矩阵的秩及其求法 ppt课件

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2.5 矩阵的秩及其求法

求 R( A).
1 0 2 −4 1 0 2 −4 −4 → 0 1 −1 2 r 2r ，解 A 2 − 0 1 −1 2 r1 → r3 + 1 0 −1 1 − 2 0 0 0 0
R(A) = 2
13
1 −1 1 2 例5 设A = 3 λ −1 2, 且R（A） 2 = ，求λ, µ 5 3 µ 6
∴ R( A) = 3
A为满秩方阵。
19
若求A 若求的标准型矩阵
1 − 2 1 − 4 0 −1 −1 3 → 0 0 1 9 0 0 0 0
2 1 1 0 →0 2 0 0
0 −1 2 1 0 0
4 0 12 3 1 9 2 0 0 0
矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为
2 −1 D2 = 0 −1
3 5 为 A 的一个三阶子式。
而
1 2 D3 = 4 6
1 0 −1
k k m× n 矩阵 A 共有 cmcn 个 k 阶子式。显然，
4
设
A = (aij )m×n 当 A＝0 时，它的任何子式都为零。
⑤ R（AB）≤ min{R（A），R（B）} ⑥ 若 Am×nBn×s=0，则 R（A）+R（B）≤n
24
例8
设A为n阶矩阵，证明R（A+E）+R（A-E）≥n 证： ∴ 而 ∴ ∵ （A+E）+（E-A）=2E r（A+E）+ r（ E-A ）≥ r（2E）=n r（ E-A ）= r（ A-E ） r（A+E）+r（A-E）≥n
7
矩阵秩的求法二、矩阵秩的求法 1、子式判别法定义。、子式判别法(定义定义)。

第四节矩阵的秩

一个 k 级子式.
例如，在矩阵
1 1 3 1
A

0 0
2 0
1 0
4

5

0
0
0
0

中，选第 1, 3 行和第 3, 4 列，它们交点上的元素
所成的 2就是一个 2 级子式. 又如选第 1, 2, 3 行和第1, 2, 4
列，相应的 3 级子式就是
求向量组的极大线性无关组的方法是：把向量组中的每一个向量作为矩阵的一列构成一个矩阵, 然后用矩阵的初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵，在阶梯形矩阵中，每个阶梯中的第一个非零元所在的列所对应的向量即为极大线性无关组中的向量.
若要用极大线性无关组来表示其余向量，则需进一步把阶梯形矩阵化成行最简形，这时，不在极大线性无关组中的列中的元素即为用极大线性无关组表示该列所对应的向量的表示系数.

2 3

,
3

3 5

,

4

7
;
1

1

1

4

1

本若请本若请本若请本若请本本若若请请本若节想请单节想本单若节想请单节想本单若节节想想请单单节想内结本单若击内请结节击想内结本单若击内请结节击想内内结结本单若击击内请结容束节击想返本容单若束内请返结容束节击想返本容单若束内请返结容容束束节击想返返本容单若束已本内请返结回节已击想本本容单若回束已本内请返结回节已击想本本容单若回束已已本本内请返结回回节已击想本结本堂容单若回束按内结请返结本堂若节已击想按本结请本本堂容单若若回束按内结请请返结本堂若节已击想按本结结请本堂堂容单若回束按按内结请返结堂束节课已击想按本钮容束单回束节课想内结返结钮堂束单节节课已击想想按本钮容束单单回束节课想内结返结钮堂束束单节课课已击想按本钮钮容束单回束课内,结返结钮堂.已击按本内,!结容束回束课.击内内,结!返结结钮堂.已击击按本内,!结容束回束课.击内,,结!返结钮堂..已击按本,!!容束回束课.结!返钮堂容束已按本,返容容束回束束课.结!返返钮堂容束已按本,返容束回束课.结!返钮堂已按本,束回课.已本结!钮堂回已已按本本,束回回课.已本结!钮堂回已按本,束回课.结!钮堂按,结堂束课.按结结!钮堂堂按按,结堂束课.按结!钮堂按,束课.!钮束课,钮束束课课.!钮钮束课,钮束课.!钮,.,!.,,!..,!!.,!.!

第七讲矩阵的秩线性方程组的解PPT课件

16
1 6 4 1 4
r3 3r2
0
4
3
1 1
r4 4r2
0 0
0 0
0 0
4 8 4 8
r4 r3
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0
由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R(A)3.
17
求A的一个最高阶子. 式 R (A )3, 知A的最高阶非零子 3阶式. 为
6
如：矩阵
1 3 9 3
A
0 2
1 3
3 9
64
取第1行、第3行和第1列、第4列交叉处的元素，组成的
二阶子式是 1
3 12
2
m n矩A 阵的 k阶子C m k 式 •C n k个共 . 有最低阶为 1阶，最高阶为 min{m阶,n. } 定义2 设在矩阵A中有一个不等0的于k 阶子式D，且所有 r 1阶子式（如果存在）的全话等于0，那末D称为矩阵 A的最高阶非零子式r，数称为矩阵A的秩，记作 R(A) .并规定零矩阵的秩等于零.
9
例1
求矩阵
1
A 2
2 3
3 5
的秩.
4 7 1
解在 A中, 1 3 0.
2 5
又 A的3阶子式只有一个 | A |, 且
12 3 1 2 3
| A | 2 3 5 0 1 11 0,
4 7 1 0 1 11
r(A)2.
10
2 1 0 3 2
例2 求矩阵 B00
3 0
1 0
2 4
35的秩 .
0 0 0 0 0
解 B是一个行阶梯其形非矩零阵3行，行有，

矩阵的秩及其求法矩阵秩求法演示文稿

5 3 6
0
8
5
4
1 1 1 2
0 3 4 4 0 5 1 0
R(A) 2, 5 0, 1 0
5, 1
三、满秩矩阵定义3 A 为 n 阶方阵时，
RA n, 称 A 是满秩阵，（非奇异矩阵）
RA n, 称 A 是降秩阵，（奇异矩阵）可见：RA n A 0
RA n A ~ E
RA n A ~ En
例如 1 A 2 3
2 1 1
3 2 2
1 0 0
2 3 2
3 1 4 0 3 0
0 1 2
0 1 3
1 0 0
0 0
1 0 E 0 1
RA 3
A为满秩方阵。
关于矩阵的秩的一些重要结论：
定理5
R(AB) R(A), R(AB) R(B),即
对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E, 又根据初等阵的作用：每对A施行一次初等行变换，相当于用一个对应的初等阵左乘A, 由此得到下面的定理
定理3 设A是满秩方阵，则存在初等方阵
P1, P2,, Ps. 使得 Ps Ps1 , P2P1A E
对于满秩矩阵A，它的行最简形是 n 阶单位阵 E .
2 1 所构成的二阶子式为 D2 0 1
12 3 而 D3 4 6 5 为 A 的一个三阶子式。
1 0 1
显然， m n 矩阵 A 共有 cmk cnk 个 k 阶子式。
2. 矩阵的秩
定义2 设 A aij mn ，有r 阶子式不为0，任何r+1阶
子式(如果存在的话)全为0 , 称r为矩阵A的秩，
0 1
2 3
4 6
求 RA.
1 1 1 2

矩阵的秩及其求法课件

矩阵的秩及其求法课件
目录
• 矩阵的秩的定义 • 矩阵的秩的求法 • 矩阵的秩的应用 • 矩阵的秩的特殊情况 • 矩阵的秩的注意事项
矩阵的秩的定义
01
秩的定义
秩
一个矩阵的秩是其行向量组或列向量组的一个最大线性无关组中所含向量的个数。
定义中的关键词
线性无关、最大、个数。
秩的性质
性质1
矩阵的秩是其行向量组的秩或列向量组的秩，即r(A)=r(A 的行向量组)=r(A的列向量组)。
矩阵的秩的特殊情
04
况
零矩阵的秩
要点一
总结词
零矩阵的秩总是为0。
要点二
详细描述
对于任何n阶零矩阵，其秩都为0，因为零矩阵其行列式值。
详细描述
对于n阶方阵A，其秩r(A)等于其行列式值|A|，当且仅当 A是满秩矩阵时。
特殊矩阵的秩
总结词
特殊矩阵的秩可以通过其元素性质计算。
详细描述
对于一些具有特定元素性质的矩阵，如上三角矩阵、下三角矩阵、对角矩阵等，其秩可
以通过元素的性质直接计算得出。
矩阵的秩的注意事
05
项
秩的计算与误差
计算方法
矩阵的秩可以通过多种方法计算，如行初等变换法、列初等变换法、子式法等。
误差控制
在计算过程中，应尽量减少误差，确保结果的准确性。
精度要求
方法2
初等列变换法。通过初等列变换将矩阵化为阶梯形矩阵，阶梯形矩阵中非零行的行数即为原矩阵的秩。
方法3
利用子式求秩。一个n阶矩阵的秩等于其所有n阶子式的秩，而n阶子式的秩又等于其所有元素的最高次幂系数乘积不为0时的最高阶数。
矩阵的秩的求法
02
行列式法

第二章矩阵的运算及与矩阵的秩ppt课件

钢笔 100 150
铅笔 300 260
.
§2.1 矩阵的基本运算
每种商品进货单价和销售单价（元）如下表：
圆珠笔钢笔铅笔
进货单价 6 9 3
销售单价 8 12 4
.
§2.1 矩阵的基本运算
求每个月的总进货额和总销售额。
金额月份
总进货额
总销售额
九月 200×6+100×9+300×3 200×8+100×12+300×4
0 0 2 5
0 1 8
0
0 0
A1
A2
0 0 0 3 2 0
A3
0 0 0 0 0 9
.
二、分块矩阵的运算
§2.2 分块矩阵
1．分块矩阵相加、减
设A、B是两个用相同方法分块的同型矩阵
A11
设Amn
A21 M
A12 L A22 L MO
Ap1 Ap2 L
A1q
B11 B12 L
001 a 31 a 32 a 33 a 3 4 a 31 a 32 a 33 a 34
.
§2.1 矩阵的基本运算
1 0 0 0
a11 A(E 2,3)a21
a12 a22
a13 a23
a a1 24 40 0
0 1
1 0
0 0a a1 21 1
a13 a23
a12 a22
a14 a24
P 1 P 2LP sA Q 1 Q 2LQ tB
.
三、矩阵的转置
§2.1 矩阵的基本运算
定义2.3：把m×n矩阵A的行和列依次互换得到的一个 n×m 矩阵，称为A的转置，记作AT或A’.

线性代数课件第三章矩阵的秩

线性方程组的解与矩阵的秩的关系
利用矩阵的秩判断线性方程组是否有解
利用矩阵的秩求解线性方程组的步骤和方法
矩阵的秩在判断向量组线性相关性的应用
矩阵的秩与向量组线性相关性的定义
矩阵的秩在判断向量组线性相关性中的应用
矩阵的秩与向量组线性相关性的关系
矩阵的秩在解决实际问题中的应用
矩阵的秩在求向量空间维数中的应用
汇报人：PPT
PPT,a click to unlimited possibilities汇报人Leabharlann PPT目录矩阵秩的定义
矩阵的秩的概念
矩阵秩的几何意义
矩阵秩的计算方法
矩阵秩的性质和定理
矩阵的秩的计算方法
定义：矩阵的秩是其行向量或列向量的最大线性无关组的个数
计算方法：通过初等行变换或初等列变换将矩阵化为阶梯形矩阵，然后数非零行数或非零列数
利用初等列变换求矩阵的秩的证明
初等列变换的定义和性质
阶梯形矩阵的秩的计算方法
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
利用初等列变换将矩阵化为阶梯形矩阵
证明利用初等列变换求矩阵的秩的正确性
零矩阵的秩
零矩阵的定义：所有元素都为0的矩阵
零矩阵的秩为0
零矩阵与任何矩阵相乘都等于0
零矩阵在数学中的意义和作用
性质：矩阵的秩与行数和列数有关，且不超过行数和列数中的最小值
应用：矩阵的秩在解线性方程组、判断向量组的线性相关性等方面有重要应用
矩阵的秩的性质
矩阵的秩等于其行秩或列秩
矩阵的秩是其所有子矩阵的秩的最大值
矩阵的秩是唯一的
矩阵的秩等于其转置矩阵的秩
矩阵的秩在解线性方程组中的应用

线性代数矩阵的秩ppt课件

设 A 经过初等列变换变为 B，则 AT 经过初等行变换变为
BT ，从而 R(AT) = R(BT) ． 1. 又 R(A) = R(AT) ，R(B) = R(BT)，因此 R(A) = R(B) ．
认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫 ”项目
显然，m×n 矩阵 A 的 k 阶子式共有
C
k m
C
k n
个．
概念辨析： k 阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式
认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫 ”项目
a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
3 2 0 5 0
例：求矩阵
A
3
2
3
2 0 1
6 5
1
3
的秩，并求 A 的一个
1
6
4 1
4
最高阶非零子式．
认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫 ”项目
解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．
认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫 ”项目
一、矩阵的秩的概念
定义：在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k ≤ m，k≤n)，位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在 A中所处的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式．

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E

0
0
8 0
1 0
5 7
3

2

0
0
0
0
0

RA 3 RB 2 RC 3 RD 2 RE 3
一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”—— 非零行的行数。
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7
例2
设
a A 1
1 a
1 1
如果
RA 3
, 求a.
第四节
第二章
矩阵的秩及其求法
一、矩阵秩的概念二、矩阵秩的求法三、满秩矩阵
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1
一、矩阵的秩的概念 1. k 阶子式
定义1 设 A aij mn 在A中任取k 行k 列交叉
处元素按原相对位置组成的 k (1 k min m, n)
阶行列式，称为A的一个k 阶子式。
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1 A 3
1

1 1
2 1 2 0
1
3
1 4
2 4
5 3 6 0 8 5 4
1 1 1 2
0 3 4 4 0 5 1 0
R(A) 2, 5 0, 1 0
5, 1
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12
三、满秩矩阵定义3 A 为 n 阶方阵时，
RA n, 称 A 是满秩阵，（非奇异矩阵）
RA n, 称 A 是降秩阵，（奇异矩阵）可见：RA n A 0
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13
对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E, 又根据初等阵的作用：每对A施行一次初等行变换，相当于用一个对应的初等阵左乘A, 由此得到下面的定理
1 1 a
a11
解 RA 3 A 1 a 1 (a 2)(a 1)2 0
11a
a 1 或 a 2
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8
例3
K 1 1 1
A

1 1 1
K 1 1
1 K 1
1
1 K

RA 3
则 K 3
11 1 1
子式均为 0，r 是 A 中非零的子式的最高阶数.
(2) 由行列式的性质，R( A) R( AT ) .
(3) R(A) ≤m, R(A) ≤n, 0 ≤R(A) ≤min { m , n } .
(4) 如果 An×n , 且 A 0 , 则 R ( A ) = n . 反之，如 R ( A ) = n ,则 A 0 .
结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。
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6
例如 1 2 3 0 A 0 1 0 1 0 0 1 0
1 2 5
D

0
3
4

0 0 0
1 2
1 1 0
B 0 1 C 0 1 0
0 0
0 0 1
2 1 2 3 5
定理3 设A是满秩方阵，则存在初等方阵
P1, P2,, Ps. 使得 Ps Ps1 , P2P1A E
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14
对于满秩矩阵A，它的行最简形是 n Nhomakorabea阶单位阵 E .
RA n A ~ E
RA n A ~ En
例如 1 A 2 3
2 1 1
3 2 2
R(AB) min{R(A)，R(B)}。
设A是 m n 矩阵，B是 n t 矩阵，
性质1 性质2 性质3 性质4
R(A) R(B) n R(AB).

1 0 0
2 3 2
3 1 4 0 3 0
0 1 2
0 1 3
1 0 0 0 1 0 E
0 0 1
RA 3
A为满秩方阵。
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15
关于矩阵的秩的一些重要结论：
定理5
R(AB) R(A), R(AB) R(B),即
3. ri krj 是行列式运算的性质。
由于初等变换不改变矩阵的秩，而任一 Amn 都等价
于行阶梯矩阵。其秩等于它的非零行的行数，即为 RA.
所以可以用初等变换化 A 为阶梯矩阵来求A的秩。
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10
例4
1 A 2
0 1
2 3
4 6
求 RA.
1 1 1 2
2
例如
1 2 3 1 设 A 4 6 5 4 ，
1 0 1 1
矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素
所构成的二阶子式为
2 1 D2 0 1
12 3 而 D3 4 6 5 为 A 的一个三阶子式。
1 0 1
显然， m n 矩阵 A 共有 cmk cnk 个 k 阶子式。
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3
2. 矩阵的秩
定义2 设 A
aij
，有r
mn
阶子式不为0，任何r+1阶
子式(如果存在的话)全为0 , 称r为矩阵A的秩，
记作R(A)或秩(A)。
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4
规定：零矩阵的秩为 0 . 注意：(1) 如 R ( A ) = r，则 A 中至少有一个 r 阶子
式 Dr 0 , 所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶
A K 3 1 K 1 1 (K 1)3(K 3)
11 K 1
11 1 K
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9
2、用初等变换法求矩阵的秩
定理2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。
即 A B 则 R(A) R(B)
说明：1. ri rj 只改变子行列式的符号。
2. k ri 是 A 中对应子式的 k 倍。
因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n .
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5
二、矩阵秩的求法
1、子式判别法(定义)。
例1
设
B

1 0
2 2
3 7
4 0
为阶梯形矩阵，求R(B)。
0 0 0 0
1
解由于
2 0 ，存在一个二阶子式不为0，而
02
任何三阶子式全为0，则 R(B) = 2.
1
解
A
rr32 2rr11
0
0
0 1 1
2 1 1
24 2

1 0 0
0 1 0
2 1 0
4 2 ， 0
R(A) = 2
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11
例5
设A

1 3
1

1 1
2 2 ,
且R（A）
2，求,

5 3 6