经济数学微积分经济学中的常用函数
经济数学基础(微积分)讲义全
经济数学微积分学习讲义合川电大兰冬生知识点一：5个基本函数1，常数函数，c y = （c 是常数）例如：3=y ，1-=y ，这些函数可以看成是x 隐含，例如3=y 可看成30+=x y 。
2，幂函数，αx y =（α是一个数） 形如2x y =，3x y =，5x y =是幂函数，注意：仅仅是这种形式是幂函数，其他的任何一点形式变化都不是，2x y =是幂函数，22x y =就不是幂函数，只能是下面x ，上面（指数）是一个数！以下基本函数均如此3，指数函数，x a y =，（a 是一个数） 例如：x y 2=，x y 23⋅=不是指数函数。
4，对数函数x y a log =，这里要求x 必须大于零，我们的考试常常拿来考“求定义域”这里我们只认识两个特殊的对数函数，一个是x y ln =，他是x y e log =的简写，e 是一个数，718.2=e ，和我们知道的14.3=π一样，另一个是x y lg =，他是x y 10log =的简写。
5，三角函数x y sin =，x y cos =，特别注意的是x y sin 2=，x y 2sin =，都不是三角函数。
● 这5个基本函数是我们要学习的函数的主要构成细胞。
● 例如：12sin 232+++=x x e y x ，二次函数，由幂函数，常数函数构成632-+=x x y 。
知识点二：极限1，什么是数列？数列就是按照“一定规律排列的一组数”，我们常见的是无限数列。
数学符号记为：}{n a例如：数列：1,2,4,8,16,32，……，发展规律依n 2 变化，,4,3,2,1,0=n …… 1，21，41，81，……，发展规律依n 21变化，,4,3,2,1,0=n …… 2，极限学习极限，一个非常重要的认识就是“分母越大，分数越小” 数列的极限，就是指数列的一个趋近值，（即是指一串数的趋近值）例如：1，21，31，41，……，分母由1,2,3,4，……变化，当分母无限大时，1000001，1000000001，……，最后，这个无限数列趋近于0，这里，我们简单描述这个变化，∞→n01→n分母越大，分数越小 →是趋近，∞是无穷大的意思，无穷大是指非常非常大，无法计量。
第十四讲 微积分和微分方程在经济中的应用
第14章 微积分（和微分方程）在经济中的应用一、考试内容与要求1 经济数学中的常用函数(1) 成本函数C(x): C(x)=固定成本+可变成本(2) 需求函数Q(p): 需求量为价格p 的函数, 常用线性函数为Q=a-bp (3) 供给函数S(p): 需求量为价格p 的函数, 常用线性函数为S=c+dp (4) 收益函数R(x): R(x)=x ·p, x 是产量，p 是价格 (5) 利润函数L(x): L(x)=R(x)-C(x) （或-T ，税收）(6) 平均成本函数：C x C x x()()=2 导数在经济分析中的应用(1) 边际概念： y=f(x), 'f x ()0 边际成本: 'C x () 边际收益: 'R x () 边际利润: 'L x () (2) 函数的弹性 y f x x f x f x ==⋅'(),()()ε 特别需求价格弹性：)()(),(p Q p Q p p Q Q '==ε, 或假定Q 为p 的递减函数，且弹性大于零，则)()(p Q p Q p'-=ε. 表示价格每变动1%时，需求量变动的百分数(3) 最值问题 最大利润、最大成本等，通过建立函数关系式转化为一元函数或多元函数的极值与最值问题。
通常，在所求问题只有一个极值点，而所求最值一定存在，则此极值即为最值。
3 微分与差分方程在经济分析中的应用 如已知商品价格弹性，求商品需求函数等问题4 积分在经济分析中的应用如已知总产量变化率dQ/dt, 则时间间隔[a, b]内产量Q =dQ dtdt ab ⋅⎰二、重要公式与结论 1 复利公式分期复利计息公式 A A r t =+01(), 其中r 为年利率 连续复利计息公式 A A e rt =0 现值公式 A Ae rt 0=-2 库存模型某一时期内，需求总量为Q ，分x 次进货，每次进货费用为k, 每件产品库存费用为p, 产品均匀销售，求最优批次，使总费用最小？总成本为： C Qxp x k =+=+⋅库存费进货费用12三、典型题型与例题1 微分在经济上的应用例1 已知某厂生产x 件产品的成本为240120025000x x C ++=（元），问： （1） 若使平均成本最小，应生产多少件产品？（2） 若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？解 （1） 由240120025000)(x x x C ++=，得平均成本 4020025000)(xx x C ++= 因而401250002+-=x dx C d , 令0=dx C d 得x=1000或x=-1000(舍去). 0100022>=x dxCd ,所以x=1000时，)(x C 取极小值，也即最小值。
《微积分上》的经济数学汇总
一、常用的经济函数1、总成本函数、总收入函数、总利润函数总成本函数是指在一定时期内，生产产品时所消耗的生产费用之总和。
常用C 表示，可以看作是产量x 的函数，记作()C C x =总成本包括固定成本和可变成本两部分，其中固定成本F 指在一定时期内不随产量变动而支出的费用，如厂房、设备的固定费用和管理费用等；可变成本V 是指随产品产量变动而变动的支出费用，如税收、原材料、电力燃料等。
固定成本和可变成本是相对于某一过程而言的。
在短期生产中，固定成本是不变的，可变成本是产量x 的函数，所以()()C x F V x =+，在长期生产中，支出都是可变成本，此时0F =。
实际应用中，产量x 为正数，所以总成本函数是产量x 的单调增加函数，常用以下初等函数来表示：（1）线性函数 C a bx =+, 其中0b >为常数.（2）二次函数 2C a bx cx =++,其中0,0c b ><为常数.（3）指数函数 ax C be =, 其中,0a b >为常数. 平均成本：每个单位产品的成本，即 ()C x C x=. 总收益函数是指生产者出售一定产品数量（x ）所得到的全部收入，常用R 表示，即 ()R R x =其中x 为销售量. 显然，0(0)0Q R R ===，即未出售商品时，总收益为０.若已知需求函数()Q Q p =，则总收益的为1()()R R Q P Q Q p Q -==⋅=⋅ 平均收益：()R x R x=，若单位产品的销售价格为p ，则R p x =⋅，且R p =. 总利润函数是指生产中获得的纯收入，为总收益与总成本之差，常用L 表示，即 ()()()L x R x C x =-例 某工厂生产某产品，每日最多生产100个单位。
日固定成本为130元，生产每一个单位产品的可变成本为6元，求该厂每日的总成本函数及平均单位成本函数.解 设每日的总成本函数为C 及平均单位成本函数为C ，因为总成本为固定成本与可变成本之和，据题意有()1306(0100)130()6(0100)C C x xx C C x x x==+≤≤==+<≤ 例 设某商店以每件a 元的价格出售商品，若顾客一次购买50件以上，则超出部分每件优惠10%，试将一次成交的销售收入R 表示为销售量x 的函数。
经济数学高考知识点总结
经济数学高考知识点总结经济数学作为高中数学的一个重要分支，主要掌握了解和运用一些与经济实际相关的基本数学工具和方法，通过对经济数学的学习，可以帮助我们更好地理解和分析经济问题。
下面将对经济数学高考的一些重要知识点进行总结。
一、函数与导数1. 函数与映射：函数的概念、函数的性质及基本运算法则。
2. 常用函数：线性函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
3. 导数与微分：导数的定义、导数的基本公式、导数的运算法则。
4. 函数的变化率与导数：平均变化率、瞬时变化率、导数与函数的图像特征。
二、极限与连续1. 数列与极限：数列的概念、数列极限的定义及性质、常用数列及其极限。
2. 函数的极限：函数极限的定义、性质及常用极限计算方法。
3. 连续与间断：连续函数的定义、间断点的判定及分类。
三、概率与统计1. 概率初步：随机事件、样本空间、事件间关系及概率的计算。
2. 离散型随机变量：离散型随机变量概念与性质、期望与方差的计算。
3. 连续型随机变量：连续型随机变量概念与性质、概率密度函数的计算。
四、最优化问题1. 函数的极值与最值：函数的最大值、最小值以及最值的存在性定理。
2. 函数的单调性与凸性：函数的单调递增与递减、函数的凹凸性。
3. 最优化问题：一元函数求极值、二元函数求极值及约束条件下的最值问题。
五、微分方程1. 微分方程与初等解法：微分方程的基本概念、一阶常微分方程的初等解法。
2. 可降阶的高阶常微分方程：高阶常微分方程的可降阶化简与初等解法。
六、线性规划1. 目标函数与约束条件：线性规划的基本概念及标准形式的表示。
2. 线性规划的解法：图解法、单纯形法及其应用。
七、利息问题1. 复利问题：复利的概念与计算、连续复利的计算。
2. 等额本息与等额本金：等额本息还款法与等额本金还款法的计算。
以上是经济数学的主要考点总结，通过对这些知识点的掌握和运用，可以帮助我们更好地理解和解决与经济相关的实际问题。
希望本文对您的学习和备考有所帮助！。
经济数学基础微积分第一篇第一章--函数
(2)自变量可以取一， 个还 数可 值以取 一个表达式。
例 31： . 给定 fx 函 x2数 x2,试计 f0,f(x2),f1x.
解： f(0)02022
f(x 2 ) (x 2 )2 (x 2 ) 2 x 4 x 2 2
给定 r2, 就有 S4;
给定 r3, 就有 S9;
例 y 如 fx x 2 ： x 1
给定 x1, 就y有 f11;
给定 x1, 就y 有 f1 3 ;
【注y 意 f】 x
二. 求定义域
函数的定义域：是使函数有意义的 自变量x取值的全体。 也就是自变 量x允 许取值的范围。
确定函数定义域的三条基本要求： (1) 分式的分母不能为零。即若 y 1
【公 ln x式 kkln 】 x， lo ： ax g kkloax g
【解】 1 fx lx n 2 2 lx n(x 0 ) g x 2 ln x(x 0 )
表达式不同，定义域不同 所以它们是不同的函数。
2 fx lx n 3 3 lx n ( x 0 )
g x 3 ln x(x 0 )
－3 －2
2
x
【练习1】
求函 f(x数 )lo2g (x1)
1 的定.义 x21
【解】 要使f(x) 有意义，必须有
x 1 0
x
2
1
0
xx11x10
xx
1 1
或
x
1
即： x1
公共部分
写成区间 (1, ： )
【练习2】
求函f(x数 ) 1 3x的定.义 lnx(3)
【解】 要使f(x) 有意义，必须有
1.3 常用的经济函数介绍
4、收益函数与利润函数 TR(Q) PQ , AR P , (Q) TR(Q) TC (Q)
QS QS ( P )
称为供给函数.
常见的供给函数： 线性函数： QS aP b , a , b 0 幂函数：
QS kP a , a 0 , k 0
bP Q ae , a0,b0 指数函数： S
在同一个坐标系中作出需求曲线 D和供
给曲线 S ，两条曲线的交点称为供需均衡点， 该点的横坐标称为供需均衡价格 .
将本利和A1再存入, 第2期末的本利和为:
A2 A1 A1r A0 (1 r )2
再把本利和存入银行, 如此反复, 第t期末的本利和为:
At A0 (1 r )t
若按年为期, 年利率为R, 则第n年末的本利和为:
An A0 (1 R)n
二、需求函数与供给函数
1、需求函数
需求的含义：消费者在某一特定的时期内， 在一定的价格条件下对某种商品具有购买力 的需要． 如果价格是决定需求量的最主要因素， 可以认为 需求量QD 是 价格P的函数。记作
QD QD ( P )
称为需求函数.
常见的需求函数：
线性函数： QD aP b 幂函数： QD kP a 指数函数： QD ae bp ( 其中 a,b,k > 0 ) 需求函数QD=QD(P)的反函数，称为价格函 数，记为 P=P(QD）
TR(Q) PQ , AR P
例 4 设某商品的需求关系是 3Q+4P=100, 求总收 益和平均收益．
100 3Q P , 解 价格函数为 4
100Q 3Q 所以总收益为TR(Q ) P Q , 4 平均收益为 AR(Q ) P (Q ) 100 3Q . 4
大一经济数学知识点总结归纳
大一经济数学知识点总结归纳经济数学作为经济学专业中必修的一门基础课程，是为了培养学生运用数学工具解决经济问题的能力而设置的。
在大一的学习过程中，我们通过学习经济数学，逐渐掌握了一些基本的数学方法和技巧。
接下来，我将对大一经济数学的知识点进行总结和归纳。
一、微积分基础知识1. 函数及其图像：函数的定义及其性质，包括奇偶性、周期性等。
函数图像的性质和画法。
2. 极限与连续：极限的概念与性质，包括左极限、右极限及无穷大与无穷小的概念。
连续性的定义及其判定方法。
3. 导数与微分：导数的定义与计算方法，包括常用的求导法则、高阶导数、隐函数求导等。
微分的概念及其应用。
4. 积分与不定积分：不定积分的定义与性质，包括常用的积分法则、分部积分法、换元积分法等。
二、线性代数基础知识1. 行列式与矩阵：行列式的定义与计算方法，包括二阶、三阶行列式的求解。
矩阵的定义、性质及其运算法则。
2. 线性方程组：线性方程组的解的判定方法，包括齐次线性方程组与非齐次线性方程组的解法。
3. 向量与向量空间：向量的定义与性质，包括向量的线性组合与线性相关性的判定。
向量空间的定义与性质。
三、概率论与数理统计基础知识1. 随机事件与概率：随机事件的概念与性质，包括条件概率、独立事件、全概率公式和贝叶斯定理。
2. 随机变量与概率分布：随机变量的概念及其分类，包括离散型随机变量与连续型随机变量的概率分布。
3. 数理统计：样本与总体的概念，样本统计量与总体参数的估计方法，包括点估计与区间估计。
四、最优化理论基础知识1. 函数的极值：函数的极值的定义与判定方法，包括极大值点、极小值点及鞍点的判定。
2. 一元函数的优化：一元函数的最大值与最小值的求解方法，包括一元函数的一阶条件与二阶条件的判定。
3. 多元函数的优化：多元函数的最大值与最小值的求解方法，包括多元函数的一阶条件与二阶条件的判定。
五、微分方程基础知识1. 常微分方程：常微分方程的基本概念与解法，包括一阶常微分方程与二阶常微分方程的求解方法。
经济学微积分
经济学微积分经济学微积分是经济学中的数学工具之一，它运用微积分知识描述经济学中的许多问题。
微积分是一门研究无限小量的学科，其中微分是研究函数在某一点的斜率，而积分是研究函数在某一区间内的面积。
下面我们将介绍经济学中微积分的一些应用。
市场需求函数和边际需求函数我们知道，市场需求函数描述的是市场上所有消费者在某一价格下的需求量。
假设市场上有两个消费者，分别有需求函数$q_1(p)$和$q_2(p)$，则市场需求函数可表示为$q(p)=q_1(p)+q_2(p)$，其中$p$代表产品的价格。
市场需求函数的边际需求函数是其对价格的导数，即$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p}q(p)$。
边际需求函数衡量了在当价格变化一个小量 $\mathrm{d}p$ 时，市场需求量发生的变化量。
生产函数和边际生产力函数生产函数描述了生产某一种产品所需要的全部投入、生产量和生产效率之间的关系。
假设生产函数为$Q= f(K,L)$，其中$K$代表资本投入，$L$代表劳动投入，则边际生产力函数可表示为$MPL= \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}L}$，其中$MPL$表示单位劳动投入对产量的贡献。
边际生产力函数衡量了在劳动投入增加一个小量 $\mathrm{d}L$ 时，产量增加的变化量。
最优化问题在经济学中，许多问题都涉及到求解最优化问题，例如企业在市场上最大化利润，消费者在预算限制下最大化满足感等。
最优化问题可以通过微积分中的极值问题来求解。
在一般的一维问题中，求解最值需要找到函数的极值点，即函数的最小值或最大值。
在二维或多维问题中，需要找到函数在某点处的梯度为零的点，即函数的最小值或最大值。
总之，微积分作为经济学中的数学工具，在许多经济学问题中都有广泛的应用。
通过微积分，我们可以更好地理解经济学中复杂的数学模型，更好地解决经济学中的实际问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
在时间 T 内的总费用 E 为
1 Q E C1Tq C 2 2 q
1 Q 其中 ， C1Tq 为贮存费，C 2 为进货费用 . 2 q
八、戈珀兹 (Gompertz) 曲线
戈珀兹 曲线是指数函数
y ka
bt
在经济预测中，经常使用该曲线.
k
初始期 发展期
饱和期
当 lg a 0 ， 0 b 1 时，图形如上页所示.
由图可见，曲线当t 0 且无限增大时，
其无限与直线 y k 接近 ， 且始终位于该直
线 下方. 在产品销售预测中，当预测销售量充
分接近到 k 值时，表示该产品在商业流通中将
达到市场饱和 .
练习题
1.设需求函数由 P+Q=1 给出，（1）求总收益 函数 P;(2)若售出 1/3 单位，求其总收益。
该点的横坐标称为供需平衡价格 .
供需平衡点 供需平 衡价格
Q0
E
P0
三、生产函数 生产函数刻画了一定时期内各生产
要素的投入量与产品的最大可能产量之
间的关系.一般说来，生产要素包括资金
和劳动力等多种要素 .为方便起见，我
们暂时先考虑只有一个投入变量，而其
他投入皆为常量的情况 .
例 2 设投入 x 与产出 g ( x ) 间的函数关系为
成本是生产一定数量产品所需要的
各种生产要素投入的价格或费用总额，
它由固定成本与可变成本两部分组成.
C总 C固 C可变
支付固定生产 要素的费用 支付可变生产 要素的费用
总 成 本 固 定 成 本 可 变 成 本 平 均 成 本 产量 产量
C ( Q ) C 1 C 2 (Q ) 即C AC Q Q Q
七、库存函数
设某企业在计划期 T 内，对某种物品总需求
量为 Q ，由于库存费用及资金占用等因素，显然
一次进货是不划算的，考虑均匀的分 n 次进货，
Q T 每次进货批量为 q ，进货周期为 t . 假定 n n 每件物品的贮存单位时间费用为 C1 ，每次进货费 用为C 2 ，每次进货量相同，进货间隔时间不变， q 以匀速消耗贮存物品，则平均库存为 ， 2
解 P 0 时 Q b , 它表示价格为零时的
需求量为 b ，称为饱和需求量；
b b Q 0 时 P , 它表示价格为 时 , a a
无人愿意购买此商品.
二、供给函数
供给的含义：在某一时间内，在一定的价格条件 下，生产者愿意并且能够售出的商品．
如果价格是决定供给量的最主要因素，
可以认为 Q 是 P 的函数。记作
Q G( P )
则 G称为供给函数.
一般地，供给函数可以用以下简单 函数近似代替： 线性函数：Q aP b , 其中 a , b 0 幂函数：
Q kP , 其中 A 0 , k 0
A
指数函数：Q aebP , 其中 A 0 , b 0
在同一个坐标系中作出需求曲线 D和供 给曲线 S ，两条曲线的交点称为供需平衡点，
2
二次曲线需求函数： Q a bP cP
指数需求函数： Q Ae bp
( 其中 a,b,c,A > 0 )
幂函数：Q kP A , 其中 A 0 , k 0
例 1 设某商品的需求函数为
Q aP b (a , b 0)
讨论 P 0 时的需求量和Q 0 时的价格 .
100 3Q P , 解 价格函数为 4
100Q 3Q 2 所以总收益为 R(Q ) P Q , 4
平均收益为
100 3Q AP (Q ) P (Q ) . 4
六、利润函数
利润是生产中获得的总收益与投入的总成
本之差。即
L(Q ) R(Q ) C (Q )
2 例 5 设某种商品的总成本为C (Q) 20 2Q 0.5Q ,
1 .4 PQ 2.某工厂对棉花的需求函数由
=0.11 给
出,（1）求其总收益函数 R;（2） P(12),R(10), R(12),R(15),P(15),P(20)。 3.若工厂生产某种商品，固定成本 200,000 元，每生产一单位产品，成本增加 1000 元， 求总成本函数。
4.某厂生产一批元器件，设计能力为日产 100 件，每日的固定成本为 150 元，每件的平均可变 成本为 10 元,(1)试求该厂此元器件的日总成本 函数及平均成本函数;（2）若每件售价 14 元， 试写出总收入函数;（3）试写出利润函数。
Q2 例 3 已知某种产品的总成本函数为C (Q ) 1000 . 8
求当生产 100 个该产品时的总成本和平均成本．
解 由题意，求产量为100时的总成本
100 C (100) 1000 2250 , 8
2
2250 平均成本为 AC (100) 22.5 100
五、收益函数
第六节
经济学中的常用函数
一、需求函数
需求的含义：消费者在某一特定的时期内，在一 定的价格条件下对某种商品具有购买力的需要．
如果价格是决定需求量的最主要因素，
可以认为 Q 是 P的函数。记作
Q f (P)
则 f 称为需求函数.
常见的需求函数：
线性需求函数： Q a bP,
a, b 0
若每售出一件该商品的收入是 20 万元， 求生产 10 件的总利润．
解 由题意知 P 20 （ 万元） ,
总收益为 R(Q) P Q 20Q 所以L(Q) R(Q) C (Q)
20Q (20 2Q 0.5Q2 ) 20 18Q 0.5Q 2 02 ) 110(万元).
g ( x ) cx a 由于 g ( 2 x ) 2 a cx a 2 a g ( x )
规模报酬不变； 可见，当a 1 时， 如果投入增加一倍，产出增 当 a 1 时， 加不到一倍，即规模报酬递减；
如果投入增加一倍，产出增 当 a 1 时，
加不止一倍，即规模报酬递增 .
四、成本函数
总收益是生产者出售一定数量产品所得到 的全部收入. 用 Q 表示出售的产品数量，R 表 示总收益, R 表示平均收益，则
R(Q ) R R(Q ) , R Q
如果产品价格 P 保持不变，则
R(Q) PQ , R P
例 4 设某商品的需求关系是 3Q+4P=100,求总收 益和平均收益．