中考数学三角形证明题(中等难度偏上)含答案
全等三角形相似三角形证明(中难度题型)
全等三角形证明经典50题.doc1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD1. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB2. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠23. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=ACADBCBA CDF2 1 E4. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C5. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE6. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD7. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。
求证：BC=AB+DC 。
ADBCCDB A8.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C9.已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C10. P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-AB11. 已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE12. 已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC13．（5分）如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ．DCBAFEAB C DP D ACBFAED C B14．（5分）如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA15．（5分）如图，已知AD∥BC，∠P AB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．16．（6分）如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B17．（6分）如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．18．（7分）已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，（1）求证：△AED≌△EBC．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：19．（7分）如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．20、（10分）如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。
中考数学相似三角形分类专练 证明相似三角形中的对应线段成比例重难点专练(解析版)
同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，∴相似比可能是 ，也可能是 ，C不一定成立；
∵∠A=∠D，即∠A与∠D是对应角，∴它们的对边一定是对应比，即BC与EF是对应比，
∴相似比为 ，∴D一定成立，
故选D．
【考点知悉】
本题考查相似三角形的性质，注意相似三角形的性质是针对对应角和对应边而言的．
17．如图，点D、E分别在 的边AB、AC上，且 ，若DE=3，BC=6，AC=8，则 _______．
18．如图，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，满足DE∥BC，EF∥AB，如果AD：DB=3：2，那么BF：FC=_____．
19．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD＝__．
∴这个三角形的边长扩大到原来的4倍,
故选B.
【考点知悉】
本题考查了相似三角形的相似比和周长比之间的关系,属于简单题,熟练掌握相似三角形的性质是解题关键.
10．D
【思路点拨】
根据①直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项,进行判断即可.
30．如图， ， ， ， ，则 ________．
31．如图，△ABC中，DE∥BC, ,△ADE的面积为8，则△ABC的面积为______
三、解答题
32．已知：如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P、Q分别在线段OC、CD上，且DQ＝OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F(点F与点C、D不重合)，AB＝20，cos∠AOC＝ .设OP＝x，△CPF的面积为y.
∴ ，
中考几何证明题及答案
中考几何证明题及答案几何证明练题及答案知识要点：1.掌握直角三角形的性质并能熟练应用；2.能写出较难证明的求证；3.证明要合乎逻辑，能应用综合法证明几何命题。
概念回顾：1.全等三角形的性质：对应边、对应角、对应高线、对应中线、对应角的角平分线。
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则BC：AC：AB=？例题解析：题1：已知在ΔABC中，A=108°，AB=AC，BD平分ABC。
求证：___。
题2：如图，点E为正方形ABCD的边CD上一点，点F 为CB的延长线上的一点，且EA⊥AF。
求证：DE=BF。
题3：如图，AD为ΔABC的角平分线且BCBD=CD。
求证：AB=AC。
题4：已知：如图，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AB∥ED，AC∥FD，证明AB=DE，AC=DF。
题5：已知：如图，△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求∠APB的度数。
题6：如图：△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足是F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D。
1）求证：AE=CD；2）若AC=12 cm，求BD的长。
题7：等边三角形CEF于菱形ABCD边长相等。
求证：（1）∠AEF=∠AFE；（2）角B的度数。
题8：如图，在△ABC中，∠C=2∠B，AD是△ABC的角平分线，∠1=∠B。
求证：___。
题9：如图，在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F。
求证：___。
题10：如图，将边长为1的正方形ABCD绕点C旋转到A'B'CD'的位置，若∠B'CB=30°，求AE的长。
题11：AD,BE分别是等边△ABC中BC,AC上的高。
M,N 分别在AD,BE的延长线上，∠___∠ACN。
求证：AM=BN。
题12：已知：如图，AD、BC相交于点O，OA=OD，OB=OC，点E、F在AD上，且AE=DF，∠ABE＝∠DCF。
初中数学三角形证明题重点学习的练习及标准答案.doc
三角形证明题练习1．如图，在△ ABC中，∠ C=90°， AB 的垂直平分线交AB 与 D，交 BC 于 E，连接 AE，若 CE=5， AC=12，则 BE 的长是（）A．13B． 10C． 12D． 52．如图，在△ ABC中，AB=AC，∠ A=36°，BD、CE分别是∠ ABC、∠ BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A．5 个B． 4 个C． 3 个D．2 个3．如图，在△ ABC中， AD 是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则S△ABD： S△ACD=（）A．4： 3B． 3： 4C． 16： 9D． 9： 164．如图，在△ ABC中， AB=AC，∠ A=40°， AB 的垂直平分线交AB 于点 D，交 AC于点 E，连接 BE，则∠ CBE的度数为（）A．70°B． 80°C． 40°D．30°5．如图，在△ ABC中， AB=AC，且 D 为 BC上一点， CD=AD， AB=BD，则∠ B 的度数为（）A．30°B． 36°C． 40°D．45°6．如图，点O 在直线 AB 上，射线OC平分∠ AOD，若∠ AOC=35°，则∠ BOD 等于（）A．145°B． 110°C． 70°D．35°7．如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90°， BA 的垂直平分线交BC边于 D，若 AB=10，AC=5，则图中等于60°的角的个数是（）A． 2B． 3C． 4D． 58．如图，已知BD 是△ ABC的中线， AB=5， BC=3，△ ABD 和△ BCD的周长的差是（）A． 2B． 3C． 6D．不能确定9．在 Rt△ ABC中，如图所示，∠C=90°，∠ CAB=60°， AD 平分∠ CAB，点 D 到 AB 的距离 DE=，则 BC等于（）A．B．C．D．10．△ ABC 中，点 O 是△ ABC内一点，且点O 到△ ABC 三边的距离相等；∠A=40°，则∠ BOC=（）A．110°B． 120°C． 130°D．140°11．如图，已知点P 在∠ AOB 的平分线OC上， PF⊥ OA， PE⊥ OB，若 PE=6，则 PF 的长为（）A．2B． 4C． 6D．812．如图，△ ABC中， DE是 AB 的垂直平分线，交 BC于点 D，交 AB 于点 E，已知 AE=1cm，△ ACD 的周长为 12cm，则△ ABC的周长是（）A．13cm B． 14cm C． 15cm D．16cm13．如图，∠ BAC=130°，若 MP 和 QN 分别垂直平分AB 和 AC，则∠ PAQ等于（）A． 50°B． 75°C． 80°D．105°14．如图，要用“ HL”判定 Rt△ ABC和 Rt△ A′ B′ C′全等的条件是（）A．AC=A′ C′，BC=B′ C′B．∠A=∠ A′， AB=A′B′C．AC=A′ C′，AB=A′ B′D．∠B=∠ B′， BC=B′ C′15．如图， MN 是线段 AB 的垂直平分线，C在 MN 外，且与 A 点在 MN 的同一侧， BC 交 MN 于 P 点，则（）A． BC＞ PC+AP B． BC＜PC+AP C． BC=PC+AP D．BC≥ PC+AP16．如图，已知在△ABC中， AB=AC， D 为 BC 上一点， BF=CD， CE=BD，那么∠ EDF等于（）A． 90°﹣∠ AB．C． 180°﹣∠ AD．45°﹣∠A90°﹣∠A17．如图，在△ ABC 中， AB=AC， AD 平分∠ BAC，那么下列结论不一定成立的是（）A．△ ABD≌△ ACD B．AD 是△ ABC的高线C．AD 是△ ABC的角平分线D．△ABC是等边三角形三角形证明中经典题 21.如图，已知： E 是∠ AOB 的平分线上一点，EC⊥ OB， ED⊥ OA， C、D 是垂足，连接CD，且交 OE于点 F．（1）求证： OE 是 CD 的垂直平分线．（2）若∠ AOB=60°，请你探究 OE， EF之间有什么数量关系并证明你的结论．2.如图，点 D 是△ ABC中 BC边上的一点，且AB=AC=CD， AD=BD，求∠ BAC 的度数．3.如图，在△ ABC中， AD 平分∠ BAC，点 D 是 BC的中点， DE⊥ AB 于点 E， DF⊥ AC 于点 F．求证：（ 1）∠ B=∠ C．（ 2）△ ABC 是等腰三角形．4 如图， AB=AC，∠ C=67°， AB 的垂直平分线EF交 AC 于点 D，求∠ DBC的度数．5.如图，△ ABC 中， AB=AD=AE， DE=EC，∠ DAB=30°，求∠ C 的度数．6.阅读理解：“在一个三角形中，如果角相等，那么它们所对的边也相等．已知∠ ABC和∠ ACB 的平分线上交于点 F，过点 F 作 BC 的平行线分别交的知识说明 DE=BD+CE．”简称“等角对等边”，如图，在△ ABC中，AB、 AC于点 D、 E，请你用“等角对等边”7.如图， AD 是△ ABC的平分线， DE，DF 分别垂直 AB、 AC于 E、 F，连接 EF，求证：△ AEF是等腰三角形．2015 年 05 月 03 日初中数学三角形证明组卷参考答案与试题解析一．选择题（共20 小题）1．（2015 涉县模拟）如图，在△AC=12，则 BE 的长是（）ABC中，∠ C=90°， AB 的垂直平分线交AB 与 D，交BC 于 E，连接AE，若CE=5，A 13B 10C 12D 5．．．．考线段垂直平分线的性质．点：分先根据勾股定理求出AE=13，再由 DE 是线段 AB 的垂直平分线，得出BE=AE=13．析：解解：∵∠ C=90°，答：∴AE= ，∵DE 是线段 AB 的垂直平分线，∴BE=AE=13；故选： A．点本题考查了勾股定理和线段垂直平分线的性质；利用勾股定理求出AE 是解题的关评：键．2．（2015?淄博模拟）如图，在△ABC中， AB=AC，∠ A=36°， BD、CE分别是∠ ABC、∠ BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A 5 个B 4 个C 3 个D 2 个．．．．考等腰三角形的判定；三角形内角和定理．菁优网版权所有点：专证明题．题：分根据已知条件和等腰三角形的判定定理，对图中的三角形进行分析，即可得出答案．析：解解：共有 5 个．答：（ 1）∵ AB=AC∴△ ABC 是等腰三角形；（2）∵ BD、 CE分别是∠ ABC、∠ BCD的角平分线∴∠ EBC= ∠ ABC，∠ ECB= ∠ BCD，∵△ ABC 是等腰三角形，∴∠ EBC=∠ ECB，∴△ BCE是等腰三角形；（3）∵∠ A=36°， AB=AC，∴∠ ABC=∠ ACB= （ 180°﹣ 36 °） =72°，又BD 是∠ ABC 的角平分线，∴∠ ABD= ∠ ABC=36° =∠ A，∴△ ABD 是等腰三角形；同理可证△ CDE和△ BCD是等腰三角形．故选： A．点此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档评：题．3．（ 2014 秋 ?西城区校级期中）如图，在△ ABC中， AD 是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则S△ABD：S△ACD=（）A 4： 3B 3： 4C 16： 9D 9： 16．．．．考角平分线的性质；三角形的面积．菁优网版权所有点：专计算题．题：分首先过点 D 作 DE⊥ AB，DF⊥ AC，由 AD 是它的角平分线，根据角平分线的性质，析：即可求得 DE=DF，由△ ABD 的面积为 12，可求得 DE 与 DF 的长，又由 AC=6，则可求得△ ACD的面积．解解：过点 D 作 DE⊥ AB， DF⊥ AC，垂足分别为E、 F（ 1 分）答：∵ AD 是∠ BAC的平分线， DE⊥ AB， DF⊥ AC，∴DE=DF，（ 3 分）∴S△ ABD= ?DE?AB=12，∴DE=DF=3（ 5 分）∴S△ ADC= ?DF?AC= × 3× 6=9（ 6 分）∴S△ABD： S△ACD=12：9=4： 3．故选 A．点此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，解题的关键是熟记角平分线的性评：质定理的应用，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．4．（2014?丹东）如图，在△ABC中， AB=AC，∠ A=40°， AB 的垂直平分线交AB 于点D，交AC 于点E，连接BE，则∠ CBE的度数为（）A 70°B 80°C 40°D 30°．．．．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有专题：几何图形问题．分析：由等腰△ ABC中， AB=AC，∠ A=40°，即可求得∠ABC的度数，又由线段AB 的垂直平分线交AB 于 D，交 AC 于 E，可得 AE=BE，继而求得∠ ABE的度数，则可求得答案．解答：解：∵等腰△ ABC中， AB=AC，∠ A=40°，∴∠ ABC=∠ C= =70°，∵线段 AB 的垂直平分线交AB 于 D，交 AC 于 E，∴A E=BE，∴∠ ABE=∠ A=40°，∴∠ CBE=∠ABC﹣∠ ABE=30°．故选： D．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．5．（2014?南充）如图，在△ABC中， AB=AC，且 D 为 BC 上一点， CD=AD， AB=BD，则∠ B 的度数为（）A 30°B 36°C 40°D 45°．．．．考等腰三角形的性质．菁优网版权所有点：分求出∠ BAD=2∠ CAD=2∠ B=2∠ C 的关系，利用三角形的内角和是180°，求∠ B，析：解解：∵ AB=AC，答：∴∠ B=∠C，∵ AB=BD，∴∠ BAD=∠ BDA，∵ CD=AD，∴∠ C=∠CAD，∵∠ BAD+∠ CAD+∠ B+∠C=180°，∴ 5∠ B=180°，∴∠ B=36°故选： B．点本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是运用等腰三角形的性质得出∠BAD=2评：∠ CAD=2∠ B=2∠ C 关系．6．（2014?山西模拟）如图，点O 在直线 AB 上，射线 OC 平分∠ AOD，若∠ AOC=35°，则∠ BOD 等于（）A 145°B 110°C 70°D 35°．．．．考角平分线的定义．菁优网版权所有点：分首先根据角平分线定义可得∠ AOD=2∠AOC=70°，再根据邻补角的性质可得∠析：BOD 的度数．解解：∵射线 OC平分∠ DOA．答：∴∠ AOD=2∠ AOC，∵∠ COA=35°，∴∠ DOA=70°，∴∠ BOD=180°﹣ 70° =110°，故选： B．点此题主要考查了角平分线定义，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分．评：7．（2014?雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ ACB=90°， BA 的垂直平分线交BC边于 D，若 AB=10， AC=5，则图中等于60°的角的个数是（）A 2B 3C 4D 5．．．．考点：线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有分析：根据已知条件易得∠ B=30°，∠ BAC=60°．根据线段垂直平分线的性质进一步求解．解答：解：∵∠ ACB=90°，AB=10，AC=5，∴∠ B=30°．∴∠ BAC=90°﹣ 30° =60°∵ DE 垂直平分 BC，∴∠ BAC=∠ ADE=∠ BDE=∠ CDA=90°﹣ 30° =60°．∴∠ BDE 对顶角 =60°，∴图中等于60°的角的个数是4．故选 C．点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．由易到难逐个寻找，做到不重不漏．8．（2014 秋 ?腾冲县校级期末）如图，已知 BD 是△ ABC 的中线， AB=5，BC=3，△ ABD 和△ BCD的周长的差是（）A 2B 3C 6D 不能确定．．．．考点：三角形的角平分线、中线和高．菁优网版权所有专题：计算题．分析：根据三角形的中线得出AD=CD，根据三角形的周长求出即可．解答：解：∵ BD 是△ ABC的中线，∴AD=CD，∴△ ABD 和△ BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）﹣（ BC+BD+CD） =AB﹣BC=5﹣3=2．故选 A．点评：本题主要考查对三角形的中线的理解和掌握，能正确地进行计算是解此题的关键．9．（ 2014 春 ?栖霞市期末）在Rt△ ABC 中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°， AD 平分∠CAB，点 D 到AB 的距离DE=，则 BC等于（）A B C D．．．．考点：角平分线的性质．菁优网版权所有分析：由∠ C=90°，∠ CAB=60°，可得∠ B 的度数，故BD=2DE=，又AD 平分∠ CAB，故DC=DE=，由BC=BD+DC求解．解答：点评：解：∵∠ C=90°，∠ CAB=60°，∴∠ B=30°，在 Rt△BDE中， BD=2DE=，又∵ AD 平分∠ CAB，∴DC=DE=，∴BC=BD+DC=+=．故选 C．本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到解题的关键．D 到AB 的距离DE即为CD长，是10．（ 2014 秋 ?博野县期末）△ABC中，点 O 是△ ABC内一点，且点O 到△ ABC三边的距离相等；∠A=40°，则∠BOC=（）A 110°B 120°C 130 °D 140°．．．．考角平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．菁优网版权所有点：专计算题．题：分由已知， O 到三角形三边距离相等，得O 是内心，再利用三角形内角和定理即可求析：出∠ BOC的度数．解解：由已知， O 到三角形三边距离相等，所以O 是内心，答：即三条角平分线交点， AO， BO，CO 都是角平分线，所以有∠ CBO=∠ ABO= ∠ ABC，∠ BCO=∠ ACO= ∠ ACB，∠ABC+∠ACB=180﹣ 40=140∠OBC+∠ OCB=70∠BOC=180﹣70=110 °故选 A．点此题主要考查学生对角平分线性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识评：点的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．11．（ 2013 秋 ?潮阳区期末）如图，已知点 P 在∠ AOB的平分线 OC上，PF⊥ OA，PE⊥ OB，若 PE=6，则 PF 的长为（）A 2B 4 C6 D8．．．．考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有专题：计算题．分析：利用角平分线性质得出∠ POF=∠ POE，然后利用 AAS定理求证△ POE≌△ POF，即可求出 PF的长．解答：解：∵ OC平分∠ AOB，∴∠ POF=∠POE，∵PF⊥OA， PE⊥ OB，∴∠ PFO=∠ PEO，PO 为公共边，∴△POE≌△ POF，∴PF=PE=6．故选 C．点评：此题考查学生对角平分线性质和全等三角形的判定与性质的理解和掌握，解答此题的关键是求证△ POE≌△ POF．12．（ 2013 秋 ?马尾区校级期末）如图，△ ABC中，DE 是 AB 的垂直平分线，交 BC 于点 D，交 AB 于点 E，已知 AE=1cm，△ ACD 的周长为 12cm，则△ ABC的周长是（）A 13cmB 14cmC 15cmD 16cm．．．．考线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有点：分要求△ ABC的周长，先有AE 可求出 AB，只要求出 AC+BC即可，根据线段垂直平分析：线的性质可知， AD=BD，于是 AC+BC=AC+CD+AD等于△ ACD 的周长，答案可得．解解：∵ DE 是 AB 的垂直平分线，答：∴ AD=BD，AB=2AE=2又∵△ ACD的周长 =AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=12∴△ ABC的周长是12+2=14cm ．故选 B点此题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端评：点的距离相等；进行线段的等效转移，把已知与未知联系起来是正确解答本题的关键．13．（ 2013 秋 ?西城区期末）如图，∠BAC=130°，若 MP 和 QN 分别垂直平分AB 和 AC，则∠ PAQ等于（）A 50°B 75°C 80°D 105°．．．．考线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有点：分根据线段垂直平分线性质得出BP=AP，CQ=AQ，推出∠ B=∠ BAP，∠ C=∠ QAC，求析：出∠ B+∠ C，即可求出∠ BAP+∠ QAC，即可求出答案．解解：∵ MP 和 QN 分别垂直平分AB 和 AC，答：∴ BP=AP，CQ=AQ，∴∠ B=∠ PAB，∠ C=∠ QAC，∵∠ BAC=130°，∴∠ B+∠ C=180°﹣∠ BAC=50°，∴∠ BAP+∠ CAQ=50°，∴∠ PAQ=∠ BAC﹣（∠ PAB+∠ QAC） =130°﹣ 50° =80°，故选： C．点本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，注评：意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，等边对等角．14．（ 2014 秋 ?东莞市校级期中）如图，要用“HL”判定 Rt△ ABC和 Rt△ A′ B′ C′全等的条件是（）A AC=A′ C′，B∠ A=∠A′，．BC=B′ C′．AB=A′B′C AC=A′ C′，D∠ B=∠ B′，．AB=A′ B′．BC=B′ C′考直角三角形全等的判定．菁优网版权所有点：分根据直角三角形全等的判定方法（HL）即可直接得出答案．析：解答：解：∵在 Rt△ ABC和 Rt△ A′ B′ C′中，如果 AC=A′C′， AB=A′ B′，那么BC一定等于Rt△ABC 和 Rt△ A′ B′ C′一定全等，B′ C′，点评：故选 C．此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．15．（ 2014 秋 ?淄川区校级期中）如图，交 MN 于 P 点，则（）MN 是线段AB 的垂直平分线， C 在 MN 外，且与 A 点在MN 的同一侧，BCA BC＞ PC+APB BC＜ PC+APC BC=PC+APD BC≥ PC+AP．．．．考点：线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有分析：从已知条件进行思考，根据垂直平分线的性质可得通过等量代换得到答案．解答：解：∵点P 在线段 AB 的垂直平分线上，PA=PB，结合图形知BC=PB+PC，∴PA=PB．∵ BC=PC+BP，∴BC=PC+AP．故选 C．点评：本题考查了垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；结合图形，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．16．（ 2014 秋 ?万州区校级期中）如图，已知在△ABC中， AB=AC， D 为 BC 上一点， BF=CD， CE=BD，那么∠ EDF等于（）A90°﹣∠ A B C 180 °﹣∠ A D．90°﹣∠ A 45°﹣∠ A ．．．考点：等腰三角形的性质．菁优网版权所有分析：由 AB=AC，利用等边对等角得到一对角相等，再由BF=CD，BD=CE，利用 SAS得到三角形FBD 与三角形 DEC全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，即可表示出∠ EDF．解答：解：∵ AB=AC，∴∠ B=∠ C°，在△ BDF 和△ CED中，，∴△ BDF≌△ CED（ SAS），∴∠ BFD=∠ CDE，∴∠ FDB+∠ EDC=∠ FDB+∠ BFD=180°﹣∠B=180°﹣=90° + ∠ A，则∠ EDF=180°﹣（∠FDB+∠ EDC） =90°﹣∠A．故选 B．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．17．（2014 秋 ?泰山区校级期中）如图，在△ABC中， AB=AC，AD 平分∠ BAC，那么下列结论不一定成立的是（）A △ ABD≌△B AD 是△ ABC．ACD ．的高线C AD 是△ ABC D △ ABC是等边．的角平分线．三角形考点：等腰三角形的性质．菁优网版权所有分析：利用等腰三角形的性质逐项判断即可．解答：解：A、在△ ABD 和△ ACD中，，所以△ ABD≌△ACD，所以A正确；B、因为 AB=AC， AD 平分∠ BAC，所以 AD 是 BC边上的高，所以 B 正确；C、由条件可知 AD 为△ ABC的角平分线；D、由条件无法得出 AB=AC=BC，所以△ ABC不一定是等边三角形，所以 D 不正确；故选 D．点评：本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．18．（ 2014 秋 ?晋江市校级月考）如图，点P 是△ ABC内的一点，若PB=PC，则（）A 点 P 在∠ABC ．的平分线上C点 P 在边 AB．的垂直平分线上B 点 P 在∠ ACB ．的平分线上D点 P 在边 BC ．的垂直平分线上考点：线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有分析：根据到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上由PC=PB即可得出 P 在线段 BC 的垂直平分线上．解答：解：∵ PB=PC，∴P 在线段 BC 的垂直平分线上，故选 D．点评：本题考查了角平分线的性质和线段垂直平分线定理，注意：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，角平分线上的点到角的两边的距离相等．19．（2013?河西区二模）如图，在∠ ECF的两边上有点B，A，D，BC=BD=DA，且∠ ADF=75°，则∠ ECF的度数为（）A 15°B 20°C 25°D 30°．．．．考等腰三角形的性质．菁优网版权所有点：分根据等腰三角形的性质以及三角形外角和内角的关系，逐步推出∠ECF的度数．析：解解：∵ BC=BD=DA，答：∴∠ C=∠ BDC，∠ ABD=∠ BAD，∵∠ ABD=∠ C+∠ BDC，∠ ADF=75°，∴3∠ ECF=75°，∴∠ ECF=25°．故选： C．点考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形外角和内角的运评：用．20．（ 2013 秋 ?盱眙县校级期中）如图，P 为∠ AOB 的平分线OC上任意一点，PM⊥ OA 于 M， PN⊥ OB 于 N，连接MN 交 OP 于点 D．则① PM=PN，② MO=NO ，③ OP⊥ MN，④ MD=ND．其中正确的有（）A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个．．．．考角平分线的性质．菁优网版权所有点：分由已知很易得到△OPM≌△ OPN，从而得角相等，边相等，进而得△OMP≌△ ONP，析：△ PMD≌△ PND，可得 MD=ND，∠ ODN=∠ ODM=9O°，答案可得．解解： P 为∠ AOB 的平分线 OC上任意一点， PM⊥ OA 于 M ，PN⊥OB 于 N答：连接 MN 交 OP 于点 D，∴∠ MOP=∠ NOP，∠ OMP=∠ ONP， OP=OP，∴△ OPM≌△ OPN，∴ MP=NP， OM=ON ，又 OD=OD∴△ OMD≌△ OND，∴ MD=ND，∠ ODN=∠ ODM=9O°，∴ OP⊥ MN∴① PM=PN，② MO=NO，③ OP⊥ MN ，④ MD=ND 都正确．故选 D．点本题主要考查了角平分线的性质，即角平分线上的一点到两边的距离相等；发现并评：利用△ OMD ≌△ OND 是解决本题的关键，证明两线垂直时常常通过证两角相等且互补来解决．二．解答题（共10 小题）21．（ 2014 秋 ?黄浦区期末）如图，已知ON 是∠ AOB 的平分线， OM、 OC是∠ AOB 外的射线．（ 1）如果∠ AOC=α，∠ BOC=β，请用含有α，β的式子表示∠NOC．（ 2）如果∠ BOC=90°， OM 平分∠ AOC，那么∠ MON 的度数是多少考点：角平分线的定义．菁优网版权所有分析：（ 1）先求出∠ AOB=α﹣β，再利用角平分线求出∠ AON，即可得出∠ NOC；（ 2）先利用角平分线求出∠ AOM= ∠ AOC，∠ AON= ∠AOB，即可得出∠ MON=∠BOC．解答：解：（1 ）∵∠ AOC=α，∠ BOC=β，∴∠ AOB=α﹣β，∵ON 是∠ AOB 的平分线，∴∠ AON= （α﹣β），∠ NOC=α﹣（α﹣β）=（α +β）；（2）∵ OM 平分∠ AOC， ON 平分∠ AOB，∴∠ AOM= ∠AOC，∠ AON= ∠ AOB，∴∠ MON=∠ AOM﹣∠ AON= （∠ AOC﹣∠ AOB） = ∠ BOC= × 90°=45°．点评：本题考查了角平分线的定义和角的计算；弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键．22．（ 2014 秋 ?阿坝州期末）如图，已知： E 是∠ AOB 的平分线上一点， EC⊥ OB， ED⊥ OA， C、 D 是垂足，连接 CD，且交 OE 于点 F．（1）求证： OE 是 CD 的垂直平分线．（2）若∠ AOB=60°，请你探究 OE， EF之间有什么数量关系并证明你的结论．考点：线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有专题：探究型．分析：（ 1）先根据 E 是∠ AOB 的平分线上一点， EC⊥ OB，ED⊥ OA 得出△ ODE≌△ OCE，可得出 OD=OC，DE=CE， OE=OE，可得出△ DOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出OE是 CD 的垂直平分线；（ 2）先根据 E 是∠ AOB 的平分线，∠AOB=60°可得出∠ AOE=∠ BOE=30°，由直角三角形的性质可得出OE=2DE，同理可得出DE=2EF即可得出结论．解答：解：（ 1）∵ E 是∠ AOB 的平分线上一点，EC⊥ OB， ED⊥ OA，∴ DE=CE， OE=OE，∴ Rt△ ODE≌ Rt△ OCE，∴ OD=OC，∴△ DOC是等腰三角形，∵ OE是∠ AOB 的平分线，∴ OE是 CD的垂直平分线；（ 2）∵ OE是∠ AOB 的平分线，∠AOB=60°，∴∠ AOE=∠BOE=30°，∵EC⊥ OB，ED⊥OA，∴OE=2DE，∠ ODF=∠OED=60°，∴∠ EDF=30°，∴DE=2EF，∴OE=4EF．点评：本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键．23．（ 2014 秋 ?花垣县期末）如图，在△ ABC中，∠ ABC=2∠C，BD 平分∠ ABC， DE⊥ AB（E 在 AB 之间）， DF⊥BC，已知 BD=5， DE=3， CF=4，试求△ DFC的周长．考点：角平分线的性质．菁优网版权所有分析：根据角平分线的性质可证∠ ABD=∠ CBD，即可求得∠ CBD=∠ C，即 BD=CD，再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求得DE=DF，即可解题．解答：解：∵∠ ABC=2∠ C， BD 平分∠ ABC，∴∠ CBD=∠ C，∴ BD=CD，∵ BD 平分∠ ABC，∴ DE=DF，∴△ DFC的周长 =DF+CD+CF=DE+BD+CF=3+5+4=12．点评：本题考查了角平分线上点到角两边距离相等的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形周长的计算，本题中求证DE=DF是解题的关键．24．（ 2014 秋 ?大石桥市期末）如图，点 D 是△ ABC中 BC 边上的一点，且AB=AC=CD， AD=BD，求∠ BAC的度数．考点：等腰三角形的性质．菁优网版权所有分析：由AD=BD得∠ BAD=∠DBA，由AB=AC=CD得∠ CAD=∠CDA=2∠DBA，∠ DBA=∠C，从而可推出∠ BAC=3∠ DBA，根据三角形的内角和定理即可求得∠ DBA 的度数，从而不难求得∠ BAC的度数．解答：解：∵ AD=BD∴设∠ BAD=∠ DBA=x°，∵AB=AC=CD∴∠ CAD=∠ CDA=∠BAD+∠ DBA=2x°，∠ DBA=∠ C=x°，∴∠ BAC=3∠DBA=3x°，∵∠ ABC+∠ BAC+∠ C=180°∴5x=180°，∴∠ DBA=36°∴∠ BAC=3∠DBA=108°．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用能力；求得角之间的关系利用内角和求解是正确解答本题的关键．25．（ 2014 秋 ?安溪县期末）如图，在△ABC中， AB=AC，∠ A=α．（ 1）直接写出∠ABC的大小（用含α的式子表示）；（ 2）以点 B 为圆心、 BC 长为半径画弧，分别交AC、 AB 于 D、 E 两点，并连接BD、 DE．若=30°，求∠ BDE 的度数．考点：等腰三角形的性质．菁优网版权所有分析：（1）根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可求得∠ABC 的大小；（ 2）根据等腰三角形两底角相等求出∠BCD=∠ BDC，再求出∠ CBD，然后根据∠ABD=∠ ABC﹣∠ CBD，求得∠ ABD，再根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质计算即可得解．解答：解：（1）∠ ABC的大小为×（ 180°﹣α） =90°﹣α；（ 2）∵ AB=AC，∴∠ ABC=∠ C=90°﹣α =90°﹣× 30° =75°，由题意得： BC=BD=BE，由BC=BD得∠ BDC=∠ C=75°，∴∠ CBD=180°﹣ 75°﹣ 75° =30°，∴∠ ABD=∠ ABC﹣∠ CBD=75°﹣ 30° =45°，由 BD=BE得．点评：故∠ BDE 的度数是°．本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．26．（ 2014 秋 ?静宁县校级期中）如图，在△ABC中， AD 平分∠ BAC，点 D 是BC 的中点，DE⊥ AB 于点E， DF⊥ AC 于点F．求证：（ 1）∠ B=∠C．（ 2）△ ABC 是等腰三角形．考等腰三角形的判定．菁优网版权所有点：分由条件可得出 DE=DF，可证明△ BDE≌△ CDF，可得出∠ B=∠ C，再由等腰三角形的析：判定可得出结论．解证明：（ 1）∵ AD 平分∠ BAC， DE⊥AB 于点 E， DF⊥ AC 于点 F，答：∴ DE=DF，在Rt△ BDE和 Rt△CDF中，，∴Rt△ BDE≌ Rt△ CDF（ HF），∴∠ B=∠C；（ 2）由（ 1）可得∠ B=∠C，∴△ ABC 为等腰三角形．点本题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性质，利用角平分线的性质评：得出 DE=DF是解题的关键．27．（ 2012 秋 ?天津期末）如图， AB=AC，∠ C=67°， AB 的垂直平分线EF交 AC 于点 D，求∠ DBC的度数．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有分析：求出∠ ABC，根据三角形内角和定理求出∠A，根据线段垂直平分线得出AD=BD，求出∠ ABD，即可求出答案．解答：解：∵ AB=AC，∠ C=67°，∴∠ ABC=∠ C=67°，∴∠ A=180°﹣ 67°﹣ 67° =46°，∵EF是 AB 的垂直平分线，∴ AD=BD，∴∠ A=∠ ABD=46°，∴∠ DBC=67°﹣ 46°=21°．点评：本题考查了线段垂直平分线，三角形的能或定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，关键是求出∠ ABC和∠ ABD 的度数，题目比较好．28．（ 2013 秋 ?高坪区校级期中）如图，△ABC 中， AB=AD=AE，DE=EC，∠ DAB=30°，求∠ C 的度数．考点：分析：解答：点评：等腰三角形的性质．菁优网版权所有首先根据AB=AD=AE， DE=EC，得到∠ B=∠ ADB，∠ ADE=∠ AED，∠ C=∠ EDC，从而得到∠ ADE=∠ AED=∠ C+∠ EDC=2∠ C，根据∠ DAB=30°，求得∠ B=∠ ADB=75°，利用∠ ADC=∠ ADE+∠ EDC=3∠ C=105°，求得∠ C 即可．解：∵ AB=AD=AE， DE=EC，∴∠ B=∠ ADB，∠ ADE=∠ AED，∠ C=∠ EDC，∴∠ ADE=∠ AED=∠ C+∠ EDC=2∠ C，∵∠ DAB=30°，∴∠ B=∠ ADB=75°，∴∠ ADC=∠ ADE+∠EDC=3∠ C=105°，∴∠ C=35°．本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质求得有关角的度数．29．（ 2012 春 ?扶沟县校级期中）阅读理解：“在一个三角形中，如果角相等，那么它们所对的边也相等．角对等边”，如图，在△ ABC 中，已知∠ ABC 和∠ ACB的平分线上交于点F，过点 F 作 BC 的平行线分别交于点 D、 E，请你用“等角对等边”的知识说明DE=BD+CE．”简称“等AB、 AC考等腰三角形的性质．菁优网版权所有点：专证明题．题：分由 DE∥ BC， BF平分∠ ABC，CF平分∠ ACB可知， DB=DF， CE=EF．便可得出结论．析：解证明：∵ BF 平分∠ ABC（已知）， CF 平分∠ ACB（已知），答：∴∠ ABF=∠ CBF，∠ ACF=∠ FCB；又∵ DE 平行 BC（已知）∴∠ DFB=∠ FBC（两直线平行，内错角相等），∠ EFC=∠FCB（两直线平行，内错角相等），∴∠ DBF=∠ DFB，∠ EFC=∠ECF（等量代换）∴DF=DB， EF=EC（等角对等边）∴DE=BD+CE．点此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线的性质的理解和掌握，主要利评：用等腰三角形两边相等．稍微有点难度是一道中档题．30．（ 2011?龙岩质检）如图， AD 是△ ABC 的平分线， DE， DF 分别垂直 AB、 AC于 E、 F，连接 EF，求证：△ AEF是等腰三角形．考等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有点：专证明题．题：分根据角平分线的性质知∠ BAD=∠ CAD；然后根据已知条件“ DE，DF 分别垂直 AB、析：AC 于 E、 F”得到∠ DEA=∠ DFA=90°；再加上公共边AD=AD，从而证明，△ ADE≌△ ADF；最后根据全等三角形的对应边相等证明△AEF的两边相等，所以△ AEF是等腰三角形．解证明：∵ AD 是△ ABC的平分线，答：∴∠ BAD=∠CAD，（3 分）又∵ DE， DF 分别垂直 AB、 AC 于 E， F∴∠ DEA=∠ DFA=90°（ 6 分）又∵ AD=AD，∴△ ADE≌△ ADF．（ 8 分）∴ AE=AF，即△ AEF是等腰三角形（ 10 分）点评：本题综合考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质．解答此题时，根据全等三角形的判定定理 ASA判定△ ADE≌△ ADF．。
专练06 三角形中有关角的计算与证明-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(全国通用)(解析版)
专练06三角形中有关角的计算与证明1.已知△ABC ，点P 为其内部一点，连结PA 、PB 、PC ，在△PAB ，△PBC 和△PAC 中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC 的三个内角分别相等，那么就称点P 为△ABC 的等角点.（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真”；反之，则写“假”. ①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点；________命题； ②任意的三角形都存在等角点；________命题.（2）如图 ①，点P 是△ABC 的等角点，若∠BAC=∠PBC ，探究图 ①中∠BPC ，∠ABC ，∠ACP 之间的数量关系，并说明理由；（3）如图②，在△ABC 中，∠BAC<∠ABC<∠ACB ，若△ABC 的三个内角的角平分线的交点P 是该三角形的等角点，直接写出△ABC 三个内角的度数.【答案】 （1） ①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点，是真命题； ②任意的三角形都存在等角点是假命题，如等边三角形不存在等角点； 故答案为：1、真，2、假.（2）解：如图①，∵△ABC 中， ∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP ， ∠BAC=∠PBC ，∴∠BPC=∠ABP+∠PBC+∠ACP =∠ABC+∠ACP. （3）∵P 为三角形内角平分线的交点， ∵∠PBC=12∠ABC ，∠PCB=12∠ACB ， ∵P 为△ABC 的等角点，∴∠PBC=∠A，∴∠ABC=2∠PBC=2∠A，∴∠BCP=∠ABC=2∠A，∴∠ACB=2∠BCP=4∠A，又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A+2∠A+4∠A=180°，∴∠A=180°7，∴该三角形的三个内角的度数分别为：180°7，360°7，720°7.故答案为：180°7，360°7，720°7.2.将一块直角三角板XYZ放置在AABC上，使得该三角板的两条直角边XY，XZ恰好分别经过点B，C.（1）如图1，当∠A=45°时，∠ABC+∠ACB=________度，∠ABX+∠ACX=________度.（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使该三角板的两条直角边XY，XZ仍然分别经过点B，C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否发生变化？若变化，请举例说明，若没有变化，请探究∠ABX+∠ACX与∠A的关系.【答案】（1）在三角形ABC中，∵∠A=45°∴∠ABC+∠ACB=180°-45°=135°∵∠A=45°∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-45°=135°∵∠YXZ=90°∴∠XBC+∠XCB=90°∴∠ABX+∠ACX=135°-90°=45°（2）解：不变化，∠ABX+∠ACX =90°-∠A，理由如下∵∠x =90°,∴∠XBC+∠XCB =90°∵∠A+∠ABC+∠ACB =180°,∴∠ABX+∠ACX =(∠ABC-∠XBC)+(∠ACB-∠XCB)=(∠ABC+∠ACB)-(∠XBC+∠XCB)=180°-∠A-90°=90°-∠A3.如图（1）如图，请证明∠A+∠B+∠C＝180°（2）如图的图形我们把它称为“8字形”，请证明∠A+∠B＝∠C+∠D（3）如图，E在DC的延长线上，AP平分∠BAD，CP平分∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D之间的关系，并证明（4）如图，AB∥CD，PA平分∠BAC，PC平分∠ACD，过点P作PM、PE交CD于M，交AB于E，则①∠1+∠2+∠3+∠4不变；②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不变，选择正确的并给予证明.【答案】（1）证明：如图1，延长BC到D，过点C作CE∥BA，∵BA∥CE，∴∠B＝∠1，∠A＝∠2，又∵∠BCD＝∠BCA+∠2+∠1＝180°，∴∠A+∠B+∠ACB＝180°；（2）证明：如图2，在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°，∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D；（3）解：如图3，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵（∠1+∠2）+∠B＝（180°﹣2∠3）+∠D，∠2+∠P＝（180°﹣∠3）+∠D，∴2∠P＝180°+∠D+∠B，∴∠P＝90°+ 1（∠B+∠D）；2（4）解：②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不变正确.理由如下：作PQ∥AB，如图4，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，由AB∥PQ得∠APQ+∠3+∠4＝180°，即∠APQ＝180°﹣∠3﹣∠4，由PQ∥CD得∠5＝∠2，∵∠APQ+∠5+∠1＝90°，∴180°﹣∠3﹣∠4+∠2+∠1＝90°，∴∠3+∠4﹣∠1﹣∠2＝90°.4.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），在AD的右侧作△ACE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE.（1）当D在线段BC上时，①求证：△BAD≌△CAE.②请判断点D在何处时，AC⊥DE，并说明理由.（2）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为26°，求∠ADB的度数.【答案】（1）解：①∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，在△ABD和△ACE中，{AB=AC∠DAB=∠EACAD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）；②如图，连接DE，若AC⊥DE，又∵AD＝AE，∴AC平分∠DAE，∴∠DAB＝∠CAE＝∠CAD，∴AD平分∠CAB，又∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴当点D在BC中点时，AC⊥DE；（2）解：当CE∥AB时，则有∠ABC＝∠ACE＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，①如图1：此时∠BAD＝26°，∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠B＝180°﹣26°﹣60°＝94°.②如图2，此时∠ADB＝26°，③如图3，此时∠BAD＝26°，∠ADB＝60°﹣26°＝34°.④如图4，此时∠ADB＝26°.综上所述，满足条件的∠ADB的度数为26°或34°或94°5.如图，P是等腰△ABC内一点，AB=BC，连接PA，PB，PC．图1 图2（1）如图1，当∠ABC=90°时，PA=2，PB=4，PC=6，求∠APB．（2）如图2，当∠ABC=60°时，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB．【答案】（1）解：将△APB沿点B顺时针旋转90°，得到△BCP′，连接PP′，可得∠P′BP=90°，且BP=BP′=4，∴△BPP′为等腰直角三角形，∴∠BP′P=45°，PP′=4√2，在△PP′C中，PC2=62=36，P′C2+P′P2=22+(4√2)2=4+32=36，∴PC2=P′C2+P′P2，∴△PP′C为直角三角形且∠PP′C=90°，∴∠BP′C=90°，∴∠BP′C=∠BP′P+∠BP′C=45°+90°=135°，又∵旋转，∴∠APB=∠BP′C=135°（2）解：将△APB沿点B顺时针旋转60°得到△BCP′，连接PP′，可得：BP′=BP=4，∠PBP′=60°∴△PBP′为等边三角形，∴∠BP′P=60°，PP′=4，在△PP′C中，PP′2+P′C2=42+32=25，CP2=52=25，∴△PP′C为直角三角形且∠PP′C=90°，∴∠BP′C=∠BP′P+∠PP′C=60°+90°=150°，∴∠APB=∠BP′C=150°6.如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝40°，AD、BE交于点H，连接CH．（1）求证：ΔACD≌ΔBCE；（2）求证：CH 平分∠AHE；（3）求∠CHE的度数．【答案】（1）证明；∵∠ACB=∠DCE＝40°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，{CA=CB∠ACD=∠BCECD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）（2）证明；过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAM=∠CBN，在△ACM和△BCN中，{∠CAM=∠CBN∠AMC=∠BNC=90°AC=BC，∴△ACM≌△BCN（AAS），∴CM=CN，∴CH平分∠AHE（3）解；∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵∠AMC=∠AMC，∴∠AHB=∠ACB=40°，∴∠AHE=180°-40°＝140°，∠AHE=70º∴∠CHE= 127.我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B=∠C+∠D．（1）性质理解：如图2，在“对顶三角形” △AOB与△COD中，∠EAO=∠C，∠D=2∠B，求证：∠EAB=∠B；（2）性质应用：①如图3，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为；②如图4，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠BOD=∠A．若∠ECD比∠DBE大20∘，求∠BDO的度数；（3）拓展提高：如图5，已知BE，CD是△ABC的角平分线，且∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，设∠A=α，求∠P的度数（用α表示∠P）．【答案】（1）证明：据题意，得∠BAO+∠B=∠C+∠D，∴∠BAO−∠C=∠D−∠B，∵∠EAO=∠C，∠D=2∠B，∴∠BAE=∠B（2）解：①∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠C+∠B+∠E+∠D=∠FGD+∠GFD+∠D=180°；故答案为：180°；②由题意得∠ECD−∠DBE=20°，由（1）得∠EBD+∠BDO=∠ECO+∠OEC，∴∠BDO−∠OEC=20°，∵∠BOD=∠A，∴∠A+∠DOE=180°，故∠ADO+∠AEO=180°，∵∠AEO+∠CEO=∠BDO+∠ADO=180°，∴∠BDO=∠AEO，∴∠BDO+∠CEO=180°，∵∠BDO−∠OEC=20°，∴∠BDO=100°；（3）解：∠P=180∘−α4，理由如下：∵∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，∴∠BDP=∠CDP，∠BEP=∠CEP，由（1）得∠BDP+∠DBE=∠BEP+∠P①，∠CDP+∠P=∠CEP+∠DCE②，由①−②得∠DBE−∠P=∠P−∠DCE，∴∠P=12(∠DBE+∠DCE)，即∠P=14(∠ABC+∠ACB)，∴∠P=14(180°−∠A)=180°−α48.已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=________；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=________；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB=________；（2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB=________（用含α的式子表示）；（3）将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明.【答案】（1）如图1，CA=CD，∠ACD=60°，所以△ACD是等边三角形.∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，所以△ECB是等边三角形.∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE，又∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACE=∠BCD.∵AC=DC，CE=BC，∴△ACE≌△DCB.∴∠EAC=∠BDC.∠AFB是△ADF的外角.∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°.如图2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB，∴△ACE≌△DCB.∴∠AEC=∠DBC，又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°，∴∠EFD=90°.∴∠AFB=90°.如图3，∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD﹣∠DCE=∠BCE﹣∠DCE.∴∠ACE=∠DCB.又∵CA=CD，CE=CB，∴△ACE≌△DCB.∴∠EAC=∠BDC.∵∠BDC+∠FBA=180°﹣∠DCB=180°﹣（180﹣∠ACD）=120°，∴∠FAB+∠FBA=120°.∴∠AFB=60°.故答案为：120°，90°，60°；（2）∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE.∴∠ACE=∠DCB.∴∠CAE=∠CDB.∴∠DFA=∠ACD.∴∠AFB=180°﹣∠DFA=180°﹣∠ACD=180°﹣α.故答案为：180°﹣α；（3）解：∠AFB=180°﹣α；证明：∵∠ACD=∠BCE=α，则∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB.在△ACE和△DCB中{AC=DC∠ACE=∠DCBCE=CB，则△ACE≌△DCB（SAS）.则∠CBD=∠CEA，由三角形内角和知∠EFB=∠ECB=α.∠AFB=180°﹣∠EFB=180°﹣α.9.己知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足PQPC=AQAB(如图1所示)（1）当AD=2，且点Q与点B重合时(如图2所示)，求线段PC的长；（2）在图1中，联结AP，当AD= 32，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，S△APQS△PBC=y，其中S△APQ表示S△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；（3）当AD<AB，且点Q在线段AB的延长线上时(如图3所示)，求∠QPC的大小【答案】（1）解：∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠BAD=∠ABC=90°，当AD=2时，AD=AB，∴∠D=∠ABD=45°，∴∠PQC=∠D=45°，∵PQPC =AQAB，∴PQ=PC，∴∠C=∠PQC=45°，∴∠BPC=90°，∴PC=BC·sin45°=3√22（2）解：如图，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，∵∠ABC=90°， ∴四边形EBFP 是矩形， ∴PF=BE ， 又∵∠BAD=90°， ∴PE ∥AD ，∴Rt △BEP ∽Rt △BAD ， ∴BE BA =EPAD ， ∴BEEP =BAAD =232=43， 设BE=4k ，则PE=3k ， ∴PF=BE=4k ，∵BQ=x ，AQ=AB-BQ=2-x ，∴S △APQ =12AQ·PE=12（2-x ）·3k ，S △PBC =12BC·PF=12×3×4k=6k ， ∵S △APQS △PBC=y ，∴12（2−x ）·3k 6k =y ，∴y=2−x 4（0≤x ≤78）；（3）解：∵Rt △BEP ∽Rt △BAD ， ∴BE BA =EPAD ，∴BEEP =BAAD ∴PFEP =BAAD ， ∵PCPQ =BAAD ， ∴PFEP =PCPQ ， ∴Rt △PCF ∽Rt △PQE ， ∴∠FPC=∠EPQ ，∵∠EPQ+∠QPF=∠EPF=90°，∴∠FPC+∠QPF=90°，即∠QPC=90°。
中考数学三角形证明题(中等难度偏上)含答案
∴ΔADO≌ΔCDB (SAS)
∴AO=BC,∠OAD=∠BCD（全等三角形对应边、对应角相等）
∵∠AOD＝∠COE（对顶角相等）∴∠COE+∠OCE=90o∴AO⊥BC
5.过D点作DF∥AC交BE于F点∵△ABC为等边三角形∴△BFD为等边三角形
F=BF－AF即EF=AB∴EF=AC
在△ACE和△DFE中，
∴△AEC≌△FED（SAS）∴EC=ED（全等三角形对应边相等）
7.8都省略
∴BF=FC（全等三角形对应边相等）
2.先证ΔABF≌ΔCDE（SAS），得到∠C＝∠A，AB∥CD（内错角相等两直线平行）
3.提示：取CD中点F
∴BF=AC,且BF∥AC∴∠ACB＝∠2又∵AB=AC∴∠ACB＝∠3∴∠3＝∠2在ΔCEB与ΔCFB中，
∴ΔCEB≌ΔCFB (SAS)∴CE=CF=CD（全等三角形对应边相等）即CD=2CE
全等三角形练习题
1.如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC
2：已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AE=CF.
求证：AB∥CD
3：如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE.求证：CD=2CE
4：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，ΔADC、ΔBDO为等腰三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。
5如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE、DE.求证：EC=ED
6.在△ABC中，AD为BC边上的中线．求证：AD<(AB+AC)
7.已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB＝OC．
初三数学解直角三角形试题
初三数学解直角三角形试题1.一公路大桥引桥长100米，已知引桥的坡度i=1：3，那么引桥的铅直高度为米（结果保留根号）．【答案】10.【解析】根据坡度的定义：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，求解即可．试题解析：如图：由题意得，桥长AB=10米，∵BC：AC=1：3，∴设BC=x，AC=3x，则AB=解得：x=10【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．2.如图，若△ABC和△DEF的面积分别为、，则A．B．C．D．【答案】D．【解析】在两个图形中分别作BC、EF边上的高，求出、，比较即可．如图，过点A、D分别作AG⊥BC，DH⊥EF，垂足分别为G、H，在Rt△ABG中，AG="ABsinB=5×sin" 40°="5sin" 40°，在Rt△DHE中，∠DEH=180°﹣130°=50°，DH=DEsin∠DEH="5sin" 40°，∴AG=DH．∵BC=8，EF=5，∴．故选D．【考点】解直角三角形．3.在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】∵∠C=90°，∠A=40°，∴∠B=50°.∵BC=3，，∴.故选D.【考点】1.直角三角形两锐角的关系；2.锐角三角函数定义.4.如图，从热气球P上测得两建筑物A、B的底部的俯角分别为45°和30°，如果A、B两建筑物的距离为60米，P点在地面上的正投影恰好落在线段AB上，求热气球P的高度．（结果保留根号）【答案】（30-30）米．【解析】过P作AB的垂线，设垂足为G．分别在Rt△APG和Rt△BPG中，用PG表示出AG、BG的长，进而由AB=AG+BG=90求得PC的长，即热气球P的高度．试题解析：过点P作PG⊥AB与点G，设PG=x，则AG=PG=x，BG=x，∴x+x=60，∴x=30-30．答：热气球P的高度是（30-30）米．考点: 解直角三角形的应用----仰角俯角问题．5.如图，在夕阳西下的傍晚，某人看见高压电线的铁塔在阳光的照射下，铁塔的影子的一部分落在小山的斜坡上，为了测得铁塔的高度，他测得铁塔底部B到小山坡脚D的距离为2米，铁塔在小山斜坡上的影长DC为3.4米，斜坡的坡度，同时他测得自己的影长NH﹦336cm，而他的身长MN为168cm，求铁塔的高度．【答案】AB=4.1米 .【解析】作AC的延长线交BD的延长线于E，作CF⊥DE，垂足为F．利用勾股定理和相似三角形的性质求出DF，FE，从而得到BE的长，再用相似三角形的性质求出AB即可．试题解析：过点C作CE⊥BD于点E，延长AC交BD延长线于点F在Rt△CDE中，∴设CE="8x" ,DE="15x" ，则CD=17x∵DC=3.4米∴CE=1.6米，DE=3米在Rt△MNH中，tan∠MHN∴在Rt△ABF中，tan∠F tan∠MHN∴EF=3.2米即BF=2+3+3.2=8.2米∴在Rt△CEF中，tan∠F∴AB=4.1米答：铁塔的高度是4.1米．【考点】1.解直角三角形的应用-坡度坡角问题；2.相似三角形的应用．6. tan60°的值等于A．1B．C．D．2【答案】C.【解析】试题解析：根据tan60°=即可得出答案．故选C.考点: 特殊角的三角函数值．7.如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D．若AC=6cm，则AD= cm．【答案】2.【解析】如图，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，AB的垂直平分线交AB于点F.∵在△ABC中，AB＝BC，∠B＝1200，AC＝6cm，∴∠A＝300，AE＝3cm。
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--相似三角形(含答案)
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--相似三角形1．如图所示，在矩形MBCN中，点A是边MN的中点，MB=6cm，BC=16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t(s)(0<t< 10)，解答下列问题：（1）求证：△AMB≌△ANC；（2）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；（3）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．2．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A、B、C、D四点均在正方形网格的格点上，线段AB、CD相交于点O．（1）请在网格图中画出两条线段（不添加另外的字母），构成一对相似三角形，并用“∽”符号写出这对相似三角形：（2）线段AO的长为．3．如图，在∽ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∽DAE=∽F.（1）求证：∽ABE∽∽ECF；（2）若AB=3，AD=7，BE=2，求FC的长.4．如图，已知：AD为∽ABC的中线，过B、C两点分别作AD所在直线的垂线段BE 和CF，E、F为垂足，过点E作EG∽AB交BC于点H，连结HF并延长交AB于点P。
（1）求证：DE=DF（2）若BH:HC=11:5；①求：DF:DA的值；②求证：四边形HGAP为平行四边形。
5．如图，在ΔABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=3,AC=6,AE=4,AB=8.（1）如果BC=7，求线段DE的长；（2）设ΔDEC的面积为a，求ΔBDC的面积（用a的代数式表示）.6．如图，∽ABC内接于∽O且AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝CA，连接AD交∽O于点E，连接BE、CE．（1）求证：∽ABE∽∽CDE；（2）填空：①当∽ABC的度数为时，四边形AOCE是菱形；②若AE ＝6，EF＝4，DE的长为．7．如图，在直角坐标系中，直线y=−2x+4分别交x轴，y轴于点E，F，交直线y=x于点P，过线段OP上点A作x轴，y轴的平行线分别交y轴于点C，直线EF 于点B.（1）求点P的坐标.（2）当AC=AB时，求点P到线段AB的距离.8．如图，Rt∽ABC中，∽ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA 边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若∽BPQ与∽ABC相似，求t的值；（2）连接AQ，CP，若AQ∽CP，求t的值．9．已知：四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC平分∽BAD.（1）如图1，求证：BC=CD;（2）如图1，若AD+AB= √2AC，四边形ABCD的面积为8，求AC的值；（3）如图2，连接BD，把∽ABD沿着BD翻折得到∽FBD，延长CF、AD交于点G, 若CG//BD, AD=2，求CG的长．10．如图，（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在∽ABC 中，点O 在线段BC 上，∽BAO ＝20°，∽OAC ＝80°，AO ＝ 6√3 ，BO ：CO ＝1：3，求AB 的长．经过社团成员讨论发现，过点B 作BD∽AC ，交AO 的延长线于点D ，通过构造∽ABD 就可以解决问题（如图2），请回答：∽ADB ＝ °，AB ＝ ． （2）请参考以上思路解决问题：如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AC∽AD ，AO ＝6 √3 ，∽ABC ＝∽ACB ＝75°，BO ：OD ＝1：3，求DC 的长．11．如图1，已知点O 在四边形ABCD 的边AB 上，且OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝2，OC 平分∽BOD ，与BD 交于点G ，AC 分别与BD 、OD 交于点E 、F ．（1）求证：OC∽AD ；（2）如图2，若DE ＝DF ，求AE AF的值； （3）当四边形ABCD 的周长取最大值时，求DE DF的值． 12．如图，在Rt∽ACB 中，∽C ＝90°，AC =4cm ，BC =3cm ，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为t(s)(0<t <2)，解答下列问题：（1）当t 为何值时，点A 在PQ 垂直平分线上？（2）当t为何值时，∽APQ为直角三角形？（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt∽ACB的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．13．如图，在直角坐标系中，直线AB分别与x轴、y轴交于B、A两点，OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+32=0的两个实数根，且OB＞OA，以OA为一边作如图所示的正方形AOCD，CD交AB于点P．（1）求直线AB的解析式；（2）在x轴上是否存在一点Q，使以P、C、Q为顶点的三角形与∽ADP相似？若存在，求点Q坐标；否则，说明理由；（3）设N是平面内一动点，在y轴上是否存在点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；否则，请说明理由．14．如图，AC、BD为∽O的直径，且AC∽BD，P、Q分别为半径OB、OA（不与端点重合）上的动点，直线PQ交∽O于M、N．（1）比较大小：cos∽OPQ sin∽OQP；（2）请你判断MP−NP与OP·cos∽OPQ之间的数量关系，并给出证明；（3）当∽APO=60°时，设MQ＝m·MP，NQ=n·NP．①求m+n的值；②以OD为边在OD上方构造矩形ODKS，已知OD＝1，OS＝√3−1，在Q点的移动过程中，1+√m+nMPMK−cMK恒为非负数，请直接写出实数c的最大值．15．如图，AB是∽O的直径，点C在∽O上，CD与∽O相切，AD∽BC，连结OD，AC．（1）求证：∽B=∽DCA；，OD= 3√6，求∽O的半径长．（2）若tanB= √5216．如图，∽O的弦AC与BD互相垂直于点E，OA交ED于点F．（1）如图（1），求证：∽BAC＝∽OAD；（2）如图（2），当AC＝CD时，求证：AB＝BF；（3）如图（3），在（2）的条件下，点P，Q在CD上，点P为CQ中点，∽POQ＝∽OFD，DF＝EC，DQ＝6，求AB的长．答案解析部分1．【答案】（1）证明：∵四边形MBCN是矩形，∴∠M=∠N=90°，MB=NC又∵点A是边MN的中点，∴AM=AN∴△AMB≌△ANC（2）解：分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G，如图：∴DF//AG，DFAG=BDAB∵△AMB≌△ANC∴AB=AC，∵MB=6 ，BC=16∴BG=8 ， ∴AG=6∴∴AB=AC=10∵AD=BE=t ，∴BD=10−t ，∴DF6=10−t10解得DF＝35(10−t)∵S△BDE＝12BE⋅DF＝7.5∴35(10−t)⋅t＝15解得t＝5．答：t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2．（3）解：存在．理由如下：①当BE=DE时，△BDE∽△BCA，BE AB=BDBC即t10=10−t16，解得t=5013，②当BD=DE时，△BDE∽△BAC，BE BC=BDAB即t16=10−t10，解得 t =8013． 答：存在时间t 为 5013或 8013 秒时，使得 △BDE 与 △ABC 相似． 2．【答案】（1）解：如图，连接AC ，BD ，由格点图可得BD∽AC ，∴△AOC ∽△BOD ，（2）3√223．【答案】（1）证明：如图.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∽CD ，AD∽BC.∴∽B=∽ECF ，∽DAE=∽AEB.又∵∽DAE=∽F ，∴∽AEB=∽F.∴∽ABE∽∽ECF.（2）解：∵∽ABE∽∽ECF ，∴AB EC =BE CF∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC=AD=8.∴EC=BC − BE=8 − 2="6."∴56=2CF. ∴CF =125. 4．【答案】（1）证明：∵AD 是∽ABC 的中线，∴BD ＝CD ， ∵∽FDC 和∽EDB 是对顶角，∴∽FDC ＝∽EDB ，又∵BE∽AE ，CF∽AE ，∴∽DFC ＝∽DEB ＝90°， ∴∽BDE∽∽CDF （AAS ），∴DE=DF（2）解：设 BH =11x,HC =5x 则 BD =CD =12BC =8x DH =3x,HC =5x①∵EH∽AB∴∽EDH∽∽ADB ∴DE DA =DH DB =38∵DE =DF ∴DF DA =38②∵DF DA =38∴DF FA =35∵DH HC =35∴FH∽AC ∴PH∽AC ∵EG∽AB ∴四边形HGAP 为平行四边形 5．【答案】（1）解：∵AD =3,AC =6,AE =4,AB =8 , ∴AD AC =AE AB =12, ∵∽A=∽A,∴∽ADE∽ACB,∴DE BC =12, ∵BC =7∴DE= 72（2）解：∵AE EC =46−4=2 ∴S △ADE S △EDC=AE EC =2 , ∵S △DEC =a ，∴S △ADE =2a∵∽ADE∽ACB∴S △ADE S △ACB =(12)2 , ∴2a S △BDC +a+2a=14 ， ∴S △BDE =5a .6．【答案】（1）证明：∵AB=AC ，CD=CA ， ∴∽ABC=∽ACB ，AB=CD ，∵四边形ABCE 是圆内接四边形，∴∽ECD=∽BAE ，∽CED=∽ABC ，∵∽ABC=∽ACB=∽AEB ，∴∽CED=∽AEB ，∴∽ABE∽∽CDE （AAS ）；（2）60°；97．【答案】（1）解：解 {y =−2x +4y =x 得， {x =43y =43，∴ 点P 的坐标为 (43,43) ； （2）解： ∵ 直线 y =−2x +4 分别交x 轴，y 轴于点E ，F ， ∴E(2,0) ， F(0, 4)，∴OE =2 ， OF =4 ， 延长BA 交x 轴于D ，设 A(a,a) ，∴AC =AB =a ，∵ 点A 在直线OP 上，∴AC =AD =a ，∴BD =2a ，∵BD//OF ，∴△EDB ∽ △EFO ，∴DE OE =BD OF， ∴2−a 2=2a 4 ， ∴a =1 ，∴ 点P 到线段AB 的距离 =43−1=13 . 8．【答案】（1）解：根据勾股定理得：BA= √62+82 分两种情况讨论：①当∽BPQ∽∽BAC 时， BP BA =BQ BC ， ∵BP=5t ，QC=4t ，AB=10，BC=8，∴5t 10=8−4t 8，解得，t=1， ②当∽BPQ∽∽BCA 时， BP BC =BQ BA， ∴5t 8=8−4t 10，解得，t= 3241 ； ∴t=1或 3241时，∽BPQ∽∽BCA （2）解：过P 作PM∽BC 于点M ，AQ ，CP 交于点N ，如图所示：则PB=5t ，PM=3t ，MC=8﹣4t ，∵∽NAC+∽NCA=90°，∽PCM+∽NCA=90°，∴∽NAC=∽PCM ，∵∽ACQ=∽PMC ，∴∽ACQ∽∽CMP ，∴AC CM =CQ MP， ∴68−4t =4t 3t ，解得t= 78．9．【答案】（1）证明：如图1，∵AC 平分∽BAD ，∴∽BAC ＝∽DAC ，∴BD =CD∴BC ＝CD ．（2）解：如图所示，延长AB 至点E ，使BE ＝AD ，连接EC ，∵四边形BACD 为圆的内接四边形，∴∽ABC+∽ADC ＝180°，∴∽EBC ＝∽ADC ，∵BC ＝CD ，∴∽ACD∽∽ECB （SAS ），∴EC ＝AC ，∵AD+AB ＝ √2 AC ，∴AE ＝ √2 AC ＝ √2 EC ，∴AC 2+EC 2＝AE 2，∴∽ECA ＝90°，∴S ⊿ACE = 12AC 2 =8， ∴AC=4．（3）解：∵∽ADB ＝∽FDB ，CF∽BD ，∴∽DFG ＝∽BDF ，∽G ＝∽BDA ，∴∽DFG ＝∽G ，∴AD ＝DF ＝DG ，∵AD ＝2，∴DF ＝DG ＝2，∴D 为AG 的中点，∵∽DCG ＝∽BDC ，∽BDC ＝∽BAC ＝∽CAG ，∴∽DCG ＝∽CAG ，又∵∽G ＝∽CGA ，∴∽DCG∽∽ACG ，∴DG CG =CG AG ,即 2CG =CG 4, ∴CG ＝2 √2 ．10．【答案】（1）80；8 √3（2）解：过点B 作BE∽AD 交AC 于点E ，如图3所示：∵AC∽AD ，BE∽AD ，∴∽DAC ＝∽BEA ＝90°，∵∽AOD ＝∽EOB ，∴∽AOD∽∽EOB ，∴BO OD =EO AO =BE DA∵BO ：OD ＝1：3，∴EO AO =BE DA =13∵AO ＝6 √3 ，∴EO ＝ 13AO ＝2 √3 ， ∴AE ＝AO+EO ＝6 √3 +2 √3 ＝8 √3 ，∵∽ABC ＝∽ACB ＝75°，∴∽BAC ＝30°，AB ＝AC ，∴AB ＝2BE ，在Rt∽AEB 中，BE 2+AE 2＝AB 2，即（8 √3 ）2+BE 2＝（2BE ）2，解得：BE ＝8，∴AB ＝AC ＝16，AD ＝3BE ＝24，在Rt∽CAD 中，AC 2+AD 2＝DC 2，即162+242＝DC 2，解得：DC ＝8 √13 ．11．【答案】（1）证明：∵AO ＝OD ，∴∽OAD ＝∽ADO ，∵OC 平分∽BOD ，∴∽DOC ＝∽COB ，又∵∽DOC+∽COB∽＝∽OAD+∽ADO ，∴∽ADO ＝∽DOC ，∴CO∽AD ；（2）解： ∵OA=OB=OC ，∴∽ADB=90°，∴∽AOD 和∽ABD 是等腰直角三角形，∴AD= √2AO ，∴AD AO =√2，∵DE=DF ，∴∽DFE=∽AED ，∵∽DFE=∽AFO ，∴∽AFO=∽AED ，∵∽AOF=∽ADE=90°，∴∽ADE∽∽AOF ，∴AE AF =AD AO = √2；（3）解：如图2，∵OD ＝OB ，∽BOC ＝∽DOC ，∴∽BOC∽∽DOC （SAS ），∴BC ＝CD ，设BC ＝CD ＝x ，CG ＝m ，则OG ＝2﹣m ，∵OB 2﹣OG 2＝BC 2﹣CG 2，∴4﹣（2﹣m ）2＝x 2﹣m 2，解得：m =14x 2 ，∴OG ＝2 −14x 2 ，∵OD ＝OB ，∽DOG ＝∽BOG ，∴G 为BD 的中点，又∵O 为AB 的中点，∴AD ＝2OG ＝4 −12x 2 ，∴四边形ABCD 的周长为2BC+AD+AB ＝2x+4 −12x 2+ 4 =−12x 2+ 2x+8=−12(x −2)2+ 10，∵−12< 0，∴x ＝2时，四边形ABCD 的周长有最大值为10．∴BC ＝2，∴∽BCO 为等边三角形，∴∽BOC ＝60°，∵OC∽AD ，∴∽DAC ＝∽COB ＝60°， ∴∽ADF ＝∽DOC ＝60°，∽DAE ＝30°，∴∽AFD ＝90°，∴DE DA =√33 ，DF =12DA ，∴DE DF =2√33 ．12．【答案】（1）解： ∵ 在 Rt △ACB 中，∽C=90°，AC =4cm ，BC =3cm ，∴AB =√AC 2+BC 2=√42+32=5(cm)，由题意得：BP =tcm ，AQ =2tcm ，∴AP =AB −BP =(5−t)cm ，当点A 在PQ 垂直平分线上时，则AP =AQ ，即 5−t =2t ，解得t =53， ∴当t =53时，点A 在PQ 垂直平分线上． （2）解：①当∠AQP =90°时，∠A =∠A ，∠AQP =∠C =90°，∴△AQP ∼△ACB ，∴AQ AC =AP AB ，即2t 4=5−t 5，解得t =107； ②当∠APQ =90°时，∠A =∠A ，∠APQ =∠C =90°，∴△APQ ∼△ACB ，∴AP AC =AQ AB ，即5−t 4=2t 5，解得t =2513， ∴综上所述，当t 为107或2513时，△APQ 为直角三角形． （3）解：如图，过点P 作PH ⊥AC 于H ，∴PH ∥BC ，∴△APH ∼△ABC ，∴PH BC =AP AB，即PH 3=5−t 5， 解得PH =3−35t ， ∴y =12AQ ⋅PH =12×2t ⋅(3−35t)，即y =−35t 2+3t(0<t <2)， 若PQ 把△ABC 面积平分，则S ΔAPQ =12S ΔABC ， ∴−35t 2+3t =12×12×3×4， 解得 t =5±√52，∵0<t <2，∴t=5−√52， ∴存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt △ACB 的面积平分，此时t 的值为5−√52． 13．【答案】（1）解：解方程 x 2−12x +32=0 可得x=4或x=8， ∵OA 、OB 的长是关于x 的一元二次方程 x 2−12x +32=0 的两个实数根，且OB>OA ， ∴OA=4，OB=8， ∴A(0，4)，B(−8，0)， 设直线AB 解析式为y=kx+b ， ∴{−8k +b =0b =4，,解得 {k =12b =4，,∴直线AB 解析式为 y =12x +4； （2）解：∵四边形AOCD 为正方形， ∴AD=CD=OC=OA=4， ∴C(−4，0)， 在y =12x +4 中，令x=−4，可得y=2， ∴PC=PD=2， 设Q(x ，0)，则CQ=|x+4|， ∵以P 、C 、Q 为顶点的三角形与∽ADP 相似， ∴有∽PCQ∽∽PDA 和∽PCQ∽∽ADP 两种情况， ①当∽PCQ∽∽PDA 时，则有 PC PD =CQ AD ，即 22=|x+4|4，解得x=0或x=−8，此时Q 点坐标为(−8，0)或(0，0)； ②当∽PCQ∽∽ADP 时，则有 PC AD =CQ PD ， 即 24=|x+4|2，解得x=−3或x=−5，此时Q 点坐标为(−3，0)或(−5，0)； 综上可知存在满足条件的点Q ，其坐标为(−8，0)或(0，0)或(−3，0)或(−5，0)；（3）解：由题意可设M(0，y)， ∵A(0，4)，C(−4，0)， ∴AC =4√2， 当AC 为菱形的一边时，则有AC=AM ，即|y−4|= 4√2 ，解得y=4± 4√2 ，此时M 点坐标为 (0，4+4√2) 或 (0，4−4√2)； 当AC 为菱形的对角线时，则有MA=MC ，由题意可知此时M 点即为O 点，此时M 点坐标为(0，0)； 综上可知存在满足条件的M 点，其坐标为 (0，4+4√2) 或 (0，4−4√2) 或(0，0).14．【答案】（1）=（2）解：过点O 作OG ⊥MN ，交MN 于点G∴GM =GN∴MP −NP =(GM +GP)−(GN −GP)=2GP∵OG ⊥MN∴OP ⋅cos∠OPQ =OP ×GP OP=GP ∴MP −NP =2OP ⋅cos∠OPQ ；（3）解：点O 作OG ⊥MN ，交MN 于点G ，连接BN 、MD ，AP∵MQ ＝m·MP ，NQ=n·NP∴m +n=MQ MP +NQ NP=MP −PQ MP +NP −PQ NP=2+PQ(1NP −1MP) =2+PQ ×MP −NP NP ×MP根据（2）的结论，得MP −NP =2GP∴m +n =2+2PQ×GP NP×MP∵∠GPO =∠OPQ ，∠PGO =∠POQ =90°∴△PGO ∽△POQ∴GP OP =OP PQ ，即GP ×PQ =OP 2∵∠BNM =∠BDM ，∠BPN =∠MPD∴△BNP ∽△MDP∴NP DP =BP MP∵OB =OD =OA∴NP ×MP =BP ×DP =(OB −OP)(OD +OP)=OB 2−OP 2∵∽APO=60°∴tan∠APO=OAOP=√3∴OA=√3OP∴OB=√3OP∴NP×MP=OB2−OP2=2OP2∴m+n=2+2×PQ×GPNP×MP=2+2×OP22OP2=3；②实数c的最大值为2√2．15．【答案】（1）证明：连结OC．∵CD与∽O相切，OC为半径，∴∽2+∽3=90°，∵AB是∽O的直径，∴∽ACB=90°，∴∽1+∽B=90°，又∵OA=OC，∴∽1=∽2，∴∽3=∽B，即∽B=∽DCA．（2）解：∵AD∽BC，AB是∽O的直径，∴∽DAC=∽ACB=90°，∵∽1+∽B=90°，∽2+∽3=90°，∽1=∽2，∴∽B=∽3，∴∽ABC∽∽DCA，∴ACDC=BC AB，∵∽B的正切值为√52，设AC= √5k，BC=2k，则AB=3k，∴√5k DC=23，∴DC=3√5k2，在∽ODC 中，OD= 3√6 ，OC= 12 AB= 32k ， ∴(3√5k 2)2+(32k)2=(3√6)2 ， ∴解得：k=2，∴∽O 的半径长为3．16．【答案】（1）证明：如图1，延长AO 交∽O 于M ，连接DM ，则AM 是∽O 直径，∴∽ADM ＝90°，∴∽AMD+∽MAD ＝90°∵AC∽BD ，∴∽AEB ＝90°，∴∽BAC+∽ABD ＝90°，∵∽ABD ＝∽AMD ，∽AMD+∽MAD ＝90°，∴∽BAC ＝∽MAD ，即∽BAC ＝∽OAD ；（2）证明：如图2，由（1）可得，∽BAC ＝∽OAD ，∴∽BAC+∽CAO ＝∽OAD+∽CAO ，∴∽BAF ＝∽CAD ，∵∽ABD ＝∽ACD ，∴∽ABF∽∽ACD ，∴AB AC =BF CD， ∵AC ＝CD ，∴AB ＝BF ；（3）解：连接OC 、OD ，在线CA 上取Q 1，使得CQ 1＝DQ ＝6，连接QQ 1，OQ 1，线段QQ 1和线段O 交于点P 1，再过圆心O 作OO 1∽AC 于点O 1，如图：由（2）知：∽ABF∽∽ACD ，∴∽EFA ＝∽CDA ，∵∽CDA ＝∽EAD∴∽EAD ＝∽EFA ，又∵∽AEF ＝∽DEA ＝90°，∴∽EFA∽∽EAD ，∴EF AE =AE DE， ∵AC ＝CD ，EC ＝DF ，∴AE ＝AC ﹣EC ＝CD ﹣EC ＝CD ﹣DF ，∵DE ＝EF+DF ，∴EF CD−DF =CD−DF EF+DF， ∴（CD ﹣DF ）2＝EF （EF+DF ）①，∵∽CED ＝90°，∴CD 2＝EC 2+DE 2＝DF 2+（EF+DF ）2，∴（CD ﹣DF ）（CD+DF ）＝（EF+DF ）2②， 将②式除以①式得CD+DF CD−DF =EF+DF EF， ∵CD−DF+2DF CD−DF =1+2DF CD−DF ，EF+DF EF =1+DF EF ， ∴2DF CD−DF =DF EF ，∴2EF＝CD﹣DF，∴EF=CD−DF2，∴DE=EF+DF=CD−DF2+DF=CD+DF2，∴CD2=CE2+DE2=DF2+(CD+DF2)2∴5DF2+2CD⋅DF﹣3CD2=0，∴（5DF﹣3CD）•（DF+CD）＝0，∵DF+CD＞0，∴5DF﹣3CD＝0，∴DF=35CD，∴EF=CD−DF2=CD−35CD2=15CD，∴AE=AC−CE=CD−DF=CD−35CD=25CD，在Rt∽AEF中AF=√AE2+EF2=√(25CD)2+(15CD)2=√55CD，∵OO1∽AC，∴∽OO1A＝∽FEA＝90°，O1是AC的中点，∴EF∽OO1，O1A=12AC=12CD，∴AFOA=AEO1A，即√5OA CD=25CD12CD=45，∴OA=√54CD，∴OC=OD=OA=√54CD，∵∽POQ＝∽OFD，∽OFD＝∽EFA，∴∽POQ＝∽EFA，∵∽EAF+∽EFA＝90°，∽EAF＝∽CAO，∴∽CAO+∽POQ＝90°，∵AC＝CD，∴∽CAO＝∽OCA＝∽CDO＝∽OCD，∴∽OCD+∽POQ＝90°，∴∽COP+∽DOQ+∽CDO＝90°，∵OC＝OD，∽OCA＝∽CDO，CQ1＝DQ＝6，∴∽OCQ 1∽∽ODQ （SAS ），∴OQ 1＝OQ ，∽DOQ ＝∽COQ 1，∴∽COP+∽COQ 1+∽CDO ＝90°，∴∽POQ 1+∽OCD ＝90°，而∽OCD+∽POQ ＝90°，∴∽POQ ＝∽POQ 1，∴P 1Q 1＝P 1Q ，∵P 为CQ 中点，∴P 1P 是∽CQ 1Q 的中位线，∴P 1P∽CQ 1，∴∽POC ＝∽OCQ 1，∴∽POC ＝∽CAO ＝∽OCA ＝∽CDO ＝∽OCD ， ∴∽OPC∽∽DOC ，∴CP OC =OC CD， ∵CD ＝CQ+DQ ＝2CP+6，∴CP =CD−62， 又OC =√54CD ， ∴CD−62√54CD =√54CD CD ， 解得CD ＝16， ∴AE =25CD =325，DE =DF +EF =35CD +15CD =645 ∵∽BAC ＝∽BDC ，∽AEB ＝∽DEC ， ∴∽ABE∽∽DCE ，∴AB CD =AE DE ，即AB 16=325645， ∴AB ＝8．。
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6.在△ABC中，AD为BC边上的中线．求证：AD<(AB+AC)
7.已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB＝OC．
答案：1.提示：先证ΔACD≌ΔABE (SAS)，再证ΔDBF≌ΔECF（AAS）
4.延长AO交BC于E,在ΔADO=BC,∠OAD=∠BCD（全等三角形对应边、对应角相等）
∵∠AOD＝∠COE（对顶角相等）∴∠COE+∠OCE=90o∴AO⊥BC
5.过D点作DF∥AC交BE于F点∵△ABC为等边三角形∴△BFD为等边三角形
∴BF=BD=FD∵AE=BD∴AE=BF=FD∴AE－AF=BF－AF即EF=AB∴EF=AC
全等三角形练习题
1.如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC
2：已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AE=CF.
求证：AB∥CD
3：如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE.求证：CD=2CE
4：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，ΔADC、ΔBDO为等腰三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。
∴BF=FC（全等三角形对应边相等）
2.先证ΔABF≌ΔCDE（SAS），得到∠C＝∠A，AB∥CD（内错角相等两直线平行）
3.提示：取CD中点F
∴BF=AC,且BF∥AC∴∠ACB＝∠2又∵AB=AC∴∠ACB＝∠3∴∠3＝∠2在ΔCEB与ΔCFB中，
∴ΔCEB≌ΔCFB (SAS)∴CE=CF=CD（全等三角形对应边相等）即CD=2CE
在△ACE和△DFE中，
∴△AEC≌△FED（SAS）∴EC=ED（全等三角形对应边相等）
7.8都省略