第三章集合的基数
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离散数学 实数集合与集合的基数
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可以从0/1开始按照箭头指定次序排列Q中元素 所以N≈Q 。 2 另外 Z×Z≈N 如右图所示。 1
-3 -2 -1 0 -1 -2 1 2 3
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...Βιβλιοθήκη ......(0, 1)≈R. 解: x(0, 1), f(x)=tgπ 例: [0, 1]≈(0, 1)
例:
2x 1 2
.
1 4 1 f (x) 2 x 4 x
§4 集合的基数
定义: 设A为任意一个集合, 用card(A)表示A中的元素 个数, 并称card(A)为集合A的基数. 作以下5条规定: (1) 对集合A, B, 规定 card(A)=card(B) AB (2) 对有限集合A, 规定与A等势的自然数n为A的基 数. 记作: card(A)=n. (3) 对自然数集合N, 规定 card(N)=0 (4) 对于实数集合R, 规定 card(R)=1 (5) 将0, 1, 2, … , 0, 1都称作基数. 其中自然数0, 1, 2, … 称为有限基数, 0, 1称为无限基数.
定理.
集合A是无限可数集合A可写成如下 的式{a1, a2, …, an, …}.
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可以从0/1开始按照箭头指定次序排列Q中元素 所以N≈Q 。 2 另外 Z×Z≈N 如右图所示。 1
-3 -2 -1 0 -1 -2 1 2 3
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...Βιβλιοθήκη ......(0, 1)≈R. 解: x(0, 1), f(x)=tgπ 例: [0, 1]≈(0, 1)
例:
2x 1 2
.
1 4 1 f (x) 2 x 4 x
§4 集合的基数
定义: 设A为任意一个集合, 用card(A)表示A中的元素 个数, 并称card(A)为集合A的基数. 作以下5条规定: (1) 对集合A, B, 规定 card(A)=card(B) AB (2) 对有限集合A, 规定与A等势的自然数n为A的基 数. 记作: card(A)=n. (3) 对自然数集合N, 规定 card(N)=0 (4) 对于实数集合R, 规定 card(R)=1 (5) 将0, 1, 2, … , 0, 1都称作基数. 其中自然数0, 1, 2, … 称为有限基数, 0, 1称为无限基数.
定理.
集合A是无限可数集合A可写成如下 的式{a1, a2, …, an, …}.
3.3 集合的基数
4
第三章
例1 整数集 Z, 自然数集N， Z≈N
f: Z→N,
2x f (x) 2 x 1 x 0 x 0
则f是Z到N的双射函数, 因此, 有 Z≈N.
5
第三章 例2 N N≈N 为建立N N到N的双射函数, 只需把 N N中所有的元素排成一个有序图形, 如右图所示.N N中的元素恰好是坐标 平面上第一象限(含坐标轴在内)中所有 整数坐标的点. 如果能够找到“数遍”这些点的方法, 这个计数过程就是建 立N N到N的双射函数的过程.按照图中箭头所标明的顺序, 从 <0, 0>开始数起, 依次得到下面的序列:
9
四. 可数集
第三章
定义 集合A与自然集等势的，即A≈N,称为A可数集或可列集. 注： (1)实际上, P(N), {0, 1}N和R都是比N“更大”的集合. 这里的“大”至今为止还没有给出其严格的定义,且永无尽 头. (2)实数集R不是可数集; 与R等势的集合也不是可数集.
10
第三章
关于可数集有下面的命题: 可数集的无穷子集都是可数集 两个可数集的并是可数集 两个可数集的笛卡尔积是可数集 可数个可数集的笛卡尔积仍是可数集 无穷集A的幂集P(A)不是可数集
第三章
第三节
集合的基数
1
集合的基数
第三章
问题提出：有穷集中的元素的个数是说得清的，但无穷集呢？ (1)无穷集中元素个数怎么定义？ (2)有理数集中元素比自然集多吗？ 实数集，复数集，（0,1），[0,1]等 目标： (1) 规定若干标准集合的基数. (2)如何测量各种集合的基数，尤其是无穷集.
2
一. 几个标准集合的基数
11
第三章
作业： P77 12,14
集合的概念、表示方法和运算
例如，设h是“张华”，C是中国公民的集合，U是参加 联合国的成员国集合。于是有 h ∈C，C∈U。 但h∉ U。
特定的一些集合的表示符号
（1）自然数集 N={0，1，2，…}
（2）整数集合 I={…-2，-1，0，1，2，…}
（3）正整数集合 I＋={1,2,3,4…} （4）有理数集合 Q={xx=Pq，p,qI}
P（{{a,{b,c}}}）＝｛，{{a,{b,c}}}｝
一、集合的概念、表示方法及集合的运算
5、注意点：
• 和
• ，
例题：A={a, {b}, c} 则a A, b A, c A {a} A, {b}A, {c} A
• A= {},则有 A, A，{ }A, {} A
作业：P86
第二篇 集 合 论
集合论是现代各科数学的基础。在数学发展 中，集合理论一方面扩充了数学研究的对象，另 一方面集合理论又为数学奠定了基础。
本章介绍集合论的基础知识如： 集合运算、性质、序偶、关系等。
第 三 章： 集合与关系
3－1、集合的概念、表示方法
1、集合定义：具有共同性质的东西汇集成的一个整体。
= E， A A＝E
A A＝
(3) 集合的补集
定理3-2.4德∙摩根律 (AB)= AB (AB)= AB
例题：求证A-B=AB 证明： A-B={xxAx B}
=AB
定理： A，B，C为三个集合，则A(B-C)=(AB)-(AC)
证明： A(B-C) = A(B C) = A B C
•定理： A B＝A B
•定理：C(AB) = (CA)(CB)
注： C (A B) ≠ (C A)(C B) C (A B) ≠ (C A) (C B)
特定的一些集合的表示符号
（1）自然数集 N={0，1，2，…}
（2）整数集合 I={…-2，-1，0，1，2，…}
（3）正整数集合 I＋={1,2,3,4…} （4）有理数集合 Q={xx=Pq，p,qI}
P（{{a,{b,c}}}）＝｛，{{a,{b,c}}}｝
一、集合的概念、表示方法及集合的运算
5、注意点：
• 和
• ，
例题：A={a, {b}, c} 则a A, b A, c A {a} A, {b}A, {c} A
• A= {},则有 A, A，{ }A, {} A
作业：P86
第二篇 集 合 论
集合论是现代各科数学的基础。在数学发展 中，集合理论一方面扩充了数学研究的对象，另 一方面集合理论又为数学奠定了基础。
本章介绍集合论的基础知识如： 集合运算、性质、序偶、关系等。
第 三 章： 集合与关系
3－1、集合的概念、表示方法
1、集合定义：具有共同性质的东西汇集成的一个整体。
= E， A A＝E
A A＝
(3) 集合的补集
定理3-2.4德∙摩根律 (AB)= AB (AB)= AB
例题：求证A-B=AB 证明： A-B={xxAx B}
=AB
定理： A，B，C为三个集合，则A(B-C)=(AB)-(AC)
证明： A(B-C) = A(B C) = A B C
•定理： A B＝A B
•定理：C(AB) = (CA)(CB)
注： C (A B) ≠ (C A)(C B) C (A B) ≠ (C A) (C B)
离散数学 教案 集合论—基本概念部分(2)
西南科技大学
(分配律 分配律) 分配律
(已知代入) (已知代入) 已知代入
∀x∈C ⇒x∈(A∩B)∪C ∈ ∈ ∩ ∪
8
计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 试证： ∪ 例4. 试证：(A∪B)-(A∩B)=(A-B)∪(B-A) ∩ ∪ 证明：左边 ∩∼(A∩ 证明：左边=(A∪B)∩∼ ∩B) ∪ ∩∼ =(A∪B)∩(∼A∪∼ ∪ ∩ ∼ ∪∼ ∪∼B) =∅∪ ∩∼ ∪(B∩∼ ∪∅ ∅∪(A∩∼ ∩∼A)∪∅ ∅∪ ∩∼B)∪ ∩∼ =(A-B)∪(B-A) ∪ 故原等式成立，证毕。 故原等式成立，证毕。 (德摩根律 德摩根律) 德摩根律 =(A∩∼ ∪(A∩∼ ∪(B∩∼ ∪(B∩∼ ∩∼A)∪ ∩∼ ∩∼B)∪ ∩∼ ∩∼A)∪ ∩∼ ∩∼B) (分配律 分配律) ∩∼ 分配律 (互补律 互补律) 互补律
Discrete Mathematics
第三章 集 合
3.3 集合的基本运算律
西南科技大学
1
计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 交换律： ∪ 交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A ∪ ， ∩ ∩ 结合律： ∪ ∪ 结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C) ∪ ∪ (A∩B)∩ C=A(B∩ C) ∩ ∩ ∩ 分配律： ∪ ∩ 分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) ∪ ∩ ∪ A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ 等幂律： ∪ 等幂律：A∪A=A，A∩A=A ， ∩ 同一律： ∪∅ ∪∅=A， ∩ 同一律：A∪∅ ，A∩U=A 零一律： ∩∅ ∩∅=∅ 零一律：A∩∅ ∅，A∪U=U ∪
Discrete Mathematics
第三章 集 合
(分配律 分配律) 分配律
(已知代入) (已知代入) 已知代入
∀x∈C ⇒x∈(A∩B)∪C ∈ ∈ ∩ ∪
8
计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 试证： ∪ 例4. 试证：(A∪B)-(A∩B)=(A-B)∪(B-A) ∩ ∪ 证明：左边 ∩∼(A∩ 证明：左边=(A∪B)∩∼ ∩B) ∪ ∩∼ =(A∪B)∩(∼A∪∼ ∪ ∩ ∼ ∪∼ ∪∼B) =∅∪ ∩∼ ∪(B∩∼ ∪∅ ∅∪(A∩∼ ∩∼A)∪∅ ∅∪ ∩∼B)∪ ∩∼ =(A-B)∪(B-A) ∪ 故原等式成立，证毕。 故原等式成立，证毕。 (德摩根律 德摩根律) 德摩根律 =(A∩∼ ∪(A∩∼ ∪(B∩∼ ∪(B∩∼ ∩∼A)∪ ∩∼ ∩∼B)∪ ∩∼ ∩∼A)∪ ∩∼ ∩∼B) (分配律 分配律) ∩∼ 分配律 (互补律 互补律) 互补律
Discrete Mathematics
第三章 集 合
3.3 集合的基本运算律
西南科技大学
1
计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 交换律： ∪ 交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A ∪ ， ∩ ∩ 结合律： ∪ ∪ 结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C) ∪ ∪ (A∩B)∩ C=A(B∩ C) ∩ ∩ ∩ 分配律： ∪ ∩ 分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) ∪ ∩ ∪ A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ 等幂律： ∪ 等幂律：A∪A=A，A∩A=A ， ∩ 同一律： ∪∅ ∪∅=A， ∩ 同一律：A∪∅ ，A∩U=A 零一律： ∩∅ ∩∅=∅ 零一律：A∩∅ ∅，A∪U=U ∪
Discrete Mathematics
第三章 集 合
集合的基数
• 定理15：(康托定理)设M为任意集合，记M的幂集
为S，则|M|<|S|。
证：对任意集合M，当M= 时，显然|M|=0，| S | 2M { }
|S|=1，成立； 当 M 时，对 a M ,有{a} 2M S，因此如下
函数f:M→S明显为一单射，即对每个 a M , f (a) {a} ，所以|M|<|S|；
x0
f (x) 0
x0
2(x) 1 x 0
易知f(x)为一双射，∴Z为可数集。
•定理6：任何无限集必有一个可数子集。
证：类似于定理4，从无限集中依次取出一列元素， 构成一个可数集。
6/73
集合的基数
•定理7：可数集的任何无限子集必为可数集。
证：设S是可数集，S中的元素可以排成：a0 , a1, a2 , ，设B是S的任一无限子集，它的元素也是S的元素 ，并且它可排成：a0k , a1k , a2k ,，∴B是可数集。
实数集本身都是连续统。
11/73
集合的基数
是否所有集合都以自然数n, S ，和c之一作为其基 数呢？为此我们引入基数大小的概念：
• 定义7：设A，B为任意集合
(1)如果有双射f:A→B或双射f:B→A，则称A和B基 数相等，记为|A|=|B|；
(2)如果有单射f:A→B或满射f:B→A，则称A的基数 小于等于B的基数，记为|A|≤|B|；
其中(3)说明了N是满足条件(1)，(2)的最小集合， (3)也称为极小性质。
•定义2：如存在集合{0,1,2， …，n-1}(自然数n)
到A或A到集合{0,1,2， …，n-1}的双射，则集合 A称为有限集，否则称为无限集。
•定理1：自然数集N为无限集。
为S，则|M|<|S|。
证：对任意集合M，当M= 时，显然|M|=0，| S | 2M { }
|S|=1，成立； 当 M 时，对 a M ,有{a} 2M S，因此如下
函数f:M→S明显为一单射，即对每个 a M , f (a) {a} ，所以|M|<|S|；
x0
f (x) 0
x0
2(x) 1 x 0
易知f(x)为一双射，∴Z为可数集。
•定理6：任何无限集必有一个可数子集。
证：类似于定理4，从无限集中依次取出一列元素， 构成一个可数集。
6/73
集合的基数
•定理7：可数集的任何无限子集必为可数集。
证：设S是可数集，S中的元素可以排成：a0 , a1, a2 , ，设B是S的任一无限子集，它的元素也是S的元素 ，并且它可排成：a0k , a1k , a2k ,，∴B是可数集。
实数集本身都是连续统。
11/73
集合的基数
是否所有集合都以自然数n, S ，和c之一作为其基 数呢？为此我们引入基数大小的概念：
• 定义7：设A，B为任意集合
(1)如果有双射f:A→B或双射f:B→A，则称A和B基 数相等，记为|A|=|B|；
(2)如果有单射f:A→B或满射f:B→A，则称A的基数 小于等于B的基数，记为|A|≤|B|；
其中(3)说明了N是满足条件(1)，(2)的最小集合， (3)也称为极小性质。
•定义2：如存在集合{0,1,2， …，n-1}(自然数n)
到A或A到集合{0,1,2， …，n-1}的双射，则集合 A称为有限集，否则称为无限集。
•定理1：自然数集N为无限集。
第三章 基数(集合论讲义)
集。
定理 1.1 自然数集 是无限集。
证明：由定义 3.2, 只要证明 不是有限集即可。假设 是有限集，则存在 n ，使得存在双 射 f ：{0,1, 2, , n −1} → 。令 k = 1+ max{ f (0), f (1), , f (n −1)}，显然 k ∈ ，但 对于任意 x ∈{0,1, 2, , n −1} ，有 f (x) ≠ k （ f (x) < k ），与 f 是满射矛盾。所以 不是
集合规模是否相同取决于它们之间是否存在一一映射。
定义 1.1 设 A ， B 是任意两个集合，若存在一个双射 f ： A → B ，则称 A 和 B 等势，或 称 A 和 B 的基数相同，记为 A ∼ B ， A 的基数记为 | A | 。
下面给出有限集和无限集的严格定义。
定义 1.2 设 A 为一个集合，若 A 为空集或与集合{0,1, 2, , n −1} 的基数相同，则称 A 为有 限集。此时，| A |= n ∈ （ A 为空集时，| A |= 0 ），若集合 A 不是有限集，则称 A 为无限
引理 2.1 (Cantor) 对于任何区间[a,b] 和任何实数序列{an}n∈ 来说，存在 c ∈[a, b] ，使得 c 不等于任何 an 。
证明：记 I = [a, b] ，将 I 均分成三个小闭区间，令 I0 为其中第一个不含 a0 的小区间；又将
I0 均分成三个小闭区间，令 I1 为第一个不含 a1 的小区间；继续这种操作，得到闭区间套
由定理 2.1 知，ℵ0 是最小的无限基数，问：是否有最大的无限基数。下面的定理回答这个
问题。
定理 3.5 （Cantor）对于任何集合 A ，必有 | A |<| ρ( A) | 。
定理 1.1 自然数集 是无限集。
证明：由定义 3.2, 只要证明 不是有限集即可。假设 是有限集，则存在 n ，使得存在双 射 f ：{0,1, 2, , n −1} → 。令 k = 1+ max{ f (0), f (1), , f (n −1)}，显然 k ∈ ，但 对于任意 x ∈{0,1, 2, , n −1} ，有 f (x) ≠ k （ f (x) < k ），与 f 是满射矛盾。所以 不是
集合规模是否相同取决于它们之间是否存在一一映射。
定义 1.1 设 A ， B 是任意两个集合，若存在一个双射 f ： A → B ，则称 A 和 B 等势，或 称 A 和 B 的基数相同，记为 A ∼ B ， A 的基数记为 | A | 。
下面给出有限集和无限集的严格定义。
定义 1.2 设 A 为一个集合，若 A 为空集或与集合{0,1, 2, , n −1} 的基数相同，则称 A 为有 限集。此时，| A |= n ∈ （ A 为空集时，| A |= 0 ），若集合 A 不是有限集，则称 A 为无限
引理 2.1 (Cantor) 对于任何区间[a,b] 和任何实数序列{an}n∈ 来说，存在 c ∈[a, b] ，使得 c 不等于任何 an 。
证明：记 I = [a, b] ，将 I 均分成三个小闭区间，令 I0 为其中第一个不含 a0 的小区间；又将
I0 均分成三个小闭区间，令 I1 为第一个不含 a1 的小区间；继续这种操作，得到闭区间套
由定理 2.1 知，ℵ0 是最小的无限基数，问：是否有最大的无限基数。下面的定理回答这个
问题。
定理 3.5 （Cantor）对于任何集合 A ，必有 | A |<| ρ( A) | 。
《集合的基数》课件
集合论与其他学科的交叉研究
未来，集合论将与更多学科进行交叉研究，例如计算机科学、物理学和 哲学等。这些交叉研究将有助于深入理解无穷的概念和数学的本质。
03
集合论教育的重要性
随着集合论在各个领域的广泛应用，教育界将更加重视集合论的教育。
未来，将会有更多的教材和课程资源涌现，以帮助学生们更好地学习和
理解集合论。
尽管集合论已经取得了很大的进展，但 仍存在一些未解决的问题和挑战。例如 ，关于无穷的深刻问题、集合论与物理 学的关系等。
未来展望
01 02
集合论的进一步发展
随着数学和其他学科的发展，集合论将会继续发展并应用到更广泛的领 域中。未来，数学家们将进一步探索无穷的奥秘，并试图解决一些长期 存在的数学问题。
03
集合的基数在数学中的应用
在实数理论中的应用
01
实数集合的基数是可数无穷，这 为实数理论中的许多概念和性质 提供了基础。
02
例如，实数轴上的连续性、极限 、连续函数等概念都与集合的基 数有关。
在概率论中的应用
概率论中，样本空间的基数表示所有 可能结果的个数，是概率计算的基础 。
例如，在概率论中，事件的概率是该 事件所包含的样本点个数与样本空间 中样本点个数的比值。
为了解决早期集合论的问题，数学家们 开始对集合论进行公理化。其中，ZF（ Zermelo-Fraenkel）公理系统是最著名 的集合论公理系统之一。
2
集合论的应用
随着现代数学的发展，集合论的应用越 来越广泛。它不仅在数学领域中有着重 要的应用，还涉及到计算机科学、物理 学和哲学等领域。
3
集合论的挑战
数据挖掘与机器学习
在数据挖掘和机器学习中，集合基数用于描述数据集的大 小和多样性。例如，在分类或聚类算法中，集合基数可以 影响算法的性能和结果。
未来，集合论将与更多学科进行交叉研究，例如计算机科学、物理学和 哲学等。这些交叉研究将有助于深入理解无穷的概念和数学的本质。
03
集合论教育的重要性
随着集合论在各个领域的广泛应用，教育界将更加重视集合论的教育。
未来，将会有更多的教材和课程资源涌现，以帮助学生们更好地学习和
理解集合论。
尽管集合论已经取得了很大的进展，但 仍存在一些未解决的问题和挑战。例如 ，关于无穷的深刻问题、集合论与物理 学的关系等。
未来展望
01 02
集合论的进一步发展
随着数学和其他学科的发展，集合论将会继续发展并应用到更广泛的领 域中。未来，数学家们将进一步探索无穷的奥秘，并试图解决一些长期 存在的数学问题。
03
集合的基数在数学中的应用
在实数理论中的应用
01
实数集合的基数是可数无穷，这 为实数理论中的许多概念和性质 提供了基础。
02
例如，实数轴上的连续性、极限 、连续函数等概念都与集合的基 数有关。
在概率论中的应用
概率论中，样本空间的基数表示所有 可能结果的个数，是概率计算的基础 。
例如，在概率论中，事件的概率是该 事件所包含的样本点个数与样本空间 中样本点个数的比值。
为了解决早期集合论的问题，数学家们 开始对集合论进行公理化。其中，ZF（ Zermelo-Fraenkel）公理系统是最著名 的集合论公理系统之一。
2
集合论的应用
随着现代数学的发展，集合论的应用越 来越广泛。它不仅在数学领域中有着重 要的应用，还涉及到计算机科学、物理 学和哲学等领域。
3
集合论的挑战
数据挖掘与机器学习
在数据挖掘和机器学习中，集合基数用于描述数据集的大 小和多样性。例如，在分类或聚类算法中，集合基数可以 影响算法的性能和结果。
《集合》公式汇总
《集合》公式汇总1. 并集公式：设 A 和 B 是两个集合，则它们的并集表示为 A ∪ B，其元素包括 A 和 B 中的所有元素。
公式为A ∪ B = {x | x ∈ A 或x ∈ B}。
2. 交集公式：设 A 和 B 是两个集合，则它们的交集表示为 A ∩ B，其元素同时属于 A 和 B。
公式为A ∩ B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B}。
3. 差集公式：设 A 和 B 是两个集合，则 A 与 B 的差集表示为A B，其元素属于 A 但不属于 B。
公式为 AB = {x | x ∈ A 且 x ∉ B}。
4. 对称差集公式：设 A 和 B 是两个集合，则 A 与 B 的对称差集表示为A △ B，其元素属于 A 或 B 但不同时属于 A 和 B。
公式为A △ B = (A B) ∪ (B A)。
5. 德摩根定律：德摩根定律描述了集合运算中的补集和并集、交集之间的关系。
公式如下：(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c(A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c6. 幂集公式：设 A 是一个集合，则 A 的幂集表示为 P(A)，其元素是 A 的所有子集。
公式为 P(A) = {X | X ⊆ A}。
7. 卡特兰积公式：设 A 和 B 是两个集合，则它们的卡特兰积表示为A × B，其元素是由 A 和 B 中元素组成的有序对。
公式为 A × B = {(a, b) | a ∈ A 且b ∈ B}。
8. 集合的基数公式：设 A 是一个有限集合，则 A 的基数表示为|A|，即 A 中元素的个数。
公式为 |A| = n，其中 n 为 A 中元素的个数。
《集合》公式汇总1. 并集公式：设 A 和 B 是两个集合，则它们的并集表示为 A ∪ B，其元素包括 A 和 B 中的所有元素。
公式为A ∪ B = {x | x ∈ A 或x ∈ B}。
2. 交集公式：设 A 和 B 是两个集合，则它们的交集表示为 A ∩ B，其元素同时属于 A 和 B。
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第三章 集合的基数
本章讨论集合论中较为困难的问题—集 合的基数问题；但只限于对基数作一简 单介绍；如学时较少可不讲本章或对本 章作恰当的删减.
本章主要概念为:集合的等势、有限集与 无限集、可数集与不可数集及较为常见 的集合的基数.
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1 2020/4/12
பைடு நூலகம்
第一节 无穷集的概念
本节主要内容: 1.两个集合等势的定义； 2.基数的概念:基数是集合的一种性质，一
3 2020/4/12
第三节 集合的基数简介
前二节我们初步认识了集合的三种基数；即
有限集合的基数、自然数集的基数及实数集
的基数,本节定义了基数之间的大小关系,结论
有:
1.设A,B是两个集合，则|A|=|B|,|A|>|B|及 |A|<|B|三条中有且仅有一条成立；
2.Bernstein定理:设A,B是两个集合,若|A|≥|B| 且|A| ≤ |B|,则集合A,B等势;
3.设A是任意集合,P(A)为A的幂集,则P(A)的基 数大于A的基数.
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本章小结
本章的主要内容有：集合的等势、有限 集与无限集、可数集与不可数集、较为 常见的集合的基数等.集合的基数反映了 集合的元素的多少，它是集合的一种性 质，一种与该集合等势的集合构成的集 合族的共同性质.
种与该集合等势的集合所构成的集合族 的共同性质，即任何两个集合，如果它 们等势，它们便有相同的基数 （Von.Neumann的观点）； 3.利用等势的概念来定义有限集与无限集.
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2 2020/4/12
第二节 可数集与不可数集
可数集是无限集中最简单的一种，本节把无 限集区分为可数集与不可数集，主要结论有:
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5 2020/4/12
1.任意可数集都有一个与其等势的真子集; 2.任意一个无限集都包含一个可数子集； 3.可数集的任意无限子集是可数集； 4.可数集与有限集的并集是可数集； 5.两个（因而有限个）可数集的并集仍是可数
集； 6.可数个可数集的并集是可数集； 7.两个（因而有限个）可数集合的笛卡尔积仍
然是可数集.
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本章讨论集合论中较为困难的问题—集 合的基数问题；但只限于对基数作一简 单介绍；如学时较少可不讲本章或对本 章作恰当的删减.
本章主要概念为:集合的等势、有限集与 无限集、可数集与不可数集及较为常见 的集合的基数.
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1 2020/4/12
பைடு நூலகம்
第一节 无穷集的概念
本节主要内容: 1.两个集合等势的定义； 2.基数的概念:基数是集合的一种性质，一
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第三节 集合的基数简介
前二节我们初步认识了集合的三种基数；即
有限集合的基数、自然数集的基数及实数集
的基数,本节定义了基数之间的大小关系,结论
有:
1.设A,B是两个集合，则|A|=|B|,|A|>|B|及 |A|<|B|三条中有且仅有一条成立；
2.Bernstein定理:设A,B是两个集合,若|A|≥|B| 且|A| ≤ |B|,则集合A,B等势;
3.设A是任意集合,P(A)为A的幂集,则P(A)的基 数大于A的基数.
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本章小结
本章的主要内容有：集合的等势、有限 集与无限集、可数集与不可数集、较为 常见的集合的基数等.集合的基数反映了 集合的元素的多少，它是集合的一种性 质，一种与该集合等势的集合构成的集 合族的共同性质.
种与该集合等势的集合所构成的集合族 的共同性质，即任何两个集合，如果它 们等势，它们便有相同的基数 （Von.Neumann的观点）； 3.利用等势的概念来定义有限集与无限集.
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第二节 可数集与不可数集
可数集是无限集中最简单的一种，本节把无 限集区分为可数集与不可数集，主要结论有:
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1.任意可数集都有一个与其等势的真子集; 2.任意一个无限集都包含一个可数子集； 3.可数集的任意无限子集是可数集； 4.可数集与有限集的并集是可数集； 5.两个（因而有限个）可数集的并集仍是可数
集； 6.可数个可数集的并集是可数集； 7.两个（因而有限个）可数集合的笛卡尔积仍
然是可数集.
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