经济数学微积分课件第二章第一节

1 1 , 给定 , 只要 n 10000 , 有 x n 1 时 10000 10000 1 给定 0, 只要 n N ( [ ])时, 有 x n 1 成立.
定义
如果对于任意给定的正数
(不论它
多么小),总存在正整数N ,使得对于 n N 时 的一切 x n ,不等式 x n a 都成立,那末就称 常数 a 是数列 x n 的极限,或者称数列 x n 收敛 于 a ,记为
称 { xn } 为上有界 , B 是 {xn }的上界．
3. 单调性
数列 { xn } 若满足 x1 x2 xn , 称数列{ xn }
若满足 x1 x2 xn , 为单调增数列；
则称数列{ xn } 为 单调减数列．
单调增数列和单调减数列统称为单调数 列．
4. 子数列 (subsequence)
ln 2 反而缩小为 n ln(1 ) 从而 n N 时， ln 2 ln 2 仅有 ln(1 ) 成立， n ln n 但不是 ln(1 ) 的充分条件． n
练 习 题
一、 利用数列极限的定义证明:
3n 1 3 1． lim ； n 2n 1 2 2． lim 0.999....9 1
1 1 任给 0, 要 x n 1 , 只要 , 或n , n 1 所以, 取N [ ] 1, 则当n N时, n ( 1) n 1 n ( 1) n1 1. 就有 1 即 lim n n n
例2 设xn C (C为常数), 证明 lim xn C .
lim x n a ,
n
或
xn a
( n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意：.不等式 x n a 刻划了x n与a的无限接近 1 ;
2. N与任意给定的正数有关.
N定义 : lim x n a n
0, N 0, 使n N时, 恒有 x n a .
三、数列极限的定义(ຫໍສະໝຸດ imit of a sequence)
( 1) 观察数列{1 n
n 1
} 当 n 时的变化趋势.
播放
问题: 当 n 无限增大时, x n是否无限接近于某一 确定的数值?如果是,如何确定? 通过上面演示实验的观察:
( 1)n1 当 n 无限增大时, xn 1 无限接近于1. n
第一节
数列的极限
一、引例 二、数列的有关概念
三、数列极限的定义
四、收敛数列的性质
五、小结
思考题
一、引例
1. 割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽
播放
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
R


正 6 2 n 1 形的面积 An
lim q n 0.
n
例4 设x n 0, 且 lim x n a 0,
n
求证 lim x n
n
a.
证 任给 1 0, lim xn a, n
N使得当n N时恒有 x n a 1 ,
从而有 x n a xn a xn a 1 xn a a a
A1 , A2 , A3 ,, An ,
S
二、数列的有关概念
(sequence)
1．定义:以正整数集 N 为定义域的函数 f (n ) 按
f (1) , f ( 2) , , f ( n) ,排列的一列数称为数列，
通常用 x1 , x 2 , , x n ,表示，其中 x n f (n) ，
n 例如, 数列 xn 有界； 数列 xn 2 n 无界 n1
数轴上对应于有界数列的点 x n 都落在闭区间
[ M , M ]上.
若存在实数 A ，对一切n 都满足 xn A ， 称 { xn } 为下有界 , A 是 { xn } 的下界；
同样, 若存在 B ，对一切n 都满足 xn B ，
故 lim x n a .
n
四、收敛数列的性质
性质1（极限的唯一性）收敛数列的极限必唯一. 性质2（有界性） 收敛数列必为有界数列.
注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散.
性质3（保号性） 若 lim x n a , 且a 0(或a 0), n 则存在正整数N ,当n N时, xn 0(或xn 0).
定义：将数列 x n 在保持原有顺序情况下，任 取其中无穷多项构成的新数列称为 x n 的子数
例如， x1 , x2 ,, xi , xn ,
列，简称子列．
x n1 , x n2 ,, x nk ,
注意： 在子数列 xnk 中，一般项 xnk 是第 k 项，

而 xnk 在原数列 xn 中却是第 nk 项，显然，nk k .
n
证 任给 0 , 对于一切自然数n ,
xn C C C 0 成立,
所以,
lim xn C .
n
说明:常数列的极限等于同一常数.
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给
定 0,寻找N,但不必要求最小的N.
例3 证明 lim q 0, 其中 q 1. n
这个定理表明 若数列有两个不同的子数列收敛于 不同的极限，则该数列是发散的.
五、小结 思考题
数列:研究其变化规律;
数列极限:极限思想、精确定义、几何意义; 收敛数列的性质: 唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性.
思考题
指出下列证明lim n n 1 中的错误．
n
n
1 证明 要使 n 1 , 只要使 ln n ln(1 ) n 1 ln(1 ) ln(1 ) 从而由 n ln n ln 2 ln 2 得 0, 取 N ln(1 ) 1
n
若q 0, 则 lim q n lim 0 0; 证 任给 0, n n
若0 q 1,
xn 0 q n , n ln q ln ,
ln ln n , 取N [ ]为自然数 , ln q ln q
就有 q n 0 , 则当n N时,
这个定理表明 若数列的极限为正（或负），则 该数列从某一项开始以后所有项也为正（或负）.
推论 若 x n 0 (或 x n 0 ) 且 lim x n a , 则a 0
n
(或a 0).
性质4（收敛数列与其子数列间的关系）
如果数列{ xn } 收敛于 a ，那么它的任一子数列 也收敛，且极限也是a .
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
xn 1 ( 1)
n 1
1 1 n n
1 1 1 1 , 只要 n 100时, 有 x n 1 , 给定 , 由 n 100 100 100 1 给定 , 只要 n 1000 , 时 1000 1 有 xn 1 , 1000
3, 3 3 ,, 3 3 3 ,
注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x3
x1
x 2 x4
xn
2.数列是整标函数 xn f (n).
2. 有界性
定义: 对数列 x n , 若存在正数 M , 使得一切自 然数n , 恒有 x n M 成立, 则称数列x n 有界, 否则, 称为无界.
其中 : 每一个或任给的 : 至少有一个或存在. ; 几何解释:
a
x2 x1 x N 1
2
a
x N 2 x3
a
x
当n N时, 所有的点 x n都落在 (a , a )内, 只有有限个 (至多只有N个) 落在其外.
注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.
n ( 1) n 1 1. 例1 证明 lim n n n ( 1) n 1 1 1 证 xn 1 n n
x n 称为通项
例如
2,4,8,,2 ,;
1 1 1 1 , , ,, n ,; 2 4 8 2
n
{2 n }
1 { n} 2
1,1,1, , ( 1) n 1 ,;
1 4 n ( 1) n1 2, , , , ,; 2 3 n
{(1)
n 1
}
n ( 1) n1 { } n
n
二、 设数列 x n 有界， lim y n 0 ， 又 n 证明： lim x n y n 0. n
当 n N 时，必有 0 n n 1 成立
lim n n 1
n
思考题解答
1 n 1 ~ ln n ln(1 ) （等价） n 1 ln(1 ) ln(1 ) 证明中所采用的 n ln n ln 2
n
ln 2 ln n 实际上就是不等式 ln(1 ) n n ln n 即证明中没有采用“适当放大” 的值 n