二阶行列式与逆矩阵
二阶行列式与逆矩阵优秀教学设计
二阶行列式与逆矩阵【教学目标】了解二阶行列式的定义，掌握二阶行列式的计算方法，运用行列式求逆矩阵【教学重难点】1．掌握二阶行列式的计算方法，运用行列式求逆矩阵2．运用行列式求逆矩阵【教学过程】一、行列式与矩阵行列式：我们把a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦两边的“⎡⎤⎢⎥⎣⎦”改为“”，于是，我们把a bc d 称为二阶行列式，并称它为矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的行列式，它的结果是一个数值，记为||det()a b A A ad bc c d ===-。
计算方法：主对角线上两数之积减去副对角线上两数之积。
矩阵与行列式的区别：矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦表示一个数表，而行列式a b A c d =是一个数值。
二、利用行列式求逆矩阵设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，记||a b A ad bc c d ==-。
则 矩阵A 可逆的充要条件：||0a bA ad bc c d ==-≠。
当0A ≠时，1||||||||d b d b A A ad bc ad bc A c a c a A A ad bc ad bc --⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥==⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ 三、典例剖析设4112A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，判断A 是否是可逆矩阵，若可逆，求出1A -。
判断下列矩阵是否可逆？若可逆，求出逆矩阵（1） 1111A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ （2）101b B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ （3）1111A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦已知矩阵234b A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦可逆，求实数b 的范围。
四、课堂练习展开下列行列式，并化简（1）10937-- （2）121m m m m +++ （3）5779矩阵00a d 可逆的条件为 。
行列式(,,,{1,1,2})a ba b c d c d ∈-的所有可能值中，最大的是 。
若点(2,2)A 在矩阵cos sin sin cos M αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应变换的作用下得到的点为(2,2)B -，求矩阵M 的逆矩阵。
2阶矩阵的逆矩阵公式
2阶矩阵的逆矩阵公式在线性代数中，逆矩阵是一个非常重要的概念。
一个矩阵的逆矩阵可以将其乘以逆矩阵得到单位矩阵。
对于2阶矩阵，我们可以使用一个简单的公式来计算其逆矩阵。
让我们来看看这个公式以及如何使用它来计算逆矩阵。
假设我们有一个2阶矩阵A，它的形式如下：A = [a b][c d]其中a、b、c和d是矩阵A的元素。
要计算A的逆矩阵，我们可以使用下面的公式：A的逆矩阵 = (1/行列式值) * [d -b][-c a]其中行列式值是矩阵A的行列式。
为了计算行列式值，我们可以使用下面的公式：行列式值 = ad - bc现在，让我们举一个例子来说明如何使用这个公式来计算逆矩阵。
假设我们有一个2阶矩阵A，它的元素如下：A = [2 3][1 4]我们需要计算行列式值：行列式值 = (2*4) - (3*1) = 8 - 3 = 5接下来，我们可以使用这个行列式值来计算逆矩阵：A的逆矩阵 = (1/5) * [4 -3][-1 2]我们可以将矩阵A和它的逆矩阵相乘，以验证结果是否为单位矩阵：A * A的逆矩阵 = [2 3] * [4 -3] = [1 0][1 4] [-1 2]我们可以看到，结果是单位矩阵，证明我们计算的逆矩阵是正确的。
通过这个简单的公式，我们可以轻松地计算2阶矩阵的逆矩阵。
然而，对于更高阶的矩阵，计算逆矩阵会更加复杂。
在这种情况下，我们通常会使用其他方法，如高斯消元法或LU分解。
逆矩阵在许多领域中都有广泛的应用，特别是在线性方程组的求解中。
它可以帮助我们找到矩阵的解，从而解决实际问题。
掌握计算逆矩阵的方法对于理解线性代数和解决相关问题非常重要。
总结一下，2阶矩阵的逆矩阵可以使用一个简单的公式来计算。
通过计算矩阵的行列式值和使用逆矩阵公式，我们可以轻松地得到逆矩阵。
逆矩阵在解决线性方程组和其他相关问题时非常有用。
对于更高阶的矩阵，我们可以使用其他方法来计算逆矩阵。
掌握逆矩阵的概念和计算方法对于理解线性代数的基本原理至关重要。
求二阶矩阵逆矩阵的方法
求二阶矩阵逆矩阵的方法
二阶矩阵的逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵。
这个过程可以通过求解线性方程组来完成。
本文将介绍求解二阶矩阵逆矩阵的两种方法：代数余子式法和伴随矩阵法。
1. 代数余子式法
代数余子式法是求解二阶矩阵逆矩阵比较简单实用的方法之一。
假设有一个二阶矩阵A=[a，b；c，d]，其行列式为：|A|=ad-bc。
若行列式|A|不等于0，则A可逆，其逆矩阵为：
A^-1 = 1/|A| ×
⎡d，-b⎤
⎣-c，a⎦
其中1/|A|为A的行列式的倒数。
若|A|=0，则A不可逆。
2. 伴随矩阵法
伴随矩阵法是通过矩阵的伴随矩阵求解矩阵逆的方法。
伴随矩阵是指将原矩阵的代数余子式转置后构成的矩阵，即
A* =
⎡d，-c⎤
⎣-b，a⎦
其中a，b，c，d为原矩阵的元素。
若原矩阵可逆，则其逆矩阵为：A^-1 = 1/|A| × A*
其中1/|A|为原矩阵的行列式的倒数。
总结：
以上就是求解二阶矩阵逆矩阵的两种方法，代数余子式法和伴随矩阵法。
对于二阶矩阵来说，两种方法都比较简单易懂，但对于高阶矩阵来说，伴随矩阵法更具有实用价值。
在求解矩阵逆时，一定要注意行列式是否为零。
《2.1.3 用二阶行列式求逆矩阵》教案新部编本2
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2.1.3 用二阶行列式求逆矩阵》教案2教学目的熟练掌握逆矩阵存在的条件与矩阵求逆的方法重点与难点重点：矩阵的逆 难点：矩阵的逆的概念教学内容一、概念的引入逆矩阵: 设A 是数域上的一个n 阶方阵，若在相同数域上存在另一个n 阶矩阵B ，使得: AB=BA=E 。
则我们称B 是A 的逆矩阵，而A 则被称为可逆矩阵。
定义1 对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B ，使E BA AB ==，则说矩阵A是可逆的，并把B 称为A 的逆矩阵。
A 的逆矩阵记为1-A.,, 的逆阵也一定是的逆阵时为当由定义知B A A B. ,, 212211B B I A B AB I A B AB =====∆则设唯一性 .. 111I A A AA A A ==---有的唯一的逆阵记为可逆阵定理1 若矩阵A 可逆，则0≠A证 A 可逆，即有1-A ，使E AA =-1，故11==-E A A所以0≠A定理2 若0≠A ，则矩阵A 可逆，且*11A AA =-其中*A 为矩阵A 的伴随矩阵证 由例1知：E A A A AA ==** 因0≠A ，故有E A A AA A A ==**11所以有逆矩阵的定义，既有*11A AA=-当A =0时，，A 称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵，由上面两定理可知：A 是可逆矩阵的充分必要条件是0≠A ，即可逆矩阵就是非奇异矩阵。
推论：若E AB =（或E BA =），则1-=A B证1==E B A ，故0≠A ，因而1-A 存在，于是111*)()(---=====AE A AB A B A A EB B 方程的逆矩阵满足下述运算规律①若A 可逆，则1-A 也可逆，且A A =--11)( ②若A 可逆，数0≠λ，则A λ可逆，且111)(--=A A λλ③若B A .为同阶矩阵且均可逆，则B A .也可逆，且111)(---A B AB 证明 ()()()1111----=ABB A AB AB1-=AEA ,1E AA==-().111---=∴A B AB例2 求方程⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=343122321.A 的逆矩阵解023********≠=⋅+⋅+⋅=A A A A ，知1-A 存在2.11=A6.21=A 4.31-=A3.12-=A 6.22-=A 532=A2.13=A 2.23=A 2.33-=A于是.A 的伴随矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=222563462.*A所以⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==-111253232311.*1A A A注：利用伴随矩阵法求逆矩阵的主要步骤是1. 求矩阵.A 的行列式A ，判断.A 是否可逆；2. 若1.-A 存在，求.A 的伴随矩阵*.A ；3.利用公式*11A AA =-，求1.-A 三、逆矩阵的运算性质;1, 1. 1AA A -=则可逆若;)(, , 2.111A A A A -=--且也可逆则可逆若;)()(, 则 , 3.11T T T A A A A --=且也可逆可逆若证明：()()TTTA A AA 11--=ΘTE=,E =()().11TT A A--=∴().,,0,10kkAAE A A --==≠定义时当另外()为正整数k有为整数时当,,,0μλ≠A().λμμλA A =;1)( 0 4.11--=≠A kkA kA k A 也可逆，且，则可逆，数若 ;)( 5.111---=A B AB AB B A 且也可逆，为同阶可逆矩阵，则，若;)( ,,, 111211211----=A A A A A A A A s s s ΛΛΛ则为同阶可逆阵若Ⅴ.小结与提问小结：、逆矩阵及其求法、 提问：求逆矩阵应注意什么？。
《2.1.3 用二阶行列式求逆矩阵》教案新部编本3
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2.1.3 用二阶行列式求逆矩阵》教案2教学目标1.了解行列式产生的背景；2.经历引入二阶行列式的过程；3.掌握二阶行列式展开法则及用二阶行列式解（系数行列式的值不为零的）二元一次方程组的方法，体验二阶行列式这一特定算式的特征．教学重难点二阶行列式的展开、用二阶行列式解二元一次方程组．教学过程典型例题例1 求矩阵3221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.(2009江苏卷) 解：设矩阵A 的逆矩阵为,x y z w ⎡⎤⎢⎥⎣⎦则3210,2101x y z w ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 即323210,2201x z y w x z y w ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦故321,320,20,21,x z y w x z y w +=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩ 解得：1,2,2,3x z y w =-===-， 从而A 的逆矩阵为11223A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. 或由逆矩阵知识a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则1db ad bc ad bc A ca ad bc ad bc --⎡⎤⎢⎥--=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦直接可得答案．例2 已知曲线C ：1=xy将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转045后，求得到的曲线'C 的方程；解：由题设条件，0000cos 45sin 4522sin 45cos 45M ⎢⎡⎤-⎥==⎢⎥⎥⎣⎦⎥⎦，'2222:'Mx yx x xTy y yy⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎥⎥→=⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎥⎥⎦⎦，即有'22'x x yy y⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得'')2'')2x x yy y x⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入曲线C的方程为22''2y x-=。
二阶行列式与逆矩阵
二阶行列式与逆矩阵教学目标1. 了解行列式的概念；2.会用二阶行列式求逆矩阵。
教学重点及难点 用行列式求逆矩阵。
教学过程 一、复习引入 （1）逆矩阵的概念。
（2）逆矩阵的性质。
二、新课讲解. 例1 设A= ⎢⎣⎡43⎥⎦⎤21，问A 是否可逆？如果可逆，求其逆矩阵。
例2设A= ⎢⎣⎡43⎥⎦⎤21，问A 是否可逆？如果可逆，求其逆矩阵。
思考：对于一般的二阶矩阵A=⎢⎣⎡ba ⎥⎦⎤d c ，是否有：当0≠-bc ad 时，A 可逆；当0=-bc ad 时，A 不可逆？结论：如果矩阵A=⎢⎣⎡ba ⎥⎦⎤d c 是可逆的，则0≠-bc ad 。
表达式bcad -称为二阶行列式，记作cadb ，即cadb =bc ad -。
ad bc -也称为行列式a b c d的展开式。
符号记为：detA或|A|① 反之，当≠-bc ad 时，有⎢⎢⎢⎢⎣⎡-A c det det A d⎥⎥⎥⎥⎦⎤det A a det A b -⎢⎣⎡b a⎥⎦⎤d c =⎢⎣⎡b a⎥⎦⎤d c ⎢⎢⎢⎢⎣⎡-A c det det A d⎥⎥⎥⎥⎦⎤det A a det A b -=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
【可逆矩阵的充要条件】定理：二阶矩阵A=⎢⎣⎡ba ⎥⎦⎤d c 可逆，当且仅当0≠-bc ad 。
当矩阵A=⎢⎣⎡ba ⎥⎦⎤d c 可逆时，1-A =⎢⎢⎢⎢⎣⎡-A c det det A d⎥⎥⎥⎥⎦⎤det A a det A b -。
1.计算二阶行列式： ①3142②2213λλ--2.判断下列二阶矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵。
①A ＝0110⎛⎫⎪-⎝⎭②B ＝1100⎛⎫⎪⎝⎭三、课堂小结1.矩阵是否可逆与其行列式的值的关系，2.逆矩阵的又一种求法。
北师大版高中数学选修4-2矩阵与变换二阶行列式与逆矩阵
D1 =
9 -3 -5 2
0ห้องสมุดไป่ตู้-6 -1 2
=81，
0 4-7 6
克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零， 则 方程组有唯一解xj=Dj/D(j=1， 2， ， n)。
2x1 x2 -5x3 x4 = 8
例1
解线性方程组
x1 x1
-3x2 x2
4x2
- x3 - 7 x3
2 -3
2
6 -6
2
-
245
=
1 3 2 1
3 -3
1
-52 -21
二、行列式的乘法定理
定理 设A、B为n阶矩阵，那么|AB|=|A||B|。
推论1 设A1，A2，……，Ar都是n阶矩阵，则 | A1A2……Ar |=|A1||A2|……| Ar |。
推论2 A可逆，则|A-1|=|A|-1。
-3x2 x2
4x2
- x3 - 7 x3
- 6x4 2x4 6x4
矩阵 A 可逆|A|0 若 A 可逆 则 A-1 = 1 A* | A|
例
2
求方阵 A = 132
2 2 4
133 的逆阵
解 由|A|=20 得知A-1存在。因为
所以
A*
=
2 -3
2
6 -6
2
-54 -2
A--11
=
|
1 A
|
A*
=
1 2
(3.5)
a11 a12 a1n 行列式 D = a21 a22 a2n 称为方程组(3.5)的系数行列式。
2阶矩阵的逆矩阵公式
2阶矩阵的逆矩阵公式要得到一个2阶方阵的逆矩阵，我们可以使用以下公式：设A为一个2x2的矩阵，A=[ab;cd]，其中a，b，c，d为实数。
首先，我们需要计算A的行列式det(A)。
对于一个2阶矩阵来说，行列式det(A)可以通过ad-bc来计算。
如果行列式det(A)等于0，那么矩阵A没有逆矩阵。
因为一个矩阵的逆矩阵应该满足逆变性质：AA-1 = A-1A = I，其中I为单位矩阵。
如果行列式det(A)不等于0，那么我们可以计算A的伴随矩阵adj(A)。
伴随矩阵adj(A)通过将矩阵A的各元素的代数余子式转置得到。
代数余子式是将原矩阵中元素所在行和列删除后所得到的新的行列式，再乘以(-1)的幂。
然后，我们将得到的伴随矩阵adj(A)的每个元素除以行列式det(A)来得到A的逆矩阵A-1具体地，A的伴随矩阵adj(A)可以表示为：adj(A) = [d -b; -c a]。
将伴随矩阵adj(A)的每个元素除以det(A)：A-1 = adj(A)/det(A) = [d -b; -c a]/(ad-bc)。
这就是一个2阶矩阵的逆矩阵的计算公式。
让我们通过一个具体的例子来说明这个公式。
假设我们有一个2阶矩阵A=[21;34]，我们想找到它的逆矩阵。
首先，我们需要计算A的行列式det(A)：(2 x 4) - (1 x 3) = 5因为det(A)不等于0，那么我们可以计算其伴随矩阵adj(A)：[4 -1; -3 2]。
最后，我们将伴随矩阵adj(A)的每个元素除以det(A)来得到逆矩阵A-1：[4/5 -1/5; -3/5 2/5]。
所以，矩阵A的逆矩阵是A-1=[4/5-1/5;-3/52/5]。
逆矩阵的定义是如果A×A-1=A-1×A=I（其中I为单位矩阵），那么A-1就是矩阵A的逆矩阵。
我们可以验证一下：A×A-1=[21;34]×[4/5-1/5;-3/52/5]=[8/5-1/5+3/5-3/5;12/5-3/5+12/5-6/5]=[10;01]。
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验证
MN=NM=I
b ad bc 是矩阵M的逆矩阵 a ad bc
d 矩阵N ad bc c ad bc
当ad-bc=0时方程组无解,矩阵M不存在逆矩阵
2013年5月21日星期二
选修4－2 矩阵与变换
如果矩阵A=
a c
b d
由逆矩阵的定义,有
a b u v au bs av bt 1 0 MN c d s t cu ds cv dt 0 1
实数u,v,s,t必须满足
au bs 1 cu ds 0 av bt 0 cv dt 1
解
1 6 矩阵M 2 7 的行列式
1 6 2 7
1 7 6 2 5 0
6 7 5 5 1 2 5 5 6 5 1 5
所以矩阵M存在逆矩阵M-1,且
验证
7 1 6 5 1 MM 2 7 2 5
建构数学
例1 设A=
3 4 1 2
选修4－2 矩阵与变换
，问A是否可逆？如果可逆，
求其逆矩阵。
2 设A= 4 1 2
例2
，问A是否可逆？如果
可逆，求其逆矩阵。
2013年5月21日星期二
选修4－2 矩阵与变换
抽象概括
a b 对任意矩阵 M c d u v 假设它有逆矩阵 N s t
7 1 M 5 2 5
6 7 1 0 1 5 5 0 1 I M M 2 1 5 5
6 1 6 1 0 5 I 1 2 7 0 1 5
。
a c
b d
可逆，
a c
b d
可逆时， 。
2013年5月21日星期二
A
1
=
d det A c det A
-b det A a det A
选修4－2 矩阵与变换
Байду номын сангаас知识应用
1.计算二阶行列式： ①
3 1 4 2
②
2
是可逆的，
则 ad bc 0 。 表达式 记作
a c
ad bc
b d
称为二阶行列式，
a c b d
，即
= ad bc 。
b d
ad bc 也称为行列式
a c
的展开式。
符号记为：detA或|A|
2013年5月21日星期二
选修4－2 矩阵与变换
定理：二阶矩阵A= 当且仅当 ad bc 0 。 当矩阵A=
2013年5月21日星期二
选修4－2 矩阵与变换
即
au bs 1 cu ds 0
av bt 0 且 cv dt 1
满足怎样条件有解?
当ad-bc≠0时有解
d u ad bc s c ad bc b v ad bc 且 t a ad bc
2013年5月21日星期二
练习2
1 1 1 ; 0 1 2 0 2 0 2 ;
选修4－2 矩阵与变换
求下列矩阵的逆矩阵
1 2 3 3 4 ;
2013年5月21日星期二
选修4－2 矩阵与变换
小结 如何判断一矩阵是否存在逆矩阵? 如何求一矩阵的逆矩阵?
二阶行列式 与逆矩阵
选修4－2 矩阵与变换
复习：
1.对于一个二阶矩阵A,如果存在一个二阶矩阵B，使得
AB=BA= E 2 ，则称矩阵A可逆。
2.设A 是二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵 是唯一的. 3.若二阶矩阵 A,B 均存在逆矩阵,则 AB 也存在逆矩 阵,且
(AB)-1=B-1A-1
2013年5月21日星期二
2013年5月21日星期二
选修4－2 矩阵与变换
作业
一上交作业：课本第55页习题2,5
二家庭作业：练习册
2013年5月21日星期二
1
2 3
2013年5月21日星期二
选修4－2 矩阵与变换
知识应用
2.判断下列二阶矩阵是否可逆，若可 逆，求出逆矩阵。
0 1 ①A＝ 1 0 1 1 ②B＝ 0 0
2013年5月21日星期二
练习1
选修4－2 矩阵与变换
1 6 判断矩阵M , 2 7 是否存在逆矩阵 若存在, 求出它的逆矩阵并用逆矩阵的定义验证 , .