逆矩阵定律和矩阵的秩
逆矩阵公式和矩阵的秩
一、逆矩阵公式 定义22(非奇异矩阵)
对于n阶矩阵A 若行列式|A|=0 则称A是奇异的否则称A为非奇异的
定义23（伴随矩阵）
Aij为A的元素aij的代数余子式，
A11
A
=
A12
A1n
A21
A22
An1
An
2
，则称A为A的伴随
矩阵.
A2n Ann
首页
1 2 3 1
3 1 2 4
1 2 1 3
1532 1000
3 7 7 7
1 4 4 4
7772 1000
3 7 0 0
1 4 0 0
7002
最后一矩阵为阶梯形矩阵 有两个非零行 故r(A)=2
下页
例4 设B为n阶非奇异矩阵 A为mn矩阵 试证 A与B之积的秩等于A的秩 即 r(AB)=r(A) （P60/2.18）
又如 B =100
102 r(B)=2
C =100
1 1 0
100
r(C)=3
上述矩阵都是满秩矩阵
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定理27 矩阵经初等变换后 其秩不变
例 1
求矩阵
A=
11 13
0 2 1 4
0 0 0 5
11
4 1
的秩
解
A = 1113
0 2 1 4
0 0 0 5
1141 1000
0 2 1 4
0 0 0 5
且A1 = 1 A , 其中A为矩阵A的伴随矩阵. A
证明: ()
因为AA = A E，当 A 0时，有A( A ) = E， A
又因为A A = A E，当 A 0时，有( A ) A = E， A
线性代数秩和逆
一、 矩阵的秩定义1 在一个n m ⨯矩阵A 中，任意选定k 行和k 列（{}n m k ,min ≤），位于这些选定的行和列的交点上的2k 个元素按原来的次序所组成的k k ⨯矩阵的行列式，称为A 的一个k 阶子式。
例1 在矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0000500041201311A 中，选第3,1行和第4,3列，它们交点上的元素所成的2阶行列式155013=就是一个2阶子式。
又如选第3,2,1行和第4,2,1列，相应的3阶子式就是.10500420111=定义2 非零矩阵的不为零的子式的最高阶数称为该矩阵的秩，零矩阵的秩规定为0。
矩阵A 的秩记为()A rank 。
例2 证明：矩阵A 与其转置矩阵T A 有相同的秩。
例3 证明：阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数。
证 设A 是一个阶梯形矩阵，不为零的行数是r 。
选取这r 个非零行以及各非零行第一个非零元素所在的列，由这些行和列交点上的元素所成的r 阶子式是一个上三角行列式，并且主对角线上的元素都不为零，因此它不等于零。
而A 的所有阶数大于r 的子式都至少有一行的元素全为零，因而子式为零。
所以()r A r a n k =。
由于矩阵的子式的阶数不超过矩阵的行数及列数，所以n m ⨯矩阵A 的秩()()n m A rank ,min ≤。
而如果()m A rank =，就称A 是行满秩的；如果()n A rank =，就称A 是列满秩的。
此外，如果A 的所有1+r 阶子式全为零，由行列式的定义可知，A 的2+r 阶子式也一定为零，从而A 的所有阶数大于r 的子式全都为零。
因此秩有下面等价的定义：定理1 n m ⨯矩阵A 的秩为r 充分必要条件是：在A 中存在一个r 阶子式不为零，且在()()n m A rank ,min <时，矩阵A 的所有1+r 子阶式都为零。
定理2 初等变换不改变矩阵的秩。
换句话说，等价的矩阵具有相同的秩。
证 设n m A ⨯经初等行变换变为n m B ⨯，且()()21,r B r a n k r A r a n k ==。
逆矩阵的性质及在考研中的应用
逆矩阵的性质及在考研中的应用矩阵是线性代数中的基本概念之一，而逆矩阵是矩阵理论中的重要组成部分。
在研究生入学考试中，逆矩阵的出现频率较高，是考生必须掌握的重要内容之一。
本文将介绍逆矩阵的基本性质以及在考研中的应用场景，旨在帮助考生更好地理解和掌握这一部分内容。
逆矩阵是矩阵的一种重要性质，其定义如下：设A是一个可逆矩阵，那么存在一个矩阵B，使得$AB=BA=I$，其中I是单位矩阵。
在这个定义中，矩阵B被称为A的逆矩阵。
$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{bmatrix}$计算行列式$det(A)$： $det(A) = |\begin{matrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{matrix}| = 2 \times 2 - 3 \times 1 = 1$计算A的伴随矩阵A*： $A* = \begin{matrix} & -2 & 3 \ -1 & 2 & \end{matrix}$计算A的逆矩阵A-¹： $A-¹ = \frac{1}{det(A)} \times A* =\frac{1}{1} \times \begin{matrix} & -2 & 3 \ -1 & 2 & \end{matrix} = \begin{matrix} 2 & -3 \ -1 & 2 \end{matrix}$在考研中，逆矩阵的应用主要涉及以下几个方面：解方程：逆矩阵可以用来求解线性方程组。
当方程组的系数矩阵是可逆矩阵时，我们可以通过逆矩阵快速求解方程组。
证明不等式：在证明某些矩阵不等式时，可以通过引入逆矩阵来简化证明过程。
求特征值和特征向量：在计算矩阵的特征值和特征向量时，需要先求出矩阵的逆矩阵。
解决优化问题：在数学优化中，逆矩阵往往作为系数矩阵的逆出现，对于一些约束优化问题，可以通过求解线性方程组来得到优化解。
矩阵的秩和逆矩阵
另外, 当 A 0时,定义
A0 E, Ak A1 k . k为正整数
当 A 0, , 为整数时,有
A A A ,
A A .
性质5
A1
设A
A2
o
o
, As
分块对角阵？
若 Ai可逆i 1,2,, s,则A可逆,并有
A11
A1
A21
o
o
.
As1
例
1
3
4
所以 A 的逆矩阵是唯一的,即 B C A1.
例
EE E, E1 E,单位阵可逆， 其逆阵是单位阵
例
1
3
4
113 1 ຫໍສະໝຸດ 111 1 ,1
3
1 4
11
3 1 4 1
,
对角阵可逆， 其逆阵是对角元素的倒数的对角阵
2.逆矩阵的运算性质（5个）
r3 r2
0 0
2 0
5 1
2 1
1 1
0 1
r1 2r3 1 0 0 1 3 2 0 2 0 3 6 5
r2 5r3 0 0 1 1 1 1
1 2 3 1 0 0 0 2 5 2 1 0 0 2 6 3 0 1
A1
r2
（
1） 2
1 0
0 1
0 0
1 3
3 3
程上，再把第1个方程乘以-2加到第3个方程上，即有
- 5x1 - 5x2 5x3 5 - 2x1 - 2x2 2x3 2
5x1 4x2 3x3 4 2x1 - 5x2 4 x3 2
x2 8x3 9
7 x2 6x3 4
把原来三个方程用所得的新方程代替：
x1 x2 x3 1
考研数学矩阵知识点总结
考研数学矩阵知识点总结一、矩阵的基本概念矩阵是一个二维的数组，由m行n列的元素组成。
通常用大写字母A、B、C等表示矩阵，元素用小写字母a_ij、b_ij、c_ij等表示。
例如，一个3行2列的矩阵可以写成：A = [a11 a12][a21 a22][a31 a32]矩阵具有一些基本的性质，包括矩阵的相等、相加、相乘等。
两个矩阵A和B相等，当且仅当它们的对应元素相等，即a_ij=b_ij (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)。
两个矩阵A和B的和是一个矩阵C，其元素c_ij等于a_ij+b_ij。
两个矩阵A和B的乘积是一个矩阵C，其元素c_ij等于a_i1*b1_j+a_i2*b2_j+…+a_in*bn_j。
二、矩阵的运算矩阵的加法和乘法是矩阵运算中的基本操作，它们有一些基本的性质。
矩阵A、B和C满足结合律、分配律、交换律等。
具体的运算规则和性质如下：1. 矩阵的加法设A、B是相同阶数的矩阵，则矩阵的加法满足交换律和结合律，即A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)。
矩阵的加法还满足分配律，即A(B+C)=AB+AC。
同时，零矩阵是矩阵加法的单位元素。
2. 矩阵的乘法设A是m行n列的矩阵，B是n行p列的矩阵，则矩阵的乘法满足结合律和分配律，即A(BC)=(AB)C，A(B+C)=AB+AC。
但矩阵的乘法不满足交换律，即AB≠BA。
同时，单位矩阵是矩阵乘法的单位元素。
三、特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念，它们在研究矩阵的性质和应用中具有重要的作用。
1. 特征值设A是一个n阶矩阵，如果存在数λ和非零向量x，使得Ax=λx成立，则λ称为矩阵A的特征值，x称为对应于特征值λ的特征向量。
矩阵A的特征值可以通过求解矩阵的特征方程det(A-λE)=0来得到。
特征值和特征向量在矩阵的对角化、矩阵的相似性等方面有重要的应用。
2. 特征向量设A是一个n阶矩阵，如果存在数λ和非零向量x，使得Ax=λx成立，则λ称为矩阵A的特征值，x称为对应于特征值λ的特征向量。
5矩阵的秩与逆矩阵
∗
求。
初等变换法。 方法二：初等变换法。
⇒ A−1 = P1 P2 L Ps A可逆 ⇒ A 可逆,
−1
行变换 ⇒ P1 P2 L Ps A = E −1 ⇒ ( AM E ) → ( E M A ) −1 P1 P2 L Ps E = A 列变换 E
1 − 1 − 1 例1：求A = − 3 2 1 的逆。 2 0 1
0 1 a M a
n −2
0 0 1 M a
n −3
L 0 0 L 0 0 L 0 0 L M M L a 1
A
−1
=?
0 0 L 0 0 1 − a 1 0 L 0 0 −1 A = 0 − a 1 L 0 0 M M L M M M 0 0 0 L − a 1 方法三：用定义求。 方法三：用定义求。 a1 −1 例2：A = O , a1 L a n ≠ 0.求A . an
例 2.
1 E (i, j ) = E (i, j ); E (i ( k )) = E (i ( )); k −1 E (i, j ( k )) = E (i, j ( −k ))
−1
−1
证:
Q E (i , j ) E (i , j ) = E
∴ E ( i , j ) = E (i , j )
( )
A → A−1 &&&& &&&& E
( AM E ) = 1 − 1 − 1 M 1 0 0 1 − 1 − 1 M 1 0 0 1 M 0 1 0 → 0 − 1 − 2 M 3 1 0 − 3 2 2 0 2 3 M − 2 0 1 0 1 M 0 0 1
1.5矩阵的秩与方阵的逆
r3 k
1 0 E5 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1
c3 k
1 0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 k 0 0 0 0 1
的秩．
1.5.1矩阵的秩及其求法
1 2 2 1 1 2 4 8 0 2 例4：设 A ，求矩阵 A 及矩阵 , b 2 4 2 3 3 3 6 0 6 4
B = (A, b) 的秩． 分析：对 B 作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设 B 的行阶梯 形矩阵为 B ( A, b ) ，则 A 就是 A 的行阶梯形矩阵，因此可从
中同时看出R(A)及 R(B) ．
1 2 2 1 2 4 8 0 解：B 2 4 2 3 3 6 0 6 1 1 2 2 r 0 0 ~ 3 0 0 4 0 0 2 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 记作 E5(3, 5) 0 0 1 0 0 1 0 0
r3 r5
0 0 c 3 c5 0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0
0 1 0 0
线性代数
1.5矩阵的秩与方阵的逆
1.5.1矩阵的秩及其求法
定义：在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k ≤ m，k≤n)，位于这k 行 k 列交叉处的元素， 按照原来的位置构成的 一个k 阶行列式，称为矩 阵 A 的一个 k 阶子式．
k k C C 显然，m×n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 m n
与矩阵的秩有关的结论
与矩阵的秩有关的结论矩阵的秩是矩阵理论中的一个重要的概念，它可以帮助我们了解矩阵的性质和特征，为矩阵的计算和应用提供了有力的工具。
在本文中，我们将介绍与矩阵的秩有关的一些重要结论和定理。
1.矩阵秩的定义矩阵的秩，也称为矩阵的秩数，是指矩阵中非零元素所在的行和列向量的最大线性无关组数。
其他的行和列向量都可以由这些线性无关组线性组合而成。
例如，在一个2行3列的矩阵中，如果其中有两行向量是线性相关的，那么它们中必然会有一行是另一行的倍数，因此这两行向量中只能算作一个线性无关组，矩阵的秩就是1。
如果这两行向量是线性无关的，那么它们就可以算作两个线性无关组，矩阵的秩则是2。
2.矩阵秩的性质矩阵秩具有以下性质：(1)矩阵的秩不会超过它的行数和列数的最小值，即rank(A) ≤ min(m, n)。
(2)矩阵的秩与它的转置矩阵的秩相同，即rank(A) = rank(AT)。
(3)如果矩阵A是由矩阵B和矩阵C左右拼接而成，那么矩阵A的秩至少是矩阵B和矩阵C的秩之和减去它们的公共部分的秩，即rank(A) ≥ rank(B) + rank(C) - rank(B ∩ C)。
(4)如果矩阵A是由矩阵B和矩阵C上下拼接而成，那么矩阵A的秩至少是矩阵B和矩阵C的秩之和，即rank(A) ≥ rank(B) +rank(C)。
(5)对于任意矩阵A、B和C，如果满足A = BC，那么rank(B) + rank(C) - rank(A) ≤ n，其中n是矩阵A的列数。
这些性质可以帮助我们更加深入地理解矩阵秩的本质和特点，并且提供了在矩阵计算和应用中进行推导和判断的依据。
3.矩阵秩与矩阵求逆多实际应用中的问题。
矩阵是否有逆，以及如何求出矩阵的逆，与矩阵的秩有密切的关系。
对于一个n阶可逆矩阵A，如果它的行列式不为0，那么它的秩必然是n，因为n阶可逆矩阵的秩就是n。
另外，我们还可以通过计算矩阵的伴随矩阵来求出矩阵的逆，公式为A^-1 = adj(A) / det(A)，其中adj(A)是矩阵A的伴随矩阵，det(A)是矩阵A的行列式。
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例5 设 A 是n阶矩阵 A 的伴随矩阵，n 2,
n, 证明：r( A ) = 1,
0,
若 r( A) = n; 若 r( A) = n 1; 若 r( A) n 1.
证： (1) 若 r( A) = n, 则 A 0.
AA = A E,
A A = A n ,
P60/ 2.19
A 0, r( A ) = n.
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(2) 若 r( A) = n 1, 则 A 中至少有一个n－1阶子式不为0，而 A中元素都是 A 的n－1阶子式，所以 A中至少有一个元素不为0， 则 r( A ) 1. 又由 r( A) = n 1, 知 A = 0, 则 AA = A E = 0 则 r( A) r( A ) n, r( A ) n r( A) = n (n 1) = 1, 综上， r( A ) = 1.
1 A
A
=
ad
1
bc
d c
b a
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例 1
求矩阵
A
=
1 2 3
0 1 2
105
的逆矩阵
101 解 因为| A|= 2 1 0 =20 所以A可逆 又因为
3 2 5
所以
A*
=A*AAA=111231
AA1121 AA2131 AA1222 AA2232 AA1323 AA2333
最后一矩阵为阶梯形矩阵 有三个非零行 故r(A)=3
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阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数
例
3
求矩阵 A=1132
3 1 2 4
1 2 1 3
32
1 5
的秩
解
A=1132
3 1 2 4
1 2 1 3
32
1 5
10
0 0
3 7 7 7
1 4 4 4
72
7 7
1000
3 7 0 0
(3) 若 r( A) n 1, 则 A 中所有n－1阶子式全为0， 则 A 中元素全为0，即 A = 0, r( A ) = 0.
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§2.3 逆矩阵公式和矩阵的秩
一、逆矩阵公式
定义22(非奇异矩阵)
对于n阶矩阵A 若行列式|A|=0 则称A是奇异的否则称A
为非奇异的
定义23（伴随矩阵）
Aij为A的元素aij的代数余子式，
A11
A
=
A12
A1n
A21
A22
An1
An
2
，
则称A为A的伴随矩阵.
A2n Ann
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些行和列的交叉处的元素 保持它们原来的相对位置所构成 的k阶行列式 称为矩阵A的一个k阶子式
2 1 2 3
例如
已知
A=
4 2
1 0
3 1
52
选定第一三两行及第二四两列
得 2 阶子式10
3 2
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定义25(矩阵的秩) 设A为mn矩阵 如果A中不为零的子式最高阶数为r 即
存在r阶子式不为零 而任何r1阶子式皆为零 则称r为矩阵A 的秩 记作秩(A)=r或r(A)=r
AAA333=2311=705222222222211
A1
=
|
1 A|
A*
=
1 2
5 10 7
2 2 2
121
=
5/ 2 5 7/2
1 1 1
111//22
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例2 设A为三阶矩阵, A = 1 ,求 (2A)1 2A
解:
A = 1 0知
A 可逆,且 A1 =
1 A ,所以
||A00A00||==|=|AA|A|II
E
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定理2.6 n阶方阵A可逆当且仅当 A 0
且A1 = 1 A , 其中A为矩阵A的伴随矩阵. A
证明： () A可逆，则有A1，使AA1 = E 两边取行列式，得AA1 = A A1 = 1 因此，A 0
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当A=O时 规定r(A)=0
例如
已知 A=100
2 1 0
3 0 1
100
1 因为0
0
2 1 0
3 0 =10 1
所以 r(A)=3
又如 B =100
102 r(B)=2
C =100
1 1 0
100
r(C)=3
上述矩阵都是满秩矩阵
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定理27 矩阵经初等变换后 其秩不变
例 1
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定理2.5 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,则
证明
AA* = A*A = A E
因为
a11 a21
an1
a12 a22
an2
a1n a2n
ann
A11 A12
A1n
A21 A22
A2n
An1 An2
Ann
=|A00|
0 | A| 0
AA
A
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A11
A1
=
1 A，其中A A
=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱA 12
A 1n
A21 A
22
An1
A n
2
A 2n
A nn
其中A为A的伴随矩阵，
A 为行列式 A中元素a 的代数余子式.
ij
ij
逆矩阵的求法二：伴随矩阵法
特
别
地
，
对 二 阶 方 阵A
=
a c
b d
当 A = ad bc 0时，有A1 =
---------作为定理来用
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几个常用性质：P60
(5) max{r( A),r(B)} r( A, B) r( A) r(B) (6) r( A B) r( A) r(B) (7) r( AB) min{r( A),r(B)} (8) 若AB = 0,则r( A) r(B) n
求矩阵 A=1113
0 2 1 4
0 0 0 5
11
4 1
的秩
解
A = 1113
0 2 1 4
0 0 0 5
11
4 1
1000
00 20 1 0 45
12
1 0
1000
0 1 0 0
0 0 5 0
11
4 0
由定理25知 A的秩等于经初等变换后所求出的最后一
矩阵的秩 而最后一矩阵的秩显然等于3 故r(A)=3
当A=O时 规定r(A)=0
矩阵的秩的简单性质 (1)r(A)=r(AT) (2)对于mn矩阵A 有0r(A)min(m, n) 当r(A)=min(m, n)时 称矩阵A为满秩矩阵
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定义212(矩阵的秩) 设A为mn矩阵 如果A中不为零的子式最高阶数为r 即
存在r阶子式不为零 而任何r1阶子式皆为零 则称r为矩阵A 的秩 记作秩(A)=r或r(A)=r
|A00|=|
AA| IE
AAAAAA111111n21n21
AA2211 AA2222 AA22nn
AAAAAAnnnnnn12n12naaaaaa12n12n111111
aa1122 aa2222 aann22
aaaaaa1n21n2nnnnnn==||A00A00||
00 ||AA|| 00
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定理2.6 n阶方阵A可逆当且仅当 A 0
且A1 = 1 A , 其中A为矩阵A的伴随矩阵. A
证明: ()
因为AA = A E，当 A 0时，有A( A ) = E， A
又因为A A = A E，当 A 0时，有( A )A = E， A
所以A( A ) = ( A ) A = E，所以A1 = 1 A
A
A = A A1 = A1
又 (2 A)1 = 1 A1, A1 = 1 = 1 ,于是
2
A
(2A)1 2A = 1 A1 2 A1 = 3 A1
2
2
= ( 3)3 A = 27
2
8
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二、矩阵的秩
定义24(k阶子式) 设A是mn矩阵 从A中任取k行k列(kmin(m, n)) 位于这
思考 A的秩与最后一个阶梯形矩阵的非零行有什么关系？
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阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数
例 2
求矩阵 A=112
1 3 1
1 3 2
122
的秩
解
A=
1 2 1
1 3 1
1 3 2
122
100
1 5 2
1 1 1
212
100
1 5 3
1 1 0
122 100
1 1 0
1 5 3
122
1 4 0 0
72