经典：1.5-经济学中的几个常用函数
经典：1.5-经济学中的几个常用函数
cd c.d 解d得 ,c.
从而所求的供给函数为 Ｑs＝-20000+5000p.
一
6、供需分析
下面我们介绍经济活动中的几个常用的经济函数。
一
1、总成本函数与平均单位成本
⑴总成本
固定成本:与产量Q无关，如设备维修费、 企业管理费、厂房折旧费等。
可变成本: 随产量Q的增加而增加，如原材 料费、工人工资、电费等。
故总成本与产量的函数关系为
C(Q ) =C0+ C1(Q ) 其中C0为固定成本, C1(Q )是可变成本。 ⑵平均单位成本：即总成本与总产量的比值。
p
Qd Aebp
p
一
例1.某商店组进一批黑木耳，若以每千克30元的价 格向外批发，则最多只能售出40千克；当价格每降 低1.2元时,则可多售出10千克. 试建立需求量(即销 售量)Q与价格P之间的函数关系。
解：设价格 0P30，则多售出的黑木耳为：
30 P 10 （千克） 1.2
故需求量Q与价格P的函数关系为
生产并Q 销 单售 位产品获得去 的生 收产 益,成 减
用L表示 ,即
L (Q )R (Q )C (Q )
⑵盈亏分析
RR(Q)
盈利 生产者亏损
L0 L0
C
R
不亏不L盈 0
CC(Q)
当L0时 的 产Q为 量
“保本点”或“盈亏分界点”. o Q 0 Q
(3)平均单位利润： L (Q ) L (Q )
第五节经济学中常用函数.docx
第五节经济学中常用函数教学目的：了解经济中常用函数的概念。
结合经济现象理解盂求函数、供给函数、成本函数、收入函数、利润函数的概念.教学重点：结合经济现象理解需求函数、供给函数、成本函数、收入函数、利润函数的概念. 教学难点：经济现象的理解.教学内容：一.需求函数与价格函数一种商品的需求量0与该种商品的价格“密切相关，如杲不考虑其它因素的影响，则商品的蛊求量Q可看作价格P的函数。
称为需求函数，记作Q = /(卫)。
评注：(1)一般地，当商品的价格增加时，商品的需求量将会减少，因此，需求函数Q = f(p) 是价格〃的减少函数。
如图(2)在企业管理和经济中常见的需求函数有线性需求函数：Q = a-bp,其中/?>0, a>0均为常数;二次需求函数：Q = a_bp_cp2,其中^>0, b>0, c>Q均为常数；指数需求函数：Q = A严,其中A>0, b>0均为常数；基函数需求函数：Q = AP-a ,其+ A>0, G>0均为常数。
二、供给函数“供给量”是在一定价格水平下，生产者愿意11!售并且有可供出售的商品量，如果不考虑价格以外的其它因素，则商品的供给量S是价格p的函数，记作S = S(p)0评注：(1) 一般地，供给量随价格的上升而增大，因此，供给函数S = S(p)是价格〃的单调增加函数。
(2)常见的供给函数有线性函数，二次函数，幕函数，指数函数等。
(3)如果市场上某种商品的需求量与供求量相等，则该商品市场处于平衡状态，这时的商品价格刁就是供、需平衡的价格，叫做均衡价格。
◎就是均衡数量。
2 4例1 :已知某商品的供给函数是S=-p-4,需求函数是Q = 50--p,试求该漓品处于市3 3场平衡状态下的均衡价格和均衡数量。
解: 令S=Q,解方程组< e=|/^-44 Q= 50--p得均衡价格p = 27,均衡数量e = 14o2 4说明供给函数S=-p-4与需求函数2 = 50-一0的图彖交点的横坐标就是市场均衡价格。
经济函数
一、常用的经济函数1、总成本函数、总收入函数、总利润函数总成本函数是指在一定时期内，生产产品时所消耗的生产费用之总和。
常用C 表示，可以看作是产量x 的函数，记作()C C x =总成本包括固定成本和可变成本两部分，其中固定成本F 指在一定时期内不随产量变动而支出的费用，如厂房、设备的固定费用和管理费用等；可变成本V 是指随产品产量变动而变动的支出费用，如税收、原材料、电力燃料等。
固定成本和可变成本是相对于某一过程而言的。
在短期生产中，固定成本是不变的，可变成本是产量x 的函数，所以()()C x F V x =+，在长期生产中，支出都是可变成本，此时0F =。
实际应用中，产量x 为正数，所以总成本函数是产量x 的单调增加函数，常用以下初等函数来表示：（1）线性函数 C a bx =+, 其中0b >为常数.（2）二次函数 2C a bx cx =++,其中0,0c b ><为常数.（3）指数函数 ax C be =, 其中,0a b >为常数.平均成本：每个单位产品的成本，即 ()C x C x=. 总收益函数是指生产者出售一定产品数量（x ）所得到的全部收入，常用R 表示，即 ()R R x =其中x 为销售量. 显然，0(0)0Q R R ===，即未出售商品时，总收益为０.若已知需求函数()Q Q p =，则总收益的为1()()R R Q P Q Q p Q -==⋅=⋅ 平均收益：()R x R x=，若单位产品的销售价格为p ，则R p x =⋅，且R p =. 总利润函数是指生产中获得的纯收入，为总收益与总成本之差，常用L 表示，即 ()()()L x R x C x =-例 某工厂生产某产品，每日最多生产100个单位。
日固定成本为130元，生产每一个单位产品的可变成本为6元，求该厂每日的总成本函数及平均单位成本函数.解 设每日的总成本函数为C 及平均单位成本函数为C ，因为总成本为固定成本与可变成本之和，据题意有()1306(0100)130()6(0100)C C x xx C C x x x ==+≤≤==+<≤例 设某商店以每件a 元的价格出售商品，若顾客一次购买50件以上，则超出部分每件优惠10%，试将一次成交的销售收入R 表示为销售量x 的函数。
常见的经济函数
Q 14 1.5P, Q 5 4 P
求该商品均衡价格。 解：由供需均衡条件，有
14 1.5P 5 4P
由此，得均衡价格 P 19 3.45 0
5.5
二、成本、收益、利润 1. 成本函数
成本是生产一定数量产品所需要的各种生产要素 投入的价格或费用总额, 常用C(x)或C(Q)表示。 成本由固定成本和可变成本组成。固定成本是指 支付固定生产要素的费用, 包括厂房、设备折旧以 及管理人员工资等, 常用C(0)表示；可变成本是指 支付可变生产要素的费用，包括原材料、燃料的
f x c c cx
2
这里 c > 0 为容量参数。
3.规模报酬问题：
当投入增加一倍时，产出是否也增加一倍？
例7：设投入 x 与产出g ( x )的关系为
g x cx
a
由于 g 2 x 2a cx a ，可见， 当 1时，规模报酬不变；当
1时，如果投入
这样，利润函数为
Q2 L R Q C Q 8Q 50 5 1 2 Q 20 30 5
因此， Q 20 时，最大利润为30。
三、其他函数
1. 库存函数
设某企业在计划期 T 内，对某种物品的总需求量为
Q ，由于库存费用及资金占用等因素。显然一次进
例5. 已知某产品价格为 P ，需求函数为 Q 50 5 P, 成本函数为C (Q) 50 2 Q，求产量 Q 为多少时利润 L 最大？最大利润是多少？
Q 解：由需求函数 Q 50 5 P ，可得 P 10 5 Q2 于是，收益函数为 R P Q 10Q 5
且能够向市场提供的商品量也就越多。因此一般 的供给函数都是单调增加的。 人们根据统计数据，常使用下面简单的供给函数 线性函数： Q aP b ，其中 幂函数： Q kP a ，其中
第一章 函数 第五节 经济学中常用的几个函数课件ppt
C ( x ) ax b
每件产品的成本(称为单位成本或平均成本)为
C ( x) C ( x) x
2.总收益函数 (销售收入函数)
收益是厂商出售产品的收入, 总收益是厂商出售产品后的全 部收入. 设总收益为R, 某种产品的销售量为x, 价格为 p, 则销售收入 函数为
R p x
而价格 p 又可表为 x 的函数, 所以销售收入函数可看成 x 的
Q(70,170]
2.供给函数
生产者对商品的生产是由多方面因素所决定的, 其中价格 是最主要的因素; 一般地, 价格越高,就越要加大供应, 因此
供给量Qs 是价格 p 的单增函数, 最简单的供给函数是如下
形式的线性供给函数.
Qs g( p) cp d
例6 某矿厂A要将生产出的矿石运往铁路旁的冶炼厂B冶炼.
已知该矿距冶炼厂所在铁路垂直距离为 a 公里,它的垂足C 到 B的距离为 b公里. 又知铁路运价为 m 元/吨· 公里, 公路运价是 n元/吨· 公里(m < n), 为节省运费,拟在铁路上另修一小站M 作 为转运站, 那么总运费的多少决定于M的位置. 试求出运费与 距离 |CM| 的函数关系. 解 设 CM＝ x , 运费为 y, 则
问题中的常量和变量, 变量中的自变量和因变量, 以及它们
之间存在什么关系, 以确定函数关系, 根据实际问题的要求 指出定义域.
例3 某型号手机价格为每只1000元时能卖出15只, 当价格
为每只800元时, 能卖出20只. 已知手机的价格高低与其需求
量多少是线性关系, 试建立该型号手机的需求量与价格之间的
实现的, 即如果需求量大于供给量则价格会上涨, 反之价格会
降低. 即市场上商品的价格总是围绕均衡价格上下浮动.
03第三节常用经济函数
03 第三节常用经济函数常用经济函数是经济学中用来描述经济变量之间关系的数学模型。
这些函数可以用来分析经济发展、预测经济趋势、制定经济政策等。
下面介绍几种常用的经济函数及其含义。
一、消费函数消费函数是指消费者在某一时期内消费的商品或服务的数量与收入之间的函数关系。
通常表示为C=f(Y)，其中C表示消费，Y表示收入。
消费函数曲线是一条向右上方倾斜的曲线，表示随着收入的增加，消费也会增加。
但在达到一定收入后，消费增长速度会逐渐减缓，甚至出现零增长或负增长。
二、投资函数投资函数是指企业在某一时期内进行的投资数量与资本存量之间的函数关系。
通常表示为I=f(K)，其中I表示投资，K表示资本存量。
投资函数曲线是一条向右上方倾斜的曲线，表示随着资本存量的增加，投资也会增加。
但在达到一定资本存量后，投资增长速度会逐渐减缓，甚至出现零增长或负增长。
三、总供给函数总供给函数是指某一时期内，企业愿意且有能力提供的商品和服务的总量与价格水平之间的函数关系。
通常表示为Y=f(P)，其中Y表示总供给，P表示价格水平。
总供给函数曲线是一条向右下方倾斜的曲线，表示随着价格水平的提高，总供给会减少。
但在达到一定价格水平后，总供给增长速度会逐渐减缓，甚至出现零增长或负增长。
四、总需求函数总需求函数是指某一时期内，消费者愿意且有能力购买的商品和服务的总量与价格水平之间的函数关系。
通常表示为Y=f(P)，其中Y表示总需求，P表示价格水平。
总需求函数曲线是一条向右下方倾斜的曲线，表示随着价格水平的提高，总需求会减少。
但在达到一定价格水平后，总需求增长速度会逐渐减缓，甚至出现零增长或负增长。
五、菲利普斯曲线菲利普斯曲线是指通货膨胀率与失业率之间的函数关系。
通常表示为π=f(u)，其中π表示通货膨胀率，u表示失业率。
菲利普斯曲线是一条向右下方倾斜的曲线，表示随着失业率的降低，通货膨胀率会上升。
但在达到一定失业率后，通货膨胀率增长速度会逐渐减缓，甚至出现零增长或负增长。
经济学中的常用函数
b b Q = 0 时 P = , 它表示价格为 时 , a a
无人愿意购买此商品.
二、供给函数
供给的含义： 供给的含义：在某一时间内， 在某一时间内，在一定的价格条件 下，生产者愿意并且能够售出的商品． 生产者愿意并且能够售出的商品．
如果价格是决定供给量的最主要因素， 如果价格是决定供给量的最主要因素， 可以认为 Q 是 P 的函数。 的函数。记作
第五节 经济学中的常用函数
一、需求函数
需求的含义： 需求的含义： 消费者在某一特定的时期内， 消费者在某一特定的时期内， 在一 定的价格条件下对某种商品具有购买力的需要． 定的价格条件下对某种商品具有购买力的需要．
如果价格是决定需求量的最主要因素， 如果价格是决定需求量的最主要因素， 可以认为 Q 是 P 的函数。 的函数。记作
幂函数： 幂函数：Q = kP − A , 其中 A > 0 , k > 0
例 1 设某商品的需求函数为
Q = −aP + b (a , b > 0)
讨论 P = 0 时的需求量和 Q = 0 时的价格 .
解 P = 0 时 Q = b , 它表示价格为零时的
需求量为 b ，称为饱和需求量 称为饱和需求量； 饱和需求量；
2
六、库存函数
设某企业在计划期 T 内，对某种物品总需求 量为 Q ，由于库存费用及资金占用等因素， 由于库存费用及资金占用等因素，显然 一次进货是不划算的， 一次进货是不划算的，考虑均匀的分 n 次进货， 次进货，
Q T 每次进货批量为 q = ，进货周期为 t = . 假定 n n 每件物品的贮存单位时间费用为 C 1 ，每次进货费 用为C 2 ，每次进货量相同， 每次进货量相同，进货间隔时间不变， 进货间隔时间不变， q 以匀速消耗贮存物品， 以匀速消耗贮存物品，则平均库存为 ， 2
经济学中常用的函数
例1 某产品销售70元/件, 可买出10000件, 价格每增 某产品销售 元 件 可买出 件 元就少买300件 的函数. 加3元就少买 件, 求需求量 Qd 与价格 p 的函数 元就少买 设价格由70元增加 个 元 解 设价格由 元增加 k个3元, 则
p = 70 + 3k , Qd = 10000 300k
p( x ) =
库存费为 (x/2) c, 故
为批数, 为库存量. 其中 a/x 为批数 x/2 为库存量
ab cx , x ∈ (0, a ]. + x 2
12
某矿厂A要将生产出的矿石运往铁路旁的冶炼厂 例6 某矿厂 要将生产出的矿石运往铁路旁的冶炼厂 B冶炼 已知该矿距冶炼厂所在铁路垂直距离为 a 公里 冶炼. 公里, 冶炼 公里. 它的垂足 C 到 B 的距离为 b公里 又知铁路运价为 m 元/ 公里 公里, 公里(m 为节省运费, 吨公里 公路运价是 n元/吨公里 < n), 为节省运费 公里 元 吨 公里 作为转运站, 拟在铁路上另修一小站 M 作为转运站 那么总运费的多 少决定于M的位置 试求出运费与距离 |CM| 的函数关系. 少决定于 的位置. 的函数关系 的位置 解 设 运费 CM＝ x , 运费为 y, 则
1 x + 40, x ∈ (0,1600] 40
10
工厂生产某种产品, 生产准备费1000元, 可变资 例4 工厂生产某种产品 生产准备费 元 本4元, 单位售价 元. 求： 元 单位售价8元 (1) 总成本函数 总成本函数; (3) 销售收入函数 销售收入函数; 解 (2) 单位成本函数 单位成本函数; (4) 利润函数 利润函数.
2
这个函数的几何形态, 这个函数的几何形态 是一条反应需求量与价格关系的 曲线, 我们称之为需求曲线, 如右图. 曲线 我们称之为需求曲线 如右图
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记为
C(Q) C(Q)
Q
一
⑶总成本曲线 C
CC(Q)
o
Q
C
C
C
o
o
o
Q
Q
Q
成本增长速度变慢
一
2、收益函数(收入函数) 若产品的单位售价为p,销售量为Q,则总收入函数为
R = p ·Q
收益曲线：
R
更合理的定义R = R(Q) o
Q
⑵平均单位收益：
记为
一
R(Q ) R(Q ) Q
3、利润函数 ⑴利润
生产并Q 销 单售 位产品获得去 的生 收产 益,成 减
用L表示 ,即
L (Q )R (Q )C (Q )
⑵盈亏分析
RR(Q)
盈利 生产者亏损
L0 L0
C
R
不亏不L盈 0
CC(Q)
当L0时 的 产Q为 量
“保本点”或“盈亏分界点”. o Q 0 Q
(3)平均单位利润： L (Q ) L (Q )
解 设鸡蛋的供给为Ｑs＝-c+dp， 其中Ｑs为收购量，p为收购价格， 由题设知： 当p=5时,Ｑd＝5000，当p=5.1时, Ｑs＝5000+500=5500，代入Ｑs＝-c+dp，可得
cd c.d 解d得 ,c.
从而所求的供给函数为 Ｑs＝-20000+5000p.
一
6、供需分析
格时,供给量减少而需求量增加(供不应求).在市
场调节下,商品价格在均衡价格附近上下波动。
一
例4.已知某商品的需求函数和供给函数分别为
Ｑd＝14-1.5p，Ｑs＝-5+4p
求该商品的均衡价格p0 。
解 由供需均衡重要条件Ｑd＝Ｑs ，有
14-1.5p＝-5+4p 由此得均衡价格为
p .. .
答：该商品的均衡价格为3.14。
一
个人观点供参考，欢迎讨论
个人观点供参考，欢迎讨论
一
Q
4、需求函数Ｑd＝f(P) (P:价格)
需求律和供给律是经济学研究的基本规律．
⑴需求量Ｑ d 一定价格条件下，消费者愿意且有支
付能力购买的某种商品的数量． 需求量==销售量==产量（产售平衡）
⑵影响需求量的因素很多
①价格：最主要的因素。 故需求量可看成价格的一元函数．
②市场规律：涨价需求减少,降价需求增加。 故需求函数是价格的单调减函数。
下面我们介绍经济活动中的几个常用的经济函数。
一
1、总成本函数与平均单位成本维修费、 企业管理费、厂房折旧费等。
可变成本: 随产量Q的增加而增加，如原材 料费、工人工资、电费等。
故总成本与产量的函数关系为
C(Q ) =C0+ C1(Q ) 其中C0为固定成本, C1(Q )是可变成本。 ⑵平均单位成本：即总成本与总产量的比值。
②市场规律：涨价供给增加,降价供给减少。 故供给量Q s是价格P的单调增函数．
一
⑶常见的供给函数与曲线 线性供给函数(最简单的)
Q s c dp (c 0 ,d 0 )
Q
Qs cdp
o
p
c
一
例3.已知鸡蛋收购价每公斤5元时，每月能收购 5000公斤。若收购价每公斤提高0.1元，则收购量可 增加500公斤，求鸡蛋的线性供给函数。
Q4030P1029025P.(0P3)0
1.2
3
一
例2.某MP4每个售价为500元时，每月可销售2000 个，每个售价降为450元时，每月可增销400个, 试 求该MP4的线性需求函数。
解 设MP4的需求为Ｑ＝a-bP， 其中Ｑ为需求量，P为售价， 由题设知： 当P=500时,Ｑ＝2000，当P=450时, Ｑ＝2000+400=2400， 代入Ｑ＝a-bP，可得
Ｑ
⑴需求曲线与供给曲线
Ｑs
需求函数与供给函数
的图像即为相应的曲 线，如右图所示。 ⑵供需均衡点
Ｑ０
o
Ｑd
p
p
即需求曲线Ｑd与供给曲线Ｑs的交点( p0,Ｑ0)。 其中Ｑ0为市场均衡交易额， p0为均衡价格。
⑶市场调节 当市场价格p高于均衡价格p0时,供给量增加而需 求量减少(供大于求);反之,市场价格低于均衡价
1.5 经济中的几个函数
在社会经济活动中，存在着许多经济变量，如 产量、成本、收益、利润、投资、消费等等。
对经济问题的研究的过程中，一个经济变量往往 是与多种因素相关的，当我们用数学方法来研究经济 变量间的数量关系时，经常是找出其中的主要因素， 而将其它的一些次要因素或忽略不计或假定为常量。 这样可以使问题化为只含一个自变量的函数关系。
ab ab
解方 ,得 程 :a组 ,b .
故该MP4的线性需求函数为 Ｑ＝6000-8P.
一
5、供给函数Ｑs ＝g (P) (Ｑ:供给量; P:价格)
⑴供给量 一定价格条件下，生产者愿意且有可供出 售的某种商品的数量．
供给量==需求量（共需平衡） ⑵影响供给量的因素很多：
①价格：也是最主要的因素； 故供给量可看成价格的一元函数。
为了和后面的供给函数区别， 需求函 一数一般记为Qd
⑶常见的需求函数与需求曲线 ①线性需求(最常见的)
Q
a Qd abp
Q d a b P(a 0 ,b 0 ) o
a为价格为0时的最大需求量。
②反比需求
Qd
A P
(A0)
Q
缺点：变化太明显。
o
③指数需求
Q
Q dAebP (A0)
A
最常用
o
p
A Qd p
p
Qd Aebp
p
一
例1.某商店组进一批黑木耳，若以每千克30元的价 格向外批发，则最多只能售出40千克；当价格每降 低1.2元时,则可多售出10千克. 试建立需求量(即销 售量)Q与价格P之间的函数关系。
解：设价格 0P30，则多售出的黑木耳为：
30 P 10 （千克） 1.2
故需求量Q与价格P的函数关系为