矩阵的广义逆及其应用

Key words:block matrix;generalized inverse;inverse of Moore-Penrose;Cramer rule.
1引言
矩阵的广义逆概念是由美国学者E.H.Moore首先提出的，但在此后的30多年里，矩阵的广义逆很少被人们所注意，直到1955年英国学者R.Penrose利用四个矩阵方程给出了广义逆矩阵的简洁实用的新定义之后，广义逆矩阵的理论与应用才进入了迅速发展的时期。半个世纪以来，在众多理论与应用科学领域都扮演着不可或缺的重要角色。
陈永林，张云孝，杨明，刘先忠,徐美进等在文献[1],[2], [12] , [14]中给出了矩阵广义逆的定义，还对部分定义进行了举例证明。罗自炎，修乃华，杨明等又在文献[8],[14]中给出了矩阵广义逆的各种定理；而陈明刚，燕列雅，李桃生，姜兴武，王秀玉，吴世，杜红霞，刘桂香等又分别在文献[4],[6],[9],[13]，[16]中对矩阵广义逆进行了推广，介绍了分块矩阵的广义逆以及循环矩阵的广义逆。张静，徐美进，徐长青，杜先能,蔡秀珊,崔雪芳等又在文献[3],[12],[15]，[17],[18]中给出了矩阵广义逆的计算方法，并加以举例说明。同时还提出了广义逆的Cramer法则及其应用。潘芳芳，梁少辉，赵彬等又在文献[5],[11]中介绍了Quantale矩阵的广义逆及其正定性。鲁立刚，何永济，王自风，赵梁红等则在文献[7],[10]介绍了Fuzzy矩阵广义逆的性质和应用。
注意到 ,这说明 的元素并非是关于 的元素的连续函数。一般地，把 的元素的变化引起其秩的变化时，这种非连续性将会发生。
例2.设矩阵 为 矩阵。若 ，定义 ；当 时， （ ）。
定义2.设 为 行 列矩阵，若其中 ， 的级数相同，则 。
（1-1）
其中 为 行 列式 中元素 的代数余子式，则称 为的 广义伴随矩阵。
矩阵的广义逆及其应用
摘要：矩阵的广义逆，即Moore-Penrose逆，在众多理论与应用科学领域，例如微分方程、数值代数、线性统计推断、最优化、电网络分析、系统理论、测量学等，都扮演着不可或缺的重要角色。
本文首先介绍了广义逆的定义以及广义逆的性质，主要内容是矩阵广义逆的应用，包括广义逆在分块矩阵理论中的各种应用，广义逆的Cramer法则和广义逆的计算，并对部分理论给出简单的解释，同时加以举例说明。
命题3. 。
命题4. 如果 , 分别为矩阵方程 的一个解，那么，
证明：根据命题1和命题2可得
;
;
;
由 的唯一性可知， ,又
所以， 证毕。
3.矩阵广义逆的定理
定理1. 的广义逆 具有下列性质：
；
；
；
；
；
；
；
例3.设矩阵 ,不难检验， ,因此有 ,而 , ,故 。
例4.设矩阵 满足 为 矩阵，且 ，则直接验证可得
关键词：分块矩阵；广义逆；Moore—Penroce逆；Cramer法则.
The generalized inverse matrix and its application
Abstract: The generalized inverseof matrix,i.e. the inverse of Moore-Penrose,playsan indispensable role in many fields of theories and applied sciences, such as differential equation, numerical algebra, linear statistical inference, optimization, the analysis of electrical network, system theory and surveying, etc.
本文在上述工作的基础上，总结了广义逆的定义以及广义逆的性质，给出矩阵广义逆在数学中的应用，包括广义逆在分块矩阵理论中的各种应用，广义逆的Cramer法则和广义逆的计算，并对部分理论给出简单的解释，对一些重要的结论给出典型例题加以说明。
2.矩阵广义逆的定义及其推导
2.1定义
定义1.对于任意复数矩阵 ，如果存在 ，满足Moore—Penroce方程
定义2.设 为 行 列矩阵，若 ,则称 为一广义非奇异矩阵；若 ，则称 为一广义奇异矩阵。
2.2方程的理论推导
命题1. 。
证明：设 ,则
因此 满足矩阵方阵 ；反之，设 为矩阵方程 的一个解， 那么
于是
;
所以 {1,3}，从而 {1，3}={ 为 = 的解}。证毕。
类似地，可得
命题2. 。
由命题1和命题2立即可得
The thesis introduces the definition and the property of the generalized inverse for the first place, anditsprimary content is the application of generalized inverse matrix including its all kinds of applications in the block matrix theory, its Cramer rule and its calculation. Besides,brief explanations are given to some theories with illustrations.
则称 为 的一个Moore—Penroce广义逆，或简称加号逆，记作 = 。如果某个 只满足其中某几条，则称它为 的某几条广义逆。如若有某个 满足（1）式，则称 为 的{1}广义逆，或简称减号逆，记作 = 。如果Y满足（1）和（2）式，则称 为 的 广义逆，记作Y {1,2}。
例1.设 当 时， 可逆,且 ;当 时， 不可逆,且不难验证 。
因为
，
从而有
证毕。பைடு நூலகம்
定理2. 设 l，则
（1）
（2）
证明：（1）先证第一个等价性，必要性是显然的。
下证充分性。若 且 ，则 ，且
所以，将等式 右消 ，可得 ,故 。
注意到 等价于 ，用第一个等价性，可得
此即第2个等价性。