经济数学微积分 6-8

x
1000,求总成本函数．
解：C( x) C(0)
x
C ( x)dx 1000
x
25
(7 )dx
0
0
x
1000 [7x 50 x ]0x 1000 7 x 50 x .
另解：先求不定积分
C(x)
C( x)dx
(7
25 )dx 7 x 50 x
x C,
Q C(0) 1000, C( x) 1000 7 x 50 x .
内收益现值 [ p(t)dt]ert p(t ห้องสมุดไป่ตู้ertdt
总 现 值 T p(t )ertdt . 0 对于将来值，p( t )dt在T-t 年获得利息，从而
在[t, t+dt]内
收益流的将来值 [ p(t )dt]er(Tt ) p(t )er(Tt )dt，
总的将来值 T p(t )er(T t )dt . 0
解：追加的成本
300
C C(t)dt
300150 0.2x dx
200
200
150 x
0.1x2
300 200
10000.
例5 在某地区消费者个人收入为x元时消费支出W的
变化率为W'(x)= 15 .当个人收入由900增加到1600时，
x
消费支出会增加多少？
解： W
1600
W ( x)dx
y(t)dt
T
(A
A t )dt
AT
,
0
0
T
2
在时间段 [0,T]上的平均剩余量 y 1 T y(t)dt A .
T0
2
1600 15 dx
900
900 x
30 x 1960000 300(元).
三、收益流的现值和将来值
将来值
货币资金未来的价值，即一定量的资金在将来 某一时点的价值，表现为本利和。
现值
货币资金现在的价值，即将来某一时点的一定 量的资金折合成现在的价值。
收益流
收益若是连续地获得，则收益被看作是一种随 时间连续变化的收益流。
四、 小结
•由边际函数求原函数 •由变化率求总量 •收益流的现值和将来值
思考题
设有一项计划现在(即 t 0 )需一项投入 a (元)，可
获得一项在 0,T 中的常数收益流量 b (元)，若连续
复利的利率为 r ，求收益的资本价值．
思考题解答
v T bertdt a b(1 erT ) a
解 (1)商品剩余量是时刻t的函数，记为y(t),
即 y(t)=A-x(t)=A- kt, t∈[0,T], k>0，
由题设知
即 A- kT=0, 故 k=T/A ,
y因(T此)=t时0, 刻的商品剩余量为y(t) A A t, t 0,T ,
T
(2)在时间段 [0,T]上的总剩余量为
y
T
解
(1)Q
4
x(t )dt
4 100＋12t dt
0
0
100t
6t
2
4 0
=496(单位)
(2)Q
4
x(t)dt
4 100＋12t dt
2
2
100t
6t
2
4
=272(单位)
2
例4 生产某产品的边际成本为 C'(x)=150-0.2x.当 产量由200增加到300时，需追加的成本为多少？
x
C(t )dt
x
(30+4t )dt
0
0
收益函数为 R( x)
x
R(t )dt
x
(60-2t )dt
0
0
利润函数为 L( x) R( x) C( x)
x
R(t)dt
x
C(t )dt
0
0
x
0
R(t
)
C
(
t
)
dt
x
0 (30 6t)dt
dL 30 6x, 令 dL 0,得x 5,
的居民消费支出x总收入的函数，W ( x) 1
，
200 x
当收入由4亿元增加到9亿元时，购买冰箱的消费支出
增加多少？
解： W
9
W
(
x
)dx
9
1 dx
4
4 200 x
1 100
x
9 4
=0.01(亿元)
即当地居民购买冰箱的消费支出增加0.01亿元。
四、设某商品从时刻0到时刻t的销售量为 x ( t ) = kt， t∈[0,T], k>0,欲在时刻T将数量A的该商品销售完， 试求(1) t时刻的商品剩余量，并确定k值； (2)在时间段 [0,T]上的平均剩余量。（2003年研究生入学考试试题）
0
r
即收入的资本价值为b (1 e rT ) a。 r
当收益流量是无限期时，即T 时，
v
lim
T
b r
(1
e rT
)
a
b r
A
练习题
一、已知边际成本为C'(x) =30+4x，边际收益为 R‘(x) =60-2x ，求最大利润。(假定固定成本为零)
解：当边际收益等于边际成本时，取得最大利润，
例6 假设以年连续复利率 0.1计息 ,求收益流 量为100元/年的收益流在20年内的现值和将来值.
解: 现值 20100e0.1tdt 0 1000(1 e2 ) ≈864.66(元) 将来值 20100e0.1(20t )dt 0 1000e2(1 e2 )
≈6 389.06(元)
解：(1) R( x)
100
R( x)dx
100
(200
x )dx
0
0
100
200 x
x2 200
100 = 0
19950(单位)
(2) R( x)
200
R( x)dx
100
200x
x2 200
200
100
= 19850(单位)
三、某地区居民购买冰箱的消费支出W(x)的变化率
即R' (x) = C '(x)，60-2x =30+4x x = 5
最大利润为： Lmax
5 R( x)dx
0
5 C ( x)dx
0
5
0
R(
x
)
C
(
x
)
dx
5
0
(60
2
x)
(30
4
x)dx
5
(30
0
6 x)dx
30 x
3x2
5 0
150 75 75.
另解：成本函数为 C( x)
收益流量
收益流对时间的变化率。
收益流 将来值
收益流 现值
将收益流存入银行并加上利息之后的存款值。
收益流的现值是这样一笔款项，若将它存入银行，将来从收益 流中获得的总收益，与包括利息在内的银行存款值有相同的价 值。
若有一笔收益流的收益流量为p( t )(元/年)，考 虑从现在开始(t = 0)到T 年后这一段时间段的将来值 和现值(以连续复利率计息) 分析：在区间[0,T]内任取一小区间[t, t+dt]，在[t, t+dt ] 内所获得的金额近似为 p( t )dt，从t = 0开始， p( t )dt这一金额在 t 年后的将来获得，从而在 [t, t+dt]
dx
dx
又
d2 L dx 2
6
0,
5
最大利润为：Lmax
(30 6x)dx
0
30
x
3
x2
5 0
当产量x=5,取得最大 利润,如果再增产一个 单位，利润会怎样？
150 75 75.
二、已知某产品生产x个单位时总收益R的变化率为 R( x) 200 x ( x 0) 100
试求(1)生产100个单位时的总收益； (2)再继续生产100个单位，增加的总收益。
例2 设边际收益函数为R΄(x)=78-2x (x为产量，x≥0), 求收益函数R(x)。
解：R(0)=0
x
R( x) = R(0) 0 R( x)dx
x
= 0 (78 2x)d
=78x x2 .
二、由变化率求总量
例3 某工厂生产某商品在时刻 t 的总产量的变化率 为 x'(t ) = 100 + 12t (单位∕小时)。求(1) 生产4小时 时的总产量；(2)这4小时中后两个小时的产量。
第八节 定积分的经济应用
一、由边际函数求原函数 二、由变化率求总量 三、收益流的现值和将来值
一、由边际函数求原函数
设经济应用函数u(x)的边际函数为u'(x)， 则
x
0 u( x)dtx u( x) u(0)
于是
x
u( x) u(0) 0 u( x)dtx
例1 已知边际成本为 C( x) 7 25 ,固定成本为