矩阵的左逆与右逆
第4章 矩阵的广义逆
例题1 设W是C n 的子空间，证明 存在到W的投影 变换， 使R（）=W。
3、正交投影的性质
定理4.16（P . 104）设W是C n的子空间，x0C n， x 0 W，如果是空间C n向空间W的正交投影， 则
( x0 ) x0 y x0
y W
含义：点（x0）是空间 W 中与点x 0距离最近的点。
讨论：对任何满足式( ¤) 的左逆B，X=Bb都是方程组的
解，如何解释方程组的解是惟一的？
§ 4. 2 广义逆矩阵
思想：用公理来定义广义逆。 一、减号广义逆 定义4 . 2 (P . 95) A C m n ，如果，G C n m使得，
AGA=A，则矩阵G为的A减号广义逆。或{1}逆。A的 减号逆集合A{1}={A1–1，A2–1， ， Ak–1} 例题1 A C nn可逆，则A–1 A{1}； A单侧可逆，则A –1LA{1}；A–1RA{1}。 减号逆的求法：定理4.5（P . 95） 减号逆的性质：定理4.6 (P . 96)
• 设A满秩分解A=BC， 则A + =CH （CCH ）–1（BH B）–1BH 。 • （定理4.9）设A奇异值分解 ：
H A U V ，则 0 0
1 0 H A V U 0 0
例题1 求下列特殊矩阵的广义逆；
零矩阵0； 1阶矩阵( 数) a； a1 对角矩阵
4、A + A与AA +的性质 定理4.15（P . 104）
A + A的性质：
• （A + A）2 = A + A，（A + A）H = A + A • C n =R（A + ） N（A） • R （A + ）= N（A）
求矩阵的逆矩阵的方法
求矩阵的逆矩阵的方法矩阵的逆是一个在线性代数中非常重要的概念。
逆矩阵是一个方阵(A)的伴随矩阵(ad(A))除以该方阵的行列式(det(A))的结果，即逆矩阵(A-1) = ad(A) / det(A)。
要找到一个矩阵的逆矩阵，首先需要确保矩阵是可逆的。
矩阵可逆的充分必要条件是矩阵的行列式不等于零，即det(A) ≠0。
只有当行列式不等于零时，才能找到逆矩阵。
如果行列式等于零，该矩阵就被称为奇异矩阵，它没有逆矩阵。
接下来，我将详细介绍两种常见的方法来计算矩阵的逆。
方法一：伴随矩阵法伴随矩阵法是一种直接计算矩阵的逆矩阵的方法。
首先，我们计算出原始矩阵的伴随矩阵，然后再除以矩阵的行列式即可得到逆矩阵。
步骤如下：1. 计算原始矩阵的伴随矩阵(ad(A))。
伴随矩阵的每个元素(ad(A)ij)等于原始矩阵(A)的代数余子式(Aij)的代数余子式(Aij)。
其中，代数余子式(Aij)是矩阵中去掉第i行和第j列的部分矩阵的行列式(det(Aij))乘以(-1)^(i+j)。
2. 计算原始矩阵的行列式(det(A))。
3. 计算逆矩阵(A-1)。
逆矩阵的每个元素(A-1)ij等于伴随矩阵(ad(A))的每个元素(ad(A)ij)除以原始矩阵的行列式(det(A))。
伴随矩阵法的优点是直接，可以一步得到逆矩阵。
然而，该方法在求解大型矩阵时计算量较大。
方法二：初等行变换法初等行变换法是通过一系列的初等行变换来得到一个单位矩阵，然后通过对单位矩阵进行相同的初等行变换得到逆矩阵。
步骤如下：1. 将原始矩阵(A)写在左侧，单位矩阵(I)写在右侧，构成一个增广矩阵[A I]。
2. 通过一系列的行变换，将左侧矩阵变成单位矩阵。
在每一步行变换时，同样地对右侧的单位矩阵做相同的变换。
3. 当左侧的矩阵完全变成单位矩阵时，右侧的矩阵就是原始矩阵的逆矩阵。
初等行变换法的优点是对于大型矩阵来说，计算量较小。
然而，该方法需要一定的手工计算和整数运算，可能会产生较大的误差。
反对称正交对称矩阵的左右逆特征值问题
中图分 类号 ： ０１ １ ２ ５．１
文献标 识码 ： Ａ
文章编 号 ：０ ４０ ６ （ ０ ７ ０ —０ ９０ １ ０ — ３ ６ ２ ０ ） １０ ２ —５
Ｔｈ ｆ ｎｄ Ｒｉ ｈ ｎｖ ｒ ｅ Ｅｉ ｅ ａ ｕ ｏ ｌ ｍ ｆ Ａｎ ｉ ｓ ｍ ｍ ｅ ｒ ｃ ｅ Ｌｅ ｔａ ｇ ｔ Ｉ ｅ ｓ ｇ ｎｖ ｌ ｅ Ｐｒ ｂ ｅ ｏ ｔ— ｙ ｔ ｉ
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Ｗ Ｕ ｎ—ｉ ｎ Ｙａ ｌａ ｇ
（ ｉ ｑ ａ ａ ｅｌ ｅ Ｌ ｕ ｃ ｉ ｇ Ｃｅ ｔ ｒ ｉ ｑ ａ ｇ ７ ２ ５ ，Ｃｈ ｎ ） Ｊ ｕ ｕ ｎ Ｓ ｔｌｉ ａ ｎ ｈ ｎ ｎ ｅ ・Ｊ ｕ ｕ ｎ ３ ７ ０ ｔ ｉａ
（一 １ ２ … ， ， Ｓ 一 （ ， 一 ， ，１为反序单 位矩 阵． 为 Ｘ 的 Ｍｏ ｒ— ｅ ｒｓ ， ， ） 称 Ｐ ｅ １… ｅ） Ｘ ｏ ｅＰ ｎｏ ｅ逆．ａ ｋ ） ｒｎ （ 表示 矩 阵
的 秩． Ａ一 （ ， 若 口） Ｂ一 （。 记 ＊Ｂ一 （ （ ｑ ， 矩 阵 和 Ｂ 的 Ｈａ ａ ｒ ６ ）× ， Ｊ ｆ） Ｊ ｆ ＝ａ ｂ ） 为 Ｊ Ｊ ｄ ｍａｄ积． 义 定 （ ， 一ｆ（ 。Ａ） 空 间 Ｊ 上 的 内积 ， Ｂ） ｒ Ｂ， 为 Ｒ 由此 内 积 导 出 的 范数 ｌ ｌ一 （ Ａ） Ｉ Ｉ ， 一 ｒ Ａ） （ 为矩 阵 的 Ｆ ｏ ｅ ｉｓ范 数 ， 尺 构 成完备 的 内积空间 ． ｒｂ ｎｕ 且 定 义 １ 设 Ｐ是 给定 的 ｎ阶正 交对 称矩 阵 ， Ｐ∈Ｒ ， 即 “ Ｐ 一Ｐ—Ｐ＿ ， 。若 ∈Ｊ“ ， Ｒ Ａ 一一Ａ，ＰＡ）＝ （ （ ＰＡ） 则 称 为反对称 正交对 称矩 阵． 有 ｎ阶反对 称 正交对称 矩阵 的集合 记 为 ＡＳ ＂ ， 所 Ｒｐ ． 当 Ｐ—Ｓ 时 ， 反对称 正 交对称 矩 阵就 变为 反对称 次对 称矩 阵． 可见 ， 反对 称次 对 称矩 阵是 特殊 的反对 称 正交对 称矩 阵． 现就 反对 称正 交对称 矩阵 的左右逆 特 征值 问题讨论 如下 ： 问题 Ｉ 给定 ， Ｒ ， Ⅵ ∈Ｒ ， ｚ∈Ｊ ｙ，， Ｐ是 给定 的 ｎ阶正交对 称矩 阵 ， 求 ∈ＡＳ ｐ 使 得 Ｒ＂ ， ｆ Ａ） ｌ Ｘ—ｚ ｌ ＋ ｌ 一 （ 一 Ｉ Ｉ Ｉ ｙ 问题 Ⅱ 给 定 ’ ， ∈Ｒ 求 ∈Ｓ ， 使得
左逆,右逆,正交阵
矩阵集合上定义了乘法。
以向量内积为基础的矩阵乘法非常成功。
但它是不可交换的。
即，通常有AB ≠ BA，那怕在n 阶方阵子集中也这样。
矩阵的乘法有“单位元”E（n阶方阵）。
即在可乘的条件下，AE = A 或BE = B，E在乘法中的作用，就象数1那样。
若n 阶方阵A满秩，它就应该有逆元。
即“右逆”AB = E 或“左逆”CA = E由于矩阵乘法不可易，按理“右逆”与“左逆”可能不同。
但是《线性代数》中，满秩方阵A的逆阵B 的定义就是AB = BA = E之所以有这个特殊性，原因在于A有伴随阵A*基本恒等式A*A = A A* =|A| E在A满秩时，它告诉我们，A* /|A| 就既是A的“右逆”，又是A 的“左逆”。
且按照矩阵相等的定义，满秩方阵A的逆阵唯一。
有趣的是，如果n 阶方阵A 的“列向量组”是标准正交组（单位正交组），则A′A = E你只能先说A′ 是A的“左逆”。
A′ 的行，就是A的列。
左行右列作内积，恰好用上已知条件。
但是，逆阵唯一，“左逆”就是“右逆”。
A A′ = E这样一来，A的行向量组必定也是标准正交组。
同样，如果n 阶方阵 A 的“行向量组”是标准正交组，那它的列向量组必定也是标准正交组。
实际上，很简单，A A′ = E，则|A|=±1满秩方阵A的的逆阵唯一，A′ = ±A*只有两类正交阵——要么A的每一元就等于自己的代数余子式，要么A的每一元等于自己的代数余子式的相反数。
另有一个应用逆阵唯一性的好例。
例A和B都是n阶方阵，且AB =A−B，试证明，A+E 可逆，且AB = BA分析要先生成A+ E ，只有在AB =A−B 上想办法。
AB+B = A+E−E ，进而有E =（A+E）（E−B）这表明A+ E可逆，且它的（右逆）为E−B如何证第二问？好象没条件了。
如果你能想到，右逆就是左逆。
那就动笔试乘一下（E−B）（A+E）= E =（A+E）（E−B）整理后恰好有AB = BA真妙啊，研考题会不会这样做文章呢？！。
矩阵求逆的方法
前言矩阵理论在《线性代数》课程中有着重要的地位,矩阵和数相仿可以运算,特别是乘法和数一样有逆运算,其定义为:对于 n 阶方阵 A,如果存在 n 个阶段 B 使得 AB=BA=E,则 n 个阶方阵 A 为可逆的,B 为 A 的逆矩阵。
掌握好求逆矩阵的方法对线性方程组、二次型、线性变换等问题的解决有很大帮助。
关于矩阵求逆问题,不同的《线性代数》教材介绍了不同的方法。
下面对求逆矩阵方法进行全面论述,并做一步探讨。
1矩阵求逆常见的几种方法 1.1 用伴随矩阵法求逆矩定理1.1.1：n 阶矩阵)(ij a A =可逆的充要条件0≠A ，而且当)2(≥n 阶矩阵A 有逆矩阵，*-=A AA 11，其中*A 伴随矩阵。
例1 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=412112013A 是否可逆？若可逆，求1-A 解：A A ∴≠=05可逆又511=A ，421=A ，3131=A ，1012=A ，1222=A ，332-=A ，013=A ，123=A ，133=A∴*-=A AA 11 例 2 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=543022001A ，*A 是A 的伴随矩阵，求()1-*A 解：1-*=A A A ，又()kB kB 11--=， 所以()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡====---*5430220011011011111A A A AA A且有规律可循。
对于三阶以上方阵用该方法逆矩阵,不仅计算量大且易出错,一般不用此种方法。
对求出逆矩阵正确与否,一般用E AA A A ==--11来检验是否正确。
1.2 用初等变换法求逆矩阵定理 1.2.1 如果n 阶方阵A 可逆，则存在有限个初等矩阵，l P P P 21,使得l P P P A 21=。
如果A 可逆，则1-A 也可逆，由上述定理， 存在初等矩阵l Q Q Q ,,,21 使得l Q Q Q A 211=-那么A A AA E 11--== 即A Q Q Q E l 21= E Q Q Q A l 211=-于是我们得到一个求逆矩阵的方法如下：如果n 阶方阵A 可逆，作一个n n 2⨯的矩阵E A ，然后对此矩阵施以初等行换，使A 化为单位矩阵E 同时化为1-A ，即：E A 1-−−−→−A E 初等行变换例1 用初等行变换求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=521310132A 的逆矩阵解：=E A →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100132310521100010001521310132 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--201010100910310521211010100600310521⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→316161100123210103461361001316161100010310100521 故⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=-3161611232134613611A 同理，如果n 阶矩阵A 可逆，作一个n n ⨯2的矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡E A ，然后此矩阵施以初等变换，使矩阵A 化为单位阵E ，则同时E 化为1-A ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1A E E A 初等列变换。
矩阵的左逆与右逆
第二专题 广义逆矩阵广义逆矩阵是于1920年首次提出来的，1955年利用矩阵方程组给出它更为明确简便的定义。
其后，广义逆矩阵在理论和应用方面都得到了迅速的发展。
它在微分积分方程、数理统计、最优化、测量学等应用科学中发挥了重要作用，更是研究最小二乘等问题不可缺少的工具。
为此，我们从线性方程组m n n m b x A =⨯的解开始讨论(n m >称为超定方程；n m <称为亚定方程)。
若存在向量x ，使b Ax =成立，则称线性方程组为相容方程组，否则称为不相容方程或矛盾方程。
对于相容方程组，若A 是列满秩的，则有唯一解；否则有无穷多解{}-=A A 1。
我们要找到唯一的极小范数解{}-=m A A 4,1。
对于矛盾方程我们要找到它的近似解——最小二乘解{}-=l A A 3,1；如果最小二乘解不唯一，我们要找到唯一的最小二乘解，称为最佳的最小二乘解（或极小范数最小二乘解，或最佳逼近解），{}+=A A 4,3,2,1。
§1 矩阵的左逆与右逆设A 是n 阶矩阵，A 可逆当且仅当存在n 阶矩阵B ，使得I BA AB ==当A 可逆时，其逆唯一，记为1-A .下面，我们把方阵的逆矩阵概念推广到n m ⨯矩阵上，定义一种单侧逆.一、满秩矩阵与单侧逆定义1 设n m R A ⨯∈，若存在矩阵m n R B ⨯∈，使得n I BA =则称A 是左可逆的，称B 为A 的一个左逆矩阵，记为1-L A .若存在矩阵m n R C ⨯∈，使得m I AC =则称A 是右可逆的，称C 为A 的一个右逆矩阵，记为1-R A .下面给出矩阵左逆与右逆的几个等价条件.定理1 设n m R A ⨯∈，则下列条件是等价的：(1)A 是左可逆的； (2)A 的零空间{}0)(=A N ；(3)n A R n m =≥)(,,即A 是列满秩的；(4)A A T 是可逆的.证明)2()1(⇒，设A 是左可逆的，则存在m n R B ⨯∈，使得n I BA =，),(A N x ∈∀ 0=Ax ，于是00====B BAx x I x n ，即证A 的解空间{}0)(=A N .)3()2(⇒，由{}0)(=A N ，再根据线性方程组解的理论知，n A N n A R =-=)(dim )(，从而A 是列满秩的，当然有n m ≥.)4()3(⇒，设n A R =)(,由n A R A A A T ===)()(dim )](dim[μμ,知A A T 是可逆的.)1()4(⇒，由A A T 可逆，得n T T I A A A A =-1)(知T T A A A 1)(-是A 的一个左逆矩阵，即T T LA A A A 11)(--=。
广义逆矩阵及其应用
第七章广义逆矩阵及其应用广义逆矩阵是通常逆矩阵的推广，这种推广的必要性，首先是从线性方程组的求解问题出发的，设有线性方程组Ax=b （0 — 1）当A是ｎ阶方阵，且detA≠0时，则方程组（０－１）的解存在、唯一，并可写成x=Ab （0 — 2）但是，在许多实际问题中所遇到的矩阵A往往是奇异方阵或是任意的m×n矩阵（一般m≠n），显然不存在通常的逆矩阵A，这就促使人们去想象能否推广逆的概念，引进某种具有普通逆矩阵类似性质的矩阵G，使得其解仍可以表示为类似于式（0—2）的紧凑形式？即x=Gb （0 — 3）1920年摩尔（E. H. Moore）首先引进了广义逆矩阵这一概念，其后三十年未能引起人们重视，直到1955年，彭诺斯（R. Penrose）以更明确的形式给出了Moore 的广义逆矩阵的定义之后，广义逆矩阵的研究才进入了一个新的时期，由于广义逆矩阵在数理统计、系统理论、最优化理论、现代控制理论等许多领域中的重要应用为人们所认识，因而大大推动了对广义逆矩阵的研究，使得这一学科得到迅速的发展，已成为矩阵的一个重要分支。
本章着重介绍几种常用的广义逆矩阵及其在解线性方程组中的应用。
§1 矩阵的几种广义逆1．11955年，彭诺斯（Penrose）指出，对任意复数矩阵Amxn，如果存在复矩阵Anxm，满足广义逆矩阵的基本概念−1−1AXA=A （1—1）XAX=X （1—2）(AX)H=AX （1—3）(XA)H=XA （1—4）则称X为A的一个Moore—Penrose广义逆，并把上面四个方程叫做Moore—Penrose方程，简称M—P方程。
由于M—P的四个方程都各有一定的解释，并且应用起来各有方便之处，所以出于不同的目的，常常考虑满足部分方程的X，叫做弱逆。
为引用的方便，我们给出如下的广义逆矩阵的定义。
定义1—1 设A∈Cmxn，若有某个X∈Cmxn，满足M—P方程（1—1）～（1—4）中的全部或其中的一部分，则称X为A的广义逆矩阵。
研究生矩阵理论课后答案第8章
线性方程组一般理论复习续
定理B:对一般线性方程组
Ax=b, ACrmn,xCn,bCm (1) ①(1)有解的充要条件是 bR(A)={Ay|yCn}(R(A)也称为A的值域) ②(1)有解的充要条件是rank(A,b)=rank A (增广矩阵(A,b)与系数矩阵A的秩相等,其 意义是b是A的某些列的线性组合即bR(A)) ③(1)的通解=(1)的特解+齐次方程组通解N(A) (齐次方程组解空间N(A)={xCn|Ax=0}也称为A的核) ④(1)有无穷多解的充要条件是 rank A < n dim N(A)= n-rank A= n-r > 0
①运算T,*与- 可交换(这是T,*与-1可交换的推广) AA-A=A(AA-A)T=AT即AT(A-)TAT=AT(A-)T=(AT)AA-A=A(AA-A)*=A*即A*(A-)*A*=A*(A-)*=(A*)②(A)-=+A-,其中,+=1/,当0;+=0,当=0 利用显然的等式:+= 不难验证 (A)(+A-)(A)=(+)AA-A=A(A)-=+A③ SCmmm,TCnnn ,(SAT)-=T-A-S这是(SAT)-1=T-1A-1S-1推广
3
1 0 0 1 1
3 1
0 0 5 2 0 0 1
2 1/ 2 0 P 1 0 0 3 2 1
1 0 11/ 2 5 / 2 0 1 3 Q 1 0 1
0 1 1 1
11 2 5 2
1 5 | 0 1 0 3 0 | 1 0 0 9 0 | 0 2 1 11/ 2 5 / 2 | 2 1 / 2 0 3 0 | 1 0 0 0 0 | 3 2 1
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第二专题 广义逆矩阵
广义逆矩阵是E.H.Moore 于1920年首次提出来的，1955年R.Penrose 利用矩阵方程组给出它更为明确简便的定义。
其后，广义逆矩阵在理论和应用方面都得到了迅速的发展。
它在微分积分方程、数理统计、最优化、测量学等应用科学中发挥了重要作用，更是研究最小二乘等问题不可缺少的工具。
为此，我们从线性方程组m n n m b x A =⨯的解开始讨论(n m >称为超定方程；n m <称为亚定方程)。
若存在向量x ，使b Ax =成立，则称线性方程组为相容方程组，否则称为不相容方程或矛盾方程。
对于相容方程组，若A 是列满秩的，则有唯一解；否则有无穷多解
{}-=A A 1。
我们要找到唯一的极小范数解{}-=m A A 4,1。
对于
矛盾方程我们要找到它的近似解——最小二乘解{}-=l A A 3,1；如果最小二乘解不唯一，我们要找到唯一的
最小二乘解，称为最佳的最小二乘解（或极小范数最小二乘解，或最佳逼近解），{}+=A A 4,3,2,1。
§1 矩阵的左逆与右逆
设A 是n 阶矩阵，A 可逆当且仅当存在n 阶矩阵B ，使得
I BA AB ==
当A 可逆时，其逆唯一，记为1-A .
下面，我们把方阵的逆矩阵概念推广到n m ⨯矩阵上，定义一种单侧逆.
一、满秩矩阵与单侧逆
定义1 设n m R A ⨯∈，若存在矩阵m n R B ⨯∈，使得
n I BA =
则称A 是左可逆的，称B 为A 的一个左逆矩阵，记为1-L A .
若存在矩阵m n R C ⨯∈，使得
m I AC =
则称A 是右可逆的，称C 为A 的一个右逆矩阵，记为1-R A .
下面给出矩阵左逆与右逆的几个等价条件.
定理1 设n m R A ⨯∈，则下列条件是等价的：
(1)A 是左可逆的； (2)A 的零空间{}0)(=A N ；
(3)n A R n m =≥)(,,即A 是列满秩的；(4)A A T 是可逆的. 证明
)2()1(⇒，设A 是左可逆的，则存在m n R B ⨯∈，使得
n I BA =，),(A N x ∈∀ 0=Ax ，于是00====B BAx x I x n ，即证A 的解空间{}0)(=A N .
)3()2(⇒，由{}0)(=A N ，再根据线性方程组解的理论知，n A N n A R =-=)(dim )(，从而A 是列满秩的，当然有n m ≥.
)4()3(⇒，设n A R =)(,由n A R A A A T ===)()(dim )](dim[μμ,知A A T 是可逆的.
)1()4(⇒，由A A T 可逆，得n T T I A A A A =-1)(知T
T A A A 1)(-是A 的一个左逆矩阵，即T T L
A A A A 11)(--=。
注：左逆的一般表达式为：
U A UA A A T T L 11)(--=
其中U 是使关系式)()(A rank UA A rank T =成立的任意m 阶方阵。
定理2 设n m R A ⨯∈，则下列条件是等价的：
(1)A 是右可逆的； (2)A 的列空间m R A =)(μ；
(3)m A R n m =≤)(,,即A 是行满秩的；(4)T AA 是可逆的。
其证明留给读者.
)3()1(⇒，由m A rank AB rank I rank m m ≤≤==)()()(得n m ≤，m A R =)(，A 是行满秩的；由m T T I AA AA =-1)(，知
1)(-T T AA A 是A 的一个右逆矩阵，即11)(--=T T R AA A A 。
注：右逆的一般表达式为：
11)(--=T T R AVA VA A
其中V 满足)()(A rank AVA rank T =。
例1 矩阵⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=050004A 是右可逆的，不是左可逆的。
由于
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10015/1004/10500043231
R R A 注意到右逆最后一行元素是完全任意的，故存在无穷多个右逆矩阵。
一般地,一个矩阵左可逆未必右可逆,而且右逆矩阵和左逆矩阵都不是唯一的。
若同时左可逆和右可逆，则此矩阵存在正则逆。
二、单侧逆与解线性方程组
定理3 设n m R A ⨯∈是左可逆的，m n R B ⨯∈是A 的一个左逆矩阵，则线性方程组b AX =有形如Bb X =解的充要条件
是
0)(=-b AB I m
若上式成立，则方程组有唯一解
b A A A X T T 1)(-=
证明
设方程组b AX =有解0X ，则ABb X BA A AX b ===00)(，从而0)(=-b AB I m .反过来，若0)(=-b AB I m ，则b ABb =，从而Bb X =0是方程组的解.
当方程组有解时，因为A 左逆，所以n A R =)(，从而方程组b AX =有唯一解.由T A A A 1T )(-是A 的一个左逆矩阵，所以b A A A AX A A A X T T 1T 1T )()(--==，即b A A A X T 1T )(-=为b AX =的唯一解。
注：虽然左逆矩阵不唯一，但方程的解唯一。
定理4 设n m R A ⨯∈是右可逆的，则线性方程组b AX =对
任何m R b ∈都有解。
且对A 的任意一个右逆矩阵1-R A ，
b A X R 1-=是其解。
特别地，b AA A X T T 1)(-=是方程组b AX =的一个解。
证明
因A 右可逆，则m R I AA =-1，对任何m R b ∈，都有
b b I b AA m R ==-1,
即b A X R
1-=是方程组b AX =的解。
事实上，矩阵的左逆（或右逆）矩阵还是矩阵的减号逆，自反减号逆，最小范数广义逆，最小二乘广义逆和加号逆。