广义逆矩阵及其应用

题目广义逆矩阵及其应用学院

专业通信与信息系统学生

学号

目录

第一章前言 (1)

第二章广义逆矩阵 (2)

§2.1 广义逆矩阵的定义 (2)

§2.2 广义逆矩阵的性质 (3)

第三章广义逆矩阵的计算 (12)

§3.1 一般广义逆求解 (12)

§3.2 Moore-Penrose 广义逆 (16)

结论 (19)

第一章前言

线性方程组的逆矩阵求解方法只适用于系数矩阵为可逆方阵,但是对于一般线性方程组，其系数矩阵可能不是方阵或是不可逆的方阵，这种利用逆矩阵求解线性方程组的方法将不适用。为解决这种系数矩阵不是可逆矩阵或不是方阵的线性方程组，我们对逆矩阵进行推广，研究广义逆矩阵，利用广义逆矩阵求解线性方程组。

广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，本文针对广义逆矩阵的定义、性质、计算及其在线性方程组中的应用进行研究，利用广义逆矩阵求解线性方程组的通解及极小范数解。

逆矩阵的概念只对非奇异矩阵才有意义，但在实际问题中，遇到的矩阵不一定是方阵，即使是方阵也不一定非奇异，这就需要将逆矩阵的概念进行推广。为此，人们提出了下述关于逆矩阵的推广：

（1）该矩阵对于奇异矩阵甚至长方矩阵都存在；

（2）它具有通常逆矩阵的一些性质；

（3）当矩阵非奇异时，它即为原来的逆矩阵。

满足上面三点的矩阵称之为广义逆矩阵。

1903年，瑞典数学家弗雷德霍姆开始了对广义逆矩阵的研究，他讨论了关于积分算子的一种广义逆。1904年，德国数学家希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。美国芝加哥的穆尔(Moore)教授在1920年提出了任意矩阵广义逆的定义，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。我国数学家曾远荣和美籍匈牙利数学家冯·诺伊曼及其弟子默里分别在1933年和1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆也作过讨论和研究。1951年瑞典人布耶尔哈梅尔重新给出了穆

尔(Moore)广义逆矩阵的定义，并注意到广义逆矩阵与线性方程组的关系。1955年，英国数学物理学家彭罗斯(Penrose)以更明确的形式给出了与穆尔(Moore)等价的广义逆矩阵定义，因此通称为Moore-Penrose广义逆矩阵，从此广义逆矩阵的研究进入了一个新阶段。现如今，Moore-Penrose广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，使这一学科得到迅速发展，并成为矩阵论的一个重要分支。

第二章广义逆矩阵

§2.1 广义逆矩阵的定义

一、Penrose广义逆矩阵的定义

为了推广逆矩阵的概念，我们引进了广义逆矩阵的定义，下面给出广义逆矩阵的Moore-Penrose 定义。

定义2.1设矩阵n m

∈满足如下四个Penrose方程

X?

∈，若矩阵m n C

C

A?

AXA=（ⅰ）

A

X

XAX=（ⅱ）

AX H=

AX

(（ⅲ）

)

XA H=

XA

(（ⅳ）

)

中的一部分或全部方程，则称X为A的一个广义逆矩阵。

若X 只满足（ⅰ）式，则X 成为A 的一个}1{-逆，可记为()1A ，所有满足}1{-逆

的X 构成的集合记为{}1A 。若X 满足四个方程中的第k j i ,,, 个方程，则称X 为A 的

一个{}k j i ,,, -逆，记为()k j i A ,,, ，所有满足{}k j i ,,, -逆的X 构成的集合记为

{}k j i A ,,, 。

二、常见广义逆定义

按照广义逆定义，分别满足一个、两个、三个和四个方程的广义逆矩阵一共有

4

4342414C C C C +++=15类，其中常见的有{}1A ，{

}2,1A ，{}3,1A ，{}4,1A ，{}4,3,2,1A 。 定义2.2 设有复矩阵n m C A ?∈。若有一个m n ?复矩阵X 存在，使下式成立，则称X 为A 的减号逆：

A AXA = (2.1)

当1-A 存在时，显然1-A 满足上式，可见减号逆X 是普通逆矩阵1-A 的推广；另外，由A AXA =得

H H A AXA =)(，

即

H H H H A A X A =

可见，当X 为A 的一个减号逆时，H X 就是H A 的一个减号逆。 定义2.3 设复矩阵n m C A ?∈，若有一个m n ?矩阵X ，满足：

A AXA =且X XAX =

称X 为A 的一个自反逆矩阵，记作为-r A ，-r A 满足Penrose 方程的（ⅰ），（ⅱ）式，所以}2,1{A A r ∈-。

显然，自反广义逆为减号逆的子集。对矩阵X 是矩阵A 的{}1-逆，即{}1A X ∈, 若矩阵A 也是矩阵X 的{}1-逆，即{

}1X A ∈， 则X 为A 的一个自反逆矩阵。

定义2.4 设复矩阵n m C A ?∈，若有一个m n ?矩阵X ，满足：

A AXA = 及 AX AX H =)(，

则称X 为A 的最小二乘广义逆，记作-l A ，-l A 满足Penrose 方程的（ⅰ），（ⅲ）式，

所以}3,1{A A m ∈-。

最小二乘广义逆是用条件AX AX H =)(对减号逆进行约束后所得到的子集。 定义2.5 设复矩阵n m C A ?∈，若有一个m n ?矩阵X ，满足：

A AXA = 及 XA XA H =)(，

则称X 为A 的最小范数广义逆，记作-m A ，-m A 满足Penrose 方程的（ⅰ），（ⅳ）式，

所以}4,1{A A l ∈-。

显然，最小范数广义逆也是减号逆的子集。

若X 满足全部四个方程，则称X 为A 的Moore-Penrose 广义逆矩阵，记为+A 。

§2.2 广义逆矩阵的性质

将一个非零矩阵分解为一个列满秩矩阵与一个行满秩矩阵的乘积，是矩阵分解理论中的常见问题。特别是在广义逆矩阵的计算与研究中有着重要的应用。

定义2.6 设矩阵n m r C A ?∈（r ＞0），如果存在一个列满秩矩阵r m r C F ?∈与一个行满秩矩阵n r r C G ?∈使得

FG A =，

则称上式为A 的一个满秩分解。

定理2.1 对任意矩阵n m r C A ?∈（r ＞0），必存在着矩阵r m r C F ?∈和n r r C G ?∈使

FG A =。

证明： 由r rankA =，对A 进行若干次初等行变换后，可将A 化为行阶梯矩阵B ，

??

?

???=0G B ，

其中r rankG =。故存在若干个m 阶初等矩阵的乘积P ，使得

B PA =，

即

B P A 1-=，

将1-P 分块为

[]M F P ,1=-,r m r C F ?∈，)(r m m C M -?∈，

便有

[]FG G M F A =??

?

???=0,。

因F 是可逆矩阵1-P 的前r 列，所以F 是一个r m ?列满秩矩阵，G 是n r ?行满秩矩阵，故FG A =是A 的一个满秩分解。

上式FG A =是A 的一个满秩分解，但是A 的满秩分解并不是唯一的。任意取一个r 阶非奇异矩阵B ,若FG A =是一个满秩分解，则显然()()

G B FB A 1-=也是A 的一个满秩分解。

一、{1}-逆的性质

定理2.2 设n m C A ?∈，则A 的Moore-Penrose 逆存在且唯一。

证 设 r rankA =.若r =0，则A 是n m ?零矩阵，可以验证m ?n 零矩阵满足四个Penrose 方程。若r>0，则A 有满秩分解分解FG A =,

取()()

H H

H

H F F F GG G X 1

1

--=，则X 满足4个Penrose 方程，所以，X 是

Moore-Penrose 广义逆矩阵。

设X ，Y 均满足四个Penrose 方程，则

()()()()

()()()Y

Y YA Y Y A Y YA XA XAY AY AX X A Y A XX AYA XX A XX AX X X H

H H H

H

H

H

H H H H H

H H H H

==========

综上所诉，+A 存在且唯一。

+A 满足四个Penrose 方程的所有方程，所以，+A 属于15类广义逆矩阵中的任意一类。上面我们证明了+A 的存在性，所以，任意的类广义逆矩阵都是存在的。

对任意的C ∈λ，定义+λ为

???=≠=-+

00,

0,1λλλλ

（2.4）

下面给出{1}-逆的一些性质。

定理2.3 设n m C A ?∈，n m C B ?∈，C ∈λ，则 （1）}1{)()1(H H A A ∈； （2）}1){()1(A A λλ∈+；

（3）若S 和T 非奇异，则}1){(1)1(1SAT S A T ∈--； （4）()rankA rankA ≥1；

（5）()1AA 和()A A 1均为幂等矩阵且与A 同秩；

（6）；)())((),()(),()()1()1()1(H H A R A A R A N A A N A R AA R === （7）()n I A A =1的充要条件是n rankA =， ()m I AA =1的充要条件是m rankA =；

（8）()()

A A A

B AB =1的充要条件是rankA AB rank =)(， ()()B AB AB B =1的充要条件是rankB AB rank =)(。

证 （1）由()}1{1A A ∈， 有()A A AA =1， 两边同时求共轭转置得 ()()

H H

A A

AA =1， 即()H H H H A A A A =)(1，

由定义知()

()}1{1H

H

A A ∈。

（2）()()()()()A A AA A A A λλλλλ==+

1

1, 由{1}-逆定义得，

()()}1{1A A λλ∈+。

（3）()()()()()SAT SAT S A SATT SAT S A T SAT ==----111111, 由{1}-逆定义得，

()()}1{111SAT S A T ∈--。

（4）()()()()()rankA A AA rank AA rank rankA =≥≥111, 故 ()rankA rankA ≥1.。 （5）()()

()()()1112

1AA AA AA AA ==， 故()1AA 为幂等矩阵，又由

()()

()()()A A A AA A A A 1112

1

==， 故()A A 1为幂等矩阵， 所以

rankA AA rank A AA rank rankA ≤≤=)()()1()1(，

也即rankA AA rank =)()1(。 同理，rankA A A rank =)()1(。

（6）由)()()()()1()1(A R A AA R AA R A R =??, 得 ())()(1A R AA R =， 类似的，由)()()()()1()1(A N A AA N A A N A N =??，得())()1(A N A A N =。 又因为，)())(())(())(()()1()1()1(H H H H H H H H A R A A A R A A R A A R A R =?=?， 所以 ()(

)

()()

A A

R A

A R H

H

=1。

（7）充分性：n rankA =，所以，()()n AA rank =1，由()A A 1为幂等矩阵且非奇异， 易知 ()n I A A =1 。

必要性：由()n I A A =1，()()n AA rank =1，故n rankA =。 另一式同理可证明。

（8）充分性：)()(A R AB R ?，rankA AB rank =)(， 所以，)()(A R AB R =。

所以存在矩阵X ，使ABX A =，从而A ABX ABX AB AB A AB AB ===)1()1()()(。

必要性：()rankA ab rank A AB AB rank rankA ≤≤=)(])([1，故rankA AB rank =)(。 另一式同理可证明。

性质（5）逆命题仍然成立，即

定理2.4 设n m ?复矩阵A ，若存在m n ?矩阵X ， 使AX 为幂等矩阵，且

rankA AX rank =)(，则矩阵}1{A X ∈。

证明： AX 幂等，则()()AX AX AX =，而)()(A R AX R ?,又rankA AX rank =)(， 所以，)()(A R AX R =， 存在矩阵Y , 使得AXY A =，有

A AXY AXAXY AXA ===，

即 {

}1A X ∈。 二、{}2,1-逆的性质

因为在Penrose 方程（1）（2）中，A 和X 的位置是对称的，所以A{1,2}X ∈与

{1,2}A X ∈是等价的，即A 和X 总是互为{}2,1-逆。这与通常矩阵A 的逆的逆是A 本

身是一样的。

定理2.5 设矩阵{}1,A Z Y ∈, 又设YAZ X =， 则 {}2,1A X ∈。

证明：{}

1,A Z Y ∈，则A AYA =，A AZA =，

A AZA ZA AYA AYAZA AXA ====)(，

X YAZ YAYAZ YAZ AZA Y YAZAYAZ XAX =====)(， 由上2式得，{

}2,1A X ∈。 定理2.6 给定矩阵A ，若{

}1A X ∈，则{}2,1A X ∈的充要条件是rankA rankX =。 证明： 充分性：若{

}1A X ∈，则A AXA =，且AX 和XA 幂等，A rank XA rank AX rank ===)()(，

又rankA rankX =，所以，()rankX rankA XA rank ==。

由定理2.3得{

}1X A ∈，所以，{}2,1A X ∈。 必要性：{

}1A X ∈，则rankA rankX ≥， 又{

}2,1A X ∈，根据X 为自反广义逆，有X{1}A ∈，则rankX rankA ≥ 所以，rankX rankA =。

三、Moore-Penrose 广义逆矩阵+A

定理2.2已证明对任意矩阵n m C A ?∈，Moore-Penrose 广义逆矩阵+A 存在且唯一。 Moore-Penrose 广义逆矩阵是满足全部Penrose 条件的广义逆矩阵，其必然有其特殊性，下面给出Moore-Penrose 广义逆矩阵+A 的一些性质：

定理2.7 设矩阵n m C A ?∈，则有

（1）A A =++)(； （2）H H A A )()(++=； （3）+++=A A AA H H )()(； +++=)()(H H A A A A ； （4）++=)(H H AA A A ； H H A A A A ++=)(；

（5）rankA rankA =+。 证明：

（1）由定义，A 和+A 的位置是对称的，即+A 是A 的Moore-Penrose 广义逆矩阵，

那么A 就是+A 的Moore-Penrose 广义逆矩阵，又因为++)(A 唯一，所以，A A =++)(。

（2）令H A X )(+=，则有

()

()

H H

H H

H H H A A

AA A A A XA A ===++，

()

()()()

X A AA A A A A X XA H

H

H

H H

H ====+++

+

+

，

()

()

(

)[]

()

()

X A A A A

A A A A A X A H H

H H

H

H

H

H

H

=====+

+++，

()

(

)

[]

()()

H H H

H

H

H

H

H

H XA A A AA AA A A XA =====++

++

，

根据定义，H H A X A )()(++==。

（3） 令()+

+

=A

A X H

,则有

()()()()()()

H H H H

H

H H

H

H

AA AA AA AA AA A A A A AA A A AA AA X AA ====++++

+

+

，

()()()()()(),

+

+

+

+

+

+

+

+++

++

++

====A A

AA AA A

A

A A A A A A A A AA A A X XAA H H H

H H H H H

()[]

()[

]()[]

()()

(

)

(),

X AA A

A

AA A A A A AA AA AA AA AA AA A A A A A

A

AA X AA H

H H

H

H

H H

H

H

H H

H

H

=========+

+

+

+

+

+

+

++

++

+

+

+

()[]

(

)[]()()[]()()()()()()()()),

(H

H

H H

H

H H

H

H

H H

H

H

H H

H

H

H H H

H

AA X AA A A A A A A A A A A AA AA A A A A A A A A AA A A

AA X ========+

+

+

+

++

+++

+

+

++

+

根据定义及Moore-Penrose 广义逆矩阵的唯一性知

+++==A A X AA H H )()( 。 同理可证明，+++=)()(H H A A A A 。

（4） 令()+

=H

H AA A X ，则有

()

()

()

A A AA AA A A A A A A A A AA A AA AA AXA H

H

H H H =====+++++++

，

()

()

()

X AA A AA AA AA A XAX H

H H

H H H ===+

+

+

，

()(

)[

]

()

AX AA AA AA

AA AX H H H H H

H

===+

+

，

()

(

)[

]

()

()XA A AA A A A A A A AA

A XA H

H H

H H

H H

H

====+

++

+

，

根据定义及Moore-Penrose 广义逆矩阵的唯一性知

++==)(H H AA A X A 。 同理可证明 H H A A A A ++=)(。

（5）()()+++≤≤=rankA AA rank A AA rank rankA ，

()()

rankA A A rank AA A rank rankA ≤≤=++++，

故 +=rankA rankA 。

定理2.8 给定矩阵n m C A ?∈，则有

()()3,14,1AA A A =+，

其中，(){

}3,13,1A A ∈，(){}4,14,1A A ∈。 证明： 设()()3,14,1AA A X =，则 由定理2.5知，}2,1{A X ∈，又因为

()()()3,13,14,1AA A AA A AX ==， ()()

()

()AX AA AA AX H

H ===3,13,1 ()()()A A A AA A XA 4,13,14,1==， ()()()

()XA A A A

A XA H

H

===4,14,1

所以，}4,3,2,1{A X ∈。

又因为}4,3,2,1{A 只有一个元素，所以，+=A X 。

第三章 广义逆矩阵的计算

广义逆矩阵在解线性方程组中有着重要作用，而利用广义逆矩阵解线性方程组首先需要求解相对应矩阵的广义逆矩阵。

§3.1 一般广义逆的求解

一、{1}-逆的求解

定理3.1 设矩阵n m C A ?∈，有矩阵m n C X ?∈且}1{A X ∈，则

()()},|{}1{m n n m C Z Y Z XA I AX I Y X A ?∈?-+-+=。

（3.1）

证明： 因为对任意m n C Z Y ?∈,，令()()Z XA I AX I Y X M n m -+-+=，于是有

()()()()A

ZA AXA A AXA A AY A ZA

XA I A A AX I AY AXA AMA n m =-+-+=-+-+=，

所以，}1{A M ∈。

反之，任取}1{A M ∈，于是有

()()()()，

MAX XA I AX I X M X XAMAX MAX AX X M X M X XAMAX

XAX M M n m -+--+=-+---+=-+= 取X M Y -=，MAX Z =，则M 有（3.1）式的表示。