矩阵的逆与方程组的解法
矩阵与线性代数方程组
解出：
Y
y1 y2
yn
其中
y1 yi
b1 bi
i 1
mij
j 1
yj
，（ i
2,3,
,n）
X
x1 x2
其中
xn
yn unn
i1
yi uij x j
，（ i
2,3,
xn
xi
jn
uii
,n）
三角分解的要求
LU 分解法需要系数矩阵的各阶顺序主子式都大于零。 设 A 为一个 n 阶矩阵，假设高斯消去法可求解经过行变 换的一般线性方程组 AX b ，则存在一个置换矩阵 P ，使 得 PA 可分解为一个下三角阵 L 和一个上三角阵U ： PA LU ，
▪ Aug(j+p-1,:)=C;
▪ if Aug(p,p)==0
程
▪ 'A是奇异阵，方程无惟一解'
序
▪ break ▪ end
：
MATLAB
▪ for k=p+1:N
▪ m=Aug(k,p)/Aug(p,p);
▪ Aug(k,p:N+1)=Aug(k,p:N+1)-m*Aug(p,p:N+1);
0
n2
0
0
mnn
nn
x1
x2
xn
高斯消去法的计算量
归一化
n
n k 1
k 1
消元
n
n k 1n k
k 1
回代
n
n k
k 1
1 n n2 3n 1 1 n3
3
3
计算中的稳定性问题
▪ |akk|计算时作分母 ▪ 当|akk|等于0时，运算中断 ▪ 当|akk|很接近0时，商损失精度或太大产生
矩阵的逆的运算
矩阵的逆的运算
矩阵的逆运算是指对于一个矩阵A，存在一个矩阵B，使得矩阵A与矩阵B的乘积等于单位矩阵I，即AB=BA=I。
这时我们称矩阵B是矩阵A的逆矩阵，用A的倒数表示为A^-1。
矩阵的逆运算在线性代数中有着广泛的应用，例如解线性方程组、求解最小二乘解等。
但是并不是所有矩阵都有逆矩阵，只有非奇异矩阵才有逆矩阵。
如果矩阵A没有逆矩阵，我们称矩阵A是奇异矩阵。
矩阵的逆运算可以使用伴随矩阵求解，也可以使用高斯-约旦消元法来求解。
对于一个n*n的矩阵A，如果它的逆矩阵存在，则可以使用伴随矩阵求解逆矩阵，公式为A^-1=1/|A|*adj(A)，其中|A|表示矩阵A的行列式，adj(A)表示矩阵A 的伴随矩阵。
而使用高斯-约旦消元法求解逆矩阵则需要将矩阵A与单位矩阵I 拼接成一个n*2n的矩阵，然后对该矩阵进行行变换，将左半部分变为单位矩阵I，右半部分就是矩阵A的逆矩阵。
矩阵求逆方法大全-1
求逆矩阵的若干方法和举例苏红杏广西民院计信学院00数本（二）班[摘 要] 本文详细给出了求逆矩阵的若干方法并给出相应的例子，以供学习有关矩阵方面的读者参考。
[关键词] 逆矩阵 初等矩阵 伴随矩阵 对角矩阵 矩阵分块 多项式等引 言 在我们学习《高等代数》时，求一个矩阵的逆矩阵是一个令人十分头痛的问题。
但是，在研究矩阵及在以后学习有关数学知识时，求逆矩阵又是一个必不可缺少的知识点。
为此，我介绍下面几种求逆矩阵的方法，供大家参考。
定义: n 阶矩阵A 为可逆，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==，这里E 是n 阶单位矩阵，此时，B 就称为A 的逆矩阵，记为1-A ，即：1-=A B方法 一. 初等变换法（加边法）我们知道，n 阶矩阵A 为可逆的充分必要条件是它能表示成一系列初等矩阵的乘积A=m Q Q Q 21， 从而推出可逆矩阵可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。
即，必有一系列初等矩阵 m Q Q Q 21使E A Q Q Q m m =-11 （1） 则1-A =E A Q Q Q m m =-11 （2）把A ，E 这两个n 阶矩阵凑在一起，做成一个n*2n 阶矩阵（A ，E ），按矩阵的分块乘法，（1）（2）可以合并写成11Q Q Q m m -（A ，E ）=（11Q Q Q m m -，A ，E Q Q Q m m 11 -）=（E ，1-A ） （3） 这样就可以求出矩阵A 的逆矩阵1-A 。
例 1 . 设A= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-012411210 求1-A 。
解：由（3）式初等行变换逐步得到：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100012010411001210→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100012001210010411 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----123200124010112001→⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21123100124010112001于是1-A = ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21123124112说明：此方法适用于求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，比较简便，特别是当阶数较高时，使用初等变换法的优点更明显。
逆矩阵的求法及逆矩阵的应用
逆矩阵的几种求法及逆矩阵的应用摘要：在现代数学中，矩阵是一个非常有效而且应用广泛的工具，而逆矩阵则是矩阵理论中一个非常重要的概念。
关于逆矩阵的求法及逆矩阵的应用的探讨具有非常重要的意义。
目前，对于逆矩阵的求法及其应用领域的研究已比较成熟。
本文将对逆矩阵的定义、性质、判定方法及求法进行总结，并初步探讨矩阵的逆在编码、解码等方面的应用。
关键词：矩阵逆矩阵逆矩阵的求法逆矩阵的应用The methods for identifying inverse matrix and application of inverse matrix Abstract: In modern mathematics，matrix is an effective tool with extensive application，and inverse matrix is a significant concept in matrix theory. The disduss about the way to evaluating inverse matrix and its application is of an important meaning with mature development at present. This paper will summarize the definition and properties of inverse matrix and disscuss the methods evaluating inverse matrix.We will also talk about the application of inverse matrix, especially its application in encoding and decoding. Keywords: Matrix Inverse matrix The way to evaluating inverse matrix Application of inverse matrix一：引言在现代数学中，矩阵是一个有效而应用广泛的工具。
解线性方程组的方法
解线性方程组的方法线性方程组是数学中常见的一类方程组，它由一组线性方程组成，常用形式为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a₂ₙxₙ = b₂⋮aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + … + aₙₙxₙ = bₙ其中，a₁₁, a₁₂, …, a₁ₙ, a₂₁, a₂₂, …, aₙₙ为已知系数，b₁,b₂, …, bₙ为已知常数，x₁, x₂, …, xₙ为未知数。
解线性方程组的方法有多种，下面将详细介绍其中的几种常用方法。
1. 列主元高斯消元法列主元高斯消元法是一种经典的解线性方程组的方法。
它的基本思想是通过消元将线性方程组转化为三角形式，然后逐步回代求解未知数。
具体步骤如下：（1）将系数矩阵按列选择主元，即选取每一列中绝对值最大的元素作为主元；（2）对系数矩阵进行初等行变换，使主元所在列下方的元素全部变为零；（3）重复上述步骤，直到将系数矩阵化为上三角矩阵；（4）从最后一行开始，逐步回代求解未知数。
2. Cramer法则Cramer法则是一种基于行列式的解线性方程组的方法。
它利用克拉默法则，通过求解线性方程组的系数矩阵的行列式和各个未知数对应的代数余子式的乘积，进而得到方程组的解。
具体步骤如下：（1）计算线性方程组的系数矩阵的行列式，若行列式为零，则方程组无解，否则进行下一步；（2）分别将每个未知数对应的列替换为常数向量，并计算替换后的系数矩阵的行列式；（3）将第二步计算得到的行列式除以第一步计算得到的行列式，得到各个未知数的解。
需要注意的是，Cramer法则只适用于系数矩阵为非奇异矩阵的情况。
3. 矩阵求逆法矩阵求逆法是一种利用矩阵求逆运算解线性方程组的方法。
它将线性方程组转化为矩阵形式，通过求解系数矩阵的逆矩阵，然后与常数向量相乘得到未知数向量。
具体步骤如下：（1）将线性方程组的系数矩阵记为A，常数向量记为b，未知数向量记为x；（2）判断A是否可逆，若A可逆，则进行下一步，否则方程组无解；（3）求解系数矩阵的逆矩阵A⁻¹；（4）计算未知数向量x = A⁻¹b。
逆矩阵的求法
第六节逆矩阵一、逆矩阵的概念利用矩阵的乘法和矩阵相等的含义，可以把线性方程组写成矩阵形式。
对于线性方程组令A＝X＝B＝则方程组可写成AX=B.方程A X=B是线性方程组的矩阵表达形式，称为矩阵方程。
其中A称为方程组的系数矩阵，X称为未知矩阵，B称为常数项矩阵。
这样，解线性方程组的问题就变成求矩阵方程中未知矩阵X的问题。
类似于一元一次方程ax=b（a≠0）的解可以写成x=a-1b，矩阵方程A X=B的解是否也可以表示为X=A-1B的形式？如果可以，则X可求出，但A-1的含义和存在的条件是什么呢？下面来讨论这些问题。
定义11 对于n阶方阵A，如果存在n阶方阵C，使得AC=CA=E（E为n阶单位矩阵），则把方阵C称为A的逆矩阵（简称逆阵）记作A-1，即C=A-1。
例如因为AC==CA==所以C是的A逆矩阵，即C=A-1。
由定义可知，AC=CA=E，C是A的逆矩阵，也可以称A是C的逆矩阵，即A=C-1。
因此，A与C称为互逆矩阵。
可以证明，逆矩阵有如下性质：（1）若A是可逆的，则逆矩阵唯一。
（2）若A可逆，则(A-1)-1=A.（3）若A、B为同阶方阵且均可逆，则AB可逆，且(AB)-1=B-1A-1（4）若A可逆，则det A≠0。
反之，若det A≠0，则A是可逆的。
证（1）如果B、C都是A的逆矩阵，则C=CE=C(AB)=(CA)=EB=B即逆矩阵唯一。
其它证明略。
二、逆矩阵的求法1、用伴随矩阵求逆矩阵定义12 设矩阵A=所对应的行列式det A中元素aij的代数余子式矩阵称为A的伴随矩阵，记为A*。
显然，AA＊=仍是一个n阶方阵，其中第i行第j列的元素为由行列式按一行（列）展开式可知=所以AA＊==det AE （1）同理AA＊=det AE=A＊A定理3n阶方阵A可逆的充分必要条件是A为非奇异矩阵，而且A-1=A＊=证必要性：如果A可逆，则A-1存在使AA-1=E，两边取行列式det(AA-1)= det E,即det A det A-1=1,因而det A≠0,即A为非奇异矩阵。
逆矩阵的求法
目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)引言 (1)1方法总结 (1)1.1定义法 (2)1.2伴随矩阵法 (2)1.3初等变换法 (3)1.4分块矩阵法 (5)1.4.1分块矩阵的一般求法 (5)1.4.2 准对角线型矩阵的求逆 (5)1.4.3准三角型矩阵求逆 (6)1.4.4上三角形矩阵求逆 (7)1.5等价标准型法 (8)1.6恒等变形法 (9)1.7线性方程组法 (9)1.8克莱姆法则法 (10)1.9 Hamiton-Caley定理法 (13)1.10分解矩阵法 (14)1.11多项式互素法 (15)1.12行列式法 (15)1.13公式法 (15)1.13.1二阶矩阵求逆法 (16)1.13.2初等矩阵求逆法 (16)1.13.3对角线及其上方元素全为1的上三角矩阵的求逆法 (16)1.13.4正交矩阵求逆法 (16)1.13.5其他矩阵求逆法 (16)1.14递推法求矩阵的逆 (17)2结论 (17)致谢 (17)参考文献 (17)逆矩阵的求法数学科学学院学生刘文竹指导教师郭英新摘要：矩阵理论是线性代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位.为了更便捷地求逆矩阵，根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法. 并对部分方法原理进行了简要论证且给出了相应的典型例题.关键字：逆矩阵；分块矩阵；初等变换；伴随矩阵Methods of Finding Inverse MatrixStudent majoring in Mathematics and Applied Mathematics Liu WenzhuTutor Guo YingxinAbstract: Matrix theory is a main content of linear algebra and an important tool dealing with practical problem. Inverse matrix has a very important position in matrix theory. In order to solve the inverse matrix more easily, we introduce several simple inverse matrix methods according to different characteristics. This paper also gives brief demonstration to part of the methods and corresponding typical examples for all of the approaches.Key words:Inverse matrix; Block matrix; Elementary transformation; Adjoint matrix.引言矩阵理论是线性代数以及高等代数的核心内容，无论是二次型，还是线性变换以及欧几里得空间都可以借助于矩阵简便的解决相关问题．可以说，掌握矩阵理论是学好线性代数必不可少的条件．而求逆矩阵在矩阵中占有重要地位．所以，本文详细归纳了一系列的求解方法，并力求在某些方法的基础上推广逆矩阵的求法或找到一种新的求法．本文在已有的几种常见方法的基础上对其进行深入探索研究，并对已经学过的知识进行了更深层次的研究，找到了多种解决逆矩阵求解的方法.早在十九世纪末，人们在研究行列式的性质和计算时，提出了对角矩阵的概念，由于计算机的发展，更是为矩阵对角化的应用开辟了广阔的前景，它经常出现在诸如可用于求解微分方程组，用于研究数理统计量的分布，还有用于研究集合曲面的标准形等不同的科技领域中，这就使得对角矩阵成为计算数学中应用及其广泛的矩阵．而在且逆矩阵的方法中经常利用对角矩阵为过渡过程，在本文中就运用了此法．1方法总结1.1 定义法[1]n 级方阵A 称为可逆的，如果有n 级方阵B ,使得E A B B A =⋅=⋅ ()1 这里E 是单位矩阵，那么我们可以将矩阵A 的逆矩阵表示如下：1-A B =. 例1.设A 为n 阶矩阵，并且满足0242=+⋅-⋅E A A ,求1-A . 解： 0242=+⋅-⋅E A A ∴ E A A 2242-=⋅+⋅ ∴ E A A =-⋅-22 ∴()E E A A =--⋅ ∴由定义可知1-A E A --= 1.2 伴随矩阵法设A 是n 阶实矩阵，若0≠A ,那么*11A A A⋅=-证明: 设()1>n 阶矩阵111212212212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭由行列式等于它的任意一行（列）的所有元素与它们对应代数余子式的乘积的和，以及行列式的某一行（列）的元素与另外一行(列)的对应元素的代数余子式的乘积的和等于零，以下等式成立：11220i j i j in jn A i ja A a A a A i j⎧=+++=⎨≠⎩ ，若，若1220i ij i j ni nj A i ja A a A a A i j⎧=+++=⎨≠⎩ ，若，若 这里的代数余子式，中元素是行列式ij ij a A A 由此可知，若令1121121222*12,n n nn nn A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭那么=⋅=⋅A A A A **⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛A A A A 000000000000 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=E E E E A 0000000000000≠A ,由此可得，E A A A A A A =⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅**11由矩阵定义可知：*11A A A⋅=- 证毕.注：用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快捷，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过E AA =-1来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.例2.矩阵=A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a ,且1=⋅-⋅c b d a ，求1-A . 解：==dc b a A 1=⋅-⋅c bd a 0≠ A ∴可逆，并且*11A AA ⋅=- ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22122111*A AA A A *d b A c a -⎛⎫∴= ⎪-⎝⎭∴*11A A A ⋅=-⋅⋅-⋅=c b d a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b d ⋅=1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b d 证毕. 1.3 初等变换法[1]求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使s p p p 21A ⋅E = ()1用-A 右乘上式两端，得：s p p p 211-=A ()2比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵E 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵1-A .用矩阵表示()A E −−−→−初等变化()1E A - 这是求逆矩阵的初等行变换法，或者⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1A E E A 列初等变换这是用列初等变换求逆矩阵，这都是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.现在让我们从具体的题目中看看这类题的解析.例3.已知矩阵A ,求1-A ,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101011100A()231100125001125001E 013010013010013010125001231100006112113410066312500112500113013010013010010122019102111111001001663663A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛--⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪→→→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭-- ⎪--⎝⎭⎝ 解：⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭1113410066313010122111001663-⎛⎫--⎪⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪--⎪⎝⎭故A 证毕. 1.4 分块矩阵法1.4.1 分块矩阵的一般求法设A 、B 、C 、D 均可逆，求证()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅-⋅⋅⋅⋅--⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------1111111111B ACD A C B A C D B A C D B A B A C D B A A D C B A 成立. 证:设A 、D 分别为r 阶、s 阶的方阵，则：()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅-⋅⋅⋅⋅--⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅+→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------111111111000B A C D A C B A C D EB ACD B A BA C DB A A E E DC E B A s r ∴()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅-⋅⋅⋅⋅--⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------1111111111B ACD A C B A C D B A C D B A B A C D B A A D C B A 证毕. 由于这个公式太难记，因此我们在解决这类题目时往往将其转化为三角分块矩阵再求其逆.1.4.2 准对角线型矩阵的求逆设A 、B 都是非奇异矩阵,且A 为n 阶方阵，B 为m 阶方阵，若矩阵=C ⎪⎪⎭⎫⎝⎛B A 00，则1-C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--110B A . 证明： A 、B 均为非奇异矩阵，则00≠≠B A 且 ∴000≠⋅==B A BA C A ∴可逆 设A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=W ZY X,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴m nI I B A W Z Y X 0000 其中00nmX A E Y B Z A W B E ⋅=⎧⎪⋅=⎪⎨⋅=⎪⎪⋅=⎩， 又 A 、B 均为可逆矩阵，∴1100X A Y Z W B--⎧=⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴---11100B A C 证毕. 可以将上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角线型矩阵中去，即：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----111110000000000000000000000A A A A A A A A1.4.3 准三角型矩阵求逆设A 、C 为非奇异矩阵，则10-⎪⎪⎭⎫⎝⎛C B A =⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11110C BC A A .证： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-C A E B A E C B A 0001两边求逆得： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------111110000C A C B A E B A E ∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------1111111100000C BC A A C A E B A E C B A 证毕. 同理可证⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1111100C BC A A C B A .此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.例4.已知0052002112001100A ⎛⎫⎪ ⎪=⎪-⎪⎝⎭，求1-A . 解：将A 分块如下：120052002112001100O A A A O ⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭， 其中 125212,2111A A -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可求的1*1*1122121212111,2511||||3A A A A A A ---⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭从而1121112003311003312002500OA A A O ---⎛⎫ ⎪ ⎪⎪-⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭1.4.4 上三角形矩阵求逆[2]如果n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--n n n n n n a a a a a a a a A ,,21,222,11,11211000可逆，那么他的逆矩阵是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=------------1,,21,21,211,2122,11111,11111211111110000n n n n n n n n a a a a a a a a A ααααα 其中：()()111,1,111,,,1,2,,1,1,2,2;3,4,i i i i i j j j i j k j i k k k i k jt t i n t t t t i n j n ααα-++++--⋅⋅<<=-⨯=-=--=-=∑ 例5：求上三角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2000520031102131A 的逆矩阵. 解:根据上述定理可知：2,21,312211223131331323133231212212-=⨯⨯-⨯-=-=⨯-==⨯-=-----t t t t t t t t αααα 41,23133233424144243414434-=⨯⨯-⨯-=-=⨯-=---t t t t t t ααα()21133133412212241414414-=⨯⨯+⨯⨯-⨯-=---t t t t t t ααα 因此，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-210004*********10212311A 1.5 由等价标准行求可逆矩阵[3]设A 施n 阶可逆矩阵，A 的秩等于n ，存在可逆矩阵B 和C ，使得E CBA =，11--=B C A ，故BC A =-1.证：首先构造矩阵nn E E A D 220⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛=然后对D 进行如下的初等变换： (1)对D 的前几行()E A 进行初等行变换(2)对D 的前几列⎪⎪⎭⎫⎝⎛E A 进行初等列变换则经过有限次的上述变换后，D 可变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00B C E E E A D 初等行及列变化由此可得BC A =-1.此方法在一般教材中很少提到，到若同时采用初等行、列变换，把已知可逆矩阵置于含单位矩阵的分块矩阵中，有时候会起到事半功倍的效果.这实质上是从等价标准形的角度给出了矩阵的一种新的求解方法.例6.求可逆矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100152131A 的逆矩阵.解：构造矩阵得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000100000010000001100100010*********⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→000100000010000131100100112010001001 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∴-1001122351001120011000101311A1.6 恒等变形法恒等变形法求逆矩阵：有些计算命题表面上与求逆矩阵无关,但实质上只有求出矩阵的逆矩阵才能算出来,而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变形,且常变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式.例6.已知,6E A =试求11-A ,其中13223122A ⎛⎫-⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭证：由E A =6 等式两边同时乘以6A 则E A A ==612E A A =⋅∴11111-=∴A A ,又 13223122A ⎛⎫-⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭∴11113223122A A -⎛⎫-⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭证毕. 1.7 利用线性方程组来来求矩阵的逆[4]定理：若n 阶矩阵A 可逆，线性方程组B AX =,其中()Tn n b b b b B 121-= 的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+-+-+-nn i n ni n n n n i i n i i i a a b a a a a a b a a a a a b a a a A x1,1,2,1,21,221,2222111,111,112111，于是1-A 的第i 行是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=+-+-+-nn i n ni n n n n i i n i i i a a e a a a a a e a a a a a e a a a a y1,1,2,1,21,221,2222111,111,112111，其中i e 是第i 个分量为1的单位向量.例7.求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3000013000013000013000013A 的逆矩阵 解：设()()1212,TTn n X x x x B b b b == ,解线性方程组B AX =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=+=+=+5545434323212133333b x bx x b x x b x x b x x()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+-=-+-=+-+-=-----5155424543233543223425432231451333333333333333b x b b x b b b x b b b b x b b b b b x将上式中的54321,,,,b b b b b 用54321,,,,e e e e e 代替便可得到⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=----------------1213214321543211333333333333333A 1.8 克莱姆法则求解逆矩阵对于n 阶矩阵()n n ij a A ⨯=的逆矩阵1-A ，大多数教材上教材上通过1*1A A A-=⋅给出的（对于该定理的证明，已经在第二种解法中给出），现在我们用克莱姆法则来验证矩阵A 的逆矩阵1*1A A A-=⋅. 我们只当A 可逆时，A 的逆矩阵1-A 是与A 同阶的矩阵.不妨设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-nn n n n n x x x x x x x x x A2122221112111根据逆矩阵的定义可知E A A =⋅-1,即：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010001212222111211nn n n n n a a a a a a a a a将左边两个矩阵相乘确定出所得矩阵的各个位置上的元素，再利用矩阵相等的条件，由左右两边两个矩阵的第一列对应元素相等可以得到如下方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++001121211112212211211121121111n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 当A 时非奇异矩阵时，就有0≠A ，从而根据克莱姆法则有：A Aa a a a a a a a a a a a a a a x nnn n n n nn n n n 112122*********22211211001==，A Aa a a a a a a a a a a a a a a x nnn n n n nn n n n 12212222111211122111121001==A A a a a a a a a a a a a a a a a x n nnn n n n n n n 121222211121121222112111001==同理，由左右两边两个矩阵的第二列对应元素相等可以得到如下的方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++010222212122222212212122121211n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a ，从而根据克莱姆法则可知：A Aa a a a a a a a a a a a a a a x nn n n n n nn n n n 21212222111211222211212010==，A Aa a a a a a a a a a a a a a a x nnn n n n nn n n n 22212222111211122111122010==A A a a a a a a a a a a a a a a a x n nnn n n n n n n 221222211121121222112112010==再依次从左右两边两个矩阵的第3、4 n 列对应元素相等可以得到类似的方程组，同样由克莱姆法则得：()n i AAx A A x A A x in ni i i i i 4,3;2211====，这样1-A 中的每一个元素都已经求出了，全部代入既得：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-A A AA A A A A A A AA A A A A A A A nn n n n n2122212121111*21222121211111A AA A AA A A A A A A nn n n n n ⋅=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=这就是用克莱姆法则验证了矩阵A 的逆矩阵1*1A A A-=⋅. 例8.求可逆矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201013121A 的逆矩阵.解： 矩阵A 的行向量为32,1,ααα，由标准基321,,εεε表示为：3132123211232εεαεεαεεεα--=+=-+=解以321,,εεε为未知量的方程组得：112321233123241999211333125999εαααεαααεααα=-++=--=--1241999211333125999A -⎛⎫- ⎪ ⎪⎪∴=-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭1.9 利用Hamiton-Caley 定理法求逆矩阵[5]Hamiton-Caley 定理: 设A 是数域P 上一个n n ⨯矩阵，A E f -=λλ)(是A 的特征多项式，则0)1()()(12211=-+++++-=-E A A a a a A A f n n nn n . 如果A 可逆，则A 的特征多项式的常数项0)1(≠-=A a n n ，由定理知 0)(111=++++=--E A A A A f n n n n ααα 于是 E A E A A n n n n=⨯+++----)(11211ααα因此得 )(112111E A A A n n n n----+++-=ααα )1(此式给出了1-A 的多项式计算方法.例9.已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=201034011A ，求1-A .解：矩阵A 的特征多项式为： 254)(23-+-=-=λλλλλA E f因023≠-=α，所以矩阵A 可逆，由)1(式知 )54(2121E A A A +-=-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---113028026211.10 分解矩阵法求逆矩阵[2]设A 为n 阶可逆矩阵，且XCY B A +=,其中1-B 已知，C 是r r ⨯可逆矩阵，n r ≤，又设X YB C 11--+可逆，则()1111111-------+-=YB XYB C X B B A (1将已知的矩阵分解成两个或两个以上矩阵的和（一般以分解为两个最佳），然后再求解其逆.例10.求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5543264432653326542265431A 的逆矩阵.解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=654326543265432654326543211111A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=5432111111111111111111111 由XCY B A +=公式得：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=-135432614432651532654162654371911A 证毕.1.11 利用多项式互素的充要条件求矩阵的逆[6]设A 为一个n 阶方阵，C 为复数域，()f x ，()[]g x P x ∈，且()0f A =则()g A 可逆的充分条件为()()(),1f xg x =；此时有()()(),u x v x P x ∈，使得()()()()1u x f x v x g x +=，且()()()1g A v A -=.证明:设()f x 与()g x 互素，∴()f x 与()g x 在C 上无公共根．()0f A =，∴()f x 的特征值均为0，又 ()i f λ为()f A 之特征值，∴()()01,2,,i f i n λ== .()0i g λ≠,即()g A 无零特征值，从而()g A 可逆．∴当()()(),1f x g x =时，必有()()[],u x v x C x ∈,使得()()()()1u x f x v x g x +=,∴()()v A g A E =,即()()()1g A v A -=.例11.已知n 阶方阵A 满足2A A =，证明A E +可逆，并求()1A E -+.证：令()()2,1f x x x g x x =-=+ ()()(),1f x g x =且()0f A =∴()g A A E =+可逆，又 ()()()22f x x g x +-=∴()()22g A E A E -=,从而()112g A E A -=-⋅()A E E A ⋅-=+∴-211证毕.1.12 用行列式求逆矩阵设A ()n n ij a ⨯=为n 阶矩阵，且A 为满秩矩阵,则A 可逆，且()1111i 111i+11n 121i 12i+12n21n1n i 1n n i+1nnn i 1n T T Tn T A a a a a A a a a a A A A a a a a A εεε-----⎛⎫ ⎪⎪=⋅== ⎪⎪⎝⎭，，2，2，，， 其中，2，， 11n εεε ，，，为n R 的初始单位向量组，即()()i 00,00i 12n ε== ，，，1，，，，，例12.设 1.2 3.1 2.46.1 5.4 4.74.10.20.1A ⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭，求A 的逆矩阵.()()1121233122123313212333.1 2.45.4 4.70.4+0.17+1.610.4.0.171.610.20.11.22.46.1 4.718.669.72+918.669.7294.10.11.2 3.16.1 5.422.018+12.4712.0722.01812.47124.10.2T TTA A A εεεεεεεεεεεεεεεεεε==-=-==-=-==--=--解：，，，，，，().071.2 3.1 2.46.1 5.4 4.77.1584.10.20.1A ==11211n 0.40.17 1.6118.669.7297.15822.01812.4712.070.0560.0240.2252.607 1.358 1.2583.076 1.742 1.686T T T A AA A A ---⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅=-⨯ ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪⎝⎭-⎛⎫ ⎪=-⎪--⎝⎭1.13 公式法求逆矩阵1.13.1 二阶矩阵求逆公式：若a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭，则11d b A c a A --⎛⎫=⋅ ⎪-⎝⎭ 1.13.2 初等矩阵求逆公式：1ij ij E E -=11i i E E k -⎛⎫= ⎪⎝⎭()()1i j i j E k E k -=-1.13.3 对角线及其上方元素全为1的上三角矩阵的逆矩阵111101110001A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 的逆矩阵为：111000011000001100001A --⎛⎫⎪- ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭1.13.4 正交矩阵的求逆公式：若A 为正交矩阵，则1T AA -=1.13.5 其他常用的求逆公式：()()()()()111111**11TTAB B A A A A A A A-------=⋅===⋅123,,s A A A A 可逆，则()()111112321,,,s s A A A A A A A ----= 例13.已知100010001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,111011001B ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭,求()1AB -. 解：由于A 是初等矩阵，由公式得：1AA -=而B 为元素都为1的上三角矩阵，由公式得：1111011001B --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭, 再由公式得：()1111100101011010011001001010AB ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.1.14 用递推法求矩阵的逆高等代数中求逆矩阵的两种基本方法——行列式法和初等变换法.行列式法以公式()1adj A A A-=(()adj A 表示A 的伴随矩阵)求逆；初等变换法通过(,A E 行初等变换()()1,,A E E A -−−−−→行初等变换计算逆，其中E 为与A 同阶的单位矩阵. 张贤科[6]阐述了Moore-Penrose 逆以及Hamilton-Caylay 矩阵逆的递推计算法，徐仲等[7]给出了加边矩阵逆矩阵的计算定理.在他们的基础上考虑一般可逆方阵的逆矩阵递推求法，给出了逆矩阵的递推计算公式.1.14.1 1m A +，m A ，m β，m α，m a ，m c 如引理及推论所述，又令1m m m A γβ-=-，1m m mA δα-=-，则11101100m m m m m mm A Ac γδγδ--=⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1011100m m mm A c γδ-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中，11111A a -⎛⎫= ⎪⎝⎭. 1.14.2 设()()1121,,,0,1,2,,1m m i A diag a a a a i m ++=≠=+ ，则()11111121,,,m m A diag a a a ----=+= .1.14.3 设a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭()0ad bc -≠，则11d b A c a ad bc --⎛⎫= ⎪--⎝⎭.1.14.4 设1+m 阶方阵()1mm m ij mm aA a A βα+⎛⎫== ⎪⎝⎭，其中m A 为m 阶方阵，m β为1m ⨯矩阵，m α为1m ⨯矩阵，11m a a =，则当m A ，1m A +皆可逆时，有1111111100110m mm m m m m m m m m m m m A A A a A A A A ββαααβ--+-----⎛⎫-⎛⎫=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，其中，111,11m m A a -++⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. 例14. 求矩阵A 的逆矩阵，其中141382561A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭. 解:()111A -= ，且2144038A ==-≠，于是，()13δ=-，()14γ=-，14c =-，∴1210124841100313144A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又 ()2158,264δ=--，20114γ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，212c =-，∴()121000021031291311310234488422000291322913122A -⎛⎫⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-+--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭.2讨论以上各种求逆方法只是我的一些粗浅认识，也有不当之处，我希望我的这篇文章能给大家带来帮助，能帮我们更快跟准确的解决好繁琐的求逆矩阵的问题.同时，它还是我们更好地学习线性代数的必备基础知识，认真掌握它，可供我们以后继续在数学方面的深造打下坚实的基础.但是我很希望给位老师和同学给予指导，能使我的这篇文章更加完善和实用.致谢四年的读书生活在这个季节即将画上一个句号，而我的人生却只是一个逗号，我将面对又一个征程的开始.四年的求学生涯在师长、亲友的大力支持下，走的辛苦却也收获满囊，在论文即将付梓之际，思绪万千，心情久久不能平静.伟人、名人为我所崇拜，可是我更急切的要把我的敬意和赞美献给一位平凡的人，我的导师，我不是您最出色的学生，而您却是我最尊敬的老师，您治学严谨，学识渊博，思想深邃，视野雄阔，为我营造了一种良好的精神氛围.授人以鱼不如授人以渔，置身其间，耳濡目染，潜移默化，是我不仅接受了全新的思想观念，树立了宏伟的学术目标，领会了基本的思考方式，从论文题目的选定到论文写作的指导，经由您悉心的点拨再经思考后的领悟，常常让我有“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”.感谢我的爸爸妈妈，焉得塧草，言树之背，养育之恩，无以回报，你们永远健康快乐是我最大的心愿.在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！同时也感谢学院为我提供良好的做毕业设计的环境.最后再一次感谢所有在毕业设计中曾经帮助过我的良师益友和同学，以及在设计中被我引用或参考的论著的作者. 参考文献：[1] 王萼芳，石生明.高等代数[M].3版.北京:高等教育出版社,2003:177-193.[2] 高明．逆矩阵的求法[J]．阴山学刊．2006,2(20):14-16．[3] 苏敏．逆矩阵求法的进一步研究[J]．2004,2(16):28-30．[4] 连文星,刘爱荣. 求逆矩阵最简新方法[J]. 河南教育学院学报(自然科学版),1997, (03):8-10[5] 杜汉玲．求逆矩阵的方法也与解析[J]．2004,4(17):18-20．[6]张玉莲，董李娜．求逆矩阵的一些方法[J]．2007,2(22):71-73．[7] 高尔雄，高坤敏，吴景艰.线性代数[M].北京:人民教育出版社，1978.8，P463-479。
线性方程组解的求解方法
线性方程组解的求解方法引言：线性方程组是数学中常见的问题之一，它在实际应用中有着广泛的应用。
解线性方程组可以帮助我们理解和解决实际问题，因此研究线性方程组解的求解方法具有重要意义。
本文将介绍几种常见的线性方程组解的求解方法，包括高斯消元法、矩阵法和向量法。
一、高斯消元法高斯消元法是一种常见的线性方程组求解方法。
其基本思想是通过一系列的行变换将线性方程组化为阶梯形矩阵，然后通过回代求解未知数的值。
1.1 行变换行变换是高斯消元法的关键步骤之一。
通过交换行、倍乘行和行加减变换，我们可以将线性方程组化为阶梯形矩阵。
交换行可以改变方程组的次序，倍乘行可以通过乘以一个非零常数将方程的系数变为非零，行加减变换可以通过加减某一行的若干倍将方程组中的某一项消去。
1.2 回代求解回代是高斯消元法的最后一步，通过从最后一行开始，依次代入已求得的未知数的值，可以求解出线性方程组的解。
回代的过程需要注意系数矩阵的特殊情况，如存在零行或全零行时需要进行特殊处理。
二、矩阵法矩阵法是另一种常见的线性方程组求解方法。
其基本思想是将线性方程组表示为矩阵形式，通过对矩阵进行运算，可以直接求解出线性方程组的解。
2.1 矩阵的逆对于一个非奇异矩阵，可以通过求解其逆矩阵来求解线性方程组。
矩阵的逆可以通过伴随矩阵和行列式的关系求解。
如果矩阵是奇异的，则不存在逆矩阵，线性方程组可能无解或有无穷多解。
2.2 矩阵的秩矩阵的秩是求解线性方程组的另一个重要概念。
通过求解矩阵的秩，可以判断线性方程组的解的个数。
如果矩阵的秩等于未知数的个数，则线性方程组有唯一解；如果矩阵的秩小于未知数的个数，则线性方程组有无穷多解；如果矩阵的秩小于未知数的个数，则线性方程组无解。
三、向量法向量法是一种直观的线性方程组求解方法。
其基本思想是将线性方程组表示为向量的线性组合形式，通过求解向量的线性组合系数，可以求解出线性方程组的解。
3.1 向量空间向量空间是向量法的基础概念。
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矩阵的逆与方程组的解法
矩阵是数学中一个重要的概念，它在各个领域中都有广泛的应用。
矩阵的逆和方程组的解法是矩阵理论中的两个基本问题，它们相互关联，共同构成了矩阵运算的重要部分。
一、矩阵的逆
矩阵的逆是指对于任何一个可逆矩阵A，都存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。
当矩阵A可逆时，我们可以使用逆矩阵来解决一些与A相关的问题。
1. 逆矩阵的计算方法
对于一个n阶矩阵A，如果其逆矩阵存在，那么可以使用伴随矩阵的方法来计算逆矩阵。
伴随矩阵的计算方式是将A的每个元素的代数余子式组成的矩阵，记作Adj(A)。
然后，逆矩阵可以通过公式A^(-1) = (1/|A|) * Adj(A)来计算，其中|A|表示矩阵A的行列式。
2. 逆矩阵的应用
逆矩阵在方程组的解法中起到了重要的作用。
当我们需要求解一个线性方程组Ax=b时，如果矩阵A可逆，那么方程的解可以表示为
x=A^(-1)b。
通过计算逆矩阵，我们可以高效地求解这个方程组，得到其唯一解。
二、方程组的解法
方程组是由多个方程构成的数学等式组合，常用于描述多元线性关系。
对于一个n元方程组，可以使用矩阵的方法来求解。
1. 列主元消元法
列主元消元法是常用的方程组求解方法之一。
首先，将方程组的增广矩阵进行初等行变换，化为上三角矩阵，然后通过回代的方式求解各个未知数。
2. 高斯-约当消元法
高斯-约当消元法是另一种常用的方程组求解方法。
其思想与列主元消元法类似，但是在选取主元时，高斯-约当消元法关注的是当前列中绝对值最大的元素，而不是每个列的第一个非零元素。
3. 矩阵求逆法
在一些情况下，我们可以通过求解方程组的逆矩阵来得到方程组的解。
当系数矩阵A可逆时，方程组的解可以表示为x=A^(-1)b，其中b 是方程组的常数向量。
不论是矩阵的逆矩阵求解，还是方程组的解法，都是矩阵理论中非常基础且重要的内容。
它们在线性代数、数学建模、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
矩阵的逆和方程组的解法不仅能够帮助我们求解现实问题，更深入理解矩阵运算的本质和规律。
总结：
矩阵的逆与方程组的解法是矩阵理论中的两个重要内容。
矩阵的逆
可以通过计算伴随矩阵来得到，逆矩阵在求解线性方程组中起到了关
键的作用。
方程组的解法可以通过列主元消元法、高斯-约当消元法以
及矩阵求逆法来实现。
这些方法在实际问题求解中发挥了重要的作用，对于理解矩阵运算的本质和应用具有重要的意义。