第四讲矩阵的运算和逆矩阵
应用高等数学-4.2.3 可逆矩阵与逆矩阵
则矩阵 A1称为 A 的逆矩阵或逆阵.
二、逆矩阵的概念和性质
定义 对于n 阶矩阵 A ，如果有一个n 阶矩阵B
,使得
AB BA E,
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵 B 称为A 的逆矩阵. A的逆矩阵记作 A1. 例 设 A 1 1, B 1 2 1 2,
1 1 1 2 1 2 AB BA E, B是A的一个逆矩阵.
小结
1. 可逆矩阵与逆矩阵的概念 2. 逆矩阵的性质 3. 利用初等行变换求逆矩阵的步骤
课堂练习
练习题4.2
练习册 第4章 练习四
思考题
3 0 0
1.
设A
0
1
0
,
则An
0 0 4
2.已知A3 E,则A1
3. 若n阶矩阵A满足方程A2 2A 3E 0,则 A1
答案
3n 0 0 1. 0 1 0 .
3 2 12 1
5 2 1 2 . 1
注意: 用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换， 其间不能作任何列变换．
练习1
1 2 3
设
A 2
2
1 ,求 A1.
3 4 3
解：
1 2 3 1 0 0
A
E
2
2
1
0
1
0
3 4 3 0 0 1
－2 －3
1 2 3 1 0 0
0
2
5
2
1
0
0 2 6 3 0 1
0
1
1
1
-2
0 0 1 0 1 1
1 1 0 0 1 2
0
2
0
1
1
0 0 1 0 1
高等代数3-3矩阵的逆
... 0 A En ... A
A A
*
A11 A12 A 1n
A21 A22 A2 n
... An1 a11 ... An 2 a 21 ... Ann a n1
a12 a 22 an2
即矩阵A的逆矩阵是唯一的 .
B1 B1 E B1 ( AB2 ) ( B1 A )B2 EB2 B2
由于A的逆矩阵是唯一的，将A的唯一的逆矩阵记为 A1
则有
AA1 A1 A E
3. 单位矩阵E是可逆矩阵,且E 1 E .
4. 零矩阵O不是可逆矩阵.
a1 0 ... 0 0 a2 ... 0 例A 0 0 ... a n 其中 a1a2 ...an 0 a1 0 0 a2 0 0
可逆
1 0 3 0 1 A 1 2 3 1 2 3 3
1
1 3 A 2 6
A 0
不可逆
用公式法求二阶矩阵的 逆矩阵非常方便 .
a b 1 d d 1 若A , 且 A 0, 则 A . A c a c d
已知方阵A满足A3 A2 4 A 5 E O ,则( A 2 E )1 ________.
A2 A 2 E
1 2 0 已知AB B A , 其中B 2 1 0 ,则( A E )1 __________. 0 0 2
( A E )( B E ) E ( A E )1 B E
1 ( A 2E ) 2 1 例5 已知方阵A满足A A 4 E O ,则( A E ) __________. 2
矩阵的变换与运算矩阵的乘法与逆矩阵
矩阵的变换与运算矩阵的乘法与逆矩阵矩阵的变换与运算：矩阵的乘法与逆矩阵矩阵在数学中扮演着重要的角色，它可以用于描述线性变换或者表示线性系统的方程组。
本文将讨论矩阵的变换与运算，重点介绍矩阵的乘法与逆矩阵两个关键概念。
一、矩阵的乘法（Matrix Multiplication）矩阵的乘法是矩阵运算中的一种基本运算，表示为A * B，其中A 和B分别为两个矩阵。
在进行矩阵乘法时，需要满足乘法的条件：A 矩阵的列数等于B矩阵的行数。
矩阵乘法的计算方法是将A矩阵的每一行与B矩阵的每一列进行内积运算，并将结果填入一个新的矩阵C中。
具体计算过程如下：C[i][j] = A[i][1]*B[1][j] + A[i][2]*B[2][j] + ... + A[i][n]*B[n][j]其中，C[i][j]表示矩阵C中第i行第j列的元素，A[i][k]表示矩阵A 中第i行第k列的元素，B[k][j]表示矩阵B中第k行第j列的元素。
矩阵乘法的重要性在于可以描述线性变换的复合效果，同时也有利于解决线性方程组。
在实际应用中，矩阵乘法广泛运用于计算机图形学、信号处理、最优化等领域。
二、逆矩阵（Inverse Matrix）逆矩阵是指对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得A * B = B * A = I，其中I为单位矩阵。
逆矩阵的存在与否与矩阵的行列式密切相关。
判断矩阵A是否可逆的条件是行列式不等于零，即|A| ≠ 0。
若矩阵A可逆，则可以通过一系列行变换将其转化为单位矩阵，对应的变换矩阵为逆矩阵。
逆矩阵的计算可以使用伴随矩阵法或者初等行变换法。
例如，对于一个2x2的矩阵A：A = [a b][c d]若|A| ≠ 0，即ad - bc ≠ 0，则A的逆矩阵存在，并可表示为：A^-1 = 1/(ad - bc) * [d -b][-c a]逆矩阵的应用广泛，例如求解线性方程组、计算矩阵的行列式与秩、求解微分方程等。
三、矩阵的变换（Matrix Transformation）矩阵的变换是指通过矩阵的乘法，对向量进行线性变换。
矩阵的行列式与逆矩阵
矩阵的行列式与逆矩阵现代数学中，矩阵是一种非常重要的数学工具，广泛用于线性代数、微积分、概率论等领域。
矩阵的两个重要性质是行列式和逆矩阵。
本文将重点探讨矩阵的行列式和逆矩阵，并解释它们的概念、计算方法以及应用场景。
一、矩阵的行列式矩阵的行列式是一个数值，可以通过矩阵中元素的运算得到。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作|A|，计算方式如下：|A| = a11·A11 + a12·A12 + a13·A13 + ... + a1n·A1n，其中a11、a12、a13等表示矩阵A第一行各元素的值，A11、A12、A13等表示对应元素的代数余子式。
行列式具有以下性质：1. 互换行列式的两行（或两列）的符号变号；2. 如果矩阵中有一行（或一列）全为0，那么行列式的值为0；3. 如果矩阵中的两行（或两列）相同，那么行列式的值为0；4. 若矩阵中某一行（或一列）的元素都是两数之和，则可将该行（或列）按元素分开计算，得到的两行（或列）的行列式与原矩阵的行列式相等。
行列式在线性代数中有广泛应用，例如：a. 计算矩阵的逆矩阵时，需要先计算矩阵的行列式，若行列式为0，则矩阵不存在逆矩阵；b. 判断矩阵是否可逆时，可以通过行列式是否为0来判断；c. 计算二次型的矩阵时，常常需要用到行列式。
二、矩阵的逆矩阵逆矩阵是指对于一个矩阵A，存在一个矩阵B，使得A与B的乘积为单位矩阵I（AB=BA=I）。
如果一个矩阵存在逆矩阵，那么称之为可逆矩阵或非奇异矩阵。
计算方法如下：1. 对于一个2阶方阵A，如果其行列式不为0，那么逆矩阵存在。
假设A的行列式为|A|，则A的逆矩阵记作A^-1，可通过以下公式计算： A^-1 = (1 / |A|) * (a22 -a12, -a21, a11)。
2. 对于一个n(n≥3)阶方阵A，如果其行列式不为0，逆矩阵存在。
逆矩阵的计算可以通过伴随矩阵进行，即将A的每个元素转置并求代数余子式所构成的矩阵C，再将矩阵C转置并除以A的行列式，得到A的逆矩阵。
高中数学第4课时二阶行列式与逆矩阵课时逆矩阵与二元一次方程组教案新人教A版选修4_22
第四讲 二阶行列式与逆矩阵·逆矩阵与二元一次方程组一.二阶行列式与逆矩阵【概念】如果矩阵A ＝a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭是可逆的，则ad bc -≠0. 其中ab cd -称为二阶行列式，记作a bc d ，即a bc d ＝ad bc -，ad bc -也称为行列式a bc d 的展开式。
符号记为：detA 或|A|【可逆矩阵的充要条件】定理：二阶矩阵A ＝a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭可逆，当且仅当detA=ad bc -≠0.此时1det det det det d b A A A c a A A --⎛⎫ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭（请同学一起证明此定理）【应用】1.计算二阶行列式： ①3142②2213λλ-- 2.判断下列二阶矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵。
①A ＝0110⎛⎫⎪-⎝⎭②B ＝1100⎛⎫ ⎪⎝⎭【练习：P 55】二、二元一次方程组的矩阵形式1.二元一次方程组的矩阵形式一般的，方程组ax by e cx dy f +=⎧⎨+=⎩可写成矩阵形式为： 2. 二元一次方程组的线性变换意义 设变换ρ：a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭，向量x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭、e f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则方程组ax by e cx dy f+=⎧⎨+=⎩，意即：ρx y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝e f ⎛⎫ ⎪⎝⎭三、逆矩阵与二元一次方程组1.研究方程组：13221122x y x y -=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩的矩阵形式与逆矩阵的关系。
【定理】如果关于x,y 的二元一次方程组ax by e cx dy f +=⎧⎨+=⎩的系数矩阵A ＝a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭是可逆的，则该方程组有唯一解：x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1a b c d -⎛⎫ ⎪⎝⎭e f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【推论】关于x,y 的二元一次方程组00ax by cx dy +=⎧⎨+=⎩（a,b,c,d,均不为0），有非零解⇔a b c d ＝0【应用】1.用逆矩阵解二元一次方程组32420x y x y +=⎧⎨+=⎩ 【思考】课本60页思考 ax by e cx dy f +=⎧⎨+=⎩的系数矩阵A ＝a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭不可逆，方程组的解如何？ 【练习：P 61】【应用】1.λ为何值时，二元一次方程组a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝λx y ⎛⎫ ⎪⎝⎭有非零解？ 三、三阶矩阵与三阶行列式1.三阶矩阵的形式2.三阶行列式的运算【第四讲.作业】1.矩阵A ＝3142⎛⎫ ⎪⎝⎭，则|A|=2.矩阵A ＝21510x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若A 是不可逆的，则x= 3. 1234⎛⎫ ⎪-⎝⎭的逆矩阵为 4. A ＝1031⎛⎫ ⎪-⎝⎭，B ＝1201-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1()AB -＝5. A ＝312x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，31α⎛⎫= ⎪-⎝⎭，若A 不可逆，则A α＝ 6.若关于x,y 的二元一次方程组304110x my x y +=⎧⎨-=⎩有非零解，则m ＝7.设二元一次方程组224m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭没有非零解，则m 所有值的集合为 8.向量α在旋转变换60o R 的作用下变为13-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则向量α＝9. 若1301⎛⎫ ⎪⎝⎭x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭，则x+y ＝ 10. A ＝3110-⎛⎫⎪⎝⎭，B ＝3201-⎛⎫ ⎪⎝⎭，向量α满足1()AB α-＝31⎛⎫ ⎪⎝⎭，则向量α＝11.用逆矩阵的方法解方程组：①71130x y x y -=⎧⎨+=⎩ ②301240x y x y -=⎧⎨-=⎩12.求下列未知的二阶矩阵X ：①12323111X -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ②12323111X -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭13.当λ为何值时，二元一次方程组2213⎛⎫ ⎪⎝⎭x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝λx y ⎛⎫ ⎪⎝⎭有非零解？14.设A ＝1211⎛⎫ ⎪-⎝⎭，矩阵B 满足1ABA -＝3012⎛⎫ ⎪⎝⎭，求矩阵B.答案：1.22. 3.2155311010⎛⎫-⎪⎪⎪⎪⎝⎭4.7231-⎛⎫⎪-⎝⎭5.155⎛⎫⎪⎝⎭6.-33/47.32m≠-8.12⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭9.－310.3⎛⎫⎪⎝⎭11.11,66x y==-x=k,y=3k 12.147710577⎛⎫⎪⎪⎪--⎪⎝⎭、38774177⎛⎫- ⎪⎪⎪--⎪⎝⎭13.1或4 14.523321033⎛⎫-⎪⎪⎪⎪⎝⎭中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
第四讲矩阵的运算与逆矩阵
a11b12 a12b22 a13b32 a21b12 a22b22 a23b32 2×2
（2）乘法的定义与运算规律
定义4 设 A aij 是一个 m×s 矩阵,B bij 是一个s×n 矩阵,
那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个m×n 矩阵 C cij ,
s
c 其中 ij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aik bkj i 1,2,, m; j 1,2,, n k 1
a1, a2 ,
bn n1
b1a1 b1a2 b1an
, an
1n
b2a1
bna1
b2a2
bna2
b2an
bnan
nn
（3）矩阵运算的性质（与实数运算的对比）
通过以上对矩阵运算的了解，尤其是对矩阵乘法运算的
分析，我们可以对比一下矩阵的代数运算与我们所熟悉
的实数的代数运算，并找出它们之间的本质区别：
3. 对于两个 n 阶矩阵，一般
ABk Ak B k . AB2 ABAB A2 B2
如
A
2 3
46,
B
2 1
42,
AB 00
00,
AB2
0 0
0 0
;
A2 128
16 24
,
B2
8 4
016,
A2 B 2
0 0
128 192
.
线性代数 第二章 矩阵及其运算
11
第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
注4：方阵A的多项式定义：已知f ( x) a0 a1 x a2 x2 an xn 则对应A的多项式为：f ( A) a0E a1 A a2 A2 an An;请看下例：
矩阵的乘法及求逆运算 最终版
(1)
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3
记
a11
A
a21 a31
a12 a22 a32
a13
a23 a33
,
x1
x
x2 x3
,
b1
b
b2 b3
则方程组(1)可表示为 Ax b.
二.矩阵的求逆
一、逆矩阵的概念 二、方阵可逆的判别定理 三、逆矩阵的基本性质 四、用矩阵的初等变换求逆矩阵
0
1
5
逆矩阵求解方法七——恒等变形
有些计算命题表面上与求逆矩阵无关，但实质上只有求出其
逆矩阵之后，才能解决问题。而求其逆矩阵常对所给矩阵进行恒 等变形，且常变为两矩阵乘积等于单位矩阵的等式。
1
3
例 . 已知 A6 I，求 A11，其中 A 2
2
3 1
x1i
Xi
x2i
x3i
解得：
（i 1, 2,3）
1 3 2
A1
X
3
3
5
2
2
0 11 1
逆矩阵求解方法六——准对角矩阵
A11 0 L
定义：形如A
0
A22 L
L L L
0
0L
A称为准对角矩阵
0
0
0
1
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0
0
0
1
矩阵运算中的转置与逆矩阵
矩阵运算中的转置与逆矩阵矩阵是线性代数中重要的概念之一，它在各个领域中都有广泛的应用。
在矩阵运算中，转置和逆矩阵是两个常见且重要的操作。
本文将详细介绍矩阵的转置和逆矩阵的概念、性质以及计算方法。
一、矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行与列互换得到的新矩阵。
对于一个m×n的矩阵A，其转置记作A^T，即A的第i行第j列元素变为A^T的第j行第i列元素。
矩阵转置的性质如下：1. (A^T)^T = A，即矩阵进行两次转置后得到原矩阵。
2. (A + B)^T = A^T + B^T，即矩阵的和的转置等于各个矩阵转置后的和。
3. (kA)^T = kA^T，其中k为常数。
4. (AB)^T = B^T A^T，即矩阵乘积的转置等于右边矩阵转置后乘以左边矩阵转置。
计算矩阵的转置可以通过交换矩阵的行和列来实现。
例如，对于一个3×2的矩阵A：A = [a11 a12a21 a22a31 a32]其转置A^T为一个2×3的矩阵：A^T = [a11 a21 a31a12 a22 a32]二、矩阵的逆矩阵对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I（其中I为单位矩阵），则称B为A的逆矩阵，记作A^(-1)。
逆矩阵的性质如下：1. (A^(-1))^(-1) = A，即逆矩阵的逆矩阵等于原矩阵。
2. (kA)^(-1) = k^(-1)A^(-1)，其中k为常数。
3. (AB)^(-1) = B^(-1)A^(-1)，即矩阵乘积的逆矩阵等于右边矩阵的逆矩阵乘以左边矩阵的逆矩阵。
计算矩阵的逆矩阵需要满足以下条件：1. 矩阵A必须是一个方阵，即行数等于列数。
2. 矩阵A的行列式不为零，即|A|≠0。
计算矩阵的逆矩阵可以使用伴随矩阵和行列式的方法。
假设A为一个n阶方阵，其逆矩阵A^(-1)的计算公式为：A^(-1) = (1/|A|) adj(A)，其中adj(A)为A的伴随矩阵，|A|为A的行列式。
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§2.2 矩阵的运算
1.矩阵的加法定义：设有两个n m ⨯矩阵)(),(ij ij b B a A ==,那么矩阵A 与B 的和记作A +B ,规定为
n m ij ij b a B A ⨯+=+)(
设矩阵)(),(ij ij a A a A -=-=记,A -称为矩阵A 的负矩阵.显然有 0)(=-+A A . 规定矩阵的减法为)(B A B A -+=-.
2.数与矩阵相乘定义:数λ与矩阵)(ij a A =的乘积记作A λ，规定为n m ij a A ⨯=)(λλ 由数λ与矩阵A 的每一个元素相乘。
数乘矩阵满足下列运算规律（设B A ,为同型矩阵，μλ,为数）： )(i )()(A A μλλμ=
)(ii A A A μλμλ+=+)(
)(iii B A B A λλλ+=+)(
3.矩阵与矩阵相乘定义:设)(ij a A =是一个s m ⨯矩阵,)(ij b B =是一个n s ⨯矩 那么规定矩阵A 与矩阵B 的乘积是一个n m ⨯矩阵)(ij c C =,其中),,2,1;,,2,1(,12211n j m i b a b a b a b a c kj s
k ik sj is j i j i ij ===+++=∑=
并把此乘积记作AB C =，两矩阵相乘，要求左边距阵的列等于右边矩阵的行，乘积的矩阵的行与左边的行相同，列与右边的列相同。
例3：求矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=043211,012301B A 的乘积BA AB 及. 解 ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1204638311,50113BA AB 从本例可以看出AB 不一定等于BA ,即矩阵乘法不满足交换律
注:若有两个矩阵B A 、满足0=AB ,不能得出00==B A 或的结论,即矩阵乘法不满足消去律.
矩阵的乘法满足下列结合律与分配律
)(i )()(BC A C AB =
)(ii 为数）
其中λλλλ(),()()(B A B A AB == )(iii CA BA A C B AC AB C B A +=++=+)(,)(
对单位矩阵E ,易知
n m n n m n m n m m A E A A A E ⨯⨯⨯⨯=⋅=,
可简记为 A AE EA ==
4.矩阵的转置的定义：把矩阵A 的行列交换得到一个新矩阵,叫做A 的转置矩阵,记作T A
矩阵的转置运算满足下述运算规律(假设运算都是可行的) )(i A A T T =)(
)(ii T T T B A B A +=+)(
)(iii T T A A λλ=)(
)(iv T T T A B AB =)(
5.对称矩阵与反对称矩阵的定义：设A 是n 阶方阵,如果满足A A T =,即),,2,1,(,n j i a a ji ij ==则称A 是对称矩阵.对称矩阵的特点是:它的元素以对角线为对称轴对应相等. 如果满足A A T -=,即⎩
⎨⎧=≠-=0)(ii ji ij a j i a a 则称A 是反对称矩阵.反对称矩阵的特点是:它的元素以对角线为对称轴对应相反
6.方阵的行列式：由n 阶矩阵A 的元素构成的行列式（各元素位置不变），称为矩阵A 的行列式，记作A 或A det
设A ，B 为n 阶方阵，λ为数，则有下列等式成立：
B A AB A A A A n T ===;;λλ
例4：设A 是n 阶反对称矩阵，B 是n 阶对称矩阵，证明：BA AB +是n 阶反对称矩阵
证明：)()()()()()(,BA AB B A A B B A A B BA AB BA AB B
B A A T T T T T T T T T +-=-+-=+=+=+∴=-=
所以结论成立
例5：设A 是n 阶方阵，满足E AA T =,且1-=A ，求E A + 解：由于A E A E A E A A E A AA A E A T T T T +-=+-=+=+=+=+)( 所以02=+E A ，即E A +=0
§2.3矩阵的逆
7.逆矩阵：对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B ，使E BA AB ==，则称矩阵A 是可逆的，并把B 称为A 的逆矩阵。
A 的逆矩阵记为1-A 注意：若A 可逆，则A 的逆唯一
设C B ,都是A 的逆矩阵，则一定有C EC C BA AC B BE B =====)()(
8.伴随矩阵:设)(ij a A =是n 阶方阵, ij A 为行列式A 的各元素ij a 的代数余子式.
记⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n A A A A A A A A A A 2122221
11211*,称*A 为A 的伴随矩阵. 有行列式的按行(列)展开定理,我们可以证明E A A A AA ==**
9.定理:若矩阵A 是n 阶方阵，则A 可逆的充要条件是0≠A ，且A A A *1
=-,其中*A 是A 的伴随矩阵。
证：必要性：A 可逆，即有1-A ，使E AA =-1，故11==-E A A 所以0≠A
充分性：设0≠A ，由伴随矩阵的性质，有E A A A AA ==** 因0≠A ，则E A A A A A A ==**,这说明A 是可逆的，且A
A A *1=- 证 由例1知：E A A A AA ==** 因0≠A ，故有E A A A
A A A ==**11 所以有逆矩阵的定义，既有*11A A A =
- 10.推论：若E AB =（或E BA =），则1-=A B 证 1==E B A ，故0≠A ，因而1-A 存在，且1111)()(----=====A E A AB A B A A EB B
11.方程的逆矩阵满足下述运算规律
①若A 可逆，则1-A 也可逆，且A A =--11)(
②若A 可逆，数0≠λ，则A λ可逆，且111
)(--=A A λλ
③若B A .为同阶矩阵且均可逆，则B A .也可逆，且111)(---=A B AB ④若A 可逆，则1-A 也可逆，且1
1--=A A
⑤若A 可逆，则T A 也可逆，且T T A A )()(11--= ⑥设),,(21n diag A λλλ =是对角矩阵,则A 可逆的充要条件是)2,1(0n i i =≠λ，且),,(112111----=n diag A λλλ .
例2 求方程⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=343122321.A 的逆矩阵
解 023********≠=⋅+⋅+⋅=A A A A ，知1-A 存在
2.11=A 6.21=A 4.31-=A
3.12-=A 6.22-=A 532=A
2.13=A 2.23=A 2.33-=A
于是.A 的伴随矩阵为
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=222563462.*A ,所以⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==-1112532323
11.*1A A A 注：利用伴随矩阵法求逆矩阵的主要步骤是
1. 求矩阵.A 的行列式A ，判断.A 是否可逆；
2. 若1.-A 存在，求.A 的伴随矩阵*.A ；
3. 利用公式*11A A
A =
-，求1.-A 小结与提问:
小结：本讲介绍了方程的行列式、逆矩阵及其求法 提问：求逆矩阵应注意什么？
课外作业:
P62 8. 9. 13. 15.。