经济数学基础微积分课件 常微分方程
合集下载
常微分方程ppt (25)
们有三个问题需要解决: (1)方程(2.3.2)是否就是全微分方程; (2)若方程(2.3.2)是全微分方程,怎样求它
的解;
(3)若方程(2.3.2)不是全微分方程,有无可
能将它转化为一个全微分方程来求解?
2.方程为全微分方程的充要条件 定理2.1 设函数 和 在一个矩形区域
中连续且有连续的一阶偏导数，则 是全微分方程的充要条件为: （2.3.3)
又因为
它与 无关。
有关的积分因子。
由定理知，方程有一个仅与 利用积分因子的表达式 得 对方程两边同乘以积分因子
得
这是一个全微分方程。利用求积的方法
故方程通解为
注: 积分因子是求解微分方程的一个重要方法,绝 大多数方程的求解都可以通过这种方法来解决.但 是求一个微分方程的积分因子比较困难,需要灵活 的方法和技巧.
例: 当一个微分方程中出现
时,函数
都有可能成为其积分因子. 熟练记住下面的几个方程和其对应的积分因子
例. 求微分方程
的通解. 解: 因为 所以方程不是全微分方程. 将方程的左端重新 分组得:
因为
是
的积分因子,
所以选择
作为方程的积分因子. 得
方程两边同时乘以
由此可以得方程的通解为
注: 这种分组法求积分因子可以加以推广.
假设所求全微分函数为
,则有
求
而 即 从而
即
(3)凑微分法
例：验证方程
是全微分方程，并求它满足初始条件： 的解。 解：由于
所以方程为全微分方程。
由于
根据二元函数微分的经验,原方程可写为
方程的通解为：
利用条件
得
最后得所求初值问题得解为：
注:定理2.1要求
第五讲常微分方程PPT课件
5. 求lim x0
1 cos x
.
1
6.
求
lim
xe
x e
xe
.
7.
设
y
x2
sin
1 x
,
x 0,
存在. 0,
x 0,
求y 0
8. 计算积分
x3 dx.
1 x2
并讨l论im y x x0
是否
第37页/共47页
综合练习
9. 计算下列积分.
1
arctan x
x dx;
2
ln x 1 x2 dx.
任给有理数a,
函数
f(x)满足 f
x
x
0
f
a t dt 1,
求
f(x).
练 (2008年高数二)
求微分方程
d2y dx 2
dy dx
0
的通解.
第26页/共47页
3.掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 二阶常系数非齐次线性微分方程：
ay by cy f x
的通解为
y Y x y* x
y 4 y 0 的通解.
例: 求齐次方程
4
d2x dt 2
20
dx dt
25 x
0
的通解.
例: 求初值问题
y 4 y 29 y 0
y
x0
0
,
y
x0
15
的解.
第25页/共47页
练 (2006年高数二)
微分方程
y 4 y 5 y 0 的通解为___________
练 (2007年高数一)
第16页/共47页
二阶齐次线性方程解的结构
常微分方程的基本概念ppt课件
其中 P(x) cos x, q(x) esin x
1 2 1 y2 1 C
2
3x
通解
1 y2 1 C 3x
注 意 ： y2 1 ,即y 1也 是 方 程 的 解! 奇异解
例
设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
降落伞下落速度与时间的函数关系.
或写成 u ln | xu | C ,
再将 u y 代入,得通解为 y ln | y | C ；
x
x
再由初始条件 y(1) 1 , 得 C 1 ,
于是得所求特解为 y ln | y | 1 . x
例 在制造探照灯反射镜面时,要求点光源的光线反
射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状.
但未知函数的导数必须出现.
未知函数是多元函数,含有未知函数的 偏导数的微分方程称为偏微分方程.
定义2: ( 微分方程的阶 )未知函数的导数的最高 阶数称为微分方程的阶.
例如 dy 4x2 ,
dx
一阶
d 2
dt 2
m
d
dt
g
l
0
二阶
二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.
定义3: ( 微分方程的解)
gt C1,
再积一次分得：S
1 2
gt2
C1t
C2 , 其中C1，C2为任意常数.
5.1 微分方程的基本概念
定义1: 含有未知函数的导数的方程称为微
分方程.
未知函数是一元函数,含有未知函数的导数的微
分方程称为常微分方程.
1 2 1 y2 1 C
2
3x
通解
1 y2 1 C 3x
注 意 ： y2 1 ,即y 1也 是 方 程 的 解! 奇异解
例
设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
降落伞下落速度与时间的函数关系.
或写成 u ln | xu | C ,
再将 u y 代入,得通解为 y ln | y | C ；
x
x
再由初始条件 y(1) 1 , 得 C 1 ,
于是得所求特解为 y ln | y | 1 . x
例 在制造探照灯反射镜面时,要求点光源的光线反
射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状.
但未知函数的导数必须出现.
未知函数是多元函数,含有未知函数的 偏导数的微分方程称为偏微分方程.
定义2: ( 微分方程的阶 )未知函数的导数的最高 阶数称为微分方程的阶.
例如 dy 4x2 ,
dx
一阶
d 2
dt 2
m
d
dt
g
l
0
二阶
二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.
定义3: ( 微分方程的解)
gt C1,
再积一次分得：S
1 2
gt2
C1t
C2 , 其中C1，C2为任意常数.
5.1 微分方程的基本概念
定义1: 含有未知函数的导数的方程称为微
分方程.
未知函数是一元函数,含有未知函数的导数的微
分方程称为常微分方程.
《常微分方程》全套课件(完整版)
捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结 果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其运动规 律将一目了然.下面的例子，将会使你看到微分方程是表达自 然规律的一种最为自然的数学语言.
例1 物体下落问题 设质量为m的物体，在时间t=0时，在距
地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂直地面 下落，求ss此物体下落时距离与时间的关系.
有恒等式
因此，令
，则有
因此，所谓齐次方程，实际上就是方程(1.9)的右端函数 是一个关于变元x，y的零次齐次式.
如果我们把齐次方程称为第一类可化为变量分离的方程，那么我们 下面要介绍第二类这种方程.
1.3.2 第二类可化为变量可分离的方程 形如 (1.30) 的方程是第二类可化为变量可分离的方程.其中， 显然，方程(1.30)的右端函数，对于x，y并不
是方程(1.5)在区间（-1,+1）
上的解，其中C是任意常数.又方程(1.5)有两个明显
的常数解y =±１，这两个解不包含在上述解中.
3. 函数
是方程(1.6)在区间(-∞，
+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
4. 函数
是方程(１.７)在区间(-
∞，+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
这里，我们仅验证3，其余留给读者完成.事实上，
（1.13）
显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一阶非线性方程；方程 (1.6)是二阶线性方程；方程(1.7)是二阶非线性方程.
通解与特解
微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.
定义1.１ 设函数 在区间I上连续，且有直
到n阶的导数.如果把
代入方程(1.11)，得到在
区间I上关于x的恒等式，
例1 物体下落问题 设质量为m的物体，在时间t=0时，在距
地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂直地面 下落，求ss此物体下落时距离与时间的关系.
有恒等式
因此，令
，则有
因此，所谓齐次方程，实际上就是方程(1.9)的右端函数 是一个关于变元x，y的零次齐次式.
如果我们把齐次方程称为第一类可化为变量分离的方程，那么我们 下面要介绍第二类这种方程.
1.3.2 第二类可化为变量可分离的方程 形如 (1.30) 的方程是第二类可化为变量可分离的方程.其中， 显然，方程(1.30)的右端函数，对于x，y并不
是方程(1.5)在区间（-1,+1）
上的解，其中C是任意常数.又方程(1.5)有两个明显
的常数解y =±１，这两个解不包含在上述解中.
3. 函数
是方程(1.6)在区间(-∞，
+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
4. 函数
是方程(１.７)在区间(-
∞，+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
这里，我们仅验证3，其余留给读者完成.事实上，
（1.13）
显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一阶非线性方程；方程 (1.6)是二阶线性方程；方程(1.7)是二阶非线性方程.
通解与特解
微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.
定义1.１ 设函数 在区间I上连续，且有直
到n阶的导数.如果把
代入方程(1.11)，得到在
区间I上关于x的恒等式，
经济数学基础微积分课件 常微分方程
例2 验证函数 y e x e x 是不是方程
y 2 y y 0的解.
解 求 y e x e x 的导数，得 y e x e x , y e x e x
将y、y及y 代入原方程的左边，有
e x e x 2e x 2e x e x e x 0 即函数 y e x e x 不满足原方程，
前页 后页 结束
M1(x) N1(x)
d
x
N2(y) M 2( y)
d
y
0
将（9.2.3）式两边积分后，
（9.2.3）
M1(x) N1(x)
d
x
N2(y) M 2( y)
d
y
C
（C为任意常数）
可验证，此结果即用隐式给出的方程（9.2.3）的通解．
约定:
在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一
y e p(x)d x q(x)e p(x)d x d x C
即为所求（9.3.1）的通解．
前页 后页 结束
例1 求微分方程 dy 2xy 2xe x2 的通解． dx
解 p(x) 2x, q(x) 2xex2
代入公式
y e2xd x 2xex2 e2xd x d x C
常微分方程
9.1 常微分方程的基本概念 9.2 可分离变量的微分方程 9.3 一阶微分方程与可降阶
的高阶微分方程 9.4 二阶常系数微分方程 9.5 常微分方程的应用举例
结束
9.1 常微分方程的基本概念
定义一 含有未知函数的导数（或微分）的方程称为 微分方程。
常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程 定义二 在微分方程中，所出现的未知函数的最高阶
常微分方程PPT讲稿
则 常向量组x1(t0 ), x2 (t0 ), , xn (t0 )线性相关,
从而存在不全为零的常数c1, c2, , cn,使得
c1x1(t0 ) c2 x2 (t0 ) cn xn (t0 ) 0, (3)
现在考虑函数向量
x(t) c1x1(t) c2 x2 (t) cn xn (t)
故x1(t), x2 (t), , xn (t)在a t b上线性无关.
5
例1 证明:函数向量组
cos2 t
1 sin2 t
x1
(t
)
1
,x2(t) Nhomakorabea1
,
t
t
在任何区间都是线性相关的.
证明: 取c1 1, c2 1,则
cos2 t (1 sin2 t) 0
c1x1(t) c2 x2 (t)
11
0 ,
t t
0
故x 1
(t
),
x2
(t
)在任何区间线性相关
常微分方程课件
1
§6.1 线性微分方程组的一般理论
2
一阶线性微分方程组:
dx A(t)x f (t)
(1)
dt
这里A(t)和f (t)在a t b上连续,
f (t) 0, 则式（1）变为
dx A(t ) x
(2)
dt
称式(2)为一阶齐次线性微分方程组.
称式（1）为 非齐次线性微分方程 组
注1:方程组(2)的n个解x1(t), x2 (t), , xn (t)线性相关
W (t) 0, a t b.
注2: 方程组(2)的n个解x1(t), x2 (t)， , xn (t)线性无关
W (t) 0, a t b. 即方程组(2)的n个解x1(t), x2 (t) , xn (t)所构成的 Wronsky行列式,或者恒等于零,或者恒不等于零。
从而存在不全为零的常数c1, c2, , cn,使得
c1x1(t0 ) c2 x2 (t0 ) cn xn (t0 ) 0, (3)
现在考虑函数向量
x(t) c1x1(t) c2 x2 (t) cn xn (t)
故x1(t), x2 (t), , xn (t)在a t b上线性无关.
5
例1 证明:函数向量组
cos2 t
1 sin2 t
x1
(t
)
1
,x2(t) Nhomakorabea1
,
t
t
在任何区间都是线性相关的.
证明: 取c1 1, c2 1,则
cos2 t (1 sin2 t) 0
c1x1(t) c2 x2 (t)
11
0 ,
t t
0
故x 1
(t
),
x2
(t
)在任何区间线性相关
常微分方程课件
1
§6.1 线性微分方程组的一般理论
2
一阶线性微分方程组:
dx A(t)x f (t)
(1)
dt
这里A(t)和f (t)在a t b上连续,
f (t) 0, 则式（1）变为
dx A(t ) x
(2)
dt
称式(2)为一阶齐次线性微分方程组.
称式（1）为 非齐次线性微分方程 组
注1:方程组(2)的n个解x1(t), x2 (t), , xn (t)线性相关
W (t) 0, a t b.
注2: 方程组(2)的n个解x1(t), x2 (t)， , xn (t)线性无关
W (t) 0, a t b. 即方程组(2)的n个解x1(t), x2 (t) , xn (t)所构成的 Wronsky行列式,或者恒等于零,或者恒不等于零。
第7常微分方程1-PPT精品文档
称它为微分方程的积分曲线．也被称为微分方程 初值问题的几何意义．
通解是一组平行的曲线簇．
d x 例1 验 证 x C1 cos kt C2 sin kt 是 2 k 2 x 0 的 dt
2
解，其中 C1 , C2 为任意常数．并求满足初始条件
dx 0 的特解． x t 0 A ， dt t 0 dx 解: k1 C sin k tk 2 C cos kt dt 2 dx 2 2 2 k C cos kt k C sin kt k C cos kt C sin kt 1 2 1 2 2 dt d2x d 2x 2 将 2 , x 代入方程 2 k x 0 得： dt dt 2 2 k C c o s k t C s i n k t 0 k C cos kt C sin kt 1 2 1 2
t 0
M0
又由 M
t 0
M 0 得： C M 0
所以所求变化规律为： M M 0 e t ．
2、齐次方程
若一阶微分方程 y f x, y 中的函数 f x, y y y y 可化为 的函数 ，即： f x, y ，称 x x x 该方程为齐次方程．
故 ln y x2 C1
y e
x2C 1
C1 x2
x2
e e
Ce
即方程的通解为 y Ce
x2
例3 求微分方程 x xy 2 dx x 2 y y dy 0 满足
1 的特解． x y 解：原方程变形为： 2 d x d y 2 x 1 1y 1 x2 1 1 2 1 2 ln x 1 ln y 1 C C 1 ln 2 1 2 2 2 y 1 2 即： x 1 C y2 1 1 y |x 1 C 0 2 x2 1 1 故所求特解为： 2 y 1 2
第六章常微分方程35页PPT
微分方程离散化常用方法
A 用差商代替微商
dy y
x x dx x x xn,yn
y
n1
n f(xn,y(xn))
n1 n
x x y x y x 用h , y , y
代替，则：
n1 n
n
n
n1
n1
y y
x y n1 n f
f(a h )n( 1 )kh kf(k )(a ) ( h )n 1f(n 1 )()
k 0
k !
(n 1 )!
二阶中心差商 f(a ) f(a h ) 2 f h ( 2 a ) f(a h ) O (h 2 )
利用插值公式的方法：
n
f
(x0)
1 [3 2h
f
(x0
)
4
f
(x1)
f
(x2)]
f
(x1)
1 [ 2h
f
(x0)
f
(x2)]
f
(x2)
1[ 2h
f
(x0
)
4
f
(x1)
3
f
(x2)]
l0(
x)
1 h2
l1(
x)
2 h2
l2(
x)
1 h2
f(x)f(x0)2fh (2 x1)f(x2)
f
(x,
y)dx hf
(xn,
yn)
yn1 yn hf (xn, yn) (n 0,1, )
C 在xn 附近y(x) 的Taylor展开：
y(xnh)y(xn)hy/(xn)h22
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
个原函数，而把积分所带来的任意常数明确地写上。
前页 后页 结束
例1 求微分方程 dy dx 0 的通解 1 y2 1 x2
解 移项、积分
dy
dx
1 y2 1 x2
得 arcsin y arctan x C
例2 求方程 y' (sin x cos x) 1 y 2 的通解
解 分离变量，得 dy (sin x cos x)dx 1 y2
两边积分，得通解
arcsin y (cos x sin x) C
前页 后页 结束
例3 求微分方程 dy x(1 y 2 ) 满足初始条件 dx (1 x 2 ) y
y x0 1 的特解．
解 此为可分离变量的微分方程
分离变量后得 y dy x dx
1 y2
1 x2
两端积分，得 ln(1 y2 ) ln(1 x2 ) ln C
即 1 y 2 C(1 x2 )
由初始条件 y x0 1, 得 C 2
故所求特解为 y 2 2x 2 1
前页 后页 结束
例4 求微分方程 (x2 y2) d x xy d y 0 的通解．
解
整理得
d d
y x
x y
如果微分方程 M(x,y)dx+N(x,y)=0
(9.2.2)
中左端的函数M(x,y)、N(x,y)都可以分解为两个因子的积，
并且这两个因子中一个只含有变量x,另一个只含有变量y，
即上述方程可以表为
M1( x)M2 ( y)dx N1( x)N2 ( y)dy 0 以 M2 ( y)N1( x) 去除这个方程的两边，上式就可化为
一阶微分方程的通解是 y y(x,C) 二阶微分方程的通解是 y y(x,C1,C2 )
n阶微分方程的通解中，必须含有n个任意常数． 其通解的图形是平面上的一族曲线，称为积分 曲线族．
前页 后页 结束
定义5 如果指定通解中的任意常数为某一固定常数， 那么所得到的解叫做微分方程的特解．
如方程 y 2 y 0 的通解是 y Ce2x
一阶微分方程的一般形式是 F ( x, y, y) 0 二阶微分方程的一般形式是 F ( x, y, y, y) 0
前页 后页 结束
注：在微分方程中，未知函数及自变
量可以不出现
例：
dy
2
ay 2
bx
是一阶微分方程
dx
d2 y dy
dx 2
a dx
bx
x
是二阶微分方程
前页 后页 结束
定义3 能使微分方程成为恒等式的函数 y ( x)
又因为该函数含有一个任意常数，
y Cx3 是一阶微分方程 3 y xy 0 的通解．
将初始条件 y(1) 1 代入通解，得 C 1
3
3
故所求特解为 y 1 x 3
3
前页 后页 结束
9.2 可分离变量的微分方程
定义： 形如 f (x)dx + g(y)dy = 0
（9.2.1）
的一阶微分方程叫做变量已分离的微分方程。
叫做微分方程的解． 其图形是一条平面曲线，称之为微分方程的 积分曲线．
例如， y e 2x是方程 y 2 y 0 的一个解．
我们在学习不定积分时就已经知道，一个导数的原 函数有无穷多个，因此一个微分方程也有无穷多个 解．
前页 后页 结束
例1 已知直角坐标系中的一条曲线通过点(1,2)，
且在该曲线上任一点 p( x, y)处的切线斜率
等于该点的纵坐标的平方，求此曲线方程．
解 设所求曲线的方程为y=y(x)，
根据导数的几何意义及本题给出的条件，得
y y 2 即 dy y 2
dx
积分得 x 1 C
y 又由于已知曲线过点(1,2)，代入上式，得
C
3
2 故所求曲线的方程为 x 3 1
2y
前页 后页 结束
定义4 若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程 的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称 此解为该方程的通解（或一般解）．
例2 验证函数 y e x e x 是不是方程
y 2 y y 0的解.
解 求 y e x e x 的导数，得 y e x e x , y e x e x
将y、y及y 代入原方程的左边，有
e x e x 2e x 2e x e x e x 0 即函数 y e x e x 不满足原方程，
前页 后页 结束
M1(x) N1(x)
d
x
N2(y) M 2( y)
d
y
0
将（9.2.3）式两边积分后， Nhomakorabea（9.2.3）
M1(x) N1(x)
d
x
N2(y) M 2( y)
d
y
C
（C为任意常数）
可验证，此结果即用隐式给出的方程（9.2.3）的通解．
约定:
在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一
常微分方程
9.1 常微分方程的基本概念 9.2 可分离变量的微分方程 9.3 一阶微分方程与可降阶
的高阶微分方程 9.4 二阶常系数微分方程 9.5 常微分方程的应用举例
结束
9.1 常微分方程的基本概念
定义一 含有未知函数的导数（或微分）的方程称为 微分方程。
常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程 定义二 在微分方程中，所出现的未知函数的最高阶
所以该函数不是所给二阶微分方程的解．
前页 后页 结束
例3 验证 y Cx3是不是方程 3 y xy 0的通解（C
为任意常数）, 并求满足初始条件 y(1) 1 的特解． 3
解 由 y Cx3 得 y 3Cx2 .
将y和y 代入原方程的左边
3Cx3 x3Cx2 0 y Cx3满足原方程．
而 y e 2x 就是一个特解，这里 C 1
在具体问题中常数C的值总是根据“预先给定的 条件”而确定的．如例1中的曲线通过点（1 , 2） ， 这个“预先给定的条件”叫初始条件．
定义6 用来确定通解中的任意常数的附加条件一般 称为初始条件．当通解中的各任意常数都取
得特定值时所得到的解，称为方程的特解．
前页 后页 结束
通常情况下，
一阶微分方程的初始条件是
即 y( x0 ) y0
y x x0
y0
二阶微分方程的初始条件是
y x x0
y0 及
y x x0
y0
即 y(x0 ) y0 与 y(x0 ) y0
一个微分方程与其初始条件构成的问题称为初值问题， 求解其初值问题就是求方程的特解．
前页 后页 结束