广东省2012届高三全真模拟卷数学文科2
广东省2012届高三全真模拟卷数学文科2一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．设集合{x||x-2|3}A =≤,{|23}B x N x =∈-≤<,则A B = （ ）C A ．{|13}x x -≤< B ．{|25}x x -≤≤ C ．{0,1,2}D ．{1,2}2．设正项等比数列{}n a ，{}lg n a 成等差数列，公差lg 3d =，且{}lg n a 的前三项和为6lg 3，则{}n a 的通项为BA ．lg 3nB ．3nC ．3nD ．13n - 3．已知,,x y R i ∈为虚数单位，且(2)1x i y i --=+，则(1)x yi -+的值为（ ）BA ．4B ．4-C ．2i -D ．4.已知直线a 、b 和平面M ，则//a b 的一个必要不充分条件是（ ）D A. ////a M b M ， B. a M b M ⊥⊥，C. //a M b M ⊂，D. a b 、与平面M 成等角5.函数xxa y x =(01)a <<的图象的大致形状是（ ）.D6． 长方体1111ABCD A B C D -中，E 为11B C 的中点，AB a = ，AD b = ，DE c =，则1BD = AA ． 322a b c -++B ．12a b c -++C ．a b c ++D ．12a b c -+7．如果实数y x ,满足:⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-+≤+-010201x y x y x ，则目标函数y x z +=4的最大值为C A.2 B.3 C.27D.48．函数)2(cos 2π-=x y 是 （ ）AA ．最小正周期是π的偶函数B ．最小正周期是π的奇函数C ．最小正周期是2π的偶函数D ．最小正周期是2π的奇函数9． 台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为（ ）.B A ．0.5小时 B ．1小时 C ．1.5小时 D ．2小时10．对于任意实数x ，符号[x ]表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数，例如[2]=2；[1.2]=2；[2.2-]=3-, 这个函数[x ]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。
那么]64[log ]4[log ]3[log ]2[log ]1[log 22222+++++ 的值为( )C A ．21 B ．76 C ． 264 D ．642二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. 11．阅读右下图所示的程序框图，运行相应的程序， 输出的结果是cos x -12．ABC ∆中，AB =，BC =，045A =，B ∠为ABC ∆中最大角，D 为AC 上一点，12AD DC =，则BD12．调查某养殖场某段时间内幼崽出生的时间与性别的关系，得到99%参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++14．（几何证明选讲选做题）如图所示，AB 是半径等于3的圆O 的直径，CD 是圆O 的弦，BA ，DC 的延长线交于点P ， 若PA=4，PC=5，则CBD ∠= ______15．（坐标系与参数方程选做题）圆心的极坐标为(3)6C π，，半径为3的圆的极坐标方程是 6cos()6πρθ=-三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示： (1)求,ωϕ的值;(2)设g()()()1228x x x f π=--，当[0,]2x π∈时，求函数()g x 的值域。
解：(1)由图象知：4()24T πππ=-=，则：22Tπω==，……………2分 由(0)1f =-得：sin 1ϕ=-，即：()2k k z πϕπ=-∈，…………………4分∵||ϕπ< ∴ 2πϕ=-。
………………………………………6分(2)由(1)知：()sin(2)cos 22f x x x π=-=-，……………………………7分∴g()()()1cos )[cos()]12284xx x f x x ππ=--=----2sin )]12cos 2sin cos 1x x x x x x =+-=+-cos 2sin 2)4x x x π=+=+，………………………………………10分当[0,]2x π∈时，52[,]444x πππ+∈，则sin(2)[4x π+∈，∴()g x 的值域为[-。
………………………………………………12分17．(本小题满分12分) 已知[2,2]a ∈-，[0,4]b ∈，(1)若,a z b z ∈∈，求事件A ：24a b +≥的概率；(2)求24233a b b a +≤⎧⎨>+⎩的概率。
解：(1)以(,)a b 表示,a b 的取值组合，则由列举法知：满足[2,2]a ∈-，[0,4]b ∈且,a z b z ∈∈的所有不同组合共有：5525⨯=种；…………………………2分其中事件A ：24a b +≥包含其中的(0,4),(1,2),(1,3),(1,4)，(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)共9种；…………………………………………………………………………4分 则：9()25p A =。
…………………………………………………………5分 (2)设{(,)|[2,2],[0,4]}a b a b Ω=∈-∈，则()4416S Ω=⨯=；……………………6分 设事件{24(,)|,[2,2],[0,4]}233a b B a b a b b a +≤⎧=∈-∈⎨>+⎩，则B 表示的区域为图中阴影部分；………………………………………8分18．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，点(10)A ，、(10)B -，，已知||CA =，BC 的垂直平分线交AC 于D ，当点C 为动点时，点D 的轨迹图形设为E ． （1）求E 的标准方程；（2）点P 为E 上一动点，点O 为坐标原点，曲线E 的右焦点为F ，求22PF PO +的最小值．解：（Ⅰ）．设()D x y ，是BC 的垂直平分线，∴||||DB DC =∴||||||2||DB DA AC AB +==>=∴D 点的轨迹图形E 是A B 、为焦点的椭圆 （3分）其中2a =，1c =，∴a =，2221b a c =-= （4分）∴D 点的轨迹图形E ：2212x y += （6分）（Ⅱ）解法一：由题设知(10)F ，，P 在E 上∴设sin )P θθ，，[]πθ2,0∈ （8分）则2||PF =221)sin θθ-+2cos 2θθ=-+（9分）1cos sin )cos 2(2222+=+=θθθPO （10分）∴2)22(cos 23cos 22cos 22222+-=+-=+θθθPF PO （12分） []1,1cos -∈θ，∴当22cos =θ时，22PF PO +的最小值为2．（14分） 解法二：设[]2,2),,(-∈x y x P ， （7分） 则222y x PO+=， （8分）222)1(y x PF+-= （9分）∴12222222++-=+y x x PF PO （10分）点),(y x P 满足2212x y +=，∴2222x y -=， （11分）∴22PFPO +=2)1(3222+-=+-x x x （12分）[]2,2-∈x ，∴当1=x 时，22PF PO +的最小值为2．（14分）19．（本小题满分14分）如图（1），C 是直径2AB =的圆上一点，AD 为圆O 的切线，A 为切点，ACD ∆为等边三角形，连接DO 交AC 于E ，以AC 为折痕将ACD ∆翻折到图（2）所示ACP ∆的位置，点P 为平面ABC 外的点． （1）求证：异面直线AC 和PO 互相垂直；（2）若F 为PC 上一点，且2PF FC =，PO =P AOF -的体积．（1）证明：等边三角形ACD ∆中AD DC =，AD 为O 的切线，A 为切点， ∴DO AC ⊥且E 为AC 中点 （2分）以AC 为折痕将ACD ∆翻折到图（２）的ACP ∆位置时， 仍有PE AC ⊥，OE AC ⊥ ∴AC ⊥平面PEO （4分） ∴AC PO ⊥ （5分）（2）解： PO =图（1）中060DAC ∠=，2AB =为O 的直径，AD 为O 的切线，A 为切点，∴t R ACB ∆中，AC AD DC ===AP PC ==1BC =1OA OB OC BC ====∴222OA OP AP +=，222OC OP PC += （8分） ∴OP OA ⊥，OP OC ⊥∴OP ⊥平面O （10分） ∴三棱锥P ABC -的体积1132P ABC V AB BC OP -=⋅⋅⋅=（12分） F 为PC 上一点，且2PF FC =，∴三棱锥P AOF -的体积21()32P AOF P ABC V V --=⋅=（14分）20．（本小题满分14分）设数列{a n }为前n 项和为S n ，21=a ，数列{ S n +2}是以2为公比的等比数列． (1)求n a ；(2)抽去数列{a n }中的第1项，第4项，第7项，……，第3n -2项，余下的项顺序不变，组成一个新数列{c n }，若{c n }的前n 项和为T n ，求证：12 5 ＜T n+1 T n ≤113解：(1)由题意得：211==a S ，421=+S ，(1分) 已知数列{ S n +2}是以4为首项，2为公比的等比数列 所以有：112242+-=⨯=+n n n S ，221-=+n n S (4分) 当2≥n 时，=-=-1n n n S S a n 2，又21=a (6分) 所以：)1,(2≥∈=n N n a n n (7分) (２)由(１) 知:)1,(2≥∈=n N n a n n ，∴数列{c n }为22，23，25，26，28，29，……，它的奇数项组成以4为首项，公比为8的等比数列；偶数项组成以8为首项、公比为8的等比数列；(8分) ∴当 n =2k -1(k ∈N *)时，T n =(c 1+ c 3+…+c 2k -1)+ (c 2+ c 4+…+ c 2k -2) =(22+25+…+23k -1)+( 23+26+…+23k -3) =4(1-8k ) 1-8 +8k -12 7 ，(11分)T n+1= T n +c n +1=5 7×8k -12 7+23k = 12 7×8k -127，(10分)T n+1 T n = 12×8k -12 5×8k -12= 12 5 +84 5(5×8k -12) ， ∵ 5×8k-12≥28，∴12 5 ＜T n+1T n≤3。
广东省2012届高三数学全真文科模拟试卷(2)及答案
广东省2012届高三数学全真文科模拟试卷(2)及答案广东省2012届高三全真模拟卷数学文科2一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．设集合,,则（）CA．B．C．D．2．设正项等比数列，成等差数列，公差，且的前三项和为，则的通项为BA．B．C．D．3．已知为虚数单位，且，则的值为（）BA．4B．C．D．4.已知直线a、b和平面M，则的一个必要不充分条件是（）DA.B.C.D.与平面M成等角5.函数的图象的大致形状是（）.D6．长方体中，为的中点，，，，则AA．B．C．D．7．如果实数满足:，则目标函数的最大值为CA.2B.3C.D.48．函数是（）AA．最小正周期是π的偶函数B．最小正周期是π的奇函数C．最小正周期是2π的偶函数D．最小正周期是2π的奇函数9．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（）.BA．0.5小时B．1小时C．1.5小时D．2小时10．对于任意实数，符号]表示的整数部分，即]是不超过的最大整数，例如2]=2；]=2；]=,这个函数]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。
那么的值为()CA．21B．76C．264D．642二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.11．阅读右下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是12．中，，，，为中最大角，为上一点，，则12．调查某养殖场某段时间内幼崽出生的时间与性别的关系，得到下面的数据表：晚上白天雄性雌性从中可以得出幼崽出生的时间与性别有关系的把握有_________.99% 参考公式：，其中14．（几何证明选讲选做题）如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA=4，PC=5，则______15．（坐标系与参数方程选做题）圆心的极坐标为，半径为3的圆的极坐标方程是三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函的部分图象如图所示：(1)求的值;(2)设，当时，求函数的值域。
广东2012届高考仿真试题文科数学(二)
2012届高考模拟仿真试题·广东(二)·文科数学本试卷分为选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.定义—种运算如下：⎪⎪⎪⎪a c b d ＝ad －bc ，则复数⎪⎪⎪⎪1＋i 2 －13i 的虚部为( A ) A ．3 B ．3i C ．－1 D ．－i 解析：⎪⎪⎪⎪1＋i 2 －13i ＝(1＋i)·3i ＋2＝－1＋3i ，所以虚部为3.2.如图是2012年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的众数和中位数分别为( B )A ．84,84B ．84,85C ．85,84D ．85,85解析：去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为：84,84,85,86,87，其众数是出现次数最多的数84，中位数是排在中间的数85.3.设f (x )＝3x －x 2，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是( D ) A ．[0,1] B ．[1,2] C ．[－2，－1] D ．[－1,0]解析：若f (a )f (b )<0，则函数f (x )在区间[a ，b ]上有零点．代入端点检验得．4.在坐标平面内，点的纵、横坐标都是整数时，称该点为整点，则由不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2x －y ≥－2y ≥0所表示的区域内整点的个数是( D )A ．1B ．3C ．6D ．9解析：由约束条件可知，可行域是由A (－2,0)、B (0,2)、C (2,0)三点构成的三角形的边界及其内部，取得横、纵坐标均为整数的点有9个．5.设α、β、γ为三个不同的平面，给出下列条件： ①a 、b 为异面直线，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α； ②α内不共线的三点到β的距离相等； ③α⊥γ，β⊥γ；则其中能使α∥β成立的条件的个数是( B ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：①成立；②不成立；③不成立．6.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝( D )A ．11B ．5C ．－8D ．－11解析：设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，依题意知8a 1q ＋a 1q 4＝0，a 1≠0，则q 3＝－8，故q ＝－2，所以S 5S 2＝1－q51－q 2＝－11.7.观察等式：sin 230°＋cos 260°＋sin30°cos60°＝34，sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°＝34和sin 215°＋cos 245°＋sin15°cos45°＝34，…，由此得出以下推广命题不正确的是( A )A ．sin 2α＋cos 2β＋sin αcos β＝34B ．sin 2(α－30°)＋cos 2α＋sin(α－30°)cos α＝34C ．sin 2(α－15°)＋cos 2(α＋15°)＋sin(α－15°)cos(α＋15°)＝34D ．sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34解析：归纳推理时应注意到角度之间的关系，A 选项中取特殊值α＝30°，β＝90°时检验不正确．8.在△ABC 中，若对任意t ∈R ，|BA →－tBC →|≥|AC →|，则( C ) A ．∠A ＝90° B ．∠B ＝90° C ．∠C ＝90° D ．∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°解析：画图分析得，若对任意t ∈R ，|BA →－tBC →|≥|AC →|，表示的几何含义是点A 与直线BC 上的任意一点的连线的长度都大于或等于AC 的长度，即AC ⊥BC ，所以∠C ＝90°.9.若直线x ＋2y ＋m ＝0按向量a ＝(－1，－2)平移后与圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数m 的值等于( C )A ．－3B －13C ．－3或－13D ．3或－13解析：设P (x 0，y 0)为直线x ＋2y ＋m ＝0上的任一点，P 按向量a ＝(－1，－2)平移后得到的点是Q (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0－1y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋1y 0＝y ＋2，代入直线x ＋2y ＋m ＝0得，平移后的直线为l ：x ＋2y ＋m ＋5＝0，它与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝5相切，则圆心(－1,2)到直线l 的距离d ＝|8＋m |5＝5，解得m ＝－3或－13.10.给出下列三个函数的图象：它们对应的函数表达式分别满足下列性质中的一条： ①f (2x )＝2[f (x )]2－1； ②f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )1－f (x )f (y )；③[f (2x )]2＝4[f (x )]2(1－[f (x )]2)． 则正确的对应方式是( B )A ．(a)－①，(b)－②，(c)－③B ．(c)－①，(b)－②，(a)－③C ．(b)－①，(c)－②，(a)－③D ．(a)－①，(c)－②，(b)－③ 解析：(a)图的函数为：y ＝sin x ，x ∈[－π，π]， 满足(sin2x )2＝4sin 2x ·cos 2x ＝4sin 2x ·(1－sin 2x )，对应性质③； (b)图的函数为：y ＝tan x ，x ∈(－π2，π2)，满足tan(x ＋y )＝tan x ＋tan y1－tan x tan y，对应性质②；(c)图的函数为：y ＝cos x ，x ∈[－π，π]，满足cos2x ＝2cos 2x －1，对应性质①. 二、填空题(本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．) (一)必做题(11～13题)11.若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 26－y 23＝1的右焦点重合，则p 的值为 6 .解析：双曲线x 26－y 23＝1的右焦点F (3,0)是抛物线y 2＝2px 的焦点，所以p2＝3，p ＝6.12.在如下程序框图中，输入f 0(x )＝cos x ，则输出的是 f 2012(x )＝cos x .解析：由程序框图得：f 0(x )＝cos x ，f 1(x )＝－sin x ，f 2(x )＝－cos x ，f 3(x )＝sin x ，f 4(x )＝cos x ，周期为4，则输出的f 2012(x )＝cos x .13.对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝ 2n .解析：因为a n ＋1－a n ＝2n ，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n .(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2＋2sin θ(θ为参数)，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心极坐标为 (2，π2) .解析：消参得圆的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，圆心的直角坐标为(0,2)，对应的极坐标为(2，π2)．15.(几何证明选讲选做题)如图，AB 、CD 是圆O 的两条弦，且AB 是线段CD 的中垂线，已知AB ＝6，CD ＝25，则线段AC 的长度为 30 .解析：设弦AB 与CD 的交点为H ，因AB 是线段CD 的中垂线，CD ＝25，得CH ＝HD ＝5，由相交弦定理得，CH ·HD ＝AH ·HB ，而AB ＝6，可算得AH ＝5，又因AH ⊥HC ，由勾股定理得AC ＝CH 2＋AH 2＝30.三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)16.(本小题满分12分)如图，A 、B 是单位圆O 上的点，A 点的坐标为(35，45)，且B 在第二象限．C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 为正三角形．(1)求sin ∠COA ； (2)求线段BC 的长．解：(1)因为A 点的坐标为(35，45)，根据三角函数定义可知sin ∠COA ＝45.4分(2)由(1)得sin ∠COA ＝45，cos ∠COA ＝35，5分因为三角形AOB 为正三角形，所以∠AOB ＝60°，所以cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋60°) ＝cos ∠COA cos60°－sin ∠COA sin60° ＝35×12－45×32＝3－4310.9分 在三角形BOC 中，OB ＝OC ＝1，由余弦定理得：BC 2＝OB 2＋OC 2－2OB ·OC ·cos ∠COB ＝7＋435＝(2＋3)25.11分所以BC ＝25＋155.12分17.(本小题满分13分)为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计．请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：(1)(2)请补全频数分布直方图；(3)若成绩在75.5～85.5分的学生为二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？ 解：(1)频率分布表填充如下左所示：3分(2)频数分布直方图如右上所示.7分(3)成绩在75.5～80.5分的学生占70.5～80.5分的学生的510，因为成绩在70.5～80.5分的学生频率为0.2，所以成绩在75.5～80.5分的学生频率为0.1，9分成绩在80.5～85.5分的学生占80.5～90.5分的学生的510，因为成绩在80.5～90.5分的学生频率为0.32，所以成绩在80.5～85.5分的学生频率为0.16.11分所以成绩在75.5～85.5分的学生频率为0.26，由于有900名学生参加了这次竞赛，所以该校获得二等奖的学生约为0.26×900＝234(人).13分18.(本小题满分13分)如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB＝2，AD＝EF＝1.(1)求证：AF⊥平面CBF；(2)设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；(3)设平面CBF将几何体EF ABCD分成的两个锥体的体积分别为V F－ABCD，V F－CBE，求V F∶V F－CBE.－ABCD解：(1)证明：因为平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，所以CB⊥平面ABEF，2分因为AF⊂平面ABEF，所以AF⊥CB，又因为AB为圆O的直径，所以AF⊥BF，所以AF⊥平面CBF.5分(2)设DF的中点为N，连接AN、MN，则MN1瘙 綊2CD，又AO瘙 綊 12CD ，则MN瘙 綊 AO ，MNAO 为平行四边形，7分所以OM ∥AN ，又AN ⊂平面DAF ，OM ⊄平面DAF ， 所以OM ∥平面DAF .8分 (3)过点F 作FG ⊥AB 于G .因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，所以FG ⊥平面ABCD ，所以V F －ABCD ＝13S ABCD ·FG ＝23FG ，10分因为CB ⊥平面ABEF ，所以V F －CBE ＝V C －BFE ＝13S △BFE ·CB ＝13·12EF ·FG ·CB ＝16FG ，12分所以V F －ABCD ∶V F －CBE ＝4∶1.13分19.(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2x ＋1定义在R 上．(1)若f (x )可以表示为一个偶函数g (x )与一个奇函数h (x )之和，设h (x )＝t ，p (t )＝g (2x )＋2mh (x )＋m 2－m －1(m ∈R )，求出p (t )的解析式；(2)若p (t )≥m 2－m －1对于x ∈[1,2]恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)假设f (x )＝g (x )＋h (x )，①， 其中g (x )为偶函数，h (x )为奇函数，则有f (－x )＝g (－x )＋h (－x )，即f (－x )＝g (x )－h (x )，②由①②解得g (x )＝f (x )＋f (－x )2，h (x )＝f (x )－f (－x )2.2分因为f (x )定义在R 上，所以g (x )，h (x )都定义在R 上． 所以g (－x )＝f (－x )＋f (x )2＝g (x )，h (－x )＝f (－x )－f (x )2＝－h (x )．所以g (x )是偶函数，h (x )是奇函数，3分 因为f (x )＝2x ＋1，所以g (x )＝f (x )＋f (－x )2＝2x ＋1＋2－x ＋12＝2x ＋12x ，h (x )＝f (x )－f (－x )2＝2x ＋1－2－x ＋12＝2x －12x .5分由2x －12x ＝t ，则t ∈R ，平方得t 2＝(2x －12x )2＝22x ＋122x －2，所以g (2x )＝22x ＋122x ＝t 2＋2，所以p (t )＝t 2＋2mt ＋m 2－m ＋1.7分(2)因为t ＝h (x )关于x ∈[1,2]单调递增，所以32 ≤t ≤154.9分所以p (t )＝t 2＋2mt ＋m 2－m ＋1≥m 2－m －1对于t ∈[32，154]恒成立，所以m ≥－t 2＋22t 对于t ∈[32，154]恒成立，10分令φ(t )＝－t 2＋22t ，则φ′(t )＝12(2t 2－1)，11分因为t ∈[32，154]，所以φ′(t )＝12(2t2－1)<0，故φ(t )＝－t 2＋22t 在t ∈[32，154]上单调递减，所以[φ(t )]max ＝φ(32)＝－1712，13分所以m ≥－1712为m 的取值范围.14分20.(本小题满分14分)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，直线l ：y ＝x ＋2与以原点为圆心、以椭圆C 1的短半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设椭圆C 1的左焦点为F 1，右焦点为F 2，直线l 1过点F 1且垂直于椭圆的长轴，动直线l 2垂直l 1于点P ，线段PF 2的垂直平分线交l 2于点M ，求点M 的轨迹C 2的方程；(3)设C 2与x 轴交于点Q ，不同的两点R ，S 在C 2上，且满足QR →·RS →＝0，求|QS →|的取值范围．解：(1)因为e ＝33，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝13，所以2a 2＝3b 2.因为直线l ：x －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝b 2相切，所以22＝b ，所以b ＝2，b 2＝2，所以a 2＝3.3分所以椭圆C 1的方程是x 23＋y 22＝1.6分(2)因为MP ＝MF 2，所以动点M 到定直线l 1：x ＝－1的距离等于它到定点F 2(1,0)的距离， 所以动点M 的轨迹C 2是以l 1为准线，F 2为焦点的抛物线，8分 所以点M 的轨迹C 2的方程为y 2＝4x .9分(3)Q (0,0)，设R (y 214，y 1)，S (y 224，y 2)，所以QR →＝(y 214，y 1)，RS →＝(y 22－y 214，y 2－y 1)，因为QR →·RS →＝0，所以y 21(y 22－y 21)16＋y 1(y 2－y 1)＝0.因为y 1≠y 2，y 1≠0，化简得y 2＝－(y 1＋16y 1).11分所以y 22＝y 21＋256y 21＋32≥2256＋32＝64， 当且仅当y 21＝256y 21，y 21＝16，y 1＝±4时等号成立.13分 因为|QS →|＝(y 224)2＋y 22＝14(y 22＋8)2－64，又因为y 22≥64， 所以当y 22＝64，y 2＝±8时，|QS →|min ＝85，故|QS →|的取值范围是[85，＋∞).14分 21.(本小题满分14分)已知数列{a n }、{b n }满足：a 1＝14，a n ＋b n ＝1，b n ＋1＝b n 1－a 2n.(1)求b 1，b 2，b 3，b 4；(2)求数列{b n }的通项公式；(3)设S n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n a n ＋1，求实数a 为何值时4aS n <b n 恒成立．解：(1)b n ＋1＝b n (1－a n )(1＋a n )＝b n b n (2－b n )＝12－b n，2分 因为a 1＝14，b 1＝34，所以b 2＝45，b 3＝56，b 4＝67.4分 (2)因为b n ＋1－1＝12－b n －1，所以1b n ＋1－1＝2－b n b n －1＝－1＋1b n －1，6分 所以数列{1b n －1}是以－4为首项，－1为公差的等差数列，7分 所以1b n －1＝－4－(n －1)＝－n －3，所以b n ＝1－1n ＋3＝n ＋2n ＋3.9分 (3)a n ＝1－b n ＝1n ＋3.10分 所以S n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝14×5＋15×6＋…＋1(n ＋3)(n ＋4)＝14－1n ＋4＝n 4(n ＋4).11分 所以4aS n －b n ＝an n ＋4－n ＋2n ＋3＝(a －1)n 2＋(3a －6)n －8(n ＋3)(n ＋4). 由条件可知(a －1)n 2＋(3a －6)n －8<0恒成立即可满足条件．设f (n )＝(a －1)n 2＋3(a －2)n －8.a ＝1时，f (n )＝－3n －8<0恒成立；a >1时，由二次函数的性质知不可能成立；a <1时，对称轴－32·a －2a －1＝－32(1－1a －1)<0. f (n )在[1，＋∞)上为单调递减函数．f (1)＝(a －1)n 2＋(3a －6)n －8＝(a －1)＋(3a －6)－8＝4a －15<0，所以a <154，所以a <1时4aS n <b n 恒成立． 综上知：a ≤1时，4aS n <b n 恒成立.14分。
广东省汕头市2012届高三下学期第二次模拟试题(数学文)WORD版
广东省汕头市2012届高三下学期第二次模拟试题文科数学一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、设全集{}U 33,x x x =-<<∈Z ，{}1,2A =，{}2,1,2B =--，则()U A B ð等于 A ．{}1 B ．{}2 C ．{}1,2 D ．{}0,1,22、i 是虚数单位，复数1312i i-++的模为 A ．1 B ．2 CD．2 3、已知C ∆AB 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，4a =，b =30A =，则∠B 等于A ．60B ．60或120 C ．30 D ．30或150 4、数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且1a ，3a ，7a 为等比数列{}n b 的连续三项，则数列{}n b 的公比为AB ．2C ．4D ．12 5、若函数()log m f x x =的反函数的图象过点()1,n -，则3n m +的最小值是 A． B． C ．2 D ．52 6、已知l 、m 是不同的两条直线，α、β是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是A ．若l α⊥，αβ⊥，则//l βB ．若//l α，αβ⊥，则//l βC ．若l m ⊥，//αβ，m β⊂，则l α⊥D ．若l α⊥，//αβ，m β⊂，则l m ⊥7、在约束条件012210x y x y >⎧⎪≤⎨⎪-+≤⎩下，目标函数2z x y =+A ．有最大值2，无最小值B ．有最小值2，无最大值C ．有最小值12，最大值2 D ．既无最小值，也无最大值8、如图1，矩形的长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为A ．7.68B ．8.68C ．16.32D ．17.32 图19、“1a =-”是“直线260a x y -+=与直线()4390x a y --+=互相垂直”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10、如果函数()f x 对任意的实数x ，存在常数M ，使得不等式()f x x ≤M 恒成立，那么就称函数()f x 为有界泛函．给出下面三个函数：①()1f x =；②()2f x x =；③()21x f x x x =++． 其中属于有界泛函的是A ．①B ．②C ．③D ．①②③二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）（一）必做题（11～13题）11、双曲线2214y x -=-的渐近线方程是 ． 12、运行如图2所示的程序框图，若输入4n =，则输出的S 值为 ．13、已知向量a ，b 满足0a b ⋅=，1a =，2b =，则2a b -= ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x y O 中，直线l 的参数方程为1x t y t =⎧⎨=+⎩（参数R t ∈），圆C 的参数方程为cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（参数[)0,2θπ∈），则圆心C 到直线l 的距离是 ．15、（几何证明选讲选做题）如图3，四边形CD AB 内接于O ，C B 是O 的直径，MN 切O 于点A ，25∠MAB =，则DC ∠A = ．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16、（本小题满分12分）已知函数()22cos 2x f x x =． ()1求函数()f x 的最小正周期和值域；()2若α为第二象限的角，且133f πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求cos 21tan αα-的值．17、（本小题满分12分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[)13,14，第二组[)14,15，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，第五组[]17,18，图4是按上述分组方法得到的频率分布直方图．()1若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；()2设m ，n 表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m ，[)[]13,1417,18n ∈，求事件“1m n ->”的概率．18、（本小题满分14分）如图5，在边长为4的菱形CD AB 中，D 60∠AB =．点E 、F 分别在边CD 、C B 上，点E 与点C 、D 不重合，F C E ⊥A ，FC E A =O ，沿F E 将C F∆E 翻折到F ∆PE 的位置，使平面F PE ⊥平面FD ABE ． ()1求证：D B ⊥平面POA ；()2记三棱锥D P -AB 体积为1V ，四棱锥D F P -BE 体积为2V ，且12V 4V 3=，求此时线段PO 的长．19、（本小题满分14分）已知数列{}n a 是等差数列，35a =，59a =．数列{}n b 的前n 项和为n S ，且()12n n b S n *-=∈N ． ()1求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；()2若n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．20、（本小题满分14分）设函数()()322113f x x x a x =-++-，其中0a >． ()1若函数()y f x =在1x =-处取得极值，求a 的值；()2已知函数()f x 有3个不同的零点，分别为0、1x 、2x ，且12x x <，若对任意的 []12,x x x ∈，()()1f x f >恒成立，求a 的取值范围．21、（本小题满分14分）已知平面内一动点P 到定点1F 0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离等于它到定直线12y =-的距离，又已知点()0,0O ，()0,1M ． ()1求动点P 的轨迹C 的方程；()2当点()()000,0x y x P ≠在()1中的轨迹C 上运动时，以MP 为直径作圆，求该圆截直线12y =所得的弦长； ()3当点()()000,0x y x P ≠在()1中的轨迹C 上运动时，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点A ，过点P 作()1中的轨迹C 的切线l 交x 轴于点B ，问：是否总有PB 平分F ∠AP ？如果有，请给予证明；如果没有，请举出反例．汕头市201２年普通高中高三教学质量测评试题（二）数学（文科）参考答案和评分标准一、选择题答案：本大题共10小题，每小题5分，满分50分1. 答案D 解析：{2,1,0,1,2}U =--，{0,1}U B =ð，故(){0,1,2}U A B =ð．2. 答案C 解析：()()()()1312131,121212i i i i i i i -+--+==+++- 3. 答案 B 解析:sin sin sin sin 2a b b A B A B a =⇒==，又000180B B A <<>且,0060120B ∴=或4. 答案B 解析：()()22331711111426222a d a a a a d a a d a d q a d=⇒+=+⇒=⇒=== 5. 答案 A 解析：函数()log m f x x =的反函数为x y m =，1m n -=即1mn =，3m n +≥=6. 答案 D 解析：,//l l m lααβββ⊥⇒⊥⊂⇒又7. 答案A 解析：y x z +=2化为y =域如图， 过点1,12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，z 不在可行域内，所以z 无最小值。
广东省2012年高考数学仿真模拟试题文科数学
广东省2012年高考文科数学仿真模拟试题命题：邓军民（广州市第二中学） 中国高考吧：．net一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．1． 若集合2{|4}M x x =>，{|13}N x x =<≤，则()R N M =I ð( )A ．{|21}x x -≤<B ．{|22}x x -≤≤C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x <2．在复平面内，与复数i+11对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3． “1=a ” 是“002=-=+y a x y x 和直线直线垂直”的A ． 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C ． 充要条件D ．既不充分也不必要条件4． 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 ( )A ． lg y x =B ．tan y x =C ．3xy = D ．13y x =5．已知长方形ABCD 中，AB=4，BC=1，M 为AB 的中点，则在此长方形内随机取一点P ，P 与M的距离小于1的概率为( )A ．4π B ．1-4π C ．8π D ．18π-6．若变量y x ,满足1020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则y x z 2-=的最大值为( )A. 1B. 2C. 3D. 47． 阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间11[,]42内，则输入的实数x 的取值范围是( )A ．(,2]-∞-B ．[2,1]--C ．[1,2]-D ．[2,)+∞8． 已知θ为锐角，向量(sin ,cos )a θθ=r ，(cos ,sin )b θθ=r，若a b r rP ，则函数()sin(2)f x x θ=-的一条对称轴是( )A ．x π=B ．2x π=C ．4x π=D ．78x π=13211正(主)视侧(左)视俯视图9．已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2211216x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是( )A ．3B ．3C ．8D ．1610．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()37712012(1)1a a -+-=，()32006200612012(1)1a a -+-=-，则下列结论正确的是( )A ．20122012S =，20127a a <B ．20122012S =，20127a a >C ．20122012S =-，20127a a <D ．20122012S =-，20127a a >二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．11．已知1(,2)2a λλ→=+，(3,2)b λ→=，如果→a ⊥→b ，则实数λ= ．12．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示， 则这个四棱锥的体积 ．13．同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案， 则按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖___________块．【选做题】（请在下列两题中任选一题作答）14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=，则曲线C 上的点到直线t ty tx (21⎩⎨⎧=+-=为参数）的距离的最小值为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图，半径为2的⊙O 中，90AOB ∠=︒，D 为OB 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ，则线段DE 的长为 ．A BODE二、解答题（本大题共6小题，共80分）． 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对应的三边，已知222b c a bc +=+． （Ⅰ）求角A 的大小： （Ⅱ）若222sin 2sin 122B C+=，判断ABC ∆的形状．17．（本小题满分12分）某班主任对全班 50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查,统计数据如下表所（2）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系?并说明理由.附：独立性检验的随机变量2K 的计算公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++为样本容量．独立性检验的随机变量2K 临界值参考表如下：18． （本小题满分14分）如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ．（Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ； （Ⅱ）若3EC =，求证：FC ND ⊥； （Ⅲ）求四面体NFEC 体积的最大值．ABCDEF19．（本小题满分14分） 已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R ． K s 5u (Ⅰ) 若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值；(Ⅱ) 求()f x 的单调区间；(Ⅲ) 设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为3e =，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切，,A B 分别是椭圆的左右两个顶点， P 为椭圆C 上的动点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若P 与,A B 均不重合，设直线PA 与PB 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k g 为定值； （Ⅲ）M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，若OPOMλ=，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．已知函数2()f x x x =+，'()f x 为函数()f x 的导函数．（Ⅰ）若数列{}n a 满足1'()n n a f a +=，且11a =，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足1b b =，1()n n b f b +=．（ⅰ）是否存在实数b ，使得数列{}n b 是等差数列？若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由； （ⅱ）若b>0，求证：111ni i i b b b =+<∑．广东省2012年高考文科数学仿真模拟试题答案命题：邓军民（广州市第二中学） 中国高考吧：．net一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．11．113--或 12． 2 13． 100 14．5554- ; 15． ．三、解答题（本大题共6小题，共80分）． 16．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在ABC ∆中，2222cos b c a bc A +-=，又222b c a bc +=+∴1cos ,23A A π== ……………………………5分 （Ⅱ）∵222sin 2sin 122B C+=，∴1cos 1cos 1B C -+-= ……………………7分∴2cos cos 1,cos cos()13B C B B π+=+-=，∴22cos cos cos sin sin 133B B B ππ++=，∴1sin cos 122B B +=，∴sin()16B π+=， ∵0B π<<，∴,33B C ππ==, ∴ABC ∆为等边三角形．……………………12分17．（本小题满分12分）解:(1)由表可知,积极参加班级工作的学生有24人，而总人数为50人，则抽到积极参加班级工作的学生的概率24125025P ==； ……………………5分 （2）由公式222()50(181967)11.5()()()()25252426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯10.828>；………………10分所以有99.9%的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系，即有99.9%的把握认为学习积极性高的学生积极参加班级工作．……………………12分 18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：因为四边形MNEF ，EFDC 都是矩形，所以 MN ∥EF ∥CD ，MN EF CD ==．所以 四边形MNCD 是平行四边形，所以 NC ∥MD ， ………………3分 因为 NC ⊄平面MFD ，所以 NC ∥平面MFD ． ………………4分 （Ⅱ）证明：连接ED ，设ED FC O =I ．因为平面⊥MNEF 平面ECDF ，且EF NE ⊥，所以 ⊥NE 平面ECDF ，所以 FC NE ⊥． ………………6分又 EC CD =， 所以四边形ECDF 为正方形，所以 FC ED ⊥． ………………7分 所以 ⊥FC 平面NED ，所以 FC ND ⊥．………………9分 （Ⅲ）解：设x NE =，则x EC -=4，其中04x <<．由（Ⅰ）得⊥NE 平面FEC ， 所以四面体NFEC 的体积为11(4)32NFEC EFC V S NE x x ∆=⋅=-． ………………11分 所以 21(4)[]222NFEC x x V +-≤=． ………………13分 当且仅当x x -=4，即2=x 时，四面体NFEC 的体积最大． ………………14分19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）2()(21)f x ax a x '=-++(0)x >，(1)(3)f f ''=，解得23a =． ……………3分 （Ⅱ）(1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >． ……………………5分①当0a ≤时，0x >，10ax -<， 在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞． ……………………6分 ②当102a <<时，12a >， 在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a+∞，单调递减区间是1(2,)a． …………………7分K s 5u③当12a =时，2(2)()2x f x x -'=， 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞． ……………………8分④当12a >时，102a <<， 在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a上()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间是1(0,)a和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a．……………………9分 （Ⅲ）由已知，在(0,2]上有max max ()()f x g x <．……………………10分 由已知，max ()0g x =，由（Ⅱ）可知，①当12a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增， 故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+，所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1ln 212a -<≤．……………………11分 ②当12a >时，()f x 在1(0,]a 上单调递增，在1[,2]a上单调递减， 故max 11()()22ln 2f x f a a a ==---． 由12a >可知11ln ln ln 12ea >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<， 所以，22ln 0a --<，max ()0f x <， ……………………13分综上所述，ln 21a >-． ……………………14分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为222x y b +=，∵直线20x y -+=与圆相切，∴d b ==，即b =，又3c e a ==，即a =，222a b c =+，解得a =1c =， 所以椭圆方程为22132x y +=． ……………………3分 （Ⅱ）设000(,)(0)P x y y ≠，(A，B ， 则2200132x y +=，即2200223y x =-，则1k =2k =K s 5u 即22200012222000222(3)2333333x x y k k x x x --⋅====----， ∴12k k g 为定值23-． ……………………6分 （Ⅲ）设(,)M x y，其中[x ∈． 由已知222OPOM λ=及点P 在椭圆C 上可得2222222222633()x x x x y x y λ+-+==++， 整理得2222(31)36x y λλ-+=，其中[x ∈．……………………8分①当λ=26y =，所以点M的轨迹方程为y x =≤≤，轨迹是两条平行于x 轴的线段；②当3λ≠时，方程变形为2222166313x y λλ+=-，其中[x ∈，当03λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足x ≤≤当13λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足x ≤≤ 当1λ≥时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆．……………………14分21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为 2()f x x x =+， 所以 '()21f x x =+．所以 121n n a a +=+，所以 112(1)n n a a ++=+，且11112a +=+=，所以数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列．所以 11222n n n a -+=⋅=， 即21n n a =-． ……………………4分（Ⅱ）（ⅰ）假设存在实数b ，使数列{}n b 为等差数列，则必有2132b b b =+，且1b b =，221()b f b b b ==+，22232()()()b f b b b b b ==+++．所以 22222()()()b b b b b b b +=++++，解得 0b =或2b =-．当0b =时，10b =，1()0n n b f b +==，所以数列{}n b 为等差数列；当2b =-时，12b =-，22b =，36b =，442b =，显然不是等差数列．所以，当0b =时，数列{}n b 为等差数列． ……………………9分（ⅱ）10b b =>，1()n n b f b +=，则21()n n n n b f b b b +==+； 所以 21n n n b b b +=-；所以 211111111n n n n n n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b b b b b b ++++++⋅-====-⋅⋅⋅． 因为 210n n n b b b +=->，所以 1110n n n b b b b b +->>>>=>L ；所以 11122311*********()()()n i i i n n n b b b b b b b b b b b =+++=-+-++-=-<∑L ．……………………14分。
广东省2012年高考数学仿真模拟试题文科数学
广东省2012年高考文科数学仿真模拟试题命题：邓军民（广州市第二中学） 中国高考吧：www ．gaokao8．net一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）． 1． 若集合2{|4}M x x =>，{|13}N x x =<≤，则()R NM =ð( )A ．{|21}x x -≤<B ．{|22}x x -≤≤C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x <2．在复平面内，与复数i+11对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3． “1=a ” 是“002=-=+y a x y x 和直线直线垂直”的A ． 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C ． 充要条件D ．既不充分也不必要条件4． 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 ( )A ． lg y x =B ．tan y x =C ．3xy = D ．13y x =5．已知长方形ABCD 中，AB=4，BC=1，M 为AB 的中点，则在此长方形内随机取一点P ，P 与M 的距离小于1的概率为( )A ．4π B ．1-4π C ．8π D ．18π-6．若变量y x ,满足1020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则y x z 2-=的最大值为( )A. 1B. 2C. 3D. 47． 阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间11[,]42内，则输入的实数x 的取值范围是( )A ．(,2]-∞-B ．[2,1]--C ．[1,2]-D ．[2,)+∞ 8． 已知θ为锐角，向量(sin ,cos )a θθ=，(cos ,sin )b θθ=， 若a b ，则函数()sin(2)f x x θ=-的一条对称轴是( ) A ．x π=B ．2x π=C ．4x π=D ．78x π=9．已知ABC ∆的顶点B 、C在椭圆2211216x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是( )A ．B ．C ．8D ．16正(主)视侧(左)视俯视图10．设等差数列{}n a的前n项和为n S，已知()37712012(1)1a a-+-=，()32006200612012(1)1a a-+-=-，则下列结论正确的是( )A．20122012S=，20127a a<B．20122012S=，20127a a>C．20122012S=-，20127a a<D．20122012S=-，20127a a>二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．11．已知1(,22aλλ→=+，(3,2)bλ→=，如果→a⊥→b，则实数λ= ．12．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积．13．同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖___________块．【选做题】（请在下列两题中任选一题作答）14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为θρcos2=，则曲线C上的点到直线tttx(21⎧=+-=为参数）的距离的最小值为．15．（几何证明选讲选做题）如图，半径为2的⊙O中，90AOB∠=︒，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为．二、解答题（本大题共6小题，共80分）．16．（本小题满分12分）在ABC∆中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对应的三边，已知222b c a bc+=+．（Ⅰ）求角A的大小：（Ⅱ）若222sin2sin122B C+=，判断ABC∆的形状．17．（本小题满分12分）（2）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系?并说明理由. 附：独立性检验的随机变量2K的计算公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++为样本容量．独立性检验的随机变量2K临界值参考表如下：如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ．（Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ； （Ⅱ）若3EC =，求证：FC ND ⊥； （Ⅲ）求四面体NFEC 体积的最大值． 19．（本小题满分14分） 已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R ． (Ⅰ) 若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值；(Ⅱ) 求()f x 的单调区间；(Ⅲ) 设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围．20． （本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为3e =，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切，,A B 分别是椭圆的左右两个顶点， P 为椭圆C 上的动点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若P 与,A B 均不重合，设直线PA 与PB 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值； （Ⅲ）M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，若OPOMλ=，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．21． （本小题满分14分）已知函数2()f x x x =+，'()f x 为函数()f x 的导函数．（Ⅰ）若数列{}n a 满足1'()n n a f a +=，且11a =，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足1b b =，1()n n b f b +=．（ⅰ）是否存在实数b ，使得数列{}n b 是等差数列？若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由； （ⅱ）若b>0，求证：111ni i i b b b =+<∑．广东省2012年高考文科数学仿真模拟试题答案命题：邓军民（广州市第二中学） 中国高考吧：www ．gaokao8．net一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．11．113--或 12． 2 13． 100 14．5554- ; 15． ．三、解答题（本大题共6小题，共80分）． 16．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在ABC ∆中，2222cos b c a bc A +-=，又222b c a bc +=+∴1cos ,23A A π== ……………………………5分 （Ⅱ）∵222sin 2sin 122B C+=，∴1cos 1cos 1B C -+-= ……………………7分∴2cos cos 1,cos cos()13B C B B π+=+-=，∴22cos cos cos sin sin 133B B B ππ++=，1cos 12B B +=，∴sin()16B π+=， ∵0B π<<，∴,33B C ππ==, ∴ABC ∆为等边三角形．……………………12分17．（本小题满分12分）解:(1)由表可知,积极参加班级工作的学生有24人，而总人数为50人，则抽到积极参加班级工作的学生的概率24125025P ==； ……………………5分 （2）由公式222()50(181967)11.5()()()()25252426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯10.828>；………………10分所以有99.9%的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系，即有99.9%的把握认为学习积极性高的学生积极参加班级工作．……………………12分 18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：因为四边形MNEF ，EFDC 都是矩形，所以 MN ∥EF ∥CD ，MN EF CD ==．所以 四边形MNCD 是平行四边形，所以 NC ∥MD ， ………………3分 因为 NC ⊄平面MFD ，所以 NC ∥平面MFD ． ………………4分 （Ⅱ）证明：连接ED ，设EDFC O =．因为平面⊥MNEF 平面ECDF ，且EF NE ⊥，所以 ⊥NE 平面ECDF ，所以 FC NE ⊥． ………………6分又 EC CD =， 所以四边形ECDF 为正方形，所以 FC ED ⊥． ………………7分 所以 ⊥FC 平面NED ，所以 FC ND ⊥．………………9分 （Ⅲ）解：设x NE =，则x EC -=4，其中04x <<．由（Ⅰ）得⊥NE 平面FEC ， 所以四面体NFEC 的体积为11(4)32NFEC EFC V S NE x x ∆=⋅=-． ………………11分 所以 21(4)[]222NFEC x x V +-≤=． ………………13分 当且仅当x x -=4，即2=x 时，四面体NFEC 的体积最大． ………………14分19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）2()(21)f x ax a x '=-++(0)x >，(1)(3)f f ''=，解得23a =． ……………3分 （Ⅱ）(1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >． ……………………5分①当0a ≤时，0x >，10ax -<， 在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞． ……………………6分 ②当102a <<时，12a >， 在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a+∞，单调递减区间是1(2,)a． …………………7分③当12a =时，2(2)()2x f x x -'=， 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞． ……………………8分④当12a >时，102a <<， 在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a上()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间是1(0,)a和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a．……………………9分 （Ⅲ）由已知，在(0,2]上有max max ()()f x g x <．……………………10分 由已知，max ()0g x =，由（Ⅱ）可知，①当12a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增， 故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+， 所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1ln 212a -<≤．……………………11分 ②当12a >时，()f x 在1(0,]a 上单调递增，在1[,2]a上单调递减， 故max 11()()22ln 2f x f a aa==---． 由12a >可知11ln ln ln 12ea >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<， 所以，22ln 0a --<，max ()0f x <， ……………………13分 综上所述，ln 21a >-． ……………………14分 20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为222x y b +=， ∵直线20x y -+=与圆相切，∴d b ==，即b =，又3c e a ==，即a =，222a b c =+，解得a =1c =， 所以椭圆方程为22132x y +=． ……………………3分 （Ⅱ）设000(,)(0)P x y y ≠，(A，B ，则2200132x y +=，即2200223y x =-，则1k =2k = 即22200012222000222(3)2333333x x y k k x x x --⋅====----， ∴12k k 为定值23-． ……………………6分 （Ⅲ）设(,)M x y，其中[x ∈．由已知222OP OMλ=及点P 在椭圆C 上可得2222222222633()x x x x y x y λ+-+==++， 整理得2222(31)36x y λλ-+=，其中[x ∈．……………………8分①当λ=26y =，所以点M的轨迹方程为y x =≤≤，轨迹是两条平行于x 轴的线段；②当3λ≠时，方程变形为2222166313x y λλ+=-，其中[x ∈，当03λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足x ≤≤当13λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足x ≤≤ 当1λ≥时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆．……………………14分 21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为 2()f x x x =+， 所以 '()21f x x =+．所以 121n n a a +=+， 所以 112(1)n n a a ++=+，且11112a +=+=， 所以数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列．所以 11222n n n a -+=⋅=， 即21nn a =-． ……………………4分（Ⅱ）（ⅰ）假设存在实数b ，使数列{}n b 为等差数列，则必有2132b b b =+，且1b b =，221()b f b b b ==+，22232()()()b f b b b b b ==+++．所以 22222()()()b b b b b b b +=++++， 解得 0b =或2b =-．当0b =时，10b =，1()0n n b f b +==，所以数列{}n b 为等差数列； 当2b =-时，12b =-，22b =，36b =，442b =，显然不是等差数列． 所以，当0b =时，数列{}n b 为等差数列． ……………………9分（ⅱ）10b b =>，1()n n b f b +=，则21()n n n n b f b b b +==+；所以 21n n n b b b +=-；所以 211111111n n n n n n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b b b b b b ++++++⋅-====-⋅⋅⋅． 因为 210n n n b b b +=->，所以 1110n n n b b b b b +->>>>=>；所以11122311*********()()()ni i i n n n b b b b b b b b b b b=+++=-+-++-=-<∑．……………………14分。
广东省茂名市2012届高三第二次高考模拟考试(文数)
题图第6广东省茂名市2012届高三4月第二次高考模拟考试数学（文）本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
注意事项： 1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回． 5．参考公式：13V S h =⋅锥体底 2S 4R π=球面积第一部分 选择题（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若集合A {}A=|1x x x R ≤∈，，}|{x y x B ==，则A B =（ ）A. {}|11x x -≤≤B. {}|0x x ≥C. {}|01x x ≤≤D. ∅ 2. 下列三个不等式中，恒成立的个数有( ) ①12(0)x x x+≥≠;②(0)c c a b c ab<>>>;③(,,0,)a m a a b m a b b mb+>><+。
A ．3 B.2 C.1 D.03．下列函数，其中既是偶函数又在区间0,1（）上单调递减的函数为( )A ．xy 1=B ．x y lg =C ．x y cos =D ．2x y =4．在"3""23sin ",π>∠>∆A A ABC 是中的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学 中随机挑选一人表演节目．若选到女同学的概率为32，则这班参加聚会的同学的人数为（ ）．A ．12 B. 18 C. 24 D. 32 6．若如右图所示的程序框图输出的S 是30，则①可以为 ( )A ．?2≤nB ．?3≤nC ．?4≤nD ．?5≤n 7．已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3,4,x ，且它的8个顶点都在同一个球面上，这个球面的表面积为125π 则x 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．108.已知等比数列{a n }的前n 项和121+⋅=-n n t s ，则实数t 的值为（ ）A ．-2B ．0或-2 C.2 D.129.已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 011)＋f (2 012)的值为（ ） A ．－2B ．－1C ．2D ．110． 在实数集R 中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在平面向量集},),,(|{R y R x y x a a D ∈∈==上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“ ”．定义如下：对于任意两个向量),,(),,(222111y x a y x a ==，21a a 当且仅当“21x x >”或“2121y y x x >=且”．按上述定义的关系“ ”，给出如下四个命题： ①若)1,0(),0,1(21==e e ,)0,0(0=则021 e e ； ②若3221,a a a a ,则31a a ；③若21a a ,则对于任意D a ∈,a a a a ++21 ；④对于任意向量 0 a ，)0,0(0=,若21a a ，则21a a a a ⋅>⋅. 其中真命题的序号为（ ）A ．①②④B ．①②③C ．①③④D ．②③④第二部分 非选择题（共100分）二、填空题（本大题共5小题，第14、15小题任选一道作答，多选的按第14小题给分，共20分） 11．已知复数z x yi =+（,x y R ∈），且21z -=，则x y 、满足的轨迹方程是__________．12．如图是某赛季CBA13．已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,F F ，且它们在第一象限的交点为P ，12P F F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若1||10PF =，双曲线的离心率的值为2，则该椭圆的离心率的值为________.题图第17题图第15选做题：以下两题任选一道作答，两题都答的按第14题正误给分。
广东省2012届高三数学(文)仿真模拟试题5.pdf
广东省2012届高三数学文科仿真模拟卷5 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合，且，则实数的值为 A． B． C． D． 2．已知i为虚数单位, 若复数i，i，则 A．i B. i C. i D．i 3. 已知向量,,且，则的值为 A． B. C. D． 4. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点, 则的值为 A． B. C. D． 5. 各项都为正数的等比数列中，，则公比的值为 A． B. C. D． 6. 函数为自然对数的底数在上 A．有极大值 B. 有极小值 C. 是增函数 D．是减函数 7. 阅读图1的程序框图. 若输入, 则输出的值为 A． B． C． D． 8. 已知、是不同的两条直线，、是不重合的两个平面， 则下列命题中为真命题的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 图1 9. 向等腰直角三角形内任意投一点, 则小于的概率为 A． B． C． D． 10. 某所学校计划招聘男教师名,女教师名, 和须满足约束条件 则该校招聘的教师人数最多是 A．6 B．8 C．10 D．12 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题） 11.为了了解某地居民每户月均用电的基本情况, 抽取出该地区若干户居民的用电数据, 得到频 率分布直方图如图2所示, 若月均用电量在 区间上共有150户, 则月均用电 量在区间上的居民共有 户. 12. △的三个内角、、所对边的 长分别为、、，已知, 则的值为 . 13. 已知函数满足 且对任意R都有， 记，则 . （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14. (几何证明选讲选做题) 如图3, 是圆的切线, 切点为, 点、在圆上， ， 则圆的面积为 . 15. (坐标系与参数方程选讲选做题) 在极坐标系中，若过点 且与极轴垂直的直线交曲线于、两点， 图3 则 . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. （本小题满分12分） 已知函数(R). 求的最小正周期和最大值； 若为锐角，且，求的值. 17. （本小题满分12分） 某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重 量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据的茎叶图如图4. 根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定； 若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的重量之差不超过2克的概率. 18. （本小题满分14分） 如图5,在三棱柱中，侧棱底面,为的中点, ,. （1）求证：平面； (2) 求四棱锥的体积. 图5 19．（本小题满分14分） 动点与点的距离和它到直线的距离相等，记点的轨迹为曲线．圆 的圆心是曲线上的动点, 圆与轴交于两点，且. （1）求曲线的方程； （2）设点2,若点到点的最短距离为,试判断直线与圆的位置关系, 并说明理由. 20. （本小题满分14分） 设各项均为正数的数列的前项和为,已知数列是首项为,公差为的等差 数列. (1) 求数列的通项公式； （2）令，若不等式对任意N都成立， 求实数的取值范围. 21. （本小题满分14分） 已知函数满足,对于任意R都有,且 ,令. 求函数的表达式； 求函数的单调区间； 研究函数在区间上的零点个数. 参考答案 一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分. 题号123456 78910答案AABCCCBDDC 二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共小题，每小题5分． 13. 32 14.15. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分） …… 2分 …… 3分 . …… 4分 ∴的最小正周期为, 最大值为. …… 6分 (2) 解:∵, ∴. …… 7分 ∴. …… 8分 ∵为锐角，即, ∴. ∴. …… 10分 ∴. …… 12分 17．（本小题满分12分）, …… 1分 , …… 2分 , …… 3分 , …… 4分 ∵, , …… 5分 ∴甲车间的产品的重量相对较稳定. …… 6分 (2) 解: 从乙车间6件样品中随机抽取两件,共有15种不同的取法: ,. …… 8分 设表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过2克”,则的基本事件有4种: ,. …… 10分 故所求概率为. …… 12分 18. （本小题满分1分）,设与相交于点,连接, ∵ 四边形是平行四边形, ∴点为的中点. ∵为的中点， ∴为△的中位线, ∴ . …… 3分 ∵平面,平面, ∴平面. …… 6分 (2)解法1: ∵平面,平面, ∴ 平面平面，且平面平面. 作，垂足为，则平面， …… 8分 ∵，， 在Rt△中，，， …… 10分 ∴四棱锥的体积 …… 12分 . ∴四棱锥的体积为. …… 14分 解法2: ∵平面,平面, ∴. ∵, ∴. ∵, ∴平面. …… 8分 取的中点,连接,则, ∴平面. 三棱柱的体积为, …… 10分 则,. …… 12分 而, ∴. ∴. ∴四棱锥的体积为. …… 14分 19．（本小题满分1分）的坐标为,依题意,得, 即, …… 2分 化简得:, ∴曲线的方程为. …… 4分 解法2:由于动点与点的距离和它到直线的距离相等， 根据抛物线的定义可知, 动点的轨迹是以点为焦点,直线为准线的抛物线. …… 2分 ∴曲线的方程为. …… 4分 （2）解: 设点的坐标为,圆的半径为， ∵ 点是抛物线上的动点, ∴(). ∴ …… 6分 . ∵,∴,则当时,取得最小值为, …… 8分 依题意得 , 两边平方得, 解得或(不合题意,舍去). …… 10分 ∴,,即. ∴圆的圆心的坐标为. ∵ 圆与轴交于两点，且, ∴ . ∴. …… 12分 ∵点到直线的距离, ∴直线与圆相离. …… 14分 20．（本小题满分1分）是首项为,公差为的等差数列， ∴. ∴. …… 2分 当时，； 当时，. 又适合上式. ∴. …… 4分 （2）解： . …… 6分 ∴ . …… 8分 故要使不等式对任意N都成立， 即对任意N都成立， 得对任意N都成立. …… 10分 令，则. ∴. ∴. …… 12分 ∴. ∴实数的取值范围为. …… 14分 [另法]: . ∴. ∴. …… 12分 ∴. ∴实数的取值范围为. …… 14分 21．（本小题满分1分），∴. …… 1分 ∵对于任意R都有, ∴函数的对称轴为，即，得. …… 2分 又，即对于任意R都成立， ∴,且． ∵， ∴． ∴． …… 4分 (2) 解： …… 5分 ① 当时，函数的对称轴为， 若，即，函数在上单调递增； …… 6分 若，即，函数在上单调递增，在上单调递减． …… 7分 ② 当时，函数的对称轴为， 则函数在上单调递增，在上单调递减． …… 8分 综上所述，当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为 ； …… 9分 当时，函数单调递增区间为和，单调递减区间为 和． …… 10分 (3)解：① 当时，由(2)知函数在区间上单调递增， 又， 故函数在区间上只有一个零点． …… 11分 ② 当时，则，而， ， （）若，由于， 且， 此时，函数在区间上只有一个零点； …… 12分 （）若，由于且，此时，函数在区间 上有两个不同的零点． …… 13分 综上所述，当时，函数在区间上只有一个零点； 当时，函数在区间上有两个不同的零点． (14) 输入 否 是 结束 输出k ,n k＝k＋1 ＝3 开始。
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广东省2012届高三数学文科仿真模拟卷8 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知复数，则在复平面上表示的点位于（ B ）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限 2．已知集合，，则为（ D ） A、 B、 C、D、 3．函数的零点所在的大致区间是（ B ） A．B(1,2)C．D． 若向量，且，那么 A．0 B． C．4 D．4或 5. 函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（ ）A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度 ①平行于同一平面的两个不重合的平面平行； ②平行于同一直线的两个不重合的平面平行； ③垂直于同一平面的两个不重合的平面平行； ④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行； 其中真命题的个数是（ B ） A．1 B．2 C．3 D．4 8. 已知平面上不重合的四点P，A，B，C满足，那么实数m的值为（ B ） A．2 B．3 C．4 D．5 9.过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是 ( ) A． B． C． D．，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则等于（ D ） A．0B．lC．3lg2 D．2lg2 二、填空题： 本大题共小题，考生作答小题，每小题5分，满分分．已知平面向量 则实数的值 ； ．所表示的区域内的点有 3 个. 13. 已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是 ,_______ ； （二）选做题，14、15两题任选一个，做对记5分，两题都做以第一题记分 14．若直线与直线垂直，则常数=． 15．如图，AB是⊙O的直径，延长AB到点P，使，过 点作⊙O的切线，切点为，连接， 则__ _． 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 已知函数（1）求函数的最小正周期和最大值； （2）在给定的坐标系内，用五点作图法画出函数在一个周期内的图象（） ……………………………………………………………2分 ， ……………………………………………………………4分 的最小正周期为，的最大值为．… ………………6分 （2）列表： 函数在一个周期内的图象如图：病毒暴发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过)，公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表： A组B组C组疫苗有效673疫苗无效7790已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组疫苗有效的概率是0.33. （1）求的值； （2）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取多少个？ （3）已知y465,z25,求不能通过测试的概率. 解：（1）在全体样本中随机抽取1个，抽到B组疫苗有效的概率约为其频率 …… (1分) 即 ………………(4分) （2）C组样本个数为y＋z＝2000－（673＋77＋660＋90）＝500， …………………(5分) 现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取个数为 个 ………(8分) （3）设测试不能通过事件为A ，C组疫苗有效与无效的可能的情况记为（y，z）……(9分) 由（2）知 ，且 ,基本事件空间包含的基本事件有： （465，35）、（466，34）、（467，33）、……（475，25）共11个 ……………… (10分) 若测试不能通过，则77+90+z>200，即z>33 事件A包含的基本事件有：（（465，35）、（466，34）共2个 …………………(11分) 故不能通过测试的概率为 …………(12分) 18. （本题满分1分） 是等腰直角三角形，，、分别为、的中点，将沿折起，使在平面上的射影恰为的中点，得到图（2）． （1）求证：； （2）求三棱锥的体积． （Ⅰ）证法一：在中，是等腰直角的中位线， 在四棱锥中，，， ……………2分 平面， ……5分 又平面, …………7分 证法二：同证法一 …………2分 平面， ………5分 又平面, ……………………8分 （Ⅱ）在直角梯形中， , ……10分 又垂直平分， ……12分 三棱锥的体积为： ………14分 19.（本题满分1分） 分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆上、下顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且四边形ACBD 的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）设Q为椭圆上异于A、B的点，求证： （3）设为直线上不同于点（，0）的任意一点， 若直线，分别与椭圆相交于异于的点，证明：点在以为直径的圆内 解：（1）依题意得，，， 解得a＝2，c＝1， b＝ 故椭圆的方程为 ………………4分 （2）由（）得A（－2，0），B（2，0） 则 故得证…………………8分 （3）解法1：由（）得A（－2，0），B（2，0） 设M（x0，y0） M点在椭圆上，＝（4－x02） ① 又点M异于顶点A、B，－2<x00，·>0，则MBP为锐角，从而MBN为钝角， 故点B在以MN为直径的圆内 解法2：由（）得A（－2，0），B（2，0） 设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则－2<x1<2，－2<x2<2，又MN的中点Q的坐标为（，）， 依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差 －＝(－2）2＋（）2－[(x1－x2)2＋(y1－y2)2] ＝（x1－2) (x2－2)＋y1y1 又直线AP的方程为，直线BP的方程为， 而点两直线AP与BP的交点P在准线x＝4上， ，即 又点M在椭圆上，则，即 于是将、代入，化简后可得－＝ 从而，点B在以MN为直径的圆内 20.（本小题满分1分） 为两个正数，且，设当，时， ． （Ⅰ）求证：数列是递减数列，数列是递增数列； （Ⅱ）求证：； （Ⅲ） (Ⅰ)证明：易知对任意，，． 由可知即． 同理，，即． 可知对任意，． ， 所以数列是递减数列． ， 所以数列是递增数列． …………5分 (Ⅱ)证明：． …………10分 （Ⅲ）解：由，可得． ……………14分 21．（本题满分14分） 在区间上，如果函数为增函数，而函数为减函数，则称函数为“弱增”函数．已知函数． （1）判断函数在区间上是否为“弱增”函数； （2）设，证明； （3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． （1）显然在区间为增函数，……..1分 ，……..4分 为减函数. 在区间为“弱增”函数. ……………………分 （2） ..8分 , ,.……分 . .……分 （3）当时，不等式恒成立. 当时,不等式显然成立. ……..12分 当时.等价于: ……..14分 由(1) 为减函数,，.……分 结束 输出s 否 开始。
2012广二模(文科)试卷与答案
图1895x 061162y 116987乙甲 试卷类型：A2012年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数 学（文科）2012．4本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A 满足{}1,2A ⊆，则集合A 的个数为A ．4B ．3C ．2D ．1 2．已知i 为虚数单位，复数1z a =+i ,22z =-i ,且12z z =，则实数a 的值为 A ．2 B ．2- C ．2或2- D ．±2或03．已知双曲线221y x m-=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是A ．4B ．14 C ．14- D ．4- 4．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图1，其中甲班学生的 平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x +y 的值为A ．7B ．8C ．9D ．10图3BA5．已知向量()()3,4,6,3,OA OB =-=- ，(),1OC m m =+ ，若//AB OC，则实数m 的值为 A ．32-B ．14-C ．12D ．326．已知函数()f x =e x -e 1x -+ (e 是自然对数的底数)，若()2f a =，则()f a -的 值为A ．1--eB ．-eC ．eD ． 1+e7. 已知两条不同直线m 、l ，两个不同平面α、β，在下列条件中，可得出αβ⊥的是 A ．m l ⊥，//l α，//l β B ．m l ⊥，l αβ= ，m α⊂ C ．//m l ，l β⊥，m α⊂ D ．//m l ，m α⊥，l β⊥ 8．下列说法正确的是 A ．函数()1f x x=在其定义域上是减函数 B ．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C ．命题“x ∃∈R ，210x x ++>”的否定是“x ∀∈R ，21x x ++D ．给定命题p 、q ，若p q ∧是真命题，则p ⌝是假命题9．阅读图2的程序框图, 该程序运行后输出的k 的值为 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 10. 已知实数,a b 满足22430a b a +-+=，函数()sin cos 1f x a x b x =++的最大值记为(),a b ϕ， 则(),a b ϕ的最小值为A ．1B ．2C 1D ．3二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题）11．不等式2230x x +-<的解集是 . 12．如图3，,A B 两点之间有4条网线连接，每条网线能通过的最大信息量分别为1,2,3,4.从中任取两条网线，则这两条 网线通过的最大信息量之和为5的概率是 .图4A13．已知点P 是直角坐标平面xOy上的一个动点，OP =（点O 为坐标原点），点()1,0M -，则cos OPM ∠的取值范围是 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若等边三角形(ABC 顶点A ,,B C 按顺时 针方向排列)的顶点,A B 的极坐标分别为72,,2,66ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则顶点C 的极坐标 为 . 15．（几何证明选讲选做题）如图4，AB 是圆O 的直径，延长AB 至C ， 使2BC OB =，CD 是圆O 的切线，切点为D ，连接AD ，则ADBD的值为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知函数()()()cos sin cos sin f x x x x x =+-. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若0,022ππαβ<<<<，且12,2323f f αβ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求()sin αβ-的值.17．（本小题满分12分）某工厂欲将这三种食物混合成100kg 的混合食物，设所用食物甲、乙、丙的重量分别为x kg 、y kg 、z kg. (1) 试以x 、y 表示混合食物的成本P ；（2）若混合食物至少需含35000单位维生素C 及40000单位维生素D ，问x 、y 、z 取什么值时，混合食物的成本最少？图5NM DC BA B 1C 1D 1A1图6侧（左）视图正（主）视图18. （本小题满分14分）某建筑物的上半部分是多面体MN ABCD -, 下半部分是长方体1111ABCD A B C D -(如 图5). 该建筑物的正（主）视图和侧（左）视图如图6, 其中正（主）视图由正方形和等 腰梯形组合而成，侧（左）视图由长方形和等腰三角形组合而成. （1）求线段AM 的长；（2）证明：平面ABNM ⊥平面CDMN ； （3）求该建筑物的体积.19．（本小题满分14分）已知对称中心为坐标原点的椭圆1C 与抛物线22:4C x y =有一个相同的焦点1F ， 直线:2l y x m =+与抛物线2C 只有一个公共点. （1）求直线l 的方程；（2）若椭圆1C 经过直线l 上的点P ，当椭圆1C 的长轴长取得最小值时，求椭圆1C 的方程及点P 的坐标.20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n ∈N *，都有0n a >且()()122n n n a a S -+=，令1ln ln n n na b a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）使乘积12k b b b ∙∙⋅⋅⋅∙为整数的(k k ∈N *)叫“龙数”，求区间[]1,2012内的所有“龙数”之和；（3）判断n b 与1n b +的大小关系，并说明理由.21．（本小题满分14分） 已知函数()21ln 2f x x ax x =-+，a ∈R . （1）求函数()f x 的单调区间;（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 的极值大于0？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.2012年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．11．()3,1- 12.13 13.,12⎤⎥⎣⎦14.23π⎛⎫⎪⎝⎭15.说明：第14题答案可以是22(3k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ) 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）(本小题主要考查三角函数的图象与性质、二倍角的余弦、同角三角函数关系、两角差的正弦等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) （1）解：∵()()()cos sin cos sin f x x x x x =+-22cos sin x x =- …………… 2分cos 2x =, …………… 4分∴函数()f x 的最小正周期为22T ππ==. …………… 6分（2）解：由（1）得()cos 2f x x =.∵12,2323f f αβ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴12cos ,cos 33αβ==. …………… 8分 ∵0,022ππαβ<<<<，∴sin α==，sin β==. ……………10分∴()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=- ……………11分2133=⨯-⨯9=……………12分17．（本小题满分12分）(本小题主要考查线性规划等知识, 考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识) （1）解：依题意得100,543.x y z P x y z ++=⎧⎨=++⎩ …………… 2分由100x y z ++=，得100z x y =--，代入543P x y z =++，得3002P x y =++. …………… 3分(2) 解:依题意知x 、y 、z 要满足的条件为0,0,0,30050030035000,70010030040000.x y z x y z x y z ≥≥≥⎧⎪++≥⎨⎪++≥⎩……… 6分把100z x y =--代入方程组得0,0,1000,250,25.x y x y x y y ≥≥⎧⎪--≥⎪⎨-≥⎪⎪≥⎩…… 9如图可行域（阴影部分）的一个顶点为A ()37.5,25.…让目标函数2300x y P ++=在可行域上移动,由此可知3002P x y =++在A ()37.5,25……… 11∴当37.5x =(kg),25y =(kg),37.5z =(kg)时, 混合食物的成本最少. ……… 12分Q 1P 1QPO N M D CBAB 1C 1D 1A 118. （本小题满分14分）(本小题主要考查空间线面关系、几何体的三视图、几何体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) （1）解：作MO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，连接AO ， 由于AB ⊂平面ABCD ，故MO AB ⊥.作MP AB ⊥，垂足为P ，连接PO ，又MO MP M = ，且MO ⊂平面MPO ，MP ⊂平面MPO ，∴AB ⊥平面MPO . …………… 1分 由题意知1,MO PO AP ===14AA =，2AD =， …………… 2分 在R t △POM中，PM == …………… 3分 在R t △APM中，AM == …………… 4分∴线段AM…………… 5分 （2）解：延长PO 交CD 于点Q ，连接MQ ，由（1）知AB ⊥平面MPO . ∵MQ ⊂平面MPO ， ∴AB ⊥MQ . ∵//MN AB ，∴MN MQ ⊥. …………… 6分 在△PMQ中，2MQ MP PQ ===，∵2224MP MQ PQ +==，∴MP MQ ⊥. …………… 7分 ∵,MP MN M MP =⊂ 平面ABNM ，MN ⊂平面ABNM ，∴MQ ⊥平面ABNM . …………… 8分 ∵MQ ⊂平面CDMN ，∴平面ABNM ⊥平面CDMN . …………… 9分Q 1OQ PNMD C BAB 1C 1D 1A 1（3）解法1：作1//NP MP 交AB 于点1P ，作1//NQ MQ 交CD 于点1Q ， 由题意知多面体MN ABCD -可分割为两个等体积的四棱锥M APQD -和11N P BCQ -和一个直三棱柱11MPQ NPQ -.四棱锥M APQD -的体积为113V AP AD MO = 1212133=⨯⨯⨯=，………… 10分 直三棱柱11MPQ NPQ -的体积为2112222V MP MQ MN === ，…11分 ∴多面体MN ABCD -的体积为122V V V =+2102233=⨯+=. …………… 12分长方体1111ABCD A B C D -的体积为3142432V AB BC AA ==⨯⨯= . ……… 13分 ∴建筑物的体积为31063V V +=. ……… 14分 解法2：如图将多面体MN ABCD -补成一个直三棱柱1ADQ BCQ -，依题意知1111AQ DQ BQ CQ MQ NQ ======，2AD =.多面体MN ABCD -的体积等于直三棱柱1ADQ BCQ -的体积 减去两个等体积的三棱锥M ADQ -和1N BCQ -的体积. ∵2224AQ DQ AD +==， ∴90AQD ︒∠=.直三棱柱1ADQ BCQ -的体积为1114422V AQ DQ AB === ，… 10分 三棱锥M ADQ -的体积为2V=11111132323AQ DQ MQ =⨯= . … 11分∴多面体MN ABCD -的体积为V =122102433V V -=-=. …… 12分长方体1111ABCD A B C D -的体积为3142432V AB BC AA ==⨯⨯= . ……… 13分 ∴建筑物的体积为31063V V +=. ……………… 14分 19．（本小题满分14分）(本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力) （1）解法1：由22,4y x m x y=+⎧⎨=⎩消去y ，得2840x x m --=. …………… 1分∵直线l 与抛物线2C 只有一个公共点，∴28440m ∆=+⨯=，解得4m =-. …………… 3分 ∴直线l 的方程为24y x =-. …………… 4分 解法2：设直线l 与抛物线2C 的公共点坐标为()00,x y ， 由214y x =，得'12y x =， ∴直线l 的斜率0'012x x k yx ===. …………… 1分 依题意得0122x =，解得04x =. …………… 2分 把04x =代入抛物线2C 的方程，得04y =. ∵点()00,x y 在直线l 上，∴424m =⨯+，解得4m =- ∴直线l 的方程为24y x =-. （2）解法1：∵抛物线2C 的焦点为()10,1F ，依题意知椭圆1C 的两个焦点的坐标为(1F 设点()10,1F 关于直线l 的对称点为('10,F x 则0000121,12 4.22y x y x -⎧⨯=-⎪⎪⎨+⎪=⨯-⎪⎩…………… 7分解得004,1.x y =⎧⎨=-⎩∴点()'14,1F -. …………… 8分∴直线l 与直线'12:1F F y =-的交点为0P 由椭圆的定义及平面几何知识得：椭圆1C 的长轴长'1212a PF PF PF =+=其中当点P 与点0P 重合时，上面不等式取等号.∴当2a =时，椭圆1C 的长轴长取得最小值，其值为4. …………… 12分此时椭圆1C 的方程为22143y x +=，点P 的坐标为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭. …………… 14分 解法2：∵抛物线2C 的焦点为()10,1F ，依题意知椭圆1C 的两个焦点的坐标为()()120,1,0,1F F -. …………… 5分设椭圆1C 的方程为()2222111y x a a a +=>-， …………… 6分由222224,11y x y x aa =-⎧⎪⎨+=⎪-⎩消去y ， 得()()()()22222541611160a x a x a a---+--=.（*） …………… 7分由()()()()222221614541160a a a a ⎡⎤∆=-----≥⎣⎦， …………… 8分 得425200a a -≥. …………… 9分 解得24a ≥.∴2a ≥. …………… 11分 ∴当2a =时，椭圆1C 的长轴长取得最小值，其值为4. …………… 12分此时椭圆1C 的方程为22143y x +=. …………… 13分把2a =代入（*）方程，得3,12x y ==-， ∴点P 的坐标为3,12⎛⎫-⎪⎝⎭. …………… 14分 20．（本小题满分14分）(本小题主要考查数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) （1）解：由于()()122nn na a S -+=222n n a a +-=，当1n =时，2111122a a a S +-==， …………… 1分整理得21120a a --=， 解得12a =或11a =-. ∵0n a >，∴12a =. …………… 2分 当2n ≥时，1n n n a S S -=-22112222n n n n a a a a --+-+-=-， …………… 3分 化简得22110n n n n a a a a -----=， ∴()()1110n n n n a a a a --+--=. ∵0n a >，∴11n n a a --=. …………… 4分 ∴数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列.∴()211n a n n =+-=+. …………… 5分 （2）解：∵1ln ln n n na b a +==()()ln 2ln 1n n ++， ∴12k b b b ∙∙⋅⋅⋅∙ ()()ln 2ln 3ln 4ln 2ln 3ln 1k k +=+ ()ln 2ln 2k +==()2log 2k +. …………… 6分 令()2log 2k +m =，则22(mk m =-为整数）， …………… 7分由1222012m ≤-≤，得322014m≤≤， ∴2,3,4,,10m = .∴在区间[]1,2012内的k 值为231022,22,,22--- ， …………… 8分其和为()()()2310222222-+-++- ()231022229=+++-⨯()292121812⨯-=-- …………… 9分2026=. …………… 10分 （3）解法1：∵()()()()ln 2ln 11ln 1ln 1n n n b n n ++=>=++，∴()()()()1ln 3ln 2ln 2ln 1n n n n b n b n +++=++()()()2ln 3ln 1ln 2n n n ++=+ …………… 11分()()()22ln 3ln 12ln 2n n n +++⎡⎤⎢⎥⎣⎦<+ …………… 12分()()()22ln 314ln 2n n n ++⎡⎤⎣⎦=+()22231ln 24ln 2n n n ⎡⎤+++⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦<+ …………… 13分1=.∴1n n b b +<. …………… 14分 解法2：∵()()()()ln 2ln 11ln 1ln 1n n n b n n ++=>=++，∴()()()()1ln 3ln 2ln 2ln 1n n n n b b n n +++-=-++()()()()()2ln 3ln 1ln 2ln 2ln 1n n n n n ++-+=++ …………… 11分()()()()()22ln 3ln 1ln 22ln 2ln 1n n n n n +++⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦<++ …………… 12分()()()()()22ln 31ln 22ln 2ln 1n n n n n ++⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦=++()()()222131ln ln 222ln 2ln 1n n n n n ⎡⎤+++⎛⎫-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦<++ …………… 13分0=.∴1n n b b +<. …………… 14分 解法3：设()()()ln 12ln x f x x x+=≥，则()()'211ln ln 11ln x x x x f x x-++= . …………… 11分 ∵2x ≥，∴()()1111ln ln 1ln ln 101x x x x x x x x-+<-+<+ .∴()'0fx <. …………… 12分∴函数()f x 在[)2,+∞上单调递减. ∵n ∈N *， ∴212n n ≤+<+. ∴()()21f n f n +<+.∴()()()()ln 3ln 2ln 2ln 1n n n n ++<++. …………… 13分∴1n n b b +<. …………… 14分 21．（本小题满分14分）(本小题主要考查函数和方程、导数、函数的极值等知识, 考查函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力)（1）解：函数()f x 的定义域为()0,+∞. …………… 1分()2111ax x f x ax x x--'=-+=-. …………… 2分① 当0a =时，()1x f x x+'=，∵0,x > ∴()'0f x >∴ 函数()f x 单调递增区间为()0,+∞. …………… 3分② 当0a ≠时，令()0f x '=得210ax x x---=，∵0,x >∴210ax x --=. ∴14a ∆=+. （ⅰ）当0∆≤，即14a ≤-时，得210ax x --≤，故()0f x '≥， ∴ 函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞. …………… 4分 （ⅱ）当0∆>，即14a >-时，方程210ax x --=的两个实根分别为112x a =，212x a+=. …………… 5分若104a -<<，则120,0x x <<，此时，当()0,x ∈+∞时，()0f x '>. ∴函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞， …………… 6分 若0a >，则120,0x x <>，此时，当()20,x x ∈时，()0f x '>，当()2,x x ∈+∞时，()0,f x '<∴函数()f x 的单调递增区间为0,⎛ ⎝⎭，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭. …………… 7分综上所述，当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为10,2a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭； 当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞，无单调递减区间. ………… 8分（2）解：由(1)得当0a ≤时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增，故函数()f x 无极值；…………… 9分当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为⎛ ⎝⎭，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭；则()f x 有极大值，其值为222221()ln 2f x x ax x =-+，其中2x =. … 10分 而22210ax x --=，即2221ax x =+，∴2221()ln 2x f x x -=+. …………… 11分 设函数1()ln (0)2x h x x x -=+>，则'11()02h x x =+>， …………… 12分则1()ln 2x h x x -=+在()0,+∞上为增函数.又(1)0h =，则()0h x >等价于1x >. ∴2()f x =221ln 2x x -+0>等价于21x >. …………… 13分 即在0a >时，方程210ax x --=的大根大于1，设2()1x ax x ϕ=--，由于()x ϕ的图象是开口向上的抛物线，且经过点(0,1)-，对称 轴102x a=>，则只需(1)0ϕ<，即110a --<解得2a <，而0a >， 故实数a 的取值范围为()0,2. ……………… 14分 说明:若采用下面的方法求出实数a 的取值范围的同样给1分.1.由于111222a a a ==()0,+∞是减函数，而112a =时，2a =，故112a+>的解集为()0,2，从而实数a 的取值范围为()0,2．2.解不等式112a>，而0a >，通过分类讨论得出实数a 的取值范围为()0,2.。
广州市2012届高三年级调研测试答案(文科数学)
广州市2012届高三年级调研测试数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．11．0.32 12．9 13． 14．1 15三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）解：（1）因为3cos 5ADC ∠=，所以4sin 5ADC ∠==．…………………………………………………………2分 因为5sin 13BAD ∠=，所以12cos 13BAD ∠==．…………………………………………………………4分 因为ABD ADC BAD ∠=∠-∠，所以()sin sin ABD ADC BAD ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC BAD ADC BAD =∠∠-∠∠ ………………………………6分 412353351351365=⨯-⨯=．…………………………………………………………8分 （2）在△ABD 中，由正弦定理，得sin sin BD ADBAD ABD =∠∠，………………………………10分所以533sin 132533sin 65AD BAD BD ABD⨯⨯∠===∠．……………………………………………………12分 17．（本小题满分12分）解：（1）从表中可以看出，“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分（即3x ≥且3y ≥）的社区数量为24个．…………………………………………………………………………………2分 设这个社区能进入第二轮评比为事件A ，则()P A =24125025=． 所以这个社区能进入第二轮评比的概率为1225．……………………………………………………4分 （2）从表中可以看出，“居民素质”得1分的社区共有()4a +个，……………………………6分 因为“居民素质”得1分的概率为110， 所以415010a +=．………………………………………………………………………………………8分 解得1a =．……………………………………………………………………………………………10分 因为社区总数为个，所以4750a b ++=．解得．……………………………………………………………………………………………12分 18．（本小题满分14分）解：（1）因为2221=-+n n a a ，所以数列{}2n a 是首项为1，公差为2的等差数列．…………………………………………………2分 所以122)1(12-=⨯-+=n n a n ．…………………………………………………………………4分因为0>n a，所以n a =()*n ∈N ．………………………………………………………6分（2）由（1）知，n a =22122n n na n -=．……………………………………………7分 所以231135232122222n n nn n S ---=+++++， ①…………………………………………8分 则234111352321222222n n n n n S +--=+++++， ②…………………………………………9分 ①－②得，2341112222212222222n n n n S +-=+++++-…………………………………………11分234111111212222222n n n +-⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭ 1111112142212212n n n -+⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+⨯--…………………………………………………12分132322n n ++=-．……………………………………………………………………13分 所以2332n nn S +=-．………………………………………………………………………………14分 19．（本小题满分14分）（1）证明：因为ABCD 是正方形，所以BD AO ⊥，BD CO ⊥．…………………………1分 在折叠后的△ABD 和△BCD 中，仍有BD AO ⊥，BD CO ⊥．…………………………2分 因为AO CO O =，所以BD ⊥平面AOC ．………3分 因为BD ⊂平面BCD ，所以平面AOC ⊥平面BCD ．…………………………4分 （2）解：设三棱锥A BCD -的高为h ， 由于三棱锥A BCD -的体积为3所以133BCD S h ∆=．………………………………………………………………………………5分 因为1122222BCD S BC CD ∆=⨯=⨯⨯=，所以2h =．………………………………………6分 以下分两种情形求AC 的长：①当AOC ∠为钝角时，如图，过点A 作CO 的垂线交CO 的延长线于点H ， 由（1）知BD ⊥平面AOC ，所以BD AH ⊥．又CO AH ⊥，且CO BD O =，所以AH ⊥平面BCD ． 所以AH 为三棱锥A BCD -的高，即2AH =．………………………………………………7分 在Rt △AOH中，因为AO =所以OH =2==8分 在Rt △ACH中，因为CO =则22CH CO OH =+=+=．……………9分所以AC ===10分②当AOC ∠为锐角时，如图，过点A 作CO 的垂线交CO 于点H ， 由（1）知BD ⊥平面AOC ，所以BD AH ⊥．又CO AH ⊥，且CO BD O =，所以AH ⊥平面BCD ．所以AH 为三棱锥A BCD -的高，即AH =11分在Rt △AOH中，因为AO =，所以OH =2==12分 在Rt △ACH中，因为CO =则CH CO OH =-==．……………………………………………………………13分所以AC ===综上可知，AC．…………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）解：（1）由题设知，2A⎛⎫⎪⎭，)1F ，…………………………………………1分由112OF AF +=0，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-22222222a a a a ．……………………………………3分 解得62=a ．所以椭圆M 的方程为126:22=+y x M ．…………………………………………………………4分 （2）方法1：设圆()12:22=-+y x N 的圆心为N ，则()()-⋅-=⋅ ………………………………………………………………6分 ()()NF NP NF NP =--⋅-……………………………………………………………7分2221NP NF NP =-=-．………………………………………………………………8分从而求PF PE ⋅的最大值转化为求2NP 的最大值．………………………………………………9分 因为P 是椭圆M 上的任意一点，设()00,y x P ，…………………………………………………10分所以1262020=+y x ，即202036y x -=．…………………………………………………………11分因为点()2,0N ，所以()()121222020202++-=-+=y y x ．……………………………12分因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，2取得最大值12．……………………………13分所以PF PE ⋅的最大值为11．………………………………………………………………………14分 方法2：设点112200(,),(,),(,)E x y F x y P x y ， 因为,E F 的中点坐标为(0,2)，所以2121,4.x x y y =-⎧⎨=-⎩ ………………………………………………6分所以10201020()()()()PE PF x x x x y y y y ⋅=--+--……………………………………………7分 10101010()()()(4)x x x x y y y y =---+---222201011044x x y y y y =-+-+-22220001114(4)x y y x y y =+--+-．…………………………………………………9分因为点E 在圆N 上，所以2211(2)1x y +-=，即2211143x y y +-=-．………………………10分因为点P 在椭圆M 上，所以2200162x y +=，即220063x y =-．…………………………………11分所以PE PF ⋅200249y y =--+202(1)11y =-++．……………………………………………12分因为0[y ∈，所以当01y =-时，()min11PE PF⋅=．………………………………14分方法3：①若直线EF 的斜率存在，设EF 的方程为2y kx =+，………………………………6分由⎩⎨⎧=-++=1)2(222y x kx y ，解得112+±=k x ．………………………………………………………7分 因为P 是椭圆M 上的任一点，设点()00,y x P ，所以1262020=+y x ，即202036y x -=．…………………………………………………………8分所以002PE x y ⎛⎫=-+-⎪⎭，00,2PF x y ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ ……………………………………………………9分 所以11)1(21)2(1)2(11202020222022++-=--+=+--++-=⋅y y x k k y k x ． ……………………………………………………10分因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，PF PE ⋅取得最大值11．…………………………11分②若直线EF 的斜率不存在，此时EF 的方程为0x =，由220(2)1x x y =⎧⎨+-=⎩，解得1y =或3y =． 不妨设，()0,3E ，()0,1F ．………………………………………………………………………12分 因为P 是椭圆M 上的任一点，设点()00,y x P ，所以1262020=+y x ，即202036y x -=．所以()00,3PE x y =--，()00,1PF x y =--． 所以2220000432(1)11PE PF x y y y ⋅=+-+=-++．因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，PF PE ⋅取得最大值11．…………………………13分综上可知，PF PE ⋅的最大值为11．………………………………………………………………14分21．（本小题满分14分）解：（1）当3a =时，()3213232f x x x x =-+-，得()2'32f x x x =-+-．…………………1分 因为()()()2'3212f x x x x x =-+-=---， 所以当12x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当1x <或2x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减．所以函数()f x 的单调递增区间为()1,2，单调递减区间为(),1-∞和()2,+∞．………………3分 （2）方法1：由()321232a f x x x x =-+-，得()2'2f x x ax =-+-， 因为对于任意[)1,x ∈+∞都有'()2(1)f x a <-成立， 即对于任意[)1,x ∈+∞都有222(1)x ax a -+-<-成立，即对于任意[)1,x ∈+∞都有220x ax a -+>成立，………………………………………………4分令()22h x x ax a =-+，要使对任意[)1,x ∈+∞都有()0h x >成立，必须满足0∆<或()0,1,210.ah ∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪⎪>⎩…………………………………………………………………………5分即280a a -<或280,1,210.a a a a ⎧-≥⎪⎪≤⎨⎪+>⎪⎩………………………………………………………………………6分所以实数a 的取值范围为()1,8-．…………………………………………………………………7分 方法2：由()321232a f x x x x =-+-，得()2'2f x x ax =-+-， 因为对于任意[)1,x ∈+∞都有'()2(1)f x a <-成立，所以问题转化为，对于任意[)1,x ∈+∞都有[]max '()2(1)f x a <-．……………………………4分因为()22224a a f x x ⎛⎫'=--+- ⎪⎝⎭，其图象开口向下，对称轴为2a x =．①当12a<时，即2a <时，()'f x 在[)1,+∞上单调递减， 所以()()max ''13f x f a ==-，由()321a a -<-，得1a >-，此时12a -<<．………………………………………………5分②当12a ≥时，即2a ≥时，()'f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以()2max''224a a f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，由()22214a a -<-，得08a <<，此时28a ≤<．……………………………………………6分 综上①②可得，实数a 的取值范围为()1,8-．……………………………………………………7分 （3）设点321,232a P t t t t ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭是函数()y f x =图象上的切点， 则过点P 的切线的斜率为()2'2k f t t at ==-+-，………………………………………………8分 所以过点P 的切线方程为()()32212232a y t t t t at x t +-+=-+--．…………………………9分 因为点10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭在切线上， 所以()()32211220332a t t t t at t -+-+=-+--，即322110323t at -+=．……………………………………………………………………………10分 若过点10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭可作函数()y f x =图象的三条不同切线，则方程322110323t at -+=有三个不同的实数解．………………………………………………11分 令()32211323g t t at =-+，则函数()y g t =与t 轴有三个不同的交点．令()220g t t at '=-=，解得0t =或2at =．……………………………………………………12分因为()103g =，3112243a g a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 所以必须31102243a g a ⎛⎫=-+<⎪⎝⎭，即2a >．……………………………………………………13分 所以实数a 的取值范围为()2,+∞．………………………………………………………………14分。