矩阵的逆及其应用

摘要本文归纳了矩阵可逆的等价条件与可逆矩阵的相关性质，总结了几种可逆矩阵的判定及逆矩阵求解的方法，分类讨论了可逆矩阵在求方阵的幂、解矩阵方程和加密保密通信中的若干应用。

关键字：可逆矩阵；初等变换；分块矩阵；方阵的幂AbstractIn this paper, the definition of the inverse of the matrix, theorems and properties, classification discussed several ways of solving inverse matrix and the inverse matrix in o power and encryption of the application of secret communication.The keyword： invertible matrix；elementary transformation；block matrix；powers of a matrix ；Encrypted secure communications目录1 引言 (1)2 可逆矩阵的定义和性质 (1)2.1矩阵可逆的定义及等价条件 (1)2.2可逆矩阵的相关性质 (2)3 可逆矩阵的判定及逆矩阵的求解 (4)3.1定义法求矩阵的逆 (4)3.2用矩阵的秩判定其可逆性 (5)3.3特征值法判定矩阵的逆 (6)3.4 伴随矩阵法求矩阵的逆 (6)3.5初等变换法求矩阵的逆 (7)3.6可逆分块矩阵的逆矩阵求解 (10)4 可逆矩阵的若干应用 (13)4.1求方阵的幂 (13)4.1.1方阵的幂及其运算律 (13)4.1.2求方阵的幂 (13)4.2 解矩阵方程 (15)4.3构造通信模型 (16)参考文献 (19)1 引 言矩阵的研究历史悠久，而矩阵的现代概念是在19世纪才逐渐形成。

被公认为矩阵的奠基人是凯利，矩阵被他作为独立的数学对象研究。

他在《矩阵论的研究报告中》[1]研究了矩阵的运算、矩阵的逆以及转置和特征多项式.矩阵以简洁地形式表达了物质的关联，因此矩阵的应用十分广泛。

物理应用中主要是在几何光学和电子学的应用，在计算机中的应用主要体现在三维动画制作。

而可逆矩阵在矩阵理论研究中占有非常重要的地位，在应用中更是举足轻重。

可逆矩阵就像矩阵的左膀右臂，其应用越来越广泛，可逆矩阵解决了数理统计、线性规划、经济学、网络和测绘等许多领域的问题。

比如在经济学中证券投资组合中的应用，在实际生活中解决电费分时段计费的应用，在解密保密通信中的应用等。

本文归纳了矩阵可逆的等价条件与可逆矩阵的相关性质，总结了几种可逆矩阵的判定及逆矩阵求解的方法，主要有定义法、伴随矩阵法、特征值法、初等变换法、分块矩阵的公式法等等，对应用数学软件MATLAB 求解可逆矩阵的逆矩阵方面也作了相关的阐述。

逆矩阵的应用是本文的写作重点，着重讨论了可逆矩阵在求方阵的幂、解矩阵方程和构造通信模型中的若干应用。

本文也用有趣的实例说明了可逆矩阵在生活中的相关应用，让人再次加深对于矩阵逆的了解，体现可逆矩阵的美。

2 可逆矩阵的定义和性质2.1矩阵可逆的定义及等价条件定义2.1.1 设A 是一个n 阶矩阵，如果存在n 阶矩阵A ，使得AB BA I ==,则称A 矩阵是可逆矩阵，称B 是A 的逆矩阵.[2] 若矩阵A 可逆，则1A -的逆矩阵是唯一的，记为1A -.[3]定义2.1.2 设()ijn nA a ⨯=,ij A 是A 中元素ij a 的代数余子式，矩阵11211222*12N N N N N N NN A A A A A A A adjA A A A ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭称为矩阵A 的伴随矩阵.[4] 定义2.1.3 设是A 矩阵，我们把A 的行与行之间及列与列之间，适当地加上一些横线及竖线，这样，A 就被分成若干个小块。

我们把分成若干个小块的矩阵称为分块矩阵.如：11121314212223243132333441424344a a a a aa a a A a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭ 可以按如下方式划分成4小块：11121314212223243132333441424344a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭那么1112112122a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1314122324a a A a a ⎛⎫=⎪⎝⎭,3132214142a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭3334224344aa A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.这样，A 可以简写为11122122A A A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 给了一个矩阵，可以根据需要，作出各种不同的分块. 上面的矩阵A 还可以有如下的分块：11121314212223243132333441424344a a a a a a a a A a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭或 11121314212223243132333441424344a a a a a a a a A a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭等等. 设A 是一个n 阶矩阵，则下列断言等价： （1）A 可逆.（2）存在方阵B 使AB I =(或I AB =). （3）0A ≠. （4）()r A n =.（5）A 经行(列)初等变换可以化为单位矩阵. （6）A 可以表示成初等矩阵的乘积. （7）A 的特征值全不等于0.（8）齐次线性方程组0AX =只有零解.[5]2.2可逆矩阵的相关性质命题2.2.1 设,A B 都是可逆矩阵，k 是非零数，则 （1）()()'11'A A --=.（2）()111AB B A ---=. （3）()111kA k A ---=. （4）1*1A A A-=. （5）11A A --=. （6）**AA A A A I ==. （7）()()'**'AA =.（8）()()-1**1=A A -. （9）()***=B AB A . （10）1*n A A-=.（11）()*1*n kA k A -=.（12）()()()()*,;1,1;0, 1.n r A n r A r A n r A n =⎧⎪==-⎨⎪<-⎩命题2.2.2 初等矩阵是可逆矩阵，并且其逆矩阵是同类型的初等矩阵：()()()()()()()()()()1111,,,P ,,,P i j P i j i c P i c P i j k P i j k ----===-.命题2.2.3 （1）可逆分块初等矩阵，有1n m mnO E OE E O E O -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,11n n P O P O O E O E --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,11mmE O E O OP OP --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1m mn n E P E P OE OE --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,1mm n n E O E O PE P E -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.(2)用分块初等矩阵左（右）乘A B C D ⎛⎫⎪⎝⎭(要可乘，可加）相当于对其作相应的分块矩阵行（列）初等变化：n m O E A B A B E O C D C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,n P O A B PA PB O E C D C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, m n E P A B A PC B PD OE C D C D ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,m n E O A B A B PE C D C PA D PB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭利用分块初等矩阵的上述结果，可以处理分块矩阵的有关命题.命题2.2.4 若12,,,S A A A 都是可逆矩阵，则11111221S S A A A A A A ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 11122111S S A A A A A A ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 3 可逆矩阵的判定及逆矩阵的求解对于矩阵的逆，通常有两类问题：一是判定矩阵是否可逆.二是可逆时，矩阵逆的求解.两者的关系紧密相连.我们就对几种常用的方法进行介绍.3.1定义法求矩阵的逆设A 是一个n 阶矩阵，如果存在n 阶矩阵A ，使得AB BA I ==,则称A 矩阵是可逆矩阵，称B 是A 的逆矩阵.I 是单位矩阵，则矩阵A 的逆矩阵可以被表示成：1A B -=.[6]通常定义法一般适用于求抽象矩阵的逆.例1 已知322,22A E B A A E ==-+,证明B 可逆，并求出1B -.证：由题设知223222(2)()B A A E A A A A A E A E =-+=-+=+-,运用待定系数法.由32A E =可得212A A E ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()()2122410A E A A E E ⎡⎤+-+=⎢⎥⎣⎦,()()2A E A A E E -++= 因此，矩阵,2A E A A E +-和均是可逆的，1212A A -=, ()()12122410A E A A E -+=-+，()12-A E A A E -=++,因此B 是可逆的，求得()()11112B A E A E A ----=-+()()22211+A+E 24102A A A E A =⋅-+⋅()65432132410A A A A A =-+++()213410A A E =++. 例2 设满足O I A A =--22的n 阶矩阵A ,证明：（1）A 和A I -都是可逆矩阵，并求1-A 和()1--A I ；(2)I A +和I A 2-不可能同时都是可逆的.证 （1）由O I A A =--22，得()O I A A =--22,()O I I A A =--2,()I I A A =-21.因此，A 和A I -都是可逆矩阵，且()I A A -=-211,()A A I 211-=--. (2)由O I A A =--22，得()()O I A I A =+-2,若I A 2-可逆，则()()()()O O I A I A I A I A =-=+----11222,有O I A =+,即I A +为零矩阵，不可逆.若I A +可逆，则()()()()O I A O I A I A I A =+=++---112, 有O I A =-2,即I A 2-为零矩阵，不可逆.综上所诉，I A +和I A 2-不可能同时都是可逆矩阵.3.2用矩阵的秩判定其可逆性利用矩阵的秩是判定矩阵是否可逆的重要的手段；在线性空间中将矩阵转换成线性变换也可以判定其可逆性.例3 设A 是n m ⨯实矩阵,证明：若A 的秩()m n A r <=，则A A '可逆.证：先证齐次线性方程0=AX 与0'=AX A 同解.显然0=AX 的解都是0'=AX A 的解，任取0'=AX A 的解()'21,,,n b b b =α，记()'1,,n c c A =α，则()00''''==⇒=αααααA A A A A A 所以()0,,11=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n c c c c ，即0221=+nc c ， 于是01===n c c ，即α是0=AX 的解，故两方程组同解.由0=AX 与0'=AX A 同解，则()()n A r A A r =='，故n 阶方阵A A '可逆.3.3特征值法判定矩阵的逆若A 的特征值全不为0，则A 是可逆矩阵，否则A 不可逆.()0=-=A I f A λλ,如果00=⇒=A λ，则A 不可逆.特征值法可以快速判定A 是否可逆，但是不能求出A 的逆矩阵.例 4 设A 为n 阶实对称矩阵，B 为n 阶实矩阵，且'AB BA +的特征值全大于0，其中'B 为B 的转置，证明：A 可逆.证 由()'''''''''AB BA BA AB A B B A AB BA +=+=+=+,知'AB BA +是实对称矩阵.因为其特征值全大于0，所以'AB BA +正定.设X 是A 特征值λ的特征向量，则R ∈λ，n R X ∈≠0,于是 ()()()X B AX BX X X B A X AX B X X AB BA X '''''''''0+=+=+<λ()X B B X X B X BX X '''''+=+=λλλ 故0≠λ，由A 的特征值全不为0，故A 可逆.[7]3.4 伴随矩阵法求矩阵的逆要判定n 阶方阵A 是否可逆,首先会想到伴随矩阵法，当0=A 时，A 不可逆，当0≠A 时，A 可逆，且*11A AA =-. 如果方阵的阶数n 较低时，常用*11A AA =-求矩阵的逆.特别是2=n 时，记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A ，结论就更为简单：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-a c b d A A 11. 例5 求A 的逆矩阵，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0021001231002100A . 解 记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121B ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2112C ,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-11231B ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2112511C , 故⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=----0011002352510051520000001111B C CB A . 解析：矩阵求逆的方法主要有三种：伴随矩阵求逆；初等变换求逆；分块矩阵求逆.伴随矩阵求逆法，当矩阵阶数较高时，往往计算量大且容易出错.因此，当阶数比较高的时候会考虑用初等变换求逆或者是分块矩阵求逆.本例中，A 可以分解为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O AA O A 21,从而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---O A A O A 11121.求A 的逆转换为求更低阶矩阵1A ,2A 的逆，此时采用伴随矩阵求逆法.可见三种方法并不是绝对孤立的，有时候一个题目如果综合运用三种方法，便可以迅速求解.3.5初等变换求矩阵的逆定义3.5.1 行（列）初等变换是指一个矩阵施行的下列变换； （1）对矩阵的某两行（列）进行交换；（2）对于一个非零的数乘矩阵的某一行（列），那么用非零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素[8]；（3）给矩阵的某一行（列）乘以一个数后加到另一个行（列）上，即用某一个数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素后加到另一个行（列）的对应元素上. 定义 初等矩阵是由单位矩阵I 经过一次行（列）初等变换得到的矩阵. （1）初等行变换如果n 阶矩阵A 可逆，作一个2n n ⨯的矩阵(A,I)，然后对此矩阵进行初等变换，使矩阵A 化为单位矩阵I ,则同时I 就化为1A -了，即(A,I)经过初等行变换变为1(I,)A -. 备注：1、对于阶数较高(3)n ≥的矩阵，采用伴随矩阵法比较麻烦，而采用初等行变换求矩阵的逆一般会比较简单.并且在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换.2、也可以利用1A I I A -⎛⎫⎛⎫−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等列变换求得A 的逆矩阵.3、当矩阵A 可逆时，可以利用()()1A B I A B -−−−−→初等行变换求得1A B -和1CA -.这一方法的不需要求出1A -，通过初等变换进行矩阵乘法，最后求出-11A B CA -或者.例6 先判断矩阵A 是否可逆，如果可逆，求1-A .⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0002000012011100121011101A .由0≠A 可知A 可逆，对分块矩阵()AE 施行初等变换将A 化为E ,()3425310000000200100000012001000111000010012100000111101⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=AE23425321000000100100000012001000111000010012100000111101521⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−r2325212732100000102110000000221010001100210010012000000111101)4,3,2(5⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----−−−−→−=-i r r i 3265342345125213132410000610323101000310313100010021000000010412100000001⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→→ . 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=-125213132461032310310313121000041210001A . 分析 对于三阶以上的矩阵作行初等变换十分考验计算能力和耐心，阶数越高越繁琐，越容易出错.为了避免计算的错误，采取加校正列的办法：把矩阵每一行的元素的和写在该行的右边，构成一个含校正列的矩阵，对其施行行初等变换，每一步都保持最后一个元素等于它前面的元素之和.如果发现某一行破坏了这个规律，那么说明该行的计算有误.这种方法能够有效的减少错误.虽然，采取校正列求矩阵的逆在一定程度上减少了计算错误，但是随着科学计算的需求，矩阵的阶数也越来越高，简单的人工运算已经不能满足需求了，为了使计算更加简便、快捷，计算的精确度得到提升，矩阵的逆采用MATLAB 来求解. 运用MATLAB 软件求解[9][][]1,0,1,1,1;0,1,2,1,0;0,1,1,1,0;2,1,0,0,0;0,2,0,0,0;C ,eye(5)0(C)V U 0C(:,6:10)A A U C rref =--===运行结果为：10111100000121001000011100010021000000100200000001C -⎛⎫⎪⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭100000000.50000.25000100000000.500000010000.33330.333300.33330001000.33330.666700.1667000014.0000.66670.33330.50000.4167U C -⎛⎫⎪⎪ ⎪=- ⎪- ⎪ ⎪---⎝⎭其右边的五列就是逆阵V :0000.50000.250000000.500000.33330.333300.333300.33330.666700.16674.00000.66670.33330.50000.4167V -⎛⎫ ⎪⎪⎪=- ⎪- ⎪ ⎪---⎝⎭.3.6可逆分块矩阵的逆矩阵求解高阶矩阵运算一般都是非常繁琐，并且容易出错；如果将高阶矩阵按照某种规则划成若干部分，并将每一部分视为矩阵的元素，且每一小块的矩阵按照矩阵的运算法则进行运算，这样，矩阵的逆便可以求出了. 分块矩阵的相关性质命题 3.6.1 如果方阵A ,D 可逆，那么分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D A T 001可逆，其逆矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---111100D A T.[10]命题 3.6.2 如果方阵B ,C 可逆，那么分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=002CB T 可逆，其逆矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---001112B C T .命题3.6.3 设方阵B ,C 可逆，那么分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0C B A T 可逆，其逆矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-----111110AC B B C T.命题3.6.4 设方阵A ,D 可逆，那么分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D B A T 0可逆，其逆矩阵为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-----111110D BD A A T. 命题 3.6.5 设方阵A ,D 可逆，那么分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=D C A T 0可逆，其逆矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-----111110D CA D A T命题3.6.6 设方阵B ,C 可逆，那么分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=D C B T 0可逆，其逆矩阵为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-----011111B C DB C T. 例7 设r s +阶矩阵B D T O C ⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中,C B 分别是 ,r s 阶可逆矩阵，证明A 可逆且11111B B DC TO C -----⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 证 法一：用广义行初等变换法()1111111r rs sB D I O I B DC B O B BD A I O C O I O I OC C -------⎛⎫⨯⎛⎫-⨯=→⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭1111r sI OB B DC O I O C ----⎛⎫-→⎪⎝⎭故11111B B DC A O C -----⎛⎫-= ⎪⎝⎭.法二：用广义列初等变换法()11-11111111r rB DC s C s r s BD I O I DC A O C O I O I I I O B B DC B O OI O C O C ----------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=−−−−−→−−−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭第一列乘以第二列乘以第二列乘以所以11111B B DC A O C -----⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 例8 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321A AA A A ，其中1A 是r 级可逆矩阵，4A 是s 级矩阵.问：还应满足什么条件，A 才可逆，当A 可逆时，求1-A .解 如果把A 变成分块上三角矩阵，那么可利用例5的结果.于是作分块矩阵的初等行变换：()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−−−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-+-21134214321011132A A A A A A A AA A r A A r 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---2113421432111300A A A A A A A A A A I A A I s r. 两边取行列式，得211341A A A A A A I I s r --=.由此得出，在满足21134A A A A --可逆的条件，则A 可逆.当A 可逆时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-----s rI A A I A A A A A A A AA A A 1131211342114321100 ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-------s rI A A I A A A A AA A A A A A 1131211341211342111100 ()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛------+=-------------12113411312113412113421111312113421111A A A AA A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A . 注 计算分块矩阵的行列式DC BA 时，把n 阶方阵A ,B ,C ,D 当作数，直接从二阶行列式的定义得BC AD DCBA -=是错误的.若将分块矩阵D C BA 作分块初等变换，将其化为分块对角矩阵，再加上条件CA AC =,则有()CB AD B ACA AD B CA D A B CA D A DC BA -=-=-=-=---111. 例9 求矩阵Q 的逆矩阵，其中10030104=00123425Q ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 解：将矩阵Q 分成四块，形如A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭,其中100=010001A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，3=42B ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭,()342C =,()5D =,于是()()1=-240D CA B --≠，所以矩阵Q 可逆，且()111=-24D CA B ---，1342A B B -⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,()1342CA C -==, Q=A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()()()11-111111-111111+=A A B D CA B CA A B D CA B Q D CA B CA D CA B ------------⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭. 得115-12-63-128-841-6-820224342-1Q -⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 4 可逆矩阵的若干应用4.1求方阵的幂4.1.1方阵的幂及其运算律设A 是一个n 阶方阵，m 是正整数，则个m m A AA A =称为A 的m 次幂. l k l k A A A +=，()kl lk A A =，()k k k A A λλ=，kk A A =，kk A A ''=4.1.2求方阵的幂方法 利用相似对角化：若求得n 阶可逆矩阵P ，使得),,,(211n diag AP P λλλ =-，则121),,,(-=P Pdiag A k n k k k λλλ .而对于分块对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s A A A A21，有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k s kk kA A A A 21，其中()n i A i ,,2,1 =均为方阵. 例10 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4121P ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2001B ,PB AP =,求nA . 解 2=P ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1124211P , 1-=PBP A , ,12112---==P PB PBP PBP A ,1-=P PB A n n ,而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2001B ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22200120012001B ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n nB 2001, ， 故⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++11242121211124212001412121n n n n A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=++++++122212222224222421112211n n n n n n n n . 例11 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=201021113A ,求k A .解 ()()()42121021111---=-------=-λλλλλλλA I 得A 的特征值为11=λ，22=λ，43=λ.可求得对应的特征向量分别为()Tp ,1,1,11-=，()Tp 1,1,02-=，()Tp 1,1,23=令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111201P ，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-4000200011B AP P .故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-11230222614000200011111112011k kk k P PB A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅++⋅-+-+⋅-+⋅++-+-+-+=+++++++k k kk k k k k k k k k k 22121212121212222232223222223222322222222261. 4.2 解矩阵方程在实际的生产应用中，逆矩阵在解决生活中的问题扮演着重要角色，比如在电费的分时段计费、阶梯电费中的应用.例12 某地为了让高峰用电更加合理，采取了分时段计费的方式，白天（AM7:00-PM10：00）；夜间（PM10：00-AM7：00)的电费标准为Q ，某两个用户某月的用电情况如下：120150132174D NA B ⎛⎫ ⎪⎝⎭所交电费为 90.29101.41M ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用矩阵的运算求出本地的电费标准为多少？解：令120150132174C ⎛⎫= ⎪⎝⎭.因为CQ M =，等式两边同时乘以矩阵-1C ，可得到本地的电费标准1Q C M -=,接下来我们利用初等变换求-1C .122111333091145012015010450303013217401111321740109110r r r r -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪−−−→−−−→−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭⎝⎭ 112154129529545040103045918036111111111010101909909109r r r -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪−−−→−−→⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故129518036111109C -⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.因此129590.290.462018036111101.410.2323109Q C M -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭.4.3构造通信模型先设定26个英文字母与整数的对应关系： A B C D E F G H I J K L M 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 N O P Q R S T U V W X Y Z 14151617181920212223242526如果要发信息“I U Y ”,通过对应关系，则此信息的编码是：9,21,25，但是如果发的是“GIVE ME SOME MONEY ”这样叠字，那么是不是很容易密码就会被直接破译呢？在一连串的信息编码当中，人们会根据字母的出现的频率去假设这个字母是什么。