矩阵论第8章广义逆矩阵及其应用

或穆尔-彭诺斯广义逆，记为 A ．
由定义不难看出：
A A{1,2} A{1} ；A A{1,3} A{1} ；A A{1,4} A{1} ．
1 例 8.1.1 设 A 1
1
0 0 0
，
B
1 0
0 1
0 0
，
C
1 0
0 0
0 1
，由于
ABA A， ACA A ，
所以， B 与 C 均为 A 的减号逆．
同理 G1 A G2 A ．
所以 G1 G1 AG1 G1 AG2 G2 AG2 G2 ，
故加号逆是唯一的．
8.1.3 广义逆矩阵的计算： 1. 减号逆 AGA A
定 理 8.1.2 设 A 是 m n 矩 阵 ， rank( A) r ， 非 奇 异 矩 阵
P C mm , Q C nn
本章着重介绍几种常见的广义逆矩阵及其在解线性方程组中 的应用．
8.1 矩阵的几种广义逆
8. 1. 1 广义逆矩阵的基本概念
定 义 8.1.1 设 A C mn 为 任 意一个 复 数 矩阵 ， 如果 存 在复 矩 阵
G C nm ，满足 AGA A ， GAG G ，
（8.1.1） （8.1.2）
P
3 0 2
2 0 1
7 1 1 0 4 g31
0 1
1 g32
0
10
3 7g31 g31
2 4g31
2 7g32 g32 ，
1 4g32
其中， g31 , g32 是任意常数．
特别地，取 g31 0, g32 0 ，得 A 的一个减号逆：
A
3 0
2
2 0 ． 1
1 2
3 1
0 1
3 1
0 1
0 0
1
~ 0
1
0 1 0 2
0 0 0 1
1 2
3 1
0 1
3 1
0
0
1
，
0 1 0
* 0 0 1
*
0 0 1
0 1 0
所以，
Q
1 0
0
2 0 1
1 1 0
，
P
1 2
3 1
0 1
3 1
0 0 ，并且 1
A
Q
Er G21
1
G12 G22
P
性质 8.1.5 设 A Cmn , 则 A 右（或左）可逆的充要条件是 A 行（或列）满秩.
证明 如果 A 行满秩, 则 AAH 是 m 阶可逆矩阵, 令
G AH ( AAH )1 , 由于 AG AAH ( AAH )1 Em , 故 G 是 A 的一个右逆矩阵.
如果 A 右可逆, 即存在 AR1 使得 AAR1 Em , 于是
满足 4 个 M-P 方程式中的第 i1, i2 ,, ik (1 k 4) 个，则称 G 为 A 的一 种弱逆，记为 A{i1,i2 ,,ik } ，或 G A{i1 , i2 ,, ik }．
由于 M-P 的 4 个方程都各有一定的解释，并且应用起来各有方
便之处，所以出于不同的目的，常常考虑满足部分方程的 G ，总之，
按照定义８.1.1 可推得，满足 1 个，2 个，3 个，4 个 M-P 方程的广
义逆矩阵共有 15 类，即
C41
C42
C
3 4
C
4 4
15 ．
但应用较多的是以下 5 类：
A{1}， A{1, 2}， A{1, 3}， A{1, 4}， A{1, 2, 3, 4}．
下面将会看到，只有 A{1, 2, 3, 4}是唯一确定的，其他各类广义
0
~
1
1
2
0 * 0 1 0
0
0
1
0
0
1
1 0 0 1 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 1 0 1 0 0 1
~
3
7
2
~
3
2
7
，
0 1 0
0 0 1
2
4
1
2
1
4
因此，
Q
3 0
2
2 0 1
7 1 4
，
P
1 0
10 ，并且
A
Q
Er G21
G12 G22
.
其中 G12 是 n (m n) 的任意矩阵．
(2) 如 果 rank(A) m , 并 且 存 在 非 奇 异 矩 阵 Q C nn , 使 得
AQ Em 0, 则
AR1
A
Ar
Al
Q
Em G21
，
其中 G21 是 (n m) m 的任意矩阵．
2. A 的自反广义逆矩阵 Ar 的计算（ AGA A ， GAG G ）
性质 8.1.2 设 ACmn , B,C A{1} , 则 BAC A{1,2} ．
性质 8.1.3 设 ACmn , A A{1} , 则 (1) rank( A) rank(A ) ; (2) A A{1,2} 的充要条件是 rank( A) rank( A ) ．
性质 8.1.4 设 ACmn , 并且右（或左）可逆, 则 AR1 A Ar Al （或 AL1 A Ar Am ）.
从而当用初等变换将 A Er 时，相同的初等行变换就将 Em P
而相同的初等列变换就将 En Q
对矩阵
A E
分别是 P 及 Q .
E *
进行初等变换，当
A
的位置化为
Er
时，
E
的位置就
1 1 2 例 8.1.3 求 A 2 2 1 的减号逆 A ．
解 因为
31 0 1 0
所以
G
Q
Er G21
G12 G22
P
.
定理 8.1.2 不仅给出了{1}-广义逆的存在性，而且给出了{1}-广义逆的 表示与计算办法：
（1）求非奇异矩阵 P,Q ,
使得
PAQ
Er 0
0 0
；
（2）写出
A
的减号逆
A
Q
Er G21
G12 G22
P
.
P 及 Q 的求法：
因为
PAQ
Er 0
00 ，所以 PEm P ， EnQ Q ，
（8.1.5）
不 难 证 明 ： AR1 与 AL1 同 时 存 在 当 且 仅 当 A1 存 在 ， 此 时 有 A1 AR1 AL1 ．
8.1.2 广义逆矩阵的基本性质 性质 8.1.1 设 A 为任意一个 m n 复矩阵，则
(1) ( AH ) ( A )H ;
(2) AA 、A A 均为幂等矩阵, 且 rank( A) rank( AA ) rank( A A) ;
由定理8.1.2与性质8.1.4、性质8.1.5可推得下面结果：
推论 8.1.2 设 A 是 m n 矩阵，那么下列命题成立： (1) 如 果 rank( A) n , 并 且 存 在 非 奇 异 矩 阵 P Cmm , 使 得
PA
En 0
,
则
AL1 A Ar Am En G12 P ，
0 0
Q
1
．
由
AGA
A
得
P1
Er 0
0 0
Q1GP1
Er 0
0 0
Q1
P1
Er 0
0 0
Q
1
，
即
Er 0
0 0
Q1GP1
Er 0
0 0
Er 0
0 0
．
设
G
Q
G11 G21
G12 G22
P
，那么
Er 0
0 0
G11 G21
G12 G22
Er 0
0 0
Er 0
00 ，
解得 G11 Er ，其它任意，
(GA)H GA ，
（8.1.3）
( AG) H AG
（8.1.4）
中的部分或全部方程，则称 G 为 A 的一个广义逆矩阵，并把上面 4 个方程 叫做穆尔-彭诺斯（M-P）方程．进一步，如果 G 满足 M-P 的 4 个方程式， 则称 G 为 A 的穆尔-彭诺斯广义逆，记为 G A{1,2,3,4} ．一般地，如果 G
0 0
2 0 1
1 1 1 0 0 g31
0 1 g32
g13 g23 g33
1 2
3 1
0 1
3 1
0
0 1
1 3
g 31
g 32
g 31
2 3
g 32
g 33
2
3 g23
2 3
1 3
g 32
g13
2g 23
g 33
1 3
g 32
g 33
1 3 g23
其中， g31, g32, g13, g23, g33 是任意常数.
g13 2g 23 g33
g 33
，
g 23
1 2 0
特别地，
A
3 0
3 0
0
就是
A
的一个减号逆.
2 3
1 3
0
例 8.1.4
求
A
1 2
1 2
2 3
的减号逆
A
．
解 因为
1 1 2 1 0 1 0 0 1 0
A E3
E2 *
2 1 0
2 0 1
3 0 1 2 4 1 0 1
第8章 广义逆矩阵及其应用
广义逆矩阵是通常逆矩阵的推广. 1920 年穆尔（Moore）首先 提出了广义逆矩阵的概念，但其后的 30 年未引起人们的重视．直 到 1955 年彭诺斯（Penrose）利用四个矩阵方程给出了广义逆矩 阵的新的更简便实用的定义之后，广义逆矩阵的研究才进入了一 个新的时期，其理论和应用得到了迅速发展，已成为矩阵论的一 个重要分支，广义逆矩阵在数理统计、最优化理论、控制理论、 系统识别、数字图象处理等许多领域都具有重要应用．