矩阵的逆的研究及应用

矩阵的逆的研究及应用摘要本文主要是对高等代数中的矩阵的逆进行研究，更深一步地了解矩阵的逆在数学领域中的重要地位和各方面的应用。

首先总结阐述矩阵的逆的相关定义、定理和性质，并且对其给出相应的证明，然后归纳了矩阵的逆的几种常见求法，最后讲述了矩阵的逆在以下两个方面的应用：解线性方程组和保密通信，而且例举了具体的应用实例。

关键词：矩阵矩阵的逆线性方程组保密通信Research and application of inverse matrixSummary:This paper mainly research on the inverse of the matrix in higher algebra, deeper understanding of the inverse of the matrix in all aspects of the important position in the field of mathematics and application. First summarized in this paper, the related definitions, theorems and properties of the inverse of the matrix, and the corresponding proofs are given, and then sums up several kinds of common method of inverse of the matrix, and finally tells the inverse of the matrix in the application of the following two aspects: solving system of linear equations and secure communications, and illustrates the concrete application examples.Key Words: matrix , inverse of a matrix ,linear system of equaton, securecommunication.一 矩阵的逆的一些背景在以往线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的也表现为变换这些矩阵的过程。

除线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质是完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵的问题以后却是相同的。

这就使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念，因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象。

而矩阵的逆正是矩阵理论中一个很重要的概念，也是极难理解的一部分，在矩阵理论中占有非常重要的地位，对矩阵的逆的研究自然也就成为高等代数研究的主要内容之一。

然而在很多线性代数教科书中矩阵的逆的应用知识点几乎没有涉及到，以至于很多学生错误的认为所学东西没有多大的用处。

为了矩阵的逆在解决矩阵问题中起着很重要的作用，不能只停留在抽象的概念结论中，而应对所学知识进一步认识，深刻理解，掌握矩阵的逆的本质，本文总结了矩阵的逆相关定义、定理、性质和它的几种常见的求法，进而更进一步提供了实际应用例子，体现出矩阵的逆的重要性和应用性。

二 矩阵的逆的定义、定理及性质2．1 矩阵的逆的定义利用矩阵的乘法和矩阵相等的含义，可以把线性方程组写成矩阵形式。

对于线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ (1)令111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12n x x X x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦12n b b B b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则方程组可写成AX B =。

方程AX B =是线性方程组的矩阵表达形式，称为矩阵方程。

其中A 称为方程组的系数矩阵，X 称为未知矩阵，B 称为常数项矩阵。

这样，解线性方程组的问题就变成求矩阵方程中未知矩阵X 的问题。

类似于一元一次方程()0ax b a =≠的解可以写成1x a b -=，矩阵方程AX B =的解是否也可以表示为1X A B -=的形式？如果可以，则X 可求出，但1A -的含义和存在的条件是什么呢？下面来讨论这些问题。

定义1 n 级方阵A 称为可逆的，如果有n 级方阵B ，使得AB BA E == （2） 这里E 是n 级单位矩阵。

首先我们指出，由于矩阵的乘法规则，只有方阵才能满足（2）；其次，对于任意的矩阵A ，适合等式（2）的矩阵B 是唯一的（如果有的话）。

事实上，假设12,B B 是两个适合（2）的矩阵，就有()()11121222B B E B AB B A B EB B =====定义2 如果矩阵B 适合（2），那么B 就称为A 的逆矩阵，记为1A -。

定义3 设ij A 是矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦中元素ij a 的代数余子式，矩阵1112121222*12n n n n nn A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦称为A 的伴随矩阵。

由行列式按一行（列）展开的公式立即得出：**0000==00d d AA A A dE d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（3） 其中d A =如果0d A =≠，那么由（3）得**11A A A A E d d ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）2.2 矩阵的逆的定理和性质定理1 矩阵A 是可逆的充分必要条件是A 非退化，而()1*10A A d A d-==≠ 证明：当0d A =≠，由（4）可知A 可逆，且 1*1AA d-=（5） 反过来，如果A 可逆，那么有1A -使1AA E -=，两边取行列式，得 11A A E -== （6）因而0A ≠,即A 非退化。

由以上定理，我们可得出逆矩阵的一些性质，如下： 1、11AA-=2、设A 是n 级矩阵，则A 可逆的充要条件是存在n 级矩阵B ，使AB E =3、()11AA --=4、设A 和B 都是n 级矩阵且可逆，则AB 也可逆，且()111AB B A ---=5、若0k ≠，A 可逆，则kA 也可逆，且()111kA A k--=6、如果A 可逆，则T A 也可逆，且()()11TTAA --=7、如果A 可逆，则*A 也可逆，且()1*1A A A-= 定理 2 A 是一个s n ⨯矩阵，如果P 是s s ⨯可逆矩阵，Q 是n n ⨯可逆矩阵，那么()()()=A PA AQ =秩秩秩证明：令B PA =，则()()B A ≤秩秩但是由1A P B -=又有()()A B ≤秩秩所以()()()=A B PA =秩秩秩另一个等式可以同样地证明。

三 矩阵的逆的求法3.1 定义法例1.设方阵A 满足方程23100A A E --=，证明：,4A A E -都可逆，并求它们的逆矩阵。

证明：由23100A A E --=，得到()1310A A E E ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦。

故A 可逆，而且()11310A A E -=-。

又由23100A A E --=，得到()()46A E A E E +-=，即()()146A E A E E +-=。

故4A E -可逆，而且()()1146A E A E --=+。

3.2 公式法定理3 n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 非奇异矩阵，而且21211122221*1211n n nnnn A A A AA A A A A A A A A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦.例2.已知101020305A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，求1A -解：由题可解得40A =≠所以A 可逆，且*1002020602A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦故*152012012032012A A A-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦经检验1AA E -=3.3 初等变换法定义4 一个矩阵的行(列)初等变换是指矩阵施行的下列变换： (1)交换矩阵的某两行(列);(2)用一个非零的数乘矩阵的某一行(列)，即用非零的数乘矩阵的某一行(列)的每一个元素；(3)给矩阵的某一行(列)乘以一个数后加到另一行(列)上，即用某一个数乘矩阵某一行(列)的每一个元素后加到另一行(列)上的对应元素上。

定义5 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

(1)初等行变换如果n 阶方阵A 可逆，作一个2n n ⨯的矩阵(),A E ，然后对此矩阵进行初等行变换，使矩阵A 化为单位矩阵E ，则同时E 就化为1A -了，即(),A E 经过初等行变换变为()1,E A -。

例 用初等行变换求矩阵111210110A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的逆矩阵。

解：()111100111100,2100100-12-210110001021-101101-110100013130-12-210010013-2300-33-2101-123-13A E --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以101313=013-23-123-13A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

(2)初等列变换如果n 阶方阵A 可逆，作一个2n n ⨯的矩阵A E ⎛⎫⎪⎝⎭，然后对此矩阵进行初等列变换，使矩阵A 化为单位矩阵E ，则同时E 就化为1A -了，即A E ⎛⎫⎪⎝⎭经过初等行变换变为-1E A ⎛⎫ ⎪⎝⎭。

例 用初等列变换求矩阵111210110A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的逆矩阵。

解：1111012100101103210100120001011000110110110001001001320010012013130110132310112313A E --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎛⎫=→⎢⎥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦所以101313=013-23-123-13A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦3.4 分块矩阵法分块对角矩阵求逆：对于分块对角（或次对角）矩阵求逆可套用公式11111221S S A A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11111221S SA A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中()1,2,,i A i s = 均为可逆矩阵。