浙江省201x年中考数学复习微专题六以特殊四边形为背景的计算与证明训练

微专题六以特殊四边形为背景的计算与证明
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1．如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠C＝2∠BAD.O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD.求证：
(1)∠BOD＝∠C；
(2)四边形OBCD是菱形．
2．如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF ＝CD，连结CF.
(1)求证：△AEF≌△DEB；
(2)若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
3．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E，F分别在AB，BC上(AE＜BE)，且∠EOF＝90°，OE，DA 的延长线交于点M，OF，AB的延长线交于点N，连结MN.
(1)求证：OM＝ON；
(2)若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．
4．如图，点E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上一点，若AE＝DC＝2ED，且EF⊥EC.
(1)求证：点F为AB的中点；
(2)延长EF与CB的延长线相交于点H，连结AH，已知ED＝2，求AH的值．
5．问题情境：
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD.并且量得AB＝2 cm，AC＝4 cm.
操作发现：
(1)将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，过点C作AC′的平行线，与DC′的延长线交于点E，则四边形ACEC′的形状是________；(2)创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B，A，D三点在同一条直线上，得到如图3所示的△AC′D，连结CC′，取CC′的中点F，连结AF并延长至点G，使FG＝AF，连结CG，C′G，得到四边形ACGC′，发现它是正方形，请你证明这个结论；
实践探究：
(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC沿着BD方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至A′点，A′C与BC′相交于点H，如图4所示，连结CC′，试求tan∠C′CH的值．
参考答案
1．证明：(1)如图，延长AO 到E.
∵OA＝OB ，∴∠ABO＝∠BAO.
又∠BOE＝∠ABO＋∠BAO，
∴∠BOE＝2∠BA O.
同理∠DOE＝2∠DAO，
∴∠BOE＋∠DOE＝2∠BAO＋2∠DAO＝2(∠BAO＋∠DAO)， 即∠BOD＝2∠BAD.
又∠C＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠C.
(2)如图，连结OC.
∵OB＝OD ，CB ＝CD ，OC ＝OC ，
∴△OBC≌△ODC，
∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO.
∵∠BOD＝∠BOC＋∠DOC，
∠BCD＝∠BCO＋∠DCO，
∴∠BOC＝12∠BOD，∠BCO＝12
∠BCD. 又∠BOD＝∠BCD，
∴∠BOC＝∠B CO ，∴BO＝BC.
又OB ＝OD ，BC ＝CD ，
∴OB＝BC ＝CD ＝DO ，
∴四边形OBCD 是菱形．
2．证明：(1)∵E 是AD 的中点，∴AE＝DE.
. ∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，∠EAF＝∠EDB，
∴△AEF≌△DEB(AAS)．
(2)如图，连结DF.
∵AF∥CD，AF＝CD，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵△AEF≌△DEB，∴BE＝FE.
∵AE＝DE，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF＝AB.
∵AB＝AC，∴DF＝AC，
∴四边形ADCF是矩形．
3．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，
∴∠OAM＝∠OBN＝135°.
∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，
∴∠AOM＝∠BON，
∴△OAM≌△OBN(ASA)，∴OM＝ON.
(2)解：如图，过点O作OH⊥AD于点H.
∵正方形的边长为4，∴OH＝HA＝2.
∵E为OM的中点，∴HM＝4，
则OM＝22＋42＝25，
∴MN＝2OM＝210.
. 4．(1)证明：∵EF⊥EC，
∴∠CEF＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠AEF＋∠AFE＝90°，
∠DEC＋∠DCE＝90°，
∴∠AEF＝∠DCE，∠AFE＝∠DEC.
∵AE＝DC，∴△AEF≌△DCE.
∴ED＝AF.
∵AE＝DC＝AB＝2DE，
∴AB＝2AF，∴F是AB的中点．
(2)解：由(1)得AF＝FB，且AE∥BH，
∴∠FBH＝∠FAE＝90°，∠AEF＝∠FHB，
∴△AEF≌△BHF，∴HB＝AE.
∵ED＝2，且AE＝2ED，∴AE＝4，
∴HB＝AB＝AE＝4，
∴A H2＝AB2＋BH2＝16＋16＝32，
∴AH＝4 2.
5．解：(1)菱形
(2)在图1中，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠CAD＝∠ACB，∠B＝90°，
∴∠BAC＋∠ACB＝90°.
在图3中，由旋转知，∠DAC′＝∠DAC，
∴∠ACB＝∠DAC′，
∴∠BAC＋∠DAC′＝90°.
∵点D，A，B在同一条直线上，
∴∠CAC′＝90°.
由旋转知，AC＝AC′.
∵点F是CC′的中点，∴AG⊥CC′，CF＝C′F.
∵AF＝FG，
∴四边形ACGC′是平行四边形．
.
∵AG⊥CC′，∴四边形ACGC′是菱形．
∵∠CAC′＝90°，
∴菱形ACGC′是正方形．
(3)在Rt△ABC 中，AB ＝2，AC ＝4，
∴BC′＝AC ＝4，BD ＝BC ＝23，
sin ∠ACB＝AB AC ＝12
， ∴∠ACB＝30°.
由(2)结合平移知，∠CHC′＝90°.
在Rt△BCH 中，∠ACB＝30°， ∴BH＝BC·sin 30°＝3，
∴C′H＝BC′－BH ＝4－ 3.
在Rt△ABH 中，AH ＝12
AB ＝1， ∴CH＝AC －AH ＝4－1＝3，
在Rt△CHC′中，
tan ∠C′CH＝C′H CH ＝4－33
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