矩阵的逆的研究与应用
线性代数中的矩阵求逆
线性代数中的矩阵求逆线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量空间和线性变换的性质。
在线性代数中，矩阵是一个非常重要的概念。
矩阵求逆是矩阵运算中的一个关键问题，它在许多领域中都有着广泛的应用。
一、什么是矩阵求逆？在线性代数中，矩阵求逆是指对一个给定的方阵进行运算，得到一个与之相乘后等于单位矩阵的矩阵。
如果一个矩阵存在逆矩阵，那么它就是可逆的，否则就是不可逆的。
二、矩阵求逆的条件要使一个矩阵可逆，必须满足以下两个条件：1. 方阵的行列式不等于0；2. 方阵的秩等于其阶数。
当一个矩阵满足这两个条件时，我们可以通过一系列的运算来求解其逆矩阵。
三、矩阵求逆的方法矩阵求逆有多种方法，其中最常用的是伴随矩阵法和初等变换法。
1. 伴随矩阵法伴随矩阵法是一种基于行列式和代数余子式的方法。
对于一个给定的n阶矩阵A，我们可以通过以下步骤来求解其逆矩阵：1) 计算矩阵A的行列式D；2) 计算A的代数余子式矩阵A*；3) 将A*的每个元素转置得到伴随矩阵A'；4) 将A'除以行列式D得到逆矩阵A^-1。
2. 初等变换法初等变换法是一种基于初等行变换和初等列变换的方法。
对于一个给定的n阶矩阵A，我们可以通过以下步骤来求解其逆矩阵：1) 将矩阵A扩展为一个n阶单位矩阵I；2) 对A和I同时进行一系列的初等行变换和初等列变换，直到A变为单位矩阵；3) 此时，I变为A的逆矩阵A^-1。
四、矩阵求逆的应用矩阵求逆在许多领域中都有着广泛的应用。
下面以几个典型的应用为例进行介绍：1. 线性方程组的求解在线性代数中，矩阵求逆可以用于求解线性方程组。
对于一个线性方程组Ax=b，其中A是一个方阵，x和b是向量，我们可以通过求解矩阵A的逆矩阵来得到方程组的解x=A^-1b。
2. 矩阵的特征值和特征向量矩阵求逆还可以用于求解矩阵的特征值和特征向量。
对于一个给定的方阵A，如果我们知道它的逆矩阵A^-1，那么我们可以通过求解方程Av=λv来得到矩阵A的特征值λ和对应的特征向量v。
矩阵论广义逆
矩阵论广义逆矩阵是线性代数中的重要概念，广义逆是矩阵论中的一个关键概念。
在矩阵论中，广义逆用于解决矩阵方程的求解问题。
本文将介绍矩阵论中的广义逆以及其应用。
1. 广义逆的定义在矩阵论中，矩阵的广义逆是指对于任意矩阵A，存在一个矩阵X，满足以下条件：1) AXA=A2) XAX=X3) (AX)^T=AX4) (XA)^T=XA广义逆的存在性和唯一性是矩阵论中的一个重要问题，对于满足以上条件的矩阵X，我们称其为A的广义逆，记作A⁺。
2. 广义逆的性质广义逆具有以下性质：1) AA⁺A=A2) A⁺AA⁺=A⁺3) (A⁺)^T=A⁺4) (AA⁺)^T=AA⁺广义逆的性质使得它在矩阵方程的求解中具有重要作用。
3. 广义逆的应用广义逆在矩阵方程的求解中有广泛的应用，下面介绍其中几个常见的应用：3.1 线性方程组的求解对于线性方程组Ax=b，如果A的广义逆A⁺存在，那么方程的解可以表示为x=A⁺b。
广义逆的存在性保证了线性方程组的解的存在性，并且通过广义逆的计算，可以得到解的一个特解。
3.2 最小二乘问题的求解最小二乘问题是指在给定线性方程组Ax=b无解时，求解使得||Ax-b||^2最小的x。
如果A的广义逆A⁺存在，那么最小二乘问题的解可以表示为x=A⁺b。
广义逆的计算可以通过奇异值分解等方法来实现。
3.3 线性回归分析线性回归分析是统计学中的一种重要方法，用于建立自变量与因变量之间的线性关系。
在线性回归分析中，广义逆可以用于求解回归系数，得到最佳拟合直线，并用于预测和推断。
4. 广义逆的计算方法广义逆的计算方法有多种，常见的包括伪逆法、奇异值分解法等。
伪逆法是通过对矩阵A进行分解或变换，得到A的伪逆矩阵。
奇异值分解法则是通过对矩阵A进行奇异值分解，得到A的伪逆矩阵。
这些计算方法都是基于矩阵的特征和性质进行推导和求解的。
5. 广义逆的应用举例以线性方程组的求解为例，假设有如下线性方程组：2x+y=3x+3y=9将其转化为矩阵形式为：A=[2 1; 1 3]b=[3; 9]求解线性方程组的解可以通过计算广义逆来实现。
矩阵的逆及其应用
１
即 Ａ· （ Ａ＋ ２Ｅ） ＝ Ｅ，所以，Ａ 可逆，且 Ａ －１ ＝ （ Ａ ＋
４
４
２Ｅ） ．
７ 结 语
逆矩阵在矩阵中占有重要地位．本文归纳总结了 ５ 种求
逆矩阵的方法：定义法，伴随矩阵法，分块矩阵法，初等变换
法，恒等变形法，通过分析例题，提高学生分析问题、解决问
题的能力．
【 参考文献】
［１］ 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组．高等
将给出几种求逆矩阵的方法以及逆矩阵的应用，通过对如
何求解逆矩阵的方法进行总结来帮助学生解决学习逆矩阵
过程中所存在的困惑．
２ 可逆矩阵的概念
定义 ３．１ 设 Ａ 是 ｎ 阶方阵，如果存在 ｎ 阶方阵 Ｂ，使
得 ＡＢ ＝ ＢＡ ＝ Ｅ，就称 Ａ 是可逆矩阵或非退化矩阵，简称 Ａ
可逆或非退化，而 Ｂ 称为 Ａ 的一个逆矩阵． 否则，就称矩阵
Ａ ．
｜Ａ｜
用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵既
方便，又有规律可循．因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要
将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可．但
是当矩阵是三阶、四阶及以上时，则慎重选择此方法，因为
计算量会很大．
１ ２
例 利用伴随矩阵法求矩阵
的逆矩阵．
３ ４
１ ２
解 令 Α ＝
．
Ｂ －１ ø
æ２ １
ç３ ２
例 若 Ｍ ＝
çç ０ ０
è０ ０
逆，请求 Ｍ 的逆．
－１
ç
－１
( ＡＣ Ｂ０ ) 可 逆， 且 ( ＡＣ Ｂ０ )
－１
÷
ｂ． 分 块 下 三 角 矩 阵
＝æ
( Ａ０ ＣＢ ) 可 逆， 且 ( Ａ０ ＣＢ )
矩阵的逆和行列式的计算
矩阵的逆和行列式的计算矩阵是线性代数中的重要工具，而矩阵的逆和行列式的计算是矩阵运算中常见的操作。
本文将通过介绍矩阵的逆和行列式的定义、计算方法以及其应用，来深入解析这两个概念。
一、矩阵的逆逆矩阵是指对于一个给定的方阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵。
方阵A存在逆矩阵的条件是其行列式不为零，即|A|≠0。
逆矩阵的计算可以通过伴随矩阵和行列式的关系来实现。
1. 伴随矩阵的计算伴随矩阵是指将方阵A的每个元素的代数余子式矩阵取转置得到的矩阵，记作adj(A)。
其中，代数余子式是指将矩阵元素A(i,j)所在的行和列删去后，剩余元素构成的行列式。
2. 逆矩阵的计算方阵A的逆矩阵可以通过以下公式来计算：A^(-1) = (1/|A|) * adj(A)，其中|A|为A的行列式。
通过计算伴随矩阵并乘以行列式的倒数，可以得到方阵A的逆矩阵。
3. 逆矩阵的意义矩阵的逆可以理解为它的倒数，类似于实数的倒数。
在矩阵运算中，逆矩阵在求解线性方程组、矩阵方程和求解变换等问题中具有重要的作用。
二、行列式的计算行列式是矩阵的一个标量值，用于判断矩阵的性质以及计算矩阵的逆等。
行列式的计算方法有很多种，常用的有拉普拉斯展开和三角形法则。
1. 拉普拉斯展开拉普拉斯展开是一种基于代数余子式逐步化简的计算方法。
对于一个给定的n阶方阵A，其行列式的计算可以通过以下公式进行展开：det(A) = a(1,1) * A(1,1) + a(1,2) * A(1,2) + ... + a(1,n) * A(1,n)，其中A(i,j)为A的代数余子式。
2. 三角形法则三角形法则是一种通过矩阵的初等变换将矩阵化为上三角矩阵或下三角矩阵，然后计算矩阵对角线元素之积得到行列式的计算方法。
三、应用案例逆矩阵和行列式的计算在实际应用中有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用案例。
1. 线性方程组的求解当给定一个n个未知数的线性方程组时，可以通过计算系数矩阵的逆矩阵，然后与常数矩阵相乘，得到方程组的解。
矩阵与行列式的逆与逆矩阵的应用
矩阵与行列式的逆与逆矩阵的应用在线性代数中，矩阵与行列式是非常重要的概念，它们在数学和工程学科中有着广泛的应用。
本文将探讨矩阵与行列式的逆以及逆矩阵的应用。
一、矩阵的逆与行列式的逆1.1 矩阵的逆对于一个方阵A，如果存在另一个方阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，则称A为可逆矩阵，而B即为A的逆矩阵。
矩阵的逆具有以下性质：- 如果A是可逆矩阵，则A的逆矩阵唯一；- 若B是A的逆矩阵，则B也是可逆矩阵，并且其逆矩阵为A；- 如果A和B都是可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵，并且$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$。
1.2 行列式的逆对于一个n阶方阵A，如果存在另一个n阶方阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位阵，则称A的行列式为可逆行列式，而B即为A的逆行列式。
行列式的逆也具有类似于矩阵逆的性质。
二、逆矩阵的应用逆矩阵在数学和工程学科中有着广泛的应用。
下面以几个常见的应用举例说明：2.1 线性方程组的求解考虑一个线性方程组AX=B，其中A为一个n阶系数矩阵，X和B 分别为n维列向量。
如果A是可逆矩阵，则通过左乘A的逆矩阵，可以得到方程组的解X=A^{-1}B。
这种方法被称为矩阵法求解线性方程组。
2.2 矩阵变换的求逆在一些几何变换中，矩阵的逆可以帮助我们求解变换的逆变换。
例如，对于一个二维平面上的旋转变换矩阵R，其逆矩阵R^{-1}即为逆时针旋转相同角度的变换矩阵，通过左乘R^{-1}可以得到旋转变换的逆变换。
2.3 二次型的化简对于一个n维列向量X，其二次型表达式为X^TAX，其中A为一个对称矩阵。
如果A是可逆矩阵，则通过对矩阵进行相似变换，即乘以逆矩阵A^{-1}，可以将二次型化简为标准型，使得矩阵A的主对角线上只有非零元素。
2.4 矩阵的特征值与特征向量对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量X，使得AX=\lambda X，其中\lambda为标量，则称\lambda为A的特征值，X为A对应于特征值\lambda的特征向量。
矩阵的逆与转置逆矩阵转置矩阵的计算与应用
矩阵的逆与转置逆矩阵转置矩阵的计算与应用矩阵的逆与转置——逆矩阵、转置矩阵的计算与应用矩阵是线性代数里非常重要的概念之一，它在数学和其他领域中有广泛的应用。
在矩阵的运算中，逆矩阵和转置矩阵是两个常见的操作。
本文将对逆矩阵和转置矩阵进行详细论述，并介绍其在实际问题中的应用。
一、逆矩阵逆矩阵是指对于一个方阵A，若存在另外一个方阵B，使得A与B的乘积为单位矩阵，则称B为A的逆矩阵，记作A^-1。
计算逆矩阵的方法有多种，其中最常用的方法是高斯-约当消元法。
高斯-约当消元法有以下步骤：1. 将矩阵A的增广矩阵写成一个n行2n列的矩阵（其中n为矩阵的阶数）；2. 对矩阵A进行行初等变换，化为一个上三角矩阵；3. 对矩阵A进行行初等变换，将其化为对角矩阵；4. 对矩阵A进行行初等变换，使其化为单位矩阵；5. 以上行初等变换同时作用于增广矩阵，得到已求的逆矩阵。
逆矩阵的应用场景非常广泛，例如在线性方程组的求解中，使用逆矩阵可以将其转化为矩阵乘法的形式，大大简化计算过程。
此外，在统计学中，逆矩阵也被广泛应用于多元线性回归和主成分分析等问题中。
二、转置矩阵转置矩阵是指将一个矩阵的行与列互换得到的新矩阵。
对于一个矩阵A，其转置矩阵记作A^T。
转置矩阵的计算非常简单，只需要将矩阵A的第i行第j列元素变为转置矩阵的第j行第i列元素即可。
转置矩阵在矩阵运算中常用于求解线性方程组、矩阵乘法、向量内积等问题。
在实际应用中，转置矩阵也有着广泛的应用。
例如，在图像处理中，转置矩阵常用于图像旋转、翻转和镜像等操作。
此外，转置矩阵还在矩阵的特征值和特征向量计算、矩阵的对角化等方面起着重要的作用。
三、逆矩阵与转置矩阵的应用举例1. 逆矩阵的应用：线性方程组求解假设有一个线性方程组Ax=b，其中A是已知的矩阵，b是已知的向量，求解x的值。
我们可以通过计算矩阵A的逆矩阵，将方程组转化为x=A^-1b的形式，从而更方便地求解出x的值。
2. 转置矩阵的应用：图像处理在图像处理中，转置矩阵常被用于图像的旋转操作。
线性代数第三章矩阵的逆(习题课)
目录
• 矩阵的逆的定义和性质 • 逆矩阵的运算规则 • 逆矩阵的应用 • 习题解析与解答
01
矩阵的逆的定义和性质
定义与性质
逆矩阵的定义
如果存在一个矩阵A-1，使得A*A-1=I （单位矩阵），则称A为可逆矩阵， A-1为A的逆矩阵。
逆矩阵的性质
若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵A-1也 是可逆矩阵，且(A-1)-1=A。同时， 若B是A的逆矩阵，则AB=BA=I。
03
逆矩阵的应用
解线性方程组
线性方程组
线性方程组是数学中一个常见的 问题，它涉及到多个未知数和方 程。通过矩阵的逆，我们可以找 到线性方程组的解。
求解步骤
首先，将系数矩阵进行转置，然 后计算其行列式值。如果行列式 值不为零，则存在唯一解。最后， 通过矩阵的逆计算出线性方程组 的解。
应用场景
线性方程组广泛应用于各个领域， 如物理、工程、经济等。通过矩 阵的逆，我们可以更高效地解决 这些领域中的问题。
综合题2解析
题目要求求一个给定矩阵的逆矩阵， 并判断其是否可逆。同时，我们需要 解决一个与该矩阵相关的问题。首先 ，我们判断矩阵是否可逆。如果可逆 ，我们再使用公式法或分块法计算逆 矩阵。然后，我们将逆矩阵应用于实 际问题中以获得解决方案。
综合题目3解析
题目要求求多个给定矩阵的乘积的逆 矩阵，并验证其正确性。同时，我们 需要解决一个与这些矩阵相关的问题 。首先，我们计算多个给定矩阵的乘 积。然后，我们使用公式法或分块法 计算其逆矩阵。最后，我们通过乘以 其原矩阵来验证逆矩阵的正确性。同 时，我们将逆矩阵应用于实际问题中 以获得解决方案。
量βi；最后，计算P^(-1)AP=B。
逆矩阵的求法及逆矩阵的应用
逆矩阵的几种求法及逆矩阵的应用摘要：在现代数学中，矩阵是一个非常有效而且应用广泛的工具，而逆矩阵则是矩阵理论中一个非常重要的概念。
关于逆矩阵的求法及逆矩阵的应用的探讨具有非常重要的意义。
目前，对于逆矩阵的求法及其应用领域的研究已比较成熟。
本文将对逆矩阵的定义、性质、判定方法及求法进行总结，并初步探讨矩阵的逆在编码、解码等方面的应用。
关键词：矩阵逆矩阵逆矩阵的求法逆矩阵的应用The methods for identifying inverse matrix and application of inverse matrix Abstract: In modern mathematics，matrix is an effective tool with extensive application，and inverse matrix is a significant concept in matrix theory. The disduss about the way to evaluating inverse matrix and its application is of an important meaning with mature development at present. This paper will summarize the definition and properties of inverse matrix and disscuss the methods evaluating inverse matrix.We will also talk about the application of inverse matrix, especially its application in encoding and decoding. Keywords: Matrix Inverse matrix The way to evaluating inverse matrix Application of inverse matrix一：引言在现代数学中，矩阵是一个有效而应用广泛的工具。
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矩阵的逆的研究及应用摘要本文主要是对高等代数中的矩阵的逆进行研究，更深一步地了解矩阵的逆在数学领域中的重要地位和各方面的应用。
首先总结阐述矩阵的逆的相关定义、定理和性质，并且对其给出相应的证明，然后归纳了矩阵的逆的几种常见求法，最后讲述了矩阵的逆在以下两个方面的应用：解线性方程组和通信，而且例举了具体的应用实例。
关键词：矩阵矩阵的逆线性方程组通信Research and application of inverse matrixSummary:This paper mainly research on the inverse of the matrix in higher algebra, deeper understanding of the inverse of the matrix in all aspects of the important position in the field of mathematics and application. First summarized in this paper, the related definitions, theorems and properties of the inverse of the matrix, and the corresponding proofs are given, and then sums up several kinds of common method of inverse of the matrix, and finally tells the inverse of the matrix in the application of the following two aspects: solving system of linear equations and secure communications, and illustrates the concrete application examples.Key Words: matrix , inverse of a matrix ,linear system of equaton, secure communication.一 矩阵的逆的一些背景在以往线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的也表现为变换这些矩阵的过程。
除线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质是完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵的问题以后却是相同的。
这就使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念，因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象。
而矩阵的逆正是矩阵理论中一个很重要的概念，也是极难理解的一部分，在矩阵理论中占有非常重要的地位，对矩阵的逆的研究自然也就成为高等代数研究的主要容之一。
然而在很多线性代数教科书中矩阵的逆的应用知识点几乎没有涉及到，以至于很多学生错误的认为所学东西没有多大的用处。
为了矩阵的逆在解决矩阵问题中起着很重要的作用，不能只停留在抽象的概念结论中，而应对所学知识进一步认识，深刻理解，掌握矩阵的逆的本质，本文总结了矩阵的逆相关定义、定理、性质和它的几种常见的求法，进而更进一步提供了实际应用例子，体现出矩阵的逆的重要性和应用性。
二 矩阵的逆的定义、定理及性质2．1 矩阵的逆的定义利用矩阵的乘法和矩阵相等的含义，可以把线性方程组写成矩阵形式。
对于线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ (1)令111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12n x x X x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12n b b B b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则方程组可写成AX B =。
方程AX B =是线性方程组的矩阵表达形式，称为矩阵方程。
其中A 称为方程组的系数矩阵，X 称为未知矩阵，B 称为常数项矩阵。
这样，解线性方程组的问题就变成求矩阵方程中未知矩阵X 的问题。
类似于一元一次方程()0ax b a =≠的解可以写成1x a b -=，矩阵方程AX B =的解是否也可以表示为1X A B -=的形式？如果可以，则X 可求出，但1A -的含义和存在的条件是什么呢？下面来讨论这些问题。
定义1 n 级方阵A 称为可逆的，如果有n 级方阵B ，使得AB BA E == （2） 这里E 是n 级单位矩阵。
首先我们指出，由于矩阵的乘法规则，只有方阵才能满足（2）；其次，对于任意的矩阵A ，适合等式（2）的矩阵B 是唯一的（如果有的话）。
事实上，假设12,B B 是两个适合（2）的矩阵，就有()()11121222B B E B AB B A B EB B =====定义2 如果矩阵B 适合（2），那么B 就称为A 的逆矩阵，记为1A -。
定义3 设ij A 是矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦中元素ij a 的代数余子式，矩阵1112121222*12n n n n nn A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦称为A 的伴随矩阵。
由行列式按一行（列）展开的公式立即得出：**0000==0d d AA A A dE d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（3） 其中d A =如果0d A =≠，那么由（3）得**11A A A A E d d ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）2.2 矩阵的逆的定理和性质定理1 矩阵A 是可逆的充分必要条件是A 非退化，而()1*10A A d A d-==≠ 证明：当0d A =≠，由（4）可知A 可逆，且 1*1AA d-=（5） 反过来，如果A 可逆，那么有1A -使1AA E -=，两边取行列式，得11A A E -== （6）因而0A ≠,即A 非退化。
由以上定理，我们可得出逆矩阵的一些性质，如下： 1、11AA-=2、设A 是n 级矩阵，则A 可逆的充要条件是存在n 级矩阵B ，使AB E =3、()11AA --=4、设A 和B 都是n 级矩阵且可逆，则AB 也可逆，且()111AB B A ---=5、若0k ≠，A 可逆，则kA 也可逆，且()111kA A k--=6、如果A 可逆，则T A 也可逆，且()()11TTA A --= 7、如果A 可逆，则*A 也可逆，且()1*1AA A-=定理 2 A 是一个s n ⨯矩阵，如果P 是s s ⨯可逆矩阵，Q 是n n ⨯可逆矩阵，那么()()()=A PA AQ =秩秩秩证明：令B PA =，则()()B A ≤秩秩但是由1A P B -=又有()()A B ≤秩秩所以()()()=A B PA =秩秩秩另一个等式可以同样地证明。
三 矩阵的逆的求法3.1 定义法例1.设方阵A 满足方程23100A A E --=，证明：,4A A E -都可逆，并求它们的逆矩阵。
证明：由23100A A E --=，得到()1310A A E E ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦。
故A 可逆，而且()11310A A E -=-。
又由23100A A E --=，得到()()46A E A E E +-=，即()()146A E A E E +-=。
故4A E -可逆，而且()()1146A E A E --=+。
3.2 公式法定理3 n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 非奇异矩阵，而且21211122221*1211n n nnnn A A A A A A A A A A A A A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 例2.已知101020305A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，求1A -解：由题可解得40A =≠所以A 可逆，且*1002020602A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦故*152012012032012A A A -⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦经检验1AA E -=3.3 初等变换法定义4 一个矩阵的行(列)初等变换是指矩阵施行的下列变换： (1)交换矩阵的某两行(列);(2)用一个非零的数乘矩阵的某一行(列)，即用非零的数乘矩阵的某一行(列)的每一个元素；(3)给矩阵的某一行(列)乘以一个数后加到另一行(列)上，即用某一个数乘矩阵某一行(列)的每一个元素后加到另一行(列)上的对应元素上。
定义5 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
(1)初等行变换如果n 阶方阵A 可逆，作一个2n n ⨯的矩阵(),A E ，然后对此矩阵进行初等行变换，使矩阵A 化为单位矩阵E ，则同时E 就化为1A -了，即(),A E 经过初等行变换变为()1,E A -。
例 用初等行变换求矩阵111210110A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的逆矩阵。
解：()111100111100,2100100-12-210110001021-101101-11010001130-12-21001001-2300-33-21001-123-1A E --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以10131=013-23-12-13A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
(2)初等列变换如果n 阶方阵A 可逆，作一个2n n ⨯的矩阵A E ⎛⎫⎪⎝⎭，然后对此矩阵进行初等列变换，使矩阵A 化为单位矩阵E ，则同时E 就化为1A -了，即A E ⎛⎫⎪⎝⎭经过初等行变换变为-1E A ⎛⎫ ⎪⎝⎭。
例 用初等列变换求矩阵111210110A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的逆矩阵。
解：111101210010110321010012000101100011011011000100100132001001201313011013231011231A E --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎛⎫=→⎢⎥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦所以10131=013-23-12-13A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦3.4 分块矩阵法分块对角矩阵求逆：对于分块对角（或次对角）矩阵求逆可套用公式11111221S S A A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 11111221SSA A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中()1,2,,i A i s =均为可逆矩阵。