高考数学：命题有纲——六大核心素养

第1讲命题有纲——六大核心素养命题趋势随着新课程标准的实施，今后的高考命题必将以知识为载体，能力立意、思想方法为灵魂，核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，落实立德树人的根本任务，推动人才培养的改革创新.聚焦核心素养的养成，才能从容应对高考的变化.类型一用数学的眼光去观察世界——数学抽象、直观想象数学抽象主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系.直观想象主要表现为：建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物.【例1】(1)如图所示是毕达哥拉斯(Pythagoras)的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，若共得到 4 095个正方形，设初始正方形的边长为22，则最小正方形的边长为________.(2)(2019·西安调研)第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝________.(3)(2019·郑州模拟)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )解析 (1)依题意，正方形的边长构成以22为首项，公比为22的等比数列，因为共有4 095个正方形，则1＋2＋22＋…＋2n －1＝4 095，解得n ＝12. 所以最小正方形的边长为22×⎝ ⎛⎭⎪⎫2212－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2212＝164. (2)依题意得大、小正方形的边长分别是5，1， 于是有5sin θ－5cos θ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2，则sin θ－cos θ＝15.从而(sin θ＋cos θ)2＝2－(sin θ－cos θ)2＝4925， 则sin θ＋cos θ＝75，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝sin θ＋cos θcos θ－sin θ＝－7.(3)因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合在一起的方形伞，所以其正视图和侧视图完全相同时，都是一个圆，俯视图是从上向下看，所以俯视图是4条边及2条对角线均为实线的正方形，故选B. 答案 (1)164 (2)－7 (3)B探究提高 1.第(1)题借助毕达哥拉斯的生长程序命题，考查等比数列的求和问题. 2.第(2)题借助第24届国际数学家大会会标命题，考查三角恒等变换问题. 3.第(3)题以古代文化为载体考查三视图.三个小题均较好地考查学生的数学抽象、直观想象素养.【训练1】 (1)(2019·湖南六校联考)刍甍(chú hōnɡ)，中国古代算数中的一种几何形体.《九章算术》中记载“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形.则搭建它(无底面，不考虑厚度)需要的茅草面积至少为( )A.8 6B.16C.8 5D.14(2)已知实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧x －y ≥2，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0，则z ＝x ＋3y 的最大值为________.(3)(2019·成都诊断)“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件.已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的910.若这堆货物总价是100－200⎝ ⎛⎭⎪⎫910n万元，则n 的值为( )A.7B.8C.9D.10解析 (1)茅草面积即为几何体的侧面积，由题意知，该几何体中有两个全等的等腰梯形，两个全等的等腰三角形.其中等腰梯形的上底长为2，下底长为4，高为22＋12＝5；等腰三角形的底边长为2，高为22＋1＝5，因此几何体的侧面积S ＝2×（2＋4）×52＋2×12×2×5＝8 5.即需要的茅草面积至少为8 5.(2)作不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示.由z ＝x ＋3y ，得y ＝－x 3＋z3，作出直线y ＝－x 3，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，12时取到最大值，∴z max ＝52＋3×12＝4.(3)由题意知，茭草垛自上而下堆放的货物件数构成一个等差数列，其通项a n ＝n ，货物单价构成一个等比数列，其通项b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫910n －1，所以每一层货物的总价为a n ·b n ，这堆货物的总价为S n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，即S n ＝1×1＋2×910＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫9102＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫910n －2＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫910n －1，所以910S n ＝1×910＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫9102＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫910n －1＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ，两式相减，得110S n ＝1＋910＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9102＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫910n －1－n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫910n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫910n 1－910－n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＝10－(10＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ，所以S n ＝100－10(10＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫910n，于是由100－10(10＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＝100－200⎝ ⎛⎭⎪⎫910n，得10(10＋n )＝200，解得n ＝10.答案 (1)C (2)4 (3)D类型二 用数学的思维去分析世界——数学运算、逻辑推理数学运算主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果.逻辑推理主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出命题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流.【例2】 (1)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则( )A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩(2)(2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( ) A.(－∞，－1] B.(0，＋∞) C.(－1，0)D.(－∞，0)解析 (1)由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“一人优秀，一人良好”.乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩；丁看甲的成绩，由于乙与丙一人优秀，一人良好，则甲与丁也是一人优秀，一人良好，丁由甲的成绩可判断自身成绩.(2)当x ≤0时，函数f (x )＝2－x 是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f (x ＋1)＜f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，所以x <0.答案 (1)D (2)D探究提高 1.第(1)题对考生逻辑推理、数学抽象等数学核心素养有着不同层次的要求，求解的关键是由条件信息推理判断乙、丙中一人优秀，一人良好，从而甲、丁中一人优秀，另一人良好.2.破解第(2)题的关键：一是会“用图”，即根据图形的特征，寻找转化的桥梁；二是运算准确，求解函数与不等式问题运算要准确.【训练2】 (1)(2019·全国数学大联考)已知直线m ，n 和平面α，满足m α，nα，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2018·全国Ⅱ卷)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x ).若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A.－50B.0C.2D.50(3)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 6，S 6＝________. 解析 (1)若mα，nα，m ∥n ，由线面平行的判定得m ∥α，但mα，nα，m ∥α，则m ∥n 或m 与n 异面.故“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件.(2)法一 ∵f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (4＋x )＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且一个周期为4，又f (0)＝0，知f (2)＝f (0)，f (4)＝f (0)＝0，由f (1)＝2，知f (－1)＝－2，则f (3)＝f (－1)＝－2，从而f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，故f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (50)＝12×0＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2，故选C.法二 由题意可设f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ，作出f (x )的部分图象如图所示.由图可知，f (x )的一个周期为4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.(3)作出单位圆的内接正六边形，如图，OA ＝OB ＝AB ＝1， 从而S 6＝6S △OAB ＝6×12×12×sin 60°＝332.答案(1)A(2)C(3)33 2类型三用数学的语言去表达世界——数学建模、数据分析数学建模主要表现为：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题.数据分析主要表现为：收集和整理数据，理解和处理数据，获得和解释结论，概括和形成知识.【例3】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量<50 kg箱产量≥50 kg旧养殖法新养殖法(3).附：P(K2≥k0)0.0500.0100.001K 2＝n （a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）.解 (1)由频率分布直方图知，旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，则事件A 的概率估计值为0.62. (2)列联表如下：K 2＝200×（62×66－38×34）2100×100×104×96≈15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)由箱产量的频率分布直方图可知，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)约在45～50 kg 之间，新养殖法的箱产量平均值(或中位数)约在50～55 kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法分布集中程度高，可知新养殖法的箱产量高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法.探究提高 1.本题以现实生活中的水产品养殖方法作为创新背景，试题的第(1)问是根据频率分布直方图估计事件的概率；第(2)问是根据整理的数据进行独立性检验；第(3)问根据箱产量的频率分布直方图，比较两种养殖方法的优劣.有效的考查学生阅读理解能力与运用数学模型解决问题的能力.2.应用性和创新性相结合是历年高考靓丽的风景线，全国卷概率与统计解答题尤为明显，体现数学知识在现实生活中的应用.概率与统计问题需要对大量数据的分析和加工，揭示数据提供的信息及呈现的规律，进而分析随机现象的本质特征，发现随机现象的统计规律，从而考查数据分析的数学核心素养.【训练3】 (2019·武汉调研)统计学中，经常用环比、同比来进行数据比较.环比是指本期统计数据与上期比较，如2017年7月份与2017年6月份相比.同比是指本期数据与历史同时期比较，如2017年7月份与2016年7月份相比， 环比增长率＝本期数－上期数上期数×100%，同比增长率＝本期数－同期数同期数×100%.下表是某地区近17个月来的消费者信心指数的统计数据：整数)；(ⅱ)除2017年1月以外，该地区消费者信心指数月环比增长率为负数的有几个月？(2)由以上数据可以判断，序号x 与该地区消费者信心指数y 具有线性相关关系，写出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^ (a ^，b ^保留2位小数)，并依此预测该地区2018年6月份的消费者信心指数(结果保留1位小数，参考数据与公式：∑17i ＝1x i y i ≈18 069，∑17i ＝1x 2i＝1 785，x －＝9，y －≈115，b ^＝∑ni ＝1x i y i －nx － y －∑n i ＝1x 2i－nx －2). 解 (1)(ⅰ)该地区2018年5月份消费者信心指数的同比增长率为124－112.6112.6×100%≈10%.(ⅱ)由已知知环比增长率为负数，即本期数<上期数，从表中可以看出，2017年3月、2017年6月、2017年8月、2018年2月、2018年4月共5个月的环比增长率为负数.(2)由已知计算得，b ^＝∑17i ＝1x i y i－17x － y －∑17i ＝1x 2i－17·x －2≈1.16，a ^＝y －－b ^x －≈115－1.16×9＝104.56，∴线性回归方程为y ^＝1.16x ＋104.56.当x ＝18时，y ^≈125.4，即预测该地区2018年6月份的消费者信心指数为125.4.。