2017年中考数学专题练习解直角三角形

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重庆市2017届中考数学复习几何初步第5节直角三角形与勾股定理试题

第五节直角三角形与勾股定理课标呈现指引方向1．了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。

2．探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。

考点梳理夯实基础1．直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角；【答案】互余（2）勾股定理：若直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么；【答案】a2＋b2＝c2（3）直角三角形斜边上的中线等于；【答案】斜边的一半（4）直角三角形中，30°角所对的直角边等于．【答案】斜边的一半2．直角三角形的判定：（1）勾股定理逆定理：如果三角形的三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；（2）如果三角形一边上的中线等于这边的，那么这个三角形是直角三角形．【答案】一半3．勾股数：可以构成直角三角形三边的一组正整数．常见的勾股数有：（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（8，15，17）…以及（3n，4n，5n）、（5n，12n，13n）、（7n，24n，25n）、（8n，15n，17n）…（n为正整数）考点精析专项突破考点一勾股定理和勾股定理的逆定理【例1】（1）（2016临沂）如图，将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG．若AB＝4，BC＝8，则△ABF的面积为_____________．【答案】6解题点拨：本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等，根据勾股定理列出方程是解题的关键．①先利用矩形的性质和折叠的性质得出∠B＝90°，AF＝FC；②然后利用勾股定理列方程求出BF的长；③再用三角形面积公式求出三角形的面积．（2）（2016武汉）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝55，则BD的长为___________【答案】解题点拨：连接AC，过点D作BC边上的高，交BC延长线于点H．在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝5，又CD＝10，DA＝55，可知△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°，易证△ABC∽△CHD．则CH＝6，DH＝8，从而在Rt△BHD中易求BD．考点二性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的运用【例3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E．连接AC交DE于点F，点G为AF的中点．∠ACD＝2∠ACB．若DG＝3，EC＝1．求DE的长．解题点拨：综合考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明CD＝DG＝3．鼹：∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD，∠CAD＝∠ACB∵点G为AF的中点，∴DG＝AG，∴∠GAD＝∠GDA，∴∠CGD＝2∠CAD，∵∠ACD＝2∠ACB，∴∠ACD＝∠CGD，∴CD＝DG＝3，在Rt△CED中，DE．考点三性质“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”的运用【例4】(2016西宁)如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝．【答案】2解题点拨：作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质可得PE＝PD．根据平行线的性质可得∠BCP＝∠AOB＝30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．课堂训练当堂检测1．(2016南京)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 ( )A．3，4，4 B．3，4，5C．3，4，6 D．3，4，7【答案】B2．(2015滨州)如图，在直角∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A Bⅱ处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是 ( )A．直线的一部分B．圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分第2题【答案】B3．(2016黄冈)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DC＝3DE＝3a，将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP＝．【答案】第3题4．(2015重庆A)如图1，在△ABC中，∠ACB＝ 90°，∠BAC＝60°，点E是∠BAC角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．(1)如图1，若点H是AC的中点，AC＝AB，BD的长：(2)如图1，求证：HF＝EF；(3)如图2，连接CF，CE，猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由，图1 图2第4题【答案】解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝∴AB＝cos ACBACÐ2∵AD⊥AB．∴∠DAH＝30°．∵点H是AC的中点，∴AH＝12 AC∴在△ADH中．AD＝cos AHCAHÐ＝2．∴在△ADB中，根据勾股定理，得BD(2)如答图1，连接AF，易证：△DAE≌△ADH(AAS)，∴DH＝AE．∵∠FDH＝∠FDA－∠HDA＝∠FDA－60°＝(90°－∠FBA)－60°＝30°－∠FBA，∴∠EAF＝∠FDH．又∵点F是BD的中点，即AF是Rt△ABD斜边上的中线，∴AF＝DF．∴△DHF≌△AEF(SAS)．∴HF＝EF．(3)△CEF为等边三角形，证明如下：如答图2，取AB的中点M，连接CM、FM，在Rt△ADE中，AD＝2AE，∵FM是△ABD的中位线．∴AD＝2FM．∴FM＝AE．易证△ACM为等边三角形，∴AC＝CM，∠ACM＝60°．∵∠CAE＝12∠CAB＝30°，∠CMF＝∠AMF－∠AMC＝30°，∴∠CAE＝∠CMF．∴△ACE≌△MCF(SAS)．∴CE＝CF，∠ACE＝∠MCF．∴∠ECF＝∠ECM＋∠MCF＝∠ECM＋∠ACE＝60°．∴△CEF为等边三角形．图1 图2第4题答案图中考达标模拟自测A组基础训练一、选择题1．(2016连云港)如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6．其中S1＝16，S2＝45 ，S5＝11，S6＝14，则S3＋S4＝ ( ) A．8 B．64 C．54 D．48图1 图2第1题【答案】C2．(2016海南)如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C 落在点E的位置．如果BC＝6，那么线段BE的长度为 ( )A．6 B．C．D．第2题【答案】D3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是 ( )A．125B．4 C．245D．5第3题【答案】C4．(2015泰安)如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE．延长BG交CD于点F．若AB＝6，BC＝，则FD的长为 ( )A．2 B．4 C．B D．第4题【答案】B二、填空题5．(2016随州)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD＝13BD，连接DM、DN、MN．若AB＝6，则DN＝．第5题【答案】36．(2016温州)七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板(如图1所示)中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形(如图2所示)，则该凸六边形的周长是cm．图1 图2第6题【答案】16)7．(2016连云港)如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M．EM交AB于N．若AD＝2．则MN＝图1 图2第7题【答案】1 3三、解答题8．已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB中点，连接CD．点E为边AC上一点，过点E作EF∥AB，交CD于点F，连接EB，取EB的中点G，连接DG、FG．．(1)求证：EF＝CF；(2)求证：FG⊥DG．第8题【答案】证明：(1)∵在R△ACB中，D为AB中点∴DA＝DC＝DB∴∠A＝∠1∵EF∥AB∴∠2＝∠A∴∠1＝∠2∴CF＝EF．(2)延长FG，交AB于点H∵EF∥AB∴∠FEG＝∠GBH∵G为EB中点∴EG＝GB又∵∠FGE＝∠HGB∴△EFG≌△BHG∴FG＝GH，EF＝HB＝CF∴DC－CF＝DB－HB即DF＝DH∴DG⊥FG．第8题答案图9．(2016黄石)在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2∠DAE＝ 90°．(1)如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：DE2＝BD2＋CE2：(2)如图2，点E在BC的延长线上，则等式DE2＝BD2＋CE2还能成立吗？请说明理由．图1 图2第9题【答案】解：(1)∵点D关于直线AE的对称点为F，∴EF＝DE，AF＝AD，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＝90°－∠CAD，∠CAF＝∠DAE＋∠EAF－∠CAD＝45°＋45°－∠CAD＝90°－∠CAD，∴∠BAD＝∠CAF，在△ABD和△ACF中，AB ACBAD CAFAD AF ì=ïï??íï=ïî∴△ABD≌△ACF(SAS)，∴CF＝BD，∠ACF＝∠B，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ECF＝∠ACB＋∠ACF＝45°＋45°＝90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2＝CF2＋CE2，所以，DE2＝BD2＋CE2；(2) DE2＝BD2＋CE2还能成立．理由如下：作点D关于AE的对称点F，连接EF、CF，由轴对称的性质得，EF＝DE，AF＝AD，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＝90°－∠CAD，∠CAF＝∠DAE＋∠EAF－∠CAD＝45°＋45°－∠CAD＝90°－∠CAD，∴∠BAD＝∠CAF，在△ABD和△ACF中，AB ACBAD CAFAD AF ì=ïï??íï=ïî∴△ABD≌△ACF(SAS)，∴CF＝BD，∠ACF＝∠B，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ECF＝∠ACB＋∠ACF＝45°＋45°＝90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2＝CF2＋CE2，所以，DE2＝BD2＋CE2．第9题答案图B组提高练习10．(2016东营)在△ABC中，AB＝10，AC＝BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于( )A．10 B．8 C．6或10 D．8或10【答案】C(提示：在图①中，由勾股定理，得BD＝＝8；CD＝＝2；∴BC＝BD＋CD＝8＋2＝10．在图②中，由勾股定理，得BD＝8；CD2；∴BC＝BD－CD＝8－2＝6．)图①图②11．(2016资阳)如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，CO⊥AB于点O，点D、E分别在边AC、BC上，且AD＝CE，连结DE交CO于点P，给出以下结论：①△DOE是等腰直角三角形：②∠CDE＝∠COE;③若AC＝1，则四边形CEOD的面积为14，其中所有正确结论的序号是．【答案】①②③(提示：①如图，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CO⊥AB，∴AO＝OB＝OC，∠A＝∠B＝∠ACO＝∠BCO＝45°，∴△ADO≌△CEO，∴DO＝OE，∠AOD＝∠COE，∴∠AOC＝∠DOE ＝90°，∴△DOE是等腰直角三角形．故①正确．②∵∠DCE＋∠DOE＝180°，∴D、C、E、O四点共圆，∴∠CDE＝∠COE，故②正确．③∵AC＝BC＝1，∴S△ABC＝12×1×1＝12，S四边形DCEO＝S△DOC＋S△CEO＝S△CDO＋S△ADO＝S△AOC＝12S△ABC＝14，故③正确．)12．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF．连接CF．(1)观察猜想如图1．当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：．②BC，CD，CF之间的数量关系为：；(将结论直接写在横线上)(2)数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．(3)拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB＝，CD＝14BC，请求出GE的长．图1 图2 图3 第12题【答案】解：(1)垂直，BC＝CD＋CF．(2)不成立，BC＝CD－CF．∵正方形ADEF中，AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，∵AD＝AF，AB＝AC，∴△DA B≌△FAC，∴∠ABD＝∠ACF，CF＝BD∴∠ACF－∠ACB＝90°，即CF⊥BD;∵BC＝CD－BD，∴BC＝CD－CF．(3)过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴BC AB＝4，AH＝12BC＝2，∴CD＝14BC＝1，CH＝12BC＝2，∴DH＝3．由(2)证得BC⊥CF，CF＝BD＝5，∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝DE，∠ADE＝90°，∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，∴四边形CMEN是矩形，∴NE＝CM，EM＝CN，∵∠AHD＝∠ADE＝∠EMD＝90°，∴∠ADH＋∠EDM＝∠EDM＋∠DEM＝90°，∴∠ADH＝∠DEM，∴△ADH≌△DEM，∴EM＝DH＝3，DM＝AH＝2，∴CN＝EM＝3，EN＝CM＝3，∵∠ABC＝ 45°，∴∠BGC＝45°，∴△BCG是等腰直角三角形，∴CG＝BC＝4，∴GN＝1，∴EG第12题答案图。

中考《解直角三角形》复习练习题及答案

中考数学复习专题练习解直角三角形一、选择题：1、在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形2、在直角△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B与∠C的对边分别是a、b和c,那么下列关系中,正确的是（）A．cosA= B．tanA= C．sinA= D．cosA=3、如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是( )A．2 B． C． D．4、在Rt ABC中，∠C=90°，sinB=,则tanA的值为( )A. B. C. D.5、在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（）A． B． C． D．6、在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长是（）A. B．2 C．1 D．27、如图,在4×4的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形顶点上,则tan∠ACB值为( )A. B. C. D.8、如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长是（）A.10mB.mC.15m D．m9、如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为( )A.4米B.6米C.12米D.24米10、如图,在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为( )A. B.－1 C．2－ D.11、如图,已知的三个顶点都在方格图的格点上，则的值为( )A. B. C. D.12、如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（）A． B． C． D．二、填空题:13、在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C=________．14、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，cosB=，则BC= ．15、如图，先锋村准备在坡角为α=30°山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为______米．16、如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC=，则对角线AC的长为______．17、如图,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上,M、N两点关于对角线AC对称,若DM=1,则tan∠ADN= ．18、如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan(+) tan+tan.（填“＞”“＝”“＜”）19、如图在四边形ABCD中，∠ACB=∠BAD=105°，∠B=∠D=45°若 AD=,则AB=__________20、如图所示的半圆中，是直径，且，，则的值是．21、如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则________.22、如图,在中,是边边上的中线,如果,tanB值是________23、如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为米.24、如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB=AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD=15°．根据图形计算tan15°= ．三、简答题:25、在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且c=,若关于x的方程(＋b)x2＋2ax＋(-b)=0有两个相等的实数根，方程2x2-(10sin A)x＋5sin A=0的两个实数根的平方和为6，求△ABC的面积．26、已知：如图，正方形ABCD中，点E为AD边的中点，联结CE. 求cos∠ACE和tan∠ACE的值.27、如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B处，此时灯塔C在它的北偏西55°方向上．（1）求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离（结果精确到0.1）；（2）求海轮在B处时与灯塔C的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428，tan42°≈0.900，tan35°≈0.700，tan48°≈1.111）28、如图，河流两岸a，b互相平行，C，D是河岸a上间隔50m的两个电线杆．某人在河岸b上的A处测得∠DAB=30°，然后沿河岸走了100m到达B处，测得∠CBF=60°，求河流的宽度CF的值．（结果精确到个位）29、张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，山坡与水平面成30°角（即∠MAN=30°），在山坡底部A处测得大树顶端点C的仰角为45°，沿坡面前进20米，到达B处，又测得树顶端点C的仰角为60°（图中各点均在同一平面内），求这棵大树CD的高度（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）30、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于点M，点N为DE的中点．（1）若AB=4，求△DNF的周长及sin∠DAF的值；（2）求证：2AD•NF=DE•DM．31、中考英语听力测试期间T需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一中考考点，在位于考点南偏西15°方向距离500米的C点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，消防车需沿北偏东75°方向的公路CF前往救援．已知消防车的警报声传播半径为400米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？说明理由．（≈1.732）参考答案1、A．2、C．3、B．4、D.5、B．6、B.7、B.8、A．9、B.10、A.11、D.12、B．13、答案为：60°14、答案为：9．15、答案为：（米）．16、答案为24．17、答案为：4．3 18、答案为：>. 19、答案为：.20、答案为： ;21、答案为：2 ;22、答案为：23、答案为：137．24、答案为：2﹣．25、解：∵方程(5＋b)x2＋2ax＋(5－b)=0有两个相等的实数根，且c=5，∴△=(2a)2－4(c＋b)(c-b)=0，∴a2＋b2=c2,则△ABC为直角三角形，且∠C=90°．设x1，x2是方程2x2－(10sin A)x＋5sin A=0的两个根，则根据根与系数的关系有x1＋x2=5sin A，x1·x2=sin A．∴x12＋x22=(x1＋x2)2－2x l·x2=(5sin A)2－2×sin A=6，解得sinA=或sinA=－(舍去)，∴a=csin A=3，b==4，S△ABC=ab==18．26、解：过点作于点，∵四边形是正方形，∴平分，．∴，．∵是中点，∴．设，则，，．在Rt△AEF中，，．∴．∴，．27、【解答】解：（1）过C作AB的垂线，设垂足为D，根据题意可得：∠1=∠2=42°，∠3=∠4=55°，设CD的长为x海里，在Rt△ACD中，tan42°=，则AD=x•tan42°，在Rt△BCD中，tan55°=，则BD=x•tan55°，∵AB=80，∴AD+BD=80，∴x•tan42°+x•tan55°=80，解得：x≈34.4，答：海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离是34.4海里；（2）在Rt△BCD中，cos55°=，∴BC=≈60海里，答：海轮在B处时与灯塔C的距离约为60海里．28、【解答】解：过点C作CE∥AD，交AB于E∵CD∥AE，CE∥AD∴四边形AECD是平行四边形∴AE=CD=50m，EB=AB﹣AE=50m，∠CEB=∠DAB=30°又∠CBF=60°，故∠ECB=30°∴CB=EB=50m∴在Rt△CFB中，CF=CB•sin∠CBF=50•sin60°≈43m答：河流的宽度CF的值为43m．29、解：如图，过B作BE⊥CD交CD延长线于E，∵∠CAN=45°，∠MAN=30°，∴∠CAB=15°∵∠CBD=60°，∠DBE=30°，∴∠CBD=30°，∵∠CBE=∠CAB+∠ACB，∴∠CAB=∠ACB=15°，∴AB=BC=20，在Rt△BCE中，∠CBE=60°，BC=20，∴CE=BCsin∠CBE=20×BE=BCcos∠CBE=20×0.5=10，在Rt△DBE中，∠DBE=30°，BE=10，∴DE=BEtan∠DBE=10×，∴CD=CE﹣DE=≈11.5，答：这棵大树CD的高度大约为11.5米．30、：（1）解：∵点E、F分别是BC、CD的中点，∴EC=DF=×4=2，由勾股定理得，DE==2，∵点F是CD的中点，点N为DE的中点，∴DN=DE=×2=，NF=EC=×2=1，∴△DNF的周长=1++2=3+；在Rt△ADF中，由勾股定理得，AF===2，所以，sin∠DAF===；（2）证明：在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，∵∠DAF+∠AFD=90°，∴∠CDE+∠AFD=90°，∴AF⊥DE，∵点E、F分别是BC、CD的中点，∴NF是△CDE的中位线，∴DF=EC=2NF，∵cos∠DAF==，cos∠CDE==，∴=，∴2AD•NF=DE•DM．31、【解答】解：过A作AD⊥CF于D，由题意得∠CAG=15°，∴∠ACE=15°，∵∠ECF=75°，∴∠ACD=60°，在Rt△ACD中，sin∠ACD=，则AD=AC•sin∠ACD=250≈433米，433米＞400米，∴不需要改道．答：消防车不需要改道行驶．。

2017中考数学重要考点梳理：第十八讲解直角三角形 (课件+2016真题演练+解析版)

考点一
求三角函数值
【示范题1】(2016·义乌中考)如图,在Rt△ABC中, ∠B=90°,∠A=30°,以点A为圆心,BC长为半径画弧交
AB于点D,分别以点A,D为圆心,AB长为半径画弧,两弧交
于点E,连接AE,DE,则∠EAD的余弦值是 ( )
A.
3 12
B.
3 6
C.
3 3
D.
3 2
【思路点拨】根据题意,正确画出图形,过E作EF⊥AB于
点F,再设BC=x,根据直角三角形和等腰三角形的性质用
x表示AF,AE.
【自主解答】选B.如图,设BC=x,则AD=x,∵∠BAC=30°,
∴AC=2x,AB= 3 x,根据题意,AE=DE=AB= 3 x,过点E作
EF⊥AB于点F,则AF= 1 x,
1 x AF 3 ∴cos∠EAD= 2 . AE 6 3x
2
∴sinα= 1 ,tanβ=1,又∵α,β均为锐角,
2
∴α=30°,β=45°, 则α+β=30°+45°=75°.
答案:75°
【答题关键指导】
熟记特殊角的三角函数值的两种方法
(1)按值的变化:30°,45°,60°角的正余弦的分母都是2,正弦的分子分别是 1, 2, 3, 余弦的分子分别是 3, 2,1,
∠A+∠B=90° (2)两锐角之间的关系:_____________. (3)边角之间的关
a b a b 系:sinA=cosB=__,sinB=cosA=__,tanA=__,tanB=__. c c b a
三、解直角三角形的应用
1.仰角和俯角:如图1,在同一铅垂面内视线和水平线间
上方的叫做仰角,在水平线_____ 下方的夹角,视线在水平线_____ 的叫做俯角.

2017年中考数学专题练习解直角三角形.doc

《解直角三角形》：分24 分）1．在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，则t an A 的值是（）A．45B ．35C．43D ．342. 在Rt △ABC中，∠C＝90°，sin A ＝，则s in B 的值为（）A．B．5 13C．D．3. 已知0°＜＜90°，则m＝sin ＋cos 的值（）A．m ＞1 B ．m ＝1C．m ＜1 D ．m ≥ 14. 在△ABC 中，若32sin A (1 tan B) 0，则C的度数是（）2A．45 B ．60C．75 D ．1055. 如果直线y2x与x轴正半轴的夹角为，那么下列结论正确的是（）A. sin 2B. cos 2C. tan 2D. tan 126. 如图，在8×4 的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则t an ∠ACB的值为（）A．13B．12C．22D．37. 如图，坡角为30 的斜坡上两树间的水平距离AC为2m ，则坡面距离AB为（）Ａ．4m Ｂ．3mＣ．4 33m Ｄ．4 3m8. 如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度i 1:1.5 ，则坝底AD 的长度为()A．26 米 B ．28 米C．30 米 D ．46 米Ｂ30ＡＣ第6 题图第7 题图第8 题图二、填空题：（每小题 3 分，共24 分）9. 在Rt △ABC中, ∠C＝90 o，BC＝5，AB＝13，sin A ＝_________.10. 计算：0 cos3002sin 45 tan 60 ＝．11. 如图，在地面上的点 A 处测得树顶B的仰角为度，AC＝7 米，则树高BC为米（用含的代数式表示）．12．如图，小明爬一土坡，他从 A 处爬到 B 处所走的直线距离AB＝4 米，此时，他离地面高度为h＝2 米，则这个土坡的坡角∠A＝．13．在一次夏令营活动中，小明同学从营地 A 出发，要到 A 地的北偏东60°方向的 C 处，他先沿正东方向走了200 米到达 B 地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地 C (如图) ，那么，由此可知，B、C 两地相距米.北C30°60°A B第11 题图第12 题图第13 题图14．一架梯子AB 斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离是AC ＝3 米，且则梯子AB 的长度为米 . cos3BAC ，415. 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，则AB的长为．16. 如图，在半径为 5 的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧上一点（不与A，B重合），那么cos C 的值是.第15 题图第16 题图三、解答题（本大题共8 个小题，满分52 分）：17. （本题 4 分）计算：0 0( 3 2) 4sin 60 2 2 318. （本题4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．若∠BPC＝BPC的值．12∠BAC，试求tan ∠19.（本题6分）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树C D的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B 点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树C D的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈ 1.414 ，≈ 1.732 ）20. （本题6分）如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC＝6，3sin A ，求DE.5BDA C E21.( 本题6分) 如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h 的速度由C向东航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得 B 的方位角为南偏东45°，轮船航行 2 小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向．求小岛A与小岛B之间的距离（结果保留整数，参考数据：≈ 1.41 ，≈ 2.45 ）22. （满分8 分）如图，从A地到B 地的公路需经过C地，图中AC＝10 千米，∠CAB＝25°，∠CBA＝37°，因城市规划的需要，将在A、B 两地之间修建一条笔直的公路．⑴. 求改直的公路AB的长；⑵.问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin25 °≈0.42 ，cos25°≈0.91 ，sin37 °≈0.60 ，tan37 °≈0.75 ）23. （本题8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ A 的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点 F 恰好是AB的一个三等分点（AF＞BF）．⑴. 求证：△ACE≌△AFE；⑵. 求tan ∠CAE的值．24.（满分10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．(1).求证：BD＝BF；(2).若C F＝1，cosB＝35，求⊙O的半径．解直角三角形1～8: CAAC CACD；9.513；10.52；11. 7 tan ；12. 030 ；13. 200 ；14.4 ；15. 3 3 ；16. 45 ；17. 3；18. 43；19. 8.7m；20. 154 ；21.100km ；22.（1）AB 14.7千米；（2）缩短了2.3千米；23. （1）证明过程略；（2）tan5 CAE ；524. (1) 证明过程略；(2). 52．。

天津市和平区2017年中考数学专题练习解直角三角形50题

解直角三角形50题一、选择题：1.如图,在两建筑物之间有一旗杆,高15米,从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点,且俯角α为60°,又从A点测得D点的俯角β为30°,若旗杆底端G为BC的中点,则矮建筑物的高CD为( )A.20米B.10 米C.15 米D.5 米2.若一个三角形三个内角度数的比为1:2:3,那么这个三角形最小角的正切值为（）A. B. C. D.3.如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧AmB上的一点，则cos∠APB的值是（）A.45°B.1C.D.无法确定4.如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A.sinA的值越大，梯子越陡B.cosA的值越大，梯子越陡C.tanA的值越小，梯子越陡D.陡缓程度与∠A的函数值无关5.当锐角α>30°时，则cosα的值是（）A.大于B.小于C.大于D.小于6.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,那么sinA+cosB的值为（）A.1B.C.D.7.如图,长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°,为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（）A.2mB.2mC.(2﹣2)mD.(2﹣2)m8.如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A，B之间的距离是( )A.10海里B.(10－10)海里C.10海里D.(10－10)海里9.在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinA=（）A. B. C. D.10.一座楼梯的示意图如图,BC是铅垂线,CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯,已知CA=4米,楼梯宽度1米,则地毯的面积至少需要（）A.米2B.米2C.（4+）米2D.（4+4tanθ）米211.已知∠A为锐角，且sinA≤0.5，则（）Ａ.0°≤A≤60° B.60°≤A ＜90° C.0°＜A ≤30° D.30°≤A≤90°12.如图,已知∠α的一边在x轴上,另一边经过点A（2,4）,顶点为（﹣1,0）,则sinα的值是（）A.0.4B.C.0.6D.0.813.如图,轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行,在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上,航行2小时后到达N处,观测灯塔P在西偏南46°方向上,若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68°=0.9272，sin46°=0.7193，sin22°=0.3746，sin44°=0.6947）（）A.22.48B.41.68C.43.16D.55.6314.2sin60°的值等于（）A.1B.C.D.15.在Rt△ABC中，∠ABC=90°、tanA=，则sinA的值为（）A. B. C. D.16.已知tanα=，则锐角α的取值范围是（）A.0°＜α＜30°B.30°＜α＜45°C.45°＜α＜60°D.60°＜α＜90°17.如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端O点30米的B处，测得树顶4的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为( )A.米B.30sinα米C.30tanα米D.30cosα米18.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=4,则sinA的值为（）A. B. C. D.19.如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为（）A.kmB.kmC.kmD.km20.如图，要焊接一个等腰三角形钢架,钢架的底角为35°,高CD长为3米,则斜梁AC长为（）米．A. B. C.3sin35° D.二、填空题：21.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，则sin= ．22.如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为 m（结果保留根号）23.如图所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为米．（保留根号）24.如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B点，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是海里（结果保留根号）．25.如图,在一次数学课外实践活动中,小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD 为1m，则旗杆高BC为 m（结果保留根号）．26.如图，李明在一块平地上测山高，现在B出测得山顶A的仰角为30°，然后再向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为60°，那么山高AD为米．27.如图,△ABC中,DE是BC的垂直平分线,DE交AC于点E,连接BE,若BE=5,BC=6,则sinC= ．28.某同学沿坡比为1：的斜坡前进了90米，那么他上升的高度是米．29.如图，为测量某物体AB的高度，在在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为米.30.同角三角函数的基本关系为：(sinα)2+(cosα)2=1, =tanα.利用同角三角函数的基本关系求解下题：已知tanα=2,则= ．31.如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为32.如图，将三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处．使斜边CD∥AB，则∠a的余弦值为__________．33.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,每个小正方形的顶点叫格点.△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosC= ．34. (1)如图1，如果ɑ，β都为锐角，且tanɑ=，tanβ=，则ɑ+β= ；(2)如果ɑ，β都为锐角，当tanɑ=5，tanβ=时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角ɑ，画出∠MON，使得∠MON=ɑ-β.此时ɑ-β= 度.35.如图，直线l与⊙相切于点D，过圆心O作EF∥l交⊙O于E、F两点，点A是⊙O上一点，连接AE，AF，并分别延长交直线于B、C两点；若⊙的半径R=5，BD=12，则∠ACB的正切值为．36.在△ABC中，∠C=90°，若BC=5，AB=13，则sinA= ．37.如图所示的半圆中，AD是直径，且AD=3，AC=2，则sinB的值是．38.如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠DAB=60°,AE分别交BC、BD于点E、F,CE=2,连接CF.以下结论：(1)△ABF≌△CBF；②点E到AB的距离是2；③tan∠DCF=；④△ABF的面积为12.其中一定成立的是（把所有正确结论的序号都填在横线上）．39.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为．40.如图,等腰△ABC中,AB=AC，tan∠B=，BC=30,D为BC中点,射线DE⊥AC.将△ABC绕点C顺时针旋转（点A的对应点为A′,点B的对应点为B′）,射线A′B′分别交射线DA、DE于M、N.当DM=DN时,DM长为．三、解答题：41.如图,△ABC中,AD⊥BC,垂足是D,若BC=14,AD=12,tan∠BAD=，求sinC的值．42.如图,某飞机于空中A处探测到目标C,此时飞行高度AC=1200m,从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=43°,求飞机A与指挥台B的距离（结果取整数）（参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93）43.先化解,再求值:，已知，.44.如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，小刘在与BC相距24m的F处，由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°、底部B 的仰角为45°，小刘的观测点与地面的距离EF为1.6m．（1）求建筑物BC的高度；（2）求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.41，sin52°≈0.79，tan52°≈1.28）45.图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图.已知踏板CD长为1．6m，CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0．8m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到0.1m）．（参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）46.在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=，AD=1．求BC的长．47.如图,小明家小区空地上有两颗笔直的树CD、EF．一天，他在A处测得树顶D的仰角∠DAC=30°，在B处测得树顶F的仰角∠FBE=45°，线段BF恰好经过树顶D．已知A、B两处的距离为2米，两棵树之间的距离CE=3米，A、B、C、E四点在一条直线上，求树EF的高度．（≈1.7，≈1.4，结果保留一位小数）48.如图，某居民小区有一栋居民楼，在该楼的前面32米处要再盖一栋30米的新楼，现需了解新楼对采光的影响，当冬季正午的阳光与水平线的夹角为37°时，求新楼的影子在居民楼上有多高？（参考数值：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）49.如图，在东西方向的海岸线l有一长为2km的码头AB，在码头的西端A的正西29km处有一观测站P，某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于P的南偏西30°，且与P相距30km的C处；经过1小时40分钟，又测得该轮船位于P的南偏东60°，且与P相距10的D处．（1）求该轮船航行的速度；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么该轮船能否正好行至码头AB靠岸？请说明理由．50.在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（﹣6，0）．如图1，正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．（1）如图2，若α=60°，OE=OA，求直线EF的函数表达式．（2）若α为锐角，tanα=，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积．（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，△OEP的其中两边之比能否为：1？若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由参考答案1.A2.C3.C4.A5.D6.A7.B8.D9.D10.D11.C12.D13.B14.C15.A16.B17.C18.C19.B20.D21.答案为：0.5．22.答案为：（5+5）．23.答案为：10．24.答案为：。

2017中考数学真题汇编-----解直角三角形(含解析)

2017中考数学真题汇编-----解直角三角形一．选择题（共12小题）1．如图，⊙O的直径AB=4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC=5，则AD 的长为（）A．B．C．D．2．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为（）A．2+B．2C．3+D．33．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，则（）A．x﹣y2=3 B．2x﹣y2=9 C．3x﹣y2=15 D．4x﹣y2=214．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），那么sinα的值是（）A．B．C．D．5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm6．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，AC=，则BC等于（）A．B．1 C．2 D．37．如图，过点C（﹣2，5）的直线AB分别交坐标轴于A（0，2），B两点，则tan∠OAB=（）A．B．C．D．8．在数学活动课上，老师出示两张等腰三角形纸片，如图所示．图1的三角形边长分别为4，4，2；图2的三角形的腰长也为4，底角等于图1中三角形的顶角；某学习小组将这两张纸片在同一平面内拼成如图3的四边形OABC，连结AC．该学习小组经探究得到以下四个结论，其中错误的是（）A．∠OCB=2∠ACB B．∠OAB+∠OAC=90°C．AC=2D．BC=49．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，若点E是BC的中点，则sin∠CAE的值为（）A．2 B．C．D．10．如图，四边形BDCE内接于以BC为直径的⊙A，已知：BC=10，cos∠BCD=，∠BCE=30°，则线段DE的长是（）A．B．7C．4+3D．3+411．如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1，若OC∥BA，∠AOC=36°，则（）A．点B到AO的距离为sin54°B．点A到OC的距离为sin36°sin54°C．点B到AO的距离为tan36°D．点A到OC的距离为cos36°sin54°12．将一副三角板如下图摆放在一起，连接AD，则∠ADB的正切值为（）A．B．C．D．二．填空题（共12小题）13．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=15，tanA=，则AB=．14．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于．15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E．设∠A=α，且tanα=，则tan2α=．16．如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C=1，tan∠BA2C=，tan∠BA3C=，计算tan∠BA4C=，…按此规律，写出tan∠BA n C=（用含n的代数式表示）．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB=，D是BC上一点，DE⊥AB于E，CD=DE，AC+CD=9．则BC=．18．如图所示，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=2，CD=8，AC⊥CD，若sin∠ACB=，则cos∠ADC=．19．如图，在等腰三角形中，AB=AC，BC=4，D为BC的中点，点E、F在线段AD 上，tan∠ABC=3，则阴影部分的面积是．20．在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM=．21．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是．22．如图，正△EFG内接于正方形ABCD，其中E，F，G分别在边AB，AD，BC 上，若，则=．23．四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ADC=60°，AB=11，BC=2，则BD=．24．如图，已知∠BAC=60°，在角的内部有一点P，P到AB的距离为，P 到AC的距离为3，则点P到顶点A的距离为．三．解答题（共16小题）25．把（sinα）2记作sin2α，根据图1和图2完成下列各题．（1）sin2A1+cos2A1=，sin2A2+cos2A2=，sin2A3+cos2A3=；（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，总有sin2A+cos2A=；（3）如图2，在Rt△ABC中证明（2）题中的猜想：（4）已知在△ABC中，∠A+∠B=90°，且sinA=，求cosA．26．某游乐场部分平面图如图所示，C、E、A在同一直线上，D、E、B在同一直线上，测得A处与E处的距离为80 米，C处与D处的距离为34米，∠C=90°，∠ABE=90°，∠BAE=30°．（≈1.4，≈1.7）（1）求旋转木马E处到出口B处的距离；（2）求海洋球D处到出口B处的距离（结果保留整数）．27．如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α=36°，求长方形卡片的周长．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）28．如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值．29．阅读下面的材料：（1）锐角三角函数概念：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，称sinA=，sinB=是两个锐角∠A，∠B的“正弦”，特殊情况：直角的正弦值为1，即sin90°=1，也就是sinC==1．由sinA=，可得c=；由sinB=，可得c=，而c==，于是就有（2）其实，对于任意的锐角△ABC，上述结论仍然成立，即三角形各边与对角的正弦之比相等，我们称之为“正弦定理”，我们可以利用三角形面积公式证明其正确性．证明：如图1作AD⊥BC于D则在Rt△ABD中，sinB=，∴AD=c•sinB，∴S△ABC=a•AD=ac•sinB，在Rt△ACD中，sinC=，∴AD=b•sinC．∴S△ABC =a•AD=ab•sinC．同理可得S△ABC=bc•sinA．因此有S△ABC=ac•sinB=ab•sinC=bc•sinA．也就是=ac•sinB=ab•sinC=bc•sinA．每项都除以abc，得，故请你根据对上面材料的理解，解答下列问题：（1）在锐角△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，c=2，求b；（2）求问题（1）中△ABC的面积；（3）求sin75°的值（以上均求精确值，结果带根号的保留根号）30．如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠ADC．（1）求证：CB=CD；（2）若∠BCD=90°，AO=2CO，求tan∠ADO．31．已知：如图，等腰△ABC中，AB=BC，AE⊥BC于E，EF⊥AB于F，若CE=2，cos∠AEF=，求BE的长．32．如图，已知在△ABC中，AB=AC=10，tan∠B=．（1）求BC的长；（2）点D在边AB上，且AD=1，M为边BC上一动点，连接DM．当△BDM是直角三角形时，求BM的长．33．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，DE⊥AC于点E，且AE=CE，DE=5，EB=12．（1）求AD的长；（2）若∠CAB=30°，求四边形ABCD的周长．34．已知：如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠ABC=∠BCD=90°，BD与AC相交于点E，AB=9，cos∠BAC=，tan∠DBC=．求：（1）边CD的长；（2）△BCE的面积．35．定义：在△ABC中，∠C=30°，我们把∠A的对边与∠C 的对边的比叫做∠A 的邻弦，记作thi A，即thi A==．请解答下列问题：已知：在△ABC中，∠C=30°．（1）若∠A=45°，求thi A的值；（2）若thi A=，则∠A=°；（3）若∠A是锐角，探究thi A与sinA的数量关系．36．在一节数学实践课上，老师出示了这样一道题，如图1，在锐角三角形ABC 中，∠A、∠B、∠C所对边分别是a、b、c，请用a、c、∠B表示b2．经过同学们的思考后，甲同学说：要将锐角三角形转化为直角三角形来解决，并且不能破坏∠B，因此可以经过点A，作AD⊥BC于点D，如图2，大家认同；乙同学说要想得到b2要在Rt△ABD或Rt△ACD中解决；丙同学说那就要先求出AD=，BD=；（用含c，∠B的三角函数表示）丁同学顺着他们的思路，求出b2=AD2+DC2=（其中sin2α+cos2α=1）；请利用丁同学的结论解决如下问题：如图3，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD=60°，AB=4，AD=5．求AC的长（补全图形，直接写出结果即可）．37．如图，在平面直角坐标内，O为原点，点A的坐标为（10，0），点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA=．（1）求点B的坐标；（2）求tan∠BAO的值．38．如图所示，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3，BC=2，AD为中线．（1）比较∠BAD和∠DAC的大小．（2）求sin∠BAD．39．如图，△ABC中，∠BCA=90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若AB=10，tan∠BAC=，求菱形ADCE的面积．40．喜欢钻研的小亮对75°角的三角函数发生了兴趣，他想：75度虽然不是特殊角，但和特殊角有着密切的关系，能否通过特殊角的三角函数值求75°的正弦值呢？经研究，他发现：sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°，于是他大胆猜想：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ（α和β为锐角）．将图1（a）等积变形为图1（b）可用于勾股定理的证明，现将这两幅图分别“压扁”成图2（a）和图2（b）．如图，锐角为α的直角三角形斜边为m，锐角为β的直角三角形斜边为n，请你借助图2（a）和图2（b）证明上述结论能成立．参考答案与解析一．选择题（共12小题）1．（2017•安顺）如图，⊙O的直径AB=4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC=5，则AD的长为（）A．B．C．D．【分析】首先由切线的性质得出OB⊥BC，根据锐角三角函数的定义求出cos∠BOC的值；连接BD，由直径所对的圆周角是直角，得出∠ADB=90°，又由平行线的性质知∠A=∠BOC，则cos∠A=cos∠BOC，在直角△ABD中，由余弦的定义求出AD的长．【解答】解：连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB=90°．∵OC∥AD，∴∠A=∠BOC，∴cos∠A=cos∠BOC．∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC，∴cos∠BOC==，∴cos∠A=cos∠BOC=．又∵cos∠A=，AB=4，∴AD=．故选B．【点评】本题综合考查切线、平行线、圆周角的性质，锐角三角函数的定义等知识点的运用．此题是一个综合题，难度中等．2．（2017•滨州）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为（）A．2+B．2 C．3+D．3【分析】通过解直角△ABC得到AC与BC、AB间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求tan∠DAC的值．【解答】解：如图，∵在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，∴AB=2AC，BC==AC．∵BD=BA，∴DC=BD+BC=（2+）AC，∴tan∠DAC===2+．故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形，利用锐角三角函数的概念解直角三角形问题．3．（2017•杭州）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，则（）A．x﹣y2=3 B．2x﹣y2=9 C．3x﹣y2=15 D．4x﹣y2=21【分析】过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，根据线段垂直平分线求出DE=BD=x，根据等腰三角形求出BQ=CQ=6，求出CM=QM=3，解直角三角形求出EM=3y，AQ=6y，在Rt△DEM中，根据勾股定理求出即可．【解答】解：过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，∵BE的垂直平分线交BC于D，BD=x，∴BD=DE=x，∵AB=AC，BC=12，tan∠ACB=y，∴==y，BQ=CQ=6，∴AQ=6y，∵AQ⊥BC，EM⊥BC，∴AQ∥EM，∵E为AC中点，∴CM=QM=CQ=3，∴EM=3y，∴DM=12﹣3﹣x=9﹣x，在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2=（3y）2+（9﹣x）2，即2x﹣y2=9，故选B．【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．4．（2017•怀化）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），那么sinα的值是（）A．B．C．D．【分析】作AB⊥x轴于B，如图，先利用勾股定理计算出OA=5，然后在Rt△AOB 中利用正弦的定义求解．【解答】解：作AB⊥x轴于B，如图，∵点A的坐标为（3，4），∴OB=3，AB=4，∴OA==5，在Rt△AOB中，sinα==．故选C．【点评】本题考查了解直角三角形：充分利用勾股定理和三角函数的定义计算三角形的边或角．也考查了坐标与图形性质．5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【分析】根据垂直平分线的性质得出BD=AD，再利用cos∠BDC==，即可求出CD的长，再利用勾股定理求出BC的长．【解答】解：∵∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，∴BD=AD，∴CD+BD=8，∵cos∠BDC==，∴=，解得：CD=3，BD=5，∴BC=4．故选A．【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及解直角三角形等知识，得出AD=BD，进而用CD表示出BD是解决问题的关键．6．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，AC=，则BC等于（）A．B．1 C．2 D．3【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理求出BC的长．【解答】解：如图：∵cosA=，∴=，又∵AC=，∴BC==1．故选B．【点评】本题主要考查了解直角三角形，画出图形并利用勾股定理和三角函数是解题的关键．7．如图，过点C（﹣2，5）的直线AB分别交坐标轴于A（0，2），B两点，则tan∠OAB=（）A．B．C．D．【分析】方法1、利用待定系数法求得直线AB的解析式，然后求得B的坐标，进而利用正切函数定义求解．方法2、先求出AD，即可得出结论．【解答】解：方法1、设直线AB的解析式是y=kx+b，根据题意得：，解得，则直线AB的解析式是y=﹣x+2．在y=﹣x+2中令y=0，解得x=．则B的坐标是（，0），即OB=．则tan∠OAB===．故选B．方法2、过点C作CD⊥y轴，∵C（﹣2，5），∴CD=2，OD=5，∵A（0，2），∴OA=2，∴AD=OD﹣OA=3，在Rt△ACD中，tan∠OAB=tan∠CAD=，故选B．【点评】本题考查了三角函数的定义以及待定系数法求函数解析式，正确求得B 的坐标是关键．8．在数学活动课上，老师出示两张等腰三角形纸片，如图所示．图1的三角形边长分别为4，4，2；图2的三角形的腰长也为4，底角等于图1中三角形的顶角；某学习小组将这两张纸片在同一平面内拼成如图3的四边形OABC，连结AC．该学习小组经探究得到以下四个结论，其中错误的是（）A．∠OCB=2∠ACB B．∠OAB+∠OAC=90°C．AC=2D．BC=4【分析】A、根据∠OBC=∠AOB即可得出OA∥BC，由平行线的性质即可得出∠OAC=∠ACB，再由等腰三角形的性质即可得出∠OAC=∠OCA，替换后即可得出∠OCB=2∠ACB，结论A正确；B、根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可得出∠OAB+∠AOB=90°，结合结论A即可得出∠OAB+∠OAC=90°，结论B正确；C、过点O作OE⊥AB于点E，过点O作OF⊥AC于点F，则△AOE≌△OAF，利用勾股定理即可AF=OE==，从而得出AC=2AF=2，结论C正确；D、过点B作BM⊥OA于点M，过点O作ON⊥BC于点N，则△AOE∽△ABM，根据相似三角形的性质即可得出AM=，OM=AO﹣AM=，由BC∥AO、BM⊥AO、ON⊥BC即可得出四边形MBNO为矩形，再根据矩形的性质以及等腰三角形的性质即可得出BC=2BN=2OM=7，结论D错误．综上即可得出结论．【解答】解：A、∵∠OBC=∠AOB，∴OA∥BC，∴∠OAC=∠ACB．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OCA=∠ACB，∴∠OCB=2∠ACB，结论A正确；B、∵OA=OB，∴∠OAB+∠AOB+∠OBA=180°．∵∠OAC=∠OCB=∠AOB，∠OAB=∠OBA，∴∠OAB+∠AOB=90°，即∠OAB+∠OAC=90°，结论B正确；C、过点O作OE⊥AB于点E，过点O作OF⊥AC于点F，如图4所示．∵OA=OB，∴∠AOE=∠AOB=∠OAF．在△AOE和△OAF中，，∴△AOE≌△OAF（AAS），∴AF=OE==，∴AC=2AF=2，结论C正确；D、过点B作BM⊥OA于点M，过点O作ON⊥BC于点N，如图5所示．∵∠OAB+∠AOE=90°，∠MAB+∠ABM=90°，∴∠AOE=∠ABM．∵∠AEO=∠AMB=90°，∴△AOE∽△ABM，∴，∴AM=，OM=AO﹣AM=．∵BC∥AO，BM⊥AO，ON⊥BC，∴四边形MBNO为矩形，∴BN=OM=．∵OB=OC，ON⊥BC，∴BC=2BN=7，结论D错误．故选D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及矩形的判定与性质，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．9．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，若点E是BC的中点，则sin∠CAE的值为（）A．2 B．C．D．【分析】如图，由于在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的边长可以利用勾股定理求出，然后利用三角函数的定义即可求解．【解答】解：依题意得AB==，AC==2BC==5，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形，又∵E为BC的中点，∴AE=CE，∴∠CAE=∠ECA，∴sin∠CAE=sin∠ECA==．故选D．【点评】此题主要考查了三角函数的定义，也考查了勾股定理及其逆定理，首先根据图形求出三角形的边长，然后利用勾股定理及其逆定理和三角函数即可解决问题．10．如图，四边形BDCE内接于以BC为直径的⊙A，已知：BC=10，cos∠BCD=，∠BCE=30°，则线段DE的长是（）A． B．7 C．4+3D．3+4【分析】在Rt△CDB和Rt△CBE中，通过解直角三角形易求得BD、BE的长．过B作BF⊥DE于F，由圆周角定理知∠BCE=∠BDE，∠BED=∠BCD．根据这些角的三角函数值以及BD、BE的长，即可求得DF、EF的值，从而得到DE的长．【解答】解：过B作BF⊥DE于F．在Rt△CBD中，BC=10，cos∠BCD=，∴BD=8．在Rt△BCE中，BC=10，∠BCE=30°，∴BE=5．在Rt△BDF中，∠BDF=∠BCE=30°，BD=8，∴DF=BD•cos30°=4．在Rt△BEF中，∠BEF=∠BCD，即cos∠BEF=cos∠BCD=，BE=5，∴EF=BE•cos∠BEF=3．∴DE=DF+EF=3+4，故选D．【点评】此题主要考查的是圆周角定理和解直角三角形的综合应用，难度适中．11．如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1，若OC∥BA，∠AOC=36°，则（）A．点B到AO的距离为sin54°B．点A到OC的距离为sin36°sin54°C．点B到AO的距离为tan36°D．点A到OC的距离为cos36°sin54°【分析】根据图形得出B到AO的距离是指BO的长，过A作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离，根据锐角三角形函数定义得出BO=ABsin36°，即可判断A、C；过A作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离，根据锐角三角形函数定义得出AD=AOsin36°，AO=AB•sin54°，求出AD，即可判断B、D．【解答】解：B到AO的距离是指BO的长，∵AB∥OC，∴∠BAO=∠AOC=36°，∵在Rt△BOA中，∠BOA=90°，AB=1，∴sin36°=，∴BO=ABsin36°=sin36°，故A、C选项错误；过A作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离，∵∠BAO=36°，∠AOB=90°，∴∠ABO=54°，∵sin36°=，∴AD=AO•sin36°，∵sin54°=，∴AO=AB•sin54°，∵AB=1，∴AD=AB•sin54°•sin36°=1×sin54°•sin36°=sin54°•sin36°，故B选项正确，D选项错误；故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解此题的关键是①找出点A到OC的距离和B到AO的距离，②熟练地运用锐角三角形函数的定义求出关系式，题目较好，但是一道比较容易出错的题目．12．将一副三角板如下图摆放在一起，连接AD，则∠ADB的正切值为（）A．B．C．D．【分析】过点A构造∠ADB所在的直角三角形，设AE为1，得到DE的值，相除即可．【解答】解：作AE⊥BD，交DB的延长线于点E．由题意可得：∠ABE=∠CBD=45°，设AE=1，则AB=∴BC=，∵Rt△BCD是等腰直角三角形，∴BD=，∴DE=1+，∴tan∠ADB=1÷（+1）=．故选D．【点评】考查解直角三角形的知识；构造出所求角所在的直角三角形是解决本题的难点．二．填空题（共12小题）13．（2017•广州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=15，tanA=，则AB=17．【分析】根据∠A的正切求出AC，再利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=15，∴=，解得AC=8，根据勾股定理得，AB===17．故答案为：17．【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，主要利用了锐角的正切等于对边比邻边．14．（2017•无锡）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于3．【分析】根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得tan∠BOD的值，本题得以解决．【解答】解：平移CD到C′D′交AB于O′，如右图所示，则∠BO′D′=∠BOD，∴tan∠BOD=tan∠BO′D′，设每个小正方形的边长为a，则O′B=，O′D′=，BD′=3a，作BE⊥O′D′于点E，则BE=，∴O′E==，∴tanBO′E=，∴tan∠BOD=3，故答案为：3．【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用勾股定理和等积法解答．15．（2017•铜仁市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E．设∠A=α，且tanα=，则tan2α=．【分析】根据题目中的数据和锐角三角函数可以求得tan2α的值，本题得以解决．【解答】解：连接BE，∵点D是AB的中点，ED⊥AB，∠A=α，∴ED是AB的垂直平分线，∴EB=EA，∴∠EBA=∠A=α，∴∠BEC=2α，∵tanα=，设DE=x，∴AD=3a，AE=，∴AB=6a，∴BC=，AC=∴CE=，∴tan2α==，故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形、线段垂直平分线，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用解直角三角形的相关知识解答．16．（2017•舟山）如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C=1，tan∠BA2C=，tan∠BA3C=，计算tan∠BA4C=，…按此规律，写出tan∠BA n C=（用含n的代数式表示）．【分析】作CH⊥BA4于H，根据正方形的性质、勾股定理以及三角形的面积公式求出CH、A4H，根据正切的概念求出tan∠BA4C，总结规律解答．【解答】解：作CH⊥BA4于H，由勾股定理得，BA4==，A4C=，△BA4C的面积=4﹣2﹣=，∴××CH=，解得，CH=，则A4H==，∴tan∠BA4C==，1=12﹣1+1，3=22﹣2+1，7=32﹣3+1，∴tan∠BA n C=，故答案为：；．【点评】本题考查的是正方形的性质、勾股定理的应用以及正切的概念，掌握正方形的性质、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB=，D是BC上一点，DE⊥AB于E，CD=DE，AC+CD=9．则BC=8．【分析】可设DE为未知数，表示出AC，CD，根据∠B的正弦值得到BD的值，易得∠B的正切值，进而在△ABC中利用得到的正切值即可求得未知数，也就求得了BC长．【解答】解：设DE为x，则CD=x，AC=9﹣x，∵sinB=，∴BD=x，tanB=，∴=，=，解得x=3，∴BC=x+x=8，故答案为8．【点评】考查解直角三角形的相关知识；熟练掌握三角函数的定义并灵活进行应用是解决本题的关键．18．如图所示，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=2，CD=8，AC⊥CD，若sin∠ACB=，则cos∠ADC=．【分析】首先在△ABC中，根据三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD的长，然后根据余弦定义可算出cos∠ADC．【解答】解：∵∠B=90°，sin∠ACB=，∴=，∵AB=2，∴AC=6，∵AC⊥CD，∴∠ACD=90°，∴AD===10，∴cos∠ADC==．故答案为：．【点评】此题主要考查了解直角三角形，以及勾股定理的应用，关键是利用三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD的长．19．如图，在等腰三角形中，AB=AC，BC=4，D为BC的中点，点E、F在线段AD 上，tan∠ABC=3，则阴影部分的面积是6．【分析】由图，根据等腰三角形是轴对称图形知，阴影部分的面积是三角形面积的一半．根据BC=4，D为BC的中点，tan∠ABC=3可求AD，然后利用阴影部分即可求解．面积=S△ABC【解答】解：∵AB=AC，D为BC的中点，∴△ABC是等腰三角形，∴△ABC是轴对称图形，AD所在直线是对称轴，．∴阴影部分面积=S△ABC∵AB=AC，BC=4，D为BC的中点，∴BD=DC=BC=2，AD⊥BC，∴tan∠ABC===3，∴AD=6，=××4×6=6．∴阴影部分面积=S△ABC故答案为6．【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质及轴对称性质；利用对称发现阴影部分的面积是三角形面积的一半是正确解答本题的关键．20．在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM=．【分析】根据∠NMB=∠MBC，延长MN，BC相交于T，得到等腰△TBM，连接点T和MB的中点，得到相似三角形，然后由相似三角形的性质进行计算，求出∠ABM的正切．【解答】解：如图：延长MN交BC的延长线于T，设MB的中点为O，连TO，则OT⊥BM，∵∠ABM+∠MBT=90°，∠OTB+∠MBT=90°，∴∠ABM=∠OTB，则△BAM∽△TOB，∴=，即=，即MB2=2AM•BT ①令DN=1，CT=MD=K，则：AM=2﹣K，BM=，BT=2+K，代入①中得：4+（2﹣K）2=2（2﹣K）（2+K），解方程得：K1=0（舍去），K2=．∴AM=2﹣=．tan∠ABM===．故答案是：．【点评】本题考查的是解直角三角形，运用正方形的性质，根据题目中角的关系，判断两个三角形相似，然后用相似三角形的性质进行计算，求出直角三角形中边的长度，再用正切的定义求出角的正切值．21．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是 4.8．【分析】设菱形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，又EC=2，所以BE=x﹣2，解直角△ABE即可求得x的值，即可求得BE、AE的值，根据AB、PE的值和△ABE的面积，即可求得PE的最小值．【解答】解：设菱形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，又EC=2，所以BE=x﹣2，因为AE⊥BC于E，所以在Rt△ABE中，cosB=，又cosB=，于是，解得x=10，即AB=10．所以易求BE=8，AE=6，当EP⊥AB时，PE取得最小值．故由三角形面积公式有：AB•PE=BE•AE，求得PE的最小值为4.8．故答案为 4.8．【点评】本题考查了余弦函数在直角三角形中的运用、三角形面积的计算和最小值的求值问题，求PE的值是解题的关键．22．如图，正△EFG内接于正方形ABCD，其中E，F，G分别在边AB，AD，BC 上，若，则=．【分析】如图所示，作出辅助线，可知三角形ABK是等边三角形，设出正方形的边长，解直角三角形求出BG．再计算比值．【解答】解：如图，作EK⊥FG，K是FG的中点，连AK、KB，易知E、K、G、B 和E、K、F、A分别四点共圆∴∠KBE=∠EGK=60°，∠EAK=∠EFK=60°．∴三角形ABK是等边三角形作KM⊥AB，M是AB的中点，设AB=6则EB=AB=2，MB=3，ME=1，MK=6sin60°=3∴EK=；；．故．故答案为．【点评】此题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的性质、解直角三角形、三角函数等知识．难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．23．四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ADC=60°，AB=11，BC=2，则BD=14．【分析】延长AB与DC的延长线相交于点E，构造了两个30°的直角三角形，首先在直角三角形CBE中求得BE的长，再进一步在直角三角形ADE中，求得AD 的长，再在直角三角形BAD中由勾股定理求得BD．【解答】解：如图，延长AB与DC的延长线相交于点E．在Rt△ADE中，∵∠ADE=60°，∴∠E=30°．在Rt△BCE中，sinE=，∴BE==4，∴AE=AB+BE=11+4=15．在Rt△DAE中，tanE=，∴AD=AE•tanE=15×=5，在Rt△BAD中，BD===14，故答案为：14．【点评】此题考查的知识点是解直角三角形，关键要特别注意构造30°的直角三角形，熟练运用锐角三角函数求解．24．如图，已知∠BAC=60°，在角的内部有一点P，P到AB的距离为，P 到AC的距离为3，则点P到顶点A的距离为5．【分析】延长BP，AC交于点D，构造出两个特殊的直角三角形，易得PD的值，也就求得了BP的值，进而求得AB的值，利用勾股定理即可求得AP的值．【解答】解：延长BP，AC交于点D，连接AP．∵∠D=30°，PC=3，∴PD=6，∴BD=BP+PD=4.5+2，∴AB=+2，PA===5．故答案为5．【点评】考查解直角三角形的相关知识；把四边形转换为直角三角形求解是常用的解题思路．三．解答题（共16小题）25．（2017•黔西南州）把（sinα）2记作sin2α，根据图1和图2完成下列各题．（1）sin2A1+cos2A1=1，sin2A2+cos2A2=1，sin2A3+cos2A3=1；（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，总有sin2A+cos2A=1；（3）如图2，在Rt△ABC中证明（2）题中的猜想：（4）已知在△ABC中，∠A+∠B=90°，且sinA=，求cosA．【分析】（1）根据正弦函数和余弦函数的定义分别计算可得；（2）由（1）中的结论可猜想sin2A+cos2A=1；（3）由sinA=、cosA=且a2+b2=c2知sin2A+cos2A=（）2+（）2===1；（4）根据直角三角形中sin2A+cos2A=1知（）2+cosA2=1，据此可得答案．【解答】解：（1）sin2A1+cos2A1=（）2+（）2=+=1，sin2A2+cos2A2=（）2+（）2=+=1，sin2A3+cos2A3=（）2+（）2=+=1，故答案为：1、1、1；（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，总有sin2A+cos2A=1，故答案为：1；（3）在图2中，∵sinA=，cosA=，且a2+b2=c2，则sin2A+cos2A=（）2+（）2=+===1，即sin2A+cos2A=1；（4）在△ABC中，∠A+∠B=90°，∴∠C=90°，∵sin2A+cos2A=1，∴（）2+cosA2=1，解得：cosA=或cosA=﹣（舍），∴cosA=．【点评】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握正弦函数和余弦函数的定义是解题的关键．26．（2017•湘潭）某游乐场部分平面图如图所示，C、E、A在同一直线上，D、E、B在同一直线上，测得A处与E处的距离为80 米，C处与D处的距离为34米，∠C=90°，∠ABE=90°，∠BAE=30°．（≈1.4，≈1.7）（1）求旋转木马E处到出口B处的距离；（2）求海洋球D处到出口B处的距离（结果保留整数）．【分析】（1）在Rt△ABE中，利用三角函数即可直接求得BE的长；（2）在Rt△CDE中，利用三角函数求得DE的长，然后利用DB=DE+EB求解．【解答】解：（1）∵在Rt△ABE中，∠BAE=30°，∴BE=AE=×80=40（米）；（2）∵在Rt△ABE中，∠BAE=30°，∴∠AEB=90°﹣30°=60°，∴∠CED=∠AEB=60°，∴在Rt△CDE中，DE=≈=40（米），则BD=DE+BE=40+40=80（米）．【点评】本题考查了解直角三角形，正确理解三角函数的定义，理解边角关系是关键．27．如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α=36°，求长方形卡片的周长．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）【分析】作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F，求∠ADF的度数，在Rt△ABE中，可以求得AB的值，在Rt△ADF中，可以求得AD的值，即可计算矩形ABCD的周长，即可解题．【解答】解：作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．根据题意，得BE=24mm，DF=48mm．在Rt△ABE中，sin ，∴mm在Rt△ADF中，cos ，∴mm．∴矩形ABCD的周长=2（40+60）=200mm．【点评】本题考查了矩形对边相等的性质，直角三角形中三角函数的应用，锐角三角函数值的计算．28．如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值．【分析】（1）在△ABC中根据正弦的定义得到sinA==，则可计算出AB=10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD=AB=5；（2）在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC=6，在根据三角形面积公式得到S△BDC =S△ADC，则S△BDC=S△ABC，即CD•BE=•AC•BC，于是可计算出BE=，然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解．【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴sinA==，而BC=8，∴AB=10，∵D是AB中点，∴CD=AB=5；（2）在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=8，∴AC==6，∵D是AB中点，∴BD=5，S△BDC =S△ADC，∴S△BDC =S△ABC，即CD•BE=•AC•BC，∴BE==，在Rt△BDE中，cos∠DBE===，即cos∠ABE的值为．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式．29．阅读下面的材料：（1）锐角三角函数概念：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，称sinA=，sinB=是两个锐角∠A，∠B的“正弦”，特殊情况：直角的正弦值为1，即sin90°=1，也就是sinC==1．由sinA=，可得c=；由sinB=，可得c=，而c==，于是就有（2）其实，对于任意的锐角△ABC，上述结论仍然成立，即三角形各边与对角的正弦之比相等，我们称之为“正弦定理”，我们可以利用三角形面积公式证明其正确性．证明：如图1作AD⊥BC于D则在Rt△ABD中，sinB=，∴AD=c•sinB，∴S△ABC=a•AD=ac•sinB，在Rt△ACD中，sinC=，∴AD=b•sinC．∴S△ABC =a•AD=ab•sinC．同理可得S△ABC=bc•sinA．因此有S△ABC=ac•sinB=ab•sinC=bc•sinA．也就是=ac•sinB=ab•sinC=bc•sinA．每项都除以abc，得，故请你根据对上面材料的理解，解答下列问题：（1）在锐角△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，c=2，求b；（2）求问题（1）中△ABC的面积；（3）求sin75°的值（以上均求精确值，结果带根号的保留根号）【分析】（1）根据阅读材料得到，则=，可计算出b=；（2）作AD⊥BC于D，如图，在Rt△ABD中，利用余弦的定义得cosB=cos60°=，可计算出BD=1，在Rt△ADC中，根据等腰直角三角形的性质得AD=CD=AC=，所以BC=BD+CD=+1，然后根据三角形面积公式计算得到△ABC的面积=；（3）先根据三角形内角和定理得到∠A=180°﹣∠B﹣∠C=75°，再根据阅读材料得到△ABC的面积=bcsinA，即••2•sin75°=，可计算出sin75°=．【解答】解：（1）∵，∴=，∴b==；（2）作AD⊥BC于D，如图，在Rt△ABD中，cosB=cos60°==，∴BD=1，在Rt△ADC中，AD=CD=AC=×=，∴BC=BD+CD=+1，∴△ABC的面积=××（+1）=；（3）∵∠B=60°，∠C=45°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=75°，∴△ABC的面积=bcsinA，∴••2•sin75°=，∴sin75°=．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．30．如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠ADC．（1）求证：CB=CD；（2）若∠BCD=90°，AO=2CO，求tan∠ADO．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABD=∠ADB，根据角的和差得到∠CBD=∠CDB，于是得到结论；。

中考数学一轮复习第20讲《解直角三角形》练习(2021年整理)

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2017年中考数学一轮复习第20讲《解直角三角形》【考点解析】知识点一、锐角三角函数的概念.【例1】(2015浙江丽水）如图,点A 为∠α边上任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示αcos 的值，错误．．的是( ）A ．BC BDB ．AB BC C ．AC AD D ．AC CD 【分析】由图可知∠α=∠ACD ，所以cos α=cos ∠ACD ，∠α是RT △ABC 、△BCD 的内角，∠ACD 是RT △ACD 的内角,共有三种表示方法，故可做出判断．【解析】根据ACCD ACD AB BC BC BD =∠===cos cos α,所以选项A 、B 、D 正确，选项C 错误．故选C ．【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．【点评】在解直角三角形时，许多问题中并不是直角三角形，而是要通过构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题．通常通过作三角形的高，构造一个包含所求角的直角三角形，然后利用三角函数定义解决．【变式】（2016•怀化）在Rt△ABC 中，∠C=90°,sinA=，AC=6cm ，则BC 的长度为（）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm【分析】根据三角函数的定义求得BC 和AB 的比值，设出BC 、AB,然后利用勾股定理即可求解．【解答】解：∵sinA==，∴设BC=4x，AB=5x,又∵AC2+BC2=AB2，∴62+（4x）2=（5x）2，解得：x=2或x=﹣2（舍)，则BC=4x=8cm，故选:C．【点评】本题考查了三角函数与勾股定理，正确理解三角函数的定义是关键．知识点二、特殊角的三角函数值【例2】(2016•天津）sin60°的值等于（）A．B．C．D．【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案．【解答】解:sin60°=．故选：C．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确把握定义是解题关键．【变式】（2016•玉林)sin30°=()A．B．C．D．【分析】根据特殊角的三角函数值进行解答即可．【解答】解：sin30°=．故选：B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值即可解答该题．知识点三、解直角三角形【例3】1．（2016·山东省菏泽市·3分）如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形,且AB=AC=5，A′B′=A′C′=3,若∠B+∠B′=90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为（）A．25：9 B．5：3 C．: D．5：3【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，∠B′=∠C′,根据三角函数的定义得到AD=AB•sinB，A′D′=A′B′•sinB′，BC=2BD=2AB•cosB,B′C′=2B′D′=2A′B′•cosB′，然后根据三角形面积公式即可得到结论．【解答】解：过A 作AD⊥BC于D，过A′作A′D′⊥B′C′于D′，∵△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，∴∠B=∠C，∠B′=∠C′，BC=2BD，B′C′=2B′D′,∴AD=AB•sinB，A′D′=A′B′•sinB′，BC=2BD=2AB•cosB，B′C′=2B′D′=2A′B′•cosB′,∵∠B+∠B′=90°，∴sinB=cosB′，sinB′=cosB，∵S△BAC=AD•BC=0.5AB•sinB•2AB•cosB=25sinB•cosB，S△A′B′C′=A′D′•B′C′=0.5A′B′•cosB′•2A′B′•sinB′=9sinB′•cosB′，∴S△BAC：S△A′B′C′=25：9．故选A．【点评】本题考查了互余两角的关系，解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质和三角形面积公式．【变式】如图,将一副三角板按图中方式叠放,BC=4,那么BD=【答案】6【解析】在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，∠C=45°,BC=4,∴AB=BC•sin∠C=4×22．在Rt△ABC中，∵∠DBA=90°，∠D=30°，2，∴BD=2226 tan303AB==︒。

2017年中考数学专题复习试卷分类汇编(解析版)：--解直角三角形专题

.选择题1. （ 2016山东省荷泽市 3分）如图，△ ABC 与厶A'B'C'都是等腰三角形，且 AB=AC=5, AB 'AC ' =3 若/B+ / B ' =90° 则 A ABC 与厶 A 'B'C 的面积比为（）【考点】互余两角三角函数的关系. 【分析】先根据等腰三角形的性质得到 / B=Z C , / B ' =C '，根据三角函数的定义得到 AD=AB?sinB , A D ' AB ' s ?B BC=2BD=2AB?;osB , B C ' =2 D ' =2B ' c ?sB '，然后根据三角形面积公式即可得到结论. 【解答】解：过 A 作AD 丄BC 于D ，过A 作A D 丄B C 于D ', •••△ ABC 与厶A B C 都是等腰三角形, •••/ B= / C , / B ' M C ； BC=2BD , B C ' =B D ••• AD=AB?sinB , A D ' AB ' S ?B ； BC=2BD=2AB?cosB , B C ' =B D ' =A B ' c ?sB ； •••/ B+ / B ' =90° • sinB=cosB ', sinB ' cosB , •-S BAC 誌 AD7BC 令 AB?si nB?2AB?sosB=25s in B^osB , S A A B C =*A D ' B ? ' = B ' c ?sB ' A2B ' s ?B ' =9iB ' cosB ',•-S A BAC : S A A B C =25: 9.【点评】本题考查了互余两角的关系，解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形•也考查了等腰三角形的性质和三角形面积公式.2. （2016重庆市A 卷•分）某数学兴趣小组同学进行测量大树 CD 高度的综合实践活动，解直角三角形2'A . 25： 9B . 5: 3C . . ~：D . 5. ： 3一扌故选A .如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1 : 2.4,那么大树CD的高度约为（参考数据：sin36°~ 0.5%os36°~ 0.8，an36°~ 0.73A . 8.1 米B . 17.2 米C. 19.7 米 D . 25.5 米【分析】作BF丄AE于F,贝U FE = BD=6米，DE = BF，设BF=x米，贝U AF =2.4米，在Rt A ABF 中，由勾股定理得出方程，解方程求出DE=BF=5米，AF=12米，得出AE的长度，在Rt A ACE 中，由三角函数求出CE,即可得出结果.【解答】解：作BF丄AE于F，如图所示：贝U FE=BD=6 米，DE=BF ,•••斜面AB的坡度i=1 : 2.4,••• AF =2.4BF ,设BF=x 米，则AF=2.4x 米，在Rt A ABF中，由勾股定理得：x2+（2.4x）2=132,解得：x=5,•DE = BF=5 米，AF=12 米，•AE=AF + FE=18 米，在Rt A ACE 中，CE=AEtan36°18X0.73=13.14 米，•CD = CE- DE=13.14 米- 5 米~8.1 米；故选：A.【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数; 决问题的关键. 3. （ 2016浙江省绍兴市 4分）如图，在 Rt A ABC 中，/ B=90 ° / A=30 °以点A 为圆心, BC 长为半径画弧交 AB 于点D ，分别以点A 、D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点 E , 连接AE , DE ，则/ EAD 的余弦值是（ A — B F E C 昼 D . 73 5 . 6 . 3 2 【考点】解直角三角形. 【分析】设BC=x ,由含30°角的直角三角形的性质得出根据题意得出AD = BC=x , AE=DE=AB= ：;x ,作EM 丄AD 于M ，由等腰三角形的性质得出 111 1 AM^-AD^-x , 在 Rt A AEM 中，由三角函数的定义即可得出结果. 【解答】解：如图所示：设 BC=x , •••在 Rt A ABC 中，/ B=90° , / A=30° ,故选：B . A M I 0 £7 L\ 、 Ec4. （2016重庆市B 卷4分）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是 15米的旗杆ED ,由勾股定理得出方程是解 AC=2BC=2x ,求出 AB= . 】BC=. ; x , 根据题意得： AD=BC=x , AE=DE=AB 「_;x ,在 Rt A AEM 中, cos / EAD= ANAE 13.5 ••• AC=2BC=2x , AB= ';BC= ：_;x , 作EM 丄AD 于M ，贝U AM =」-AD= x ,从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角a是45°旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：.则大楼AB的高度约为（）（精确到o.i 米，参考数据： 1.41 1.73 2.45I~IC DA. 30.6B. 32.1C. 37.9D. 39.4【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.【分析】延长AB交DC于H，作EG丄AB于G,则GH = DE=15米，EG=DH，设BH=x米, 则CH= .「;x米，在Rt A BCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=6米，得出BG、EG的长度，证明△ AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=6. ：+20（米），即可得出大楼AB 的高度.【解答】解：延长AB交DC于H，作EG丄AB于G,如图所示：贝U GH = DE=15 米，EG=DH ,•••梯坎坡度i=1：「，••• BH : CH=1 ::-.,设BH=x 米，贝U CH= . lx 米，在Rt A BCH 中，BC=12 米，由勾股定理得：x2+ （一「；x）2=122,解得：x=6, • BH=6 米，CH=6. 一;米，•BG = GH - BH=15 - 6=9 （米），EG=DH=CH + CD=6 . :+20 （米），T/ a=45°,•••/ EAG=90°- 45° =45°,•△ AEG是等腰直角三角形，•AG = EG=6 . 1+20 （米），•AB=AG+BG=6 才£+20+A 39.4 （米）；故选：D.H C D【点评】本题考查了解直角三角形的应用-坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH ，得出EG 是解决问题的关键.二.填空题1. （ 2016山东省荷泽市 3分）如图，在正方形 ABCD 外作等腰直角 △ CDE , DE = CE ,连接 BE ,贝U tan / EBC= 二.~~【考点】正方形的性质；等腰直角三角形；解直角三角形.【专题】计算题.【分析】作EF 丄BC 于F ，如图，设DE=CE = a ,根据等腰直角三角形的性质得 CD=*CE=.:a , / DCE=45 °再利用正方形的性质得 CB=CD^2a , / BCD =90 °接着判断△ CEF 为等【解答】解：作 EF 丄BC 于F ，如图，设DE=CE=a ,•••△ CDE 为等腰直角三角形，••• CD= _ 】CE=.】a , / DCE=45° ,•••四边形ABCD 为正方形，• CB=CD^ ■:a , / BCD =90°,•••/ ECF=45° ,• △ CEF 为等腰直角三角形，腰直角三角形得到 CF = EF= V2 CE=^-' a ，然后在Rt A BEF 中根据正切的定义求解.即/ EBC —•3正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质•也考查了等腰直角三角形的性质.2. （2016湖北荆州3分）全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外•如图，张三同学在东门城墙上C 处测得塑像底部 B 处的俯角为18°8 '，测得塑像顶部 A 处的仰角为45°点 D 在观测点C 正下方城墙底的地面上，若CD=10米，则此塑像的高 AB 约为 58 米（参考数据：tan 78° 12'~）4.8 7 C* 1 弊:二*「B D【分析】直接利用锐角三角函数关系得出 EC 的长，进而得出 AE 的长，进而得出答案.【解答】解：如图所示：由题意可得： CE 丄AB 于点E , BE=DC ,•// ECB=18° 48,'•••/ EBC=78° 12'则 tan78° 12'—=—=4.8, BE 10解得：EC=48 （m ）, •// AEC=45° 贝U AE=EC ,且 BE=DC=10m ,•此塑像的高 AB 约为：AE+EB=58 （米）.故答案为：58.一一 V2 宁一一 BFa 在 RtA BEF 中，tan / EBFE4啓匚 B D【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意得出EC 的长是解题关键. 三•解答题1. （ 2016湖北随州8分）某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为 30°山高857.5尺，组员从山脚 D 处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E 点，在点E 处测得雕像顶端 A 的仰角为60°求雕像AB 的高度.【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【分析】构造直角三角形，利用锐角三角函数，进行简单计算即可.【解答】解：如图，过点E 作EF 丄AC , EG 丄CD , 在 Rt A DEG 中，•/ DE=1620, / D=30°•/ BC=857.5, CF=EG ,••• EG=••• BF=BC - CF=47.5, 在 Rt A BEF 中，tan / BEF=三一， EF • EF= -BF , 在 Rt A AEF 中，/ AEF=60° ,设 AB=x , •/ tan / AEF —二 BF • AF =EF xtan / AEF , • x+47.5=3 X 47.5, • x=95, 答：雕像AB 的高度为95尺. 2. （2016吉林7分）如图，某飞机于空中 A 处探测到目标 C ,此时飞行高度 AC=1200m , 从飞机上看地平面指挥台 B 的俯角a =43°，求飞机A 与指挥台B 的距离（结果取整数）（参考数sin43°0.68, cos43°=0.73, tan43° =0.93）答：飞机A 与指挥台B 的距离为1765m . 3. （2016江西8分）如图1是一副创意卡通圆规，图 OB 是旋转臂，使用时，以点 A 为支撑点，铅笔芯端点 OA=OB=10cm . 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题. 【分析】先利用平行线的性质得到 / B= a =43°,然后利用/ B 的正弦计算AB 的长. 【解答】解：如图，/ B= a =43° , 在 Rt A ABC 中，•/sinB= = AB = & 1765（m ）. 2是其平面示意图，OA 是支撑臂，B 可绕点A 旋转作出圆.已知（1）当/ AOB=18°时，求所作圆的半径；（结果精确到O.O1cm）（2）保持/ A0B=18°不变，在旋转臂0B末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度. （结果精确到0.01cm）（参考数据：sin9°~ 0.15@4cos9°~ 0.9877sin 18°~ 0.3090cos18°~ 0.95,可使用科学计算器）圉1【考点】解直角三角形的应用.【分析】（1）根据题意作辅助线OC丄AB于点C,根据OA=OB=10cm, / OCB=90°,/ AOB=18°,可以求得/ BOC的度数，从而可以求得AB的长；（2）由题意可知，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，则AE=AB,然后作出相应的辅助线，画出图形，从而可以求得BE的长，本题得以解决.【解答】解：（1）作OC丄AB于点C,如右图2所示，由题意可得，OA=OB=10cm, / OCB=90°, / AOB=18°,•••/ BOC=9°••• AB=2BC=2OB?sin9°~ 2X 10X 0.1564 5,即所作圆的半径约为 3.13cm；（2）作AD丄OB于点D,作AE=AB，如下图3所示，•••保持/ AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，•••折断的部分为BE,•••/ AOB=18°, OA=OB , / ODA =90°,•••/ OAB=81°, / OAD =72°,•••/ BAD=9° ,••• BE=2BD=2AB?sin9°~ 2X 3.13 X 0.1564 笔册98 即铅笔芯折断部分的长度是 0.98cm .4. （2016辽宁丹东10分）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB 的高度•他们在 C64 °求建筑物的高度.（测角器的高度忽略不计，结果精确到【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【分析】Rt A ADB 中用AB 表示出BD 、Rt A ACB 中用AB 表示出BC ,根据CD = BC - BD 可得关于AB 的方程，解方程可得.【解答】解：根据题意，得 / ADB=64° , / ACB=48°AB 10 tan48& Ji11• CD = BC - BDsin48°^^, tan48°^^,sin64° J10 101A* #建/ /巩/ // /JT £（参考数据:jf fL_CDBAB 1贝VBD=处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°,再往建筑物的方向前进 6米到达D 处，测得仰角为在 Rt A ADB 中，tan64° -二：，在 Rt A ACB 中，tan48° =.AB ■，tan 64°~)2在 Rt △ ACF 中，tan / ACF肿 -_工 =tan2^ ACP tan Cl i 一丄一「在直角AB =x+ BF =4+ x (米)，在直角 △ ABF 中， =AB ：=x+4tan/AEB3•/ CF - 解得：x= 则AB =~2~ 胡打 3V3+12+4=22答：树高AB 是心］"'（米）.1 AB -二AB2132 解得：AB=== y•••建筑物的高度约为 14.7 米.5. （2016四川宜宾）如图，CD 是一高为4米的平台，AB 是与CD 底部相平的棵树，在平台顶C 点测得树顶A 点的仰角a =30° ,从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E ，在点E 处测得树顶A 点的仰角3=60° ,求树高AB （结【分析】作CF 丄AB 于点F ,设AF=x 米，在直角△ ACF 中利用三角函数用x 表示出CF 的长，在直角△ ABE 中表示出BE 的长，然后根据CF - BE = DE 即可列方程求得x 的值，进而求得AB 的长. 【解答】解：作CF 丄AB 于点F ,设AF =x 米， ~ 14.7(米),三角形的应用-仰角俯角问题.△ ABE中，则CF，(x+4 )米..，则 BEtan / AEB = BE = DE ,即 (x+4 ) =3 .D6. ( 2016湖北黄石8分)如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB 和BC两段，每一段山坡近似是直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角/ BAF=30° / CBE=45°.(1 )求AB段山坡的高度EF ;(2)求山峰的高度CF .(叮［F1.414, CF结果精确到米)【分析】(1)作BH丄AF于H，如图，在Rt A ABF中根据正弦的定义可计算出BH的长, 从而得到EF的长；(2)先在Rt A CBE中利用/ CBE的正弦计算出CE,然后计算CE和EF的和即可.【解答】解：(1)作BH丄AF于H，如图，在Rt A ABF 中，T sin/ BAH==,AB••• BH=800?si n30°=400,/• EF =BH =400m；(2)在Rt A CBE 中，T sin/ CBE=),BC•CE=200?sin45°=100 J 2^ 141.4•CF=CE+EF=141.4+400~541 ( m).答：AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米.【点评】本题考查了解直角三角形的应用-坡度与坡角问题: 平宽度I 的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i 表示，常写成i=1: m 的形式.把坡面与水平面的夹角 a 叫做坡角，坡度i 与坡角a 之间的关系为：iTan a 7.( 2016湖北荆门6分)如图，天星山山脚下西端 A 处与东端B 处相距800 (1+ '■)米, 小军和小明同时分别从 A 处和B 处向山顶C 匀速行走.已知山的西端的坡角是 45°东端的坡角是30°小军的行走速度为 *2米/秒•若小明与小军同时到达山顶 C 处，则小明的行走【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.【分析】过点C 作CD 丄AB 于点D ，设AD=x 米，小明的行走速度是 a 米/秒，根据直角三角形的性质用x 表示出AC 与BC 的长，再根据小明与小军同时到达山顶 C 处即可得出结论. 【解答】解：过点C 作CD 丄AB 于点D ，设AD=x 米，小明的行走速度是 a 米/秒， •••/ A=45° , CD 丄 AB , ••• AD = CD=x 米， ••• AC=*x. 在 RtA BCD 中，坡度是坡面的铅直高度 h 和水速度是多少?• BC = sin3Q =2x ,•••小军的行走速度为.米/秒.若小明与小军同时到达山顶 C 处,•••/ B=30° ,8. （2016四川内江）（9分）如图8，禁渔期间，我渔政船在 A 处发现正北方向B 处有一艘可疑船只，测得 A , B 两处距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45。

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《解直角三角形》
一、选择题：（满分24分）
1．在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，则tan A 的值是（）
A ．
45
B ．35
C ．43
D ．34 2. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝
，则sin B 的值为（） A ．
B ．513
C ．
D ．
3. 已知0°＜α＜90°，则m ＝sin α＋cos α的值（）
A ．m ＞1
B ．m ＝1
C ．m ＜1
D ．m ≥1
4.在ABC △中，若2sin (1tan )0A B -+-=，则C ∠的度数是（） A ．45︒ B ． 60︒
C ．75︒
D ．105︒
5. 如果直线2y x =与x 轴正半轴的夹角为α，那么下列结论正确的是（）
A. sin 2α=
B. cos 2α=
C. tan 2α=
D. 1tan 2
α= 6.如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为（）
A ．13
B ．12
C D ．3 7. 如图，坡角为30的斜坡上两树间的水平距离AC 为2m ，则坡面距离AB 为（）
Ａ．4m
Ｄ． 8. 如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度1:1.5i =，则坝底AD 的长度为( )
A ．26米
B ．28米
C ．30米
D ．46米
第6题图第7题图第8题图
二、填空题：（每小题3分，共24分）
9. 在Rt △ABC 中,∠C ＝90º，BC ＝5，AB ＝13，sin A ＝_________.
10.计算：=⨯+0030cos 60tan 45sin 2 ＝．
11.如图，在地面上的点A 处测得树顶B 的仰角为α度，AC ＝7米，则树高BC 为米（用含α的代数式表示）．
12．如图，小明爬一土坡，他从A 处爬到B 处所走的直线距离AB ＝4米，此时，他离地面高度为h ＝2米，则这个土坡的坡角∠A ＝．
13．在一次夏令营活动中，小明同学从营地A 出发，要到A 地的北偏东60°方向的C 处，他先沿正东方向走了200米到达B 地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C (如图)，那么，由此可知，B C 、两地相距米.
第11题图第12题图第13题图
14．一架梯子AB 斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离是AC ＝3米，且3cos 4BAC ∠=，则梯子AB 的长度为米.
15.如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝
，则AB 的长为． 16.如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB ＝6，点C 是优弧
上一点
（不与A ，B 重合），那么cos C
∠的值是 .
第15题图第16题图
三、解答题
（本大题共8个小题，满分52分）
：
17. （本题4分）
计算：00
4sin 602+--
30Ｂ
Ｃ
18.（本题4分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8．若∠BPC ＝
12
∠BAC ，试求tan ∠BPC 的值．
19.（本题6分）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD 方向前行10m ，到达B 点，在B 处测得树顶C 的仰角高度为60°
（A 、B 、D 三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD 的高度（结果精确到0.1m ）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
20.（本题6分）如图，在Rt ∆ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，过D 点作AB 的垂线交AC 于点E ，BC ＝6，5
3sin =
A ，求DE.
B
A C E
D
21.(本题6分)如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h的速度由C向东航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B 处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向．求小岛A与小岛B之间的距离（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈2.45）
22.（满分8分）如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC＝10千米，∠CAB＝25°，∠CBA＝37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．
⑴.求改直的公路AB的长；
⑵.问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈
0.60，tan37°≈0.75）
23. （本题8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点（AF＞BF）．
⑴.求证：△ACE≌△AFE；
⑵.求tan∠CAE的值．
24.（满分10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．
(1).求证：BD＝BF；
(2).若CF＝1，cosB＝3
5
，求⊙O的半径．
解直角三角形
1～8: CAAC CACD ； 9.
513
； 10.52； 11.7tan α⨯； 12. 030； 13. 200 ； 14.4；
15.3+ 16.45； 17. 3； 18.43； 19. 8.7m ； 20. 154； 21. 100km ； 22.
（1）14.7AB =千米；（2）缩短了2.3千米；23. （1）证明过程略；（2）tan CAE ∠=
24. (1) 证明过程略；(2).52．。