第 13 讲 广义逆矩阵 (1)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
矩阵理论及其应用
第十三讲广义逆矩阵(1)
李东
重庆大学数学与统计学院
CQU
◆广义逆矩阵的定义与分类
◆A-的性质与计算
CQU
◆广义逆矩阵的定义与分类
◆A-的性质与计算
CQU
CQU
广义:推广了原有概念或结果。
原逆矩阵：是针对非奇异的（或称为满秩的）方阵。推广到：（1）奇异方阵；（2）非方矩阵。
定义7.1 设A ∈K m×n ,若存在G ∈K n×m 满足Penrose-Moor 方程：的全部或一部分，称G 为A 的广义逆矩阵。H H (1) AGA A (2) GAG G (3) (GA)GA (4) (AG)AG =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩
显然有多种类型（15类）的广义逆矩阵。
(1) 如果G是满足第i个方程的广义逆矩阵，就记为
G=A(i)(i=1,2,3,4)。
(2) 如果G是满足第i,j两个方程的广义逆矩阵，就记为
G=A(i,j)(i,j=1,2,3,4)。
(3) 如果G是满足第i,j,k三个方程的广义逆矩阵，就记为
CQU
G=A(i,j,k)(i,j,k=1,2,3,4)。
(4) 如果G是满足全部四个方程的广义逆矩阵，就记为
G=A(1,2,3,4)=A+。
注1:只有A+是唯一确定，其它各类广义逆矩阵都不是唯一确定的，每种广义逆矩阵都包含着一类矩阵，分别记为
A i,A i,j,A{i,j,k}。
注2：A(i)∈A i，A(i,j)∈A i,j，A(i,j,k)∈A{i,j,k}。
CQU
在15类广义逆矩阵中，应用最多的是以下5种：
(1)A1，其中任意一个固定的广义逆矩阵记为A−；
(2)A1,2，其中任意一个固定的广义逆矩阵记为A r−；
(3)A1，其中任意一个固定的广义逆矩阵记为A m−；
(4)A1，其中任意一个固定的广义逆矩阵记为A l−；
(5)A+；
注3: A+∈A1等，故A+在广义逆矩阵很重要。
CQU
◆广义逆矩阵的定义与分类
◆A-的性质与计算
CQU
一、A−的计算
A−与线性方程组Ax=y的解的表示有关。
设A∈K m×n，记R A={y∈K m|rank A=rank A,y}，则Ax=y有解的充要条件是y∈R A。
定理7.2.1 设A∈K m×n，对任意的y∈R A，存在G∈K n×m，使得Gy是方程组Ax=y的解的充分必要条件是AGA=A。
证明：（必要性）对∀σ∈K n，令y=Aσ∈R A，于是
CQU
Gy=G(Aσ)是Ax=y的解，
所以，A G Aσ=Aσ。故AGA=A。
(充分性)若AGA=A，对任意的y∈R A，存在σ∈K n，使得y=Aσ，⇒y=AGAσ，⇒y=AG(Aσ)，⇒y=A[G Aσ]
⇒y=A[Gy]
故Gy是Ax=y的解。
CQU
定理1（7.2.2 部分）设A∈K m×n，rank(A)=r，则存在可逆矩阵P∈K m×m和Q∈K n×n，使得
PAQ=E r0 00
则A1=Q E r G12
G21G22Pተ
G12∈K r×(m−r)
G21∈K(n−r)×r
G22∈K(n−r)×(m−r)
。
注：和教材定理略有不同，关键在于如何计算A−。
CQU
证明：由PAQ=E r0
00，得A=P−1E r0
00
Q−1。
又由于AA−A=A，于是
P−1E r0
00
Q−1A−P−1
E r0
00
Q−1
=P−1
E r0
00
Q−1
即：E r0
00Q−1A−P−1
E r0
00
=
E r0
00
CQU
令Q−1A−P−1=G11G12
G21G22
，其中G11∈K r×r,
G12∈K r×m−r,G21∈K(n−r)×r,G22∈K(n−r)×(m−r)
则E r0
00=
E r0
00
Q−1A−P−1
E r0
00
=
E r0
00
G11G12
G21G22
E r0
00
=
G110
00
。
CQU
从而G11=E r，Q−1A−P−1=E r G12
G21G22
。
故A−=Q E r G12
G21G22
P。
即A1=Q E r G12
G21G22Pተ
G12∈K r×(m−r)
G21∈K(n−r)×r
G22∈K(n−r)×(m−r)
。
CQU
定理1 给出了计算A−的方法，这里的关键是P∈K m×m和Q∈K n×n的求法。我们给出以下计算方法。
构造A E m
E n0
，E m记录对A实施的初等行变换，E n记录对A实施的初等列变换。
A E m E n0elementary tansformation
−−−−−−−−−−−−−−→
E r0P1
00P2
Q1Q20
CQU