广义逆矩阵及其应用【文献综述】

毕业论文文献综述数学与应用数学广义逆矩阵及其应用一、前言矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。

“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语。

而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。

从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。

在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。

先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。

凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。

1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。

文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。

另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。

1855 年，埃米特(C.Hermite，1822～1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。

后来，克莱伯施(A.Clebsch，1831～1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。

泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。

在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849-1917)的贡献是不可磨灭的。

他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。

1854 年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。

1892年，梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。

傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。

矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论。

而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。

矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都有十分广泛的应用。

矩阵理论不但是经典数学的基础，同时又是很有实用价值的数学理仑。

计算机的广泛应用为矩阵理论的应用开辟了广阔的应用前景。

逆矩阵的概念在矩阵理论中占有重要位置，尤其求解方程组问题，它显得更为重要。

但是，一般的逆矩阵只是对非奇异的方阵才有意义，也就是说，当方程组的个数等于未知数的个数时．才可以用矩阵的逆来表示方程组的解。

实际问题中，遇到的矩阵不一定是方阵，即使是方阵也不一定是非奇异的，所以要考虑将逆矩阵的概念进行推广。

广义逆矩阵的思想可追溯到19O3年瑞典数学家弗雷德霍姆的工作，他讨论了关于积分算子的一种广义逆(称之为伪逆)。

1904年，德国数学家希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆．而任意矩阵广义逆的定义最早是由美国芝加哥的穆尔(Moore)教授在192O年提出来的，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。

由于不知其用途，该理论几乎未被注意，这一概念在以后3O 年中没有多大发展。

我国数学家曾远荣在1933年、美籍匈牙利数学家冯·诺伊曼和弟子默里在1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆也作过讨论和研究。

1951年瑞典人布耶尔哈梅尔A重新发现了穆尔(Moore)广义逆矩阵的定义，并注意到广义逆矩阵与线性方程组的关系。

1955年，英国数学物理学家彭罗斯(Penrose R)以更明确的形式给出了与穆尔(Moore)等价的广义逆矩阵定义，因此通称为Moore—Penrose广义逆矩阵，从此广义逆矩阵的研究进入了一个新阶段。

现如今，Moore—Penrose广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，使这一学科得到迅速发展，并成为矩阵论的一个重要分支。

二、主题我们认识一个新的知识，首先从它的概念出发。

文献[1]、[2]中给出了Moore —Penros 广义逆矩阵的定义。

设m n A C ⨯∈，若有某个m n X C ⨯∈，满足①AXA A = ②XAX X =③()T AX AX = ④()T XA XA =中的全部或其中的一部分，则称X 为A 的一个Moore —Penros 广义逆矩阵。

按照定义，如果X 是满足第i 个条件的广义逆矩阵，就记为{}1A ，如果X 是满足第,i j 个条件的广义逆矩阵，就记为{},i j A 。

如果G 是满足第,,i j k 个条件的广义逆矩阵，就记为{},,i j k A ，如果G 是满足四个条件的广义逆矩阵，就记为{}1,2,3,4A 。

除了{}1,2,3,4A 是唯一确定之外，其余各类广义逆矩阵都不是唯一确定的，每一类广义逆矩阵都包含着一类矩阵，为了表示这种情况，把满足前面所述相应条件的一切Moore —Penrose 广义逆矩阵分别记为{}A i ，{},A i j ，{},,A i j k上述共有15类Moore —Penrose 广义逆矩阵中，应用较多的是以下5种：(1){}1A ，其中任意一个固定广义逆矩阵记为A -；(2){}1,2A ，其中任意一个固定广义逆矩阵记为r A -；(3){}1,3A ，其中任意一个固定广义逆矩阵记为 m A -；(4){}1,4A ，其中任意一个固定广义逆矩阵记为 l A -；(5){}1,2,3,4A A +=其中A +满足全部四个条件，显然有{}1A A +∈，{}1,2A A +∈，{}1,3A A +∈，{}1,4A A +∈。

在了解了广义逆矩阵的概念之后，我们再来看它的一些性质。

文献[3]中给出了广义逆矩阵的一些性质及。

性质1：A 为实n 阶方阵，若A 可逆。

则1A -即为A 的广义逆矩阵。

性质2：若A 有广义逆矩阵B ，则B 是唯一的(后面记B A +=)。

引理： A 为m r ⨯阶实矩阵，A 为列满秩阵，则T A A 可逆。

(或A 为行满秩阵，则T AA 可逆)。

性质3：H 为m r ⨯阶实阵，L 为r n ⨯阶实阵。

且()()r H r L r ==。

则()1T T H H H H -+=,()1T T L L LL -+=且()()r H r L r ++==。

推论1：H 为m r ⨯阶列满秩实阵，则r H H I +=。

L 为r n ⨯阶行满秩实阵，则r LL I +=。

推论2：A 为n 阶可逆实方阵，则1A A +-=。

性质4：A +为m n ⨯阶实矩阵A 的广义逆矩阵，则()()T T A A ++=。

性质5：A 为m n ⨯阶实矩阵，()r A r =，A 的满秩分解为A HL =，其中H ，L 分别为m r ⨯阶与r n ⨯阶秩为r 的实矩阵，则A 广义逆矩阵A L H +++=。

性质6：A +为A 的广义逆矩阵，则()()()()r A r AA r A A r A +++===。

性质7：A 为m n ⨯阶实矩阵，则()()n r I A A n r A +-=-。

性质8：A +为m n ⨯阶实阵A 的广义逆矩阵，则矩阵方程AX b AA b b +=⇔=有解。

且当有解时一个解为X A b +=。

现在，我们已经知道了广义逆矩阵的概念以及它的一些性质，接下来就来看下它的一些应用。

首先是在解线性方程组中的应用。

文献[2]、[4]都给出了矩阵的左逆和右逆，文献[2]、[4]、[5]、[6]、[7]、[8]、[9]、[10]还给出了与线性方程组的解关系。

1、矩阵A 的左逆1L A -与右逆1R A -定义1：若有n m G C ⨯∈， 使得AG I = (或GA I =)，则称G 为A 的右逆1R A - (或左逆1L A - )，即1RAA I -=(或1L A A I -=)。

在一般情况下，11L R A A --≠．若11L R A A --=，则1A - 存在，且111L R A A A ---==。

引理1：若A 是行(或列)满秩， 则必存在A 的右逆1R A -(或左逆1L A -)，且()11R A A AA --**=(或()11L A AA A --**=。

2、A -与相容方程组的解引理2：(相容方程组的通解)相容方程组AX b =的通解为()n X A b I A A Y --=++，其中Y 为n C 中的任意元素。

3、m A -与相容方程组的极小范数解引理3：设n m G C ⨯∈，使Gb 是相容方程组AX b =的极小范数解的充要条件是，G 满足AGA A =和()GA GA *=。

m A -的计算方法如下： (1)当A 是行(或列)满秩时，则()11m R A A A AA ---**== (或()11m L A A A A A ---**==) (2)当{}()min ,rank A r m n =<时，将A 满秩分解为A CD =，其中C 为列满秩，D为行满秩，则11mR L A A D C ----==。

(3)在一般情况下，用满秩分解来求m A -是很麻烦的，我们可以做()m A A AA --**=4、l A -与不相容方程组的最小二乘解引理4：设n m G C ⨯∈，X Gb =是不相容方程组AX b =最小二乘解的充要条件是，G 满足AGA A =和()GA GA *=l A -的计算方法如下：(1)当A 是行(或列)满秩时，则()11l R A A A AA ---**== (或()11l L A A A A A ---**==) (2)当{}()min ,rank A r m n =<时，将A 满秩分解为A CD =，其中C 为列满秩，D为行满秩，则11l RL A A D C ----==。

(3)在一般情况下，用满秩分解来求m A -是很麻烦的，我们可以做()l A A A A --**=在最小二乘解、曲线拟合和多元线性回归分析中常常要计算不相容方程组的最小二乘解，广义逆矩阵的理论使求不相容方程组的最小二乘解的方法标准化、规范化了，整个求解过程归结为求A 的广义逆l A -，无需求误差平方和的极值等一套繁琐的步骤．5、A +与线性方程组的极小最小二乘解引理5：不相容方程组AX b =的极小最小二乘解为X A b +=，其中ml A A AA --= A 的计算方法如下：(1)如果A 为满秩方阵，则A A +-=；(2)如果12(,,,),,1,2,,n i A diag d d d d C i n =∈=L L ，则12(,,,)n A diag d d d ++++=L ，其中0,01,0i i i id d d d +=⎧⎪=⎨≠⎪⎩当时当时 (3)如果A 为行满秩矩阵，则()11R A A A AA -+-**==；(4)如果A 为列满秩矩阵，则()11L A A A A A -+-**== ； (5)如果A 为降秩的m n ⨯矩阵，可用满秩分解求A ，即将A 满秩分解成A CD =，其中,m r r n C C D C ⨯⨯∈∈，且{}min ,rankC rankD r rankA m n ===<，()()1111,L R C C C C D D DD ---**-**==，则11R L A D C +--=。