第 13 讲 广义逆矩阵 (1)

矩阵理论及其应用
第十三讲广义逆矩阵(1)
李东
重庆大学数学与统计学院
CQU
◆广义逆矩阵的定义与分类
◆A-的性质与计算
CQU
◆广义逆矩阵的定义与分类
◆A-的性质与计算
CQU
CQU
广义:推广了原有概念或结果。

原逆矩阵：是针对非奇异的（或称为满秩的）方阵。

推广到：（1）奇异方阵；（2）非方矩阵。

定义7.1 设A ∈K m×n ,若存在G ∈K n×m 满足Penrose-Moor 方程：的全部或一部分，称G 为A 的广义逆矩阵。

H H (1) AGA A (2) GAG G (3) (GA)GA (4) (AG)AG =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩
显然有多种类型（15类）的广义逆矩阵。

(1) 如果G是满足第i个方程的广义逆矩阵，就记为
G=A(i)(i=1,2,3,4)。

(2) 如果G是满足第i,j两个方程的广义逆矩阵，就记为
G=A(i,j)(i,j=1,2,3,4)。

(3) 如果G是满足第i,j,k三个方程的广义逆矩阵，就记为
CQU
G=A(i,j,k)(i,j,k=1,2,3,4)。

(4) 如果G是满足全部四个方程的广义逆矩阵，就记为
G=A(1,2,3,4)=A+。

注1:只有A+是唯一确定，其它各类广义逆矩阵都不是唯一确定的，每种广义逆矩阵都包含着一类矩阵，分别记为
A i,A i,j,A{i,j,k}。

注2：A(i)∈A i，A(i,j)∈A i,j，A(i,j,k)∈A{i,j,k}。

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在15类广义逆矩阵中，应用最多的是以下5种：
(1)A1，其中任意一个固定的广义逆矩阵记为A−；
(2)A1,2，其中任意一个固定的广义逆矩阵记为A r−；
(3)A1，其中任意一个固定的广义逆矩阵记为A m−；
(4)A1，其中任意一个固定的广义逆矩阵记为A l−；
(5)A+；
注3: A+∈A1等，故A+在广义逆矩阵很重要。

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◆广义逆矩阵的定义与分类
◆A-的性质与计算
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一、A−的计算
A−与线性方程组Ax=y的解的表示有关。

设A∈K m×n，记R A={y∈K m|rank A=rank A,y}，则Ax=y有解的充要条件是y∈R A。

定理7.2.1 设A∈K m×n，对任意的y∈R A，存在G∈K n×m，使得Gy是方程组Ax=y的解的充分必要条件是AGA=A。

证明：（必要性）对∀σ∈K n，令y=Aσ∈R A，于是
CQU
Gy=G(Aσ)是Ax=y的解，
所以，A G Aσ=Aσ。

故AGA=A。

(充分性)若AGA=A，对任意的y∈R A，存在σ∈K n，使得y=Aσ，⇒y=AGAσ，⇒y=AG(Aσ)，⇒y=A[G Aσ]
⇒y=A[Gy]
故Gy是Ax=y的解。

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定理1（7.2.2 部分）设A∈K m×n，rank(A)=r，则存在可逆矩阵P∈K m×m和Q∈K n×n，使得
PAQ=E r0 00
则A1=Q E r G12
G21G22Pተ
G12∈K r×(m−r)
G21∈K(n−r)×r
G22∈K(n−r)×(m−r)。

注：和教材定理略有不同，关键在于如何计算A−。

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证明：由PAQ=E r0
00，得A=P−1E r0
00
Q−1。

又由于AA−A=A，于是
P−1E r0
00
Q−1A−P−1
E r0
00
Q−1
=P−1
E r0
00
Q−1
即：E r0
00Q−1A−P−1
E r0
00
=
E r0
00
CQU
令Q−1A−P−1=G11G12
G21G22
，其中G11∈K r×r,
G12∈K r×m−r,G21∈K(n−r)×r,G22∈K(n−r)×(m−r)
则E r0
00=
E r0
00
Q−1A−P−1
E r0
00
=
E r0
00
G11G12
G21G22
E r0
00
=
G110
00。

CQU
从而G11=E r，Q−1A−P−1=E r G12
G21G22。

故A−=Q E r G12
G21G22
P。

即A1=Q E r G12
G21G22Pተ
G12∈K r×(m−r)
G21∈K(n−r)×r
G22∈K(n−r)×(m−r)。

CQU
定理1 给出了计算A−的方法，这里的关键是P∈K m×m和Q∈K n×n的求法。

我们给出以下计算方法。

构造A E m
E n0
，E m记录对A实施的初等行变换，E n记录对A实施的初等列变换。

A E m E n0elementary tansformation
−−−−−−−−−−−−−−→
E r0P1
00P2
Q1Q20
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⇒P=P1
P2,Q=
Q1Q2。

当初等变换把A变成最简形时，相应的初等行变换把E m 变成了P,相应的初等列变换把E n变成了Q。

例1 设A=001
110
110
，求A−
CQU
解：
所以，P=100
010
0−11
，Q=
001
01−1
100
CQU
从而，A1=Q E r G12
G21G22Pተ
G12∈K r×(m−r)
G21∈K(n−r)×r
G22∈K(n−r)×(m−r)
=Q 10g1
01g2
g1g4g5
P|g i∈R,i=1,2,3,4,5。

A−∈A1。

CQU
二、A−的性质
设A∈K m×n，从A−的定义可以得到如下的一些性质。

(i) rank(A−)≥rank(A)；
证明：rank(A)=rank(AA−A)≤rank(A−)。

(ii) (A−)H=(A H)−,(A−)T=(A T)−;
证明：AA−A=A⇒(AA−A)H=A H⇒A H(A−)H A H=A H
CQU
⇒(A−)H=(A H)−
(iii) 若A可逆，则A1=A−1；
证明：AA−A=A⇒A−A=E⇒A−=A−1。

(iv) AA−和A−A均为幂等矩阵，且rank(A)=rank AA−= rank(A−A)；
证明：AA−AA−=AA−AA−=AA−A A−=AA−；
A−A A−A=A−AA−A=A−AA−A=A−A；
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rank AA−≤rank(A)=rank(AA−A)≤rank(A−A)
rank A−A≤rank(A)=rank(AA−A)≤rank(AA−)；
从而rank(A)=rank AA−=rank(A−A)。

(v) 若rank(A)=n，即A是列满秩的(称高矩阵)充分必要条
件是A−A=E n，此时A−=(A H A)−1A H称A的一个左逆，记
为A L−1。

证明：（充分性）rank A=rank A−A=rank(E n)=n；（必要性）rank(A)=n，由定理1，
CQU
取可逆矩阵P∈K m×m和Q∈K n×n，使得PAQ=E n。

从而，A=P−1E n
Q−1，且
A1=Q E n G12PቚG12∈K n×(m−n)
故A−=Q E n G12P，于是
A−A=Q E n G12PP−1E n
Q−1=E n。

CQU
又因为rank(A H A)=rank A=n. (注：只需证明N(A H A)=N(A))
故A H A可逆，则
(A H A)−1(A H A)=E n
于是A[(A H A)−1(A H A)]=A，从而
A L−1=A−=(A H A)−1A H
(vi) 若rank(A)=m，即A是行满秩的充分必要条件是AA−=
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E m，此时A−=A H(AA H)−1称A的一个右逆，记为A R−1。

(证明略)
(vii)对于λ∈K,λ≠0，(λA)−=1
λ
A−。

证明：(λA)(1
λA−)(λA)=λA，故(λA)−=1
λ
A−。

CQU
P169：3 4 7
CQU。