矩阵的逆及其应用教学内容
“逆矩阵”教学设计
“逆矩阵”教学设计
一、教学目标：
1.了解矩阵的逆矩阵的概念和性质；
2.掌握求逆矩阵的方法；
3.了解逆矩阵的应用。
二、教学重点和难点：
1.矩阵的逆矩阵的定义和性质；
2.求逆矩阵的方法；
3.逆矩阵的应用。
三、教学过程：
1.导入：通过一个例子引出逆矩阵的概念，让学生了解在矩阵运算中逆矩阵的重要性。
2.讲解定义和性质：介绍矩阵的逆矩阵的定义和性质，说明逆矩阵存在的条件和唯一性。
3.求逆矩阵的方法：
(1)初等变换法：通过初等行变换将原矩阵转化为单位矩阵，然后对该过程逆向操作，即可求得原矩阵的逆矩阵；
(2)公式法：使用逆矩阵的求逆公式来求解逆矩阵。
4.练习与讲解：让学生进行一些简单的逆矩阵求解练习，然后讲解答案，强化学生的记忆和理解。
5.应用实例：
(1)线性方程组的求解：通过逆矩阵来解决线性方程组的求解问题；
(2)矩阵的幂的求解：通过逆矩阵来求解矩阵的幂；
(3)线性变换的逆变换：通过逆矩阵来进行线性变换的逆变换。
6.拓展应用：
(1)应用于概率统计：逆矩阵在概率统计中有着广泛的应用，可以用来求解多元线性模型的系数矩阵；
(2)应用于数值计算：逆矩阵在数值计算中也有很重要的作用，可以用来求解矩阵方程的解。
7.总结归纳：总结逆矩阵的概念、性质和求解方法，让学生对逆矩阵有一个清晰的认识。
四、教学评估：
1.完成练习题目；
2.参与课堂讨论；
3.解答问题。
通过以上教学设计，学生们可以系统地学习逆矩阵的概念、性质和求解方法，掌握逆矩阵的应用技巧，提高数学素养和解决实际问题的能力。
高等代数3-3矩阵的逆
... 0 A En ... A
A A
*
A11 A12 A 1n
A21 A22 A2 n
... An1 a11 ... An 2 a 21 ... Ann a n1
a12 a 22 an2
即矩阵A的逆矩阵是唯一的 .
B1 B1 E B1 ( AB2 ) ( B1 A )B2 EB2 B2
由于A的逆矩阵是唯一的，将A的唯一的逆矩阵记为 A1
则有
AA1 A1 A E
3. 单位矩阵E是可逆矩阵,且E 1 E .
4. 零矩阵O不是可逆矩阵.
a1 0 ... 0 0 a2 ... 0 例A 0 0 ... a n 其中 a1a2 ...an 0 a1 0 0 a2 0 0
可逆
1 0 3 0 1 A 1 2 3 1 2 3 3
1
1 3 A 2 6
A 0
不可逆
用公式法求二阶矩阵的 逆矩阵非常方便 .
a b 1 d d 1 若A , 且 A 0, 则 A . A c a c d
已知方阵A满足A3 A2 4 A 5 E O ,则( A 2 E )1 ________.
A2 A 2 E
1 2 0 已知AB B A , 其中B 2 1 0 ,则( A E )1 __________. 0 0 2
( A E )( B E ) E ( A E )1 B E
1 ( A 2E ) 2 1 例5 已知方阵A满足A A 4 E O ,则( A E ) __________. 2
矩阵的逆矩阵教案
矩阵的逆矩阵教案一、引言矩阵是线性代数中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。
在矩阵的运算中，逆矩阵是一个关键概念。
本教案旨在通过清晰的解释与实例演示，帮助学生理解和掌握矩阵的逆矩阵。
二、基础知识回顾在开始学习矩阵的逆矩阵之前，我们首先需要回顾一些基础知识。
1. 矩阵的定义矩阵是由$m$行$n$列元素排列成的矩形数表，其中每个元素都有自己的位置。
我们通常用大写字母表示矩阵，如$A$。
2. 矩阵的运算矩阵可以进行加法、减法和数乘等运算。
两个矩阵必须具有相同的阶数才能进行加法和减法运算。
矩阵的数乘即是将矩阵的每一个元素与一个标量相乘。
3. 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行与列互换得到的新矩阵。
我们通常用$A^T$表示矩阵$A$的转置。
4. 单位矩阵单位矩阵是一个主对角线上的元素都为1，其余元素都为0的方阵。
我们通常用$I$表示单位矩阵。
5. 方阵与可逆矩阵方阵指行数和列数相等的矩阵。
可逆矩阵是方阵中的一种特殊矩阵，存在一个相应的逆矩阵，其乘积为单位矩阵。
三、逆矩阵的定义与性质1. 逆矩阵的定义对于一个$n$阶方阵$A$，如果存在一个$n$阶方阵$B$，使得$AB=BA=I$，则称$A$是可逆的，并称$B$为$A$的逆矩阵。
逆矩阵的记号为$A^{-1}$。
2. 逆矩阵的唯一性如果$A$存在逆矩阵$A^{-1}$，那么$A^{-1}$是唯一的。
3. 矩阵与逆矩阵的相乘若$A$是一个可逆矩阵，$B$是任意一个与$A$行数相同的矩阵，则有$AB=I$和$BA=I$。
四、矩阵的逆矩阵求解方法1. 行列式法求解逆矩阵通过行列式法可以求解$n$阶方阵$A$的逆矩阵$A^{-1}$，其中行列式$|A|\neq 0$。
2. 元素法求解逆矩阵通过增广矩阵的方法，可以将方阵$A$与单位矩阵$I$进行行初等变换，得到一个增广矩阵，其中方阵部分为单位矩阵，若能将$A$化为单位矩阵，则增广矩阵右侧部分即为$A^{-1}$。
3. 矩阵的初等行变换法求解逆矩阵通过将$n$阶方阵$[A|I]$进行一系列的初等行变换，可以将$A$化为单位矩阵，此时$[I|B]$即为$A^{-1}$。
《工程数学》教案6逆矩阵
《工程数学》教案6逆矩阵教学目标：1.理解逆矩阵的概念和性质；2.熟练计算逆矩阵；3.掌握逆矩阵的应用。
教学重点：1.逆矩阵的定义和存在条件；2.逆矩阵的求解方法。
教学难点：1.解释矩阵满足逆矩阵条件的意义；2.理解逆矩阵的计算方法。
教学准备：1.教材：《工程数学》第六章；2.教具：黑板、彩色粉笔。
教学内容：一、引入（5分钟）教师通过提问师生，引导学生回忆矩阵的定义和基本运算，如矩阵的加法、乘法等。
二、讲解（30分钟）1.逆矩阵的定义和存在条件-定义：若方阵A存在一个方阵B，使得AB=BA=I，则矩阵B称为A的逆矩阵，记作A^-1-存在条件：若矩阵A是一个可逆矩阵，则必须满足A的行列式不等于0。
2.逆矩阵的计算方法-初等变换法：构造增广矩阵[A，I]，利用初等行变换把矩阵A化为单位矩阵，此时矩阵[A，B]化为[I，A^-1]。
-求解公式法：对于2阶或3阶矩阵，可以利用公式求逆矩阵。
3.逆矩阵的性质-若A是可逆矩阵，则它的逆矩阵A^-1也是可逆矩阵，并且(A^-1)^-1=A。
-若A、B是可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵，并且(AB)^-1=B^-1A^-1三、练习（20分钟）1.根据给定的矩阵，求其逆矩阵。
2.判断给定的矩阵是否可逆。
四、扩展（15分钟）1.逆矩阵的应用-线性方程组的解：利用逆矩阵求解线性方程组，如AX=B，可以通过乘以A的逆矩阵，得到X=A^-1B。
-矩阵方程的解：对于矩阵方程AX=B，若A、X、B都是可逆矩阵，则可以通过乘以A的逆矩阵，得到X=A^-1B。
-逆矩阵的计算：利用逆矩阵的性质，可以简化矩阵的计算。
2.逆矩阵的应用举例-电路分析：利用逆矩阵求解电路网络方程，得到电路的电流和电压分布。
-无线通信：利用逆矩阵求解通信系统中的线性方程组，得到信号的传输和接收情况。
五、总结与展望（5分钟）教师对本节课的内容进行总结，并鼓励学生深入学习矩阵的相关知识，在工程领域中广泛应用。
师生互动：1.教师通过提问，引导学生回忆矩阵的定义和基本运算；2.学生通过解答问题，表达对逆矩阵的理解；3.学生通过课堂练习，巩固对逆矩阵的计算和判断能力。
矩阵的逆与转置逆矩阵转置矩阵的计算与应用
矩阵的逆与转置逆矩阵转置矩阵的计算与应用矩阵的逆与转置——逆矩阵、转置矩阵的计算与应用矩阵是线性代数里非常重要的概念之一，它在数学和其他领域中有广泛的应用。
在矩阵的运算中，逆矩阵和转置矩阵是两个常见的操作。
本文将对逆矩阵和转置矩阵进行详细论述，并介绍其在实际问题中的应用。
一、逆矩阵逆矩阵是指对于一个方阵A，若存在另外一个方阵B，使得A与B的乘积为单位矩阵，则称B为A的逆矩阵，记作A^-1。
计算逆矩阵的方法有多种，其中最常用的方法是高斯-约当消元法。
高斯-约当消元法有以下步骤：1. 将矩阵A的增广矩阵写成一个n行2n列的矩阵（其中n为矩阵的阶数）；2. 对矩阵A进行行初等变换，化为一个上三角矩阵；3. 对矩阵A进行行初等变换，将其化为对角矩阵；4. 对矩阵A进行行初等变换，使其化为单位矩阵；5. 以上行初等变换同时作用于增广矩阵，得到已求的逆矩阵。
逆矩阵的应用场景非常广泛，例如在线性方程组的求解中，使用逆矩阵可以将其转化为矩阵乘法的形式，大大简化计算过程。
此外，在统计学中，逆矩阵也被广泛应用于多元线性回归和主成分分析等问题中。
二、转置矩阵转置矩阵是指将一个矩阵的行与列互换得到的新矩阵。
对于一个矩阵A，其转置矩阵记作A^T。
转置矩阵的计算非常简单，只需要将矩阵A的第i行第j列元素变为转置矩阵的第j行第i列元素即可。
转置矩阵在矩阵运算中常用于求解线性方程组、矩阵乘法、向量内积等问题。
在实际应用中，转置矩阵也有着广泛的应用。
例如，在图像处理中，转置矩阵常用于图像旋转、翻转和镜像等操作。
此外，转置矩阵还在矩阵的特征值和特征向量计算、矩阵的对角化等方面起着重要的作用。
三、逆矩阵与转置矩阵的应用举例1. 逆矩阵的应用：线性方程组求解假设有一个线性方程组Ax=b，其中A是已知的矩阵，b是已知的向量，求解x的值。
我们可以通过计算矩阵A的逆矩阵，将方程组转化为x=A^-1b的形式，从而更方便地求解出x的值。
2. 转置矩阵的应用：图像处理在图像处理中，转置矩阵常被用于图像的旋转操作。
第四讲矩阵的运算与逆矩阵
a11b12 a12b22 a13b32 a21b12 a22b22 a23b32 2×2
（2）乘法的定义与运算规律
定义4 设 A aij 是一个 m×s 矩阵,B bij 是一个s×n 矩阵,
那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个m×n 矩阵 C cij ,
s
c 其中 ij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aik bkj i 1,2,, m; j 1,2,, n k 1
a1, a2 ,
bn n1
b1a1 b1a2 b1an
, an
1n
b2a1
bna1
b2a2
bna2
b2an
bnan
nn
（3）矩阵运算的性质（与实数运算的对比）
通过以上对矩阵运算的了解，尤其是对矩阵乘法运算的
分析，我们可以对比一下矩阵的代数运算与我们所熟悉
的实数的代数运算，并找出它们之间的本质区别：
3. 对于两个 n 阶矩阵，一般
ABk Ak B k . AB2 ABAB A2 B2
如
A
2 3
46,
B
2 1
42,
AB 00
00,
AB2
0 0
0 0
;
A2 128
16 24
,
B2
8 4
016,
A2 B 2
0 0
128 192
.
线性代数 第二章 矩阵及其运算
11
第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
注4：方阵A的多项式定义：已知f ( x) a0 a1 x a2 x2 an xn 则对应A的多项式为：f ( A) a0E a1 A a2 A2 an An;请看下例：
矩阵的逆与逆矩阵的应用
矩阵的逆与逆矩阵的应用在数学中，矩阵是一个经常被使用的概念，它在线性代数、微积分和物理学等领域都有广泛的应用。
而矩阵的逆与逆矩阵的应用则是解决线性方程组、求解线性变换的关键步骤之一。
本文将详细介绍矩阵的逆以及逆矩阵的应用。
一、矩阵的逆矩阵的逆是指对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得A与B 的乘积等于单位矩阵I。
即AB=BA=I。
如果一个矩阵无法找到满足条件的逆矩阵，则称该矩阵为奇异矩阵。
逆矩阵的存在性是解决线性方程组的重要前提。
1.1 逆矩阵的性质逆矩阵具有以下性质：- 逆矩阵的逆矩阵仍然是原矩阵本身，即(A的逆)的逆=A。
- 矩阵的逆是唯一的，如果存在逆矩阵，那么它一定是唯一的。
- 矩阵乘积的逆等于逆矩阵的乘积，即(AB)的逆=B的逆A的逆。
- 矩阵转置的逆等于逆矩阵的转置，即(A的转置的逆)=(A的逆)的转置。
1.2 求解逆矩阵的方法求解逆矩阵的方法有多种，其中最常用的方法是利用伴随矩阵和行列式的关系求解。
对于一个n阶矩阵A，如果其行列式不等于0，则A可逆，且其逆矩阵为A* = (1/|A|) * adj(A)，其中|A|表示矩阵A的行列式，adj(A)表示A的伴随矩阵。
二、逆矩阵的应用逆矩阵在数学和工程领域有着广泛的应用。
下面将介绍逆矩阵在线性方程组、线性变换和行列式求导等方面的应用。
2.1 解线性方程组逆矩阵可以用来解决线性方程组。
对于线性方程组Ax=b，如果矩阵A可逆，那么方程组的解可以表示为x = A^-1 * b。
通过求解逆矩阵，我们可以得到线性方程组的解，从而解决实际问题。
2.2 线性变换逆矩阵在线性变换中也有重要的应用。
对于一个线性变换T:R^n→R^m，如果其对应的矩阵A可逆，那么存在一个逆变换T^-1:R^m→R^n，满足T(T^-1(x))=x，其中x为任意向量。
也就是说，逆矩阵能够将变换后的结果重新映射回原始空间。
2.3 行列式求导在微积分中，行列式也是一个重要的工具。
第5讲 矩阵的逆(PPT)
一 逆矩阵的定义 二 逆矩阵的求法 三 矩阵可逆的充要条件 四 逆矩阵的性质
一 逆矩阵的定义
在实数的运算中， 当实数a 0时， 有
aa1 a1a 1,
其中 a1 1 为 a 的倒数，（或称 a 的逆）；
a
在矩阵的运算中，单位阵 E 相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵 A， 如果存在一个矩阵B
推论:
所以: (AB )1B 1A1 (ABC)1C 1B 1A1 (ABCD)1D-1 C 1B 1A1
注意顺序， 和转置相似
(A1A2A3…An )1(An) 1(An-1) 1….(A1) 1
5 若A可逆,则有 A1 1
A
证明 AA1 E
A A1 1
因此 A1 A 1 .
例 设A为三阶矩阵且|A|＝2，则
使得
AB BA E,
则矩阵 B称为A的可逆矩阵或逆阵.
实数a的倒数性质 aa1 a1a 1
定义 对于n 阶矩阵 A ，如果有一个n 阶矩阵B
,使得
AB BA E,
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵 B 称为A 的逆矩阵.
A的逆矩阵记作 A1. 说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的. 例1 设 A 1 1, B 1 2 1 2,
2E
1A
4
3E
E
A
2E
1
故A 2E可逆. 且 A 2E 1 1 A 3E
4
练习：若n阶矩阵满足
A2 2A 3E 0
A是否可逆？若可逆，求A的逆。
解：由等式可得，
A（A+2E ) E 3
A1 A+2E (3)
二 逆矩阵的求法（待定系数法）
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Y，既 Y=AX，再将 Y 发送，信息端接受到 Y 后，则利用
密钥矩阵
。
②加密通信模型
基于加密技术的保密通信模型，发送方采用某种算法将明文
数据加密转换成密文数据后发送给接收方，接收方则可以采用相对
㈠ 逆矩阵的性质
1、 若矩阵 A、B 均可逆，则矩阵 AB 可逆，其逆矩阵为
，当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的
逆。
若
都是ｎ阶可逆矩阵，则
也可逆，且
＝
.
2、 若 A 可逆，则 也可逆，且
=A；
3、 若 A 可逆，实数λ≠0，则λA 可逆，且
=；
4、 若 A 可逆，则 也可逆，且
=
；
5、
=
；
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③当矩阵Ａ可逆时，可以利用
初等变换，即求出了
例３、 用初等行变换求矩阵Ａ＝
解：
＝
求得 仅通过
的逆矩阵。
→ → ㈣ 、用分块矩阵求逆矩阵 设Ａ、Ｂ分别为Ｐ、Ｑ阶可逆矩阵，则：
＝
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例４、 已知Ａ＝ 解：将Ａ分块如下：
矩阵的逆及其应用
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矩阵的逆及其应用
姓名：刘欣
班级：14 级数计 1 班
专业：数学与应用数学
学号：1408020129
一、 矩阵的逆的概念
对于 n 阶矩阵 A，如果有一个 n 阶矩阵 B，使得
ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ，则说矩阵Ａ是可逆的，并把矩阵Ｂ称为
Ａ的逆矩阵，Ａ的逆矩阵记作 。
二、 逆矩阵的性质和定理
B=
若 A 可逆→X=
注：利用逆矩阵求解要求方程个数与未知数个数相等，且
矩阵 A 可逆，否则此法失效。而 Gauss 消元法对方程组个
数与未知元个数不等时仍适用（此时有可能不相容或有无
穷多个解）。且 Gauss 消元法特别适合于计算机计算。
(2) 逆矩阵在求矩阵的秩中的应用
设 A 是 m×n 矩阵，P 和 Q 分别是 m 阶和 n 阶可逆矩阵，
负单位矩阵-E，再在 A 的右下方补加上一个零矩阵 0，从而得到一
个新的方阵，对该方阵施行第三种行的初等变换，使其负单位矩阵-
E 化为零矩阵，那么原来的零矩阵 0 所化得的矩阵就是所要求的那
逆矩阵 。
四、 矩阵的逆的应用
(1) 逆矩阵在解线性方程组中的应用
设用矩阵表示的方程组为ＡＸ＝Ｂ，其中Ａ＝
X=
，求 。
Ａ＝
＝
其中
可求得
＝
㈤ 解方程组求逆矩阵 根据可逆的上（下）三角矩阵的逆仍是上（下）三角矩阵，且上 （下）三角矩阵逆矩阵主对角元分别为上（下）三角矩阵对应的 主对角元的倒数，可设出逆矩阵的待求元素；又由 两端对应元素相等，依次可得 只含有一个待求元素的方程，因 而待求元素极易求得，此法常用元素待求上（下）三角矩阵的逆 矩阵。
ｆ(λ)=| λＥ－Ａ|＝
为Ａ的特征多
项式，则：ｆ(A)=| λE-A|=
+ =0
于是－
因此 ㈨ 、三角矩阵的一种求逆法
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如果ｎ阶矩阵Ｔ＝ 的逆矩阵是 T=
可逆，那么他 其中
㈩ 、拼接新矩阵
在可逆矩阵 A 的右方补上一个单位矩阵 E，在 A 的下方补加上一个
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例５、 求Ａ＝
的逆矩阵。
解：设
，先求出
下的次对角线上的元素
最
后求 ，设Ｅ为４阶单位矩阵，比较
素，得到 ０ １ ０ １
的两端对应元 ；
；
于是，所求的逆矩阵为： ㈥ 、用克莱姆法则求解
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若线性方程组
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6、 矩阵的逆是唯一的； 证明：运用反证法，如果 A 是可逆矩阵，假设 B,C 都 是 A 的逆，则有ＡＢ=ＢＡ=E=ＡＣ＝ＣＡ，Ｂ＝Ｂ Ｅ＝Ｂ（ＡＣ）＝（ＢＡ）Ｃ＝ＥＣ＝Ｃ（与Ｂ≠Ｃ 矛盾），所以是唯一的。
㈡ 逆矩阵的定理 １、 初等变换不改变矩阵的可逆性。 ２、 ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ与ｎ阶单位阵 等 价。 ３、 ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是Ａ可以表成一些初等 矩阵的乘积。 ４、 ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ只经过一系列初等行 变换便可化成单位矩阵。 ５、 ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是｜Ａ｜≠０。
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②对于分块矩阵 例２、 已知Ａ＝ 解：∵｜Ａ｜＝２≠０
∴Ａ可逆，由已知得
㈢ 、行（列）初等变化法 设ｎ阶矩阵Ａ，作ｎ×２ｎ矩阵，然后对此矩阵施以行初等
变换，若把子块Ａ变为 ，则子块 将变为 ，即初等变 换［Ｅ， ］。
注释：①对于阶数较高（ｎ≧３）的矩阵，采用初等行变换 求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便，在用上述方法求逆矩阵时， 只允许施行初等行变换。 ②也可以利用
三、 逆矩阵的计算方法 ㈠ 定义法 定义：设Ａ是ｎ阶方阵，如果存在ｎ阶方阵Ｂ使得ＡＢ＝Ｅ，那 么Ａ称为可逆矩阵，Ｂ称为Ａ的逆矩阵，记为 。
例１、 求矩阵Ａ＝ 解：∵｜Ａ｜≠０
∴ 存在
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的逆矩阵。
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设＝ ∴ 由矩阵乘法得
，由定义知
，
由矩阵相乘可解得
；
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则 r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)
n 阶矩阵 A 的秩为 n→|A|≠0→A 可逆。
(3) 逆矩阵在信息科学中的应
① 算法的加密原理
信息发送端首先根据密钥矩阵 A 的阶数（||A||=n）,将
明文转换为 n 维数向量 X，然后将 X 与 A 相乘得到密文
；
故
㈡ 、伴随矩阵法
ｎ阶矩阵Ａ＝（ ）可逆的充要条件｜Ａ｜≠０，而且当 ｎ（ｎ＞＝２）阶矩阵Ａ有逆矩阵，
注释：①对于阶数较低（一般不超过３阶）或元素的代数余 子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵，注意
元素的位置及符号。特别对于２阶方阵
Ａ＝
，其伴随矩阵
，即伴随矩阵具有“主对角元素互 换，次对角元素变号”的规律。
的系数行列式Ｄ＝
，则此方程组有唯一的一组解
，这里 是将Ｄ中的第ｉ列
换成
得到的行列式。
㈦ 、恒等变形法求逆矩阵
有些计算命题表面上与求逆矩阵无关，但实质上只有求出矩阵的
逆矩阵才能算出来，而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变形，
且常变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式。
㈧、用 Hamilton-Caley 定理求逆矩阵 Hamilton-Caley 定理：设Ａ是数域Ｐ上的ｎ阶矩阵