1.25B.线性相关关系较强,的值为0.83C.线性相关关系较强,的值为-0.87D.线性相关关系太弱,无研究价值【解析】选B.散点图里变量的对应点分布在一条直线附近,且比较密集,故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的正线性相关关系,且直线斜率小于1.4.(2020·南昌模拟)某公司在2015～2019年的收入与支出如表所示:收入x(亿元) 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9支出y(亿元) 0.2 1.5 2.0 2.5 3.8根据表中数据可得回归方程为y=0.8x+a,依此估计2020年该公司收入为8亿元时支出为 ( )A.4.2亿元B.4.4亿元C.5.2亿元D.5.4亿元【解析】选C.根据表中数据,计算=×(2.2+2.6+4.0+5.3+5.9)=4,=×(0.2+1.5+2.0+2.5+3.8)=2,所以=2-0.8×4=-1.2,所以回归直线方程为=0.8x-1.2,计算x=8时=0.8×8-1.2=5.2(亿元),即2020年该公司收入为8亿元时的支出为5.2亿元.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2020·长春模拟)某同学将收集到的六组数据制作成散点图如图所示,并得到其回归直线的方程为l 1:=0.68x+,计算其相关系数为r1,相关指数为.经过分析确定点F为“离群点”,把它去掉后,再利用剩下的5组数据计算得到回归直线的方程为l 2:=x+0.68,相关系数为r2,相关指数为.以下结论中,不正确的序号是________.①r1>0,r2>0 ②>③=0.12 ④0<<0.68【解析】由图可知两变量呈现正相关,故r1>0,r2>0,且r1<r2,故<,故①正确,②不正确.又回归直线l 1:=0.68x+必经过样本点的中心(3.5,2.5),所以=2.5-0.68×3.5=0.12,③正确.回归直线l 2:=x+0.68必经过样本点的中心(3,2),所以2=×3+0.68,所以=0.44,也可直接根据图象判断0<<0.68(比较两直线的倾斜程度),故④正确.答案:②6.某学校社团为调查学生课余学习围棋的情况,随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图如图所示,将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”.根据已知条件完成下面的2×2列联表,并据此资料判断________(填“能”或“不能”)在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“围棋迷”与性别有关.非围棋迷围棋迷总计男女10 55总计附:K2=,其中n=a+b+c+d.P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【解析】由频率分布直方图可知,在抽取的100人中,“围棋迷”有100×0.25=25人,从而2×2列联表如下所示:非围棋迷围棋迷总计男30 15 45女45 10 55总计75 25 100将2×2列联表中的数据代入公式计算,得K2的观测值k==≈3.030,因为3.030<3.841,所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“围棋迷”与性别有关.答案:不能三、解答题7.(10分)(2018·全国卷Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2, (17)建立模型①:=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:=99+17.5t.(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值.(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.【命题意图】本题考查线性回归方程的运用和函数模型的拟合选用,重点考查学生的识图、读图能力和数据分析能力.【解析】(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=-30.4+13.5×19=226.1(亿元).利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.5×9=256.5(亿元).(2)利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下:方法一:从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.方法二:从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.(15分钟35分)1.(5分)已知某次考试之后,班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本,他们的数学、物理成绩(单位:分)对应如表:学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8数学成绩60 65 70 75 80 85 90 95物理成绩72 77 80 84 88 90 93 95给出散点图如图:根据以上信息,判断下列结论:①根据散点图,可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系;②根据散点图,可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系;③从全班随机抽取甲、乙两名同学,若甲同学数学成绩为80分,乙同学数学成绩为60分,则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高.其中正确的个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.由散点图知,各点都分布在一条直线附近,故可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系,但不能判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系,故①正确,②错误;若甲同学数学成绩为80分,乙同学数学成绩为60分,则甲同学的物理成绩可能比乙同学的物理成绩高,故③错误.综上,正确的个数为1.2.(5分)通过随机询问110名性别不同的学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:男女总计爱好40 20 60不爱好20 30 50总计60 50 110由K2=算得,K2的观测值为k=≈7.8.附表:P(K2≥k0) 0.05 0.010 0.001k0 3.841 6.635 10.828参照附表,得到的正确结论是( )A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”【解析】选A.根据独立性检验的定义,由K2的观测值为k≈7.8>6.635,可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下,即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.3.(5分)在2019年3月15日那天,某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查,5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如表所示:价格x 9 9.5 m 10.5 11销售量y 11 n 8 6 5由散点图可知,销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系,其线性回归方程是=-3.2x+40,且m+n=20,则其中的n=________.【解析】==8+,==6+.回归直线一定经过样本点的中心(,),即6+=-3.2+40,即3.2m+n=42.又因为m+n=20,即解得答案:104.(10分)已知某企业近3年的前7个月的月利润(单位:百万元)如折线图所示:(1)试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润最高?(2)通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势.(3)试以第3年的前4个月的数据(如表),用线性回归的拟合模式估计第3年8月份的利润.月份x 1 2 3 4利润y(单位:百万元) 4 4 6 6相关公式:==,=-.【解析】(1)由折线图可知5月和6月的月平均利润最高.(2)第1年前7个月的总利润为1+2+3+5+6+7+4=28(百万元),第2年前7个月的总利润为2+5+5+4+5+5+5=31(百万元).第3年前7个月的总利润为4+4+6+6+7+6+8=41(百万元),所以这3年的前7个月的总利润呈上升趋势.(3)因为=2.5,=5,12+22+32+42=30,1×4+2×4+3×6+4×6=54,所以==0.8,所以=5-2.5×0.8=3.因此线性回归方程为=0.8x+3. 当x=8时,=0.8×8+3=9.4.所以估计第3年8月份的利润为9.4百万元.5.(10分)(2020·珠海模拟)某种仪器随着使用年限的增加,每年的维护费相应增加. 现对一批该仪器进行调查,得到这批仪器自购入使用之日起,前5年平均每台仪器每年的维护费用大致如表:年份x(年) 1 2 3 4 5维护费y(万元) 0.7 1.2 1.6 2.1 2.4(1)根据表中所给数据,试建立y关于x的线性回归方程=x+.(2)若该仪器的价格是每台12万元,你认为应该使用满五年换一次仪器,还是应该使用满八年换一次仪器?并说明理由.参考公式:用最小二乘法求线性回归方程=x+的系数公式:== ,=-.【解析】(1)=3,=1.6,=9,=4.8,x i y i=0.7+2.4+4.8+8.4+12=28.3,=1+4+9+16+25=55.所以,===0.43,=-=1.6-0.43×3=0.31.所以回归方程为=0.43x+0.31.(2)若满五年换一次仪器,则每年每台仪器的平均费用为:y1==4(万元)若满八年换一次设备,则每年每台设备的平均费用为:y2===3.745(万元).因为y1>y2,所以应该使用满八年换一次仪器.关闭Word文档返回原板块。